Elementos del movimiento

Unidad 11

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Contenidos (1)

1.-   Introducción.

2.-   Magnitudes escalares y vectoriales.

3.-   Sistemas de referencia. Concepto de movimiento.

4.-   Operaciones con vectores.

5.-   Trayectoria, posición y desplazamiento.

6.-   Velocidad media e instantánea (introducción al concepto de derivada).

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Contenidos (2)

7.-  Aceleración media e instantánea.

8.-  Componentes intrínsecas de la aceleración: tangencial y normal..

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Magnitudes escalares y vectoriales

• Escalares:Escalares: quedan perfectamente definidas con una cantidad (número) y una unidad– Ejemplo: el tiempo 3 s; la masa 8 kg.

• Vectoriales (vectores):Vectoriales (vectores): Se caracterizan por:– Módulo: (cantidad y unidad). Se representa por la longitud

del vector. Es la parte escalar.– Dirección: es la recta que contiene el vector.– Sentido: indicado por la punta de la flecha.– Punto de aplicación: origen de la flecha.– Ejemplo: la posición, velocidad, fuerza...

REPASO

REPASO

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Sistema de referencia y movimiento

• Es un punto del espacio respecto al cual describimos el movimiento.

• Un objeto se encuentra en movimientomovimiento si cambia su posición respecto al sistema de referencia.

• Los sistemas de referencia cuentan a su vez con uno (x), dos (x,y) o tres ejes (x,y,z), perpendiculares entre sí, según trabajemos en una recta, en un plano, o en el espacio.

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Representación de un sistema de referencia tridimensional.

• Sobre cada eje se toma como unidad de medida los vectores unitarios (módulo igual a 1):

– i sobre el eje x– j sobre el eje y – k sobre el eje z

jx

y

z

ik

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Vectores

• Se representan con una flecha encima de la letra que utilizada para dicha magnitud.

• Se suelen expresar en forma cartesiana en donde ax, ay y az son sus componentes cartesianas:

• a = ax · i + ay · j + az · k

• A partir de ahora, los vectores los escribiremos en negrita y diferente color para mayor comodidad:

• a = ax · i + ay · j + az · k

• en donde i, j y k representan los vectores unitarios sobre los ejes x, y, z.

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• Sean dos vectores: a = ax · i + ay · j + az · ky b = bx · i + by · j + bz · k

• El vector suma vendrá dado por:a + b = (ax + bx) · i + (ay + by) · j + (az + bz) · k

• Ejemplo: Sean a = 3 i + 2 j

y b = 2 i – 3 j

a + b = (3+2) i + (2 –3) j

= 5 i – j

y

x

5

Suma de vectores

a

b

9

Cálculo del módulo de un vector.

• Sean un vector: a = ax · i + ay · j + az · k

• El módulo de a, que se representa como |a| se calcula aplicando el teorema de Pitágoras:

• ____________|a| = ax

2 + ay2 + az

2

• Ejemplo: En el vector anterior c = a + b= 5 i – j

• ____________ ____________ ___|a| = ax

2 + ay2 + az

2 = 52 + (–1)2 + 02 = 26

10

Vector Posición ( r = r) .

• Para un punto P de coordenadas (x,y)el vector posición viene dado por:

• r = x · i + y · j

r = 2 i + 2 j

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v = x · i + y · j

Representación del vector posición

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Ecuación del movimiento• A lo largo del tiempo, el móvil ocupa distintas

posiciones. En el instante t, la posición del móvil se expresa como r(t).

• La ecuación que proporciona la posición de un objeto con respecto al tiempo se llama “ecuación del movimientoecuación del movimiento”:

• r(t) = x(t) · i + y(t) · j • Ejemplo:Ejemplo: r(t) = [2t · i + (1–t) · j ] m

• En el S.I. la unidad será el m.

13

10

y

x

5

5 10

Ejercicio: Sea el movimiento definido por la si-guiente ecuación r = 2t i + 8j en unidades del S.I. Dibujar los vectores posición en los instantes 0, 2, 4 y 6 segundos.

• t (s) r (m)

• 0 8 j (0,8)

• 2 4 i + 8 j (4,8)

• 4 8 i + 8 j (8,8)

• 6 12 i + 8 j (12,8)

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Ecuaciones paramétricas.

• Son las ecuaciones que relacionan cada componente cartesiana con el tiempo.

• x = x(t); y = y(t)

• Son ecuaciones escalares (no vectores).• Ejemplo:Ejemplo: En el vector:

r(t) = [2t·i + (1–t) ·j ] m

• las ecuaciones paramétricas serían:

• x = 2t ; y = 1 – t

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Trayectoria

• Es la línea que sigue el movimiento.

• Los diferentes puntos de dicha línea se obtienen dando valores a “t” en la ecuación del movimiento (paramétricas).

x

y

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Ecuación de la trayectoria.• Se obtiene despejando el parámetro (tiempo) en

una ecuación y sustituyendo el valor en la otra.

• Es una ecuación escalar.• Ejemplo:Ejemplo: r(t) = [2t·i + (1–t) ·j] m

• x = 2t ; y = 1 – t

• t = x/2 y = 1 – x/2

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Ejercicio: Determinar las ecuaciones paramétricas y de la trayectoria del siguiente movimiento expresado por la ecuación: r(t) = [(t – 2)·i + (2t2 + 4t –3 )·j] m

• Ecuaciones paramétricas:

• x = t – 2 ; y = 2t2 + 4t –3

• Despejando “t”de la 1ª ecuación: t = x + 2

• Y sustituyendo en la segunda:

• y = 2 (x + 2)2 + 4·(x + 2) –3

• y = 2 (x 2 + 4x + 4) + 4·(x + 2) –3

• y = 2 x 2 + 8x + 8 + 4x + 8 –3

• Ecuación de la trayectoria: y = 2 x 2 + 12x + 13

18Ejercicio: Determina el valor del vector posición del vector : r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula el módulo de dichos vectores y la ecuación de la trayectoria.

Ejercicio: Determina el valor del vector posición del vector : r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m en los instantes de tiempo t = 0, 2, 4, 6 s y calcula el módulo de dichos vectores y la ecuación de la trayectoria.

t (s) r(t) (m) r(t) (m) ———

0 – 6 j (–6)2 = 6,00 ————

2 6 i + 2 j 62 + 22 = 6,32 ——————

4 12 i + 26 j 122 + 262 = 28,64 ——————

6 18 i + 66 j 182 + 662 = 68,41• Despejando “t” de x = 3 t t = x/3, y sustituyendo

en y = 2 t2 – 6 queda:

y = 2(x/3)2 – 6; y = 2xy = 2x22/9 – 6/9 – 6

19Ejercicio: Representa gráficamente la ecuación anterior: (0,–6); (6,2); (12,26); (18,66).

50

y

x

25

5 10 15

20

Vector desplazamiento (r = r) Vector desplazamiento (r = r) • Es el vector diferencia de dos vectores de posición en

dos momentos distintos.

• Sean r0 = x0 i + y0 j y r1 = x1 i + y1 j dos vectores posición.

r = r1 – r0 == (x1–x0) i + (y1–y0) j = = x i + y j

• En el S.I. la unidad será el m.

Enlace

21Ejercicio: Cuál será el vector desplazamiento y cuánto valdrá su módulo en la ecuación anterior:r(t) = 3t · i + (2t2 – 6) · j en unidades del S.I entre los instantes t = 2 s y t = 4 s.

Ejercicio: Cuál será el vector desplazamiento y cuánto valdrá su módulo en la ecuación anterior:r(t) = 3t · i + (2t2 – 6) · j en unidades del S.I entre los instantes t = 2 s y t = 4 s.

• r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) mr2 (t= 4 s) = (12 i + 26j) m

r = r2 – r1 = x i + y j + z k =• [(12 – 6) i + (26 – 2) j] m

• r = (6 i + 24 j) m• ———– ———–r= 62 + 242 m = 36 + 576 m = 24,74 m 24,74 m

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Espacio recorrido (s)Espacio recorrido (s)• Es una magnitud escalar que mide la longitud de trayectoria

recorrida.• NO hay que confundir

con el vector desplaza-miento, aunque en tra-yectorias rectilíneas yque no cambien de sen-tido el movimientos = r

• En el S.I. la unidad será el m.

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Ejemplo

• Si el final del recorrido coincide con el inicio, el desplazamiento es cero.

• • Cuando Jorge Lorenzo da

una vuelta completa al circuito de Jerez recorre una distancia de 4.423,101 m, pero su desplazamiento es cero.

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Velocidad

• Observa la siguiente tabla de datos que recoge el movimiento de un nadador y contesta: ¿Ha nadado muy rápido? ¿Ha ido siempre al mismo ritmo?

• Para contestar estas preguntas introducimos un nuevo concepto:

Longitud

recorrida

Tiempo

100 m 58 s

200 m 2 min

300 m 3 min 4 s

400 m 4 min 5 s

•Es una magnitud que estudia la rapidez con la que cambia la posición un móvil.

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Velocidad media (vm = vm)

Velocidad media (vm = vm)

• Es el cociente que existe entre el cambio de posición de un cuerpo (vector desplazamiento= r = r2 – r1) y el tiempo que transcurre hasta que se produce dicho cambio (t2 – t1).

• r x i + y j vm = — = —————

t t

• x y vm = —— i + —— j

t t

vm = vmx i + vmy j

•Supongamos un móvil que se traslada en un intervalo de tiempo, de un punto 1 hasta un punto 2, caracterizados respectivamente por los vectores de posición r1 y r2..

26Velocidad media (continuación)• El módulo del vector vm toma el valor:

————— vm= vmx

2 + vmy2

• La dirección y el sentido son los mismos que los del vector desplazamiento r ya que t es un escalar.

• NO hay que confundir vm con el escalar s/t que, en Física, llamaremos rapidez o celeridad media.

• Ni siquiera vmtiene porqué coincidir con la rapidez o celeridad media (sólo en el caso de un movimiento rectilíneo en el que el sentido no varíe)– un circuito tendrá vm = 0 ya que r = 0. Sin embargo tiene una

rapidez que viene determinada por la longitud de la pista (s) dividido por el tiempo empleado en cubrir la vuelta (t).

• En el S.I. la unidad será el m/s.

27Ejemplo2 (libro)Ejercicio: Calcular la velocidad media entre los instantes t = 2s y t = 5s, de un móvil, cuya ecuación de movimiento es: r(t) = [(2t2 – 4) · i + (1 – 4t) · j] m. Halla también su módulo.

r1 (t =2 s) = (4 i – 7 j) m

r2 (t =5 s) = (46 i – 19 j) m

r (2s5s) = r2 – r1 = (42 i – 12 j) m

r (42 i – 12 j) m vm (2s5s) = — = —————— = (14 i – 4 j) m/s

t 5 s – 2 s

————————— vm (2s5s)= (14 m/s)2 + (– 4 m/s)2 = 14,56 m/s

28

Velocidad instantánea (v = v)

Velocidad instantánea (v = v)

• Es el vector al que tiende la velocidad media cuando los intervalos de tiempo t van aproximándose a 0.

La velocidad media no ofrece demasiada información sobre el movimiento del cuerpo. ¿Y si reducimos los t? ¿De qué velocidad estamos hablando?

• r

v = lim — t0 t

• dr v = ——

dt

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Velocidad instantánea (cont.)• La dirección de v es tangente a la trayectoria en

el instante en el que calculamos la velocidad.

• El sentido es el del movimiento.

• Su módulo, es la celeridad o rapidez:

_____s | v | = —

t

30Ejemplo: Calcular la velocidad instantánea aproxima-da ( t = 0,1 s) en el instante t = 2s, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [3t i + (2t2–6) j] m

• Sea t = 0,1 s, suficientemente pequeño: deberemos conocer la posición en r1 (t =2 s) y en r2 (t =2,1 s)

• r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m• r2 (t =2,1 s) = (6,3 i + 2,82 j) mr = r2 – r1 = (0,3 i + 0,82 j) m• r (0,3 i + 0,82 j) m

vaprox (t=2 s) = — = ——————— = (3 i + 8,2 j) m/s t 0,1 s

• ————vaprox (t=2 s)= 32 + 8,22 m/s = 8,73 m/s

31

Ejercicio: Calcular la velocidad instantánea más aproximada en el instante t = 2s, así como su módulo en el movimiento: r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m• Si queremos calcular v (t=2 s) de forma más aproximada deberemos

tomar un t aún menor, por ejemplo 0,01 s, y conocer la posición en r1 (t =2 s) y en r3 (t =2,01 s).

• r1 (t =2 s) = (6 i + 2 j) m• r3 (t =2,01 s) = (6,03 i + 2,0802 j) mr = r3 – r1 = (0,03 i + 0,0802 j) m• r (0,03 i + 0,0802 j) m

vaprox (t=2 s) = — = ———————— = (3 i + 8,02 j) m/s t 0,01 s

• —————vaprox (t=2 s)= 32 + 8,022 m/s = 8,56 m/s

32Ejemplo: Calcular la expresión del vector velocidad del movimiento anterior: r(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m y la velocidad en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.

• r v = lim —

t0 t

• 3(t+t) – 3t [2(t+t)2–6 – [2t2–6] v = ————— i + ————————— j =

t t

• 3t + 3 t – 3t [2t2 + 4t t + 2(t)2–6]–[2t2–6]= —————— i + ————————————— j =

t t

• v = dr/dt = 3 i + 4t j Ecuación de la ya que t 0 velocidad

33Ejemplo (continuación): Calcular la expresióndel vector velocidad del movimiento anteriorr(t) = [3t · i + (2t2 – 6) · j] m y la velocidad en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.

• Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j

t (s) v(t) (m/s) v(t) (m/s) —

0 3 i 32 = 3 ———

2 3 i + 8 j 32 + 82 = 8’54 ———–

4 3 i + 16 j 32 + 162 = 16’28 ———–

6 3 i + 24 j 32 + 242 = 24’19

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Aceleración media (am = am)• La definición es similar a la de la velocidad, si bien tiene

un significado totalmente distinto, pues indica la variación de velocidad (en módulo o dirección) con el tiempo.

• v v - v0 am = — = ———

t t –t0

• En el S.I. la unidad será el m/s2.

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Aceleración instantánea (a = a).• v

a = lim — t0 t

• dv a = ——

dt

La dirección y el sentido de a son los mismos que los del vector incremento de velocidad v, ya que t es un escalar.

Si tomamos intervalos de tiempo cada vez más pequeños (t0), el vector aceleración media se aproxima al vector aceleración en un instante t0.

36Ejemplo: Calcular la expresión del vector acelera-ción del movimiento anterior r(t) = 3t·i + (2t2–6)·j, cuyo vector velocidad era v = 3 i + 4t j en los instantes 0, 2, 4 y 6 s así como su módulo.

• Ecuación del movimiento (de la posición): r(t) = 3t·i + (2t2–6)·j

• Ecuación de la velocidad: v = 3 i + 4t j• Ecuac. de la aceleración: a = dv/dt = 4 j

• Para todos los valores de tiempoa = 4 j m/s2, ya que se observa que a no depende de “t”.

• —a (m/s2) = 42 m/s2 = 4 m/s2

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Componentes intrínsecas de la aceleración

• Únicamente en los movi-mientos rectilíneos a tienela misma dirección y sen-tido que v. En general, atiene una dirección y sen-tido hacia dentro de lacurva, con lo que normal-mente se descompone endos vectores at (acel. tangencial) y an (acel. normal) tangente y perpendicular a la trayectoria.

38Componentes intrínsecas de la aceleración (at y an)

• a = at + an = at ·ut + an·un siendo ut y un los vectores unitarios tangente y perpendicular a la trayectoria en el punto en el que calculamos la aceleración.

• v dv v2 at=at= lim —— = —— ; an=an= —— t0 t dt R

• siendo R el radio de curvatura de la trayectoria.

• Suele llamarse v = v at= dv/dt ; an= v2/R

• ———Igualmente llamamos a = a= at

2 + an2

39Ejemplo: Un coche de carreras toma la salida en una pista circular de 1 km de radio. El módulo de la velocidad aumenta según la ecuación: v(t) = 7 t, en unidades del SI. Calcula: a)a) la aceleración tangencial; b)b) la aceleración normal y el módulo del vector a a los 6 s.

a)a) dv 7(t+t) – 7t 7t + 7 t – 7t 7 t at = —— = ————— = —————— = —— = 7 m/s2 dt t t t

aat t = 7 ut m/s2 b)b) v2 49 t2 m2·s-2

an = —— = ————— = 0,049 t2 m/s2

R 1000 m

an (t= 6 s) = 0,049 ·62 m/s2 = 1,76 m/s2 ; aan n = 1,76 un m/s2

———— —————a (t= 6) = at

2 + an2 = 72 + 1,7642 m/s2 = 7,2 m/s2