apuntes introduccion a factorizacion por factor comun y agrupacion

Leccin 3: Introduccin a la Factorizacin y Factorizacin por

Factor Comn y Agrupacin

Dra. Noem L. Ruiz Limardo

2009

Objetivos de la Leccin

Al finalizar esta leccin los estudiantes: Conocern el significado de los trminos

fundamentales relacionados con la factorizacin Factorizarn polinomios por el mtodo de Factor

Comn Aplicarn la estrategia de Agrupacin para

factorizar polinomios por Factor Comn Resolvern problemas donde se aplique la

factorizacin por factor comn y la estrategia de agrupacin

Introduccin a la Factorizacin

La factorizacin es uno de los procesos fundamentales del lgebra.

Su relevancia es tan importante como lo son las operaciones bsicas de suma, resta, multiplicacin y divisin.

Introduccin

La factorizacin es el reverso de la multiplicacin (proceso al revs de la multiplicacin). En la multiplicacin se multiplican dos o

ms factores para obtener un producto. En la factorizacin se descompone un

producto en factores. Si multiplicamos dos factores obtenemos

un producto. Si factorizamos un producto obtenemos los

factores.

Introduccin

En la matemtica bsicafactorizamos nmeros enteros.

En lgebra factorizamos polinomios.

Para entender la factorizacin de polinomios, en esta leccinrepasaremos conceptos de la matemtica bsica relacionados con la factorizacin de enteros.

Introduccin

En esta leccin conoceremos el significado de la factorizacin y estudiaremos cmo se factorizanpolinomios por uno de los mtodosque es Factor Comn.

Tambin, conoceremos cmo se aplica la Estrategia de Agrupacinpara factorizar polinomios por Factor Comn.

Introduccin

Definicin de Trminos

Fundamentales

Repaso de Propiedades de Multiplicacin

Se dice que un nmero es divisible por otro si el residuo de la divisin es igual a cero.

Por ejemplo:

Sabemos que 12 es divisible por 4 ya que el residuo al dividir 12 4 es cero.

Sabemos que 7 no es divisible por 2 ya que el residuo al dividir 7 2 no es cero.

34 12

-120

32 7

- 61 ResiduoResiduo

Repaso de Propiedades de Multiplicacin

En general, si un nmero n es divisible por otro nmero d, decimos que d es un factor de n, y que n es un mltiplo de d.

Veamos el siguiente diagrama:

Sean n, d y q nmeros naturales y, n es divisible por d, entonces:

n = d q

Mltiplo de d y q (producto)

Factor de n Factor de n

Definiciones Factores- Son nmeros que se multiplican. Ejemplos:

12 = 3 . 412 = 6 . 2

12 = 12 . 13 y 4, 2 y 6, 12 y 1, son factores de 12

Factorizar- Es el proceso de descomponer un nmerocomo un producto de factores.

Cuando se expresa el 12 como un producto de susfactores, hemos factorizado el 12.

Si expresamos un nmero como producto de sus factores, decimos que hemos factorizado el nmero.

Definiciones Nmero primo- Nmero natural mayor que 1 que

tiene como nicos factores a l mismo y a 1.

Ejemplos de nmeros primos:

Nmero nicos

factores

2 2 y 1

5 5 y 1

17 17 y 1

Piensa en otros ejemplos de nmeros primos.

Definiciones

Nmero compuesto- Nmero que no es primo, o sea, que tiene otros factores adems de l mismo y 1.

Ejemplos de Nmeros Compuestos:

Nmero Factores

12 6 y 2 4 y 3 12 y 1

16 4 y 4 8 y 2 16 y 1

Piensa en otros ejemplos de nmeros compuestos.

Conjunto de los Nmeros Primos29,17,{ 2, 5, 13, 23,7,3, 11, 19, 31, }

Observa que:

El conjunto es infinito.

El nmero primo menor es 2.

El nico nmero primo que es par es 2, los dems son impares.

No todos los impares son primos, por ejemplo, el 9 es impar pero no es primo.

Si el nmero es primo, no es compuesto, y viceversa, si es compuesto, no es primo.

Reflexin Existen nmeros naturales a los cuales llamamos

nmeros primos ya que sus nicos factores son el 1 y el propio nmero.

Por ejemplo: Se dice que 3 es un nmero primo ya que solo podemos

factorizarlo de esta manera: 3 = 3 1.

Existen los nmeros compuestos, los cuales tienen otros factores adems del uno y del propio nmero.

Por ejemplo: El 6 es un numero compuesto ya que 6 = 2 3, donde

observamos que 2 y 3 son factores de 6 diferentes de 1 y del propio 6.

Teorema Fundamental de la Aritmtica

Existe un teorema fundamental de los nmeros que le da gran importancia a los nmeros primos:

Teorema Fundamental de la Aritmtica:

Todo nmero natural compuesto se puede expresar como un producto nico de nmeros primos.

Reflexin El teorema anterior nos dice que la factorizacin como producto

de nmeros primos es nica (excepto por el orden de los factores).

Por ejemplo: Tratemos de factorizar el nmero 24 de dos formas diferentes:

Observa que el resultado final de ambas factorizaciones fue el mismo. Por lo tanto, se confirma que la factorizacin prima de un nmero compuesto es nica.

FORMA A FORMA B

24 = 4 x 6

2 x 2 2 x 3

24 = 2 x 2 x 2 x 3

24 = 23 x 3

24 = 8 x 3

4 x 2

2 x 2

24 = 2 x 2 x 2 x 3

24 = 23 x 3

Reflexin

Los polinomios son expresiones algebraicas que representan nmeros. Las operaciones que se realicen con polinomios son similares a las que se realizan con nmeros.

Por ejemplo:

Si concluimos que un polinomio es divisible por otro debido a que el residuo de la divisin result ser igual a cero, entonces tambin se concluye que el divisor es factor del dividendo.

Reflexin

As tambin, las propiedades y teoremas que apliquen a nmeros tambin son aplicables a polinomios.

Por lo tanto, el Teorema Fundamental de la Aritmtica tambin es aplicable a los polinomios. Es decir, si podemos expresar un polinomio como

producto de factores diferentes a uno y al propio polinomio, entonces esta factorizacin es nica.

Esto es, no podemos factorizar el mismo polinomio de dos maneras diferentes.

Reflexin

Factorizar un polinomio es descomponer el mismo como un producto dos o ms factores que tambin son polinomios.

De la misma manera que existen nmeros primos, tambin existen polinomios primos.

Esto es, polinomios cuyos nicos factores son l mismo y 1.

Estos son polinomios que no se pueden factorizar ms.

Factorizacin de Polinomios

Definiciones

Factorizacin prima de un polinomio- Es el proceso mediante el cual se descompone un polinomio como el producto de polinomios primos.

Polinomio primo- Polinomio cuyos nicos factores son l mismo y 1.

Para factorizar un polinomio

Se aplican diferentes mtodos.

Cada mtodo depender de las caractersticas del polinomio.

Dependiendo como sea el polinomio, ser el mtodo que aplique.

Mtodos de Factorizacin de Polinomios

Mtodos de Factorizacin de Polinomios

Factor Comn

Trinomios Cuadrticos

Diferencia de Cuadrados

Suma o Diferencia de Cubos

Tambin, est la estrategia de Agrupacin, que aunque no es un mtodo en s mismo, es una estrategia que ayuda a factorizar polinomios por los diferentes mtodos.

Reflexin En las prximas pantallas de esta leccin ilustraremos

el mtodo de Factor Comn.

En las lecciones subsiguientes conoceremos los otros mtodos.

Antes de ilustrar el mtodo de Factor Comn, repasaremos algunos ejemplos de multiplicacin de polinomios que estn relacionados con el mtodo de Factor Comn.

Esto te permitir descubrir la relacin entre la multiplicacin y la factorizacin por este mtodo, para facilitar la comprensin del proceso de factorizacin.

Multiplicacin de un Monomio porPolinomio que no es Monomio

En la leccin de Multiplicacin de Polinomios estudiamos cmo se multiplica un monomio por un polinomio que no es monomio.

Ejemplo:

3 ( x + 8 ) = 3x + 24

Se aplica la propiedad distributiva al multiplicar el monomio 3 por cada trmino del polinomio (x + 8).

Otro Ejemplo de Multiplicacin de un Monomio por Polinomio

Multiplica:

2x2 (y2 - 9y + 3 ) = ( 2x2 . y2 ) + (2x2 . -9y) + (2x2 . 3)

= 2x2y2 - 18x2y + 6x2

Observa que el resultado es un polinomio en el cual cada trmino comparte un factor en comn.

Cul es el factor comn en el polinomio del resultado?

El factor comn es el monomio 2x2 por el cual multiplicamos.

Cmo haramos si queremos ir al revs?

O sea, si tenemos el polinomio:

y queremos escribirlo como un producto:

2x2 (y2 - 9y + 3 )

Cul sera el proceso?

Veamos el proceso en la prxima pantalla.

2x2y2 - 18x2y + 6x2

Proceso para aplicar el Mtodo de Factor Comn

Proceso para factorizar por Factor Comn

Primero: Descomponemos en factores cada trmino del polinomio : constantes y variables.

Segundo: Miramos si hay algn factor que sea comn a todos los trminos.

Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del parntesis y los escribimos una sola vez.

Cuarto: Encerramos en parntesis los factores que no sean comunes .

Veamos el proceso en la prxima pantalla.

Proceso para factorizar por Factor Comn

Factoriza: 2x2y2 - 18x2y + 6x2

= 2x2 (y2 - 9y + 3 ) Primero: Descomponemos en factores cada trmino del polinomio: constantes y variables.

Segundo: Miramos si hay algn factor que sea comn a todos los trminos, en este caso el 2 y x2.

Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del parntesis, en este caso el 2 y x2, (los escribimos una sola vez).

Cuarto: Encerramos en parntesis los factores que no sean comunes, en este caso: y2 - 9y + 3.

= ( 2 . x2 . y2 ) + ( 2 . -9 . x2 . y) + ( 2 . 3 . x2)

Otros Ejemplos de Factorizacin por Factor Comn

Ejemplo 1

Factoriza: 12x2 6x

= (2 . 6 . x . x) + (6 . -1 . x)

= 6x (2x 1)

Primero: Descomponemos en factores cada trmino del polinomio: constantes y variables.

Segundo: Miramos si hay algn factor que sea comn a todos los trminos, en este caso el 6 y x.

Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del parntesis, en este caso el 6 y x, (los escribimos una sola vez).

Cuarto: Encerramos en parntesis los factores que no sean comunes, en este caso: 2x 1.

Ejemplo 2

Factoriza: 9x 3y

= (3 . 3 . x) + (3 . -1 . y)

= 3 (3x y)


Segundo: Miramos si hay algn factor que sea comn a todos los trminos, en este caso el 3.

Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del parntesis, en este caso el 3.

Cuarto: Encerramos en parntesis los factores que no sean comunes, en este caso: 3x y.

Ejemplo 3

Factoriza: 8x2 + 5x3 - 3x4

= (2 . 2 . 2 . x . x) + (5 . 1 . x . x . x) + (-3 . 1 . x . x . x . x)

= x2 (8 + 5x 3x2)


Segundo: Miramos si hay algn factor que sea comn a todos los trminos, en este caso el x2.

Tercero: Sacamos los factores comunes fuera del parntesis, en este caso el x2.

Cuarto: Encerramos en parntesis los factores que no sean comunes, en este caso: 8 + 5x 3x2.

Ejemplo 4

Factoriza: 30a2 + 45a3b2 + 75a4b= (15 . 2 . a . a) + (15 . 3 . a . a . a . b . b) + (15 . 5 . a . a . a . a . b)

= 15a2 (2 + 3ab2 + 5a2b)

Observa que cuando hay factor comn en las variables el factor comn es la potencia menor.

Ejemplo 5

Factoriza: 4x2 + 15y 6x

= (2 . 2 . x . x) + (3 . 5 . y) + (-3 . 2 . x)

= 4x2 + 15y 6x

Observa que no hay ningn factor que sea comn a los tres trminos.

Para que sea factor comn tiene que estar en todos los trminos.

Este polinomio no factoriza ms. Sus nicos factores son l mismo y 1.

Este es un ejemplo de polinomio primo.

Ejercicios de Prcticade Factorizacin por

Factor Comn

Instrucciones

En tu libreta, factoriza los polinomios que aparecen en la prxima pantalla por el mtodo de Factor Comn.

Si el polinomio es primo, indcalo.

Despus de factorizar, haz clic para ver resultados.

Recuerda que puedes saber si la factorizacin es correcta multiplicando los factores. Al multiplicar todos los factores se obtiene el polinomio original.

15x4 5x3 + 20x2 =

20x2y3 + 6xy4 - 12x3y5 =

m2 + n2 =

-36p7q9 + 12p5q12 - 8p4q15 =

Factoriza por Factor Comn

5x2 (3x2 x + 4)

2xy3 (10x + 3xy 6x2y2)

4p4q9(-9p3 + 3pq3 2q6)

No se puede factorizar ms, es un polinomio primo.

ReflexinA veces:

El factor comn es un trmino negativo.

Por ejemplo: -3t - 18 =

= (-3 . t) + (-3 . 6)

El factor comn es -3.

Factorizando -3t - 18 sacando el factor comn -3 tenemos:

-3t 18 = -3(t + 6)

Observa que al sacar el factor comn negativo, el signo dentro del parntesis es positivo.

Recuerda que al multiplicar el monomio -3 por el polinomio (t + 6) nos tiene que dar como resultado el polinomio: -3t 18.

Otro ejemplo

Factoriza por factor comn sacando un factor negativo:

- 12x + 18

= (-6 . 2 . x) + (-3 . -6)

El factor comn es -6.

Factorizando el -6 tenemos:

- 12x + 18 = -6 (2x - 3)

Observa que al sacar el factor comn negativo , el signo dentro del parntesis tiene qe ser negativo para que al multiplicar el monomio -6 por el polinomio (2x - 3) nos d como resultado el polinomio: -12x + 18.

Para que halla el mismo

factor comn (-6)

tenemos que factorizar el

positivo 18 como (-3 . -6).

Por tanto, observa que el

3 es negativo

Factoriza por Factor Comn sacando un factor negativo y haz clic para ver

resultados

-5t - 10 =

-20x 4 =

-8m + 40 =

-2x2 + 2x - 24 =

-5 (t + 2)

-4 (5x + 1)

-8 (m - 5)

-2 (x2 x + 12)

A veces

El factor comn no es un monomio.

Podra ser un binomio o cualquier otro tipo de polinomio.

Como por ejemplo:

3x (5x 2) + 4 (5x 2)

Cmo se factoriza esta clase de polinomios?

Factoriza:

3x (5x 2) + 4 (5x 2) =

Observa que el factor comn es el binomio: (5x 2)

En este caso sacamos el factor comn (5x 2) y lo escribimos una sola vez. Luego encerramos en parntesis lo que queda (3x + 4).

Veamos:

3x (5x 2) + 4 (5x 2) = (5x 2) (3x + 4)

Factoriza por Factor Comn y haz clic para ver resultados

2x(3x 7) + 4(3x 7) =

9(2y + 5) + x(2y + 5) =

(2x 1)(3x 4) - (2x 1)(x + 3) =

(3x 7) (2x + 4)

(2y + 5) (9 + x)

(2x 1) [(3x - 4) (x + 3)] =

(2x 1) [(3x - 4 x 3)]

(2x 1) (2x 7)Simplificando se obtiene:

Qu caractersticas tiene que tenerel polinomio para que se pueda

factorizar por el mtodo de factor comn?

El polinomio tiene que tener por lo menos un factor que sea comn a todos los trminos del polinomio.

El polinomio puede ser binomio, trinomio o cualquier tipo de polinomio.

Estrategia de Agrupacin

A veces

Tenemos un polinomio de 4 trminos donde algunos de los trminos tienen un factor comn, pero no todos tienen el mismo.

Por ejemplo:

ax + ay + bx + by

Qu hacemos para factorizar el polinomio en este caso?

ax + ay + bx + by

Buscamos agrupar trminos que tengan algn factor comn.

Por ejemplo:

(ax + ay) + (bx + by)

(ax + bx) + (ay + by)

Qu hacemos para factorizar el polinomio en este caso?

ax + ay + bx + by Observa que si agrupamos as:

(ax + ay) + (bx + by) En el primer grupo el factor comn es a y en el

segundo grupo el factor comn es b.a(x + y) + b(x + y)

Luego de sacar este factor comn, podemos ahora factorizar nuevamente ya que tienen en comn el factor (x + y):

(x + y) (a + b)

Reflexin Cundo aplicamos la estrategia de Agrupacin?

Cuando tenemos un polinomio de 4 trminos y no se puede factorizar por ningn mtodo.

En la factorizacin por agrupacin se factorizados veces. La primera vez, para hacer que se pueda seguir

factorizando, aunque todava esa vez no est totalmente factorizado. Hay sumas y restas entre medio.

La segunda vez queda totalmente factorizado el polinomio porque no hay sumas y restas entre medio.

Reflexin

Aunque en estos momentos el nico mtodo que conocemos es el de Factor Comn, en realidad cuando aplicamos la estrategia de agrupacin buscamos poder factorizar nuevamente por cualquiera de los mtodos que estudiaremos ms adelante.

En esta leccin todos los ejercicios que veremos se agruparn para poder factorizarse por factor comn.

Ms adelante, cuando conozcamos todos los mtodos, agruparemos para factorizar por cualquiera de los mtodos.

Proceso para Factorizar por Agrupacin

Pasos a seguir:

Ver si el polinomio tiene 4 trminos y no se puede factorizar por factor comn.

Agrupar los trminos de manera que se pueda factorizar por alguno de los mtodos de factorizacin.

Factorizar por el mtodo que se pueda. (Primera vez que se factoriza)

Ver si despus de factorizado la primera vez, se puede volver a factorizar. Factorizarlo por segunda vez.

El polinomio debe quedar completamente factorizado. Sabemos que est completamente factorizado cuando todos los trminos estn expresados como un producto o multiplicacin de polinomios primos.

Ejercicio de Prctica Factorizacin por

Agrupacin

Instrucciones

Factoriza los polinomios a continuacin en tu libreta.

Despus de hacer los ejercicios, haz clic para ver las respuestas.

Factoriza por Agrupacin

ac + ad + bc + bd =

xy + xz + wy + wz =

ax - x + a - 1 =

ax - x - a + 1 =

(c + d) (a + b)

(y + z) (x + w)

(a - 1) (x + 1)

(a - 1) (x - 1)

Factoriza por Agrupacin

y3 - 8y 2 + y - 8 =

2x3 + 4x2y - 3xy - 6y2 =

8x2 + 6xy - 12xy - 9y 2 =

16r3 - 4r2s2 - 4rs + s3 =

(y - 8) (y2 + 1)

(x + 2y) (2x2 3y)

(4x + 3y) (2x 3y)

(4r -s2) (4r2 s)

Aplicaciones de la Factorizacin en la Solucin de Problemas

Problema 1

Supn que en un juego de pelota se lanza al aire hacia arriba una bola con una velocidadinicial de 64 pies por segundos. La altura en pies h despus de t segundos est dada por la expresin -16t2 + 64t.

A) Halla una expresin equivalente factorizandopor factor comn un factor negativo.

B) Determina la altura de la pelota cuando t = 1.

Solucin del Problema 1A) Halla una expresin equivalente factorizando por factor

comn un factor negativo.

Factorizamos sacando como factor comn a -16t:

-16t2 + 64t = -16t (t 4)

B) Determina la altura de la pelota cuando t = 1.

Sustituimos t + 1 en la expresin -16t2 + 64t:

-16t2 + 64t

-16 (1)2 + 64 (1)

-16 (1) + 64 (1)

-16 + 64

48

La altura es 48 pies

Problema 2

Un traje se redujo 10% de su precio regular. Luego, se redujo el precio espeial un 10% adicional. Halla una expresin equivalente al precio final del vestido en forma factorizada.

Solucin al Problema 2 Si el precio original era x, la expresin que representa el

precio despus de la primera reduccin es:

x 0.10x

La segunda reduccin de precio sera:

0.10(x 0.10x )

Despus de la segunda reduccin el precio sera:

(x 0.10x ) - 0.10(x 0.10x )

Factorizando la expresin anterior tenemos que el precio final ser:

(x 0.10x ) - 0.10(x 0.10x ) = (x 0.10x )(1 - 0.10)

= 0.90 (x 0.10x )

Recuerda que reducir implica restar. Recuerda que 10%, para propsitos de cmputos matemticos, hay que convertirlo a decimal.

El binomio (x 0.10x) es un factor comn

Recuerda que el coeficiente invisible que est delante del parntesis es 1.

Problema 3

Un granero es una estructura cilndrica donde se almacena productos agrcolas. El rea de la superficie del granero con altura h y radio r, incluyendo el rea de la base, est dada por el polinomio 2rh + r2. Halla una expresin equivalente aplicando la factorizacin del polinomio.

h r

Solucin al Problema 3

Para hallar una expresin equivalente aplicando la factorizacin del polinomio 2rh + r2, factorizamos por factor comn:

2rh + r2

r (2h + r)

La expresin r (2h + r) es equivalente a 2rh + r2.

h r

Problema 4

En cada figura a continuacin, A representa el rea de la figura. Halla una expresin polinmica en forma factorizada que represente la diferencia en las reas de ambas figuras.

A = 6x(2x + 1)A = 5(2x + 1)

Solucin al Problema 4 Para hallar la diferencia entre las reas de las dos figuras

tenemos que restar las reas. La expresin polinmica que representa la resta del rea mayor menos el rea menor es:

6x(2x + 1) 5(2x + 1)

Luego, factorizamos la expresin por factor comn. Observa que (2x + 1) es un factor comn a ambos trminos. La expresin factorizada es:

(2x + 1) (6x 5)

A = 6x(2x + 1) A = 5(2x + 1)

Ejercicios de Prctica

Instrucciones

Resuelve los ejercicios a continuacin en tu libreta.

Sigue las instrucciones que aparecen en cada pantalla.

Despus de hacer los ejercicios, verifica los resultados en la seccin final donde aparecen las Contestaciones a los Ejercicios de Prctica.

Ejercicio 1

Factoriza los siguientes polinomios:

6a2 + 3a

x3 + 9x2

4x2y 12xy2

3y2 3y 9

10a4 + 15a2 25a

3x + 2y 8

Ejercicio 2

Factoriza los siguientes polinomios sacando un factor negativo:

-5x 45

-6a 84

-3y2 + 24y

-7x2 + 56y

-2x2 + 16x 20

-3x + 2y

Ejercicio 3


a(b 2) + c(b 2)

(x 2) (x + 5) + (x 2) (x + 8)

(2x + 1) (3x + 8) + (2x 1) (4x + 5)

a2 (x y) + 3a(x y)

(m 4)(m + 3) (m 4)(m 3)

Ejercicio 4


ac + ad + bc + bd

b3 b2 + 2b 2

y3 8y2 + y 8

24x3 36x2 + 72x 108

a4 a3 + a2 + a

Ejercicio 5

El precio de una cortadora de grama aument 15% de su precio regular. Luego, con el especial de verano el precio anterior se redujo un 20%. Halla una expresin equivalente al precio final de la cortadora de grama en forma factorizada.

Ejercicio 6

En cada figura a continuacin, A representa el rea de la figura. Halla una expresin polinmica en forma factorizada que represente la diferencia en las reas de ambas figuras.

A = 7x(3x + 4)A = 2(3x + 4)

Contestacin a los Ejercicios de Prctica

Contestacin a Ejercicio 1

3a( 2a + 1)

x2(x+ 9)

4xy(x 3y)

3(y2 y 3)

5a(2a3 + 3a 5)

Polinomio primo


-5(x + 9)

-6(a + 14)

-3y(y 8)

-7(x2 8y)

-2(x2 8x + 10)

-1(3x 2y)


(b 2)(a + c)

(x 2) [(x + 5) + (x + 8)] = (x 2) (2x + 13)

Polinomio primo

(x y) (a2 + 3a)

(m 4)[(m + 3) (m 3)] = 6(m 4)


(a + b) (c + d)

(b2 + 2) (b 1)

(y2 + 1) (y 8)

12( x2 + 3) (2x 3 )

a ( a3 a2 + a + 1)


Una expresin equivalente al precio final de la cortadora de grama sera:

(x + 0.15x) 0.20(x + 0.15x)

Factorizando tenemos:

0.80(x + 0.15x)


La expresin polinmica que representa la diferencia entre ambas figuras es:

7x(3x + 4) 2(3x + 4)

La expresin factorizada es:

(3x + 4) (7x 2)

A = 7x(3x + 4)A = 2(3x + 4)

apuntes introduccion a factorizacion por factor comun y agrupacion

Documents