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Programación* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*También la podrás encontrar en el CD Programación.

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5

3

2

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G U Í A D I DÁ C T I C A UNIDAD 6

División de polinomios.Raíces

CO N T E N I D O

3 ES

O

2

En esta unidad se completa el estudio de las operaciones aritméticas básicas con monomios y polinomios, describien-do el procedimiento de división general de dos polinomios y el algoritmo conocido como “regla de Ruffini” para la divi-sión de polinomios por binomios de la forma (x − a). En general, al alumnado le cuesta más retener estos procedimientos,especialmente el primero, que los aprendidos en el tema anterior y que se referían a la suma o producto.

Sin embargo, lo más importante del tema no es la adquisición de los métodos de cálculo de la división, sino la introduc-ción de un concepto clave en el álgebra, esto es, el de factorización de un polinomio. La idea de raíz de un polinomio, jun-to con los teoremas, sencillos pero importantes, del resto y del factor, permitirá llegar de forma natural a la factorizaciónde polinomios en una indeterminada, en función de los factores asociados a sus raíces reales.

El teorema fundamental del álgebra se trata también en esta unidad, si bien solo podemos citar el corolario del mismoque nos permite acotar superiormente el número de raíces reales de un polinomio.

En definitiva, se trata de una unidad con un fuerte contenido procedimental asociado a conceptos que no son sencillosde asimilar para la mayoría del alumnado.

• Teorema del resto.• Teorema del factor.• Raíz de un polinomio.• Número de raíces reales de un polinomio.• Factorización de polinomios.

• División de monomios.• Algoritmo de la división entera de polinomios.• Regla de Ruffini para la división por x − a.• Cálculos de las raíces enteras de un polinomio.• Expresión factorizada de un polinomio a partir del cono-

cimiento de sus raíces enteras. • Gusto por el aprendizaje de algoritmos de cálculo en álge-

bra, que reflejan el carácter de método lógico y ordena-do de esta.

• Interés por la reducción de una expresión a elementos mássimples, como ocurre con la factorización polinómica.

Unidad 6 División de polinomios. Raíces

CONTENIDOS

Programación de aula

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACIÓNCOMPETENCIAS

BÁSICAS

1. Conocer los algoritmos básicosde la división de polinomios, asícomo los teoremas relacionadoscon dicha divisibilidad (teoremasdel resto y del factor).

1.1 Aprender y utilizar los algorit-mos de división entera de poli-nomios y de Ruffini.

• Matemática

• Social y ciudadana

• Cultural y artística

• Tratamiento de la información ycompetencia digital

1.2 Comprender los teoremas delresto y del factor, y utilizarlospara resolver problemas de divi-sibilidad de polinomios.

2. Conocer el concepto de factoriza-ción de un polinomio y su relacióncon las raíces reales del mismo.

2.1 Conocer el concepto de raíz deun polinomio y saber calcular lasraíces enteras de un polinomiopor prueba de los divisores deltérmino independiente.

2.2 Saber factorizar un polinomioen función de sus raíces realesenteras.


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ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

1. Conocimientos previosSon necesarios los contenidos del tema anterior: expresiones algebraicas, valor numérico y operaciones básicas con poli-nomios. También conviene que recuerden el algoritmo de la división entera de números naturales y su correspondien-te prueba, así como la factorización de números naturales en factores primos.

2. Previsión de dificultadesEn este tema, los errores vienen de las equivocaciones que cometen los alumnos en las operaciones aritméticas bási-cas, que se reflejan en los procesos de división de polinomios, tanto por el algoritmo de división entera como por el deRuffini.

Otro problema que suele encontrarse es la confusión entre el valor de la raíz y la forma en que aparece en su factor aso-ciado. Por ejemplo, es común decir que a la raíz 2 le corresponde el factor x + 2.

Por último, los alumnos tienen cierta dificultad en entender el concepto de raíz múltiple que aparece en varias de las acti-vidades de la unidad.

3. Vinculación con otras áreasTal y como ocurría en el anterior, en este tema, dado su carácter más procedimental y operativo, no aparecen tan cla-ros los fuertes lazos entre el álgebra y el resto de áreas. Estos se manifestarán con claridad cuando se trabajen la uni-dad de ecuaciones y sistemas.

4. Esquema general de la unidadEl tema empieza describiendo el método de divi-sión de monomios entre sí y el de un polinomioentre un monomio. A continuación se explica endetalle el algoritmo de división entera de poli-nomios, remarcando la completa analogía con ladivisión entera de números.

El siguiente apartado trata de la división de unpolinomio por un binomio de la forma x − a, intro-duciendo el algoritmo de Ruffini como un méto-do ventajoso y rápido para la realización de dichadivisión.

Sigue la presentación de los teoremas del restoy del factor para, posteriormente, definir raíz deun polinomio y enunciar algunos resultadosimportantes como el que concierne al númerode raíces reales de un polinomio y el método decálculo de raíces enteras a partir del estudiode los divisores del término independiente.

La unidad termina con el estudio de la factori-zación de un polinomio.

5. TemporalizaciónSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en seis sesiones:

1.ª Introducción: desarrolla tus competencias. División de polinomios por monomios.

2.ª División de polinomios.

3.ª Regla de Ruffini. Teoremas del resto y del factor.

4.ª Raíces de un polinomio. Factorización.

5.ª Actividades de repaso y consolidación.

6.ª Trabajo en competencias mediante la doble página final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposición teórica debería ir acompañada de la realización de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epígrafes como en las páginas finales de actividades.

Por supuesto que el contexto de la clase es también un factor determinante en cuanto al número de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

División de polinomios. Raíces Unidad 6

DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Polinomio / Monomio

Polinomio / Polinomio

Teorema del resto Teorema del factor

N.º de raíces

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Raíces

Ruffini (x − a)

División entera

Monomio / Monomio

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CONTRIBUCIÓN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIÓN DE COMPETENCIAS BÁSICAS

Competencia lingüísticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensión del texto es básica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividadescompetenciales finales desarrollan de forma más específica los descriptores recogidos en las subcompetencias comu-nicación escrita y reflexión sobre el lenguaje.

Competencia matemáticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prácticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

En esta unidad, como sucede en todas las de álgebra, se puede considerar que se trabajan aspectos de las tres sub-competencias matemáticas: razonamiento y argumentación, resolución de problemas y uso de elementos y herra-mientas matemáticos.

Competencia social y ciudadanaEn esta unidad hay una referencia al desarrollo histórico de las matemáticas.

Competencia cultural y artísticaEn esta unidad se trabaja la subcompetencia de expresión artística.

Competencia para el tratamiento de la información y competencia digitalEsta es quizá, aparte de la matemática, la competencia que más se trabaja en la unidad. Además de las habituales refe-rencias a la utilización de medios tecnológicos para la búsqueda de información y la resolución de actividades interac-tivas, en esta unidad se trata la codificación digital del color y el uso ético de las herramientas informáticas.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluación planteadas en las páginas finales de la unidad, particularmente en la secciónde “Autoevaluación”, se puede indagar en la adquisición de esta competencia, especialmente en lo concerniente a lassubcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendi-zaje.

Otras competencias de carácter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexión y el sentido críticodel alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y crí-tico.

En esta unidad se propone un tema de debate en la actividad de Aprende a pensar sobre la utilización de herramientasinformáticas para manipular la imagen de los modelos publicitarios en la que, además de la competencia de trata-miento de la información y competencia digital, citada explícitamente en la tabla de la página siguiente, se trabajan:

En las sugerencias didácticas de los epígrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexión y debate enrelación con las actividades señaladas.

COMPETENCIAS SUBCOMPETENCIA

Lingüística Comunicación escrita

Tratamiento de la información y competencia digital

Uso de las herramientas tecnológicas

Uso ético y responsable de la información y las herramientas tecnológicas

Aprender a aprender Manejo de estrategias para desarrollar las propias capacidades y generarconocimiento

Autonomía e iniciativa personal Desarrollo de la autonomía personal



5

TRATAMIENTO ESPECÍFICO DE LAS COMPETENCIAS BÁSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias básicas que prescribe el currículo. Para esta unidadsugerimos realizar un trabajo más intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores com-petenciales específicos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.


COMPETENCIA1.er nivel de concreción

SUBCOMPETENCIA2.º nivel de concreción

DESCRIPTOR3.er nivel de concreción

DESEMPEÑO4.º nivel de concreción

Matemática

Razonamiento yargumentación

Seguir determinados procesos depensamiento, por ejemplo, inducción ydeducción.

– Sabe reconstruir un problema a partir de unfragmento de su solución o desarrollo.

Actividades 87 a 89.

Pon a prueba tus competencias:Investiga y descubre.

Resolución deproblemas

Desarrollar el gusto por la certeza y subúsqueda a través del razonamientomediante la utilización de elementos ysoportes matemáticos.

Social y ciudadanaDesarrollo personal ysocial

Conocer y comprender la realidadhistórica y social del mundo y sucarácter evolutivo.

– Sitúa geográfica e históricamente a losmatemáticos más importantes, así como conocesus aportaciones principales.

Sabías que… Nota sobre Gauss.

Cultural y artística Expresión artística

Conocer y utilizar de forma básica lasprincipales técnicas, recursos yconvenciones de los diferenteslenguajes artísticos.

– Conoce conceptos básicos del tratamiento digitalde imágenes: pixelado y resolución.

Desarrolla tus competencias, I-IV.

Pon a prueba tus competencias:

Ampliar fotos, reducir calidad.

Aprende a pensar, 1-4.

Tratamiento de lainformación y

competencia digital

Obtención,transformación ycomunicación de lainformación

Buscar y seleccionar información condistintas técnicas según la fuente o elsoporte, valorando su fiabilidad.

– Busca y comprende el significado de términosmatemáticos.

Desarrolla tus competencias, IV.

– Visita la página librosvivos.net.

Actividades 7, 14, 19 y 44.

Investiga en la red, organiza tus ideas,autoevaluación.

– Obtiene información o realiza actividades enpáginas de internet.

En la red.

Uso de lasherramientastecnológicas

Conocer los diferentes recursostecnológicos y utilizar los programasinformáticos más comunes.

– Maneja los programas informáticos básicos detratamiento de imagen.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 4.

Hacer uso habitual de los recursostecnológicos disponibles paraaplicarlos en diferentes entornos yresolver problemas reales.

– Conoce los conceptos de píxel y de resolucióngráfica.

Desarrolla tus competencias, I-IV.

Pon a prueba tus competencias: Ampliar fotos, reducir calidad.

Emplear lenguajes específicos (textual,numérico, icónico, visual, gráfico ysonoro) y los principales sistemasoperativos.

– Conoce qué son los códigos RGB y HSL para codificación del color.

Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar, 1, 4.

Uso ético yresponsable de lainformación y lasherramientastecnológicas

Evaluar la calidad y fiabilidad de lasfuentes de información. – Valora de forma crítica la publicidad en su faceta

de modelos de imagen.

Pon a prueba tus competencias: Aprende a pensar, 5.

Mostrar sensibilidad y respeto hacia elderecho a la intimidad y a la dignidadde la persona.


6

EDUCACIÓN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo específico de las competencias que se citan en latabla de la página anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educación en valores:

• Educación en comunicación, ciudadana y para la igualdad: actividad 5 de Aprende a pensar.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDADHay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto están clasificados por un código de colo-res según su dificultad: verde, nivel básico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad.

De esta forma, el profesor podrá adaptar el contenido de la unidad bien a las características particulares de la clase, biena las específicas de cada grupo de alumnos dentro de la misma.

Además, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno:

• Actividades de refuerzo. Una página fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

• Actividades de ampliación. Una página fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

• Propuesta de evaluación. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milación y comprensión de los conceptos y procedimientos tratados.

• Cuaderno de evaluación de competencias. En él se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisición por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemáticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjunción con el resto de competencias básicas.

MATERIALES DIDÁCTICOS



SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

• Cuadernos de matemáticas. 2.º de ESO: N.º 3: Ecuaciones y sistemas.

– Unidad I. Expresiones algebraicas.

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 2.º de ESO.

– Unidad 6. Expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado.

Refuerzo y ampliación de contenidos de este curso

• Cuaderno de refuerzo de matemáticas: “Aprende y aprueba”. 3.º de ESO.

– Unidad 4. Polinomios.

• Cuadernos de matemáticas. 3.º de ESO: N.º 2: Polinomios.

– Unidad IV. Factorización de polinomios.

• Cuaderno de matemáticas para la vida. 3.º de ESO.

– Cuadernos de resolución de problemas I y II.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Polinomios en el tema correspondiente (4.º, opción B) de la página de educación digitala distancia del Ministerio de Educación:

www.e-sm.net/3esomatprd18

Buscadores específicos de matemáticas como www.e-sm.net/3esomatprd19 (inglés).

• Juegos de dominó en los que se utilice la factorización de polinomios.

• Calculadora científica para calcular valores numéricos de polinomios.

• Programas informáticos de cálculo matemático que incluyan cálculo simbólico, como WIRIS o Derive.

Otr

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7

Sugerencias didácticas

Desarrolla tus competencias

1. División de polinomios pormonomios

Tal y como ya se mencionó en el tema anterior, el álgebra,excepto las ecuaciones y los sistemas, no se presta dema-siado para encontrar, a estos niveles, ejemplos motivado-res.

Sin embargo, el tema de la interpolación en fotografía digi-tal y el uso de los polinomios en dicha técnica sí puederesultar atrayente para un cierto número de alumnos, acos-tumbrados, en muchas ocasiones, a utilizar programasmás o menos básicos de retoque y tratamiento de imáge-nes.

El efecto del pixelado debería ser conocido por la mayoríadel alumnado y, en cualquier caso, resulta muy fácil demostrar y de entender cuando se hace una demostracióncon imágenes digitales en un ordenador.

La reflexión sobre la resolución y la calidad de las imáge-nes, que después se continúa en la sección final, puede darmucho juego y resultar muy enriquecedora para los alum-nos. El propio ejemplo que se expone en la fotografía deapertura de la unidad puede ser suficiente para que adquie-ran una idea adecuada sobre estos conceptos. Como com-plemento se les puede pedir que escojan una fotografíadigital y la sometan a diferentes cambios de escala para vercómo va apareciendo el pixelado. También, a los que dis-pongan de cámara digital se les puede proponer que tomenfotografías de un mismo objeto o paisaje, pero utilizando dis-tintos grados de resolución.

Para explicar la interpolación se puede recordar cómo seaplica este concepto en el caso de las progresiones arit-méticas y geométricas, por supuesto, siempre que se tra-bajara este tipo de problemas en el tema correspondiente.En cualquier caso, existen numerosos ejemplos cercanosa los alumnos en los que se utilizan interpolaciones más omenos complicadas.

• Pedir a los alumnos que, al menos en los primeros ejem-plos, comprueben que han hecho bien la división apli-cando la regla del cociente.

• Insistir en la relación entre los grados de dividendo, divi-sor, cociente y resto.

2. División de polinomios• Insistir en la completa analogía que existe con la tradi-

cional división entera de números.

• Conviene recordar las propiedades de las potencias quese van a aplicar en la división de monomios.

• Para los alumnos con más dificultades sería útil ponerejemplos numéricos en los que se vea que es posible divi-dir una suma entre un mismo número separando, en tan-tos cocientes como sumandos tenga el dividendo ladivisión de partida. Al mismo tiempo hay que recordarque esto no se puede hacer si la suma aparece en el divi-sor. Este último es un fallo muy común a la hora de sim-plificar fracciones: los chicos tachan sumandos igualesde numerador y denominador en vez de factores iguales.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Básico 2 a 6, 45 y 46


Básico 16 a 18, 52 y 53

Medio 54 a 56, 86 y 88 a 90



Básico 8 a 11, 47 y 48

Medio 12, 13, 49 y 50

Alto 51 y 93

3. Regla de Ruffini• Remarcar que la regla de Ruffini no es más que un esque-

ma alternativo para realizar la división cuando el divisores de la forma x − a, si bien se trata de un método másfácil y rápido que la división entera por cajas vista en elepígrafe anterior.

• Hay que insistir en que Ruffini sólo se puede aplicar cuan-do el divisor es de la forma x − a.

• Para aquellos alumnos más motivados puede resultarinteresante proponerles ejercicios en los que el divisorsea de la forma ax − b y sugerirles que la división se pue-de hacer por Ruffini (poner ejemplos sencillos en los que

sea entero).ba

4. Teoremas del resto y del factor• Insistir en la utilidad del teorema del resto para saber el

resto de una división por x − a sin necesidad de efec-tuarla.

• Remarcar que ambos teoremas son dos aspectos delmismo hecho.

• Un fallo muy común es no reconocer el factor asociado alcero, por lo que conviene resaltarlo.

• El tema de la relación de la criptografía y los polinomios,que se menciona en el lateral, es muy interesante, peroquizá más adecuado para trabajarlo en 4.º de ESO.

5. Raíces de un polinomio• A los alumnos más motivados se les puede detallar un

poco más qué posibilidades de tener raíces reales posee


Básico 21 a 23, 57 y 59 a 61

Medio 24 a 26, 63, 68, 69 y 87

Alto 71 a 73, 91, 94 y 95

Pon a prueba tus competencias

CALCULA Y APLICA:AMPLIAR FOTOS, REDUCIR CALIDAD

Esta actividad continúa el tema planteado al comienzo dela unidad.

Es una actividad sencilla que persigue afianzar en los alum-nos la idea de la estrecha relación que existe entre la reso-lución y la calidad de las imágenes digitales.

Aparte de las preguntas propuestas, hay otras reflexionesque se podrían plantear. Por ejemplo:

• Investigar sobre el significado de los megapíxeles de reso-lución que tienen las cámaras digitales. Aquí convieneinsistir en que no siempre es mejor la cámara que másmegapíxeles ofrece y en la propaganda, a veces engaño-sa, que se hace con este tema. Más importante es la cali-dad de la óptica que lleva incorporada el dispositivofotográfico. Se les puede hacer la comparación con losordenadores y la memoria RAM: normalmente, a másmemoria, mejores prestaciones, pero hay otros factoresigual de importantes o más.

• Buscar información sobre cuál sería el límite de resolu-ción en el que no fuera perceptible la diferencia entre unaimagen digital y otra del mismo tamaño obtenida pormétodos analógicos.

• Que sean conscientes de cómo el aumento en la resolu-ción genera ficheros de imagen cada vez mayores, conlos posibles problemas que esto conlleva.

INVESTIGA Y DESCUBRE:LOS NÚMEROS BORRADOS

Se trata de una actividad de tipo matemático parecida a lasnúmeros 87 a 89 ya comentadas anteriormente.

En su resolución, los alumnos tienen que aplicar los cono-cimientos adquiridos en la unidad y también razonar deforma inductiva para reconstruir los ejercicios propuestos.

Normalmente, a los alumnos les cuesta llevar a cabo correc-tamente este tipo de actividades, no por falta de capaci-dad, sino porque les puede la impaciencia. Están

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un polinomio de grado n. En cualquier caso, es mejoresperar a explicar la factorización para poder introducirel concepto de multiplicidad de las raíces, y así explicarla casuística de forma más clara.

• Conviene advertir que antes de buscar las posibles raí-ces enteras hay que dividir el término independienteentre el coeficiente de mayor grado del polinomio. Porejemplo, perderíamos el tiempo buscando raíces entrelos ocho divisores del término independiente en12x3 + 2x2 − 3x + 6, ya que este polinomio no tiene raí-ces enteras.

• Las notas al margen sobre el teorema fundamental delálgebra y sobre Gauss pueden utilizarse para dar algu-nos datos históricos sobre el desarrollo del álgebra apartir del siglo XVIII. Puede resultar muy interesante quelos alumnos sitúen a los principales matemáticos de laépoca en sus respectivos contextos sociales y geográ-ficos.

6. Factorización de polinomios• Aunque algunos ejemplos se pueden considerar como

de nivel básico, preferimos asignar un nivel medio al con-cepto de factorización.

• Conviene poner algún ejemplo en el que el polinomio notenga 1 por coeficiente de mayor grado, y remarcar a losalumnos la importancia de no olvidar ponerlo como fac-tor multiplicativo global, una vez que se han escrito los fac-tores asociados a las raíces.

• Retomar lo comentado hace dos secciones sobre el núme-ro y carácter de las raíces de un polinomio, introducien-do la idea de multiplicidad.

• Indicar a qué se llama polinomio irreducible y poner algu-nos ejemplos de polinomios de diferentes grados sin raí-ces reales, señalando que siempre se pueden reducir aproductos de polinomios de 2.º grado irreducibles. Porejemplo, se puede utilizar x4 + 1.

Organiza tus ideas• Como una actividad que sirva para que trabajen el esque-

ma-resumen, los alumnos pueden asignar las activida-des realizadas en la unidad a los distintos contenidospresentados en el resumen. Sería suficiente con queencontraran dos o tres ejemplos de actividades para cadaapartado. De esta forma se les obliga a repasar el tra-bajo realizado y a reflexionar sobre los conceptos y pro-cedimientos adquiridos.

• Una segunda actividad de interés puede ser que los alum-nos completen el resumen tanto con otros contenidospresentes en el tema, pero no incluidos en este esquema,como con contenidos de cursos anteriores relacionados,pero no tratados explícitamente en el tema.

Actividades87 a 89. En estos problemas se plantea encontrar la expre-

sión de un polinomio a partir de diferentes datos. Estetipo de cuestiones suelen tener cierta dificultad paralos alumnos, pero resultan muy formativas, por lo queconviene realizarlas. Una buena opción es plantearlascomo juegos de habilidad entre alumnos o parejas dealumnos que deben hallar la solución en el menor tiem-po posible.

• Parecidas a las actividades anteriores son algunas de laspropuestas en la sección de ampliación (97 y 98), si bien,en estos casos, la dificultad es un poco superior.


Básico 31 a 37, 58 y 62

Medio 38, 39, 64 a 67 y 70

Alto 96 y 97


Básico 41, 42 y 74 a 77

Medio 43 y 78 a 83

Alto 84, 85, 92 y 98


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acostumbrados a la aplicación directa de los diferentesalgoritmos y no suelen tener la suficiente disciplina paraafrontar este tipo de ejercicios más inductivos.

APRENDE A PENSAR:MILLONES DE COLORES

Esta actividad es la más rica de toda la unidad desde elpunto de vista competencial.

Normalmente, los alumnos utilizan los programas infor-máticos de tratamiento y retoque de imágenes por pruebay error, pero sin reflexionar sobre lo que realmente estánhaciendo.

En la actividad se describe con cierto detalle en qué consisteel sistema RGB para fijar el color de un píxel en una imagen.También se trata cómo este sistema interpola el color deun nuevo píxel a partir de los que ya están generados.

Es muy recomendable que los alumnos experimenten conlo tratado en el ejercicio. Para ello basta usar alguno delos programas gratuitos más conocidos para dibujar o reto-car imágenes, como puede ser el Paint.

Las posibilidades de extensión de la actividad son muchasy pasan desde la generación de imágenes con patrones decolor previamente asignados por el profesor, hasta la reso-

lución de “jeroglíficos” o “crucigramas” cromáticos delestilo del propuesto en el apartado 2.

En el ejercicio 5 se propone un tema de debate en “Apren-de a pensar”: la conveniencia o no de utilizar el retoquefotográfico para alterar la información real.

Aunque en este caso el tema se centra en las fotografías demodelos de publicidad, se puede ampliar el debate a muchosotros tipos de informaciones:

• Fotografías de pisos, automóviles u otros objetos que seponen a la venta.

• Imágenes de gimnasios, colegios, restaurantes que sepublicitan.

Puede resultar curioso el comentar que el retoque de imá-genes se ha realizado desde la más remota antigüedadpara aumentar la belleza o el vigor físico en las esculturaso pinturas que representaban a reyes o autoridades. Un reyno podía presentar un aspecto desagradable o enfermizo enuna obra de arte que lo retratase.

Como siempre en este tipo de actividades, hay que esti-mular la participación de los alumnos en el blog, fomentandoque escriban sus opiniones y que lean con respeto las delos demás.


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Actividades de refuerzo

Unidad 6 División de polinomios. RaícesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

A la hora de trabajar con aquellos alumnos más desmotivados o con mayores carencias de base no podemos obviar elhecho de que los contenidos incluidos en esta unidad no están entre los mínimos dictados por el currículo oficial. Asíque los conceptos a tratar serán los más inmediatos e intuitivos, por ejemplo:

• Recordar con ellos las normas y mecanismos de la división entera para que tengan presentes las ideas de divisibi-lidad, múltiplo, factor y divisor. En este punto conviene insistir en la regla de la división:

Dividendo = Cociente × Divisor + Resto

• Trabajar algunos problemas de división de monomios y de polinomios por monomios, conectando con las propieda-des de las potencias vistas en la unidad 2. Conviene trabajar los errores típicos de la simplificación de fracciones quese señalaron en el libro del profesor y que son frecuentes entre estos alumnos.

• No debe ser difícil que adquieran la idea de raíz de un polinomio. Convendría buscar expresiones y ejemplos en losque, como un juego, ellos tengan que “adivinar” qué valor hay que colocar en lugar de una letra para hacer cero unaexpresión dada. En este sentido va orientada la actividad de grupo propuesta.

1. a) Correcta

b)Errónea, sería:

c) Errónea, sería: .

d)Correcta

2. a) 8 es divisible por 2 y por 4.

2 y 4 son divisores o factores de 8.

8 es múltiplo de 2 y de 4.

b)15 es divisible por 3 y por 5.



c) 12 es divisible por 3 y por 4.



d)20 es divisible por 2 y por 10.



3. a) 4b c)

b) 5xz d)

4. 3x y z son divisores de 15x3y3z.

10 xy3z es divisible por 5xy2.

32x4z es múltiplo de 8x2.

5xy2 es un factor de 15x3y3z y de 5xy2.

5. a) 1 + 3x − 2x2

b)

c) 3 2 64 15

23 2

2y y

y y− + − +

1 225

− +x y

4 2 2

2

y zx

3ca

4 14

34

0 75−

= = ,

22 4

26

13

0 333+

= = = , ...

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Arruínate

Se les propondrá que construyan polinomios en una variable que se anulen para unos determinados valores enteros. Des-pués, por equipos, se intercambiarán las expresiones propuestas, digamos tres por equipo, e intentarán descubrir quévalores hacen cero los polinomios del otro equipo. Podrán usar calculadora, pero se les sugerirá que apliquen algunasde las ideas dadas en clase. Después se hará la puesta en común para todos y se tomará como punto de partida paraprofundizar en el concepto de raíz.

ACTIVIDADES DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de refuerzo.


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1. Observa el ejemplo resuelto y señala si las siguientes operaciones se han simplificado de forma correc-ta o no. Corrige, en su caso, las equivocaciones.

La simplificación no es correcta porque el 3 que aparece en el numerador es un sumando y no un factor.

La solución correcta es .

a) c)

b) d)

2. Fíjate en el ejemplo y completa el siguiente cuadro con las relaciones entre los números que intervie-nen en una división exacta.

3. Fíjate en el ejemplo resuelto y realiza las siguientes divisiones de monomios.

Observa que solo se pueden simplificar los factores que estén al mismo tiempo en el dividendo y en el divisor,es decir, en el numerador y en el denominador si lo escribimos en forma de fracción.

a) b) c) d)

4. Relaciona cada expresión con el enunciado correspondiente.

5. Fíjate en el ejemplo resuelto y realiza las siguientes divisiones de un polinomio entre un monomio.

a) b)3 9 6

35 10 2

5

2 3 4

2

2 2x x xx

xy x y xyxy

+ − − +c)

6 4 12 8 152

5 4 2

2

y y y yy

− + − +

2 6 10 42

22

62

102

42

3 2 2x x xx

xx

xx

xx

− + −= − + −

xxx x

x= − + −2 3 5

2

10025

4 3

3 2

xy zx y z

3612

3 2 4

4 2 3

a b ca b c

204

2 2

2

x y zxy

123

abcac

( ) : )24 2242

2 32

2 32

3

3 2

3x y xy

x yxy

x yxy

( = =⋅ ⋅

== ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =− − − −2 3 2 3123 1 2 1 1 3 2 2

2x y x y

xy

2 62

1 3 4+

= + =22 4

22

24

112

15+

= + = + = ,

4 14

1−= −

6 33

3 2 13

2 1 3+

=+

= + =( )

2 33

53

2 6+

= = ,

2 33

21

2+

= =

3x y z son divisores de…

10xy3z es divisible por…

32x4z es múltiplo de…

5xy2 es un factor de…

5xy2

8x215x3y3z

6x2y

División Divisibilidad Divisores o factores Múltiplos

a) 8 : 2 = 4 8 es divisible por 2 y por 4 2 y 4 son divisores o factores de 8 8 es múltiplo de 2 y de 4

b) 15 : 3 = 5

c) 12 : 4 = 3

d) 20 : 10 = 2


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ACTIVIDADES de REFUERZO


12

Actividades de ampliación

Unidad 6 División de polinomios. RaícesORIENTACIONES METODOLÓGICAS

Algunos de los aspectos de esta unidad que pueden tratarse a modo de ampliación con los alumnos más interesadospueden ser:

• Analizar cuántas raíces reales puede tener un polinomio dependiendo de su grado. Se les puede justificar heurísti-camente por qué los polinomios irreducibles son de grado dos en conexión con el hecho de que un polinomio de gra-do n puede tener n, n − 2, n − 4… raíces reales, contando también la multiplicidad de cada raíz.

• Introducir los conceptos de mínimo común múltiplo y de máximo común divisor de un conjunto de polinomios, par-tiendo de la factorización de los mismos.

1. P(x) = (−x + 1)(x − 2)2 = −x3 + 5x2 − 8x + 4

2. P(x) = 6x3 − 7x2 − 4x + 5

3. En la tabla se exponen los casos correspondientes apolinomios de segundo y de cuarto grado.

4. a) P(x) = x2(x + 1)(x + 5)

b) Q(x) = 3(x + 2)(x − 1)2

c) R(x) = −(x + 1)(x + 4)(x2 + 1)

d) S(x) = (x + 1)(x − 1)(x2 + 1)

5. P(x) � xn � an es siempre divisible por x − a, ya que

P(a) = 0. Será divisible también por x + a en el caso enel que n sea par, ya que entonces:

P(−a) = (−a)n − an = an − an = 0

P(x) � xn � an nunca es divisible por x − a, ya que

P(a) = 2an;; sin embargo, será divisible por x + a cuan-do n sea impar, ya que entonces:

P(−a) = (−a)n + (−a)n = −an + an = 0

6. a) m.c.d. = x(x − 3)

m.c.m. = x3(x − 3)(x + 3)(x + 1)

b)m.c.d. = x + 2

m.c.m. = x(x − 2)(x + 2)(x − 3)

c) m.c.d. = 1

m.c.m. = x2(x + 5)(x2 + 1)

Número de raíces reales Casos Ejemplo

4

1 cuádruple x4

1 triple y 1 simple (x − 1)3(x + 2)

1 doble y 2 simples (x − 1)2(x − 2)x

2 dobles (x − 1)2(x − 5)2

4 simples (x + 1)(x − 1)(x − 2)x

21 doble x2 (x2 + 1)

2 simples (x − 1)(x − 2)(x2 + 1)

0 — (x2 + 1)(x2 + 7)

Número deraíces reales Casos Ejemplo

21 doble x2

2 simples (x − 1)(x − 2)

0 − (x2 + 1)

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Divisibilidad

Se propone a los alumnos que profundicen un poco más en la divisibilidad y en los conceptos de máximo común divisory de mínimo común múltiplo. Pueden comenzar resolviendo algunos problemas para los números enteros y después inten-tar resolver los análogos con polinomios. En particular, proponemos que calculen el número de divisores que tiene unnúmero dado y el valor de todos ellos a partir de la descomposición factorial de dicho número, y el cálculo del máximocomún divisor de dos números utilizando el algoritmo de Euclides. En grupos de tres o cuatro alumnos, podrían comen-zar buscando información en internet y, a partir de ahí, intentar resolver los problemas propuestos.

ACTIVIDAD DE GRUPO

Más recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar más propuestas de actividades de ampliación.


13

1. Determina el polinomio P(x) que verifica a la vez las siguientes condiciones.

a) Es divisible por (x − 2)2 y el cociente que se obtiene es de la forma (ax + b).

b) Los restos, al dividirlo por (x + 1) y por x son 18 y 4, respectivamente.

2. Halla un polinomio de tercer grado, P(x), que cumple a la vez las siguientes condiciones.

a) Tiene por raíz 1, con multiplicidad 2 (recuerda que la multiplicidad de la raíz es el número de veces queaparece el factor correspondiente a esa raíz en la descomposición factorial del polinomio).

b) El resto, al dividirlo por x, es 5.

c) Si le sumamos 4, el polinomio que resulta es divisible por x + 1.

3. En el ejemplo se muestran todos los tipos de raíces que se pueden presentar en un polinomio de tercergrado. Observa cómo se hace e intenta construir tú un cuadro parecido para los casos de grados 2 y 4.

El n.º máximo de raíces reales que puede tener un polinomio coincide con su grado (3.er grado → como máxi-mo, 3 raíces reales).

Un polinomio de grado n puede tenern o n − 2, o n − 4, o n − 6, o… (y asísucesivamente) raíces reales; esdecir, desde el grado hacia abajo condiferencias de dos en dos. Por ejem-plo, si un polinomio de grado 3 no tie-ne 3 raíces reales, debe tenernecesariamente 1, siendo imposible que tenga 2 o ninguna.

¡Ojo!, al contar las raíces reales de un polinomio debemos contar también el número de veces que se repite,su multiplicidad. Por ejemplo, el polinomio x3 tiene una raíz real que se repite 3 veces, luego en total tiene 3 · 1 = 3 raíces reales. Así, para los polinomios de este grado podemos encontrarnos los siguientes casos:

4. Factoriza los siguientes polinomios.

a) P(x) = x4 + 6x3 + 5x2 c) R(x) = −x4 −5x3 −5x2 −5x −4

b) Q(x) = 3x3 − 9x + 6 d) S(x) = x4 − 1

5. Estudia en qué casos el polinomio xn � an es divisible por x � a.

6. Observa el ejemplo resuelto y calcula el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes conjuntos de polinomios (noes necesario que los desarrolles).

P(x) = (x + 1)2(x − 2)(x − 3), Q(x) = (x +1)(x - 2), R(x) = x(x + 1)

Los tres polinomios están factorizados: P(x) = (x + 1)2(x − 2)(x − 3) Q(x) = (x + 1)(x − 2) R(x) = x(x + 1)

Observamos que hay factores comunes en los tres. Al igual que ocurre con un conjunto de números enteros,se pueden definir el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo para un conjunto de polinomios.

El máximo común divisor (m.c.d.) de un conjunto de polinomios es un polinomio que tiene como factores losfactores comunes a todos los polinomios del conjunto con la mínima multiplicidad con la que aparecen (es decir,elevados al mínimo exponente con el que aparecen). Si no hubiera factores comunes, el m.c.d. sería un núme-ro real arbitrario, k. En el ejemplo, el m.c.d.(x) = (x + 1).

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de polinomios es un polinomio que tiene como factoreslos factores comunes y los no comunes de todos los polinomios del conjunto con la máxima multiplicidadcon la que aparecen (esto es, elevados al mayor exponente con el que aparecen). En el ejemplo, el m.c.m.(x)= x(x + 1)2(x − 2)(x − 3).

a) P(x) = x3(x − 3), Q(x) = x2(x − 3)(x + 3), R(x) = x(x − 3)(x + 1)

b) P(x) = x3 − 4x, Q(x) = x + 2, R(x) = x2 − x − 6 (en este caso debes factorizar primero todos los polinomios).

c) P(x) = (x + 5)(x2 + 1), Q(x) = x2(x + 5), R(x) = x


ACTIVIDADES de AMPLIACIÓN

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Número de raíces reales Casos Ejemplos

3

1 triple x3

1 doble y 1 simple (x − 1)2(x − 2)

3 simples x(x − 1)(x − 2)

1 1 simple (x + 1)(x2 + 1)

14

APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Realiza las siguientes divisiones.

2. Dados los polinomios P(x) � x3 � 2x2 � 7x � 5, Q(x) � x2 � x � 2 y M(x) � x � 1:

a) Calcula las divisiones P(x) : Q(x), P(x) : M(x) y Q(x) : M(x).

b) ¿Es M(x) divisor de P(x)? ¿Y de Q(x)?

3. a) Calcula, sin efectuar la división, el resto que resulta al dividir 3x3 − 5x2 + 4 entre x + 1.

b) Dado el polinomio P(x) = x4 − 3x2 + x − 6, comprueba si x + 3 y x − 2 son factores de P(x).

4. Dado el polinomio P(x) � x3 � 3x2 � kx � 2:

a) Halla el valor que debe tener k para que P(x) sea divisible por x + 2.

b) Para el valor de k obtenido en el apartado anterior, halla el otro factor de P(x).

5. Halla un polinomio de segundo grado P(x) que cumpla las siguientes condiciones.

• Toma el valor 2 para x � 0.

• Su coeficiente de grado 1 vale 7.

• Es múltiplo del polinomio x � 2.

6. Calcula las raíces enteras de los siguientes polinomios.

a) x2 − 5x + 6 b) x3 + 4x2 + x − 6 c) x4 + 2x3 − 7x2 + 4x

7. a) Escribe un polinomio de 4.º grado cuyas raíces sean −2, −1, 3 y 6.

b) ¿Qué raíces tiene el polinomio x(x + 5)(x − 1)2?

8. Halla las raíces y factoriza los siguientes polinomios.

a) P(x) = x4 + 3x3 − 4x2 − 12x b) Q(x) = (x − 1)(x + 3) + (x − 1)(x − 2)

9. Halla un polinomio P(x) de segundo grado cuyo término independiente sea 4, x � 2 sea raíz suya, y el res-to de dividir el polinomio por x � 1 sea 3.

a)32

2xyxy

c) x x x x3 22 5 10 2− + −( ) −( ): 7e)

b)

x x x x

x y x y

3 2

3 2

5 17 1

3 6

− − +( ) −( )

−

:

++− −( ) +( )12

2 24 42yxy

x x xd) : f) 2 3 94x x−( ) −( ):

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PROPUESTA de EVALUACIÓN


15

1. a) d) x − 6 (división exacta)

b) 3x2 − 6x + e) x2 + 2x − 3, resto = −20

c) x2 + 5 (división exacta) f) 2x3 + 18x2 + 162x + 1458, resto = 13 119

2. a)

b) M(x) es un divisor de Q(x), ya que la división Q : M da resto 0.

3. a) El resto es −4.

b) x + 3 no es factor de P(x), ya que P(−3) = 45 � 0.

x − 2 sí es factor de P(x), al ser P(2) = 0.

4. a) k = −11

b) El otro factor es x2 − 5x − 1.

5. El polinomio es P(x) = 3x2 + 7x + 2.

6. a) 2 y 3 b) −3, −2 y 1 c) −4, 0 y 1 (doble)

7. a) Podría ser el polinomio:

(x + 2)(x + 1)(x − 3)(x − 6) = x4 − 6x3 −7x2 + 36x + 36

b) −5, 0 y 1 (doble)

8. a) P(x) = x(x + 2)(x + 3)(x − 2), raíces: −3, −2, 0 y 2

b) Q(x) = (x − 1)(2x +1), raíces: 1 y

9. El polinomio es P(x) = −x2 + 4.

32y

−12

12x

División Cociente Resto

P : Q x − 1 8x − 7

P : M x2 − 3x + 10 −15

Q : M x − 2 0

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIÓN

Propuesta de evaluación



3esomapi gd esu06

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