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MÓDULO 1 VECTORES

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MÓDULO 1VECTORES

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CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES

Definición de vector Cantidades escalares Cantidades vectoriales

ÁLGEBRA VECTORIAL Sistemas de referencia Igualdad entre vectores Múltiplos de un vector Adición de vectores Productos vectoriales

VECTORES

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Cantidades vectoriales

CANTIDADES VECTORIALES

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ESCALARCantidades que pueden caracterizarse

exclusivamente con un número

CANTIDADES ESCALARES

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VECTORSegmento de línea dirigido.

CANTIDADES VECTORIALES

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SISTEMAS DE REFERENCIA

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SISTEMAS DE REFERENCIA

0-1 654321-3 -2-4-5-6

-4/3 2

Sistema de referencia en una dimensión:

Recta R1

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SISTEMAS DE REFERENCIA

Sistema de referencia n dimensiones:n Rectas Rn

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SISTEMAS DE REFERENCIA

Sistema de coordenadas rectangulares:Los ángulos entre los ejes coordenados son de 90°

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SISTEMAS DE REFERENCIA

2 Dimensiones: R

Coordenadas cartesianas

2

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SISTEMAS DE REFERENCIA

22 Dimensiones: R

Coordenadas polares

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SISTEMAS DE REFERENCIA

Coordenadas polares Coordenadas cartesianas

x = cos y = sen

= [x + y ] = tan (y/x)

1/22 2

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SISTEMAS DE REFERENCIA

33 Dimensiones: R

Coordenadas cartesianas

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SISTEMAS DE REFERENCIA

3

3 Dimensiones: R

Coordenadas cilíndricas

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SISTEMAS DE REFERENCIA

3

3 Dimensiones: R

Coordenadas esféricas

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SISTEMAS DE REFERENCIA

Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas

x = cos y = sen z = z

= [x + y ] = tan (y/x) z = z

1/22 2

Coordenadas cartesianas Coordenadas esféricas r = [x + y + z ] = tan (y/x) = z / [x + y + z ]

1/22 22

1/22 22

x = r cos sen y = r sen sen z = r cos

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IGUALDAD ENTRE VECTORES

A = B

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PRODUCTO POR ESCALAR

x A = B 2 A = B

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PRODUCTO POR ESCALAR

(-1) A = - A

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x ( yA ) = (xy) A = xy A (x + y) A = xA + yA0A = 0(-1)A = -AA / |A| = A

Propiedades

PRODUCTO POR ESCALAR

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VECTORES UNITARIOS

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VECTORES UNITARIOS

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ADICIÓN DE VECTORES

= - 35 - 8

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ADICIÓN DE VECTORES

A + B

A B

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ADICIÓN DE VECTORES

C = A + B

C = A + B – 2 AB cos 2 2 2

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ADICIÓN DE VECTORES

C = aA + bB A y B vectores base

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ADICIÓN DE VECTORES

C = A – B = A + (– B)

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ADICIÓN DE VECTORES

A + B = B + A(A + B) + C = A + (B + C) 0 + A = AA + -A = 0x (A + B) = xB + xA

Propiedades

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ADICIÓN DE VECTORES

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ADICIÓN DE VECTORES

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ADICIÓN DE VECTORES

r = x i + y j + z k Vector de posición

i, j, k Base canónica

A = Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + By j + Bz k

A + B = (Ax+ Bx)i + (Ay+ By) j + (Az+ Bz) k

Suma por componentes

C = Cx i + Cy j + Cz k

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ADICIÓN DE VECTORES

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ADICIÓN DE VECTORES

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PRODUCTOS VECTORIALES

A x B = A veces B = B veces A

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PRODUCTOS VECTORIALES

3 x 2 = 3 veces 2

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PRODUCTOS VECTORIALES

3 x 2 = 2 x 3 = 2 veces 3

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PRODUCTOS VECTORIALES

Producto Escalar Producto Punto

Producto Interno

A B = AB cos AB cos B A . .

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PRODUCTOS VECTORIALES

Producto entre vectores unitarios

i i = (1)(1) cos .

j j = (1)(1) cos .

k k = (1)(1) cos .

i j = (1)(1) cos .

j k = (1)(1) cos .

k i = (1)(1) cos .

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PRODUCTOS VECTORIALES

A = Ax i + Ay j + Az k

B = Bx i + By j + Bz k

A B = (Ax i + Ay j + Az k) (Bx i + By j + Bz k)

(Ax i) (Bx i + By j + Bz k)+ (Ax j) (Bx i + By j + Bz k)+ (Ax k) (Bx i + By j + Bz k)

Producto escalar

. .

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PRODUCTOS VECTORIALES

A B = (Ax i) (Bx i) + (Ax i) (By j) + (Ax i) (Bz k)+

(Ay j) (Bx i) + (Ay j) (By j) + (Ay j) (Bz k)+

(Az k) (Bx i) + (Az k) (By j) + (Az k) (Bz k)+ = (Ax Bx) + (Ay By) + (Az Bz)

. . .... .. ..

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PRODUCTOS VECTORIALES

Propiedades

A B = B A A (B + C) = A B + A Cm (A B) = (m A) B = A (m B) = (A B) m A A = A = Ax + Ay + Az |A | = (A A)A B = 0 A B

.

.. . .. . . .

.

..

2 2 2 2

1/2

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PRODUCTOS VECTORIALES

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PRODUCTO VECTORIAL

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PRODUCTO VECTORIAL