3esomapi gd esu03

Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*También la podrás encontrar en el CD Programación.

6

4

5

3

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1

G U Í A D I DÁ C T I C A UNIDAD 3

Proporcionalidaddirecta e inversa

CO N T E N I D O

3 ES

O

2 Unidad 3 Proporcionalidad directa e inversa

En este curso tratamos tanto la proporcionalidad numérica como la geométrica. La proporcionalidad geométrica se veráen el bloque de geometría al estudiar la semejanza. Este tema se centra en la proporcionalidad numérica y en los dife-rentes tipos de problemas que podemos resolver utilizando la noción de proporcionalidad.

Los alumnos deben identificar con facilidad, en el mundo que nos rodea, las relaciones entre varias magnitudes y quese aseguren de que estas son proporcionales. Se deberá hacer hincapié en que gracias a estas relaciones de proporcionalidadse pueden resolver múltiples situaciones cotidianas: rebajas, aumentos de salario, impuestos, distribuciones de traba-jo, etc.

Es importante que a la hora de explicar los porcentajes se introduzcan como proporciones, e indicar las diferencias entreel tanto por uno, el tanto por ciento y el tanto por mil.

• Razón y proporción.• Magnitudes directamente proporcionales.• Constante de proporcionalidad.• Repartos proporcionales directos.• Porcentajes. Tanto por 1. Tanto por 100. Tanto por 1000.• Disminución porcentual.• Incremento porcentual.• Magnitudes inversamente proporcionales.• Constante de proporcionalidad inversa.• Repartos proporcionales inversos.• Proporcionalidad compuesta.• Regla de tres compuesta.

• Identificación de magnitudes relacionadas directa e inver-samente, y representación de los datos en tablas.

• Resolución de problemas de proporcionalidad directa.• Resolución de problemas de repartos proporcionales

directos.• Resolución de problemas de porcentajes: cálculo de la

cantidad final, de la cantidad inicial y del porcentaje.• Cálculo de porcentajes encadenados.• Utilización de la proporcionalidad inversa para la reso-

lución de problemas.• Resolución de problemas de proporcionalidad compues-

ta: reducción a la unidad y regla de tres compuesta.• Valoración de la utilidad de los diferentes métodos mate-

máticos para resolver problemas de proporcionalidadpresentes en la vida cotidiana.

• Interés y curiosidad por la resolución de situaciones enlas que se haya de emplear porcentajes.

Unidad 3 Proporcionalidad directa e inversa

CONTENIDOS

Programación de aula

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Utilizar convenientemente lasrelaciones de proporcionalidadnumérica (factor de conversión,regla de tres simple, repartos pro-porcionales, etc.) para resolverproblemas relacionados con lavida cotidiana o enmarcados en elcontexto de otras áreas del cono-cimiento.

1.1. Identificar magnitudes directa oinversamente proporcionalesmediante enunciados y tablas.

• Lingüística

• Matemática

• Interacción con el mundofísico.

• Social y ciudadana

• Tratamiento de la informacióny competencia digital

• Aprender a aprender

1.2. Resolver problemas de proporcio-nalidad simple y compuesta, em -pleando el método de reducción ala unidad y la regla de tres simple ycompuesta.

1.3. Resolver problemas de repartos pro-porcionales directos e in ver sos.

2. Utilizar los porcentajes para resol-ver problemas relacionados conla vida cotidiana.

2.1. Resolver problemas de porcentajesen los que haya que averiguar lascantidades finales, las iniciales y losporcentajes a partir de datos cono-cidos.

2.2. Resolver problemas de porcentajesencadenados.

3Proporcionalidad directa e inversa Unidad 3


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosLa mayoría de los contenidos de este tema han debido ya ser abordados en los dos primeros cursos de la ESO, por lo quelas ideas de proporcionalidad directa e inversa y los problemas de porcentajes deben suponerse, en mayor o menormedida, conocidos por los alumnos.

2. Previsión de dificultadesA pesar de ser un tema que se trabaja en todos los cursos de secundaria, la realidad es que para muchos alumnos sereduce, en el mejor de los casos, a calcular porcentajes en situaciones sencillas. Uno de los principales problemas loencontraremos en la falta de reflexión antes de decidir si una situación dada es de proporcionalidad directa o inversa.

Otro de los vicios adquiridos en cursos anteriores es el de representar las proporciones en la forma de una clásica reglade tres. Esta formulación debe rechazarse y sustituirse por la igualdad de cocientes o de productos. De esta manera seelimina la necesidad, origen de numerosos errores, de recordar en qué orden deben hacerse las operaciones para des-pejar la cantidad desconocida en una proporción, ya sea directa o inversa.

3. Vinculación con otras áreasLos problemas de proporcionalidad se pueden plantear casi desde cualquier ámbito del resto de materias curriculareso desde multitud de situaciones cotidianas para los alumnos. Por ello, este es un buen tema para explicitar la utilidadde las matemáticas en su relación con el resto de asignaturas y con el entorno del alumno.

4. Esquema general de la unidadLa unidad comienza repasando los conceptos de magnitu-des directamente proporcionales y de constante de propor-cionalidad, para seguir con los repartos proporcionalesdirectos.

En el siguiente epígrafe se repasan los problemas con por-centajes, recordando las definiciones de tanto por uno, tan-to por ciento y tanto por mil, y trabajando las disminucionesy aumentos proporcionales y los porcentajes encadenados.

Una vez recordada la proporcionalidad directa, se pasa adefinir y caracterizar las magnitudes inversamente propor-cionales y los repartos proporcionales inversos.

La unidad termina abordando el problema de la proporcio-nalidad compuesta a través de algunos de los ejemplos másusuales. Proporcionalidad compuesta directa y compuestainversa. Por último, se trata el caso general con la regla detres compuesta.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones:

1.ª Introducción: desarrolla tus competencias.

2.ª Proporcionalidad y repartos directos.

3.ª Porcentajes y proporcionalidad.

4.ª Proporcionalidad inversa. Repartos inversos.

5.ª Proporcionalidad compuesta.

6.ª Actividades de repaso y consolidación.

7.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

PROPORCIONALIDAD

PROPORCIONALIDAD COMPUESTA

Repartos directamente proporcionales

Porcentajes yproporcionalidad

Repartos inversamenteproporcionales

Magnitudesdirectamente

proporcionales

Magnitudesinversamente

proporcionales

4

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividadescompetenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en la subcompetencia de comu-nicación escrita.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

En esta unidad se puede considerar que se trabaja fundamentalmente la subcompetencia de uso de elementos y herra-mientas matemáticos.

Competencia de interacción con el mundo físicoSe trata esta competencia en aspectos relacionados con las subcompetencias de conocimiento y valoración del desarrollocientífico-tecnológico, de conocimiento del cuerpo humano y disposición para una vida saludable y de medio natural ydesarrollo sostenible.

Social y ciudadanaEn la unidad se pueden trabajar, fundamentalmente, las subcompetencias de desarrollo personal y social y de partici-pación cívica.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la reso-lución de actividades interactivas.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la secciónde “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a lassubcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendi-zaje. Las actividades de trabajo en grupo desarrollan la subcompetencia de manejo de estrategias para desarrollar laspropias capacidades y generar conocimiento.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críticodel alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crí-tico.

En esta unidad se propone un tema de debate en la actividad de Aprende a pensar sobre el efecto invernadero, en la que,además de la competencia de interacción con el mundo físico citada explícitamente en la tabla de la página siguiente,se trabajan:

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate enrelación con las actividades señaladas.

COMPETENCIAS SUBCOMPETENCIA

Lingüística Comunicación escrita

Tratamiento de la información y competencia digital

Uso de las herramientas tecnológicas

Uso ético y responsable de la información y las herramientas tecnológicas

Aprender a aprender Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generarconocimiento

Autonomía e iniciativa personal Desarrollo de la autonomía personal



5


Proporcionalidad directa e inversa Unidad 3

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidadsugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores com-petenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

Lingüística

Comunicación escrita(lectura, escritura,interacción ymediación) endiferentes contextos.

Aplicar de forma efectiva habilidadeslingüísticas y estrategias nolingüísticas para interactuar yproducir textos escritos adecuados ala situación comunicativa.

– Argumenta y defiende una posición a partir de losresultados y observaciones obtenidos al realizarun trabajo.Desarrolla tus competencias: III.

MatemáticaUso de elementos yherramientasmatemáticos.

Conocer y utilizar los elementosmatemáticos básicos en situacionesreales o simuladas de la vida cotidiana.

– Reconoce relaciones de proporcionalidad directa einversa en contextos de otras áreas y de la vidacotidiana.Toda la unidad.

– Interpreta gráficas de funciones y diagramasestadísticos.Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar.

Desarrollar de manera progresivauna seguridad y confianza paraentender la información y hacerfrente a situaciones que contienenelementos matemáticos.

Interacción con elmundo físico

Conocimiento yvaloración deldesarrollo científico-tecnológico.

Conocer y valorar la aportación deldesarrollo de la ciencia y latecnología a la sociedad.

– Entiende el fenómeno de la gota fría y lanecesidad de prevenirlo.Pon a prueba tus competencias: Investiga y deduce.

Conocimiento delcuerpo humano ydisposición para unavida saludable.

Adoptar una disposición a una vidafísica y mental saludable en unentorno natural y social tambiénsaludable.

– Valora la práctica deportiva como un hábitosaludable fundamental.Desarrolla tus competencias.

Medio natural ydesarrollo sostenible.

Comprender la influencia de laspersonas en el medioambiente a travésde las diferentes actividades humanasy valorar los paisajes resultantes.

– Conoce qué significa el efecto invernadero y surelación con la actividad humana.

– Reflexiona sobre qué podemos hacer paracontribuir a la conservación del medio natural.Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar.

Adquirir un compromiso activo en laconservación de los recursos y ladiversidad natural.

Social y ciudadana

Desarrollo personal ysocial.

Conocer y comprender la realidadhistórica y social del mundo y sucarácter evolutivo.

– Sitúa espacial y temporalmente la Revoluciónfrancesa.

– Conoce la evolución de las grandes ciudades.Pon a prueba tus competencias: Estima y aplica 3.

Participación cívica,convivencia yresolución deconflictos.

Practicar la ciudadanía democráticaa través del ejercicio de los derechosy deberes propios y ajenos.

– Aplica los porcentajes para comprender mejor elpapel de los precios, los impuestos y los salariosen la sociedad.Actividades 11, 12, 16 a 18, 56 a 61 y 100.

Tratamiento de lainformación y

competencia digital

Obtención,transformación ycomunicación de lainformación.

Buscar y seleccionar información condistintas técnicas según la fuente oel soporte, valorando su fiabilidad.

– Visita la página librosvivos.netActividades 10, 25 y 32. Recursos, Organiza tus ideas, autoevaluación.

– Obtiene información o realizar actividades enpáginas de internet.En la red, actividad 81.Desarrolla tus competencias: II.Pon a prueba tus competencias:Investiga y deduce: 4.

Aprender a aprender

Manejo de estrategiaspara desarrollar laspropias capacidades ygenerar conocimiento.

Desarrollar experiencias basadas enestrategias de aprendizajecooperativo.

– Realiza actividades en grupo.Desarrolla tus competencias: I.

6

EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en latabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores:

• Educación ciudadana: educación para el consumo en las actividades de porcentajes referidas a impuestos, reba-jas y subidas de precios.

• Educación medioambiental: Aprende a pensar.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADHay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colo-res según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad.

De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, biena las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma.

En este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno:

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS



SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

• Cuadernos de matemáticas. 2.° de ESO: N.° 4: Proporcionalidad, funciones y estadística.

– Unidad I. Proporcionalidad numérica.

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.° de ESO.

– Unidad 5. Proporcionalidad.

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuadernos de matemáticas. 3.° de ESO: N.° 5: Proporcionalidad, progresiones y funciones.

– Unidad I. Proporcionalidad.

• Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.° de ESO.

• Cuadernos de resolución de problemas I y II.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Proporcionalidad en las páginas correspondientes del proyecto Descartes:

www.e-sm.net/3esomatprd07


Proporcionalidad en el tema correspondiente (2.° de ESO) de la página de educación digi-tal a distancia del Ministerio de Educación:


Buscadores específicos de matemáticas como www.e-sm.net/3esomatprd10 (en inglés).

• Juegos de dominó en los que intervengan porcentajes.

• Calculadora científica para calcular porcentajes.

• Vídeos 3, Fracciones y porcentajes, y 8, Razón y escala, de la serie Ojo Matemático, producida por Yorkshi-re TV y distribuida en España por Metrovideo España.

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7

Sugerencias didácticas

Desarrolla tus competencias

1. Proporcionalidad y repartos directos• Para comprobar de forma rápida y sencilla si dos mag-

nitudes son directamente proporcionales, hay que insis-tir a los alumnos en que comprueben no solo si una creceo decrece cuando lo hace la otra, sino también que dichosaumentos son proporcionales, esto es, si una se dobla, laotra también; si una se divide por dos, la otra también, etc.Los alumnos suelen quedarse normalmente en la pri-mera parte y no comprueban la segunda.

• A la hora de resolver un problema de repartos directamenteproporcionales hay que evitar que se aprendan de memo-ria la fórmula y la apliquen sin más. Resolveremos condetenimiento los ejemplos y problemas propuestos para

2. Porcentajes y proporcionalidadConviene introducir los porcentajes relacionándolos con laproporcionalidad directa e indicando que el porcentaje noes más que el término desconocido de una proporción queliga dos magnitudes directamente proporcionales: la tota-lidad de una cantidad con una parte de dicha cantidad.

• Para obtener el tanto por uno y el tanto por mil basta conconsiderar la cantidad total como 1 ó 1000.

• El epígrafe se centra en problemas en los que hay quehallar la parte final conocida la cantidad inicial y el por-centaje.

• Se puede empezar planteando los problemas con regla detres directa y calcular así la parte que aumenta o dismi-nuye del total, y luego sumársela o restársela a la canti-dad inicial.

• Aunque en el texto se dan las expresiones para los aumen-tos y disminuciones porcentuales:

Conviene evitar también que se aprendan las fórmulasde memoria. Al principio es mucho mejor plantear todoslos problemas con proporciones, al menos hasta que ellosasimilen lo que significan estos conceptos.

El “Sabías que…” y el ejemplo 6 pueden explotarse desdeel punto de vista de la conservación y el aprovechamientode la naturaleza, valorando el impacto ambiental de losincendios y de los embalses.

11, 12 y 16 a 18. Estas actividades aplican los porcentajesa situaciones de la vida cotidiana relacionadas con losprecios de diferentes artículos y los aumentos o rebajasde los mismos, y, en algún caso, los impuestos que reper-cuten sobre dichos precios. Por tanto, todas ellas se pue-den utilizar para motivar reflexiones sobre el consumo.Se pueden hacer sondeos rápidos entre los alumnos paracomprobar hasta qué punto empiezan a disponer de capa-cidad de decisión y autonomía sobre la compra de suropa, música, juegos… También es interesante que expon-gan y debatan sobe cuestiones como las rebajas o lasofertas que constantemente les llegan incitándoles alconsumo de diferentes artículos o marcas.

CrC C

r± ⋅ = ⋅ ±

⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟100

1100

que así se den cuentan de que a cada cantidad le corres-ponde el producto de la misma por la constante de pro-porcionalidad.La fotografía de entrada y el comienzo del texto presentan

al alumno una situación que seguro conoce, bien por haber-la observado en informativos o programas deportivos detelevisión, bien porque él mismo haya participado en algu-na carrera popular en su barrio o localidad.

Esta apertura es solo una excusa para que piense en lasgrandes aglomeraciones no solo de personas, sino tam-bién de animales, árboles… y en el problema de cómo deter-minar la cantidad de individuos que participan en la misma.En este punto hay que hacer reflexionar a la clase que elconteo directo uno a uno no es práctico ni factible, dadoel alto número de individuos en las diferentes situacionesplanteadas.

Los vídeos propuestos antes de las actividades sirven paraque los alumnos tomen conciencia de cómo las aglomera-ciones de individuos no son exclusivas de los seres humanos.

El tema de entrada y los tratados en cada vídeo pueden,por supuesto, explotarse si el profesor lo estima conve-niente desde otros puntos de vista:

• Las carreras y maratones populares, para reflexionar sobrelas prácticas deportivas y los hábitos saludables, advir-tiendo del peligro que puede suponer el participar en esoseventos si no se tiene una preparación física mínima.

• El Palio de Siena, como expresión de actividad cultural queha pervivido durante siglos y cuyo origen merece la penainvestigar.

• Los pingüinos emperador, como ejemplo de animalesque viven en extensas colonias organizadas socialmente.

• La selva amazónica, para entender cómo la vida es algoimparable en el planeta en aquellos sitios en que las con-diciones la favorecen, y meditar sobre los riesgos a los quese ve sometida.

El uso de la proporcionalidad parece, pues, justificado, yasí se propone en la actividad I que estimen cuántas per-sonas pueden agruparse en distintos lugares. Para la rea-lización deben hacer previamente una pequeña actividadcolaborativa en la que determinen cuántas personas esrazonable suponer que pueden colocarse en un metro cua-drado de superficie.

Las actividades II y III permiten estimular en los alumnosel hábito de buscar y seleccionar información relevante, ytambién el de aplicar lo aprendido a situaciones nuevas,generando información para comunicar las propias ideas.


ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 3 a 7 y 35 a 45.

Medio 8, 9, 45 y 85 a 90.

Alto 46 y 47.


Básico 13 a 15, 49 a 55, 82 y 83.

Medio 16 a 18, 56 a 61 y 84.

Alto 95 a 98 y 100 a 104.

Actividades

56 a 61 y 100. Podemos aplicar aquí lo ya comentado en elepígrafe 2 para algunas actividades relacionadas conporcentajes y con el precio de artículos de consumo y losimpuestos.

En este caso hay que señalar que también aparecen acti-vidades contextualizadas en los cambios de los salariosde diferentes personas. Este tema del trabajo y los sala-rios les queda aún un poco lejos a los alumnos de estenivel (aunque probablemente haya algunos que esténcerca de la edad legal para trabajar), pero es importan-te que empiecen a darse cuenta de cómo se estructu-ran en la sociedad actual.

• La actividad 96 puede utilizarse como entrada para refle-xionar sobre lo que significan los récords y las marcasen la alta competición deportiva, y si está justificado o noutilizar cualquier medio para conseguirlos (duros entre-namientos, ingesta de sustancias ilegales…). Recordaraquí el famoso lema “Lo importante no es ganar, sinoparticipar”.

Pon a prueba tus competencias

ESTIMA Y APLICA:CONTAR MUCHOS CON POCOS

Esta actividad ahonda en lo ya propuesto en la sección deinicio de la unidad. En este caso se propone aplicar la pro-porcionalidad al cálculo de cuántas personas pueden con-centrarse en la plaza de la Concordia de París.

Además de afianzar la técnica puramente matemática, laactividad permite trabajar la competencia social y ciudadanaen una doble vertiente:

• El conocimiento temporal y geográfico de uno de los hechosclave en la historia como fue la Revolución francesa.

• El reflexionar sobre la evolución de las ciudades moder-nas al buscar y comparar la población de París en 1789y en la actualidad. Este punto se debe aprovechar para quelos alumnos perciban cómo lo que ahora pueden parecerlugares pequeños para reunir a la población de un deter-minado lugar no lo eran en sus orígenes. Se pueden ponerotros ejemplos más cercanos o bien hacer que ellos bus-quen cuál es la plaza más representativa de su ciudad ycalculen cuál es su capacidad.

8


Organiza tus ideas

• Como una actividad que sirva para que trabajen el esque-ma-resumen, los alumnos pueden asignar las activi-dades realizadas en la unidad a los distintos contenidospresentados en el resumen. Sería suficiente con queencontraran dos o tres ejemplos de actividades para cadaapartado. De esta forma se les obliga a repasar el tra-bajo realizado y a reflexionar sobre los conceptos y pro-cedimientos adquiridos.

• Una segunda actividad de interés puede ser que los alum-nos completen el resumen tanto con otros contenidospresentes en el tema, pero no incluidos en este esquema,como con contenidos de cursos anteriores relacionados,pero no tratados explícitamente en el tema.


3. Proporcionalidad inversa• Hay que insistir en que si dos magnitudes son inversa-

mente proporcionales, cuando una aumenta, la otra disminuye en la misma proporción, y viceversa, compa-rando este comportamiento con el ya estudiado para elcaso de la proporcionalidad directa.

• A partir de la tabla del ejemplo, los alumnos pueden verque cuando dos magnitudes son inversamente propor-cionales, el producto de dos cantidades relacionadas essiempre constante, y que este valor común es la cons-tante de proporcionalidad inversa.


Básico 21, 22 y 62 a 67.

Medio 23, 24, 68 a 70 y 94.

Alto 75 y 105 a 107.

4. Repartos proporcionales inversos• Para que los alumnos resuelvan sin problemas los repar-

tos inversamente proporcionales, hay que insistirles enque equivalen a repartos directamente proporcionales alos inversos de las cantidades entre las que hay que repartir.

5. Proporcionalidad compuesta• Conviene resolver los dos problemas que aparecen en el

libro detallando todos los pasos:

– Leer el enunciado detenidamente e identificar las mag-nitudes que intervienen y si su relación es de propor-cionalidad directa o inversa.

– Representar los pasos de la resolución del problemaen forma de diagrama, aplicando el método de reduc-ción a la unidad.

• Para finalizar, conviene resolver alguno de los proble-mas ya resueltos utilizando la regla de tres compuesta,pero haciendo ver a los alumnos lo importante que esidentificar el tipo de relación por si es necesario invertiralguna de las razones.

También es formativo resolver el caso planteado en elejemplo de regla de tres inversa, proporcionalidad direc-ta-inversa, por el método de reducción a la unidad utili-zado en los dos primeros ejemplos.


Básico 27 y 28.

Medio 29, 31, 71 a 73 y 91.

Alto 74 y 99.


Medio 33, 34, 76 a 80, 92 y 93.

9


Como dato curioso puede citarse el de las grandes cate-drales (Burgos, León, Segovia o Toledo) o mezquitasmedievales españolas (Córdoba), con dimensiones queen algunos casos permitían reunir a un altísimo porcen-taje de la población de sus ciudades. A partir de aquí sepuede debatir sobre qué utilidad podría tener este hecho.

INVESTIGA Y DEDUCE:¡GOTA FRÍA, ALERTA ROJA!

Aquí se proporciona información básica sobre el fenóme-no de la “gota fría” y las lluvias torrenciales que provoca,especialmente en la zona mediterránea.

Los datos se explotan matemáticamente para que los alum-nos adquieran conciencia de las enormes proporciones quepuede tomar este fenómeno.

Es claro que la actividad trabaja de lleno la competenciade interacción con el mundo físico, poniendo números alfenómeno citado. Hay que hacer notar a los alumnos quela enorme cantidad de energía que acompaña a este tipo desituaciones proviene de la irradiación solar que calienta elMediterráneo durante el verano, almacenando una ingen-te energía en sus aguas.

El vídeo propuesto al final es una demostración espectacularde las fuerzas que se ponen en juego en este tipo de fenó-menos naturales.

Se podría plantear algún tipo de colaboración con el pro-fesor de Física y Química y con el de Ciencias Sociales para,en el primer caso, profundizar más en los mecanismos físi-cos del fenómeno, y en el segundo, analizar con más exten-sión las consecuencias económicas del mismo.

APRENDE A PENSAR:EL EFECTO INVERNADERO

También esta actividad trabaja la interacción con el mun-do físico proponiendo un estudio sobre la atmósfera y elefecto invernadero.

En la primera parte, los alumnos tienen que interpretarinformaciones dadas en forma de gráfico y transcribirlasa una tabla, adquiriendo con ello un conocimiento rele-vante sobre la composición de la atmósfera, aparte depracticar las técnicas de proporcionalidad aplicadas a grá ficos.

En la pregunta 3 se trabaja la proporcionalidad inversareflexionando sobre la relación existente entre el volumenque ocupa un gas y la presión a la que está sometido.

La última parte de la actividad vuelve a requerir la inter-pretación de gráficas para el análisis de los datos obtenidos.

En este caso, el estudio se centra tanto en el aumento de laconcentración de CO2 en la atmósfera como en el de sutemperatura. Debe resultar evidente la correlación exis-tente entre ambos fenómenos y los alumnos deben ser capa-ces de identificar las causas de los mismos, si bien esprobable que haya que dirigir parcialmente su investiga-ción.

El debate y las reflexiones que ofrece el tema son ilimita-dos, y el profesor deberá decidir hasta dónde quiere explo-tar estas posibilidades.

El tema se presta a realizar actividades conjuntas con elárea de Biología y Geología para el análisis de las conse-cuencias que tiene el fenómeno para la vida en el planeta,y con la de Ciencias Sociales para situar y centrar qué acti-vidades económicas favorecen la acumulación de CO2 en laatmósfera.

Por último, volver a insistir en que hay que animar y moti-var a los alumnos a que participen en el debate del blog de“Aprender a pensar”, dando sus opiniones y reflexionandosobre las de otros compañeros de su nivel de otros cen-tros y comunidades.


10

Actividades de refuerzo

Unidad 3 Proporcionalidad directa e inversaORIENTACIONES METODOLÓGICAS

En esta unidad, para motivar a los alumnos con carencias de base, debemos marcarnos algún objetivo básico que nosayude a tal fin:

• Conseguir que aprendan a distinguir entre magnitudes directamente proporcionales e inversamente proporcionales,y que sean capaces de resolver los problemas sencillos de proporcionalidad presentes en la vida cotidiana.

• Intentar que aprendan a calcular directamente aumentos y descuentos porcentuales.

• Plantear ejemplos lo más realistas posibles para que ellos aprecien la utilidad de la proporcionalidad.

1.

2. 300 g de harina, 1 sobre y medio de levadura, 1 cucharada y media de aceite, 3 cucharadas de azúcar, 3 huevos y unvaso y medio de leche.

3. TABLA 1: Constante de proporcionalidad: TABLA 2: Constante de proporcionalidad: 144

4. Jugador Porcentaje

Gasol 80%

Herreros 66,7%

Garbajosa 50%

López 33,3%

Dueñas 75%

M 1 3 4 9

M’ 144 48 36 16

M 3 5 17 25

M’ 12 20 68 100

312

0 25= ,

Antes Ahora

Zapatos 42 € 35,70 €

Pantalones 30 € 25,50 €

Cinturón 10 € 8,50 €

Camisa 24 € 20,40 €

SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

El IVA

El dinero que pagamos al comprar un determinado producto es el resultado de aplicar al precio inicial del producto unimpuesto, el impuesto sobre el valor añadido (IVA). Dependiendo del tipo de producto, se aplica un IVA diferente. Así, porejemplo, los productos de primera necesidad llevan un IVA del 4%, los libros lo llevan del 8%, y la luz, del 18%.

Podemos pedir a los alumnos que durante una semana anoten los gastos que hay en su casa y que investiguen, por elIVA que llevan, los productos consumidos. Con estos datos elaboraremos una tabla con el consumo medio de una fami-lia en una semana y el IVA aplicado a cada producto, y calcularemos cuánto paga de IVA a la semana cada familia.

ACTIVIDAD DE GRUPO


Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

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1. Completa los precios de los artículos que aparecen en el escaparate de esta tienda de ropa en la que hanaplicado el 15% de descuento a todos sus artículos.

Para calcular el precio final de cada artículo realizamos las siguientes operaciones. Por ejemplo:

15% de 42 ; 42 − 6,3 = 35,70 euros

2. María ha invitado a merendar a cinco amigos. Ha pen-sado hacer tortitas, pero la receta que tienen es paracuatro personas. Completa la tabla con las cantidadespara seis personas.

3. La tabla 1 recoge las cantidades de dos magnitudes directamente proporcionales, y la tabla 2, de dos mag-nitudes inversamente proporcionales. Halla la constante de proporcionalidad en cada una y complétalas.

4. En baloncesto, para ver el porcentaje de aciertos de los jugadores jugadores se hace lo siguiente:

1.° Anotar el número de veces que tira a canasta cada jugador.

2.° Anotar el número de canastas de cada jugador.

3.° Hallar la proporción de canastas entre tiros.

4.° Multiplicar por cien.

Al hacer el porcentaje de aciertos en un partido de la selección se ha estropeado el programa informáti-co que los calcula. Observa el ejemplo y completa la tabla.

M 3 5 17 25

M’ 12

M 1 3 4 9

M’ 144

TABLA 1 TABLA 2

Antes Ahora

Zapatos 42 € 35,70 €

Pantalones 30 €

Cinturón 10 €

Camisa 24 €

JUGADOR CANASTAS TIROS PROPORCIÓN PORCENTAJE

Gasol 16 20 80%

Herreros 12 18

Garbajosa 10 20

López 6 18

Dueñas 18 24

1620

45

0 8= = ,

Antes24Ä

AntesAntes

Antes30Ä

10Ä42Ä

REBAJAS

= ⋅ =15

10042 6 3,


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ACTIVIDADES de REFUERZO


Para cuatro personas Para seis

200 gramos de harina

1 sobre de levadura

Una cucharada de aceite

Dos cucharadas de azúcar

Dos huevos

Un vaso de leche

12

Actividades de ampliación

Unidad 3 Proporcionalidad directa e inversaORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Conviene plantear a los alumnos otro tipo de problemas en los que se aplica la proporcionalidad, como los de mezclas(solo aquellos en los que tengan que hallar la proporción final de la mezcla o calcular la cantidad de un componentepara que la mezcla tenga un determinado porcentaje) y los de interés bancario.

1. a) Se trata de un problema de proporcionalidad inver-sa, en el que el producto del caudal del grifo por eltiempo ha de ser constante, por tanto:

b) El segundo grifo llenará el depósito en 1 hora, 52minutos y 30 segundos.

Los dos grifos a la vez proporcionan un caudal de120 + 80 = 200 litros por minuto. Así, el tiempo quetardarán en llenar el depósito será:

2. Primero se escriben los datos en una tabla de propor-cionalidad:

Para las cantidades debe cumplirse 2x + x + x + =

= 4500 ⇒ x = 1000 €

Para las edades, al ser estas proporcionales a las can-tidades recibidas, se tiene:

El hermano mayor tiene: años, el

segundo y el tercero tienen b = 10 años y el cuartoc = 5 años.

3. El número de días está en proporción inversa con elnúmero de camiones y con el número de viajes al día,y en proporción directa con la cantidad de escombros.Por tanto:

4. 85x + 90 ⋅ 300 = 88 (x + 300) ⇒ x = 200 gramos.

5. 1 kilo de azúcar refinado procede de 1,5 kilos de azúcarsin refinar cuyo coste es de 1,2 euros. Como se quiereun beneficio del 25%, el kilo de azúcar refinado ha devenderse a 1,2 ⋅ 1,25 = 1,5 €.

6. 950 ⋅ 1,1 ⋅ x = 888,25 ⇒ x = 1,15 ⇒ 15%.

7. El número de albañiles está en proporción inversa conel número de días y con el número de horas de traba-jo al día, y en proporción directa con la parte de obra rea-lizada. Teniendo en cuenta que si se llama 1 al trabajoya hecho, faltan por hacer 2:

albañiles, luego deben

participar 6 albañiles más.

8. Beneficio = 6000 − 6000 (1 + 0,03)2 = 365,4 €

6 108

45

12

12x

x 12= ⋅ ⋅ = ⇒ =

12 36

1210

3500700

123

4x

x3 d= ⋅ ⋅ = ⇒ = = íías

a = =2000100

20

x2

2000 100010

1000 500100

a b d= = = = ⇒

120 09000200

4575 20 min.⋅ = ⋅ ⇒ = =t t

120 809000

80112 575 min.⋅ = ⋅ ⇒ = =t t ,

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

El IVA

El dinero que pagamos al comprar un determinado producto es el resultado de aplicar al precio inicial del producto unimpuesto, el impuesto sobre el valor añadido (IVA). Dependiendo del tipo de producto, se aplica un IVA diferente. Así, porejemplo, los productos de primera necesidad llevan un IVA del 4%, los libros lo llevan del 8%, y la luz, del 18%.

Podemos pedir a los alumnos que durante una semana anoten los gastos que hay en su casa y que investiguen, por elIVA que llevan los productos consumidos. Con estos datos elaboraremos una tabla con el consumo medio de una fami-lia en una semana y el IVA aplicado a cada producto, y calcularemos cuánto paga de IVA a la semana cada familia.

ACTIVIDAD DE GRUPO


Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

Hermano 1º 2º 3º 4º Totales

Cantidad 2x x xx2

4500 €

Edad a 20 b c

13

1. Un grifo que arroja 120 litros por minuto llena un depósito en 1 hora y 15 minutos.

a) ¿Cuánto tiempo tarda en llenar el mismo depósito otro grifo que arroja 80 litros por minuto?

b) ¿Cuánto tiempo tardarán los dos grifos en llenar conjuntamente el depósito?

2. Al hacer el reparto de 4500 euros entre cuatro hermanos de forma directamente proporcional a su edadresulta que al segundo y al tercero les toca lo mismo; al primero, el doble que al segundo, y al cuarto,la mitad que al tercero. ¿Qué edad tiene cada uno si el segundo tiene 10 años?

3. Seis camiones, durante 12 días, haciendo 10 viajes diarios, consiguen limpiar una escombrera que con-tiene 3500 toneladas de escombros. ¿Cuántos días tardarán 3 camiones, haciendo 12 viajes diarios cadauno, en vaciar otra escombrera que contiene 700 toneladas de escombros?

4. Calcula cuántos gramos de oro con una pureza del 85% habrá que mezclar con 300 gramos de oro de unapureza del 90% para obtener un oro que tenga una pureza del 88%.

5. El azúcar al refinarse pierde una tercera parte de su peso. Si el precio de un kilo de azúcar sin refinares de 0,80 euros, ¿a cómo debe venderse el kilo de azúcar refinado para obtener un beneficio del 25%sobre el kilo de azúcar sin refinar?

6. Juan trabaja en una tienda de ordenadores y quiere comprarse un ordenador cuyo precio de venta alpúblico es de 950 euros. Pero Juan quiere que su ordenador tenga más memoria, por lo que debe pagarun suplemento del 10%. La política de la tienda es hacer descuento a sus empleados. Si Juan ha paga-do al final 888,25 euros, ¿qué descuento le han realizado?

7. Seis albañiles están rehabilitando la fachada de un museo trabajando 8 horas diarias. Al cabo de 5 díashan rehabilitado ya la tercera parte de la fachada, y el director del museo les dice que la rehabilitacióndebe terminarse en 4 días. ¿Cuántos albañiles más deben participar, trabajando 10 horas diarias, paraacabar a tiempo?

8. ¿Qué beneficio obtenemos al ingresar en un banco 6000 euros a un interés compuesto del 3% durante2 años?

El interés es el aumento porcentual aplicado a una cantidad de dinero depositado durante un tiempo en unbanco. Puede ser:

• Simple: si solo se aplica al capital inicial.

• Compuesto: si cada año se aplica a la cantidad formada por la cantidad inicial y los intereses del año ante-rior (es el que aplican los bancos). El capital final al cabo de n años situado a un interés compuesto delr% se calcula así:

Ejemplo:

Ingresamos una cantidad de 300 000 euros en el banco a un interés compuesto del 4%.

Al cabo de 1 año tendremos 300 000 ⋅ 1,04 = 312 000 euros.

Al cabo de 2 años tendremos 312 000 ⋅ 1,04 = 300 000 ⋅ (1,04)2 = 324 480 euros.

Al cabo de n años tendremos 300 000 ⋅ (1,04)n euros.

C Cr

f i

n

= ⋅ +⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎟⎟⎟

1100


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

Pági

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14

APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Sabiendo que las magnitudes A y B son inversamente proporcionales y que la constante de proporcio-nalidad inversa es 48, completa la siguiente tabla.

2. Dada la siguiente tabla, indica qué tipo de relación hay entre las dos magnitudes y calcula la constan-te de proporcionalidad.

3. a) Una tarta de queso para 4 personas precisa 300 g de queso, 10 mL de leche, 100 g de azúcar, 100 gde mantequilla y 50 g de harina. Si queremos hacer una tarta para 6 personas, ¿qué cantidad de dichosingredientes necesitaremos?

b) Para llenar un depósito en 15 horas se necesitan 2 grifos. ¿Cuántos grifos serán necesarios para lle-narlo en 5 horas?

4. La cafetería del instituto gasta cada mes 400 euros en la compra de 500 barras de pan y 25 kg de bei-con. En junio, debido a que no están los alumnos de 2.° de bachillerato, los encargados de la cafeteríacompran 100 barras menos de pan y 5 kg menos de beicon. ¿Cuántos euros pagan por la compra del pany del beicon del mes de junio?

5. Una máquina, trabajando 8 horas diarias, tarda 3 días en fabricar 6000 botellas. Si trabaja 10 horas dia-rias, ¿cuántos días tardará en fabricar 5000 botellas?

6. a) Reparte 520 de forma directamente proporcional a 15, 20 y 30.

b) Reparte 240 de forma inversamente proporcional a 2, 3 y 6.

7. Tres socios formaron una empresa aportando 100 000, 300 000 y 600 000 euros, respectivamente. Losbeneficios del último año fueron de un millón y medio de euros, ¿cuánto dinero recibirá cada uno de lossocios?

8. ¿Cómo se podrían repartir 2310 euros entre tres hermanos de forma que al mayor le corresponda la mitadque al menor, y a este, el triple que al mediano?

9. a) ¿Cuál es el 35% de 210?

b) ¿Qué tanto por ciento es 15 respecto a 75?

c) De los 140 alumnos matriculados en 3.° de ESO, 65 aprobaron las matemáticas, y de los 130 alumnosde 4.° de ESO las aprobaron 60. ¿Qué curso obtuvo mejores resultados?

10. Alicia ha pagado 56 euros por la compra de unos pantalones. Si ha tenido una rebaja del 20%, ¿cuál erael precio original de los pantalones?

11. Una tienda de electrodomésticos paga al proveedor por una lavadora 480 euros. El precio de venta alpúblico supone un incremento del 20%. ¿Cuál será el precio de la lavadora en rebajas, si la tienda apli-ca un 12% de descuento?

A 3 8 5 13

B 12 32 20 52

A 4 24

B 6 3 1

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PROPUESTA de EVALUACIÓN


15

1.

2. Son magnitudes directamente proporcionales. La constante de proporcionalidad es .

3. a) Son magnitudes directamente proporcionales: 450 g de queso, 150 g de azúcar, 75 g de harina, 15 mL de leche y150 g de mantequilla.

b) Son magnitudes inversamente proporcionales: 6 grifos.

4. Es una proporcionalidad compuesta directa-directa:

Pan Beicon Dinero

500 25 400

400 20 x

€

5. Es una proporcionalidad compuesta directa-inversa (días-botellas, directa, y días-horas, inversa):

Horas Botellas Días

8 6000 3

10 5000 x

6. a) 120, 160 y 240. b) 120, 80 y 40.

7. Entre todos invierten 1 millón. Establecemos la relación de proporcionalidad y obtenemos que la constante es 1,5.Por tanto recibirán 150 000, 450 000 y 900 000 euros, respectivamente.

8. El mediano recibirá x; el pequeño, 3x, y el mayor, . El problema se traduce, por tanto, en repartir de forma direc-

tamente proporcional 2310 entre , 1 y 3. El primero recibe 630 euros; el segundo, 420, y el tercero, 1260.

9. a) 73,5

b) 20%

c) En 3.° de ESO hubo mejores resultados: un 46,43% de aprobados, frente al 46,15% de 4.°

10. = 70 euros

11. 480 ⋅ 1,20 ⋅ 0,88 = 506,88 euros

14

x =⋅ ⋅

⋅=

400 400 20500 25

256400 500

4002520x

= ⋅ ;

x días=⋅ ⋅⋅

=5000 8 36000 10

23 6000

5000108x

= ⋅ ;

32

32x

560 80,

A 4 8 16 24 48

B 12 6 3 2 1

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación



3esomapi gd esu03

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