INTEGRALES DE LÍNEA

ERIKA RIVEROS MORÁN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

FUNCIÓN VECTORIAL, CAMPOS ESCALARES, VECTORIALES E INTEGRAL DE LÍNEA

ÍNDICE

1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 2. Función vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3. Campos vectoriales. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4. Representación gráfica de campo vectorial . . . . . . . . . . . .9 5. Integrales de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6. Campos conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

INTRODUCCIÓN

Los contenidos que revisaremos es una extensión del Cálculo en una dimensión. Los abordaremos desde el espacio tridimensional Uno de los propósitos es describir la posición, velocidad y aceleración de un móvil, como también construir un sistema móvil de coordenadas tridimensionales Algunos ejemplos:

Los pilotos de los aviones necesitan datos relativos a su posición, no relativos a un cierto punto del suelo

Al diseñar una carretera. Tendrá curvas, con el fin de evitar obstáculos y para que permita velocidades aceptables se deberá evitar curvas demasiado cerradas. Para analizar este tipo de curvas se tiene una medida que se llama curvatura.

FUNCIÓN VECTORIAL

• Una función vectorial asigna a números reales vectores.

• Se puede usar una función vectorial para representar el movimiento de una partícula a lo largo de una curva.

La siguiente imagen representa una curva en el espacio

Una función que tiene dominio en un subconjunto de los números reales y rango en IRn se denomina función vectorial de variable real. Simbólicamente; La función F asocia a cada número real 𝑡 ∈ 𝑅 , un y sólo

un vector 𝐹 (𝑡) 𝑒𝑛 𝑅𝑛 ; donde

𝐹 𝑡 = f1(t) , f2(t) , … , f𝑛(t) Cada 𝑓𝑖 es una función real de una variable real 𝑡

𝐹 : 𝐼 ⊂ 𝐼𝑅 ⇾ 𝑅𝑛

𝑡 ⟼ 𝐹 (𝑡)

Cada 𝑓𝑖 es una función real de una variable real 𝑡 𝑓𝑖: 𝐷𝑜𝑚(𝑓𝑖) ⊂ 𝐼𝑅 ⇾ 𝐼𝑅 ; ∀ 𝑖 = 1 , 2, 3 , … , 𝑛 𝐷𝑜𝑚 𝑓𝑖 : Es el dominio de la función real 𝑓𝑖 Las funciones 𝑓𝑖 son llamadas funciones componentes.

El dominio de F se denota por 𝐷𝑜𝑚(𝐹 ) y es dado por la intersección de los dominios de sus funciones componentes. Es decir;

𝐷𝑜𝑚 𝐹 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓𝑖)

𝑛

𝑖=1

NOTA: El dominio de 𝐹 es el mayor subconjunto de IR para

el cual 𝐹 (𝑡) tiene sentido

Caso particular: 𝑟 : 𝐼 ⊂ 𝐼𝑅 ⇾ 𝑅3

𝑡 ⟼ 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , 𝑕(𝑡)

Sea la función vectorial 𝑟 : R ⇾ R3 , tal que

𝑟 𝑡 = 𝑡 ,1

𝑡−1 , ln (4 − 𝑡)

Sus funciones componentes son:

𝑓 𝑡 = 𝑡, g(t) = 1

𝑡 − 1 , h(t) = ln(4 – t )

cuyos dominios son: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝑅 ; 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ]1 , + ∞[ ; 𝐷𝑜𝑚 (𝑕) = ] − ∞ , 4 [

La intersección de los dominios es ]1 , 4 [ = 𝐷𝑜𝑚(𝐹 )

Ejemplo: La siguiente curva se denomina Hélice

Su forma simula a la de un sacacorchos, se parece a los resortes

También se encuentra en el modelo del ADN (ácido desoxirribonucleico, que es el material genético de las células de los seres vivos

CAMPOS VECTORIALES

Los campos vectoriales son funciones que asignan vectores a puntos en el espacio Un ejemplo de campo vectorial es la figura siguiente: Las flechas de la figura son

vectores velocidad que indican la rapidez y dirección del viento en los puntos que están 10 m por arriba de la superficie en el área de la bahía de san Francisco.

Otro ejemplo de campo vectorial es la distribución de velocidades en un líquido, o flujo de fluido, que en cada puntos de la cañería posee tanto una intensidad como un sentido

Aplicación de las funciones vectoriales en la medición de los campos electromagnéticos de los planetas

𝑭:𝑫𝒐𝒎 ⊂ 𝑹𝟐 → 𝑽𝒏

Si 𝑛 = 2 ∶

𝑥, 𝑦 → 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑗 = 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦

Más simple, 𝑭 = 𝑷 𝒊 + 𝑸 𝒋 Si 𝑛 = 3 ∶

𝑥, 𝑦 → 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑗 + 𝑅 𝑥, 𝑦 𝑘

𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑥, 𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦 , 𝑅 𝑥, 𝑦

Más simple, 𝑭 = 𝑷 𝒊 + 𝑸 𝒋 + 𝑹𝒌 Las funciones P, Q, R se denominan funciones componentes. Estas funciones son funciones escalares de dos variables y se les llama CAMPOS ESCALARES

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN CAMPO VECTORIAL

Ejemplo: La siguiente representación gráfica corresponde al campo vectorial

• Similitud de la curva espiral graficada y el huracán Irma en centro América y Miami año 2018

https://www.youtube.com/watch?v=9LOtImpKI60

El siguiente link lleva al video en tiempo real del Huracán Irma

Para el campo de fuerzas 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒𝑥𝑐𝑜𝑠𝑦,−𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦, 2

• Verificar que 𝐹 es campo vectorial conservativo. • Obtener la función potencial 𝑓(𝑥, 𝑦)

Integrales de líneas

Es un método que generaliza el concepto usual de la integral, el cual la función a integrar está definida sobre una curva arbitraria Las integrales de línea son usadas para calcular el trabajo realizado por un campo de fuerzas al mover un cuerpo a lo largo de una curva.

Sea C una curva definida paramétricamente mediante las siguientes ecuaciones:

Cálculo de una integral de línea

SOBRE CAMPOS ESCALARES

Cálculo de una integral de línea

Revisar ejemplo 4 de la página 1067 de apuntes Unidad 2

Revisar ejemplo 6 de la página 1067 de apuntes Unidad 2

Cálculo de una integral de línea

SOBRE CAMPOS VECTORIALES

Debemos escribir la ecuación paramétrica de la trayectoria orientada positivamente, que corresponde a una curva que corresponde a una

elipse

𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡 , 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑡, −𝜋

2 ≤ 𝑡 ≤

𝜋

2

𝑑𝑥 = −2𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡 , 𝑑𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡

Ejemplo

Calcular la integral de línea 𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦𝐶

𝐶 Es la trayectoria definida por 𝑥2 + 4𝑦2 = 4 , 𝑥 > 0

𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = 𝐹 𝑟 𝑡 𝑟´(𝑡)𝑏

𝑎𝑐𝑑𝑡

𝑟 𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑟 ′ 𝑡 = −2𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡

𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡, 4𝑐𝑜𝑠2𝑡 −2𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡𝜋

2

−𝜋

2𝐶

𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 = (−4𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 4𝑐𝑜𝑠3𝑡)𝑑𝑡

𝜋2

−𝜋2

𝐶

(−4𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 4𝑐𝑜𝑠3𝑡)𝑑𝑡

𝜋2

−𝜋2

= −8

3𝑠𝑒𝑛3𝑡 + 4𝑠𝑒𝑛𝑡

𝜋2𝜋2

𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 =8

3𝐶

𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = 𝐹 𝑟 𝑡 𝑟´(𝑡)𝑏

𝑎𝑐𝑑𝑡

𝑟 𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝑡 , 𝑟 ′ 𝑡 = −2𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡

𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡, 4𝑐𝑜𝑠2𝑡 −2𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡𝜋

2

−𝜋

2𝐶

𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 = (−4𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 4𝑐𝑜𝑠3𝑡)𝑑𝑡

𝜋2

−𝜋2

𝐶

(−4𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 4𝑐𝑜𝑠3𝑡)𝑑𝑡

𝜋2

−𝜋2

= −8

3𝑠𝑒𝑛3𝑡 + 4𝑠𝑒𝑛𝑡

𝜋2𝜋2

𝑥𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑦 =8

3𝐶

CAMPOS CONSERVATIVOS

SOBRE CAMPOS CONSERVATIVOS

Sea 𝐼 = 6𝑥𝑦2 − 𝑦3 𝑑𝑥 + 6𝑥2𝑦 − 3𝑥𝑦2 𝑑𝑦𝐶

a) Pruebe que la integral 𝐼 es independiente del camino

(trayectoria) que une los puntos de (1,2) a (3,4) b) Calcule el valor de la integral I parametrizando la trayectoria dada en (a) c) Use el teorema fundamental para evaluar la integral 𝐼

INTEGRALES DE LÍNEA

Campos Conservativos

Teorema fundamental

TEOREMA DE GREEN

Ejemplo:

Usando el Teorema de Green calcular

𝑒𝑥 − 𝑥2𝑦 𝑑𝑥 + 3𝑥2𝑦𝑑𝑦

𝐶 Es la curva determinada por 𝑦 = 𝑥2 , 𝑥 = 𝑦2

Recordar Teorema de Green 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = 𝜕𝑄

𝜕𝑥− 𝜕𝑃

𝜕𝑦𝑑𝐴

𝑅𝐶

𝑃 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥 − 𝑥2𝑦 , 𝑄 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2𝑦 𝜕𝑃

𝜕𝑦=𝜕

𝜕𝑦𝑒𝑥 − 𝑥2𝑦 = −𝑥2 ,

𝜕𝑄

𝜕𝑥= 𝜕

𝜕𝑥3𝑥2𝑦 = 6𝑥𝑦

𝜕𝑄

𝜕𝑥− 𝜕𝑃

𝜕𝑦= 6𝑥𝑦 + 𝑥2

La región 𝑅 está limitada por la intersección de las dos parábolas 𝑦 = 𝑥2 , 𝑥 = 𝑦2

Integramos usando rectángulos genéricos verticales

𝑒𝑥 − 𝑥2𝑦 𝑑𝑥 + 3𝑥2𝑦𝑑𝑦 = 6𝑥𝑦 + 𝑥2 𝑑𝐴𝑅

6𝑥𝑦 + 𝑥2 𝑑𝐴 = 6𝑥𝑦 + 𝑥2 𝑑𝑦𝑥

𝑥2

1

0𝑅

𝑑𝑥

= −3𝑥5 − 𝑥4 + 𝑥5

2 + 3𝑥2 𝑑𝑥 1

0 =41

70

Ejemplo

𝐶2 : Es la trayectoria definida por 𝑥 = 𝑦2 , desde 1,1 a (0,0)

𝑒𝑥 − 𝑥2𝑦 𝑑𝑥 + 3𝑥2𝑦𝑑𝑦 = 𝑒𝑦2− (𝑦2)2𝑦 2𝑦𝑑𝑦 − 3(𝑦2)2𝑦𝑑𝑦

0

1𝐶2

= 2𝑦𝑒𝑦2− 2𝑦6 𝑑𝑦 − 3𝑦5𝑑𝑦 = (𝑒𝑦

2)2𝑦 − (2𝑦6 − 3𝑦5 𝑑𝑦

0

1

0

1

(𝑒𝑦2)2𝑦 − (2𝑦6 − 3𝑦5 𝑑𝑦

0

1

= 1 − 𝑒 +2

7−1

2

𝑒𝑥 − 𝑥2𝑦 𝑑𝑥 + 3𝑥2𝑦𝑑𝑦 = 𝑒 − 1

5+ 1 − 𝑒 +

2

7−1

2= 41

70

𝑥 = 𝑦2 , 𝑦 = 𝑦 , 𝑑𝑥 = 2𝑦𝑑𝑦 , 0 ≤ 𝑦 ≤ 1

Mediante una lluvia de ideas resumir lo revisado en esta sesión

La respuesta debería ser similar a esta diapositiva

Campos vectoriales

Trayectorias

Teorema de Green

Campos conservativos

Independencia de trayectoria

Parametrización Vectores Función vectorial