1esomaes lp esu04

92

Fracciones

I N TRODUCC IÓN

PROGRAMACIÓNDIDÁCTICA 4

OBJET IVOS

Resolver problemas relacionados con la vida cotidiana en los que intervengan númerosnaturales, enteros y racionales, describiendo verbalmente el proceso elegido y las solu-ciones obtenidas, y utilizando correctamente las cuatro operaciones básicas.

Utilizar los números enteros, decimales y fraccionarios y los porcentajes para intercam-biar información y resolver problemas y situaciones de la vida cotidiana.

CR I TER IOS DE EVALUAC IÓN

Hallar una fracción equivalente a otra dada. Calcular la fracción irreducible.

Comparar y ordenar fracciones. Reducir fracciones a mínimo común denominador.

Expresar una fracción en forma de número mixto y viceversa.

Realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de fracciones.

Resolver problemas utilizando la suma, resta, multiplicación y/o división de fraccionessiguiendo un procedimiento adecuado.

En esta unidad se explica el concepto de fracción y la forma de operar con ellas. Lasfracciones constituyen uno de los contenidos más importantes en matemáticas y se iránviendo y utilizando a lo largo de toda la secundaria.• Es importante que quede claro el concepto de fracción como parte de un total.• No menos importante es conseguir operar correctamente, ya que va a ser habitual en

la mayoría de los cálculos de este curso y de los siguientes. Se debe empezar conoperaciones de fracciones sencillas e ir complicándolo progresivamente según vayanmejorando en los cálculos.

• Se pueden ir mezclando las distintas operaciones en un mismo ejercicio y habituarlesa simplificar las fracciones para conseguir cálculos más sencillos.

• Además de saber operar correctamente con fracciones, es también importante aplicarlasa la resolución de problemas reales, en particular, aquellos relacionados con repartos ycon proporciones.

La programación didácticase encuentra en el CDde Programación

41019_Programacio?n v7:41019_Programacio ́n 19/4/10 16:46 Página 92

93

COMPETENC IAS BÁS ICAS– Valorar la precisión de las fracciones como instrumentos para representar partes (C1,

C2, C3, C6, C7).

– Desarrollar la curiosidad por fracciones equivalentes como sistemas similares con dife-rentes representaciones, así como la capacidad de comparar distintas fracciones (C1,C2, C4, C7, C8).

– Conocer las operaciones básicas que se pueden realizar entre fracciones, aprovechan-do los conocimientos adquiridos en temas anteriores (C2, C5, C7).

ATENC IÓN A LA D IVERS IDAD SUGERENC IAS Y MATER IALES D IDÁCT ICOS• En el cuaderno de atención a la diversidad puedes encontrar actividades de refuerzo

(pág. 10 y 11) y actividades de ampliación (pág. 40 y 41) relativas a estos contenidos.• También existen más actividades clasificadas por grados de dificultad en el CD Banco

de actividades.

• Materiales de dibujo: lápices o rotuladores de colores, reglas, regla milimetrada y papelcuadriculado.

• El uso de las fracciones aparece con frecuencia en la prensa.• Algunas calculadoras científicas permiten operar con fracciones, igual que algunos

programas de cálculo simbólico como puede ser Derive.• En Internet hay diversas páginas web donde se tratan las potencias y las raíces

cuadradas. Por ejemplo:http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/fracciones/#introhttp://www.librosvivos.net/

Concep t o s• Valoración de la utilidad de las fracciones para

interpretar situaciones de la vida cotidiana.• Interés en la adquisición de procedimientos de cálculo

distintos a los desarrollados hasta ahora.• Seguridad y agilidad en el cálculo numérico.• Utilidad en la realización de cálculos mentales y

estimaciones con fracciones.• Gusto por la presentación ordenada y clara del proceso

seguido y de los resultados obtenidos en problemas ycálculos numéricos.

P r o c ed im i en t o s Ac t i t ud e sCONTEN IDOS

• Fracción. Términos de una fracción: numerador ydenominador.

• Fracciones equivalentes.• Fracciones irreducibles.• Común denominador de fracciones.• Número mixto.• Operaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación

y división.• Fracciones inversas.

• Identificar y calcular fracciones equivalentes.• Obtener la fracción irreducible.• Reducir fracciones a común denominador.• Calcular el mínimo común denominador de fracciones.• Comparar y ordenar fracciones.• Convertir una fracción en número mixto y viceversa.• Sumar y restar fracciones.• Multiplicar una fracción por un número entero.• Multiplicar y dividir fracciones.• Reconocer fracciones inversas.• Utilizar de forma correcta los paréntesis y la jerarquía

de las operaciones con fracciones.• Resolver problemas mediante la suma, resta, multipli-

cación y/o división de fracciones.

MÁS RECURSOS

PROGRAMACIÓNDIDÁCTICA


94

FRACCIONES

INTRODUCCIÓN

Las fracciones son uno de los conceptos fundamentales y su desarrollose irá ampliando a lo largo de toda la ESO. Aunque se siga con ellas enfuturos cursos, conviene limar los errores que aparezcan.La unidad comienza con la definición de fracción como una forma deexpresar partes de un total. A continuación se muestra qué es una frac-ción equivalente y cómo obtenerla. Se utiliza este concepto para expli-car el método de simplificar fracciones y reducirlas tanto al mínimo co-mún denominador como a cualquier común denominador. Para terminaresta primera parte se utiliza la reducción a común denominador paracomparar fracciones.La segunda parte de la unidad muestra las operaciones básicas que sepueden realizar con las fracciones. Empieza con la suma y la resta defracciones reduciéndolas previamente a común denominador, y con lasuma y resta de enteros con fracciones. Después se enseña el manejode fracciones con el numerador mayor que el denominador pasándolosa números mixtos. Más tarde vienen la multiplicación y la división defracciones. Previamente a la división se explican las fracciones inversas.

FRACCIONES PARAEXPRESAR PARTES

FRACCIONESEQUIVALENTES

SIMPLIFICACIÓNDE FRACCIONES

ORDENACIÓNDE FRACCIONES

REDUCCIÓN DE FRACCIONES

A COMÚNDENOMINADOR

OPERACIONES CON FRACCIONES


95

CONTEN IDOS DEL EP ÍGRAFE

Fracción.Numerador y denominador de una fracción.

SUGERENC IAS D IDÁCT ICAS

• Para explicar el concepto de fracción es conveniente representar la fracciónde forma gráfica como una parte de un total o al revés.

• Hay que insistir en la nomenclatura de numerador y denominador, pues aveces los confunden.

SOLUC IONES DE LAS ACT IV IDADES

1. a) �2

6� b) �

2

4� c) �

8

3�

2.

3. a) c)

b) d)

ATENC IÓN A LA D IVERS IDAD

Básico– Libro del alumno: actividad 65.– Cuaderno de Matemáticas básicas.– Cuaderno n.o 2 de la Colección de cuadernos de Matemáticas 1.o ESO

“Fracciones y decimales”.– Cuaderno de Atención a la diversidad (Refuerzo): actividades 1 y 4.

Nota s :


96


Fracciones equivalentes.Regla de los productos cruzados de dos fracciones.


• Las fracciones equivalentes son un concepto complicado, pues es la primeravez que ven que un número se puede escribir de infinitas formas.

• Este epígrafe se puede trabajar a la vez que el siguiente. Así, los alumnospueden descubrir la forma de obtener fracciones equivalentes.

• Se debe practicar bastante con la regla de los productos cruzados.


Básico– Libro del alumno: actividades 42, 76 y 77.– Cuaderno de Matemáticas básicas.– Cuaderno de Atención a la diversidad (Refuerzo): actividad 2Ampliación– Cuaderno n.o 2 de la Colección de cuadernos de Matemáticas 1.o ESO

“Fracciones y decimales”.


4. a) Son equivalentes.b) Son equivalentes.c) No son equivalentes.

5. �1

4

6�, �

2

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4

1�

Nota s :


97


Fracciones reducidas.Fracciones ampliadas.Fracciones irreducibles.Fracciones equivalentes.


• Este epígrafe es una continuación del anterior. Como ya se ha dicho, puedencomprobar que salen fracciones equivalentes por medio de la regla de losproductos cruzados.

• Insistir en que al conseguir fracciones ampliadas se aumentan los númerosde la fracción, y se reducen al obtener las fracciones reducidas.

• Señalar que siempre se puede conseguir una fracción ampliada, pero nosiempre una reducida. Así se puede sacar el concepto de fracción irreducible.


Refuerzo– Libro del alumno: actividades 35, 43, 64, 66 y 78.– Cuaderno de Matemáticas básicas.Ampliación– Cuaderno n.o 2 de la Colección de cuadernos de Matemáticas 1.o ESO



6. a) �1

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3

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1

5

5� � �

3

1�

8. a) No es irreducible. b) Sí es irreducible. c) No es irreducible.


98


Simplificación de fracciones.


• Insistir en que simplificar al máximo una fracción es conseguir fraccionesreducidas hasta llegar a la fracción irreducible.

• Mostrar que la fracción irreducible se puede conseguir simplificando enun único paso o en varios. Les puede ser más cómodo ir simplificandopaso a paso, viendo si el numerador y el denominador son divisibles por2, 3, 5… Conviene repasar las reglas de divisibilidad.


9. a) �2

3� b) �

1

5� c) �

1

4� d) �

1

3� e) �

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1

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3

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3�


Básico– Libro del alumno: actividades 34, 79 y 80.Ampliación– Cuaderno n.o 2 de la Colección de cuadernos de Matemáticas 1.o ESO

“Fracciones y decimales”.– Cuaderno de Atención a la diversidad (Ampliación): actividad 9.

Nota s :


99


Común denominador de fracciones.Reducir a común denominador.


• Explicar que reducir fracciones a común denominador es ampliar fraccioneshasta que todas tengan el mismo denominador.

• Mostrar que el común denominador no es único. El epígrafe muestra unade las formas multiplicando los denominadores de las fraccionesinvolucradas.


11. a) �3

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1

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Básico– Libro del alumno: actividad 46.Ampliación– Cuaderno n.o 2 de la Colección de cuadernos de Matemáticas 1.o ESO


Nota s :


100


Mínimo común denominador de fracciones.Reducir a mínimo común denominador.


• Conviene repasar el mínimo común múltiplo de varios números.• Explicar que mientras existen varios comunes denominadores, solo hay un

mínimo común denominador.• La ventaja del mínimo común denominador se verá al sumar las fracciones

consiguiendo numeradores y denominadores más pequeños.




Nota s :


13. a) �1

1

6�, �

1

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6� b) �

3

7

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6

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8

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14. a) �3

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0�, �

3

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5

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6

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0�, �

6

3

0

9�


101


Comparar fracciones.


• Conviene ordenar tanto de mayor a menor como al revés.• Para comparar fracciones basta con reducirlas a un común denominador,

no tiene que ser el mínimo. A veces es más fácil conseguir uno distinto delmínimo.


Básico– Libro del alumno: actividades 48, 49, 69 y 81.– Cuaderno de Matemáticas básicas.– Cuaderno n.o 2 de la Colección de cuadernos de Matemáticas 1.o ESO

“Fracciones y decimales”.– Cuaderno de Atención a la diversidad (Refuerzo): actividad 3.Ampliación– Libro del alumno: actividad 92.– Cuaderno n.o 2 de la Colección de cuadernos de Matemáticas 1.o ESO



15. a) �4

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17. a) �5

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Nota s :


102


Suma de fracciones.Resta de fracciones.


• Insistir en que para sumar y restar fracciones no hace falta pasar al mínimocomún denominador, pero su ventaja es que el resultado nos da unafracción que habrá que simplificar menos.

• Se debe tener cuidado en las restas mezcladas con sumas, pues los alumnospueden cambiar los signos.

• Al enseñar a operar con fracciones hay que practicar mucho,complicándolas según se vayan dominando.

• Recalcar que se debe simplificar siempre que se pueda para conseguiroperaciones más sencillas.

SOLUC IÓN DE LAS ACT IV IDADES

18. a) �3

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8

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Básico– Libro del alumno: actividades 54 a 56, 68 y 83.– Cuaderno de Matemáticas básicas.– Cuaderno n.o 2 de la Colección de cuadernos de Matemáticas 1.o ESO

“Fracciones y decimales”.Ampliación– Libro del alumno: actividad 91.

Nota s :


103


Suma y resta de un número entero y una fracción.

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

• Conviene enseñar que todo número entero se puede expresar como fracción.• Para poder sumar y restar fracciones con un número, primero es necesario

pasar el número a una fracción con el denominador de la fracción con lacual queremos operar.

• Es conveniente simplificar los resultados a la fracción irreducible.


Básico– Libro del alumno: actividades 57 y 84.– Cuaderno de Matemáticas básicas.Ampliación– Cuaderno n.o 2 de la Colección de cuadernos de Matemáticas 1.o ESO



20. a) �2

2

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21. a) �5

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Nota s :


104


Número mixto.Convertir una fracción en número mixto.

Nota s :


Básico– Libro del alumno: actividades 58 y 59.


22. a) �8

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2

6� � 1 �

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b) 1 �1

3� d) 1 �

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1� f) 2 �

3

3

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2�


• Reiterar que un número mixto es una forma abreviada de expresar unasuma de un número entero con una fracción, y no es una multiplicación.

• La utilidad de los números mixtos es averiguar entre que números enterosestá la fracción.


105


Producto de una fracción por un número entero.Producto de dos fracciones.


• Al enseñar a operar con fracciones hay que practicar mucho, complicándolassegún se vayan dominando.

• Seguir insistiendo en que se debe simplificar siempre que se pueda paraconseguir operaciones más sencillas.

• Explicar el sentido de la multiplicación de fracciones. Por ejemplo, �3

5� � �

2

7�

equivale a calcular 3 quintas partes de 2 séptimos.


Básico– Libro del alumno: actividades 36, 61, 63, 67, 74, 75 y 85.– Cuaderno de Matemáticas básicas.– Cuaderno n.o 2 de la Colección de cuadernos de Matemáticas 1.o ESO


Ampliación– Libro del alumno: actividades 90 a 92.– Cuaderno de Atención a la diversidad (Ampliación): actividades 6, 7, 10 y 12.


24. a) �192� � �

43

� c) �267� � �

29

� e) �166� � �

38

�

b) �274� d) �

3258� � �

54

� f) �3535� � �

53

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25. a) �120� � �

15

�

b) �185�

c) �332�

26.a) �12

� m b) �15

� m


106


Fracciones inversas.

Nota s :



“Fracciones y decimales”.– Cuaderno de Atención a la diversidad (Ampliación): actividades 4, 5 y 8.


27. a) �3

2� b) �

4

5� c) �

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2

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3�

28.

a) La fracción inversa de es mayor.b) Sí se puede afirmar, porque la fracción inversa es mayor que la

unidad por tener el numerador mayor que el denominador.

0 1 253

35


• Se consigue la fracción inversa intercambiando el numerador con eldenominador. Los alumnos lo ven fácil de forma gráfica, como si se dierala vuelta a la fracción.

• Subrayar que, en matemáticas, un número por su inverso da comoresultado la unidad.


107


Cociente de dos fracciones.

Nota s :


• Se debe alternar los dos métodos de dividir fracciones, unas vecesmultiplicando por la fracción inversa y otras realizando los productoscruzados.

• Seguir insistiendo en que se debe simplificar siempre que se pueda con elobjetivo de conseguir operaciones más sencillas.


Básico– Libro del alumno: actividades 37, 62 y 83 d.– Cuaderno de Matemáticas básicas.Ampliación– Libro del alumno: actividad 93.– Cuaderno n.o 2 de la Colección de cuadernos de Matemáticas 1.o ESO

“Fracciones y decimales”.– Cuaderno de Atención a la diversidad (Ampliación): actividades 1 y 2.


29. a) �6

7� b) �

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2

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6

5

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2

1

1� � 1


108

ESTRATEG IAS Y TÉCN ICAS

Ante la resolución de problemas, conviene primero leer detenidamente elenunciado para comprenderlo perfectamente. Después conviene sacar losdatos del problema, una forma es ponerlos en un esquema como muestrael problema propuesto, siendo en este caso un esquema gráfico que muestrael proceso a seguir para encontrar la solución.Una vez que el alumno cree que ha terminado el problema debe:• Volver a leer el enunciado para ver si ha contestado a lo que han solicitado.• Comprobar si la solución responde al enunciado.


31. 540 €

32. 42

33. 500 g

Nota s :


109

ORGAN IZA TUS I DEAS

En esta página se muestran los contenidos vistos a lo largo de la unidad. Seempieza por la definición de fracción, fracciones equivalentes, simplificaciónde fracciones, reducción a un común y al mínimo denominador, y comparaciónde fracciones. A continuación se explica cómo se realizan las diversasoperaciones con fracciones: suma, resta, multiplicación y división.Para completar este esquema se pueden escribir ejemplos y realizar dibujosen cada cuestión para que el alumno vea de forma práctica y visual losconceptos tratados.

Nota s :


110


CÁLCULO MENTAL

34. a) �1

3� b) �

2

3� c) �

2

3� d) �

5

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35. a) �4

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36. a) 14 b) �1

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3

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1

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0�, �

1

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39. a) �6

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1

6

2� � �

1

2� c) �

9

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2

3�

40. a) �2

5� b) �

3

8� c) �

7

4�

41. a) �1

2

1� b) �

1

3

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1

4�

EJERCICIOS PARA ENTRENARSEFracciones equivalentes

42. �3

4� y �

1

1

2

6�. Son fracciones equivalentes.

43. a) �1

2� b) �

1

7� c) �

1

4� d) �

3

1�

44. a) �1

5

0� � �

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1

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7� � �

1

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5

1�

45. a) �1

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3

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5

1�

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4

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1

7� f) �

1

3

4� h) �

2

9�

Reducción a común denominador

46. a) �2

8

8� y �

2

7

8� b) �

4

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2

0� y �

6

4

3

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3

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0� y �

5

5

0�

47. a) �1

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1

4

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1

3

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1

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4� � �

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5�


111


Comparación de fracciones

48. a) �4

5� y �

1

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0� Equivalentes. b) �

4

8�, �

4

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8

5�

49. �8

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6

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9� c) �

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1

2

3� � �

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1

3�

Suma y resta

54. a) �1

1

9

0� b) �

3

4� c) �

8

4

9

0� d) �

1

3

7�

55. a) �1

1

4� b) �

8

1

8� c) �

3

2�

56. �7

5�

57. a) �4

8

3� b) �

3

6

7� c) �

1

7

8�

Fracciones con el numerador mayor que el denominador

58. a) 2 �3

1� b) 1 �

1

3� c) 7 �

1

2� d) 1 �

1

3

0� e) 1 �

1

4�

59. a) �1

3

0� b) �

1

2

1� c) �

3

2� d) �

6

1

5

6� e) �

6

5

3�

60. a) �1

4

5� b) �

1

4

3�

Multiplicación y división

61. a) �1

3

2� � 4 b) 1 c) �

2

6

0

6� � �

3

1

3

0� d) �

9

4

0

8

0� � �

2

1

2

2

5�

62. a) �2

5

4

0� � �

1

2

2

5� b) �

2

6

0� � �

1

3

0� c) �

4

4

2� � �

2

2

1� d) �

1

4

4� � �

2

7�

63. �1

3

0�

23

36


112


PROBLEMAS PARA APLICAR

64. �6

1�

65. �1

6

7�

66. �2

1

5

0� � �

5

2�

67. 165 CD

68. �4

5

7

0

5

0

0

0� � �

4

5

7

0

5

0� � �

2

1

0

9�

69. Como, haría la compra en la segunda tienda porque hacen mayordescuento.

70. 4 trozos de chocolate.

71. �2

7

0�

72. 5 �1

3� horas. Realizar todo el trabajo le costará 5 horas y 20 minutos.

73. �2

2

4� � �

1

1

2�

74. 15 €

75. a) 20 alumnos.b) Al primer grupo pertenecen 5 alumnos.

Al segundo grupo, 8.

Nota s :


113


REFUERZO

Fracciones equivalentes

76. a) �2

4� b) �

1

8

6� c) �

8

5�

Las dos primeras fracciones son equivalentes.

77. a) Son equivalentes. b) No son equivalentes.

78. a) �1

3

0� � �

1

4

2

0� b) �

3

7� � �

2

1

8

2�

79. a) �4

3� b) �

1

5� c) �

1

3� d) �

1

1

8�

80. 3

81. �2

5� � �

4

9� � �

4

7� � �

5

8� � �

4

3�

Operaciones con fracciones

82. a) 7 b) �1

3

1� c) �

1

2� d) �

1

9

0

0

0�

83. a) �1

9

3� b) �

4

1

4� c) �

1

1

7

0� � �

1

6� � �

1

6

7

0� d) �

2

3

4

5�

84. a) �2

4

3� b) �

4

6

8

1�

85. a) 20 b) 18

86. Fútbol: 210; baloncesto: 126; ciclismo: 70; tenis: 63; natación: 161

87. 50 libros.

AMPLIACIÓN88. 10 perales.

89. a � 1, 2, 3, 4 y 5

90. Rosa recibe 8 pegatinas.Jorge tenía el doble que Rosa: 16 pegatinas.Carmen tenía el doble que Jorge: 32 pegatinas.Antonio tenía el doble que Carmen: 64 pegatinas.

91. 36 asignaturas.

92. 400 km

93. 80 L


114


PARA INTERPRETAR Y RESOLVER

94. Son válidos los gráficos b y d.

95. Tomates: 160 m2

Lechugas: 60 m2

Pimientos: 120 m2

Judías: 60 m2

SOLUC IONES DE LA AUTOEVALUAC IÓN

1. a) �1

3� b) �

2

6� c) �

1

4

2� Las fracciones son equivalentes.

2. a) �1

1

5

8

0� b) �

2

3

5� c) �

1

1

0

2

0�

3. a) �1

2

1� b) �

5

4� c) �

5

8� d) �

1

4�

4. �7

8� � �

3

4� � �

5

3�

5. a) �8

3� b) �

4

5

5

9�

6. a) �1

3

0� b) 15 c) �

3

7

7� � 5 �

7

2�

7. 16 páginas.

8. 65 €

9. 6 cajas.

10. Adrián ha leído la mitad de estas páginas: 42 páginas.

Nota s :


115

MURAL DE MATEMÁT ICAS

Este mural trata de cómo expresar las cantidades que se pueden encontraren la realidad. Por ejemplo, ver cómo expresar el crecimiento de las distintaspartes del cuerpo, cómo repartir una tarta de forma justa o cómo repartirbotellas con cantidades distintas en dos grupos con la misma cuantía.Se pueden realizar las siguientes actividades de ampliación:• La razón áurea también está relacionada con el hombre de Vitrubio. Es un

concepto que relaciona fracciones, raíces cuadradas, geometría y númerosdecimales. Se puede encontrar en :http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/Rincon-C/Curiosid/Rc-25/RC-25.htm.

• Los egipcios fueron de las primeras civilizaciones en utilizar las fracciones.Se puede hacer un pequeño trabajo de investigación en el que averigüencomo lo hacían.

JUGANDO CON LAS MATEMÁT ICAS

Total de botellas: 18 (9 en cada mesa). Total de limonada: 25/2 (25/4 encada mesa). Un posible reparto: mesa 1 (4 botellas de 1 litro � 2 de 3/4 �3 de 1/4); mesa 2 (2 botellas de 1 litro � 3 de 3/4 � 4 de 1/2).

Nota s :


1esomaes lp esu04

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