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2da OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA

MATEMATICA

3ra Etapa (Examen Simultáneo)

1ro. de secundaria

Recomendaciones: Lea varias veces cada pregunta, justifique sus respuestas, adjunte al examen todos sus

cálculos, poniendo su nombre en cada hoja adicional. No se permite el uso de máquinas calculadoras de ningún

tipo. Este examen dura 2 horas.

1. Hallar la suma de todos los divisores pares de 1000

2. Pedro escribe números racionales (fracciones) positivos simplificados con denominadores 1 ó 2 ó 3 ó 4 ó 5

ó 6 y máximo 7 que son menores que el número 3.141592... ¿Cuántos y cuales números racionales

escribe Pedro?

3. Hallar n sabiendo que la siguiente división es exacta

12345 789

91

n

4. Un grupos de cubos esta apilados contra una esquina de una pared de forma que en cada nivel hay un

cubo más en cada lado, en la figura se muestra una escalera con cuatro niveles, en ella son visibles 27

caras de los cubos. ¿Cuántas caras serán visibles si la escalera tuviera 22 niveles?


MATEMATICA


2do. de secundaria




1. Hallar la suma de todos los divisores pares de 1000

2. Diremos que dos números son compadres si su suma es un número que se escribe solo con unos ó ceros ó

con ambos, por ejemplo 5 y 6 son compadres ya que 5+6=11, 1378 y 9632 son compadres ya que

1378+9632=11010. Busca todos los compadres tres cifras del número 237.


12345 789

91

n

4. Un grupos de cubos esta apilados contra una esquina de una pared de forma que en cada nivel hay un

cubo más en cada lado, en la figura se muestra una escalera con cuatro niveles, en ella son visibles 27

caras de los cubos. ¿Cuántas caras serán visibles si la escalera tuviera 33 niveles?


MATEMATICA


3ro. de secundaria




1. Un recipiente de vidrio cerrado con forma de paralelepípedo (como

una caja rectangular) contiene un litro de agua, si apoyamos el

recipiente sobre sus tres caras observamos que el nivel del agua

(altura) es 2cm, 4cm y 5cm, respectivamente. Calcular el volumen del

recipiente.

2. Simplifica el siguiente producto

3 3 3 3

3 3 3 3

2 1 3 1 4 1 5 1

2 1 3 1 4 1 5 1


12345 789

91

n

4. Con cubos se construyen torres apilándolos contra una esquina de una pared como en la figura,

queremos pegar stickers del hombre araña solo en las caras que se ven, es decir en las que no están

tapadas por otros cubos ni en las que están en el suelo ó en las paredes. ¿Qué altura tendrá que tener la

torre para pegar 180 stickers?


MATEMATICA


3ro. de secundaria

Recomendaciones: Lea varias veces cada pregunta, justifique sus respuestas, adjunte al examen todos sus cálculos, poniendo su nombre en cada hoja adicional. No se permite el uso de máquinas calculadoras de ningún tipo. Este examen dura 2 horas.

1. Un recipiente de vidrio cerrado con forma de paralelepípedo (como una caja rectangular) contiene un litro de agua, si apoyamos el recipiente sobre sus tres caras observamos que el nivel del agua (altura) es 2cm, 4cm y 5cm, respectivamente. Calcular el volumen del recipiente.

2. Simplifica el siguiente producto

3 3 3 3

3 3 3 3

2 1 3 1 4 1 5 12 1 3 1 4 1 5 1

3 3 3 32 1 3 1 4 1 5 13 3 3 32 1 3 1 4 1 5 13 3 3 33 3 3 32 1 3 1 4 1 5 13 3 3 32 1 3 1 4 1 5 13 3 3 3

3 3 3 3

2 1 3 1 4 1 5 12 1 3 1 4 1 5 13 3 3 32 1 3 1 4 1 5 13 3 3 32 1 3 1 4 1 5 13 3 3 32 1 3 1 4 1 5 13 3 3 32 1 3 1 4 1 5 13 3 3 32 1 3 1 4 1 5 13 3 3 32 1 3 1 4 1 5 13 3 3 3


12345 78991

n

4. Con cubos se construyen torres apilándolos contra una esquina de una pared como en la figura, queremos pegar stickers del hombre araña solo en las caras que se ven, es decir en las que no están tapadas por otros cubos ni en las que están en el suelo ó en las paredes. ¿Qué altura tendrá que tener la torre para pegar 180 stickers?


MATEMATICA


4to. de secundaria




1. Si el lado de todos los hexágonos interiores es 3cm, ¿Cuánto miden

las áreas sombreadas?

2. Resolver la ecuación

20084 16 4 3 1x x x x x

3. En una semicircunferencia de diámetro 1 se inscribe un hexágono como en la figura, hallar el área de

este hexágono

4. Sean y soluciones de la ecuación 23 4 5 0x x , halle la suma de los coeficientes de la

ecuación cuadrática cuyas raíces sean 2 2 y 3 3


MATEMATICA


5to. de secundaria




1. En un triángulo de lados 20, 16 y 12 se inscriben dos

cuadrados sobre el lado mayor sabiendo que el

cuadrado mayor tiene un vértice sobre el lado de

longitud 16 y el cuadrado menor tiene un vértice

sobre el lado de longitud 12 y que ambos cuadrados

esta juntos, ver figura, halle el lado del cuadrado

pequeño cuando el cuadrado mayor tiene lado 6

2. Hallar el valor del siguiente producto

2 2 2 2

2 2 2 2

2 3 4 2012

2 1 3 1 4 1 2012 1

3. A un cuadrado de lado 1cm, le quitamos la cuarta parte del mismo (superior derecha) y tenemos la

primera ELE (ver figura), la segunda ELE se construye como la unión de cuatro ELEs iguales, la tercera ELE

del mismo modo se recubre con ELES iguales pero más pequeñas y así sucesivamente la cuarta, quinta,

etc. ¿Cuál es la suma de todos los segmentos de la ELE número 10?. Por ejemplo en la ELE número 3, la

suma de todos los segmentos es 10 cm

4. Sabiendo que x , es un número entero, halle todos los valores tales que:

23 ( 10 9)( 7 7) 1x xx x


MATEMATICA


6to. de secundaria




1. En un cuadrado ABCD se construye un triángulo equilátero ATS (T y S

están en los lados del triángulo) y dentro de este triángulo se construye

un cuadrado UVWZ, como en la figura, hallar el área de este triángulo

sabiendo el lado 1AB







23 ( 10 9)( 7 7) 1x xx x

4. Las letras A,B,C y D representan dígitos tal que cumplen

Puedes suponer que C B , aunque ello se puede deducir, halla los valores A,B,C y D.


MATEMATICA


4to. de secundaria

Recomendaciones: Lea varias veces cada pregunta, justifique sus respuestas, adjunte al examen todos sus cálculos, poniendo su nombre en cada hoja adicional. No se permite el uso de máquinas calculadoras de ningún tipo. Este examen dura 2 horas.

1. Si el lado de todos los hexágonos interiores es 3cm, ¿Cuánto miden las áreas sombreadas?

2. Resolver la ecuación

20084 16 4 3 1x x x x x20084 16 4 3 14 16 4 3 14 16 4 3 14 16 4 3 14 16 4 3 14 16 4 3 14 16 4 3 14 16 4 3 14 16 4 3 120084 16 4 3 12008x x x x xx x x x xx x x x xx x x x x4 16 4 3 1x x x x x4 16 4 3 14 16 4 3 1x x x x x4 16 4 3 14 16 4 3 1x x x x x4 16 4 3 14 16 4 3 1x x x x x4 16 4 3 14 16 4 3 1x x x x x4 16 4 3 14 16 4 3 1x x x x x4 16 4 3 14 16 4 3 1x x x x x4 16 4 3 14 16 4 3 1x x x x x4 16 4 3 14 16 4 3 1x x x x x4 16 4 3 14 16 4 3 1x x x x x4 16 4 3 14 16 4 3 1x x x x x4 16 4 3 14 16 4 3 1x x x x x4 16 4 3 14 16 4 3 1x x x x x4 16 4 3 1

3. En una semicircunferencia de diámetro 1 se inscribe un hexágono como en la figura, hallar el área de este hexágono

4. Sean y soluciones de la ecuación 23 4 5 0x x3 4 5 03 4 5 0x x3 4 5 0 , halle la suma de los coeficientes de la

ecuación cuadrática cuyas raíces sean 2 22 22 2 y 3 33 33 3


MATEMATICA


5to. de secundaria




1. En un triángulo de lados 20, 16 y 12 se inscriben dos

cuadrados sobre el lado mayor sabiendo que el

cuadrado mayor tiene un vértice sobre el lado de

longitud 16 y el cuadrado menor tiene un vértice

sobre el lado de longitud 12 y que ambos cuadrados

esta juntos, ver figura, halle el lado del cuadrado

pequeño cuando el cuadrado mayor tiene lado 6

2. Hallar el valor del siguiente producto

2 2 2 2

2 2 2 2

2 3 4 20122 1 3 1 4 1 2012 1

2 2 2 22 3 4 20122 2 2 22 3 4 20122 2 2 22 3 4 20122 2 2 2

2 3 4 20122 3 4 20122 3 4 20122 2 2 22 2 2 22 2 2 22 1 3 1 4 1 2012 12 2 2 22 1 3 1 4 1 2012 12 2 2 22 1 3 1 4 1 2012 12 2 2 22 1 3 1 4 1 2012 12 2 2 22 2 2 22 1 3 1 4 1 2012 12 2 2 22 1 3 1 4 1 2012 12 2 2 22 2 2 22 2 2 22 1 3 1 4 1 2012 12 2 2 2







23 ( 10 9)( 7 7) 1x xx x23 ( 10 9)23 ( 10 9)2

( 7 7) 13 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)3 ( 10 9)x x3 ( 10 9)3 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)x x3 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)( 7 7) 1x x( 7 7) 13 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)x x3 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)3 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)3 ( 10 9)x x3 ( 10 9)3 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)x x3 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)


MATEMATICA


6to. de secundaria




1. En un cuadrado ABCD se construye un triángulo equilátero ATS (T y S

están en los lados del triángulo) y dentro de este triángulo se construye

un cuadrado UVWZ, como en la figura, hallar el área de este triángulo

sabiendo el lado 1AB 1







23 ( 10 9)( 7 7) 1x xx x23 ( 10 9)23 ( 10 9)2

( 7 7) 13 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)3 ( 10 9)x x3 ( 10 9)3 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)x x3 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)( 7 7) 1x x( 7 7) 13 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)x x3 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)3 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)3 ( 10 9)x x3 ( 10 9)3 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)x x3 ( 10 9)( 7 7) 13 ( 10 9)

4. Las letras A,B,C y D representan dígitos tal que cumplen

Puedes suponer que C BC B , aunque ello se puede deducir, halla los valores A,B,C y D.

3ra OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA

2da Etapa (Examen Simultáneo)

1ro de Secundaria

Duración de la prueba. 1:50 horas

No puedes usar calculadora, no puedes consultar libros ni apuntes.

Justifica cada una de tus respuestas

PREGUNTAS DE OPCION MULTIPLE (Encierre en un círculo la respuesta correcta)

1. (20 pts.) ¿Cuál es el

valor:

a) 250 b) 200 c) 50 d) 100 e) Ninguno

2. (20 pts.) Si escribo todos los números enteros del 1 al 1000. ¿Cuántas veces aparece la cifra 5?

a) 300 b) 200 c) 350 d) 250 e) Ninguno

3. (20 pts.) ¿Cuál es la suma de los divisores comunes de 99 y 275?

a) 5 b) 6 c) 12 d) 15 e) 20 f) Ninguno

4. (20 pts.) Llena los espacios vacíos utilizando los números naturales del 1 al 9 (un número

diferente en cada casilla)

+ 2 =8 + x + =12 x -

4 + =7 =26 =11

5. (20 pts.) ¿Qué signos se ubican en los círculos, a fin de que se cumpla la igualdad?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------

Ver lista de clasificados en: http://omat.fcyt.umss.edu.bo ó http://olimpiadas.educabolivia.bo

Solución del examen de la 3ra. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana1ro. de Secundaria, Responsable: Alvaro H. Carrasco C.

1. 12� 2

3� 3

4� 4

5� 5

6� 6

7� 7

8� 8

9� 9

10� 1000 = 100

2. Los números son:De un dígito : Hay un solo número:5

De dos dígitos : Hay tres casos:�5; en � se pueden poner 8 dígitos los cuales son: f1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9g luego se escriben 8 cincos en 8números5�; en � se pueden poner 9 dígitos los cuales son: f0; 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9g luego se escriben 9 cincos en 9números55 se escriben 2 cincosEn este caso hay: 8 + 9 + 2 = 19

De tres dígitos :Hay siete casos:555 hay un único número y se escriben 3 cincos55�; en � se pueden poner 9 dígitos los cuales son: f0; 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9g luego hay 9 números, en loscuales se escriben 18 cincos5�5; en � se pueden poner 9 dígitos los cuales son: f0; 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9g luego hay 9 números, en loscuales se escriben 18 cincos�55; en � se pueden poner 8 dígitos los cuales son: f1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9g luego hay 8 números, en los cualesse escriben 16 cincos5��; en � se pueden poner 9 dígitos los cuales son: f0; 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9g y en � se pueden poner 9 dígitoslos cuales son: f0; 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9g luego hay 9� 9 números, en los cuales se escriben 81 cincos�5�; en � se pueden poner 8 dígitos los cuales son: f1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9g y en � se pueden poner 9 dígitoslos cuales son: f0; 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9g luego hay 8� 9 números, en los cuales se escriben 72 cincos��5; en � se pueden poner 8 dígitos los cuales son: f1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9g y en � se pueden poner 9 dígitoslos cuales son: f0; 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9g luego hay 8� 9 números, en los cuales se escriben 72 cincosEn este caso hay: 3 + 18 + 18 + 16 + 81 + 72 + 72 = 280En total hay: 1 + 19 + 280 = 300

3. Como 99 = 32 � 11; 275 = 52 � 11; luego los divisores comunes a 99 y 275 son: 1 y 11, asi la sumabuscada es 12.4.

6 + 2 =8+ �5 + 7 =12� -4 + 3 =7=26 =11

5. Algunas soluciones son:

5 - 3 + 4 � 6 � 3 =105 + 3 � 4 � 6 + 3 =105 � 3 + 4 - 6 - 3 =105 + 3 + 4 - 6 � 3 =105 - 3 � 4 + 6 � 3 =10

:::

(5� 3) + 4� 6� 3 = 105 + (3� 4� 6) + 3 = 10(5� 3 + 4)� 6� 3 = 10(5 + 3 + 4)� (6� 3) = 10(5� 3)� 4 + 6� 3 = 10

1



2ro de Secundaria





1. (20 pts.) ¿Qué porcentaje del hexágono regular está sombreado? Donde AB= apotema.

a) 85% b) 80% c) 70% d) 75% e) Ninguno

2. (20 pts.) La suma de los números de dos rectángulos consecutivos (horizontalmente) es

igual al número del cuadrado que está arriba de ellos, por ejemplo: a + b =c, c + d = 25. Si

la suma de los números en la fila inferior es 17. ¿Cuál es el valor de a?

a) 7 b) 6 c) 5 d) 8 e) Ninguno

3. (20 pts.) En el sólido formado por los cubitos, hallar el número de cubitos que faltan para

formar un cubo de 4 cubitos de aristas.

b) 34 b) 32 c) 30 d) 36 e) Ninguno

4. (20 pts.) En el siguiente espejo el ancho del marco es constante. Si el perímetro exterior del

marco es 16 cm. mayor que el perímetro del espejo. ¿Cuál es la medida del ancho del marco?

a

5. (20 pts.) El 20% de los libros de Joaquín son de ciencia ficción. Un séptimo del total de sus

libros son de Matemática y el resto son novelas policiales. Se sabe que la cantidad de novelas policiales está entre 40 y 50. ¿Cuántos libros de ciencia ficción tiene?

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------

Ver lista de clasificados en: http://omat.fcyt.umss.edu.bo ----- http://olimpiadas.educabolivia.bo

25

c d

a b 4

Solución del examen de la 3ra. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana2do. de Secundaria, Responsable: Alvaro H. Carrasco C.

1. De la �gura se tiene:

que el área buscada esta constituida por 9 triángulo de 12 de donde el porsentaje del héxagono regularsombreado es 9

12� 100 = 75 por ciento. Dado que la fotocopia no mostró claramente el área si alguno

halló el porcentage del área pequeña es decir:

es válida la respuesta 312� 100 = 25:

2. Como a+b+4 = 17 tenemos a+b = 13; pero c = a+b; de donde c = 13; además 25 = c+d = 13+d;de donde d = 12 y como b+ 4 = d = 12 tenemos que b = 8 y �nalmente como a+ 8 = 13 tenemos a = 5

3. Sumando tenemos 4�3+4�4 = 28; un cubo de 4 cubitos de arista tendrá 4�4�4 = 64 y entoncesfaltan 64� 28 = 36.4.Del grá�co se tiene:

2 (x+ 2a) + 2 (y + 2a)� 2x� 2y = 16simpli�cando

8a = 16

de donde a = 25. Sea x el número total de libros de Joaquin, entonces el número de novelas policiales es:

x��20

100x+

1

7x

�es decir:

23

35x

como sabemos este número esta entre 40 y 50 de donde

40 <23

35x < 50

es claro que x es un número entero, el cual será multiplo de 35, de donde x = 70 y así el número de librosde ciencia �cción es:

20

100(70) = 14

1



3ro de Secundaria





1. (20 pts.) Reemplazar cada letra de la siguiente suma por un dígito para que la palabra

MACANA sea la más grande posible. La suma de los dígitos de MACANA es:

MATE

+ MAT I CA

MACANA

a) 33 b) 39 c) 54 d) 51 e) Ninguno

2. (20 pts.) Cuántos números impares de 3 dígitos diferentes, pueden formarse con los números 3, 4, 5, 6.

a)10 b)12 c)15 d)20 e)Ninguno

3. (20 pts.) En el siguiente espejo el ancho del marco es constante. Si el perímetro exterior del marco es 32 cm. mayor que el perímetro del espejo. ¿Cuál es la medida del ancho del marco?

a

4. (20 pts.) Los valores de y para que la siguiente multiplicación se cumpla son:

(a)17 y 5 (b)16 y 4 (c) 11 y 4 (d) 17 y 4 (e) Ninguno

5. (20 pts.) Hallar el resto de la siguiente división:

2013 12013

1

x

x

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------


Solución del examen de la 3ra. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana3ro. de Secundaria, Responsable: Alvaro H. Carrasco C.

1. Para que la suma se cumpla observemos lo siguiente, como E +A = A se sigue que E = 0; por otrolado como A + I = A, se sigue que I = 9 y que la suma anterior lleva uno, pues E 6= I y I 6= 0, ademasque la suma M + T + 1 no debe llavar, es decir:

M A T 0T AC9M ACM A NA A

11

Por otro lado para que la palabra MACANA tenga el mayor valor posible, luego de reemplazar cada letrapor dígitos, empesemos por el siguiente caso:Caso 1: Sea M = 9 y A = 8 no es posible ya que 9 ya fue usado I = 9:Caso 2: Sea M = 8 y A = 7 entonces busquemos los posibles valores de las otras letras

8 7 T 0T 7C98 7C8 7 N7 7

11

de tendría que T = 0 lo cual no es posible pues 0 yá se uso, de manera que M no puede ser 8.Caso 2: Sea M = 7 y A = 8 entonces busquemos los posibles valores de las otras letras

7 8 T 0T 8C97 8C7 8 N8 8

11

observemos que T debe ser 1(si fuese 2 se llevaria uno, aumnentando la suma lo cual es posible) en tal casoC debería ser 9 lo cual no es posible, manera que M no puede ser 7. Siguiendo de este modo encontramosla suma

4 7 3 03 7894 784 7 17 7

11

de la suma de dígitos de MACANA es 34.2. Los números son: 453; 463; 563; 543; 643; 653; 345; 365; 465; 435; 635; 345:3. Del grá�co se tiene:

1

2 (x+ 2a) + 2 (y + 2a)� 2x� 2y = 16simpli�cando

8a = 16

de donde a = 24. Multiplicando se tiene�

x3 + 3x2 +�x+ 5� �4x2 +rx� 6

�=

= 4x5 + (12 +r)x4 + (4�+ 3r� 6)x3 + (2 +�r)x2 + (5O� 6�)x� 30= 4x5 + 7x4 � 89x3 + 87x2 + 77x� 30

igualando tenemos

12 +r = 7

4�+ 3r� 6 = �89

de estas ecuaciones tenemos r = 5 y � = �492; reemplazando en el siguiente término:

(2 +�r)x2 = �2412x2

expresión diferente a 87x2, de donde se sigue que no existen valores der y� que satisfagan la multiplicacióndada.5. Del teorema del resto tenemos que el residuo buscado es el valor del polinomio 2013(x2013+1) para

x = 1; es decir 6026

2



4ro de Secundaria





1. (20 pts.) Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple del número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión?

a) H=7, M=4, N=5 b)H=9, M=4, N=5 c) H=8, M=6, N=4 d)H=8, M=7, N= 5 e) Ninguno

2. (20 pts.) Una vendedora tiene dos clases de duraznos A y B, la primera la vende a 10 Bs el kilo y la segunda a 12.50 Bs el kilo. ¿Cuántos kilos hay que mezclar de cada clase de durazno y colocar en una canasta general de 80 kilos para vender a 11 Bs el kilo?

a) A=45 B=35 b) A=35 B=45 c) A=30 B=50 d) A=48 B=32 e) Ninguno

3. (20 pts.) Si resuelve la ecuación: 3 81 10 9 3 0x x Las soluciones son:

a) 9,-9 b) 3,-3 c) 2,-2 d) 3,-5 e)Ninguno

4. (20 pts.) En el triángulo PQR, con ángulo recto en P, los puntos M y N están en QR de tal manera que QN=PQ y RM=PR. ¿Cuánto mide el ángulo NPM?

5. (20 pts.) En la figura ¿Qué porción del cuadrado más grande está sombreada?

(a)1/4 (b)1/2 (c)3/4 (d)2/3 (e) Ninguno

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Solución del examen de la 3ra. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana4to. de Secundaria, Responsable: Alvaro H. Carrasco C.

1. Sea x el número de hombres, y el númeo de mujeres, 20� x� y el número de niños, entonces�x+ y = 3 (20� x� y)

x = y + 1

resolviendo tenemos x = 8; y = 7; de donde el número de hombres, mujeres y niños es 8,7, 5 respectiva-mente.2. Sean x el número de duraznos de la clase A y sea y el número de duraznos de la clase B, entonces

juntando se ganará 10x+ 12:5y; por otro lado si se vende el kilo a 11 se ganará 11 (x+ y) y tenemos�x+ y = 80

10x+ 12:5y = 11 (x+ y)

resolviendo se tiene x = 48; y = 32:3. Sea z = x

p9 entonces x

p81 =

xp92 = z2 y así tenemos:

3z2 � 10z + 3 = 0

resolviendola tenemos z = 3 y z = 13; ahora vovamos la variable original:

Si z = 3 = xp9 = 3

2x de donde 1 = 2

xy luergo x = 2

Si z = 13= 3�1 = x

p9 = 3

2x de donde �1 = 2

xy luergo x = �2:

4. Del grá�co se sigue

P

R

N

M

Q

αα

β

βγ

2β−90

2� + = 180; de donde = 180� 2�\PRQ = 90� y = 90� 180 + 2� = 2� � 90

2�+ 2� � 90 = 180; de donde � = 270� 2�2

y �nalmente

\PNM = 180� � � � = 180� � � 270� 2�2

= 45

1

5. Del grá�co se sigue:

que los 8 sectores completan un círculo y el área central dividida en cuatro partes completa el área elcuadrado sin el círculo, entonces el área sombreada es igual la cuarta parte del mismo.

2



5ro de Secundaria





1. (20 pts.) Hallar tres números naturales en progresión aritmética de diferencia 2, tales que la suma de sus cuadrados sea un número de 4 cifras iguales.

a) 40, 42, 44 b) 40, 41, 42 c) 43, 45, 47 d) 41,43, 45 e) Ninguno

2. (20 pts.) La solución de la siguiente ecuación es igual a: 2013 664292013 0x

a) 332013 b) 20133 c) 66429 d) 201333 e) Ninguno

3. (20 pts.) Si: 13 4x ,calcular 29 x

a) 4 b) 16 c) 64 d) 256 e) Ninguno

4. (20 pts.) ¿Cuál deberá ser el valor de x para que satisfaga la igualdad?

.)2013(log

1

)2013(log

1

)2013(log

1

)2013(log

1

)2013(log

1

312963 x

5. (20 pts.) En los siguientes cuadrados el cuadrado mayor tiene lado 17, determinar el lado del lado del cuadrado menor x, donde los arcos son cuartas circunferencias

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1. Sea la progresión aritmética a; a+ 2; a+ 4 entonces

a2 + (a+ 2)2 + (a+ 4)2 = xxxx

3a2 + 12a+ 20 = xxxx

a =�12�

p122 � 4 � 3 (20� xxxx)

6=

=�6�

p3xxxx� 243

veamos que números de cuatro cifras iguales menos 6 es cuadrado

x 1 2 3 4 5 6 7 8 93 (xxxx� 8) 3�1103 3�2214 3�3325 3�4436 3�5547 = 1292 3�6658 3�7769 3�8880 3�9991

de donde x = 5 y a = 41; es decir que la progresión buscada es: 41,43,45.

2. Como 66429 = 33� 2013; tenemos

x2013 = 201366429 =�201333

�2013de donde se sigue que x = 201333

3. Como 3�x = 4�1 entonces 3x = 4 y elevando a la cuarta potencia tenemos

(3x)4 = 44�32x�2

= 44

(9x)2 = 256

92x = 256

4. Cambiando a la base 3 tenemos:

1log3(2013)log3(3)

+1

log3(2013)log3(6)

+1

log3(2013)log3(9)

+1

log3(2013)log3(12)

=1

log3(2013)log3(3x)

1

log3 (2013)+

log3 (6)

log3 (2013)+

log3 (9)

log3 (2013)+

log3 (12)

log3 (2013)=

log3 (3x)

log3 (2013)

1 + log3 (6) + log3 (9) + log3 (12)

log3 (2013)=

log3 (3x)

log3 (2013)

log3 (3) + log3 (6) + log3 (9) + log3 (12) = log3 (3x)

log3 (1944) = log3 (3x)

3x = 1944

x = 648

1

5. Del grá�co tenemos

172 = x2 +

�17� x2

+ x

�2resolviendo tenemos x = 51

2

2



6ro de Secundaria





1. (20 pts.) Hallar el valor del ángulo ver figura, donde el triángulo A,B y C es un

triángulo equilátero

a) 30 b) 45 c)15 d)48 e) Ninguno

2. (20 pts.) Si 6 6 6 ...x y 6 6 6 ...y entonces el valor de x y es:

(a) -1 b) 0 c) d) e) Ninguno

3. (20 pts.) En un grupo de cinco estudiantes que viajan en avión, se les realiza el control de

peso correspondiente a cada uno, el primer estudiante más el doble del segundo estudiante hacen un promedio de 82Kg., el tercero y el doble del segundo hacen un promedio de 80 Kg., el tercero y el cuarto estudiante hacen un peso promedio de 85 Kg., finalmente el cuarto menos el peso del quinto hacen un peso promedio de 70 Kg. Hallar el peso promedio entre el primero y el quinto.

a) 14 b) 17 c) 21 d) 20 e) Ninguno 4. (20 pts.) En el triángulo ABC, AB = 1, BC = 2 y el ángulo ABC es de 72o. Se rota el

triángulo ABC en el sentido de las manecillas del reloj fijando el vértice B, obteniéndose el triángulo A'BC'. Si A,B,C' son colineales y el arco AA' es el descrito por A durante la rotación, ¿cuánto vale el área sombreada?

5. (20 pts.) La suma de tres números que forman una progresión geométrica es igual a 13, y

la suma de sus cuadrados es igual a 91. Los números son: a) 3, 4,5 b) 1, 2, 3 c) 1, 3, 9 d) 2, 6, 10 e) Ninguno.

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Ver lista de clasificados en: http://omat.fcyt.umss.edu.bo ó http://olimpiadas.educabolivia.bo


1. De la �gura se tiene:

A B

Cα β

ββ

6030 30

60

2� + 30 = 180; de donde � = 75

por otro lado� = �+ 30 = 75 de donde � = 45

2. Como x =q6 +

p6 +

p6 + � � � entonces x =

p6 + x de donde x2� x� 6 = 0 resolviendo tenemos

x = 3 y x = �2 este último valor se resecha ya que x es un número postivo, de la misma manera paray =

q6�

p6�

p6� � � � se tiene y = 2 y así x� y = 1

3. Sean los pesos de los estudiantes a; b; c; d y e entonces tenemos:8>><>>:a+2b2= 82

c+2b2= 80

c+d2= 85

d�e2= 70

osea 8>><>>:a+ 2b = 164c+ 2b = 160c+ d = 170d� e = 140

resolviendo en función a e tenemos: a = �e+ 34; b = 12e+ 65; c = �e+ 30; d = e+ 140; entonces el peso

promedio entre el primero y el quinto es

a+ e

2=�e+ 34 + e

2= 17

4. Del grá�co tenemos:

72 72 7236

1

1

1

que el área buscada x viene de la proporción

�

2�=x15�

de donde x = �10:

5. Sea la progresión geométrica: a; ar; ar2; de donde:�a+ ar + ar2 = 13

a2 + a2r2 + a2r4 = 91

de la priemra se tiene

r2 + r + 1� 13a= 0

resolviendo tenemos

r =�1�

q52�3aa

2

busquemos valores de a tales que la cantidad subradical sea cuadrado, lo cual se da solo para a igual 1,9,13ó 16 y se obtiene

a 1 9 13 16r 49 25 13 4

y de las cuatro progresiones posibles escojemos:

1; 3; 9 ó 9; 3; 1

2

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