UNIVERSIDAD SURCOLOMBIANAPROGRAMA DE INGENIERIA

FISICA MECANICATEMA # 4: CANTIDADES VECTORIALES Y

ESCALARES

DOCENTE: María C.Salazar Aristizábal

Las cantidades físicas que estudiaremos en curso de física mecánica son escalares o vectoriales.Una cantidad escalar: es la que está especificada completamente por un número con unidades apropiadas. Una cantidad escalar sólo tiene magnitud. Ejemplos de cantidades escalares son la temperatura, el volumen, la masa, los intervalos de tiempo, etc. Para manejar cantidades escalares se emplean Las reglas de la aritmética ordinaria.

Una cantidad vectorial: es una cantidad física especificada por un número con unidades apropiadas más una dirección. Una cantidad vectorial tiene tanto magnitud como dirección y punto de aplicación. Ejemplos de cantidades vectoriales son la fuerza, la velocidad, la aceleración, etc.

Figura 1. ir del punto O hasta el punto P

Figura 2. Desplazamiento de una partícula desde xi hasta xf

Cualquier  magnitud  vectorial  puede  ser representada  en forma  gráfica  por  medio  de  una

flecha  llamada vector.  Gráficamente, un  vector es  un segmento de  recta  dirigido A→

C aracterísti cas   de   un   v ector: Todo vector  tiene  las  siguientes  características:

1. Punto  de aplicación.2. Magnitud, intensidad o  módulo del  vector3. Dirección, que  puede  ser horizontal, Vertical  u oblicua.4. Sentido,  indica  hacia el  vector,  ya sea  hacia arriba,  abajo,  a  la  derecha  o  a  la izquierda, quedando señalado  por  la  punta de  la  flecha.

Vectores coplanares: Se encuentran en el mismo plano, es decir, en dos ejes

a b

a

bcO

Vectores no coplanares: si están en diferentes planos, o sea en tres ejes.

Igualdad de vectores: dos vectores son iguales si tienen el mismo módulo, dirección y sentido, sea cual sea su ubicación en el espacio.

Opuesto de un vector: definimos el opuesto de un vector, como el vector que tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido contrario. Utilizamos la notación – a para referirnos al opuesto del vector a.

a - a

Vectores concurrentes: dos o más vectores son concurrentes cuando tienen el mismo origen. Los

vectores a, b y c de la Figura son concurrentes porque tienen el mismo origen O.

Vectores paralelos: dos vectores son paralelos si tienen las líneas de acción paralelas.

Operaciones con vectores:

Multiplicación de un escalar por un vector: el producto de un escalar por un vector es otro vec-tor de la misma dirección, cuyo módulo se obtiene de multiplicar el escalar por el módulo del vec-tor dado y cuyo sentido es igual al del vector si el escalar es positivo y de sentido contrario si el es-calar es negativo.

En la Figura se aprecia que dado un vector cualquiera A⃗ , el vector 2 A⃗ es otro de la misma dirección y sentido al dado, cuyo módulo es el doble. El vector −3 A⃗ es otro vector de la misma dirección, de sentido contrario y cuyo módulo es el triplo del módulo del vector.

Suma de vectoresCuando dos o más vectores se suman todos deben tener las mismas unidades. Las reglas para la suma de vectores se describen con métodos geométricos y con métodos analíticos.

Suma gráfica de vectores

Para sumar vectores gráficamente existen diferentes métodos:

Método del triángulo Es el método para sumar dos vectores consecutivos formando un triángulo con la resultante. Se deben seguir los siguientes pasos: 1. En un diagrama dibujado a escala trazar el vector a con su dirección propia en el sistema de coor-denadas. 2. Dibujar el vector B a la misma escala con la cola en la punta de A, asegurándose de que B tenga su propia dirección. 3. Se traza un vector desde la cola de A hasta la punta del vector B. Se mide la longitud del vector re-sultante y se realiza conversión con la escala, esto nos da la magnitud del vector suma. Luego se mide el ángulo que forma el vector suma con el eje positivo del eje X.Ejemplo 1: Dados los siguientes vectores: A: 30 m, 35°, B: 20 m, -45°.Obtener el vector suma S = A + B, mediante el método del triángulo.

Método del paralelogramo:

Es el método para sumar vectores concurrentes. Se dibujan los vectores f y g con origen común, lue-go en la figura se traza una paralela a f y por el término de f se traza una paralela a g; ambas parale-las y los dos vectores forman un paralelogramo. El vector resultante r de sumar f y g se traza desde el origen de ambos vectores hasta la intersección de las paralelas. Se mide la longitud del vector re-sultante y se realiza conversión con la escala, esto nos da la magnitud del vector suma. Luego se mide el ángulo que forma el vector suma con el eje positivo de la X.

Ejemplo 2: Dados los siguientes vectores: f: 25 m 60°, g: 35 m 0°. Obtener el vector suma r = f + g, mediante el método del paralelogramo.

Ejemplo 3: Dados los siguientes vectores A (-3; 1) y B ( 2; 2 ) entonces A+B= (-1; 3)

Método del polígono: Para sumar vectores por el método del polígono se colocan los vectores con-secutivos y el vector suma es la resultante que va desde el origen del primer vector al término del últi -mo vector.

Ejemplo 4: Un auto se desplaza 300 m del Norte 30° al Este, luego 500 m del Sur 60° al Este y finalmente 300 m al Sur. Hallar la distancia y dirección a la que quedo del punto de inicio.

Propiedades de la adición

Propiedad   conmutativa   de la   adición: cuando se suman dos  vectores,  la resultante  de  la  adición  es  la misma sin importar el orden  en  que  se  sumen  los vectores.

A⃗+B⃗=B⃗+ A⃗

Propiedad asociativa de la adición: Si tres o más vectores se suman, el resultado es independiente de la manera en la que se agrupen los vectores individuales.

A⃗+¿

Resta gráfica de vectores La resta de vectores es una suma indicada utilizando el concepto de vector opuesto.

La sustracción de vectores emplea la definición del negativo de un vector. Definimos la operación A - B como el vector - B sumado al vector A:

A⃗ – B⃗=A⃗+(−B⃗)Ejemplo 5: Dados los vectores A ( 3;0) y B (1; -3) obtener A⃗ – B⃗

Ejemplo 6: Sean A = 20 m, B = 15 m y θ=30º . Hallar: A⃗ – B⃗

30 º

150 º

Métodos analíticos

Son más precisos y utilizan el concepto de componentes de un vector que son más generales, exactos y extensibles a tres dimensiones (el espacio).Un vector puede tener un conjunto de componente si el sistema de coordenadas es rectangular o no. Aunque en general, tanto en matemática como en física, el sistema de coordenadas que se utiliza es el cartesiano rectangular. En el caso bidimensional, que se trabaja en el plano, dichos ejes son x e y perpendiculares entre sí; si fuera tridimensional el sistema cartesiano es el formado por los ejes x, y y z, todos perpendiculares entre sí.Elegimos por conveniencia un vector cuyo origen coincida con el origen de coordenadas, aunque un vector puede, moverse por todo el espacio en tanto no varíen su módulo, dirección y sentido.

l l l l l l

-

-

-

-

-

-

-

l l l l l

1 2 3 4 5 6-5 -4 -3 -2 -1

y +

x +

4

3

2

1

-2

-3

A

Una vez elegido el plano, se definen las componentes Ax y Ay de un vector como las proyecciones o

sombras del vector sobre los ejes coordenados, éstas se obtienen trazando paralelas a los ejes a par-

tir de la terminación del vector.

Cálculo las componentes de un vector

Cuando se nos proporciona la magnitud del vector y su orientación mediante el ángulo, se procede a

calcular las componentes rectangulares del mismo utilizando las funciones trigonométricas de la si-

guiente forma:

Observando la ilustración anterior, vemos que se forma un triángulo rectángulo, en donde las compo-

nentes vienen siendo los catetos y la hipotenusa la magnitud del vector. Aplicando las funciones trigo-

nométricas:

AyA

hipotenusa

opuestocatetosen

despejando la componente vertical: A y=|A|senθ

l l l l l l

-

-

-

-

-

l

4 5 6-1

y +

x +

4

3A

A

A y

x

2

1

cosθ= cateto adyacentehipotenusa

=A x

|A| despejando la componente horizontal:

cosAxA

Cálculo de la magnitud y dirección de un vector

Cuando se nos proporcionan las componentes rectangulares (Ax y Ay ) de un vector, se puede cono-

cer su magnitud aplicando el teorema de Pitágoras y su orientación (dirección) mediante la función

tangente del ángulo.

Del teorema de Pitágoras: hipotenusa=√(cateto adyacente )2+( cateto opuesto )2

en nuestro caso,

|A|=√( Ax )2+( A y )

2

para su orientación (dirección):

tanθ= cateto opuestohcateto adyacente

=A y

A x despejando el ángulo

θ=tan−1( A y

Ax)

Vectores unitarios: Las cantidades vectoriales se expresan con frecuencia en términos de vectores unitarios. Un vector unitario es un vector sin dimensiones que tiene una magnitud exactamente igual a uno. Los vectores unitarios se utilizan para especificar una dirección determinada y no tienen otro sig-nificado físico. Se usan sólo por conveniencia en la descripción de una dirección en el espacio.

Los símbolos i, j y k se utilizan para representar vectores unitarios que apuntan en las direcciones po-sitivas de los ejes x, y y z, respectivamente. Los vectores unitarios i, j y k forman un conjunto de vec-tores mutuamente perpendiculares.En la figura se muestra un vector A que se encuentra en el plano xy. El producto de la componente Ax y el vector unitario i es el vector AX î el cual es paralelo al eje x y tiene magnitud |Ax| (El vector AX î es una forma alternativa y más común de representar Ax) Del mismo modo, Ayj es un vector de magni-tud Ay paralelo al eje y. (En este caso también, AY ĵ es una manera alternativa de representar Ay.) Así pues, el vector A en términos de los vectores unitarios se escribe

A=A X î + AY ĵ

Cuando representamos dos vectores A y B y en términos de sus componentes, podemos expresar la resultante R usando vectores unitarios como sigue:

A⃗=( A X î + AY ĵ ) y B⃗=( BX î+BY ĵ )R⃗=A⃗+B⃗

R⃗=( A X î + AY ĵ )+¿ (BX î +BY ĵ )

R⃗=( A X+BX ) î +( AY +BY ) ĵ

¿ RX î +RY ĵ

Suma de vectores mediante el método analítico

Para sumar dos o más vectores por el método analítico se procede de la siguiente manera:

1. Se ubica cada vector en el plano cartesiano con su respectiva magnitud y dirección.

2. Se hallan la componentes rectangulares de cada vector FAX, FBX; FCX; FDX; FAY, FBY; FCY; FDY utili-

zando las ecuaciones correspondientes para cada uno de los ejes F y=|F|senθ

y

Fx=|F|cosθ.

3. Se calculan las componentes rectangulares del vector resultante

R⃗X=F AX+FBX+FCX +¿ FDX ¿

R⃗Y=F AY +FBY+FCY+¿ F DY ¿

4. Se calcula la magnitud del vector resultante aplicando la ecuación

|R|=√(Rx)2+(Ry)2

5. Se calcula la dirección del vector resultante

θ=tan−1(R y

Rx)

6. Se representa en el plano cartesiano el vector resultante teniendo en cuenta su magnitud y dirección.

Ejemplo 7: Las cuatro fuerzas mostradas en la figura tienen las Magnitudes FA=1720libras, θ=60o FB= 800libras, θ=70o Fc= 1000libras, θ=30o y FD= 900libras, θ=20o Calcular: la magnitud y dirección del vector resultante.

Solución: Siguiendo cada uno de los pasos mostrados anteriormente tenemos:

1.

2. Para encontrar las componentes rectangulares de cada vector tenemos que ser muy cuidado-

sos y trabajar con el ángulo real (medidos con respecto al eje positivo de las x) o se trabaja

con el ángulo que aparece en la gráfica pero con el signo de acuerdo al cuadrante en que es-

tén.

F Ax=1720cos 240°=−860 lb , F Ay=1720 sen240 °=−1489.6 lb

FBx=800cos110°=−273,6 lb , FBy=800 sen110°=715,75 lb

F cx=1000cos30 °=866,03 lb , Fcy=1000 sen30 °=500 lb

FDx=1900cos340 °=845,72lb , F Dy=900 sen340 °=−307,8lb

3. Las componentes rectangulares del vector resultante son:

R⃗ x=¿−860lb−273,6 lb+866,0 3 lb+845,7 2lb=578,15lb ¿

R⃗ y=¿−1489.6lb−715,75lb+500 lb−307,8 lb=−581,65lb ¿

4. La magnitud del vector resultante

|R⃗|=√ ( Rx )2+( Ry )2=√(578,15 )2+¿¿

|R⃗|=820,1 lb

5. La dirección del vector resultante

θ=tan−1(R y

Rx)=tan−1(−581,65578,15 )=−45,17 °

Si lo medimos desde el eje x positivo en el sentido anti horario: el vector resultante se encuen-tra en el cuarto cuadrante ya que la componente en x es positiva y la componente del eje y es negativa.

θ=360 º−45.17 º=314,82

6. Gráfica del vector resultante

Ejemplo 8: La magnitud del vector A es de 200 unidades y forma una ángulo de 300 con respecto a

la horizontal; la magnitud del vector B es de 300 unidades y forma una ángulo de 1350 con respecto a

la horizontal; la magnitud del vector C es de 150 unidades y forma un ángulo de 2350 con respecto a

AB

C

235 0

1350

300

la horizontal. Todos los ángulos son medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj. Utilizando

el método analítico, encuentre la magnitud y dirección del vector resultante:

Solución:

1. Veamos la orientación de los vectores y elijamos una escala para sus magnitudes. Ahora lle-

vémoslos a un plano

y

x

A

B

C100 200 300

100

200

-100-200

-100

-300

2. Las componentes rectangulares de los vectores son estas:

A x=A cos=200cos30 °=173.205u

A y=A sen=200 sen30 °=100u

B x=B cos=300cos135 °=−212.132u

B y=B sen=300 sen135 °=212.132u

C x=C cos=150cos235 °=−86.036u

C y=C sen=150 sen235 °=−122.872u

3. Las componentes rectangulares del vector resultante son:

R⃗ x=A x+B x+C x=173.205+ (−212.132 )+ (−86.036 )=−125.063u

R⃗ y=A y+B y+C y=100+212.132+ (−122.872 )=189.259u

4. La magnitud del vector R es:

|R|=R=√( Rx)2+( R y)

2=√(−125 .063 )2+(189.259 )2

R=R=√15640 .753+35818.96=√51459.723=226 .847u

5. Su dirección:

θ=tan−1( Ry

Rx)= tan−1(189.259−125 .063 )=tan−1(−1.5133)=−56 .5430

Ejemplo 9: Sumar los siguientes vectores:

A = 4 i + 5 j

B = 6 i + 2 j

Solución: Los vectores están en términos de vectores unitarios

R⃗=( A X î + AY ĵ )+¿ (BX î +BY ĵ )¿ ( AX +B X ) î +( AY+BY ) ĵ

¿ RX î +RY ĵ

R⃗=A⃗+B⃗= (4 i+5 j)+(6 i+2 j)R⃗=4 i+6i+5 j+6 j

R⃗=(4+6) i+(5+6) jR⃗=10i+11 j

En su forma más sencilla, es sumar todas las i

y todas las j

(operación que se puede hacer men-

talmente)

La magnitud del vector suma o resultante es:

R=R=√(10 )2+(11)2=√100+21=√121=14 .866

Su dirección:

θ=tan−1(1110 )= tan−1 (1.1)=47 .720

ASIGNACION #4Resuelve cada uno de los siguientes problemas:

1. Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la figura. Determine la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante dibujando un diagrama a escala.

2. Con los vectores A⃗ y B⃗ de la figura, use un dibujo a escala para obtener la magnitud y la dirección de a) A⃗+ B⃗ b) A⃗−B⃗c) A⃗+ B⃗+C⃗+D⃗ d)2 A⃗−B⃗+D⃗

3. Una espeleóloga está explorando una cueva y sigue un pasadizo 180 m al oeste, luego 210 m 45° al este del sur, y después 280 m 30° al este del norte. Tras un cuarto desplazamiento no medido, vuelve al punto inicial.a) Con un diagrama a escala determine la magnitud y la dirección del cuarto desplazamiento.b) por el método analítico encontrar la magnitud y dirección este desplazamiento.

4. Use un dibujo a escala para obtener las componentes x y y de los siguientes vectores. Para cada vector se dan la magnitud y el ángulo que forman, medido desde el eje + x hacia el eje +y.a) Magnitud 9.30 m, ángulo 60.0°b) magnitud 22.0 km, ángulo 135° c) magnitud 6.35 cm, ángulo 307°.

5 Calcule las componentes x y y de cada uno de los vectores de la figura del problema anterior.

6. Sea el ángulo θ el que forma el vector Ᾱ con el eje +x, medido en sentido antihorario a partir de ese eje. Obtenga el ángulo θ para un vector que tiene las siguientes componentes: a) Ax = 2.00 m, Ay = 1.00 mb) Ax = 2.00 m, Ay = 1.00 mc) Ax =- 2.00 m, Ay = 1.00 md) Ax = -2.00 m, Ay = -1.00 m.

7. Un cohete enciende dos motores simultáneamente. Uno produce un empuje de 725 N directamente hacia delante; mientras que el otro da un empuje de 513 N 32.4° arriba de la dirección hacia adelante. Obtenga la magnitud y la dirección (relativa a la dirección hacia adelante) de la fuerza resultante que estos motores ejercen sobre el cohete.

8. Un empleado postal conduce su camión por la ruta de la figura del ejercicio # 1. Use el método de componentes para determinar la magnitud y la dirección de su desplazamiento resultante. Compare el resultado con el obtenido gráficamente en el ejercicio # 1.

9. Para los vectores A y B de la figura del problema # 2, use el método de componentes para obtener la magnitud y la dirección de a) la suma vectorial A+B b) la suma vectorial B+A c) la diferencia vectorial A-B d) la diferencia vectorial B-A.

10. Calcule la magnitud y la dirección del vector representado por los siguientes pares de componentes: a) Ax= -8,6 cm, Ay= 5,2 cm; b) ) Ax= -9,7 cm, Ay= -2,45 cm c) ) Ax= 7,75 km, Ay= -2,7km.

11. Un profesor de español desorientado conduce 3.25 km al norte, 4.75 km al oeste y 1.50 km al sur. Calcule la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante, usando el método de componentes. En un diagrama de suma de vectores (a escala aproximada), muestre que el desplazamiento resultante obtenido del diagrama coincide cualitativamente con el obtenido con el método de componentes.

12. El vector A tiene componentes Ax= 1,3 cm, Ay= 2,25 cm , el vector B tiene componentes Bx= 4,1 cm, By= -3,75 cm. Calcule a) las componentes de la resultante A+B b) la magnitud y la dirección de A+B c) las componentes de la diferencia vectorial B-A d) la magnitud y la dirección de B-A.

13. Dados A=3i – j; B=−i+2 j ;C=2 i – 3 j ; D=−1/2i

Hallar gráfica y analíticamente:

a) A+B=¿ b) C – B=¿

c) 12

C=¿ d) C+2D=¿

e) 3B+A=¿ f) A+ 12

B+5D

14. Dados los vectores U (−1 ;9 ;2 ) ,V (2 ;1 ;−1);W (3 ;0 ;3) efectúa las siguientes operaciones. a¿2U –V =¿b¿3V – W =¿c ¿3U+(V +W )=¿d ¿2– (W −U )=¿e ¿ (−8u )−(−1/3)W =¿

15. El vector mide 2.80 cm y esta 60.0° sobre el eje x en el primer cuadrante. El vector mide 1.90 cm y esta 60.0° bajo el eje x en el cuarto cuadrante ver figura. Utilice las componentes para obtener la magnitud y la dirección de a) A+B b) A-B c) En cada caso, dibuje la suma o resta de vectores, y demuestre que sus respuestas numéricas concuerdan cualitativamente con el dibujo.

16. Use componentes de vectores para determinar la magnitud y la dirección del vector necesario para equilibrar los dos vectores que se muestran en la figura. Considere que el vector de 625 N está a lo largo del eje -y, y que el eje +x es perpendicular a este y va hacia la derecha.

17. En un plano vertical, dos cuerdas ejercen fuerzas de igual magnitud sobre un peso colgante, pero tiran con un ángulo de 86.0° entre sí. Que tirón ejerce cada cuerda si el tirón resultante es de 372 N directamente hacia arriba?

18. Escriba cada uno de los vectores de la figura del ejercicio # 1 en términos de los vectores unitarios î, ĵ.

19. En cada caso, encuentre la magnitud y dirección de:a) A⃗=5 î−6,3 ĵb) A⃗=11,2 î−9,91 ĵc) A⃗=−15 î +22,4 ĵd) A⃗=5B donde B=4 î−6 ĵ

20. a) Escriba cada uno de los vectores de la figura en términos de los vectores unitarios î y ĵ. b) Utilice vectores unitarios para expresar el vector C, donde C⃗=3 A⃗−4 B⃗

c) Determine la magnitud y la dirección de C.