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Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*También la podrás encontrar en el CD Programación.

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G U Í A D I DÁ C T I C A UNIDAD 4

Sucesiones.Progresiones

CO N T E N I D O

3 ES

O

2 Unidad 4 Sucesiones. Progresiones

En este tema se estudian las sucesiones, estableciendo su definición y deteniéndose en el estudio de las progresionesaritméticas y geométricas.

Es importante que los alumnos entiendan y manejen con soltura la notación de las sucesiones; que sepan en todomomento que el subíndice de un término indica el lugar que ocupa dicho término dentro de la sucesión. También debenentender el significado de la ley de formación de una sucesión relacionándola, en su caso, con su término general, el cualpermite obtener todos los términos de la sucesión.

Por último, es fundamental que distingan las progresiones aritméticas de las geométricas y que sepan cómo obtener eltérmino general de ambas a partir de unos pocos datos.

• Regularidad. Sucesión.• Término de una sucesión. Término general.• Sucesiones recurrentes.• Operaciones con sucesiones.• Progresión aritmética. Diferencia.• Término general de una progresión aritmética.• Suma de n términos consecutivos de una progresión arit-

mética.• Progresión geométrica. Razón.• Término general de una progresión geométrica.• Suma de n términos consecutivos de una progresión geo-

métrica.• Identificar sucesiones y hallar, en su caso, su término

general.• Cálculo de términos en una sucesión recurrente.• Obtención del término general de una progresión arit-

mética.

• Cálculo de los términos de una progresión aritmética.• Cálculo de la suma de n términos de una progresión arit-

mética.• Obtención del término general de una progresión geo-

métrica.• Cálculo de los términos de una progresión geométrica.• Cálculo de la suma de n términos de una progresión geo-

métrica.• Resolución de problemas que impliquen progresiones.• Interpolación aritmética y geométrica (problemas)• Valoración de la aplicación de las sucesiones en diver-

sas disciplinas: economía (interés compuesto y análisistécnico), física (distancia interplanetaria), biología (dis-tribución de frutos según la ley de Fibonacci).

• Interés por la observación y el estudio de regularidadespresentes en la vida cotidiana.

Unidad 4 Sucesiones. Progresiones

CONTENIDOS

Programación de aula

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Identificar sucesiones y deducirsu término general.

1.1. Obtener términos de una sucesión ydeducir su regla de formación.

• Matemática

• Interacción con el mundofísico

• Social y ciudadana

• Tratamiento de la informacióny competencia digital

• Aprender a aprender

• Autonomía e iniciativapersonal

2. Distinguir las progresiones arit-méticas y geométricas del restode las sucesiones, obteniendo suregla de formación, y aplicarlas ala resolución de problemas.

2.1. Identificar una progresión aritméti-ca y calcular correctamente la sumade n términos consecutivos.

2.2. Identificar una progresión geomé-trica y calcular correctamente lasuma de n términos consecutivos.

2.3. Aplicar las progresiones aritméti-cas a la resolución de problemas.

2.4. Aplicar las progresiones geométri-cas a la resolución de problemas.

3


ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosEste tema es nuevo para todos los alumnos, por lo que los conocimientos anteriores necesarios se reducen al buenconocimiento de las operaciones aritméticas con números reales y al dominio del álgebra básica que han estudiado en1.° y en 2.° de ESO, especialmente el cálculo de valores numéricos de una expresión.

2. Previsión de dificultadesAunque la operatividad no es complicada y la idea intuitiva se asimila con rapidez por los alumnos, la aplicación de lasfórmulas que aparecen en el tema suele generar muchas dificultades. Los alumnos se pierden al sustituir y al emple-ar las diferentes expresiones.

Mención especial merece la interpolación tanto aritmética como geométrica, tema en el que suelen cometer erroresfrecuentes.

3. Vinculación con otras áreasEn la unidad se plantean algunos problemas relacionados con otras partes de la matemática y con otras ciencias. En cuan-to a la vida cotidiana, se pueden citar el interés simple y compuesto como ejemplos de progresiones aritméticas y geo-métricas, respectivamente.

4. Esquema general de la unidadLa unidad comienza tratando la idea de regularidad paracontinuar con la definición de sucesión de números reales,término general y sucesión recurrente.

En el tercer epígrafe se trabajan las operaciones con suce-siones para pasar inmediatamente al estudio y caracteriza-ción de las progresiones aritméticas. En estas se demues-tran las expresiones del término general y de la suma de losn primeros términos.

Por último, se aborda el estudio de las progresiones geo-métricas, hallando también aquí las expresiones para eltérmino general y para la suma de los n primeros térmi-nos.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones:

1.ª Introducción: desarrolla tus competencias.

2.ª Regularidades. Sucesiones. Término general.

3.ª Sucesiones recurrentes. Operaciones.

4.ª Progresiones aritméticas.

5.ª Progresiones geométricas.

6.ª Actividades de repaso y consolidación

7.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

REGULARIDADES

SUCESIONES

Suma de n términos Suma de n términos

PROGRESIONESGEOMÉTRICAS

Sucesión recurrenteTérmino general

PROGRESIONESARITMÉTICAS

Sucesiones. Progresiones Unidad 4

4

CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividadescompetenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comu-nicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

En esta unidad se puede considerar que se trabaja más específicamente la subcompetencia de razonamiento y argu-mentación.

Competencia de interacción con el mundo físicoSe trata esta competencia en aspectos relacionados con las subcompetencias de conocimiento y valoración del desarrollocientífico-tecnológico y de medio natural y desarrollo sostenible.

Competencia social y ciudadanaEn la unidad se pueden trabajar las subcompetencias de desarrollo personal y social y de participación cívica.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la reso-lución de actividades interactivas. Se trabaja la subcompetencia de obtención, transformación y comunicación de lainformación.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la secciónde “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a lassubcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendizaje.

Competencia de autonomía e iniciativa personalSe trata la subcompetencia de liderazgo en las actividades de discusión y puesta en común del propio trabajo.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críticodel alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crí-tico.

En esta unidad se propone un tema de debate en la actividad de Aprende a pensar sobre la intencionalidad política y eco-nómica de las representaciones cartográficas en la que, además de la competencia social y ciudadana citada explícita-mente en la tabla de la página siguiente, se trabajan:

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate enrelación con las actividades señaladas.

COMPETENCIAS SUBCOMPETENCIA

Lingüística Comunicación escrita

Tratamiento de la información y competencia digital

Uso de las herramientas tecnológicas

Uso ético y responsable de la información y las herramientas tecnológicas

Aprender a aprender Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generarconocimiento

Autonomía e iniciativa personal Desarrollo de la autonomía personal



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TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidadsugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores com-petenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

MatemáticaRazonamiento yargumentación.

Poner en práctica procesos derazonamiento que llevan a lasolución de los problemas o a laobtención de la información.

– Reconoce regularidades en problemasmatemáticos y de otras áreas.

– Induce la regla asociada a una regularidadnumérica o geométrica.Actividades 9, 39, 40, 48, 94, 97 a 99 y 104 a 106. Pon a prueba tus competencias.

Seguir determinados procesos depensamiento, por ejemplo,inducción y deducción.

Interacción con elmundo físico

Conocimiento yvaloración deldesarrollo científico-tecnológico.

Conocer y valorar la aportación deldesarrollo de la ciencia y latecnología a la sociedad.

– Reconoce las estructuras fractales en lanaturaleza.Desarrolla tus competencias: vídeos, II.

Medio natural ydesarrollo sostenible.

Comprender la influencia de laspersonas en el medioambiente através de las diferentes actividadeshumanas y valorar los paisajesresultantes.

– Conoce el efecto de las grandes obras públicassobre el medioambiente.Actividad 105.

– Reflexiona sobre el peligro que supone laintroducción en un ecosistema determinado deespecies ajenas.Actividad 98.

Social y ciudadana

Desarrollo personal ysocial.

Conocer y comprender la realidadhistórica y social del mundo y sucarácter evolutivo.

– Conoce a los personajes clave de la historia de lasmatemáticas y sus aportaciones.Sabías que… Fibonacci y Gauss.

– Conoce las diferentes representacionescartográficas y reflexiona sobre su intencionalidad.Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar 5.

Participación cívica,convivencia y resoluciónde conflictos.

Practicar la ciudadaníademocrática a través del ejerciciode los derechos y deberes propios yajenos.

– Conoce los conceptos de interés simple ycompuesto y realiza cálculos con ellos.En la red. Actividades 20 y 33.

Tratamiento de lainformación y

competencia digital

Obtención,transformación ycomunicación de lainformación.

Buscar y seleccionar informacióncon distintas técnicas según lafuente o el soporte, valorando sufiabilidad.

– Visita la página librosvivos.net para realizardistintas actividades.Actividades 10, 14, 27 y 38. Organiza tus ideas, autoevaluación.

– Obtiene información o realiza actividades enpáginas de internet.En la red. Actividad 91.Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar: 4, 5.

Organizar y analizar la información,transformándola en esquemas defácil comprensión.

– Analiza información de tipo gráfico y extrae de ellalos datos pedidos.Desarrolla tus competencias: I.Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar.

Aprender a aprender

Manejo de estrategiaspara desarrollar laspropias capacidades ygenerar conocimiento.

Desarrollar experiencias deaprendizaje basadas en estrategiasde aprendizaje cooperativo.

– Realiza actividades en grupo.Desarrolla tus competencias: III.

Autonomía e iniciativapersonal

Liderazgo.

Desarrollar la empatía, valorar lasideas de los demás y ser capaz deafirmar y defender los derechos delgrupo.

– Responde a cuestiones y discute la respuesta conlos compañeros.Desarrolla tus competencias: II.

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EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en latabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores:

• Educación intercultural, para el desarrollo y para la igualdad: reflexión sobre la realidad Norte-Sur y su plasma-ción en los sistemas de representación cartográfica, en Aprende a pensar, actividad 5.

• Educación medioambiental: actividades 98 y 105.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADHay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colo-res según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad.

De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, biena las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma.

Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno:

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS



SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

• Cuadernos de matemáticas. 2.° de ESO: N.° 3: Ecuaciones y sistemas.

– Unidad I. Expresiones algebraicas.

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuadernos de matemáticas. 3.° de ESO: N.° 5: Proporcionalidad, progresiones y fun-ciones.

– Unidad II. Progresiones.

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.° de ESO.

– Unidad 3. Sucesiones.

• Cuaderno de matemáticas para la vida. 3° de ESO.

• Cuadernos de resolución de problemas I y II.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Regularidades y sucesiones en las páginas correspondientes del proyecto Descartes:

www.e-sm.net/3esomatprd11


Proporcionalidad en el tema correspondiente de la página de educación digital a distan-cia del Ministerio de Educación:


Buscadores específicos de matemáticas como www.e-sm.net/3esomatprd14 (en inglés).

• Calculadora científica.

• Vídeo Progresiones aritméticas, de la colección Investigaciones Matemáticas. Producido por la BBC y dis-tribuido en España por Mare Nostrum. Ctra. de Villaverde, km 17.

• Vídeo La magia de los números, de la serie de TVE Más por Menos, dirigida por Antonio Pérez.

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Sugerencias didácticas

Desarrolla tus competencias

1. Regularidades y sucesiones• En este epígrafe se introduce de forma intuitiva el concepto

de sucesión a partir del concepto de regularidad. Paraque los alumnos identifiquen claramente regularidadessería conveniente, una vez hechos los ejemplos y ejerci-cios propuestos en el epígrafe, que construyeran por símismos ejemplos de sucesiones con regularidades.

• En el ejemplo 1 y en el ejercicio 2 se puede considerar laposibilidad de construir una o dos piezas más para queasí vean la secuencia y se den cuenta de que a partir delos primeros elementos pueden deducir qué va a sucederposteriormente. Mejor construirlas que dibujarlas, ya queal manipular pueden comprender mejor el proceso.

3. Operaciones con sucesiones• La suma, el producto por un número real y el producto de

dos sucesiones son conceptos sencillos que deben serentendidos con facilidad. No obstante, puede resultar inte-resante plantear ejercicios inversos, esto es, proponer alos alumnos que escriban sucesiones dadas en funciónde sucesiones más sencillas unidas entre sí por dichasoperaciones. Por ejemplo, se propone an = n2 − n + 1, yellos deben escribirla como an = bncn + dn, con bn = n, cn= n − 1 y dn = 1.

4. Progresiones aritméticas• Antes de obtener el término general de una progresión

aritmética es conveniente pedir a los alumnos que apor-ten sus propios ejemplos de progresiones aritméticaspara ver si así han entendido el concepto.

• El profesor debe valorar la conveniencia de explotar lasnotas al margen que aparecen en el epígrafe: la carac-terización de las progresiones aritméticas como suce-siones recurrentes y, sobre todo, el interés simple comoun ejemplo práctico de progresión aritmética.

20. Esta actividad se puede realizar sin haber trabajado loque se menciona en el párrafo anterior. Si se opta portrabajar dicho concepto, sería interesante plantear otrosproblemas parecidos relacionados con el interés simple.

• Se pueden escoger otros ejemplos que los alumnos iden-tifiquen rápidamente, como las tablas de multiplicar. Unavez completada la serie, se tratará de obtener una expre-sión, en términos de n, que la generalice.

• Aunque es un personaje muy conocido y utilizado, convienedetenerse en comentar algo sobre la vida y obra de Fibo-nacci. Se puede plantear como una actividad de investi-gación en la que los alumnos busquen y estructuren lainformación.

La unidad comienza con un tema que puede ser muy mo ti-vador para los alumnos si se plantea de una forma adecuada.

Es evidente que el concepto matemático de fractal es complejo, y no se intenta aquí que los alumnos lleguen adominarlo. Sin embargo, las estructuras fractales que apa-recen en la naturaleza, desde la foto de Doñana hasta lacoliflor o las ramas de los árboles, sí son sencillas de inter-pretar, y es este el objetivo que se debe perseguir al explo-tar didácticamente esta entrada. La imagen de la sucesiónde fotografías a diferentes escalas de los sistemas naturalespropuestos es algo que los alumnos sí pueden llegar aapreciar y entender.

Por supuesto que el visionado de los vídeos propuestos seríade gran interés, así como las actividades planteadas, inclu-yendo la número III, que obliga a realizar un trabajo en grupo.

Los temas de los dos primeros vídeos se prestan a realizaralguna actividad conjunta con el área de Biología que, segu-ro, sería muy enriquecedora para los alumnos.

En el caso del conjunto de Mandelbrot, puede realizarse unaactividad con alguno de los numerosos programas gratui-tos que hay en la red para construir este tipo de objetos (porejemplo, Fractint). En este caso es necesaria la conducciónde la actividad por parte del profesor para poder utilizarlos.

Hay que tener siempre presente que el trabajo con las suce-siones puede resultar muy árido para los alumnos de estenivel. En este sentido, todas las aproximaciones a la reali-dad que se proponen en la entrada y en otras partes de launidad deben aprovecharse para conseguir motivación einterés en el alumnado.


ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 17, 18 y 52 a 55.

Medio 19, 20, 56 a 61, 93 y 96.

Alto 101.


Básico 2, 3 y 39 a 42.

Medio 4 y 49.


Básico 6, 7, 43 a 45 y 48.

Medio 8, 9, 50, 51 y 98.


Básico 12, 13, 46 y 47.

2. Término general. Sucesiones recurrentes

• Antes de hacer el tratamiento formal del epígrafe, esnecesario que los alumnos hayan realizado y entendidoal menos los ejercicios 3 y 4 del epígrafe anterior, en losque deben completar series de números, descubriendola regularidad que presenta la serie.

5. Suma de términos consecutivosde una progresión aritmética

• Al realizar la demostración de la fórmula para la suma,hay que insistir en que la suma de términos equidistan-tes es constante.

Actividades

98. En esta actividad aparece nuevamente la sucesión deFibonacci, ya introducida en el ejemplo 5. La novedad esque aquí se describe el ejemplo real del modelo quesirvió al matemático italiano para proponerla.

La actividad tiene muchas posibilidades de explotación,ya que se puede utilizar como un caso de crecimientoexponencial y dar ejemplos de este crecimiento en rela-ción con la introducción de especies ajenas en ecosiste-mas. Entre estos ejemplos destacan los que tienen quever con Australia, con la introducción de especies comolos conejos por los europeos en el siglo XIX. La ausenciade depredadores originó un crecimiento exponencial desu población que solo se vio frenado por las epidemiasde mixomatosis. De nuevo, la colaboración con el profe-sor de Biología puede resultar más que interesante.

105. Esta actividad puede servirnos para reflexionar y estu-diar sobre los efectos que las grandes infraestructu-ras tienen en la naturaleza. En este caso se puede pro-poner a los alumnos que investiguen cuáles fueron lasconsecuencias de la construcción de la presa de Asuánen diferentes aspectos:

• Ecológicos. Al romper el régimen natural del caudaldel Nilo.

• Económicos. Al permitir la generación de energíaeléctrica y la regulación de los regadíos.

• Culturales. Al obligar a trasladar grandes monu-mentos de sus emplazamientos originales y a la ocul-tación de otros bajo las aguas.

Se pueden buscar ejemplos más cercanos como la cons-trucción de autopistas, de líneas de alta velocidad, deurbanizaciones…

Pon a prueba tus competencias

OBSERVA Y COMPRUEBA: CÓMO SUMAR DIBUJANDO

Se trata de una actividad matemática en la que el alumnodebe combinar lo aprendido en la unidad sobre regulari-dades y sucesiones con la visión espacial necesaria parainterpretar las construcciones geométricas que se des-criben.

8


Organiza tus ideas

• Como una actividad que sirva para que trabajen el esque-ma-resumen, los alumnos pueden asignar las activida-des realizadas en la unidad a los distintos contenidos pre-sentados en el resumen. Sería suficiente con queencontraran dos o tres ejemplos de actividades para cadaapartado. De esta forma se les obliga a repasar el tra-bajo realizado y a reflexionar sobre los conceptos y pro-cedimientos adquiridos.

• Una segunda actividad de interés puede ser que los alum-nos completen el resumen tanto con otros contenidospresentes en el tema, pero no incluidos en este esquema,como con contenidos de cursos anteriores relacionados,pero no tratados explícitamente en el tema.


• Esta demostración tiene interés porque, sin ser trivial,es fácil de entender. Por tanto, es un buen ejemplo paraque los alumnos empiecen a familiarizarse con las demos-traciones matemáticas.

• La anécdota sobre Gauss que se menciona en el lateralpuede plantearse como un juego para que sean los alum-nos quienes la resuelvan.

6. Progresiones geométricas• Como actividad para que se acostumbren a la estructu-

ra de las progresiones geométricas y a su característicade rápido crecimiento o decrecimiento, puede realizarseun juego con la calculadora. Se puede pedir a los alum-nos que den un número cualquiera como primer términoy otro número como razón. Se introduce en la calculado-ra el primer término y después se van obteniendo lossiguientes, multiplicando sucesivamente por la razón yanotando los resultados.

• Al igual que se señaló en el caso de las progresiones arit-méticas, hay que valorar si es o no conveniente trabajarlas notas al margen que aparecen en el epígrafe: la carac-terización de las progresiones geométricas como suce-siones recurrentes y, sobre todo, el interés compuestocomo un ejemplo práctico de progresión geométrica.

33. Esta actividad se puede realizar sin haber trabajado lo quese menciona en el párrafo anterior. Si se opta por trabajardicho concepto, sería interesante plantear otros proble-mas parecidos relacionados con el interés compuesto.


Básico 22, 62 y 63.

Medio 23 a 26, 64 a 66, 92, 94, 95 y 100.

Alto 67 a 71, 102 a 104, 107, 110 y 111.


Básico 30, 31 y 72 a 76.

Medio 32, 33 y 77 a 82.

Alto 106 y 108.


Básico 35, 36, 83 y 84.

Medio 37, 85, 86, 97 y 99.

Alto 87 a 90, 104 y 109.

7. Suma de términos consecutivosde una progresión geométrica

• Son de aplicación los comentarios hechos para la demos-tración similar de las progresiones aritméticas. La demostra-ción conviene hacerla paso a paso, para que si los alum-nos, en un momento determinado, olvidan la fórmula,sean capaces de desarrollarla por sí mismos.

• Se puede introducir a modo ilustrativo la leyenda delinventor del ajedrez, y que los alumnos calculen el núme-ro de granos de trigo que recibiría.

9


Es importante que los alumnos se den cuenta de quemuchas construcciones numéricas tienen un análogo geo-métrico y de que la geometría es, en general, más fácil deentender y asimilar.

CALCULA Y DESCUBRE: EL CAMINO MÁS SINUOSO

Es una actividad parecida a la anterior en la que además sepuede observar cómo el límite visual de una sucesión no tie-ne por qué corresponder al límite matemático.

Por supuesto, ellos no han trabajado el concepto de lími-te, pero sí se les puede sugerir en qué consiste y hacerlesrazonar sobre su sentido o no.

Se pueden buscar otros ejemplos sencillos de sucesionescomo las de áreas y volúmenes formadas a partir de unahoja de papel que se va doblando por la mitad indefinida-mente y que se propone en el problema 106.

APRENDE A PENSAR: ¿CUÁNTO MIDE LA COSTA DE IBIZA?

Esta actividad continúa trabajando con un ejemplo gráficoy manipulativo el concepto de fractal introducido en la entra-da de la unidad.

Para realizarla es conveniente proporcionar a los alumnosuna fotocopia para que puedan hacer las mediciones y ano-taciones sobre ella. Si la fotocopia amplía la imagen, mejor,aunque en ese caso hay que advertirles del cambio de esca-la que se produce en el mapa.

Más allá de las reflexiones sobre el concepto de costa frac-tal, la actividad es muy rica en cuanto a la aplicación metó-dica de un procedimiento para la resolución de un problema.

Competencialmente desarrolla sobre todo las competen-cias matemática, social y ciudadana, y de tratamiento de lainformación y digital, tal y como se señala en la tabla de lapágina 5.

En cuanto a la participación en el blog de “Aprender apensar” y como siempre hay que hacer en este tipo deactividades, es preciso estimular a los alumnos para queparticipen dejando sus opiniones y analizando las de losdemás para conseguir un mejor conocimiento de lostemas propuestos, en este caso las representaciones car-tográficas.


10

Actividades de refuerzo

Unidad 4 Sucesiones. ProgresionesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Al finalizar esta unidad sería suficiente que los alumnos:

• Identificaran regularidades.

• Supieran establecer cualquier paso de una determinada regularidad geométrica.

• Distinguieran las progresiones aritméticas y geométricas del resto de las sucesiones.

• Calcularan diferentes elementos de progresiones aritméticas y geométricas.

1. Los números por los que debe pasar que forman parte de la sucesión dada en el enunciado son:

an = 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56, 59.

2. 45 puntos. El número de puntos de las figuras son los términos de la sucesión .

3. a) Los términos que hay que tachar son: 27, 33, 29, 45, 51, 57, 63, 69, 75, 81 y 87.

b) Los números que hay que tachar son: 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 y 2048.

En la tabla quedan sin tachar los primeros términos de la sucesión de Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987.

an n

n =+ +2 5 6

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SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Construcción y estudio de figuras regulares

Para esta actividad se necesitarán palillos y plastilina. Con los palillos construiremos figuras poligonales de lado la lon-gitud del palillo. Posteriormente construiremos sobre las figuras ya construidas, prolongando dos de los lados, figurasde igual forma, pero cuyo lado sea dos palillos. Repetimos el proceso, esta vez con figuras poligonales cuyos lados esténformados por tres palillos.

Los alumnos tendrán que anotar el número de palillos que se van utilizando en cada proceso, para poder establecer elnúmero de palillos necesarios para figuras cuyos lados estén formados por 7 palillos.

La plastilina se puede emplear para construir figuras en el espacio, uniendo las aristas con bolitas de plastilina. Al final,los alumnos tendrán que establecer el número de palillos y de bolitas de plastilina necesarios para cada paso.

ACTIVIDAD DE GRUPO


Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.

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1. Marca el camino que sigue Javier para ir de su casa al instituto, teniendo en cuenta que solo puededesplazarse horizontal y verticalmente, y que debe pasar por los 18 primeros términos de la sucesiónan = 3n + 5.

2. Contempla la siguiente secuencia. ¿Cuántos puntos formarán la figura que ocupa el lugar 7?

3. Marca con un círculo las letras de las casillas que contienen los 11 primeros términos de la primera suce-sión y los 8 primeros términos de la segunda sucesión. Debes obtener el nombre de una famosísima suce-sión presente a nuestro alrededor. Las casillas sobrantes te darán los primeros términos de esa su cesión.

a) Progresión aritmética de primer término 27 y diferencia 6.

Recuerda: Para obtener los términos de una progresión aritmética, solo tienes que ir sumando al anteriorla diferencia:

b) Progresión geométrica de primer término 16 y razón 2.

Recuerda: Para obtener los términos de una progresión geométrica, solo tienes que ir multiplicando al ante-rior la razón:

a a a1 2 316 16 2 32 32 2 64 K= = ⋅ = = ⋅ =, ,

a a a1 2 327 27 6 33 33 6 39 K= = + = = + =, ,

A1

S27

S1

U69

B2

C51

E81

E3

S5

S75

I1024

N8

P13

O2048

N512

A21

D16

E63

F32

E34

I256

B57

A55

L89

E144

O45

N39

L233

A87

C128

C33

P377

I610

I64

C987

A1597

16 25 23 26 29 27 30

IES24 17 20 49 32 57 60

15 14 28 46 35 58 63

8 11 30 41 38 63 60

12 27 33 44 51 37 43

18 46 36 47 50 36 46

21 45 39 42 53 56 59


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ACTIVIDADES de REFUERZO


12

Actividades de ampliación

Unidad 4 Sucesiones. ProgresionesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Estos alumnos deben aprender los conceptos de progresiones no desarrollados en la unidad y aplicarlos a la resolu-ción de diferentes problemas.

Para ello deben resolver actividades en las que se entremezclen las progresiones aritméticas y geométricas, actividadesrelacionadas con la vida cotidiana o con las ciencias naturales y, de forma general, actividades que impliquen un mayordominio de la aplicación algebraica de las fórmulas estudiadas en la unidad.

1. La longitud de los lados de los cuadrados forman una

progresión geométrica con a1 = 6 y ; por tanto

sus áreas están en progresión geométrica con a1 = 36

y . Aplicando la fórmula se obtiene que las áreas

de todos los cuadrados suman .

2. Hay que aplicar la suma de infinitos términos de una

progresión geométrica de razón .

3. Hay que sumar los seis primeros términos de una pro-gresión geométrica con a1 = 500 ⋅ 1,04 y r = 1,04. Elcapital final será:

4. Como 35 = 243 es la primera potencia de 3 mayor de 100y 39 = 19683 la última inferior a 20000, hay que sumarlos cinco primeros términos de una progresión geo-métrica con a1 = 35 = 243 y r = 3.

El resultado es 29 403.

5. Ha de ser 2n2 + 5 > 1000 ⇒ n > 22.

6. En este caso se ha de cumplir n(n + 1) > 1482, queequivale a n2 + n − 1482 > 0 ⇒ n = 38.

7. Sucesión áreas cuadrados: es una progresión geome-

trica con a1 = 4 y : 4, 2, 1, …

Sucesión áreas círculos: esuna progresión geométrica

con a1 = π y : ...r =12

r =12

12

36

112

72 2m−

=

r =12

r =2

2

ππ π π

, , ,2 4 8500 104 500 104

104 1344915 €

7⋅ −

−=

, ,,

,⋅

110

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Construcción y estudio de figuras regulares

Para esta actividad se necesitarán palillos y plastilina.

Con los palillos construiremos figuras poligonales de lado la longitud del palillo. Posteriormente construiremos sobrelas figuras ya construidas, prolongando dos de los lados, figuras de igual forma, pero cuyo lado esté formado por dos pali-llos. Repetimos el proceso, esta vez con figuras poligonales cuyos lados estén formados por tres palillos.

Los alumnos tendrán que anotar el número de palillos que se van utilizando en cada proceso, para poder establecer elnúmero de palillos necesarios para figuras cuyos lados estén formados por 7 palillos.

La plastilina se puede emplear para construir figuras en el espacio, uniendo las aristas con bolitas de plastilina. Al final,los alumnos tendrán que establecer el número de palillos y de bolitas de plastilina necesarios para cada paso.

ACTIVIDAD DE GRUPO


Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.

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1. La suma de todos los términos de una progresión geométrica de razón menor que la unidad viene dadapor la expresión:

s�

=

Consideramos la sucesión cuyos términos son las sucesivas áreas de los cuadrados que se forman delsiguiente modo. Partiendo de un cuadrado de 6 metros de lado, construimos el cuadrado cuyos vérticesson los puntos medios de los lados de dicho cuadrado. Repetimos la construcción de forma indefinidapara obtener la sucesión. ¿Cuál es la suma de las áreas de todos los cuadrados?

2. Una aplicación de las progresiones geométricas es el cálculo de la fracción generatriz de un númerodecimal.

En el siguiente ejemplo se dan los primeros pasos, trata de completarlo.

= … =

3. Si al principio de cada año ingresamos 500 euros en el banco a un interés del 4%, ¿qué capital tendre-mos al cabo de 6 años?

4. Calcula la suma de las potencias de 3 comprendidas entre 100 y 20 000.

5. Dados k = 1000 y la sucesión an = 2n2 + 5, averigua a partir de qué término de la misma todos los siguien-tes son mayores que k. Compruébalo con algunos términos posteriores.

6. Dado k = 1482, averigua a partir de qué término de la sucesión 1 ⋅ 2, 2 ⋅ 3, 3 ⋅ 4, 4 ⋅ 5… todos los siguien-tes son mayores que k.

7. En un cuadrado de lado 2 m se inscribe una circunferencia. Dentro de la circunferencia se inscribe uncuadrado, y dentro, otra circunferencia, y así sucesivamente tal y como muestra la figura.

Escribe la sucesión de las áreas de los cuadrados y la sucesión de las áreas de los círculos formados.

349

= + + + + + …⎛

⎝⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠3 7

110

1100

11000

110000

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

3 7 3 77777777 37

107

1007

10007

, ,�

= … = + + + +110000

+ … =

a

r1

1 −

6 m


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

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APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Dada la sucesión de término general , calcula los términos a7 y a10.

2. Obtén el término general de la sucesión 0, 3, 8, 15, 24, 35…

3. Calcula el término general de una progresión aritmética sabiendo que sus cuatro primeros términos son:

3, 10, 17, 24.

4. a) Sabiendo que el cuarto término de una progresión aritmética es 12 y que el término que ocupa ellugar 27 es 104, calcula el término 35.

b) Calcula la suma de esos 35 primeros términos.

5. De una progresión aritmética se sabe que la suma de sus primeros 20 elementos es 820 y que la dife-rencia es 4. ¿Cuánto vale el cuarto término?

6. Calcula el término general de una progresión geométrica si sus cuatro primeros términos son−2, 4, −8 y 16.

7. a) Calcula la suma de los primeros 10 términos de una progresión geométrica sabiendo que a4 = 48 ya6 = 192.

b) Calcula para dicha progresión el valor del término a1.

8. La suma de n términos de una progresión geométrica es 5115. Si el primer término es 5 y la razón es2, ¿cuántos términos se han sumado?

9. María le dice a su padre que para coger soltura en matemáticas, cada día resolverá 3 problemas másque el día anterior. Si el lunes ha resuelto 2 problemas, ¿cuántos resolverá el sábado?

10. A Fernando le han regalado un puzle de 1750 piezas para cuya construcción se propone un plan de tra-bajo. Cada día colocará 5 piezas más que el día anterior. Si el primer día coloca 40 piezas, ¿cuántos díastardará en terminarlo?

11. Javier envía un e-mail con un chiste a tres amigos suyos. Media hora más tarde, los amigos de Javierse lo han enviado a tres personas más cada uno. De nuevo en media hora, cada una de las personas quelo acaba de recibir se lo envía a otras tres. Suponiendo que cada persona que recibe el chiste se lo envíede media a otros tres amigos, ¿cuántas personas habrán recibido el chiste al cabo de dos horas?

12. En el concurso “Doble o nada”, cada pregunta bien contestada vale el doble que la anterior. Un concur-sante se ha llevado 32 767 euros. ¿Cuántas preguntas ha contestado correctamente si por la primera harecibido un euro?

annn =++

31 2( )

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PROPUESTA de EVALUACIÓN


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1.

2.

3.

4.

a) b)

5.

6.

7.

8. n = 10

9.

10. . Tarda 20 días en hacer el puzle.

11. Progresión geométrica de razón 3 y primer término 3. Nos piden el término 4, que es 81.

12. Se trata de una progresión geométrica de razón 2 y primer término 1. .

51155 2 5

2 15110 5 2=

⋅ −−

= ⋅n

n;

327672 1

12 32768 15=

−= =

nn n; ;

Sa a n d

nn = =+ + −( )

17501

21 1

a a d6 1 5 2 15 17= + = + =

48 8 61 1= ⋅ =a a;

S10

106 2 62 1

6138=⋅ −

−=

a

ar r6

4

219248

4 2= = = =;

a r ann n

112 2 2 2 2= − = − = − − = −−; ; ( ) ( )

Sa a a d

201 20 1

20

2

2 19

220 820 1=

+( ) ⋅=

+=, 00 2 76 3 151 1 4( ); ;a a a+ = =

Sa a

351 35 35

22380=

+( ) ⋅=a35 34 4 136= ⋅ =

a d1 12 3 0= − =d = 412 3

104 261

1

= +

= +

⎧⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

a d

a d

a n nn= + − = −3 17 7 4( )a d1 3 7= =;

a10 2

10 3

10 1

13121

=+

+( )=

a nn= −2 1

a7 2

7 3

7 1

1064

532

=+

+( )= =

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación



3esomapi gd esu04

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