VECTORES

REPRESENTACIÓN DE FUERZASHay dos tipos de magnitudes: ESCALARES y VECTORIALES

Las magnitudes ESCALARES quedan determinadas mediante una cantidad y su unidad correspondiente:

L (Longitud) = 12’35 m m (Masa) = 5’678 kg d (Densidad) = 3’4 g/cm3

Las magnitudes VECTORIALES necesitan de otras características más:velocidad, aceleración, fuerzas, etc. Por ello, se representan mediante VECTORES (segmentos de recta que están orientados). Encima del símbolo de la magnitud dibujaremos una pequeña flecha para indicar que se trata de una magnitud vectorial:

v

v

F a

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR

Las características de un vector son cuatro:

MÓDULO

DIRECCIÓN

SENTIDO

PUNTO DE APLICACIÓN

MÓDULO

El MÓDULO viene dado por la longitud de la flecha. El módulo es proporcional a la intensidad de la fuerza.

Al representar las fuerzas usaremos una escala similar a la utilizada en los mapas, por ejemplo, 1 centímetro en el papel equivaldrá a 1 Newton de fuerza (1 cm:1 N).

3 cm

Escala Þ 1 cm : 2 N

3 cm . 2 N = 6 N

1 cm

DIRECCIÓN

La DIRECCIÓN es la recta sobre la que se aplica la fuerza. Viene expresada por el ángulo que forma la recta con la horizontal: 0º (horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º, etc.

45º

- 100º = 260º

120º

- 30º = 330º

!OJO! En el S.I. la unidad de ángulo es el RADIÁN:

2π rad = 360º; π rad = 180º; π/2 rad = 90º, etc.

SENTIDO

El SENTIDO indica hacia dónde se aplica la fuerza. En una misma dirección existen dos sentidos posibles.

45º

Sentido hacia arriba, hacia la derecha o ascendente

Sentido hacia abajo, hacia la izquierda o descendente

PUNTO DE APLICACIÓNEl PUNTO DE APLICACIÓN es el punto del espacio en que se aplica la fuerza. Esto es importante, pues los efectos que producen las fuerzas dependen en muchos casos del punto de aplicación.

Luna Tierra,F

TierraLuna,F

FLuna, Tierra = FTierra, Luna

Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero difieren en su PUNTO DE APLICACIÓN.

TRIGONOMETRIA

• Trigonometría se refiere a la medida de los lados y los ángulos de un triángulo.– Aplicaciones de la TRIGONOMETRIA: topografía,

navegación e ingeniería.

• Podemos desarrollar el tema

de trigonometría por medio de

dos enfoques, éstos son:– El círculo– El triángulo rectángulo

Trigonometría

Enfocada por medio del

TRIANGULO RECTANGULO

Triángulo Rectángulo

Triángulo

rectángulo

hipotenusa

catetosCaracterística principal de un triángulo rectángulo es que uno de sus ángulos mide 900

Observaciones importantes sobre los triángulos

rectángulos.

Un triángulo consta de tres lados y de tres ángulos.

La suma de los tres ángulos es 1800

La suma de la longitud de cualquiera de dos de los lados del triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

Sea c la hipotenusa, a y b los catetos, entonces c2 = a2 + b2

Los ángulos se nombran con letras para identificarlos. Algunas de las letras que utilizamos son del alfabeto griego como por ejemplo;

“gamma”; “alpha” ; “betha”

• Podemos relacionar los lados de un triángulo rectángulo con sus ángulos por medio de las relaciones trigonométricas.

• Por medio de éstas relaciones trigonométricas podemos hallar información sobre ya sea un lado o un ángulo que desconocemos del triángulo.

• Las relaciones trigonométricas son seis, tres de ellas son fundamentales ya que dan origen a las otras.

RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA UN TRIANGULO RECTANGULO

Relaciones básicasRelaciones recíprocas

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

tangente

coseno

opuestolado

hipotenusa

senecante

1

cos

adyacentelado

hipotenusa

enoante

cos

1sec

opuestolado

adyacenteladoangente

tan

1cot

Relaciones trigonométricas de un triángulo rectángulo

• Las tres funciones trigonométricas básicas para el ángulo

Lado adyacente a “gamma”

Lado opuesto a “gamma”

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

tangente

coseno

EJEMPLO 1

3

4 tangente

5

3 coseno

5

4

adyacentelado

opuestolado

hipotenusa

adyacentelado

hipotenusa

opuestoladoseno

5

2591634 22

22

c

c

bac

HIPOTENUSALADEMEDIDA

4

3

4

51cos

senecante

3

5

cos

1sec

enoante

4

3

tan

1cot

angente

Continuación EJEMPLO 1

33.13

4 tangente6.0

5

3 coseno8.0

5

4 seno

4

3

25.14

5cos ecante 67.1

3

5sec ante 75.

4

3cot angente

Podemos utilizar cualquiera de los valores anteriores para determinar la

medida del ángulo Veamos el siguiente ejemplo

4

3Hallar la medida del ángulo indicado.

La razón seno es .8 , si necesito hallar la medida de y

conozco el valor de seno , la función inversa de seno me permite encontrar el valor de de la siguiente forma:

)8(.,8. 1 senoentoncessenoSi

Calcula una de las relaciones trigonométricas según la información que te provea el ejercicio.

8.05

4seno

)8(.

,8.

1

seno

entonces

senoSi

CALCULAR LA INVERSA DE SENO

Utilizaremos la calculadora

ENTRADA EN LA CALCULADORA

.8 SEN-1 =

Presenta la respuesta en :

Grados___

ENTRADA EN LA CALCULADORA

.8 SEN-1 =

Pantalla

Grado53.13

Recuerda escoger en tu calculadora la unidad de medida para el ángulo, (grados o radianes) antes de hacer los cómputos.

4

3

Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.

PRACTICA 1

1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para

2. Halla el valor de , en grados utilizando la relación coseno.

3. Halla el valor de , en grados utilizando la relación tangente.

Respuestas -PRACTICA 1

1. Calcula las seis relaciones trigonométricas para

75.4

3 tangente

8.5

4 coseno

6.5

3

seno67.1

3

5cos ecante

25.14

5sec ante

33.13

4cot angente

2. Halla el valor de , en grados, utilizando la relación coseno.

87.366435.

)8(.1

cos8.5

4 coseno

gradosradianes

eno

3. Halla el valor de , en grados, utilizando la relación tangente.

087.366435.

)75(.1

tan;75.4

3 tangente

gradosradianes

Compara las relaciones trigonométricas seno y

coseno de y

8.5

4 coseno

6.5

3

seno

= 36.870=53.130

6.05

3 coseno

8.05

4

seno

La suma de y es 900

Por tanto y son ángulos complementarios.

Sean y dos ángulos complementarios, entonces, encontramos las siguientes relaciones:

cottan

seccsc

cos

sen

cottan

seccsc

cos

sen

Utiliza la información de la siguiente figura para contestar las siguientes preguntas.

PRACTICA 2

1`. Halla el valor de , en grados.

2. Halla el valor de , en grados.

2

2

3

Respuestas -PRACTICA 2

1. Halla el valor de , en grados y en radianes.

11.498571.

)1547.1(1

tan1547.13

2 tangente

gradosradianes

gente

2. Halla el valor de , en grados y en radianes.En la forma corta tenemos que + = 90,Por lo tanto = 90 - = 90-49.11=40.89

Utilizando las relaciones trigonométricas tenemos

89.407137.

)866(.1

tan866.2

3 tangente

gradosradianes

gente

Observación

Si conozco dos de los lados de un triángulo rectángulo puedo hallar la medida de sus ángulos.

Ejemplo 2

Halla la medida de la hipotenusa del siguiente triángulo.

40

12

12 es la medida del lado opuesto a 40 grados

12 es la medida del lado adyacente de 50 grados

668.186428.

12

126428.

1240

xx

xparadespejamosx

xseno

668.186428.

12

126428.

1250cos

xx

xparadespejamosx

xeno

ó

Como 40 y 50 son complementarios entonces seno 40=coseno 50

PRACTICA 1

Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo

30

25b

a

Respuestas-PRACTICA 1

Halla la medida de los dos catetos del siguiente triángulo

30

25b

a

5.12)25)(5(.

2525.

2530

b

bparadespejamos

b

bseno

65.21)25)(87(.

2587.

2530cos

b

bparadespejamos

a

aeno

FUERZA RESULTANTEA menudo ocurre que dos o más fuerzas actúan sobre

un cuerpo. Piensa, por ejemplo, en dos caballos que tiran de un carro. En este caso, cuando dos o más fuerzas actúan a la vez, sus efectos se suman.

En otras ocasiones, los efectos se restan, por ejemplo, dos niños disputándose un paquete de chucherías.

El conjunto de las fuerzas se puede sustituir entonces por una sola fuerza llamada FUERZA RESULTANTE.

1F

?

COMPOSICIÓN DE FUERZASA continuación estudiaremos la manera de calcular la

fuerza resultante para el caso de varias fuerzas aplicadas en la misma dirección y para el caso de fuerzas aplicadas en direcciones diferentes. Es lo que se denomina COMPOSICIÓN DE FUERZAS.

Vamos a distinguir varias situaciones:

a) Misma dirección

a.1) Mismo sentido

a.2) Sentidos contrarios

b) Distinta dirección

b.1) Perpendiculares

b.2) No perpendiculares

c) Paralelas

c.1) Igual sentido

c.2) Sentidos contrarios

Para componer dos o más fuerzas existen dos métodos, aunque no siempre aplicaremos ambos. Son:

Gráfico

Se colocan las fuerzas una a continuación de la otra respetando sus correspondientes direcciones y sentidos (“se transportan”). La resultante será el vector determinado por el punto de aplicación inicial y el extremo del último vector dibujado. Cuando se aplica a dos vectores se le suele llamar también “método del paralelogramo”; para más de dos vectores, “método del polígono”. Seguro que eres capaz de deducir el porqué…

COMPOSICIÓN DE FUERZAS

Resultante R

Numérico

Dependiendo de las direcciones y sentidos de las fuerzas a componer tendremos que sumar los módulos, restarlos o realizar operaciones más complejas.

a) Misma direccióna.1) Mismo sentido: se suman los módulos de los vectores a componer.

1F

2F

1F

2F

F1

2F

R

Numéricamente:R = F1 + F2

a) Misma dirección

a.2) Sentidos contrarios: se restan los módulos de los vectores a componer.

1F

2F

1F

2F

Numéricamente:R = F1 - F2

F1

2F

R

b) Distinta dirección

1F

22

21

2 F F R

b.1) Perpendiculares: se aplica el método gráfico y usamos el teorema de Pitágoras sobre el triángulo que determinan los dos vectores y su resultante. Obviamente, el triángulo es rectángulo (para los despistados).

2F

1F

2FR

RF

sen 2

F1

RF2 R

F cos 1

1

2

1

2

FF

R / FR / F

cos sen

tg

1

2

FF

arctg

b) Distinta dirección

1F

b.2) No perpendiculares: se aplica el método gráfico exclusivamente. El método numérico se dejará para cursos más avanzados.

2F

R

1F

2F

En caso que hubiera que componer más de un vector, lo haríamos sucesivamente, uno a uno:

Resultante R

c) Paralelasc.1) Igual sentido (paralelas)

d

Punto de aplicación de la resultante

xd -x

1F

2F

1F

2F

1F

2F

1F

2F

R

Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la resultante son iguales:

F1 · (d – x) = F2 · xPor otro lado, el módulo de la resultante es la suma de los módulos de las dos fuerzas:

R = F1 + F2

c) Paralelasc.2) Sentidos contrarios (antiparalelas)

d

Punto de aplicación de la resultante 1F

2F

Numéricamente se debe cumplir la llamada “Ley de la palanca” según la cual Los productos de cada fuerza por la distancia a la resultante son iguales:

F1 · (d + x) = F2 · x

Por otro lado, el módulo de la resultante es la diferencia de los módulos de las dos fuerzas:

R = F2 - F1

Siempre se restará la menor a la mayor.

1F

2F

2F

1F

R

2F

1F

xd

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZASDescomponer un vector consiste en encontrar otros vectores (normalmente dos) cuya composición nos de el vector inicial. Esencialmente, es el proceso contrario al de la composición. Veamos algunos ejemplos:

1F

2F

F

Aunque hay otras posibilidades:

F

F

1F

2F

Y otra más:

F

F

1F

2F

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZASEntonces, ¿cuál es la forma correcta de descomponer un vector? Pues todas. En realidad hay infinitas maneras de descomponer un vector y todas son correctas pues cumplen la definición de descomposición vectorial.Nosotros vamos a estudiar una llamada DESCOMPOSICIÓN NORMAL, en la que los vectores obtenidos (componentes), son perpendiculares entre sí.

2y

2x

2 F F F

F

F α sen y

Fx

FFy

F

x

yF

yF

xF x

F

yF

xF

y

Fx = componente x

De forma que…

F·senF y

FF

cos x F·cosF x

Fy = componente y

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS

Vamos a ver ahora una aplicación práctica de la descomposición de vectores: el desplazamiento sobre un plano inclinado.

Nos centraremos, concretamente, en la descomposición de la fuerza-peso. Esta fuerza tiene dos efectos sobre el cuerpo que se desplaza: lo mantiene en contacto con la superficie del plano inclinado y lo empuja hacia abajo.

Cada uno de estos dos efectos es debido a las dos componentes de la fuerza-peso:

x

y

xP

yP

P

PP

sen X α P·senP x

P

P cos y P·cosP y

Py = componente normal del peso

Px = componente tangencial del peso

yP

P

xP

yP

P

xP

yP

PxP

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS

F

N 3.613 3 2F F F 222y

2x

En Matemáticas podemos también identificar vectores, componerlos y descomponerlos usando coordenadas cartesianas:

y

x1 2 3 4 5 6

5

4

3

2

1

(2,3) F

1F

y

x1 2 3 4 5 6

5

4

3

2

12F

(2,3) F1

(4,1) F2

1.523

F

F tg

x

y

)F,F( F yx

xF

yF

(2,0) Fx

(0,3) Fy

56.3º 1.5 arctg

Para componer dos vectores a partir de sus cordenadas cartesianas:

R

(4,1) (2,3) R

21 FF R

(6,4) R

0.6764

tg 33.7º 0.67 arctg

N 7.252 46F F F 222y

2x