3esomapi gd esu13

Programacin* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didcticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17*Tambin la podrs encontrar en el CD Programacin.

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G U A D I D C T I C A UNIDAD 13

Figuras ycuerpos geomtricos

CO N T E N I D O

3 ESO

2El tema se centra en el estudio de los cuerpos geomtricos: poliedros y cuerpos redondos, aunque tambin se introdu-cen algunos conceptos que no se han tratado en cursos anteriores, como, por ejemplo, las curvas cnicas y las coorde-nadas y sistemas de representacin geogrficos.

Es fundamental que los alumnos reconozcan los poliedros y cuerpos redondos, describan sus propiedades y relaciones,y sepan clasificarlos y construirlos. Tambin es importante que identifiquen los cuerpos geomtricos por su desarro-llo plano, como paso previo para el clculo de reas.

Adems, deben apreciar la importancia de la geometra esfrica y lo til que es en geografa para localizar lugares,calcular distancias o identificar distintas zonas horarias.

Unidad 13 Figuras y cuerpos geomtricos

CONTENIDOS

Programacin de aula


OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACINCOMPETENCIAS

BSICAS

1. Reconocer y describir los ele-mentos y propiedades mtricasde cuerpos elementales y sus con-figuraciones geomtricas.

1.1 Identificar y distinguir los polie-dros, clasificndolos e indican-do sus elementos, desarrolloplano y propiedades.

Lingstica

Matemtica

Interaccin con el mundo fsico

Social y ciudadana

Cultural y artstica

Tratamiento de la informacin ycompetencia digital

Autonoma e iniciativa personal

1.2 Obtener la figura transformadade una dada mediante una trans-formacin geomtrica.

2. Reconocer los cuerpos redondosindicando su desarrollo plano ypropiedades.2. Obtener las medi-das de longitudes, reas y vol-menes de los cuerpos elementa-les en un contexto de resolucinde problemas geomtricos, utili-zando el teorema de Pitgoras yfrmulas elementales.

2.1 Calcular longitudes, reas yvolmenes de distintos cuerposgeomtricos.

2.2 Aplicar el clculo de longitudes,reas y volmenes de cuerposgeomtricos a la resolucin deproblemas.

3. Conocer nuevos lugares geom-tricos planos o no definidos en elespacio.

3.1 Distinguir entre s las curvascnicas y la superficie esfrica.

4. Identificar y utilizar los sistemasde coordenadas geogrficas.

4.1 Calcular distancias entre dospuntos de la superficie terres-tre conociendo sus coordenadas.

Poliedros. Elementos. Frmula de Euler. Poliedros regulares. Prismas y pirmides. Propiedades mtricas. Cuerpos redondos. Elementos, simetra. Las cnicas. reas de poliedros y cuerpos redondos. Desarrollos planos. Volumen de poliedros y cuerpos redondos. Esfera. Superficie esfrica. Elementos, rea y volumen de la esfera. Semiesfera. Casquete esfrico. Zonas y huso esfrico. Coordenadas geogrficas: latitud y longitud. Mapas: proyecciones cilndrica, cnica y central. Clasificacin y descripcin de poliedros.

Aplicacin del teorema de Pitgoras para calcular longi-tudes en el espacio.

Descripcin del desarrollo de los diferentes cuerposredondos: cilindro, esfera, cono y tronco de cono.

Reconocimiento y distincin entre las distintas cnicas. Clculo de reas y volmenes de prismas, pirmides y

cuerpos redondos y aplicacin a la resolucin de proble-mas geomtricos.

Clculo de reas y volmenes de cuerpos compuestos. Clculo de distancias entre dos puntos de la geografa

terrestre. Inters por la investigacin sobre la forma de objetos. Flexibilidad para aceptar diferentes formas de resolver

un problema geomtrico. Inters por la aportacin de la geometra a otras cien-

cias, en especial a la arquitectura, el arte y la geografa.

ORIENTACIONES METODOLGICAS

1. Conocimientos previosMuchos de los conceptos, especialmente los referidos a poliedros y a cuerpos redondos, ya se han trabajado en cursosanteriores. Tambin debe recordarse la idea de lugar geomtrico estudiada en el tema 11.

Sera interesante preguntar al profesor de Ciencias Sociales cundo y con qu profundidad han estudiado los alumnosel tema de las coordenadas geogrficas, para aprovechar de esta forma esos posibles conocimientos previos.

2. Previsin de dificultadesEn este tema, las dificultades tienen dos orgenes: problemas con el clculo y la utilizacin de las numerosas frmulasque aparecen en la unidad y conflictos con la visin espacial de las figuras y sus elementos.

3. Vinculacin con otras reasExisten multitud de problemas y situaciones de la vida cotidiana y de otras materias en los que aparecen cuerpos geo-mtricos, especialmente en materias como plstica o tecnologa. Adems, ya se ha sealado anteriormente la obviarelacin de la parte de geografa terrestre con los contenidos de Ciencias Sociales.

4. Esquema general de la unidadLa unidad comienza repasando conceptos ya conocidospor los alumnos: poliedros, prismas y cuerpos redon-dos; clasificacin, propiedades y elementos. Despusse introducen los conceptos de eje y plano de simetrade un cuerpo geomtrico.

En el epgrafe siguiente se introducen las cnicas tan-to a partir de su generacin como interseccin de unplano con una superficie cnica, como dando su defini-cin como lugar geomtrico en el plano.

Los epgrafes 6 y 7 estn dedicados a recordar las fr-mulas de reas y volmenes de todos los cuerpos geo-mtricos, salvo la esfera. Las medidas de la esfera, ascomo sus propiedades, se estudian posteriormente,relacionndolas con la geometra terrestre. Para lasreas se recuerdan los desarrollos planos a fin de faci-litar la deduccin de las distintas expresiones.

El epgrafe 8 se centra en el estudio de la geometra de laesfera, y el 9 muestra cmo calcular el volumen de cuer-pos compuestos, descomponindolos siempre en cuerposelementales de los que se puede calcular su rea y volu-men a travs de las frmulas conocidas.

Para finalizar, la unidad se centra en el estudio de la geometra terrestre, relacionando por primera vez las coordena-das geogrficas con las matemticas, y mostrando cmo a travs de estas se pueden calcular distancias en la superfi-cie terrestre. El ltimo epgrafe describe de forma cualitativa los diferentes sistemas de representacin utilizados en car-tografa.

5. TemporalizacinSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones:

1. Introduccin: desarrolla tus competencias.

2. Poliedros. Prismas y pirmides. Cuerpos redondos. Simetras.

3. Cnicas. reas de cuerpos geomtricos.

4. Volmenes en cuerpos geomtricos. La esfera. Cuerpos compuestos.

5. La Tierra. Coordenadas geogrficas y sistemas de representacin.

6. Actividades de repaso y consolidacin.

7. Trabajo en competencias mediante la doble pgina final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposicin terica debera ir acompaada de la realizacin de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epgrafes como en las pginas finales de actividades.

Por supuesto que el contexto de la clase es tambin un factor determinante en cuanto al nmero de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

3

Programacin de aula

Figuras y cuerpos geomtricos Unidad 13

Coordenadas geogrficas

CUERPOS GEOMTRICOS

Pirmides

Regulares

Prismas

Cilindro

ConoCnicas

Mapas

SimetrasPoliedros Cuerpos redondos

reas - Volmenes

Esfera

4CONTRIBUCIN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIN DE COMPETENCIAS BSICAS

Competencia lingsticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensin del texto es bsica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividadescompetenciales finales desarrollan de forma ms especfica los descriptores recogidos en las subcompetencias decomunicacin escrita y de reflexin sobre el lenguaje.

Competencia matemticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prcticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

En esta unidad se puede considerar que se trabajan fundamentalmente las subcompetencias de resolucin de proble-mas y de uso de elementos y herramientas matemticos.

Interaccin con el mundo fsicoEn esta unidad se pueden trabajar las subcompetencias de conocimiento y valoracin del desarrollo cientfico-tecno-lgico y de medio natural y desarrollo sostenible.

Social y ciudadanaAlgunas de las actividades del tema, especialmente las referidas a los diamantes, posibilitan tratar las subcompeten-cias de desarrollo personal y social y de compromiso solidario con la realidad personal y social.

Cultural y artsticaSe pueden trabajar las subcompetencias de expresin artstica y de patrimonio artstico.

Competencia para el tratamiento de la informacin y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilizacin de medios tecnolgicos para la bsqueda de informacin y la reso-lucin de actividades interactivas. Se trabaja la subcompetencia de obtencin, transformacin y comunicacin de lainformacin.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluacin planteadas en las pginas finales de la unidad, particularmente en la seccinde Autoevaluacin, se puede indagar en la adquisicin de esta competencia, especialmente en lo concerniente a lassubcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendi-zaje.

Competencia de autonoma e iniciativa personalLa realizacin de un trabajo manual sobre construccin de figuras geomtricas permite tratar la subcompetencia de pla-nificacin y desarrollo de proyectos.

Otras competencias de carcter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexin y el sentido crticodel alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y cr-tico.

En las sugerencias didcticas de los epgrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexin y debate enrelacin con las actividades sealadas.

Programacin de aula


5TRATAMIENTO ESPECFICO DE LAS COMPETENCIAS BSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias bsicas que prescribe el currculo. Para esta unidadsugerimos realizar un trabajo ms intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores com-petenciales especficos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

Programacin de aula


COMPETENCIA1.er nivel de concrecin

SUBCOMPETENCIA2. nivel de concrecin

DESCRIPTOR3.er nivel de concrecin

DESEMPEO4. nivel de concrecin

LingsticaReflexin sobre ellenguaje.

Ser consciente de las convencionessociales, los valores y los aspectos cul-turales del lenguaje.

Conoce cmo la observacin de la realidad pasaal lenguaje comn.

Desarrolla tus competencias, IV.l de conc

MatemticaResolucin deproblemas.

Seleccionar las tcnicas adecuadaspara calcular resultados, y representare interpretar la realidad mediantemedidas matemticas.

Desarrolla la visin espacial para resolverproblemas de cuerpos geomtricos.

Toda la unidad.

Interaccin con elmundo fsico

Conocimiento yvaloracin deldesarrollo cientfico-tecnolgico.

Conocer los procesos cientfico-tecnolgicos ms importantes quepermiten el desarrollo y elmantenimiento de la vida y valorarlos.

Conoce las zonas climticas de la Tierra, suorigen y saturacin.

Actividad 37.

Medio natural ydesarrollo sostenible.

Comprender la influencia de las personassobre el medioambiente a travs de lasdiferentes actividades humanas y valorarlos paisajes resultantes.

Conoce y reflexiona sobre la influenciamedioambiental de la minera.

Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar, 5 y 6.

Sentir admiracin y curiosidad ante laperfeccin de la naturaleza.

Conoce las diferentes utilidades del diamante yadmira la belleza de sus formas talladas.

Desarrolla tus competencias.

Social y ciudadana

Desarrollo personal ysocial.

Conocer y comprender la realidadhistrica y social del mundo y sucarcter evolutivo.

Conoce hechos y personajes relevantes de losdiferentes campos de conocimiento y actividades.

Desarrolla tus competencias, III.

Compromiso solidariocon la realidadpersonal y social.

Respetar y defender los principiosuniversales que contiene laDeclaracin de los Derechos Humanos.

Conoce y reflexiona sobre los conflictos blicosactuales o del pasado ms reciente.

Reflexiona sobre las situaciones de explotacinde unos seres humanos por otros a causa de laimportancia econmica de los recursos naturales.

Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar, 1 y 4.

Ser conscientes del dolor ajeno.

Mostrarse solidarios frente a lasinjusticias.

Cultural y artstica

Expresin artstica.

Poner en funcionamiento la iniciativa,la imaginacin y la creatividad paraexpresar de forma personal ideas,experiencias o sentimientos mediantecdigos artsticos.

Construye cuerpos geomtricos a partir de susdesarrollos planos.

Pon a prueba tus competencias.Experimenta y reflexiona.

Patrimonio cultural yartstico.

Conocer las principales instituciones,obras y manifestaciones del patrimoniocultural y fomentar el inters porparticipar en la vida cultural.

Conoce y valora manifestaciones artsticas deotras culturas y pocas.

Actividades 18 y 76.

Tratamiento de lainformacin y

competencia digital

Obtencin,transformacin ycomunicacin de lainformacin.

Buscar y seleccionar informacin condistintas tcnicas segn la fuente o elsoporte, valorando su fiabilidad.

Visita la pgina librosvivos.net.

Actividad 23 (paso a paso), recursos,organiza tus ideas, autoevaluacin.

Obtiene informacin o hace actividades en internet.

En la red. Actividades 41 y 42.Desarrolla tus competencias.Pon a prueba tus competencias.

Autonoma einiciativa personal

Planificacin ydesarrollo deproyectos.

Conocer y poner en prctica las fasesde desarrollo de un proyecto. Planificar,identificar objetivos y gestionar eltiempo con eficacia.

Construye cuerpos geomtricos a partir de susdesarrollos planos.

Pon a prueba tus competencias.Experimenta y reflexiona.

6Programacin de aula

SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

Cuadernos de matemticas. 2. de ESO: N. 6: Geometra y medida en el espacio.

Cuaderno de refuerzo de matemticas: Aprende y aprueba. 2. de ESO.

Unidad 8. Cuerpos geomtricos.

Refuerzo y ampliacin de contenidos de este curso

Cuaderno de refuerzo de matemticas: Aprende y aprueba. 3. de ESO.

Unidad 9. Cuerpos geomtricos.

Unidad 10. reas y volmenes.

Cuadernos de matemticas. 3. de ESO: N. 6: Geometra y medida.

Unidad III. Cuerpos en el espacio.

Unidad IV. reas y volmenes.

Cuaderno de matemticas para la vida. 3. de ESO.

Cuadernos de resolucin de problemas I y II.

SMwww.smconectados.com www.librosvivos.net

OTROS

Varias unidades correspondientes a 2. y 3. de ESO referidas a los contenidos de la uni-dad en la pgina del proyecto Descartes:

www.e-sm.net/3esomatprd42

Tema correspondiente de la pgina de educacin digital a distancia del Ministerio de Edu-cacin:

www.e-sm.net/3esomatprd43

Buscadores especficos de matemticas como www.e-sm.net/3esomatprd44 (en ingls).

Plantillas con desarrollos planos de diferentes cuerpos geomtricos para construirlos.

Programas informticos como GeoGebra o Cabri.

Vdeos 1, Mapas y coordenadas, y 14, reas y volmenes, de la serie Ojo Matemtico, producida por Yorks-hire TV y distribuida en Espaa por Metrovideo Espaa.

Globo terrqueo.

Otr

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mat

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les

Inte

rnet

Bib

liogr

fic

os


EDUCACIN EN VALORESTanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo especfico de las competencias que se citan en latabla de la pgina anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educacin en valores:

Educacin en derechos humanos, intercultural, medioambiental, para la convivencia y para la igualdad: Apren-de a pensar.

ATENCIN A LA DIVERSIDADHay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto estn clasificados por un cdigo de colo-res segn su dificultad: verde, nivel bsico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad.

De esta forma, el profesor podr adaptar el contenido de la unidad bien a las caractersticas particulares de la clase, biena las especficas de cada grupo de alumnos dentro de la misma.

Adems, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno:

Actividades de refuerzo. Una pgina fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

Actividades de ampliacin. Una pgina fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

Propuesta de evaluacin. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milacin y comprensin de los conceptos y procedimientos tratados.

Cuaderno de evaluacin por competencias. En l se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve paraevaluar la adquisicin por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemticos tratados asituaciones en contextos reales, en conjuncin con el resto de competencias bsicas.

MATERIALES DIDCTICOS

4. Simetra en poliedros y cuerpos redondos

Dos propiedades importantes de todos los poliedros sonel nmero de planos y ejes de simetra que se puedenencontrar en cada uno. Inducir al alumnado a buscarestos ejes y planos, al menos en los poliedros ms sen-cillos, es un ejercicio que ayuda a los alumnos a fijarsebien en la geometra de cada pieza.

Lo dicho en el punto anterior tambin se puede aplicar alos cuerpos redondos para que adviertan la presencia deinfinitos planos de simetra en el cilindro, el cono y laesfera.

La actividad con GeoGebra propuesta en el lateral (En lared) puede ampliarse a otros poliedros.

7

Sugerencias didcticas

Desarrolla tus competencias

3. Cuerpos redondos La definicin de cuerpo redondo se puede ilustrar en cla-

se generndolos a partir de figuras planas, tal y cmo sesugiere en las figuras del texto.

Para los alumnos no resulta difcil captar este concepto.Puede proponrseles que generen sus propios cuerposde revolucin a partir de plantillas planas diseadas porellos mismos y que dibujen la figura obtenida. Despusse pueden exponer en clase las diferentes ideas.

1. Poliedros Una forma prctica de introducir la frmula de Euler es

completar la tabla del ejercicio 3, para que los alumnosla deduzcan por s mismos. No obstante, convendra con-tar tambin las aristas, vrtices y caras de los poliedrosque abren el epgrafe para que se den cuenta de que esuna propiedad de cualquier tipo de poliedro.

Al hablar de los poliedros regulares se debe insistir enque solo existen los cinco tipos descritos. El entrar en laexplicacin de por qu esto es as depender del nivel delgrupo, aunque en principio es aconsejable dejar esta posi-bilidad para cursos posteriores.

2. Prismas y pirmides En primer lugar se caracterizan los prismas y pirmides,

describiendo sus elementos e identificando los diferen-tes tipos. Todos estos conceptos son de repaso, puesto quese han visto en cursos anteriores.

En este apartado se describen, fundamentalmente a tra-vs de los ejemplos y ejercicios propuestos, las propie-dades mtricas de los prismas y pirmides, centrndo-se sobre todo en sus aplicaciones para el clculo delongitudes. Aqu habr que detenerse y poner varios ejem-plos para que los alumnos asimilen bien el paso del teo-rema de Pitgoras del plano al espacio.

El tema propuesto para comenzar la unidad trata de la tallade los diamantes en diferentes formas polidricas para suposterior distribucin comercial como joyas.

A travs de las actividades propuestas se pueden trabajardiferentes competencias, tal y como se ha descrito en laspginas anteriores. Estas actividades se pueden plantearcomo excusa para tratar otros temas, como, por ejemplo:

Reflexionar cmo los poliedros y, en general, las formasgeomtricas tridimensionales estn presentes en multi-tud de actividades humanas. Se puede proponer a losalumnos que participen en una lluvia de ideas paraidentificar algunas de esas actividades.

Darse cuenta de cmo la escasez de algunos materialeses fundamental para que estos adquieran precios eleva-dos y sean el origen de numerosos problemas derivadosde la codicia y el control de tales recursos. Como otrosejemplos se pueden citar el oro, el petrleo o, en otros con-textos y/o pocas, la sal o el agua dulce.

Hacer notar que un material de lujo como el diamantepuede tener aplicaciones mucho ms prosaicas y tilescomo es su uso industrial en perforaciones debido a suextraordinaria dureza. En este punto se puede plantearuna actividad conjunta con el rea de Biologa y Geolo-ga para que conozcan la escala de Mohs, que clasifica porcomparacin la dureza de un material.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico 5, 48, 49, 52 y 102.

Medio 6 y 54.


Bsico 7, 50 y 51.

Medio 8 a 10.

5. Cnicas Es importante que los alumnos capten las dos posibles

definiciones de las cnicas: como interseccin de unasuperficie cnica con un plano y como lugares geom-tricos asociados a propiedades mtricas.

La presencia de las cnicas en la vida cotidiana y en la natu-raleza debe remarcarse, especialmente en lo que se refie-re a las rbitas de los cuerpos celestes, ejemplo bastanteconocido, pero fundamental y muy motivador. A partir deaqu se puede suscitar un pequeo trabajo de investiga-cin sobre los modelos astronmicos a travs de la histo-ria (geocentrismo y heliocentrismo).

18. La utilizacin de la plaza de San Pedro como ejemplo deluso de las cnicas en el arte puede explotarse en dossentidos:


Bsico 12, 13 y 57 a 60.

Medio 14 y 61 a 63.



Bsico 1, 3, 46 y 47.

Medio 53.

Alto 56.

8Sugerencias didcticas

7. Volmenes de poliedros, cilindros y conos

Investigar sobre cmo se gest esta plaza, quin la encar-g, quin la diseo y en qu circunstancias.

Buscar otros ejemplos arquitectnicos o urbansticos. Eneste sentido, sealar que en muchas ciudades existenplazas circulares y elpticas.

6. reas de poliedros, cilindros y conos

El volumen de la esfera se puede obtener de forma experi-mental comparndolo con el del cilindro circunscrito. Estaexperiencia puede servir para motivar la realizacin de algu-nas actividades de ampliacin sobre clculo de volmenes.

La idea de calcular el rea de la superficie esfrica comoun lmite a partir de pirmides no es sencilla y se debe tra-bajar slo si el grupo est muy motivado.

10. La Tierra: meridianos y paralelos En este epgrafe se introducen conceptos relativos a la

geografa terrestre que los alumnos ya conocen de otrasmaterias. Servir para que vean la importancia de la apli-cacin de las matemticas en otras disciplinas.

Conviene que a la hora de establecer la definicin de husohorario se calcule su ngulo utilizando una proporcin,para que luego sea fcil calcular las diferencias horariasentre diferentes puntos de la geografa terrestre.

Puede resultar conveniente estudiar este epgrafe con-juntamente con el siguiente y dejar la resolucin de ejer-cicios para despus.

37. Con esta actividad se puede trabajar sobre el origen delas zonas climticas terrestres en la inclinacin del ejesobre el plano de la eclptica. La interpretacin utili-zando geometra elemental es sencilla y suele ser moti-vadora para el alumnado, especialmente si se acompaacon algn vdeo o presentacin.

11. Coordenadas geogrficas Conviene establecer la definicin de latitud y longitud

sobre un punto situado en el globo terrqueo e indicarlos diferentes ngulos que intervienen. Se puede pre-

8. La esfera. Elementos, rea y volumen En este epgrafe se recuerda la definicin de esfera como

cuerpo redondo y se establece por primera vez la defini-cin de superficie esfrica como lugar geomtrico. Esimportante que perciban cmo esta superficie es la gene-ralizacin del concepto de circunferencia al caso de tresdimensiones.

Se debe distinguir en todo momento si se trabaja consuperficies o con cuerpos, por eso conviene introducirlos conceptos de semiesfera, casquete esfrico, zonaesfrica y huso esfrico detenidamente y lo ms grfica-mente posible.

Conviene sealar que el clculo de reas no es ms quela aplicacin de lo trabajado en la unidad de geometra delplano al caso particular de los cuerpos geomtricos.

Es til realizar en el aula el desarrollo plano de los dife-rentes cuerpos para calcular su rea como suma del reade sus caras.

Los volmenes de prismas, cilindros y pirmides ya seconocen de cursos anteriores. Para recordarlos se pue-den poner ejemplos de los diversos cuerpos.

Para ampliar el epgrafe se pueden hallar los volmenesde un tronco de cono y de un tronco de pirmide, calcu-lndolos razonadamente, restando al volumen mayorel volumen menor, utilizando el teorema de Tales para elclculo de las diferentes alturas.

La actividad propuesta en el lateral puede ser til paramotivar al alumnado en un tema que no les suele resul-tar atractivo.

9. reas y volmenes de cuerpos compuestos

En este epgrafe se relaciona todo lo aprendido anterior-mente, estudiando figuras que combinan cuerpos geo-mtricos elementales ya estudiados.

La mejor forma para que los alumnos vean cmo se calcu -la el rea y el volumen de cuerpos compuestos es ponernumerosos ejemplos haciendo hincapi en la importanciade que la descomposicin sea en cuerpos elementales.


Medio 16 a 18 y 64 a 68.


Medio 31, 32 y 106.


Bsico 33 a 35, 92, 93 y 95.

Medio 36.

Alto 37.


Bsico 27 y 80 a 84.

Medio 28, 29, 85, 86 y 104.

Alto 30, 87 a 91 y 112.


Bsico 20, 69, 100 y 101.

Medio 21 y 22.

Alto 109.


Bsico 25, 26 y 70 a 72.

Medio 73 a 78, 103, 105, 107 y 108.

Alto 79, 110, 111 y 113.


9Sugerencias didcticas

guntar a los alumnos cules son los puntos que tienen lamisma longitud o la misma latitud, para ver si han enten-dido los conceptos.

Los clculos de distancias siempre se harn sobre pun-tos situados en un mismo paralelo o meridiano. Convienehacer varios en clase para que se den cuenta de que todose reduce a clculos de longitudes de circunferencia. Serms complicado el caso de puntos situados sobre un mis-mo paralelo, ya que deben aplicar correctamente el teoremade Pitgoras para calcular el radio de la circunferencia yadems tener en cuenta que, en este nivel, solo se puederesolver en el caso del paralelo de latitud 45 grados, paraque el tringulo formado sea rectngulo issceles.

Organiza tus ideas

Como una actividad que sirva para que trabajen el esque-ma-resumen, los alumnos pueden asignar las actividadesrealizadas en la unidad a los distintos contenidos presenta-dos en el resumen. Sera suficiente con que encontrarandos o tres ejemplos de actividades para cada apartado. Deesta forma se les obliga a repasar el trabajo realizado y areflexionar sobre los conceptos y procedimientos adquiridos.

Una segunda actividad de inters puede ser que los alum-nos completen el resumen tanto con otros contenidospresentes en el tema, pero no incluidos en este esquema,como con contenidos de cursos anteriores relacionados,pero no tratados explcitamente en el tema.

Actividades

76. Aunque es un ejemplo muy utilizado en muchas reas,no deja de ser interesante, sobre todo porque el temade las pirmides egipcias ejerce una cierta fascinacinsobre los alumnos de estas edades. Se pueden propo-ner diferentes actividades, por ejemplo:

Realizar un estudio comparativo entre las dimensiones delas tres pirmides mayores, Keops, Kefrn y Micerinos.

Investigar sobre otras pirmides menores, pero muyimportantes en el desarrollo de la arquitectura egipcia;por ejemplo, la pirmide escalonada del faran Djoser olas del faran Seneferu.

Pon a prueba tus competencias

EXPERIMENTA Y REFLEXIONA: RECORTABLES DE CARTULINA

Aparte de las cuestiones puramente matemticas, la impor-tancia de esta actividad radica en que el alumno debe ela-borar y ejecutar un proyecto para realizar la maqueta quese le propone. Esto supone obviamente trabajar la com-petencia de autonoma e iniciativa personal, pero tambinsirve para estimular en l el cuidado en la realizacin deobras que podemos considerar desde un punto de vistaartstico.

Las diferentes maquetas realizadas pueden servir paraexponerse en clase e incluso en un lugar comn del cen-tro para que sean vistas por el resto de la comunidad edu-cativa. Si se decide realizar esta extensin de la actividad,convendra ampliar tambin el nmero de slidos paraaumentar la riqueza de la exposicin.

La actividad se puede combinar con la de Observa y dedu-ce para conseguir el desarrollo del resto de slidos arqui-medianos y as poder realizar una exposicin total sobreeste tipo de cuerpos. En la misma se podran exponer tam-bin los cinco poliedros regulares para poder observar lasrelaciones entre unos y otros.

OBSERVA Y DEDUCE: LA TALLADORA DE GEMAS

Esta actividad es fundamentalmente matemtica. Se pro-pone para que el alumno descubra otro tipo de poliedrosconvexos de gran importancia: los arquimedianos.

La bsqueda de informacin en la pgina web propuestaen el texto debe servir para que los alumnos se interesenpor estos slidos cuya presencia en nuestro entorno comnes, a veces, insospechada, como sucede con el caso delclsico baln de ftbol.

Si se dispusiera de tiempo, se podra plantear una activi-dad por grupos para que cada uno se encargase de estu-diar y caracterizar varios de estos slidos.

APRENDE A PENSAR: EL VALOR DE LOS DIAMANTES

Esta actividad contina de forma natural el tema iniciado alcomienzo de la unidad, extendiendo su desarrollo haciaaspectos de gran importancia econmica y, sobre todo,social y tica.

Se trata de fomentar en los alumnos el conocimiento delos graves conflictos y peligros que encierra la explotacinde los recursos naturales. Entre ellos podemos citar:

Conflictos blicos.

Explotacin del ser humano: pseudoesclavitud.

Falta de estructuras sociales. Corrupcin poltica.

Impacto medioambiental de las explotaciones mineras.

Falta de solidaridad del primer mundo,

Sera ms que recomendable proceder al visionado de lapelcula propuesta y de otra que trate un tema similar parapoder hacer visualmente explcitos algunos de los proble-mas que se entremezclan en el tema. Si se decide esta pro-yeccin, hay que considerar previamente las escenas deviolencia, lamentablemente muy verosmiles, que apare-cen y preparar al alumnado para ello.


12. Sistemas de representacin geogrfica. Mapas

Aunque tambin este epgrafe se ha podido trabajar desdeotras asignaturas, conviene insistir en la idea de proyec-cin empezando por ejemplos sencillos como las sombras.

Hay que remarcar cmo las diferentes representacionesdistorsionan de una u otra manera la realidad tridimen-sional que intentan reproducir.


Medio 43 a 45.


Bsico 38 y 94.

Medio 39 a 41 y 96 a 99.

Alto 42.

10

Actividades de refuerzo

Unidad 13 Figuras y cuerpos geomtricosORIENTACIONES METODOLGICAS

Al finalizar esta unidad ser suficiente con que los alumnos:

Sepan identificar el cuerpo geomtrico ante el que se encuentran, enunciando brevemente sus caractersticas, perode una forma guiada.

Aprendan a calcular el rea de cuerpos a partir de su desarrollo plano.

Aprendan las frmulas del volumen de los diferentes cuerpos elementales y las apliquen al clculo de volmenes decuerpos compuestos.

1. 2. a) i) 76 cm2; ii) 72 cm2; iii) 43,98 cm2

b) i) 2094,40 cm3; ii) 141,37 cm3; iii) 141,67 cm3

c) Prisma hexagonal recto.

3. La distancia entre los focos de la elipse es de 34,7 UA.

95 83 27

4793 44 27

141

76

372 093

143

28

15436

9

44

53

141

72

432 094

141 141

72

76

141

43

76

72

53

74

27

43

2 094

148

2 092

2 09096

105

74

5

117

3

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Construccin de poliedros

Para esta actividad se necesita cartulina, tijeras y gomas elsticas.

Se entrega a los alumnos unas plantillas con un tringulo equiltero y un cuadrado de 4 centmetros de lado, de talmanera que sobre cada lado haya una pequea pestaa de 0,5 centmetros y con una muesca a los lados, tal y como apa-rece en la figura:

Los alumnos cortarn, en un principio, 8 tringulos y 6 cuadrados. Con ayuda de las gomas elsticas unirn las figurasplanas por las pestaas de manera que queden perfectamente encajadas, con lo cual obtendrn diferentes poliedros:tetraedro, cubo, prisma triangular, octaedro, pirmide cuadrangular.

Si quieren fabricarse ms poliedros, bastar con hacer ms plantillas planas: pentgono, hexgono, etc.

Esta actividad es complementaria con la de Experimenta y reflexiona propuesta en la seccin de Pon a prueba tus com-petencias.

ACTIVIDAD DE GRUPO


Ms recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de refuerzo.

L A T I T U DE C U A D O RC O N O

P R I S M AP A R A L E L O SO N V E X O

MC

E R I D I A N OP I R A M I D E

C U B O

123456789

11

1. Completa el siguiente cuadro con las definiciones que se dan a continuacin, e indica el poliedro regu-lar que se forma en la columna central:

2. a) Calcula el rea de los siguientes cuerpos.

i) ii) iii)

b) Calcula el volumen de los siguientes cuerpos.

i) ii) iii)

c) Colorea de azul las partes enteras de los resultados que has obtenido al calcular las reas y los vol-menes de las figuras de los apartados a y b, y obtendrs el desarrollo plano de un poliedro. Cul es?

3. La rbita del cometa Halley es una elipse con un foco en el Sol. Su distancia ms corta al Sol es de 0,6 UA, mien-tras que la mayor distancia al Sol es de 35,3 UA. Halla la distancia entre los focos.

2 cm

5 cm

5 cm

3 cm

5 cm

2 cm

5 cm

4 cm

7 cm

95 83

4793

27

27

2 093141

76 143

37436

28

15

44 141 2 094 43 72 141 76 53

53 72 141 141 76 43 72 74

272 094

43 148

2 092

2 09096

105

74

5

117

3

44 9

10 cm

4 cm

5 cm

2 cm


Pgi

na

foto

cop

iab

le

ACTIVIDADES de REFUERZO


L

D

N

R

A

O

I

M

U

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

1. Medida en grados del arco, en el meridiano del lugar,formado por el Ecuador y el paralelo del lugar.

2. Paralelo de circunferencia mxima.

3. Cuerpo redondo que se obtiene al girar un tringulorectngulo por uno de sus catetos.

4. Poliedro cuyas caras son paralelogramos, y sus bases,polgonos.

5. Circunferencias sobre la superficie terrestre.

6. Poliedro que puede apoyarse sobre cualquiera de sus caras.

7. de Greenwich.

8. Poliedro cuyas caras son tringulos, y su base, un polgono.

9. Poliedro regular de seis caras.

12

Actividades de ampliacin

Unidad 13 Figuras y cuerpos geomtricosORIENTACIONES METODOLGICAS

Las actividades propuestas a continuacin estn destinadas a que los alumnos desarrollen su visin espacial, as comosu razonamiento deductivo en geometra.

La geometra es una parte de la matemtica que se les resiste, no solo a los alumnos, sino a muchos matemticos.Estamos acostumbrados a or expresiones como no lo veo al resolver problemas de geometra. Y es verdad que esdifcil ver las relaciones entre lados, ngulos, aristas, reas, etc. Por ello planteamos esta propuesta como medio paradespertar la visin espacial de los alumnos.

1. El tetraedro es dual de s mismo, el dodecaedro es dualdel icosaedro, y viceversa.

2. a) 594,02 euros

b) 20 h 58 m 40 s

3. 1767,15 cm3

4. Volumen: ; rea:

5.

6.

7.

8. La distancia entre los focos es igual a la diferencia entrelas distancias mnima y mxima al Sol. Por tanto, laexcentricidad es:

e =+

=1017 0 9831017 0 983

0 017, ,, ,

,

Vh R h

=( ) 3

3

2 2

V V Vcono semiesfera cilindro+ =

V l l l= =3 3 346

13

3 32

2+ l16

3l

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

Construccin de poliedros

Para esta actividad se necesita cartulina, tijeras y gomas elsticas.

Se entrega a los alumnos unas plantillas con un tringulo equiltero y un cuadrado de 4 centmetros de lado, de talmanera que sobre cada lado haya una pequea pestaa de 0,5 centmetros y con una muesca a los lados, tal y como apa-rece en la figura:

Los alumnos cortarn, en un principio, 8 tringulos y 6 cuadrados. Con ayuda de las gomas elsticas unirn las figurasplanas por las pestaas de manera que queden perfectamente encajadas, con lo cual obtendrn diferentes poliedros:tetraedro, cubo, prisma triangular, octaedro, pirmide cuadrangular.

Si quieren fabricarse ms poliedros, bastar con hacer ms plantillas planas: pentgono, hexgono, etc.

Esta actividad es complementaria con la de Experimenta y reflexiona propuesta en la seccin de Pon a prueba tus com-petencias.

ACTIVIDADES DE GRUPO


Ms recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de ampliacin.

13

1. Si unimos con aristas los centros de cada dos caras consecutivas de un poliedro regu-lar, obtenemos otro poliedro regular cuyo nmero de vrtices coincide con el de carasdel poliedro dado. Estos dos poliedros se dice que son duales. Por ejemplo, el cuboy el octaedro son poliedros duales. Indica cul sera el poliedro dual del tetraedro, deldodecaedro y del icosaedro.

2. Juan quiere pintar las paredes y el fondo de su piscina, cuyas dimensiones son las indicadas en la figura.

a) Si el metro cuadrado de pintura cuesta 3 euros, cunto gasta Juan en pintar la piscina?

b) Para llenarla utiliza una tubera que vierte 150 litros al minuto. Cunto tiempo tarda en llenarse la pis-cina?

3. Calcula el volumen de una esfera, sabiendo que al cortarla con un plano secante se obtiene un casque-te esfrico de 3 centmetros de altura y 6 centmetros de radio de la base.

4. Calcula el volumen y la superficie del tetraedro en funcin del lado del cuadrado.

5. Utilizando el resultado del ejercicio anterior, calcula el volumen del tetraedro de lafigura.

6. Halla las relaciones entre el volumen de una semiesfera de radio R, el cilindro cir-cunscrito a ella y el cono cuyo radio de la base y altura es R.

7. El principio de Cavalieri nos dice: Si dos cuerpos tienen la misma altura y al cortarlos por planos para-lelos a sus bases se obtienen superficies de la misma rea, entonces los cuerpos tienen el mismo volu-men.

Siguiendo este principio, vamos a calcular el volumen de un casquete esfrico.

1. Considera los tres cuerpos del ejercicio anterior que se cortan por un plano perpendicular al eje degiro. Las secciones que se obtienen son crculos. Calcula sus reas y comprueba que se verifica:

2. Vista la relacin anterior, y aplicando el principio de Cavalieri, se verifica:

3. A partir de esta relacin, deduce que la frmula del volumen del casquete esfrico es:

8. La excentricidad de una elipse se define como el cociente entre la distancia entre sus focos y la distancia entre lospuntos ms cercanos a cada foco. Calcula la excentricidad de la Tierra sabiendo que su distancia mnima al Sol esde 0,983 UA y su distancia mxima es de 1,017 UA.

Vh R h

= ( )3

3

2 2

V V Vtroncodecono casquete cilindro+ =

S S Scono semiesfera cilindro+ =

2 m8 m

16 m

2 m

0,8 m


ACTIVIDADES de AMPLIACIN

Pgi

na

foto

cop

iab

le


14

APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Observa estos poliedros y contesta a los siguientes apartados.

a) Nmbralos.

b) Indica su desarrollo plano.

c) Comprueba que verifican la frmula de Euler.

2. Las aristas de un ortoedro miden 4, 5 y 8 centmetros, respectivamente. Cunto mide su diagonal?

3. Dibuja el desarrollo de un cilindro, indicando sus elementos.

4. De un tringulo rectngulo se sabe que su hipotenusa mide 10 centmetros, y uno de los catetos, 6. Sise hace girar sobre el cateto desconocido:

a) Qu cuerpo se obtiene? Represntalo.

b) Cunto mide su altura?

5. a) Calcula el rea lateral de un cono cuyo radio de la base mide 3 centmetros, y la generatriz, 7.

b) Calcula el volumen de un prisma recto de 18 centmetros de altura y de base rectangular de 13 8centmetros.

6. Calcula el rea lateral y el volumen del cuerpo que aparece en la figura.

7. a) Calcula el rea total de una pirmide hexagonal regular de 24 centmetros de altura y aristas latera-les de 26 centmetros.

b) Calcula el volumen de un tronco de cono que se obtiene al girar un trapecio rectngulo sobre su altu-ra, si la altura mide 9 centmetros, y las bases, 6 y 15, respectivamente.

8. Se quiere forrar de cuero un baln de ftbol. Cunto cuero hay que emplear si el dimetro mide 30 centmetros?Pgina fotocopiable

9. Una quesera produce quesos cuyas dimensiones son 22 centmetros de dimetro y 15 de altura. Cadaqueso se envasa al vaco con un plstico especial para alimentos que cuesta 1,30 euros el metro cua-drado. Si al da se empaquetan 300 quesos, cul es el gasto semanal del empaquetado?

10. Una marca de leche envasa su produccin en tetra briks de 1 litro de capacidad cuya altura es de 19 cen-tmetros, y las dimensiones de la base, 9 6 centmetros. La empresa decide cambiar el formato de susenvases y no sabe si usar el mismo cambiando las dimensiones de la base por 8 7 centmetros o uti-lizar un envase cilndrico de radio de la base 4 centmetros Qu le sale ms rentable? (Las medidas hande ser enteras.)

11. Qu distancia hay entre dos puntos situados sobre el Ecuador cuyas longitudes son 15 E y 75 O, res-pectivamente? (Longitud del ecuador: 40 300 kilmetros.)

12. Calcula la distancia que debe recorrer un avin cuyo aeropuerto de salida tiene por coordenadas 20 O,10 N, y el de llegada, 20 O, 40 N. (Radio de la Tierra: 6371 kilmetros.)

13. Calcula la distancia entre dos puntos de la geografa terrestre cuyas coordenadas son A(10 E, 45 N) yB(20 O, 45 N).

Pgi

na

foto

cop

iab

le


PROPUESTA de EVALUACIN


(1) (2)

2 cm

3 cm

15

1. a) Tetraedro (1) y prisma regular de base hexagonal (2)

b)

c) Caras + Vrtices = Aristas + 2; (1) 4 + 4 = 6 + 2 (2) 8 + 12 = 18 + 2

2. cm

3.

4. a) Cono. b) cm

5. a) cm2 b) V = 1872 cm3

6. rea de la semiesfera: AS = 2 p r2 = 18p cm2

rea lateral del cilindro: ALatCil= 2 p r h = 12p cm2

rea total: AT = AS + ALatCil = 30p cm2

Volumen de la semiesfera: cm3

Volumen del cilindro: VC = p r2 h = 18p cm3

Volumen total: VS + VC = 36p cm3

7. a) rea de la base: cm2

rea lateral total: cm2

rea total: AT= Ab+ ALat= 259,8+ 765= 1025,2 cm3

b) Consideramos dos conos: uno con radio de la base15 cm y altura (9 + x) cm, y otro de radio de la base6 cm y altura x cm. Calculamos x y, posteriormen-te, el volumen de ambos conos y el volumen total.

cm

cm3

cm3

cm3

8. cm2

9. rea total de un queso: AT = ALat + Ab = 0,1797 m2

Quesos semanales:

Superficie total: m2

Coste: euros

10. 1.er envase:

2. envase:

Superficie del 1.er envase:

rea total: AT = ALat + Ab = 652 cm2

Superficie del 2. envase (cilndrico):

rea total: AT = ALat + Ab = 603,18 cm2

Es ms rentable el envase cilndrico.

11. km

12. km

13. Son dos puntos que estn sobre el mismo paralelo. Elradio del paralelo lo calculamos con el teorema dePitgoras teniendo en cuenta que el tringulo forma-do por el radio de la Tierra, el radio del paralelo y elsegmento que une el centro de la Tierra con el centrodel paralelo es rectngulo issceles.

km

km

h

a

=

=d2 4505 30

3602358 81

,

r r r2 2 6371 4505+ = =;

d =

=2 6371 30

3603335 85

,

d =

=40300 90

36010075

1000 16 19 89 20 cm= = h h; ,

1000 7 8 56 17 85 18 cm= = = h h h; ,

269 55 13 350 42, , , =

1500 01797 269 55 =, ,

300 5 1500 =

4 9002 = r

VT = 1053

Vr h

Cono pequeo =

=

3

72

D = + + =4 5 8 10 252 2 2 ,

r

r

h2r

h2 2 210 6 8= =

A r gL= = 21

V rS = =46

183

Ap a

b==

=

260 75

2259 8,

ALat =

=610 25 5

2765 4

,,

9 156

6+

= =x

xx;

VR H

Cono grande =

=

2

31125

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIN

Propuesta de evaluacin



3esomapi gd esu13

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