Universidad de San Carlos. Facultad de Ingeniera. Escuela de Mecnica Elctrica. Teora Electromagntica 1. Inga. Ingrid Rodrguez Garca de Loukota. Aux. Detlev Chachalaf

Tarea 1: Anlisis Vectorial y Campos Elctricos.

Alumno: Manuel Dario Fajardo Hernndez. Carnet: 200715075. 25 de febrero del 2010.

CAMPOS VECTORIALES Y ELECTROMAGNETISMO.

Campos vectoriales: Los campos vectoriales son conjuntos de vectores en el espacio, los cuales representan fenmenos fsicos presentes en una regin. Matemticamente se pueden describir como una funcin que asigna vectores a distintos puntos en el espacio, cuya magnitud y direccin dependen de dos o ms variables. Cuando solo dependen de una sola variable, las funciones vectoriales describen una trayectoria en el espacio. Los campos vectoriales sirven para representar campos de fuerzas, flujos de velocidad y otros conjuntos de vectores, ya sea en el plano o en el espacio. Una de las formas generales analticas de escribir un campo vectorial es:

Donde M es la componente de los vectores del campo en el eje X, N la componente en el eje Y, P la componente en Z y multiplicados por los vectores unitarios i, j, k. Entre los diferentes tipos de campos vectoriales el ms comn es el campo cuadrtico inverso, el cual describe como cambia la magnitud de un vector a medida que se acerca al centro del campo de vectores en una proporcin 1/r y todos los vectores apuntan hacia el centro del campo, adems todos los vectores que se encuentran a la misma distancia del centro o tienen el mismo radio poseen la misma magnitud los cual forma superficies esfricas imaginarias a las que se le llaman superficies equipotenciales. Este tipo de campo por su forma, tiene una simetra esfrica comnmente tpica de este tipo de campo. El campo cuadrtico inverso se denota:

Donde R es el radio, v es el vector unitario en coordenadas cartesianas. La grfica del campo es:

Tipos de campos campos vectoriales campos campos no

vectoriales: Los se pueden clasificar en conservativos y conservativos. Los

campos conservativos se definen por ser campos en los cuales si un cuerpo se mueve de un punto a otro, la energa total usada para desplazarse es la misma para cualquier trayectoria. Adems cualquier integral de lnea que se haga de un punto a otro da el mismo valor sin importar la curva o trayectoria que se escoja para integrar, cuando El punto A es igual al punto B, la energa usada y el valor de cualquier integral de lnea sobre el campo es cero. Los campos no conservativos no siguen el principio de conservacin de energa, por lo tanto la cantidad de energa de un punto a otro tiene diferente valor segn la trayectoria. Adems cuando el punto A es igual al punto B, la integral de lnea no es necesariamente cero. Sistemas de coordenadas: Los sistemas de coordenadas se usan para localizar puntos, partculas o vectores en el espacio en trminos de cantidades matemticas, por lo tanto a cada punto se le asigna un conjunto de valores que representan su ubicacin. Los sistemas de coordenadas se disean para ubicar de manera fcil cualquier punto, por lo que cada punto se puede representar como la interseccin de superficies ortogonales, de tal manera que a cada superficie se le asigna un valor, de modo el conjunto de nmeros que describen un sistema coordenado dice el punto que varias superficies se cruzar para intersectar un punto. Cada sistema tiene un sistema de ejes lo cuales son los pivotes o puntos de origen de cual se marca referencia para hacer mediciones. En un plano bidimensional la interseccin se superficies se reduce a interseccin de lneas. Un sistema coordenado es como un sistema de calles y avenidas para identificar un local en una ciudad, de tal modo que la direccin indica la interseccin de una calle con una avenida, de tal forma que la interseccin es el punto donde se encuentra el local. Entre los sistemas de coordenadas ms usados en electromagnetismo estn los siguientes: Coordenadas cartesianas: Este sistema describe un punto como la interseccin de varios planos y asigna coordenadas al punto como (x1, x2, x3,, xn). En el espacio tridimensional el sistema cartesiano asigna a un punto las coordenadas (x, y, z). El punto esta sobre un plano yz, sobre un plano xz y sobre un plano xy, por lo tanto el punto se ubica en la interseccin de los tres planos.

Tambin la coordenada indica cuanto esta corrido el punto del origen respecto a cada eje, es decir, el primer nmero indica la posicin el punto sobre el eje x, el segundo punto indica la posicin sobre el eje y, el tercer punto indica la posicin sobre el eje z. Por ultimo el orden de los ejes se escoge de tal manera que siga la regla de la mano derecha, donde el puo indica el plano xy desde x hacia y el eje y con el pulgar apuntando en direccin del eje z.

Coordenadas cilndricas: Este sistema asigna a un punto; un radio respecto al origen sobre el plano xy, un ngulo respecto al eje x y una elevacin respecto al eje z, por tanto es conjunto ordenado que define a un punto en coordenadas cilndricas es (r, , z). En el plano las coordenadas cilndricas se reducen a las coordenadas polares. En el espacio estas coordinas sirven para definir superficies con simetra cilndrica de manera ms fcil que en el sistema cartesiano. En el plano las coordenadas polares sirven para definir una curva con simetra radial de forma ms sencilla que en coordenadas xy. Las conversiones de coordenadas cilndricas a cartesianas es:

Coordenadas esfricas: Las coordenadas esfricas asigna tres valores a punto, el primero el es radio de una esfera imaginada sobre el cual esta el punto, el segundo nmero el ngulo , referido sobre el eje z, que hay entre el punto y el eje z, este nmero indica una superficie en forma de cono sobre el cual se encuentra el punto, y el ultimo nmero es el ngulo sobre el plano xy, referido al eje x, sobre el cual pasa un cierto plano perpendicular al plano xy, por el que se ubica el punto. El punto se referido se ubica en la interseccin de las tres superficies. Las coordenadas esfricas sirven para proyectar problemas con geometra esfrica, este sistemas de coordenadas es muy parecido al usado en geografa de latitud y longitud para ubicar un punto sobre la superficie de la tierra, donde el radio se hace constante con el valor del radio de la tierra. Las conversiones entre coordenadas esfricas a cartesianas es:

Elementos diferenciales: Los diferenciales ms comunes para el estudio matemtico del electromagnetismo son: Diferencial de longitud: El diferencial de longitud se puede denotar como dL, el cual es un trozo de longitud muy pequeo. La longitud se puede estimar tambin como la distancia de un punto a otro o como a lo largo de una lnea. Cuando se tiene una funcin de distancia de la forma r (t)

= x (t) i + y (t) j + z (t) k, El elemento diferencial de longitud se puede definir como:

El elemento diferencial se longitud es comn en las integrales de lnea, pues una integral de lnea integra una cantidad o funcin a medida que se sigue una trayectoria definida por una curva o lnea, es decir, cuando se calcular cantidades como la longitud de una lnea, la masa en una cable, las carga en un alambre, etc. Un ejemplo es cuando se integra la energa necesaria para desplazarse de un punto a otro, cuando un cuerpo se mueve dentro de una curva o lnea que describe una trayectoria en la cual se desplaza. Diferencial de superficie: Un diferencial de superficie dS, se define como un elemento de rea superficial muy pequeo, este diferencial aparecen en problemas de flujos a travs de un rea o de densidad superficial, en la que una cantidad, como por ejemplo la masa o la carga, que se distribuye sobre el rea superficial de un objeto. DQ/ds se pude definir como la densidad sobre la superficie, la integrar una funcin de densidad superficial en una integral de superficie, Se obtiene la cantidad total que esta sobre toda la superficie.

Diferencial de volumen: Un diferencial de volumen se define como un elemento de volumen cuyas dimensiones son muy pequeas, Aparecen en problemas de densidades volumtricas o de fluidos en el espacio. Al integrar da cantidades sobre volmenes, como la masa que hay dentro de una superficie, volmenes de superficies cerradas, etc. Un diferencial de volumen se escribe como:

Gradiente: El gradiente se define como la mxima razn de cambio de una variable respecto a las otras, grficamente el gradiente representa

un vector diferencial, el cual es normal o perpendicular a la superficie de la ecuacin. El gradiente esta conformado por el vector de las diferencias o derivadas parciales de la ecuacin. El gradiente se aplica a una funcin escalar, y todo gradiente resultante es una funcin vectorial, cuyo campo tiene vectores normales a la superficie escalar. El gradiente es de manera ms simple un problema de razn de cambio, equivalente a la derivada total de una funcin de varias variables. El gradiente se denota con el operado nabla ( ).

Divergencia: La divergencia de un campo vectorial, fsicamente significa la cantidad de flujo que fluye a travs de una superficie hacia fuera o adentro debido a densidad volumtrica de carga o masa. La define como el producto punto entre el vector gradiente o nabla y el vector del campo. Si la divergencia del campo existe, esto significa que el campo fluye de alguna fuente de origen hacia fuera; Si es negativa, quiere decir que todos los vectores del campo convergen en un punto sumidero. La divergencia entre funciones vectoriales es equivalente al producto escalar de dos vectores. La divergencia por se definida a travs de un producto punto, produce una cantidad que es escalar. La divergencia se define en:

Rotacional: El rotacional se define como el producto vectorial o producto cruz entre vector nabla y la funcin vectorial. Por tanto el resultante del producto vectorial se define como una vector normal en los vectores de flujo del campo. Se llama rotacional porque la magnitud del rotacional mide la circulacin del flujo del campo. Normalmente el rotacional solo se define en campos que presentan tendencia a rotar o a girar sobre s. Los campos que poseen rotacional no son campos conservativos, por lo tanto los campos conservativos tienen rotacional cero y los campos no conservativos tienen divergencia cero.

Ley de Coulomb: La ley que describe la fuerza entre cargas elctricas es la ley de Coulomb. Esta establece la fuerza entre dos partculas cargadas separadas a una distancia r. Esta ley fue descubierta por el francs Charles Coulomb, quien fue el primero en medir las fuerzas elctricas entre objetos cargados, para lo cual uso un dispositivo llamado balanza de torsin inventada por el mismo. La ley de Coulomb predice la proporcin entre la Fuerza elctrica y la carga, la cual tambin es proporcionalmente inversa al cuadrado de la magnitud de la distancia entre las dos cargas. Esta proporcin es F1/r. La constante que iguala la fuerza al producto de cargas sobre la distancia al cuadrado es K, cuyo valor fue medido por Coulomb como 9.00*10 Nm/C. El valor de K tambin se escribe como:

La fuerza entre cargas tiene mayor accin en la lnea que une al punto A donde la primera carga con el punto B de la segunda carga. La carga elctrica se mide en Coulomb, en honor al Charles Coulomb, pero la carga de 1C es tan grande, que esto produce 9.00*10 N de fuerza, por lo que las medidas de cargas ms usuales estn en C.

La forma general de la ley de Coulomb es:

Donde r es el vector unitario que da direccin vectorial a la fuerza entre cargas, R es la magnitud de la distancia entre la carga q1 y la carga q2 y k la constante elctrica de proporcionabilidad. La ley de Coulomb como esta es considerablemente parecida a la Ley de la Gravitacin universal, la cual fue planteada por Isaac Newton hace como cien aos atrs, debido a la simetra cuadrtica inversa que guardan ambas leyes, y cuyos campos son conservativos y tienen las mismas caractersticas, difiriendo nicamente en la constante de proporcionabilidad y que existen dos tipos de carga

Ley de Gauss: La ley de gauss para campo elctrico afirma que la cantidad de flujo del campo de desplazamiento elctrico D es igual a la cantidad de carga concentrada de donde fluye el campo elctrico. Esta ley fue primeramente experimentada por el fsico-qumico ingles Michael Faraday, en su investigacin acerca de electricidad; Sin embargo fue el matemtico y fsico alemn Karl Friedrich Gauss quien propuso la teora matemtica que cimienta la ley, por eso se llama Ley de Gauss. La ley de Gauss establece que el flujo del campo elctrico que fluye a travs de cualquier superficie cerrada, es igual a la carga elctrica, la cual es rodeada por dicha superficie. La superficie cerrada que rodea a cualquier carga puede ser real o imaginaria, en cualquier caso a estas superficies se llaman superficies gaussiana, y se eligen segn criterios de simetra. La forma de la ley de gauss, es de forma integral, pues se utiliza una integral de superficie para evaluar el flujo elctrico neto que fluye de la carga fuente, en la cual se integra el producto punto de una funcin de

densidad de flujo elctrico, la cual se denota como D = oE, sobre una superficie gaussiana.

La ley de Gauss se puede escribir en su equivalente vectorial o forma punto, definiendo la divergencia de cualquier campo de flujo elctrico conservativo igual a la densidad volumtrica de carga o, carga por unidad de volumen. D = . Tambin se puede escribir de forma ms general como:

Intensidad de campo elctrico (E): La intensidad de campo elctrico, es el campo provocado por la presencia de cargas elctricas. Se defina como la cantidad de fuerza por unidad de Coulomb en una regin en el espacio. Este campo cuadrtico inverso y coincide con el campo de fuerza provocado por la distribucin de cargas. Este campo tiene como fuente a una carga, y se deriva del campo de fuerza, al hacer una distribucin de carga nica y mucho mayor a cualquier carga circundante, por lo tanto es proporcional la carga Q1. Matemticamente tiene la misma forma que el campo de fuerza entre cargas elctrica a excepcin de que no aparece segundas cargas. A cualquier otra carga que se ponga, se le llama carga de prueba, y solo sirve como modelo para indicar la existencia de la intensidad de campo elctrico. El valor se puede medir en Newton/Coulomb, pero es mas usada la medida Voltio/metro.

Densidad de flujo elctrico (D): La densidad de flujo elctrico, se define como la cantidad de carga que hay sobre una superficie o Coulomb por metro cuadrado. Donde la cantidad de flujo es igual a la carga Q. La densidad de flujo tambin se puede obtener al multiplicar el valor de campo elctrico E, por o, por lo tanto D = oE, valida nicamente para une medio al vaco. Este termino surge cuando Michael Faraday experimento con campos elctricos. En sus experimentos, uso dos esferas conductoras de diferente dimetro. La de mayor dimetro es una esfera hueca que contena en su interior la esfera de menos dimetro dejando un brecha o espacio vaco entre las dos esferas. Al carga al esfera interior con carga positivo, se dio cuenta que en la esfera ms grande apareca una carga elctrica inducida con el mismo valor, pero de polaridad negativa, por lo que daba la impresin de que haba un flujo que se desplazaba, por lo tanto se dice que el flujo elctrico es igual a Q. La densidad de flujo es igual a:

Potencial Elctrico: A toda fuerza se le asocia una energa, a toda energa la capacidad de hacer trabajo. Cuando la fuerza no realiza trabajo cintico, entonces se le asocia un potencial de energa. Por lo tanto a todo campo elctrico, se le asocia una energa potencial. Cuando el campo es conservativo, el trabajo realizado dentro del campo no es da ms que la diferencia de niveles de potencial de elega de un punto al otro. A la energa de campo elctrico se le llama potencia elctrico y se defina como la cantidad de energa por unidad de Coulomb, al cual se le llama comnmente como voltaje o tensin, aunque es llamado muy tcnicamente Fem., o fuerza electromotriz, a pesar de que se trata ms de energa y trabajo que de fuerza o movimiento. Para una distribucin puntual de carga la energa es proporcional a la carga, e inversamente proporcional al radio o distancia:

Cuando todos los puntos sobre una superficie ya se imaginaria o real en el campo tiene el mismo potencial, a esa superficie se le denomina

superficie equipotencial. Para un campo conservativo, el trabajo hecho por el campo para mover una carga sobre la superficie equipotencial es cero. El trabajo solo se realiza de una superficie equipotencial a otra. El trabajo efectuado por un potencial se define como la cantidad de energa usad para trasladar una carga de un punto a otro dentro del campo elctrico. De forma ms general se calcula como la integral de lnea sobre la trayectoria de la partcula dentro del campo:

Cuando el campo es uniforme se puede definir como la energa usada para desplazar una carga de prueba de un punto a otro en direccin al campo, por lo tanto V=Ed, donde d es la distancia que recorre una carga del punto A hacia al punto B. Cuando se habla de voltajes o de una diferencia de potencial elctrico se usa el voltio y se omite el trmino de carga en las ecuaciones. De este termino tambin surge una nueva medida de energa; El electrn-voltio, y se define como la cantidad energa usada para mover una carga elctrica fundamental e, dentro de una diferencia de potencial de 1 voltio. Por lo tanto la equivalencia de energa es: eV = 1.60*10 Joule. Esta medida de energa se utiliza en fsica cuntica y fsica de partculas, donde la medicin de energa en Joule es muy pequea prcticamente para los clculos y estimaciones.