1esomaes lp esu09

198

Funciones

I N TRODUCC IN

PROGRAMACINDIDCTICA 9

OBJET IVOS

Reconocer e interpretar funciones lineales sencillas.

Representar y localizar puntos en los ejes de coordenadas.

Identificar si dos variables estn relacionadas mediante una funcin y distinguir entre va-riable dependiente e independiente.

CR I TER IOS DE EVALUAC IN

Representar e identificar puntos en los ejes de coordenadas.

Diferenciar si dos variables estn relacionadas o no mediante una funcin, distinguiendolas variables dependiente e independiente.

Representar e interpretar una funcin mediante tablas, grficas o frmulas, y saber pasarde unas a otras.

Reconocer e interpretar enunciados que correspondan a funciones sencillas de la vidacotidiana.

Reconocer, interpretar, representar y relacionar las funciones lineales con las magnitudesdirectamente proporcionales.

El mundo que nos rodea est lleno de funciones. En este tema trataremos de que elalumno distinga y se familiarice con algunas de ellas.Nos proponemos lo siguiente: Trabajar la representacin de puntos y ver la importancia de que las coordenadas son

pares ordenados.

Aprovechar los contenidos de proporcionalidad directa de la unidad anterior para trabajarcon las funciones lineales, intentando que vean la relacin que existe.

Que los alumnos aprecien la importancia de este tema aplicado a la vida real, queaprendan que muchas de las relaciones que ven son funciones, que sean capaces deescribir estas relaciones mediante frmulas o de representarlas en los ejes de coordenadas.

Por ltimo, intentaremos que vean lo til que puede resultar la representacin grficapara simplificar la informacin de dos variables que estn relacionadas.

La programacin didcticase encuentra en el CDde Programacin

41031_Programacio?n v7:41031_Programacio n 20/4/10 08:32 Pgina 198

199

COMPETENC IAS BS ICAS Conocer el concepto de funcin y aplicar las caractersticas bsicas geomtricas para

representarlas (C2, C4, C6, C7). Representar las funciones ms sencillas como las de proporcionalidad que describen mu-

chos fenmenos de la vida cotidiana (C2, C3, C5).

ATENC IN A LA D IVERS IDAD SUGERENC IAS Y MATER IALES D IDCT ICOS En el cuaderno de atencin a la diversidad puedes encontrar actividades de refuerzo

(pg. 20 y 21) y actividades de ampliacin (pg. 50 y 51) relativas a estos contenidos. Tambin existen ms actividades clasificadas por grados de dificultad en el CD Banco

de actividades.

Utilizacin de la calculadora para el clculo de valores de una funcin conocida sufrmula.

Teniendo en cuenta la interdisciplinariedad, sera recomendable utilizar en algunaocasin la frmula de la velocidad o cualquier otra que se obtenga de esta.

Se podra trabajar con el programa informtico Clic 3.0, cuya distribucin es gratuitapara usos educativos y no comerciales. Se puede descargar de la pgina web:http://www.xtec.es/recursos/clic.

Utilizar la prensa para la interpretacin de grficas que ya estn construidas.

Concep t o s Valoracin del lenguaje grfico para resolver problemas

de la vida cotidiana. Utilizacin correcta de instrumentos de dibujo y medida

para realizar representaciones grficas. Valoracin crtica de la informacin aparecida en revistas,

diarios, televisin, etc. Curiosidad por la investigacin sobre fenmenos reales

que presenten relacin entre magnitudes.

P r o c ed im i en t o s Ac t i t ud e sCONTEN IDOS

Ejes de coordenadas. Abscisas y ordenadas. Coordenadas de un punto en el plano. Relacin entre dos magnitudes de una tabla. Relacin entre ordenadas y abscisas. Frmulas. Funcin. Variables dependiente e independiente. Representacin grfica de funciones. Funcin lineal o de proporcionalidad directa.

Dibujar un punto en los ejes de coordenadas a partir desus coordenadas.

Determinar las coordenadas de un punto. Construir tablas de situaciones reales. Interpretar la grfica de una situacin sencilla. Calcular valores de una funcin a partir de su frmula. Escribir la frmula de una funcin a partir de un

conjunto de valores. Dibujar grficas de funciones mediante el clculo de

algunos de sus puntos. Distinguir si determinadas situaciones vienen

representadas o no por funciones. Identificar las variables dependiente e independiente de

una funcin. Resolver problemas sencillos en los que aparezcan

funciones lineales o de proporcionalidad directa.

MS RECURSOS

PROGRAMACINDIDCTICA


200

INTRODUCCIN

Cada da somos bombardeados con miles de datos: en la prensa, en la radio,en la televisin, etc. Por eso, en este tema trataremos de que el alumno vea ysepa interpretar esa informacin mediante grficas o funciones.

Comenzaremos con la representacin de puntos en los ejes de coordenadas ocartesianos, para pasar despus a las distintas relaciones con las que vamos atrabajar: relaciones dadas por tablas, por grficas o por frmulas. Veremos cmose puede pasar de una relacin a otra.

Introduciremos el concepto de funcin, distinguiendo las variables dependien-te e independiente. Pondremos ejemplos de tablas, grficas e incluso frmulasque no corresponden a funciones, para que los alumnos se vayan familiarizan-do con esta definicin.

Representaremos funciones a partir de los siguientes pasos: construccin deuna tabla, representacin de los puntos obtenidos y estudio del sentido de launin de los puntos.

Acabaremos con las funciones lineales o de proporcionalidad directa, caso par-ticular de funciones.

Pero, como dijimos al principio, lo importante de este tema radica en la capa-cidad de interpretar y construir grficas, para lo cual intentaremos que losejemplos y ejercicios sean ms abundantes.

COORDENADASEN EL PLANO

DEFINICIN DE FUNCIN

FUNCIN DEPROPORCIONALIDAD

DIRECTA

REPRESENTACIN

TABLA GRFICA FRMULA

FUNCIN


201

CONTEN IDOS DEL EP GRAFE

Ejes de coordenadas: abscisas, coordenadas y origen.Cuadrantes.Coordenadas de un punto. Par ordenado.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS

Debemos insistir en la colocacin de los nmeros negativos a la izquierdadel eje horizontal, pero tambin se pueden representar en la parte inferiordel eje vertical.

Habr que destacar que al representar un punto, la primera coordenada sehace en el eje de abscisas, y la segunda, en el eje de ordenadas.

Pondremos ejemplos para que el alumno se d cuenta de que no se puedencambiar de orden las coordenadas, puesto que daran lugar a puntosdistintos.

SOLUC IONES DE LAS ACT IV IDADES

1. A(2, 2), B(0, 2), C(3, 3), D(4, 0), E(2, 2), F(1, 3)2.

3. A est en el 1.er cuadrante; C, en el 2.o; B, en el 3.o; D y E, sobre los ejes.

O

Y

X1

1E A

D

C

B

O

Y

X1

1

E

A

B

D

C

ATENC IN A LA D IVERS IDAD

Bsico Libro del alumno: actividades 1 a 3, 31 a 33, 53 y 54. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

"Proporcionalidad, grficas y estadstica. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 1.

Ampliacin Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividades 1 y 6.


202


Relacin entre dos magnitudes escritas en una tabla.


Podemos ir introduciendo la idea de funcin para completarla en elapartado 5 de la unidad ms formalmente.

Es importante que vean desde un primer momento que para que unarelacin sea una funcin, a cada valor de la primera magnitud le debecorresponder un nico valor de la segunda.

Hacer hincapi en el concepto de dependencia e independencia a partirde ejemplos cotidianos y que ellos sean capaces de ver cul es la variabledependiente y cul la independiente.


Bsico Libro del alumno: actividades 5, 6, 28 y 35. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

"Proporcionalidad, grficas y estadstica. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 2.Ampliacin Libro del alumno: actividades 4 y 34.


4. a) Del ao en que nos encontremos.b) 39 millones de habitantes.c) En el ao 1950.d) En los aos 1960 y 1970.

5. a) Depende del ao en el que estemos.b) En 1997 se recogieron 150 toneladas de pilas.c) El ao en el que se recogieron menos pilas fue 1996, y el ao en el

que ms se recogieron fue 2000.

6. a) El da que ms horas se dedican a la lectura es el mircoles.b) S, el lunes y el sbado una hora, y el martes y domingo una hora y

media.c) El viernes, que dedic media hora.

Nota s :


203


Dependencia entre magnitudes expresadas a travs de una grfica.


Es bueno detenernos en este apartado, ya que a algunos alumnos les suelecostar bastante trabajo la interpretacin de las grficas dibujadas paracontestar a determinadas preguntas.

Practicaremos con los alumnos sobre grficas dibujadas, para que sepan encada momento si la pregunta que les hacen se debe responder fijndonosen el eje X o en el eje Y.

Podemos ayudarnos de las grficas encontradas en revistas o en la prensadiaria para realizar actividades en este apartado.

Para dar continuidad al tema volveremos a ver los conceptos bsicos defuncin introducidos en el apartado anterior.


Bsico Libro del alumno: actividades 8, 37 y 48. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica . Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 3.Ampliacin Libro del alumno: actividades 7 y 46. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica . Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividades 3 y 4.


7. a) A las ocho de la maana, la temperatura era de 37,5.b) A las 13.00.c) A las 14.00.

8. a) Consume unos 5,25 litros cada 100 kilmetros.b) El menor consumo se produce a 70 km/h.c) Aumenta el consumo de gasolina.

Nota s :


204


Frmula que relaciona dos magnitudes.


Este apartado completa los dos anteriores. Por tanto, sera bueno volvera tratar los conceptos bsicos de las funciones sobre la frmula: y variable dependiente, x variable independiente, obtencin de un nicovalor de y con la frmula

Incidir en la traduccin al lenguaje algebraico de distintas relaciones. Estotambin se ha trabajado en el tema de ecuaciones y sistemas.

Debemos realizar muchos ejercicios de obtencin de valores antes de hacerrepresentaciones de funciones, insistiendo en que se acostumbren adesarrollar todas las operaciones, para no poner el resultado directamente.

Nota s :


Bsico Libro del alumno: actividades 9, 10, 12, 13, 30 y 38.Ampliacin Libro del alumno: actividad 11. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 5.


9. y x 310. a) y 8 d) y 1

b) y 20 e) y 13c) y 2

11. Si S es el rea o superficie y l es el lado, la frmula es: S l2

12. y x2 513. y 4x 3


205


14. a) y 29 b) y 5 c) y 68 d) y 1315. La frmula de la funcin es: y 2x.16. Son funciones b y d. No son funciones a y c.


Bsico Libro del alumno: actividades 14 a 16 y 36.Ampliacin Libro del alumno: actividades 39, 51, 55 y 60.

Nota s :


Definicin de funcin.Variable independiente.Variable dependiente.


Hacer ver al alumno que y f(x), pudiendo ser utilizado de forma indistintacualquiera de los dos.

Realizaremos ejercicios en los que el alumno tenga que distinguir entrevariable dependiente y variable independiente, para que queden claros losconceptos.

Trataremos de que los alumnos distingan situaciones que corresponden afunciones de otras que no lo son.

Insistir en que los tres apartados anteriores son tres formas distintas derepresentar lo que se formaliza en este apartado. Podemos hacer ejerciciosen los que el alumno tenga que pasar de una forma de representacin aotra.


206


Pasos para dibujar una grfica: construccin de una tabla,representacin de los puntos obtenidos.Estudio del sentido de la unin de los puntos.


Pondremos cuidado a la hora de hacer las divisiones de los ejes, teniendoen cuenta que todas deben ser iguales entre s, pero no necesariamenteiguales a las del otro eje.


Bsico Libro del alumno: actividades 17 a 20, 40 a 42 y 56. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica.

Ampliacin Libro del alumno: actividades 21, 47, 49, 50, 52 y 63 a 65. Cuaderno n.o 4 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Proporcionalidad, grficas y estadstica . Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 2.


17. 19.

18. 20.

21. y 0,5x 1

O 1

1

h = 2y

Har

ina

Yogures2 3

2

3

O

Y

X1

1

y = 3x + 2

O 1

1

P = 3L

Perm

etro

de

un t

ring

ulo

Longitud del lado

O

Y

X1

1y = x + 1

O 4

2

y = 0,5x + 1

Euro

s

Fotos


207


22. y 2x

23. 24. y 1

6 x

25. a) y 0,5x b)

O

Y

X1

1 y = 2x

O

Y

X1

1

y = 0,5x

O

Y

X1

2

y = 5x

y = 4x

y = x

y = x

y = 2x

y = 3x

O

1

Peso

en

la L

una

Peso en la Tierra

12

2

3

6 18

y = 1 x6


Bsico Libro del alumno: actividades 22 a 25, 43 a 45 y 57 a 59.Ampliacin Libro del alumno: actividad 29. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 6.


Funcin lineal o de proporcionalidad directa.


Hacer ver al alumno que estas funciones no deben ser tratadas de unaforma aislada. Son un caso particular de los que hemos visto.

Sera conveniente volver sobre algunos de los ejercicios del tema anterior,para que vean con ms claridad la relacin existente con la razn deproporcionalidad directa.

Mencionar que todas las funciones de proporcionalidad directa deben pasarpor el origen de coordenadas.

3 2 1 0 1 26 4 2 0 2 4

x

y


208

ESTRATEG IAS Y TCN ICAS

Una de las formas de demostrar si algo no es cierto es el concepto decontraejemplo.Trataremos de que el alumno vea la diferencia entre un enunciado quesiempre es cierto y uno que no lo es.Distinguiremos dos tipos de problemas: En primer lugar, buscaremos enunciados donde sea fcil encontrar un

ejemplo que haga que este no se cumpla. Por ltimo, les haremos ver que cuando un enunciado es cierto, la bsqueda

de estos contraejemplos es mucho ms difcil. De hecho, es imposible.


26. Respuesta abierta.En general, 2x 1 2(x 1).Por ejemplo, si x 5, 2 5 1 9 8 2 (5 1)Las grficas son:

y 2x 1 y 2 (x 1)

27. a) No.b) Porque en otros valores dan diferentes resultados. As, en x 9, la

primera funcin da de resultado y 9 4 5, mientras que la

segunda da y 9

3 3.

Nota s :

x y

1 3

0 1

1 1

2 3

x y

1 4

0 2

1 0

2 2

O

Y

X1

1

y = 2x 1

O

Y

X1

1y = 2(x 1)


209

ORGAN IZA TUS I DEAS

Una buena forma de completar este esquema es que los alumnos construyanejemplos correspondientes a cada recuadro.En Formas de representacin podemos indicarles que marquen en cada unade ellas los conceptos definidos inmediatamente antes.Tambin puede ser interesante que con sus propias palabras intenten escribiruna explicacin de cmo pasar de una forma de representacin a otra(corrigindolo nosotros posteriormente).Pueden incluir adems un pequeo esquema de los pasos a seguir en larepresentacin grfica.

Nota s :


210


CLCULO MENTAL28.

29. La nica que es de proporcionalidad directa es la a, y la constante deproporcionalidad es 2.

30. a)

b)

c)

EJERCICIOS PARA ENTRENARSECoordenadas en el plano31.

32. A(6, 1), B(4, 0), C (0, 1), D(2, 4), E (6, 0), F (2, 2), G (0, 2), H (3, 3)

33. a) Cuadrante IV. b) Cuadrante I. c) Cuadrante III. d) Est en el eje y.

Relaciones dadas por tablas34. a) Cuatro horas.

b) Entre las 12.00 y las 13.00 adelanta 155 km.c) S.

35.

2 3 4 5 61,2 1,8 2,4 3 3,6

Cantidad (kg)Precio ()

0 1 2 3 7 10 11 120 3 6 9 21 30 33 36

x

y

3 2 1 0 1 2 3 416 13 10 7 4 1 2 5

x

y

5 2 1 0 3 5 7 1027 6 3 2 11 27 51 102

x

y

O

Y

X1

1

C

A

E

D

B

F

2 2,5 4 6 9 12 1818 14,4 9 6 4 3 2

Base (m)Altura (m)

Nota s :


211


Relaciones dadas por grficas y frmulas36. a) f (2) 4; f (1) 1; f (0) 0; f (1) 1; f (2) 4

b) f (2) 2; f (1) 1; f (0) 2; f (1) 1; f (2) 2c) f (2) 5; f (1) 1; f (0) 3; f (1) 7; f (2) 11

37. a) En el cuarto mes. c) S, el tercero y el quinto mes.b) En el segundo mes. d) S.

38. a) y 2x b) y 3x 2 c) y x2 3 d) y x2

Funciones y grficas39. a) y 35x b) S.

c) Variable independiente: bombones. Variable dependiente: precio.40. a)

b)

c) S, porque la funcin puede tomar cualquier valor real positivo.d) S.

41. a) x 0 b) x 3 c) x 3 42. El A y el D.d)

Funcin de proporcionalidad directa

43. a) y 3x b) y 5x c) y 1

2 x d) y

1

7 x

44. a) b)

45. a) f (3) 6; f (1) 2; f (3) 6 b)

1 2 3 4 5 10

3,14 12,56 28,26 50,24 78,5 314

R

A

O 5

50

rea

Radio

O

Y

X1

2y = 3x +1

O

Y

X1

1y = x +1 C

D

A

B

O

Y

X1

1

y = 3xy = 2x

y = x

y = 0,5x

O

Y

X1

1

y = 3xy = 2x

y = x

y = 0,5x

O

Y

X1

1

y = 2x


212


PROBLEMAS PARA APLICAR

46. a) A los 40 minutos.b) A los 2 minutos y a los 65 minutos.c) En los 10 primeros minutos y de los 30 a 40 minutos.d) S.

47. a) y 10x, donde x es el nmero dede euros.

b) Es una funcin de proporcionalidad directa.

c) La constante de proporcionalidad es 10.

48. En los primeros 6 minutos recorre 200 metros. Luego aumenta muchola velocidad, ya que en los 4 minutos siguientes avanza otros 200metros. Tras este acelern descansa 6 minutos.

49. a)

b)

50.

51. a) Tiene que poner a la de Alejandro, 0,27 ; a las de Ins y Elena, 0,55 , y a la de Pedro, 3,12 .

b) S es posible.c) S es una funcin.

52. a) Es ms rpido el F.b) Cualquier punto situado en la

regin sombreada sera vlido,por ejemplo, (15, 2).

c) La grfica no representa unafuncin, pues hay un valor deabscisas, 25, al que correspon-den dos ordenadas, 1,5 y 2,5.

O

10

Vacu

nas

Euros ()

1

y = 10x

d)

1 2 4 6

3/2 3 6 9

b

A

O

1

rea

Dimensiones de la base1

A = b . 32

O

1

Dis

tanc

ia (

km)

Tiempo (h)1

O

A C

FB

E

D

Dis

tanc

ia (

km)

Tiempo (min)5

3

2

1

10 15 20 25

(15, 2)

Nota s :


213


REFUERZOCoordenadas de puntos53. A(4, 0), B(3, 2), C(0, 3), D(3, 1), E(6, 0), F(4, 2), G(0, 5), H(3, 2)54. A: II cuadrante. B: en el eje Y. C: en el eje X. D: IV cuadrante.Tablas, grficas y frmulas55. a) Porque a cada valor del precio corresponde uno slo del tiempo.

b) 3,70 euros.56. a) y 5 b)

c) Recta paralela al eje OX, de ordenada 5.57. a) 6; 0; 2; 4 b) 4; 5; 8; 11 c) 3; 0; 1; 2 d) 6; 0; 2; 658. 59. a) y 2x c) y

1

5 x

b) y 3x d) y 1

3 x

AMPLIACIN60. a) b) y 4 2x

61. a) x(x2 3)

b)

62. a) S x(36 x)b) c)

63. a) c) y 60(x 1) 90

b)

1 4 5 8 10

5 5 5 5 5

x

y

0 1 2 3 44 6 8 10 12

x

f(x)

O

Y

X1

1

y = 5x y = x

y = 1 x2

y = 1 x4

y = 3 x5

y = 1 x4

y = 5x

c) No, porque solo hay po-lgonos con un nmeroentero de lados.

O

1

N.o

de

diag

onal

es

N.o de lados

1

x 36 x S1 36 36

4 32 128

10 26 260

14 22 308

18 18 324

20 16 320

24 12 288

O

50

rea

(S)

Lado (x)

100150200250300350

24 32164 8 12 20 28 36

y = x (36 x)

O

100

Cos

te (

)

N.o de metros1

y = 60(x 1) + 90

1 2 3 4

90 150 210 270

N.o metrosCoste


214


PARA INTERPRETAR Y RESOLVER

64. a) La distancia entre C y B es de 9 km.b) Se encuentran a las 11 h 30 m. Pedro ha recorrido 6 km y Eva

3 km.c) Pablo 4 km/h y Eva 2 km/h.

65. Los seis primeros garara 1700 euros, el sptimo 1750 euros, el octavo1800 euros y as 50 euros ms cada mes.

SOLUC IONES DE LA AUTOEVALUAC IN

1.

2.

3. A(2, 3), B(1, 0), C(1, 3), D(4, 2)

4. a)

b)

c) No es funcin proporcional.

5. y 3x

6. a) 8 b) 12

c) 0

7. Variable independiente: tiempo.Variable dependiente: distancia.

8. a) A lo largo de la 1. semana.b) Entre la 1. y 2. y la 3. y 4..

9. No, pues para cada valor de lavariable independiente hay 2 va-lores de la variable dependiente.

10.

O

1 600

Sue

ldo

()

Mes6

1 8002 0002 2002 4002 6002 800

18 2412

O

Y

X1

1

y = 3x

O

Y

X1

1

y = 3xy = x

O

Y

X1

1

AB

D

C

O

Y

X1

1

P

O

Y

X1

1 y = 2x 1

1 0 2 3 8

3 1 3 5 15

x

y


215

MURAL DE MATEMT ICAS

Podemos aprovechar esta pgina para hacer ver al alumno la cantidad desituaciones reales que se rigen por una funcin. Aqu se nos muestra elcrecimiento de las bacterias o las protecciones solares.Sera bueno proponer que busquen ms casos en los que aparezcan lasfunciones, como puede observarse en las etapas ciclistas, ejemplo tpico deutilizacin de grficas.

JUGANDO CON LAS MATEMT ICAS

4 R 11 V 28 R 59 V 172 R 347 V 1 036 (3 veces cada tecla)

Nota s :


1esomaes lp esu09

Documents