Tema 3. Magnitudes escalares y vectoriales

Algunos derechos reservados por manelzaera

Como sabes, una magnitud es todo aquello que se puede medir. Por ejemplo, la fuerza, el tiempo, latemperatura, la distancia, el ángulo, etc.

Algunas magnitudes como la masa o el tiempo no están relacionadas con la dirección y se definencon una cantidad y una unidad de medida. Por ejemplo, la masa de un cuerpo es 3 kg y sutemperatura 22ºC. A estas magnitudes las llamamos escalares.

Otros ejemplos de magnitudes escalares son: el tiempo, la energía, la carga eléctrica, la masa, etc.

Otras magnitudes como la velocidad o la fuerza no podemos describirlas con una cantidad y unaunidad de medida sino que debemos además dar información sobre la dirección y el sentido. Porejemplo, una persona camina a 6 km/h hacia el norte o una fuerza de 12 N actúa hacia abajo. Aestas magnitudes las llamamos vectoriales y las representamos mediante vectores.

Otros ejemplos de magnitudes vectoriales son: el desplazamiento, la aceleración, el momento de unafuerza, etc.

En este tema vamos a hablar de vectores: ¿qué características tienen? ¿cómo se representan? ¿cómose suman y restan? ¿qué son las componentes? ¿cómo se trabaja con vectores? ...

file:///C:/Users/Belen/Desktop/PACFI_U1_T3_contenidos/index.html

1 de 13 09/07/2012 12:51

1 Escalares y vectores

Si nos dicen que un avioneta vuela durante dos horas a 300 km/h no podemos saber en qué lugar seencontrará al cabo de ese tiempo porque no sabemos la dirección en la que ha viajado. Podríaencontrarse en cualquier punto de una circunferencia de 600 km de radio alrededor del punto deorigen.

Hay muchas magnitudes físicas, como por ejemplo la velocidad, en las que hay que especificar unadirección para describirlas completamente. Por ejemplo, si sabemos que el coche anterior se movíahacia el Norte, ya no tenemos el problema de antes.

Por supuesto hay también muchas magnitudes, como la masa, que no dependen de la dirección. Así,diciendo que la masa de un cuerpo es 24 kg describimos completamente esta magnitud.

Las magnitudes escalares se describen con un valor y una unidad.Las magnitudes vectoriales se describen usando un valor, una unidad y una

dirección.

Las magnitudes vectoriales se representan a través de vectores, que tienen las siguientescaracterísticas:

Presentación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons

Importante

file:///C:/Users/Belen/Desktop/PACFI_U1_T3_contenidos/index.html

2 de 13 09/07/2012 12:51

2 Coordenadas de un punto

Muchos aspectos de la física tienen que ver de una u otra forma con la determinación de la posiciónde un objeto. Por ejemplo, para describir matemáticamente un cuerpo en movimiento necesitamosdescribir su posición en varios instantes.

Esta descripción se logra con el uso de coordenadas, que nos permiten conocer la posición de unpunto en relación con un sistema de referencia.

Una dimensión

Imagina un cuerpo que se mueve por una recta, es decir que realiza un movimiento en unadimensión. Para determinar su posición sólo necesitamos indicar a qué distancia del origen seencuentra. Observa en el siguiente simulador que la posición del cuerpo puede ser positiva onegativa según se encuentre a la derecha o a la izquierda del orígen respectivamente.

Imagen de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons

Pulsa en la imagen para ver la simulación

Un punto en una recta podemos representarlo como P(x).

Representa en el simulador anterior los siguientes puntos:

P(3.8)P(-2.6)P(0)

Dos dimensionesSi el cuerpo que queremos estudiar se mueve en dos dimensiones, necesitamos dos coordenadaspara determinar su posición. En muchas ocasiones nos interesa utilizar un sistema de coordenadascartesianas, en el que los ejes horizontal y vertical se cruzan en un punto considerado como elorigen.

En el caso de las coordenadas cartesianas se utiliza la notación P (x,y) es decir, las distancias a losdos ejes acompañadas de los signos (+) ó (-). Por ejemplo P (3,-5)

A veces es más conveniente para describir un punto en un plano representarlo como P (r, ). Eneste sistema de coordenadas polares, r es la distancia desde el origen hasta el punto que tienecoordenadas cartesianas (x, y), y es el ángulo entre r y la parte positiva del eje horizontal. Elsistema de coordenadas polares nos puede facilitar, por ejemplo, el estudio del movimiento de un

file:///C:/Users/Belen/Desktop/PACFI_U1_T3_contenidos/index.html

3 de 13 09/07/2012 12:51

objeto que gira.

Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons

Verdadero Falso

El valor de la coordenada y de todos los puntos situados en el eje X es cero.

AV - Pregunta Verdadero-Falso

AV - Pregunta de Elección Múltiple

file:///C:/Users/Belen/Desktop/PACFI_U1_T3_contenidos/index.html

4 de 13 09/07/2012 12:51

P (5.65 , 45º)

P (3 , 6º)

Tres dimensiones

En el caso de un cuerpo que siguiera una trayectoria de tres dimensiones, necesitaríamos trescoordenadas para determinar su posición en un instante dado.

También en este caso se pueden utilizar coordenadas polares y coordenadas cartesianas. En elsiguiente simulador puedes ver un sistemas de ejes cartesianos tridimensional:

Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons

Por lo tanto un punto en el espacio podemos representarlo mediante sus coordenadasperpendiculares como P(x,y,z).

file:///C:/Users/Belen/Desktop/PACFI_U1_T3_contenidos/index.html

5 de 13 09/07/2012 12:51

3 Componentes de un vector

Como has visto en el apartado anterior un punto puede representarse con una, dos o trescoordenadas según el sistema de referencia que estemos usando.

Si trazamos un vector desde el origen de coordenadas hasta nuestro punto obtendríamos lo que sellama el vector de posición del punto.

Según estuviéramos en un sistema de referencia de una, dos o tres dimensiones nuestro puntoquedaría definido por una, dos o tres componentes.

Lo más habitual en este curso es que estudiemos fenómenos físicos que tienen lugar en la recta o enel plano, por lo que nos vamos a centrar en el estudio de las componentes de un vector en dosdimensiones.

Cualquier vector en un plano puede ser considerado como resultado de la suma de dos vectores,cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados. En el siguiente simulador puedes

observar que cualquier vector puede descomponerse en sus componentes y demanera que la suma vectorial de estas dos componentes es el vector :

Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons

Expresión mediante vectores unitarios.

Matemáticamente nos resulta más cómodo expresar los vectores situados sobre los ejes de

referencia como un múltiplo de los vectores , y que son los vectores unitarios (de valor 1)en los ejes , y .

De esta forma resulta muy fácil describir los vectores:

El vector es un vector en el eje cuya componente x es +3.

El vector es un vector en el plano con componente x = +2 y componente y = -5.

El vector es un vector en el espacio con componente x = -4 , componente y =

file:///C:/Users/Belen/Desktop/PACFI_U1_T3_contenidos/index.html

6 de 13 09/07/2012 12:51

+3 y componente z = +1.

En la figura están representados los vectores , , , y . Exprésaloscomo suma de sus componentes utilizando los vectores unitarios.

Gráfico de elaboración propia

file:///C:/Users/Belen/Desktop/PACFI_U1_T3_contenidos/index.html

7 de 13 09/07/2012 12:51

4 Módulo de un vector

Recuerda que el teorema de Pitágoras establece la relación que existe entre los lados de un triángulorectángulo.

Observa que en un sistema de ejes cartesianos cualquier vector es la hipotenusa de un triángulorectángulo en el que los catetos son sus dos componentes y por lo tanto podemos utilizar el teorema

de Pitágoras para calcular el módulo del vector a partir de sus componentes (las dos líneasverticales se utilizan para indicar que se trata del módulo, es decir de la longitud del vector.

Utiliza el siguiente simulador moviendo el extremo del vector para observar cómo se calcula elmódulo de un vector.

Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons

¿Qué valor tiene el módulo del vector ?

AV - Pregunta de Elección Múltiple

file:///C:/Users/Belen/Desktop/PACFI_U1_T3_contenidos/index.html

8 de 13 09/07/2012 12:51

5 Operaciones con vectores

Imagen de elaboración propia

¿Cómo será el efecto combinado si aplicamos simultáneamente sobre un cuerpo una fuerza hacia elnorte y otra hacia el este?

El resultado será como si aplicásemos una sola fuerza equivalente a la suma vectorial de las dosfuerzas originales.

Hay muchas operaciones que se pueden hacer con vectores, pero en este apartado vamos aaprender a sumarlos, a restarlos y a multiplicarlos por un número.

file:///C:/Users/Belen/Desktop/PACFI_U1_T3_contenidos/index.html

9 de 13 09/07/2012 12:51

5.1 Suma de vectores

Podemos sumar vectores de dos maneras: matemáticamente o gráficamente.

Supongamos que tenemos los vectores y .

Para conocer el vector suma sólo tenemos que sumar, respectivamente, las componentes Xy las componentes Y:

Si tenemos más de dos vectores procedemos de la misma forma. Por ejemplo vamos a sumar los

vectores , , y :

Para sumar vectores gráficamente utilizamos la llamada regla del paralelogramo:

Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons

La regla del paralelogramo consiste en trazar por el extremo de cada vector que queremos sumaruna paralela al otro vector con lo que la resultante es el vector que une el origen de coordenadas conel punto de corte de las dos paralelas que hemos trazado.

Observa que la regla del paralelogramo es equivalente a unir elorigen de un vector con el extremo del otro. Cuando tenemosmás de dos vectores para sumar gráficamente, es mejor haceresto último.

Como ves en la figura de la izquierda, si hacemos coincidir elextremo de un vector con el origen del siguiente, el vectorresultante tiene su origen en el origen del primero y su extremoen el extremo del último.

file:///C:/Users/Belen/Desktop/PACFI_U1_T3_contenidos/index.html

10 de 13 09/07/2012 12:51

Imagen de elaboración propia

Escribe el vector suma de los vectores , y

file:///C:/Users/Belen/Desktop/PACFI_U1_T3_contenidos/index.html

11 de 13 09/07/2012 12:51

5.2 Resta de vectores

Vamos a considerar los vectores y .

Si queremos calcular el vector diferencia lo que hacemos es cambiar de signo el vector quequeremos sustraer y luego los sumamos tal como has visto. Por ejemplo:

En el siguiente simulador puedes ver cómo se hace gráficamente la resta de dos vectores:

Simulación de Jesús Peñas bajo licencia Creative Commons

Tenemos los vectores y . Calcula la diferencia de y

la diferencia

file:///C:/Users/Belen/Desktop/PACFI_U1_T3_contenidos/index.html

12 de 13 09/07/2012 12:51

5.3 Producto de un vector por un escalar

Cuando multiplicamos un vector por un número,el resultado es otro vector con la misma direcciónque el original y con un módulo igual al productodel módulo del vector original por el número.

Supón que tenemos el vector . Si loqueremos multiplicar por 3, multiplicamos ambascomponentes por 3:

Observa que ambos vectores tienen la mismadirección y que el módulo del vector es tresveces mayor que el módulo del vector .

Imagen de elaboración propia

En general, si multiplicamos un vector por un escalar , nos resulta un vector que podemosexpresar como:

El módulo de este vector será el resultado de multiplicar el vector por el escalar :

También puedes comprobar que la pendiente es la misma para los vectores y

, es decir que ambos tienen la misma dirección.

file:///C:/Users/Belen/Desktop/PACFI_U1_T3_contenidos/index.html

13 de 13 09/07/2012 12:51