2da etapa (examen simultáneo) 1ro. de secundaria

18
2 da OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA MATEMÁTICA 2 da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria Recomendaciones : Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada rectángulo y dejando uno vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y calculadoras, copiar o hablar. Puede usar la otra cara de esta hoja para desarrollar el examen. Una pregunta es optativa, este examen dura 2 horas. 1. ¿Cuántos múltiplos de 4 están comprendidos entre 334 y 879? (a) 115 (b) 116 (c) 117 (d) 118 (e) 114 (f) Ninguna 2. De cual de los siguientes números decimales esta más cerca el número 58/79 (a) 0.73427 (b) 0.73407 (c) 0.73421 (d) 0.73401 (e) 0.73429 3. Dado el número 76, multiplicamos sus cifras tenemos 42, multiplicamos las cifras de 42 y tenemos 8, entonces decimos que 76 es abuelo de 8 y 42 es el padre de 8. Otro ejemplo: 98 72 14 5 luego 98 es bisabuelo de 5, 72 es abuelo de 5 y 14 el padre de 5, ¿Cuántos bisabuelos tiene 8? (a) 13 (b) 10 (c) 8 (d) 9 (e) 6 (f) Ninguna 4. Se colocan cuadritos pequeños de lado 1, uno al lado del otro sin espacios vacios y en fila. Delante de estos de colocan (ver figura) del mismo modo varios cuadraditos medianos de lado 2, delante de estos se ponen otros cuadrados grandes de lado 4 y finalmente se coloca un gran cuadrado de lado 8 como en la figura ¿Cuántos cuadrados no se ven, es decir están detrás de los sietes cuadrados de la figura? (a) 130 (b) 132 (c) 134 (d) 138 (e) 135 (f) Ninguna 5. Los número naturales se colocan como se muestra en la figura, en esta tabla el número 18 esta en la cuarta columna. ¿En que columna se halla el número 2012? (a) 1ra. columna (b) 2da. columna (c) 3ra. columna (d) 4ta. columna (e) 5ta. columna ----------oo0oo----------

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Page 1: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

2da

OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA

MATEMÁTICA

2da

Etapa (Examen Simultáneo)

1ro. de secundaria

Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada rectángulo y dejando uno

vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la respuesta que

sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y calculadoras, copiar o

hablar. Puede usar la otra cara de esta hoja para desarrollar el examen. Una pregunta es optativa, este examen

dura 2 horas.

1. ¿Cuántos múltiplos de 4 están comprendidos entre 334 y 879?

(a) 115 (b) 116 (c) 117 (d) 118 (e) 114 (f) Ninguna

2. De cual de los siguientes números decimales esta más cerca el número 58/79

(a) 0.73427 (b) 0.73407 (c) 0.73421 (d) 0.73401 (e) 0.73429

3. Dado el número 76, multiplicamos sus cifras tenemos 42, multiplicamos las cifras de 42 y tenemos 8, entonces

decimos que 76 es abuelo de 8 y 42 es el padre de 8. Otro ejemplo: 98 72 14 5 luego 98 es bisabuelo

de 5, 72 es abuelo de 5 y 14 el padre de 5, ¿Cuántos bisabuelos tiene 8?

(a) 13 (b) 10 (c) 8 (d) 9 (e) 6 (f) Ninguna

4. Se colocan cuadritos pequeños de lado 1, uno al lado del otro sin

espacios vacios y en fila. Delante de estos de colocan (ver figura)

del mismo modo varios cuadraditos medianos de lado 2, delante de

estos se ponen otros cuadrados grandes de lado 4 y finalmente se

coloca un gran cuadrado de lado 8 como en la figura ¿Cuántos

cuadrados no se ven, es decir están detrás de los sietes cuadrados

de la figura?

(a) 130 (b) 132 (c) 134 (d) 138 (e) 135 (f) Ninguna

5. Los número naturales se colocan como se muestra en la figura, en esta tabla el número 18 esta en la cuarta

columna. ¿En que columna se halla el número 2012?

(a) 1ra. columna (b) 2da. columna (c) 3ra. columna

(d) 4ta. columna (e) 5ta. columna

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2da

OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA

MATEMÁTICA

2da

Etapa (Examen Simultáneo)

2do. de secundaria

Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada rectángulo y

dejando uno vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la

respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y

calculadoras, copiar o hablar. Puede usar la otra cara de esta hoja para desarrollar el examen. Una pregunta es

optativa, este examen dura 2 horas.

1. ¿Cuántos múltiplos de 3 están comprendidos entre 334 y 959?

(a) 130 (b) 132 (c) 134 (d) 138 (e) 135 (f) Ninguna

2. Luis cambia dos dígitos del número 888 buscando un número de tres dígitos lo mayor posible que sea divisible por 8. Iván cambia dos dígitos del número 888 buscando un número de tres dígitos lo menor posible que sea divisible por 8. ¿Cuánto vale la diferencia entre ambos números?

(a) 880 (b) 777 (c) 760 (d) 856 (e) 800 (f) Ninguna

3. Se colocan cuadritos pequeños de lado 1, uno al lado del otro sin espacios vacios y en fila. Delante de estos

de colocan del mismo modo (ver figura) varios cuadraditos

medianos de lado 2, delante de estos se ponen otros

cuadrados grandes de lado 4, se colocan varios cuadrados

más grandes de lado 8 y finalmente se coloca un cuadrado

muy grande de lado 16 como en la figura ¿Cuántos

cuadrados no se ven, es decir están detrás de los nueve cuadrados de la figura?

(a) 130 (b) 132 (c) 134 (d) 138 (e) 135 (f) Ninguna

4. Los número naturales se colocan como se muestra en la figura, en esta tabla

el número 18 está en la tercera columna. ¿En qué columna se halla el

número 2012?

(a) 1ra. columna (b) 2da. columna (c) 3ra. columna

(d) 4ta. Columna

5. Suponga que un caracol sube por un muro de tres metros de alto con la siguiente rutina: durante el día trepa 100 cm y durante la noche desciende una misma longitud cada día, sabiendo que logra llegar a la parte más alta del muro en 15 días diga que longitud desciendo durante la noche.

(a) 30 (b) 60 (c) 80 (d) 70 (e) 50 (f) Ninguna

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Page 3: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

2da

OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA

MATEMÁTICA

2da

Etapa (Examen Simultáneo)

3° de secundaria

Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada rectángulo y

dejando uno vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la

respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y

calculadoras, copiar o hablar. Puede usar la otra cara de esta hoja para desarrollar el examen. Una pregunta es

optativa, este examen dura 2 horas.

1. Se han utilizado cuadrados de madera idénticos y de color gris para construir los siguientes números:

Mario escribe todos los divisores del número 182. ¿Cuántos cuadraditos necesitará Mario? (a) 130 (b) 125 (c) 128 (d) 127 (e) 121 (f) Ninguna

2. La “torre” del dibujo está formada por tres figuras con el mismo perímetro: un cuadrado, un rectángulo y un triángulo equilátero. Si el lado del cuadrado es de 9 cm, ¿cuál es la longitud del lado marcado del rectángulo?

(a) 10 (b) 32 (c) 16 (d) 62 (e) 64

(f) Ninguna

3. Ayer por la noche, mientras estudiaba, se fue la luz. Inmediatamente encendí dos velas (del mismo grosor) y seguí trabajando hasta que arreglaron la avería. Al día siguiente quise averiguar cuánto duró al apagón, pero no sabía cuando empezó ni cuando terminó. Solamente me acuerdo que la primera vela estaba previsto que durara cinco horas y la segunda cuatro horas. ¿Cuánto duró el apagón si la primera vela se había quedado cuatro veces más larga que la segunda? (a) 3horas 50 minutos (b) 3horas 20minutos (c) 3horas 30 minutos (d) 3horas 10 minutos

(e) 3horas 40 minutos (f) Ninguna

4. Calcula el valor de la expresión 2015 2013 2011 2009 16 , sin usar máquina de calcular, sugerencia:

factoriza ( x +3)( x +1)( x -1)( x -3)+16

(a) 4048130 (b) 4048138 (c) 4048131 (d) 4048139 (e) 4048132 (f) Ninguna

5. Una araña empieza en el punto A y construye una tela de araña como se muestra en la

figura, avanza 1 cm dobla a la izquierda avanza 1 cm, dobla a la izquierda avanza 2 cm,

dobla a la izquierda avanza 2 cm, dobla a la izquierda avanza 3 cm y así sucesivamente,

luego de haber usado 40 cm de su hilo de detiene y se pregunta cuál es su distancia a

punto A (en línea recta).

(a) 15 (b) 17 (c) 19 (d) 3 2 (e) 4 (f) Ninguna

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Page 4: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

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OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA

MATEMÁTICA

2da

Etapa (Examen Simultáneo)

4° de secundaria

Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada rectángulo y dejando

uno vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la

respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y

calculadoras, copiar o hablar. Puede usar la otra cara de esta hoja para desarrollar el examen. Una pregunta es

optativa, este examen dura 2 horas.

1. Ayer por la noche, mientras estudiaba, se fue la luz. Inmediatamente encendí dos velas (del mismo grosor) y seguí trabajando hasta que arreglaron la avería. Al día siguiente quise averiguar cuánto duró al apagón, pero no sabia cuando empezó ni cuando terminó. Solamente me acuerdo que la primera vela estaba previsto que durara cinco horas y la segunda cuatro horas. ¿Cuánto duró el apagón si la primera vela se había quedado siete veces más larga que la segunda?

(a) 3horas 10 minutos (b) 3horas 20minutos (c) 3horas 30 minutos

(d) 3horas 50 minutos (e) 3horas 40 minutos (f) Ninguna

2. Un número entero positivo se llama simple si está formado únicamente por los dígitos 1, 2, o por ambos. ¿Cuántos números simples existen que sean menores que diez mil?

(a) 10 (b) 32 (c) 16 (d) 62 (e)64 (f) Ninguna

3. Un bus, un tren y un avión parten a la misma hora de la ciudad A a la ciudad B. En un cierto día, si tomaras un bus cuya velocidad media es 100 km/h, llegarías a la ciudad B a las 8 de la noche de ese mismo día. En cambio, si tomaras el tren, cuya velocidad media es de 300 km/h, llegarías a la ciudad B a las dos de la tarde de ese mismo día. ¿A qué hora llegarías a la ciudad B si tomaras un avión cuya velocidad media es de 900 km/h?

(a) 9h (b) 10h (c) 11h (d) 12h (e) 13h (f) Ninguna

4. Sea y las raíces de la ecuación 2 0x ax b el valor de

2 2 es:

(a) 2 2a b (b)

22a b (c) 22a b (d)

2 2a b (e) Ninguna

5. Los boletos para entrar a la disco “Tender” cuestan 8 Bs. para las muchachas y 10 Bs. para los muchachos. Si el precio de los boletos fuera al revés, la suma de lo que pagaron todos los que entraron a la disco sería 6 Bs. menos de lo que en realidad fue. Si asistieron 30 muchachas, ¿cuántos muchachos asistieron?

(a) 30 (b) 32 (c) 33 (d) 35 (e) 36 (f) Ninguna

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MATEMÁTICA

2da

Etapa (Examen Simultáneo)

5° de secundaria

Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada rectángulo y

dejando uno vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la

respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y

calculadoras, copiar o hablar. Puede usar la otra cara de esta hoja para desarrollar el examen. Una pregunta es

optativa, este examen dura 2 horas.

1. El cuadrado de la figura tiene lado 1. ¿Cuánto mide el radio del círculo menor?

(a) 2 1 (b) 2

4 (c)

1

4 (d)

2 2

2

(e) 3 2 2 (f) Ninguna

2. Tenemos un cuadrado de 10 cm. de lado. ¿Cuánto vale el área del cuadradito sombreado si A, B, C y D son los puntos medios de los lados del cuadrado?

(a) 20 (b) 32 (c) 22 (d) 34 (e) 30

(f) Ninguna

3. ¿Cuántos números de tres cifras distintas tienen exactamente un dos y sus cifras están ordenadas de mayor a

menor?, ejemplo 720, 532,…

(a) 35 (b) 36 (c) 37 (d) 38 (e) 39 (f) Ninguna

4. Contra un muro de altura 12m se apoya una escalera. Si el pie (la parte de la escalera que toca tierra) de la escalera está a 5 metros del muro, el tramo de escalera que sobresale por encima del muro mide 10 metros; si el pie de la escalera está a 9 metros del muro, ¿Cuánto sobresale por encima del muro? (a) 10 (b) 13 (c) 9 (d) 8 (e) 12 (f) Ninguna

5. La edad promedio de los miembros de la familia Zeballos es de 18 años. Si sabemos que el papá tiene 38 años y que el promedio de las edades de los miembros de la familia sin contarlo a él es de 14 años, ¿Cuántos miembros tiene la familia Zeballos?

(a) 10 (b) 8 (c) 6 (d) 9 (e) 12 (f) Ninguna

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Page 6: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

2da

OLIMPIADA CIENTIFICA ESTUDIANTIL PLURINACIONAL BOLIVIANA

MATEMÁTICA

2da

Etapa (Examen Simultáneo)

6° de secundaria

Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada rectángulo y dejando uno

vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la respuesta que

sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y calculadoras, copiar o

hablar. Puede usar la otra cara de esta hoja para desarrollar el examen. Una pregunta es optativa, este examen

dura 2 horas.

1. ¿Por qué número hay que multiplicar el área del cuadrado grande para obtener

el área sombreada?. Suponga que el cuadrado grande tiene lado igual a 1 cm.

(a) 4

(b)

1

4 (c)

12

(d)

2

16

(e)

1

3

(f) Ninguna

2. Si 1 1

61 sen( ) 1 sen( )x x

y 02

x

entonces el valor de tan( )x es:

(a) 3 (b) 2 3 (c) 2 2 (d) 2 (e) 3 2 (f) Ninguna

3. Los boletos para entrar a la disco “Tender” cuestan 8 Bs. para las muchachas y 10 Bs. para los muchachos. Si el precio de los boletos fuera al revés, la suma de lo que pagaron todos los que entraron a la disco sería 6 Bs. menos de lo que en realidad fue. Si asistieron 30 muchachas, ¿cuántos muchachos asistieron? (a) 30 (b) 32 (c) 33 (d) 35 (e) 36 (f) Ninguna

4. Sean y las raíces (soluciones) de la ecuación 49 49 7x x , el valor de 7 7 es igual a:

(a) 1 (b) 2 (c) 1/2 (d) 7 (e) 0 (f) Ninguna

5. ¿Cuántos números de tres cifras distintas tienen exactamente un dos y sus cifras están ordenadas de mayor a

menor?, ejemplo 720, 532,…

(a) 35 (b) 36 (c) 37 (d) 38 (e) 39 (f) Ninguna

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Solución del 1er. nivel (2da. etapa)2da. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana

Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.

1. Los múltiplos son:84� 4; 85� 4; 86� 4; :::; 219� 4

luego hay 219� 84 + 1 = 136 múltiplos de 4 entre 334 y 879Respuesta es (f)

2. Dividiendo tenemos58

79= 0:73417:::

luego 5879esta más cerca de 0.73407

Respuesta es (b)

3.

N �umeroPadres abuelos bisabuelos

42 !�6776

��

8 ! 24 !

8>><>>:83384664

���88

18 !

8>><>>:29926336

97; 7949; 94; 66

81 ! 99 �Luego 8 tiene 6 bisabuelosRespuesta es (e)

4. Del grá�co tenemos

1

Page 8: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

que hay en total 2 (10 + 4 + 1) = 30 cuadrados que no se ven.Respuesta es (f)

5. Observemos que en la 1ra. columna estan los múltiplos de 5 luego 2010 esta en la 1ra. columnay 2012 esta en la 3ra. columna.

Respuesta es (c)

2

Page 9: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

Solución del 2do. nivel (2da. etapa)2da. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana

Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.

1. Los múltiplos son:112� 3; 113� 3; 114� 3; :::; 319� 3

luego hay 319� 112 + 1 = 208 múltiplos de 3 entre 334 y 959Respuesta es (f)

2. El mayor es 984, y el menor es 128 y así la diferencia entre estos números es 856Respuesta es (d)

3. Del grá�co tenemos

que hay en total 2 (22 + 10 + 4 + 1) = 74 cuadrados que no se ven.Respuesta es (f)

4. Observemos que en la 1ra. columna estan los múltiplos de 4 luego 2000 esta en la 1ra. columnay como 2012 también es múltiplo de 4 esta en la 1ra. columna.

Respuesta es (a)

5. Por jornada avanza 30015= 20 cm y como cada día avanza 100 cm en la noche debe descender

80cmRespuesta es (c)

1

Page 10: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

Solución del 3er. nivel (2da. etapa)2da. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana

Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.

1. Como 182=2�7�13, 182 tiene los siguientes divisores: 1; 2; 7; 13; 2�7; 2�13; 7�13; 2�7�13osea

1; 2; 7; 13; 14; 26; 91; 182

Contando tenemos que se usan los siguiente dígitos:

5 unos osea 5� 6 = 30 cuadraditos3 dos osea 3� 11 = 33 cuadraditos1 siete osea 7 cuadraditos1 tres osea 11 cuadraditos1 cuatro osea 9 cuadraditos1 seis osea 12 cuadraditos1 nueve osea 12 cuadraditos1 ocho osea 13 cuadraditos

en total usamos 127 cuadraditosRespuesta es (d)

2. El perímetro del triángulo equilátero es 9 � 4 y cada lado es igual a 12 y como el rectángulotiene también perímetro 36 se sigue que el lado desconocido es igual a 36�2�12

2= 6

Respuesta es (f)

3. Observemos que luego de 3 horas la segunda vela tiene altura 14y la primera 2

5y estudiando

en lapsos de 10 minutos tenemos

Tiempo Altura de vela 1 Altura de la vela 2 Cociente entre la aturas de la velas 2 y 13h 2

514

14� 2

5= 5

8

3h 10m 56+ 1 = 11

656

56� 11

6= 5

11

3h 20m 46+ 1 = 10

646

46� 10

6= 2

5

3h 30m 36+ 1 = 9

636

36� 9

6= 1

3

3h 40m 26+ 1 = 8

626

26� 8

6= 1

4

Luego el apagón duró 3h 40mRespuesta es (e)

4. Observemos que (x+ 3) (x+ 1) (x� 1) (x� 3)+16 = (x2 � 9) (x2 � 1)+16 = x4�10x2+25 =(x2 � 5)2 luego con x = 2012 tenemos

2015� 2013� 2011� 2009 + 16 =�20122 � 5

�2

1

Page 11: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

de donde

p2015� 2013� 2011� 2009 + 16 =

q(20122 � 5)2

= 20122 � 5= 4048139

Respuesta es (d)

5. Luego de 40 cm la arana se encuentra en e punto P del siguiente grá�co

P

A

de donde la distancia buscada esp12 + 32 =

p10

Respuesta es (f)

2

Page 12: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

Solución del 4to. nivel (2da. etapa)2da. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana

Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.

1. Sea t el tiempo que duró el apagón entonces

5� t = 7 (4� t)

de donde se tiene t = 236horas, entonces

23

6h = 3

5

6h = 3h+

5

6h60m

1h= 3h50m

luego el apagón duró 3h50mRespuesta es (d)

2. Tenemos cuatro casos:Caso 1: de un dígito, hay 1 ó 2Caso 2: de dos dígitos, hay 11,21,12,22Caso 3: de tres dígitos, hay 111,211,121,221,112,212,122.222Caso 4: de cuatro dígitos, aumentamos a cada número del caso anterior por la derecha 1 ó 2 y

así hay entonces 16 números de cuatro dígitos simples.En total hay 2 + 4 + 8 + 16 = 30Respuesta es (f)

3. Sea h la hora de salida la cual la tomamos a partir de las 12:00, entonces sea d la distanciaentre ambas ciudades y tenemos

d = 100 (8� t) = 300 (2� t)de donde tenemos t = �1 lo cual signi�ca que una hora antes de las 12:00 es la hora de salida, esto esa las 11:00 a.m.y así la distancia d = 900: Por otro lado si se sale en avión se llega en t = 900km

900km=h= 1h

y así la hora de llegada es 12:00.Respuesta es (d)

4. Tenemos � = �a+pa2�4b2

y � = �a�pa2�4b2

y entonces

�2 + �2 =

��a+

pa2 � 4b2

�2+

��a+

pa2 � 4b2

�2=

1

4

�a2 � 2a

pa2 � 4b+ a2 � 2b

�+1

4

�a2 + 2a

pa2 � 4b+ a2 � 2b

�=

1

4

�4a2 � 8b

�= a2 � 2b

Respuesta es (d)

1

Page 13: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

5. Sea x el número de muchachos, entonces la suma que pagan ellos y ellas es igual a

30 (8) + x10 = 10x+ 240

Si se invierten los precios ellos y ellas pagan

30 (10) + x8 = 8x+ 300

y como este costo es 6 menos que el costo anterior tenemos

8x+ 300 + 6 = 10x+ 240

de donde se tiene x = 33.Respuesta es (c)

2

Page 14: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

Solución del 5to. nivel (2da. etapa)2da. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana

Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.

1. Sea r el radio de la circunferencia pequeña:

r

Entonces del grá�co, tenemos que la diagonal del cuadrado es igual al radio de la circunferenciamayor mas el de la pequeña y la diagonal del cuadrado pequeño y tenemos

1 + r + rp2 =

p2

de donde se sigue

r =

p2� 1p2 + 1

=

p2� 1p2 + 1

p2� 1p2� 1

=�p2� 1

�2= 3� 2

p2

Respuesta es (e)

2. Tenemos los siguientes movimientos

de donde concluimos que los cinco cuadrados tiene área 100 y así cada uno 20, y entonces el cuadradosombreado tiene área 20:

Respuesta es (a)

1

Page 15: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

3. Tenemos tres casosCaso1: Cuando el número tiene un dos como centena, existe un número: 210Caso2: Cuando el número tiene un dos como decena:�21 ó �20, observemos que el cuadrado se llena con las siguientes posibilidades: 3,4,5,6,7,8,9,

entonces hay 14 números.Caso 3: Cuando el número tiene un dos como unidad:�32;�42;�52;�62;�72;�82 y los cuadrados se pueden llenar de 6; 5; 4; 3; 2; 1 posibilidades re-

spectivamente, entonces hay 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 númerosEn total hay 1 + 14 + 21 = 36Respuesta es (b)

4. Consideremos el grá�co

12

5

10

12

9

x

se sigue que la longitud de la escalera es l =p52 + 122 + 10 = 23; entonces en la segunda posición

se tiene 23 =p92 + 122 + x de donde x = 8

Respuesta es (d)

5. Sea n el número de miembros de la familia, sea k1; k2; ::kn las respectivas edades de la familiaentonces como el promedio es 18 tenemos

k1 + k2 + � � �+ knn

= 18 (*)

Sea k1 la edad del padre entonces k1 = 38 y como el promedio de los demás es 14 tenemos

k2 + � � �+ knn� 1 = 14

de dondek2 + � � �+ kn = 14 (n� 1)

reemplazando esto en (*)38 + 14 (n� 1)

n= 18

de donde se obtiene n = 6.Respuesta es (c)

2

Page 16: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

Solución del 6to. nivel (2da. etapa)2da. Olimpiada Cientí�ca Estudiantil Plurinacional Boliviana

Responzable: Mgr. Alvaro H. Carrasco C.

1. Descomponemos el área dada como sigue

Figura 1 Figura 2

Observemos que en la �gura 1, se tiene que cada región corresponde a la octava parte de la circun-ferencia de radio 1

4y como hay ocho entonces el área en esta �gura es igual al de una circunferencia

de radio 14esto es �

16: En la �gura 2 dividiendo el área en cuatro partes, una de ellas es igual a�

1

4

�2� 14�

�1

4

�2=1

16� 1

64�

Entonces el área total es �16+4�116� 1

64��= 1

4y como el área del cuadrado es 1 habrá que multiplicar

por 14para obtener el área sombreadaRespuesta es (b)

2. Hacemos el cambio z = sen(x) y tenemos

1

1� z +1

1 + z= 6

simpli�cando esta ecuación tenemos:3z2 = 2

resolviendo se tiene z1 =q

23y z2 = �

q23, como 0 < x < �

2se sigue que 0 � sen(x) � 1; de manera

que solo consideramos la primera solución, de donde tenemos

sen(x) =

p2p3

x2

3

1

1

Page 17: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

y entoncestan (x) =

p2

Respuesta es (d)

3. Sea x el número de muchachos, entonces la suma que pagan ellos y ellas es igual a

30 (8) + x10 = 10x+ 240

Si se invierten los precios ellos y ellas pagan

30 (10) + x8 = 8x+ 300

y como este costo es 6 menos que el costo anterior tenemos

8x+ 300 + 6 = 10x+ 240

de donde se tiene x = 33.Respuesta es (c)

4. Sea 49x = z entonces tenemosz + z�1 = 7

simpli�cando tenemosz2 � 7z + 1 = 0

resolviendo se tiene

z =7�

p45

2

volviendo el cambio de variable tenemos

49x =7�

p45

2

y se tiene las soluciones

� =1

2log7

7 +

p45

2

!y � =

1

2log7

7�

p45

2

!

luego

(7�)�7��= 7

12log7

�7+

p45

2

�712log7

�7�

p45

2

�= 7

12log7

�7+

p45

2

�+ 12log7

�7�

p45

2

= 712

�log7

�7+

p45

2

�+log7

�7�

p45

2

��= 7

12log7

�7+

p45

27�

p45

2

�= 7

12log7( 49�454 ) = 7

12log7(1) = 7

12(0) = 1

Respuesta es (a)

2

Page 18: 2da Etapa (Examen Simultáneo) 1ro. de secundaria

5. Tenemos tres casosCaso1: Cuando el número tiene un dos como centena, existe un número: 210Caso2: Cuando el número tiene un dos como decena:�21 ó �20, observemos que el cuadrado se llena con las siguientes posibilidades: 3,4,5,6,7,8,9,

entonces hay 14 números.Caso 3: Cuando el número tiene un dos como unidad:�32;�42;�52;�62;�72;�82 y los cuadrados se pueden llenar de 6; 5; 4; 3; 2; 1 posibilidades re-

spectivamente, entonces hay 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 númerosEn total hay 1 + 14 + 21 = 36Respuesta es (b)

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