factorizacion

TALLER DE FACTORIZACION

LUIS MANUEL GARCÍA REALES

Universidad del Quindío Facultad de Ciencias Humanas y Bellas Artes

Ciencia de la Información y la Documentación, Bibliotecología y Archivística Metodología y Estrategias EAD/Virtual

Bogotá D.C. 2014

FACTORIZACION FACTORIZACIÓN Competencia Utilizar adecuadamente las

expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos. Resuelve expresiones algebraicas utilizando las propiedades y operaciones algebraicas

Indicadores de logro Factoriza expresiones con base en los casos desarrollados

Conocimientos previos Para afrontar el tema de factorizaciones preciso tener conocimientos fuertes de los productos notables y haberse ejercitados eficientemente mediante la realización de ejercicios. Adicionalmente se requiere tener conocimientos, habilidades y destrezas en: Operaciones con los Conjuntos Numéricos Propiedades de las operaciones de los Conjuntos Numéricos- Expresiones algebraicas y polinomios

FACTORIZACION

Justificación En muchas situaciones se presentan problemas que conducen al planteamiento de ecuaciones, como movimiento parabólico en física, problemas de utilidad en economía, diseño y construcción de estructuras ingenieriles, entre otros, para las cuales es necesario encontrar raíces o soluciones y una manera de encontrar esas raíces es aplicar procesos de factorización a los polinomios asociados a estas ecuaciones. Igualmente la factorización permite realizar simplificaciones y reducción a mínimas expresiones, lo que hace menos engorrosas las derivadas y las integrales en cálculo.

FACTORIZACION Factor común monomio Resulta cuando el factor común de todos los

términos del polinomio es un monomio.

Ejemplo: Factorizar : 4ax3 - 2x2 = 2x2(2ax – 1) Vemos como 2 y x2 están multiplicando en ambos términos, por lo tanto 2x2 sale como factor común: 4ax3 - 2x2 = 2x2(2ax – 1) Recordar y repasar: El término 2x2 es el Máximo Común Divisor (MCD) de los dos términos

Factor común polinomio Resulta cuando el factor común que aparece es un polinomio. Normalmente hay que hacer la agrupación debida para obtenerlo.

Ejemplo : Factorizar a(x + 3) + b(x + 3) Vemos como (x + 3) está multiplicando en ambos términos [tanto a a como a b], por lo tanto (x + 3) sale como factor común: a(x + 3) + b(x + 3) = (x + 3)(a + b)

FACTORIZACION Ejemplo : Factorizar: ax + bx + aw + bw Agrupamos (ax + bx) + (aw

+ bw) Sacamos factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b)Nos quedó factor común polinomio: (a + b) x(a + b) + w(a + b) Luego se divide : Por lo tanto: ax + bx + aw + bw = (a + b)(x + w)

11. Ejemplo: Factorizar: 2a2 + 4a – 8b – 4abPor observación agrupamos: ( 2a2 – 4ab ) + ( 4a – 8b )En cada binomio hay factor común: 2a(a – 2b) + 4(a – 2b)Resulta un factor común polinomio: (a – 2b) 2a(a – 2b) + 4(a – 2b) Luego se divide: Por lo tanto: 2a2 – 4ab + 4a – 8a = (a – 2b)(2a + 4)

FACTORIZACION Factorizar un Binomio de la forma: xn ± yn. 3.1 Factorizar la

diferencia de dos cuadrados. Por multiplicación se obtiene: (a + b)(a - b) = a2 - b2. Recíprocamente, se puede escribir: a2 - b2 = (a + b)(a - b). Por lo tanto la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus raíces cuadradas por su diferencia.

Ejemplos: Factorizar las expresiones siguientes:9x2 – 16y2 = (3x)2 - (4y)2 = (3x + 4y)(3x – 4y) (7a + 3)2 - (5a - 4)2 = (7a + 3 + 5a - 4)(7a + 3 – 5a + 4) = (12a - 1)(2a + 7).

Factorizar de la suma de dos cubos. Del producto notable:(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 + b3,se deduce bilateralmente: a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2).La suma de los cubos de dos términos es igual a la suma de las raíces cúbicas de esos términos por el cuadrado imperfecto de la diferencia.

Ejemplo. Factorizar:27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3 = (3x + 2y)(9x2 - 3x·2y + 4y2) = (3x + 2y)(9x2 - 6xy + 4y2

FACTORIZACION

Factorizar de la diferencia de dos cubos. Similar que para la suma de dos cubos, del producto notable:(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 - b3se obtiene inversamente: a3- b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).

La diferencia de los cubos de dos términos es igual a la diferencia de las raíces cúbicas de esos términos por el cuadrado imperfecto de la suma.

Ejemplo. Factorizar: 125a3 - b3c3 125a3- b3c3= (5a)2 - (bc)2= (5a - bc)(25a2 + 5a·bc +b2c2) = (5a - bc)(25a2 + 5abc + b2c2)

FACTORIZACION Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP)Un trinomio cuadrado perfecto es un

trinomio en el que dos de sus términos son positivos y son cuadrados perfectos y el tercero corresponde al doble producto de las raíces cuadradas de los términos positivos. ¡Recuerda! Una cantidad es un cuadrado perfecto si corresponde al cuadrado de otra cantidad.

Regla para factorizar un TCP:

1. Se ordena el trinomio por potencias descendentes de la letra principal.

2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos del trinomio.

3. Se calcula el doble de la primera raíz por la segunda y se compara con el término de la mitad del trinomio.

Si el resultado es igual, los dos términos del binomio se separan por el signo del segundo término y el binomio que se forma se eleva al cuadrado.

FACTORIZACION

Descomposición factorial de una expresión algebraica que combina un trinomio cuadrado con perfecto con una diferencia de cuadrados (caso especial). Se ilustra con varios ejemplos resueltos cómo expresar un polinomio que contiene un trinomio cuadrado perfecto y una diferencia de cuadrados como el producto de factores.

Lo primero que debe hacerse es identificar si se tiene un trinomio cuadrado perfecto y agrupar para factorizarlo. Luego con lo que queda se debe verificar que se tenga una diferencia de cuadrados para poder factorizar la expresión completa.

FACTORIZACION

Teniendo en cuenta estos procedimientos, el método para factorizar una expresión algebraica combinando ambos casos es el siguiente: Lo primero que debemos hacer es identificar si se tiene un trinomio cuadrado perfecto y agruparlo para factorizarlo. Luego con la expresión resultante se debe verificar que se tenga una diferencia de cuadrados para poder factorizar la expresión completa, para ver de manera más clara como se aplica este método se propone resolver el siguiente problema:

Factorizar la siguiente expresión: a^2+2ab+b^2-x^2, para resolver este problema, vemos que lo primero que debemos hacer es identificar el trinomio cuadrado perfecto, agruparlo y factorizarlo, en nuestro caso vemos que a^2+2ab+b^2 es un trinomio cuadrado perfecto, factorizando este trinomio, la expresión algebraica queda de la siguiente manera: a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2-x^2, vemos que esta nueva expresión es una diferencia de cuadrados que se puede factorizar entonces de la siguiente manera: a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2-x^2=(a+b+x)(a+b-x).

EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION 1-Polinomio

1) X 4 − 16

X 4 − 16 = (x2 + 4) · (x2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x2 + 4)

Las raíces son X = −2 y X = 2

2x3 − 7x2 + 8x − 3

P(1) = 2 · 13 − 7 · 12 + 8 · 1 − 3 = 0

EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION (x −1) · (2x2 − 5x + 3)

P(1) = 2 · 1 2 −5 · 1 + 3 = 0

(x −1)2 · (2x −3) = 2 (x − 3/2) · (x −1)2

Las raíces son: x = 3/2 y x = 1

EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION

2) x3 − x2 − 4

{±1, ±2, ±4 }

P(1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0

P(2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0


3) (x − 2) · (x2 + x + 2 )

x2 + x + 2 = 0

(x − 2) · (x2 + x + 2 )

Raíz: x = 2.


2) MONOMIOS

1) x(x)^2 +x = x(x +1)

Factor común: x porque x(x) = x^2 y x(1) = x

–> la solución es: x(x +1)

2) 3a^3 -a^2 = a^2(3a -1)

Factor Común: a^2 porque a^2(3a) = 3a^3 y a^2(-1) = -a^2

–> la solución es: a^2(3a -1)

3) x^3 -4x^2 = x^2(x -4)

Factor común: x^2 porque x^2(x) = x^3 y x^2(-4) = -4x^2

–> la solución es: x^2(x-4)


3) BINOMIOS

1) Factorizar el monomio 24xy3z2.

–> la solución es: 24xy3z2 = 2 • 2 • 2 • 3 • x • y • y • y • z

2) Factorizar el monomio -35a3b.

–> la solución es: -35a3b = -1 • 5 • 7 • a • a • a • b

3) Encontrar los factores de x2 - 9.

–> la solución es: x2 - 9 = (x + 3)(x - 3)

EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION 4) Suma de dos cubos y Trinomio perfecto cuadrado

1) Se puede expresar como 9x2 como 9x2= (3x)(3x)

2) x4 se puede descomponer como x4=(x2 )(x2)

3) Un trinomio es cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio, o el producto de dos binomios iguales.

x2 + 2xy + y2 se puede expresar como:

a-cuando se utiliza el signo más la expresión es:

(x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2

b-con signo menos:

(x - y )2 = (x - y) (x - y ) = x2 - 2xy + y2

c- o en una sola expresión

(x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2


5) Trinomio Cuadrados perfectos

x2 /4 + xy + y2 = ( x/2 + y ) 2 = (x/2 + y) (x/2 + y )

4x2 + 12xy + 9y2 = ( 2x + 3y ) 2 = (2x + 3y) (2x + 3y )

x2 /4 - 2xy + 4y2 = ( x/2 - 2y ) 2 = ( x/2 - 2y ) ( x/2 - 2y )

25a2 + 30ab + 9b2 = ( 5a + 3b ) 2 = ( 5a + 3b ) ( 5a + 3b )

EJERCICIOS DE CASOS DE FACTORIZACION 1) (Todos los términos son positivos)

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

x 2 3.x2.2 3.x.22

6x2 12x

Las bases son x y 2.Los dos "triple-productos" dan bien (6x2 y 12x).El resultado de la factorización es "la suma de las bases, elevada al cubo


2) (Con términos negativos)

x3 - 9x2 + 27x - 27 = (x - 3)3

x -3 3.x2.(-3) 3.x.(-3)2

-9x2 27x

Las bases son x y -3, ya que (-3)3 es igual a -27.Y los dos "triple-productos" dan bien.El resultado es (x + (-3))3, que es igual a (x - 3)3


3) (Con todos los términos negativos)

-x3 - 75x - 15x2 - 125 = (-x - 5)3

-x -5 3.(-x)2.(-5) 3.(-x).(-5)2 -15x2 -75x

Las bases son -x y -5, ya que (-x)3 es igual a -x3, y (-5)3 es igual a -125. Los dos "triple-productos"

Dan con los signos correctos. El resultado es(-x + (-5))3, que es igual a (-x -5)3.

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