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Espacios Lp

ContenidosArtículos

Espacio vectorial 1Espacio vectorial normado 14Espacios Lp 16Espacio de Banach 17Espacio de Hilbert 21

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 27Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 28

Licencias de artículosLicencia 29

Espacio vectorial 1

Espacio vectorialEste artículo está orientado a proporcionar un tratamiento riguroso y abstracto del concepto de espaciovectorial. Para una introducción más accesible al concepto, véase Vector

Representación artística de un espacio vectorial.

En matemáticas, un espacio vectorial es una estructura algebraicacreada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamadasuma, definida para los elementos del conjunto) y una operaciónexterna (llamada producto por un escalar, definida entre dichoconjunto y un cuerpo matemático), con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a loselementos del cuerpo, escalares.

Historia

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espaciosvectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica,matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Los espacios vectoriales se derivan de la geometría afín, a través de laintroducción de coordenadas en el plano o el espacio tridimensional.Alrededor de 1636, los matemáticos franceses Descartes y Fermat fundaron las bases de la geometría analíticamediante la vinculación de las soluciones de una ecuación con dos variables a la determinación de una curvaplana.[1] Para lograr una solución geométrica sin usar coordenadas, Bernhard Bolzano introdujo en 1804 ciertasoperaciones sobre puntos, líneas y planos, que son predecesores de los vectores.[2] Este trabajo hizo uso del conceptode coordenadas baricéntricas de August Ferdinand Möbius de 1827.[3]

La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientesavances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios defunciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizodotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidady continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilberttienen una teoría más rica y elaborada.El origen de la definición de los vectores es la definición de Giusto Bellavitis de bipoint, que es un segmentoorientado, uno de cuyos extremos es el origen y el otro un objetivo. Los vectores se reconsideraron con lapresentación de los números complejos de Argand y Hamilton y la creación de los cuaterniones por este último(Hamilton fue además el que inventó el nombre de vector).[4] Son elementos de R2 y R4; el tratamiento mediantecombinaciones lineales se remonta a Laguerre en 1867, quien también definió los sistemas de ecuaciones lineales.En 1857, Cayley introdujo la notación matricial, que permite una armonización y simplificación de las aplicacioneslineales. Casi al mismo tiempo, Grassmann estudió el cálculo baricéntrico iniciado por Möbius. Previó conjuntos deobjetos abstractos dotados de operaciones.[5] En su trabajo, los conceptos de independencia lineal y dimensión, asícomo de producto escalar están presentes. En realidad el trabajo de Grassmann de 1844 supera el marco de losespacios vectoriales, ya que teniendo en cuenta la multiplicación, también, lo llevó a lo que hoy en día se llamanálgebras. El matemático italiano Peano dio la primera definición moderna de espacios vectoriales y aplicacioneslineales en 1888.[6]

Un desarrollo importante de los espacios vectoriales se debe a la construcción de los espacios de funciones por Henri Lebesgue. Esto más tarde fue formalizado por Banach en su tesis doctoral de 1920[7] y por Hilbert. En este momento, el álgebra y el nuevo campo del análisis funcional empezaron a interactuar, en particular con conceptos clave tales

Espacio vectorial 2

como los espacios de funciones p-integrables y los espacios de Hilbert. También en este tiempo, los primerosestudios sobre espacios vectoriales de infinitas dimensiones se realizaron.Los espacios vectoriales tienen aplicaciones en otras ramas de la matemática, la ciencia y la ingeniería. Se utilizan enmétodos como las series de Fourier, que se utiliza en las rutinas modernas de compresión de imágenes y sonido, oproporcionan el marco para resolver ecuaciones en derivadas parciales. Además, los espacios vectorialesproporcionan una forma abstracta libre de coordenadas de tratar con objetos geométricos y físicos, tales comotensores, que a su vez permiten estudiar las propiedades locales de variedades mediante técnicas de linealización.

NotaciónDado un espacio vectorial sobre un cuerpo , se distinguen.Los elementos de como:

se llaman vectores.Caligrafias de otras obras

Si el texto es de física suelen representarse bajo una flecha:

Los elementos de como:

se llaman escalares.

Definición de espacio vectorialUn espacio vectorial sobre un cuerpo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es unconjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será cerrado:

operación interna tal que:1) tenga la propiedad conmutativa, es decir

2) tenga la propiedad asociativa, es decir

3) tenga elemento neutro , es decir

4) tenga elemento opuesto, es decir

y la operación producto por un escalar:

operación externa tal que:5) tenga la propiedad asociativa:

6) sea elemento neutro del producto:

7) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de vectores:

Espacio vectorial 3

8) tenga la propiedad distributiva del producto respecto la suma de escalares:

ObservacionesLa denominación de las dos operaciones no condiciona la definición de espacio vectorial por lo que es habitualencontrar traducciones de obras en las que se utiliza multiplicación para el producto y adición para la suma, usandolas distinciones propias de la aritmética.Para demostrar que un conjunto es un espacio vectorial:

• Lo es si sus dos operaciones, por ejemplo y admiten una redefinición del tipoy cumpliendo las 8 condiciones exigidas.

• Si supiésemos que es un grupo conmutativo o abeliano respecto la suma ya tendríamos probados los apartados1, 2, 3 y 4.

• Si supiésemos que el producto es una acción por la izquierda de tendríamos probados los apartados 5 y 6.•• Si no se dice lo contrario:

.

PropiedadesUnicidad del vector neutro de la propiedad 3:

supongamos que el neutro no es único, es decir, sean y dos vectores neutros, entonces:

Unicidad del vector opuesto de la propiedad 4:supongamos que el opuesto no es único, es decir, sean y dos vectores opuestos de , entonces,como el neutro es único:

Unicidad del elemento en el cuerpo :supongamos que 1 no es único, es decir, sean y dos unidades, entonces:

Unicidad del elemento inverso en el cuerpo :

supongamos que el inverso de a, no es único, es decir, sean y dos opuestos de , entonces,como el neutro es único:

Producto de un escalar por el vector neutro:

Producto del escalar 0 por un vector:

Si

Espacio vectorial 4

• Si es cierto.• Si entonces:

Notación

.Observación

• Si • Si

Primer ejemplo con demostración al detalle

Se quiere probar que es un espacio vectorial sobre Si juega el papel de y el de :Los elementos:

son, de forma genérica:

es decir, pares de números reales. Por claridad se conserva la denominación del vector, en este caso u, en suscoordenadas, añadiendo el subíndice x o y para denominar su componente en el eje x o y respectivamenteEn se define la operación suma:

donde:

y la suma de u y v sería:

donde:

esto implica que la suma de vectores es interna y bien definida.La operación interna suma tiene las propiedades:1) La propiedad conmutativa, es decir:

Espacio vectorial 5

2) La propiedad asociativa:

3) tiene elemento neutro :

4) tenga elemento opuesto:

La operación producto por un escalar:

El producto de a y u será:

donde:

esto implica que la multiplicación de vector por escalar es externa y aun así está bien definida.5) tenga la propiedad:

Esto es:

6) sea elemento neutro en el producto:

Que resulta:

Que tiene la propiedad distributiva:7) distributiva por la izquierda:

En este caso tenemos:

Espacio vectorial 6

8) distributiva por la derecha:

Que en este caso tenemos:

Queda demostrado que es espacio vectorial.

Ejemplos de espacios vectoriales

Los cuerposTodo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.• es un espacio vectorial de dimensión uno sobre .Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.• es un espacio vectorial de dimensión 2 sobre .• es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre .

Sucesiones sobre un cuerpo El espacio vectorial más conocido notado como , donde n>0 es un entero, tiene como elementos n-tuplas, esdecir, sucesiones finitas de de longitud n con las operaciones:

(u1, u2, ..., un)+(v1, v2, ..., vn)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn).a(u1, u2, ..., un)=(au1, au2, ..., aun).

Las sucesiones infinitas de son espacios vectoriales con las operaciones:(u1, u2, ..., un, ...)+(v1, v2, ..., vn, ...)=(u1+v1, u2+v2, ..., un+vn, ...).a(u1, u2, ..., un, ...)=(au1, au2, ..., aun, ...).

El espacio de las matrices , , sobre , con las operaciones:

También son espacios vectoriales cualquier agrupación de elementos de en las cuales se defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices , así por ejemplo tenemos las cajas sobre que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una función

Espacio vectorial 7

genérica.

Espacios de aplicaciones sobre un cuerpo

El conjunto de las aplicaciones , un cuerpo y un conjunto, también forman espaciosvectoriales mediante la suma y la multiplicación habitual:

Los polinomios

Suma de f(x)=x+x2 y g(x)=-x2.

El espacio vectorial K[x] formado por funciones polinómicas,veámoslo:

Expresión general:,donde

los coeficientes , considérese.

,donde y ,

.Las series de potencias son similares, salvo que se permiteninfinitos términos distintos de cero.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas forman espacios vectoriales, con las siguientes operaciones:

Expresión general:

,

.

Espacio vectorial 8

Los sistemas de ecuaciones lineales homogéneas

Sistema de 2 ecuaciones y 3 variables

o equivalentemente

simplificado como Un sistema de ecuaciones lineales homogéneas( ecuaciones lineales en las que es siempre una solución, esdecir, ) posee soluciones que forman un espacio vectorial, se puede ver en sus dosoperaciones:

Si Si .

También que las ecuaciones en sí, filas de la matriz notadas como una matriz , es decir,, son un espacio vectorial, como se puede ver en sus dos operaciones:

Si Si .

Definición de subespacio vectorialSea un espacio vectorial sobre y no vacío, es un subespacio vectorial de si:

Consecuenciashereda las operaciones de como aplicaciones bien definidas, es decir que no escapan de , y como

consecuencia tenemos que es un espacio vectorial sobre .Con cualquier subconjunto de elementos seleccionados en los espacios vectoriales anteriores, no vacío, se puedengenerar subespacios vectoriales, para ello seria útil introducir nuevos conceptos que facilitarán el trabajo sobre estosnuevos espacios vectoriales.

Espacio vectorial 9

Resultados internosPara detallar el comportamiento interno de todos los espacios vectoriales de modo general es necesario exponer unaserie de herramientas cronológicamente vinculadas entre ellas, con las cuales es posible construir resultados válidosen cualquier estructura que sea espacio vectorial.

Combinación lineal

Cada vector u es combinación lineal de forma única

Dado un espacio vectorial , diremos que un vector ues combinación lineal de los vectores de

si existen escalarestales que

Notaremos como el conjunto resultante de todaslas combinaciones lineales de los vectores de .

Proposición 1

Dado un espacio vectorial y un conjuntode vectores, el conjunto es el subespaciovectorial más pequeño contenido en y que contiene a .

Demostración

Si se supone lo contrario, que existe uno más pequeño contradicción, ya que u está generadopor elementos de a causa de la buena definición de las dos operaciones, por tanto .

Nota. En este caso se dice que es un sistema de generadores que genera a .

Independencia lineal

Diremos que un conjunto de vectores es linealmente independiente si el vector 0 no sepuede expresar como combinación lineal no nula de los vectores de , es decir:

Si .Diremos que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si no es linealmente independiente.

Proposición 2

son linealmente dependientes

Demostración

Linealmente dependientes

tomando .

Si donde y por tanto linealmente dependientes.

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Base de un espacio vectorialLas bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto(finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio. Esto significa que cualquier vector v puedeser expresado como una suma (llamada combinación lineal) de elementos de la base

a1vi1 + a2vi2 + ... + anvin,donde los ak son escalares y vik (k = 1, ..., n) elementos de la base B. La minimalidad, por otro lado, se hace formalpor el concepto de independencia lineal. Un conjunto de vectores se dice que es linealmente independiente sininguno de sus elementos puede ser expresado como una combinación lineal de los restantes. Equivalentemente, unaecuación

a1vi1 + ai2v2 + ... + anvin = 0sólo se consigue si todos los escalares a1, ..., an son iguales a cero. Por definición de la base cada vector puede serexpresado como una suma finita de los elementos de la base. Debido a la independencia lineal este tipo derepresentación es única. Los espacios vectoriales a veces se introducen desde este punto de vista.

Base formalmente

v1 y v2 son base de un plano, si hubiese dependencialineal(alineados) la cuadrícula no podría generarse

Dado un sistema de generadores, diremos que es una base si sonlinealmente independientes.

Proposición 3. Dado un espacio vectoriales una base

.

Proposición 4. Dado un espacio vectoriallinealmente independiente y

eslinealmente independiente.

Teorema de la base de generadores

Todo sistema de generadores tiene una base.

Teorema Steinitz

Toda base de un espacio vectorial puede ser cambiada parcialmente por vectores linealmente independientes.Corolario. Si un espacio vectorial tiene una base de vectores cualquier otra base posee vectores.

ObservaciónTodo espacio vectorial tiene una base. Este hecho se basa en el lema de Zorn, una formulación equivalente delaxioma de elección. Habida cuenta de los otros axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, la existenciade bases es equivalente al axioma de elección. El ultrafilter lemma, que es más débil que el axioma de elección,implica que todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo "tamaño", es decir, cardinalidad. Si el espacio esgenerado por un número finito de vectores, todo lo anterior puede demostrarse sin necesidad de acudir a la teoría deconjuntos.

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DimensiónDado un espacio vectorial sobre :• Si tiene base finita, diremos dimensión al número de elementos de dicha base.• Si tiene base no finita, diremos que es de dimensión infinita.

Notación

Dado un espacio vectorial y un subespacio , tenemos que:

• Si tiene dimensión lo indicaremos como .• Si tiene dimensión como subespacio de lo indicaremos como .

Intersección de subespacios vectoriales

Dado dos subespacios vectoriales , la intersección es subespacio vectorial contenido en estos y lonotaremos como:

.Observaciones. Para la intersección sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos endos.

La unión de subespacios vectoriales no es en general un subespacio vectorial.

Suma de subespacios vectoriales

Dado dos subespacios vectoriales , la suma es un subespacio vectorial que contiene a estos y lanotaremos como:

.Observación. Para la suma sucesiva de espacios vectoriales se procede, inductivamente, de dos en dos.

Teorema Fórmula de Grassmann

Dado dos subespacios vectoriales de dimensión finita, tenemos el resultado siguiente:

.

Suma directa de subespacios vectoriales

Dado dos subespacios vectoriales , diremos que es una suma directa si y lonotaremos como:

.

Cociente de espacios vectorialesDado un espacio vectorial y un subespacio vectorial .

Dados diremos que están relacionados modulo si .• La relación anterior es una relación de equivalencia.

Se nota por a la clase de modulo .

Llamaremos conjunto cociente o espacio cociente al conjunto de las clases de equivalencia anterior:

Se nota por a dicho espacio cociente.El espacio es un espacio vectorial con las operaciones siguientes:

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Construcciones básicasAdemás de lo expuesto en los ejemplos anteriores, hay una serie de construcciones que nos proporcionan espaciosvectoriales a partir de otros. Además de las definiciones concretas que figuran a continuación, también secaracterizan por propiedades universales, que determina un objeto X especificando las aplicaciones lineales de X acualquier otro espacio vectorial.

Suma directa de espacios vectoriales

Dado dos espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo , llamaremos suma directa al espacio vectorial, veamos que están bien definidas las dos operaciones:

,.

Espacios vectoriales con estructura adicionalDesde el punto de vista del álgebra lineal, los espacios vectoriales se comprenden completamente en la medida enque cualquier espacio vectorial se caracteriza, salvo isomorfismos, por su dimensión. Sin embargo, los espaciosvectoriales ad hoc no ofrecen un marco para hacer frente a la cuestión fundamental para el análisis de si una sucesiónde funciones converge a otra función. Asimismo, el álgebra lineal no está adaptada per se para hacer frente a seriesinfinitas, ya que la suma solo permite un número finito de términos para sumar. Las necesidades del análisisfuncional requieren considerar nuevas estructuras.

Espacios normadosUn espacio vectorial es normado si está dotado de una norma.

Espacio métricoUn espacio métrico es un espacio vectorial dotado de una aplicación distancia.

Proposición 5. Un espacio normado es un espacio métrico, donde la distancia viene dada por:

Toda distancia inducida por la norma es una distancia.

Espacios vectoriales topológicosDada una topología sobre un espacio vectorial donde los puntos sean cerrados y las dos operaciones delespacio vectorial sean continuas respecto dichas topología, diremos que:• es una topología vectorial sobre ,• es un espacio vectorial topológico.

Proposición 6.. Todo espacio vectorial topológico dotado de una métrica es espacio normado.Proposición 7.. Todo espacio normado es un espacio vectorial topológico.

Espacio vectorial 13

Espacios de BanachUn espacio de Banach es un espacio normado y completo.

Espacios prehilbertianos

Un espacio prehilbertiano es un par , donde es un espacio vectorial y es un producto aescalar.

Espacios de HilbertUn espacio de Hilbert es un espacio prehilbertiano completo por la norma definida por el producto escalar.

Morfismos entre espacios vectorialesSon aplicaciones entre espacios vectoriales que mantienen la estructura de los espacios vectoriales, es decir,conservan las dos operaciones y las propiedades de éstas de uno a otro de dichos espacios.

Aplicaciones lineales

Dado dos espacios vectoriales y , sobre un mismo cuerpo, diremos que una aplicación eslineal si:

,.

Referencias[1] Bourbaki, 1969, ch. "Álgabre linéaire et álgebre multilinéaire", pp. 78–91.[2][2] Bolzano, 1804.[3][3] Möbius, 1827.[4][4] Hamilton, 1853.[5][5] Grassmann, 1844.[6][6] Peano, 1888, ch. IX.[7][7] Banach, 1922.

Notas

Referencias históricas• Banach, Stefan (1922) (en francés). Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux

équations intégrales (On operations in abstract sets and their application to integral equations). 3. FundamentaMathematicae. ISSN 0016-2736 (http:/ / worldcat. org/ issn/ 0016-2736).

• Bolzano, Bernard (1804) (en alemán). Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie(Considerations of some aspects of elementary geometry) (http:/ / dml. cz/ handle/ 10338. dmlcz/ 400338).

• Bourbaki, Nicolas (1969) (en francés). Éléments d'histoire des mathématiques (Elements of history ofmathematics). Paris: Hermann.

• Grassmann, Hermann (1844) (en alemán). Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik(http:/ / books. google. com/ books?id=bKgAAAAAMAAJ& pg=PA1& dq=Die+ Lineale+ Ausdehnungslehre+ein+ neuer+ Zweig+ der+ Mathematik).

• Hamilton, William Rowan (1853) (en inglés). Lectures on Quaternions (http:/ / historical. library. cornell. edu/cgi-bin/ cul. math/ docviewer?did=05230001& seq=9). Royal Irish Academy.

• Möbius, August Ferdinand (1827) (en alemán). Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie (Barycentric calculus: a new utility for an analytic treatment of

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geometry) (http:/ / mathdoc. emath. fr/ cgi-bin/ oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0).• «The axiomatization of linear algebra: 1875–1940», Historia Mathematica 22 (3): 262–303, 1995, ISSN 0315-0860

(http:/ / worldcat. org/ issn/ 0315-0860)• Peano, Giuseppe (1888) (en italiano). Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann

preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva. Turin.

Bibliografía• Castellet, M.; Llerena, I. (1988). «IV espais vectorials» (en catalán). Àlgebra lineal i geometría. Publ. UAB.• Lang, S. (1976). Álgebra Lineal. Fondo Educativo Interamericano.• Queysanne, M., Álgebra Básica, Vicens-Vives. 1973.• Rudin, w., Análisis Funcional (Definición axiomática de espacios vectoriales topológicos introductivamente),

Reverté.

Enlaces externos• Juega con vectores (http:/ / www. frontiernet. net/ ~imaging/ vector_calculator. html)• Weisstein, Eric W. « Espacio vectorial (http:/ / mathworld. wolfram. com/ VectorSpace. html)» (en inglés).

MathWorld. Wolfram Research.• A lecture (http:/ / ocw. mit. edu/ courses/ mathematics/ 18-06-linear-algebra-spring-2010/ video-lectures/

lecture-9-independence-basis-and-dimension/ ) about fundamental concepts related to vector spaces (given atMIT)

• A graphical simulator (http:/ / code. google. com/ p/ esla/ ) for the concepts of span, linear dependency, base anddimension

Espacio vectorial normadoEn matemática un espacio vectorial se dice que es normado si en él se puede definir una norma vectorial. Podemosseñalar los siguientes hechos que ayudan a comprender la importancia del concepto de espacio normado:• En un espacio euclídeo, la norma coincide precisamente con la longitud del vector.• Todo espacio vectorial normado es un espacio métrico con la distancia inducida por la norma.• Si el espacio vectorial es además completo se dice que es un espacio de Banach.

DefiniciónUn espacio vectorial V sobre un cuerpo en el que se define un valor absoluto (generalmente o ) se diceque es normado si en él se puede definir una norma, es decir, una aplicación , que verifica:1. No negatividad. Para todo de su norma ha de ser positiva, y será cero si y sólo si es el vector cero:

si y .2. Homogeneidad. Para todo de y para todo k de se satisface que · donde | | es el

módulo o valor absoluto.3. Desigualdad triangular. Para todos e de se cumple que .Generalmente se denotará a al espacio vectorial normado y cuando la norma sea clara simplemente por .

Espacio vectorial normado 15

Ejemplos

De dimensión finita•• Los espacios euclídeos , estudiados en el análisis clásico.• Las matrices cuadradas de orden n sobre :

De dimensión infinita• El espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable sobre un intervalo con la norma dada por el

producto escalar .• El espacio de funciones continuas sobre un espacio topológico compacto con la norma del supremo:

Distancia inducidaEn todo espacio vectorial normado se puede definir la distancia :

con la cual (V,d) es un espacio métrico.

Espacios vectoriales normados de dimensión finitaSe cumplen los siguientes resultados (que generalmente no son ciertos para espacios de dimensión infinita):• Todas las normas definidas en el espacio son equivalentes, es decir, definen la misma topología. La convergencia

o divergencia de una sucesión no depende de la norma escogida. El resultado no es cierto para espacios dedimensión infinita siendo siempre posible encontrar dos normas que no son equivalentes.

• El espacio es completo, es decir, es un espacio de Banach. Como consecuencia, todo subespacio de dimensiónfinita de un espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) es cerrado.

•• Un espacio vectorial normado es de dimensión finita si y sólo si la bola unidad es compacta.•• Todo funcional lineal es continuo. Si el espacio tiene dimensión infinita, existen funcionales lineales no

continuos.• Teorema de Heine-Borel o teorema de Borel-Lebesgue. Un subconjunto del espacio vectorial es compacto si y

solo si es cerrado y acotado.

Espacios normados de dimensión infinitaEn análisis funcional, teoría de ecuaciones diferenciales e incluso en mecánica cuántica intervienen espaciosnormados de dimensión infinita, en especial espacios de Banach y espacios de Hilbert. Ambos tipos de espacios sonmétricamente completos, siendo todo espacio de Hilbert trivialmente también un espacio de Banach (al revés sólo escierto si la norma del espacio de Banach satisface la ley del paralelogramo).Los espacios de Banach son ampliamente usados para discutir ecuaciones de evolución que involucran ecuacionesdiferenciales ordinarias (en concreto un problema bien definido está definido sobre un espacio de Banach).

Espacio vectorial normado 16

Referencias

Bibliografía• Iribarren, Ignacio L.: Topología de espacios métricos (1973) Editorial Limusa Wiley S.A. , primera edición ,

impreso en México• Cotlar, Mischa und Cignoli, Roberto: Nociones de espacios normados (1967) Editorial Universitaria de Buenos

aires, impreso en La Argentina.

Espacios LpLos espacios son los espacios vectoriales normados más importantes en el contexto de la teoría de la medida yde la integral de Lebesgue. Reciben también el nombre de espacio de Lebesgue por el matemático Henri Lebesgue.

DefiniciónConsideremos un espacio de medida. Se define el espacio vectorial:

Como el espacio de todas las funciones medibles que cumplen:

Asimismo, se define el espacio como el espacio de las funciones medibles que verifican:

Es decir, aquellas funciones medibles acotadas excepto en un conjunto de medida nula. Una norma natural paradefinir en estos espacios sería:

, si , y

Sin embargo, una aplicación así definida no resulta norma, ya que no se cumple , puescualquier función que sea igual a la función nula, salvo en un conjunto de medida nula, tendrá norma cero.Así, se define la siguiente relación de equivalencia sobre : . Se prueba queefectivamente es una relación de equivalencia, y se defina , i.e., el espacio vectorial cuyos elementosson las clases de equivalencia de la relación . Considerando entonces sobre las normas anteriormentedefinidas (donde es cualquier representante de la clase de equivalencia), se prueba que resulta ser norma yque su valor no depende del representante de la clase de equivalencia escogido. Usualmente no se hace distinciónentre función y clase de equivalencia en este contexto.

Espacios Lp 17

Propiedades1. es un espacio de Banach.

2. es un Espacio de Hilbert, dotado del producto interno .

3. Si , entonces se tiene que .4. Si es reflexivo.5. Si denotamos por al espacio de las funciones simples, se cumple que es denso en .

6. Si , el dual topológico de es donde es tal que .

7. Si el espacio de medida es -finito, entonces el dual de se identifica con .8. Si es un espacio topológico localmente compacto separado, y es una medida regular, entonces

(el espacio de las funciones continuas a soporte compacto) es denso en con .9. El espacio de las funciones infinitamente derivables en un abierto a soporte compacto y que están en

con , es denso en , es decir .

Espacio de BanachEn matemáticas, los espacios de Banach, llamados así en honor de Stefan Banach, son uno de los objetos de estudiomás importantes en análisis funcional. Los espacios de Banach son típicamente espacios de funciones de dimensióninfinita.

DefiniciónUn espacio de Banach es un espacio vectorial normado completo. Esto quiere decir que un espacio de Banach es unespacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales o el de los complejos con una norma ||·|| tal que todasucesión de Cauchy (con respecto a la métrica d(x, y) = ||x - y||) en V tiene un límite en V.

EjemplosDe aquí en adelante, designará uno de los cuerpos o :• Los conocidos espacios euclidianos , donde la norma euclidiana de x = (x1, ..., xn) está dada por ||x|| = (∑

|xi|²)1/2, son espacios de Banach.

• El espacio de todas las funciones continuas definidas sobre un intervalo compacto (cerrado y acotado)[a, b] tiene la estructura de espacio de Banach si definimos la norma según ||f|| = sup { |f(x)| : x en [a, b] }. Esta es,de hecho, una norma, gracias al hecho de que las funciones continuas definidas sobre un intervalo cerrado estánacotadas. Este espacio es completo con esta norma, y el espacio de Banach resultante se denota por C[a, b]. Esteejemplo se puede generalizar al espacio C(X) de todas las funciones continuas X → K, donde X es un espaciocompacto, o al espacio de todas las funciones continuas acotadas X → K, donde X es cualquier espaciotopológico, y aún al espacio B(X) de todas las funciones acotadas X → K, donde X es cualquier conjunto. Entodos estos ejemplos podemos multiplicar funciones y quedar en el mismo espacio: Todos estos espacios son, dehecho, álgebras de Banach unitarias.

Espacio de Banach 18

Espacios de sucesiones lp

Si p ≥ 1 es un número real, podemos considerar el espacio de todas las sucesiones infinitas (x1, x2, x3, ...) deelementos en K tales que la serie infinita ∑i |xi|

p es finita. Entonces se define la norma-p de la sucesión como la raízp-ésima del valor de la serie. Este espacio, junto a su norma, es un espacio de Banach; se denota por lp:

El espacio de Banach l∞ consiste en todas las sucesiones acotadas de elementos en K; la norma de una de estassucesiones se define como el supremo de los valores absolutos de los miembros de la sucesión.

Espacios de funciones Lp

De nuevo, si p ≥ 1 es un número real, podemos considerar a todas las funciones tales que | f |p esLebesgue-integrable, es decir el conjunto

Se define la norma de f como la raíz p-ésima de esta integral. Por sí mismo, este espacio no es un espacio de Banachporque existen funciones no nulas cuya norma es cero. Definimos una relación de equivalencia como sigue:

Es decir, f y g son equivalentes si y solo si la "semi-norma" de f - g es cero. El conjunto de las clases de equivalenciaobtiene entonces la estructura de espacio de Banach y es denotado por :

Es crucial usar la integral de Lebesgue en lugar de la integral de Riemann en este caso, porque la integral deRiemann no daría un espacio completo. Estos ejemplos se pueden generalizar: ver espacios L p para más detalles.

Otros ejemplos• Si X e Y son dos espacios de Banach, entonces podemos formar su suma directa X ⊕ Y, que es un espacio de

Banach también. Esta construcción se puede generalizar para la suma directa de una cantidad arbitraria deespacios de Banach.

• Si M es un subespacio vectorial cerrado de un espacio de Banach X, entonces el espacio cociente X/M es unespacio de Banach también.

• Finalmente, todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach. El recíproco no es cierto.

Relación con espacios de HilbertComo se menciona anteriormente, cada espacio de Hilbert es un espacio de Banach porque, por definición, unespacio de Hilbert es completo con respecto a la norma asociada a su producto interior.No todos los espacios de Banach son espacios de Hilbert. Una condición necesaria y suficiente para que un espaciode Banach sea también un espacio de Hilbert es la identidad del paralelogramo:

para todo u y v en nuestro espacio de Banach V, y donde ||*|| es la norma sobre V.Si la norma de un espacio de Banach satisface esta identidad, entonces el espacio es un espacio de Hilbert, con elproducto interior dado por la identidad de polarización. Si V es un espacio de Banach real entonces la identidad depolarización es

Espacio de Banach 19

y en el caso que V sea un espacio de Banach complejo la identidad de polarización está dada por

Para demostrar que la identidad del paralelogramo implica que la forma definida por la identidad de polarización esverdaderamente un producto interior, uno verifica algebraicamente que esta forma es aditiva, de donde, se sigue porinducción que la forma es lineal sobre los enteros y racionales. Entonces, como todo real es límite de alguna sucesiónde Cauchy de racionales, la completitud de la norma extiende la linealidad sobre toda la recta real. En el casocomplejo uno puede probar también que la forma bilineal es lineal sobre i en un argumento, y conjugada lineal en elotro.

Construcciones en espacios de Banach

Operadores linealesSi V y W son espacios de Banach sobre el mismo cuerpo K, el conjunto de todas las transformaciones linealescontinuas A : V → W se denota por L(V, W). Es de notar que en espacios de infinitas dimensiones no todas lasfunciones lineales son automáticamente continuas. L(V, W) es un espacio vectorial, y definiendo la norma ||A|| = sup{ ||Ax|| : x en V con ||x|| ≤ 1 } se transforma en un espacio de Banach.El espacio L(V) = L(V, V) forma un álgebra de Banach unitaria, donde la operación de multiplicación está dada porla composición de funciones lineales.

Espacio dualSi V es un espacio de Banach y K es el cuerpo subyacente (el de los números reales, o bien, el de los númeroscomplejos), entonces K es un espacio de Banach (usando el valor absoluto como norma) y podemos definir alespacio dual V por V = L(V, K). Este es, de nuevo, un espacio de Banach. Se puede usar para definir una nuevatopología para V: la topología débil.Existe un mapeo natural F de V a V'' definido por: F(x)(f) = f(x) para todo x en V y f en V'. como consecuencia delteorema de Hahn-Banach, este mapeo es inyectivo; si llegara a ser sobreyectivo, entonces el espacio de Banach V sedice reflexivo. Los espacios reflexivos tienen muchas propiedades geométricas importantes. Un espacio es reflexivosi y solo si su espacio dual es reflexivo, lo que ocurre si y solo si su bola unitaria es compacta en la topología débil.Por ejemplo, lp es reflexivo para 1<p<∞ pero l¹ y l∞ no son reflexivos. El dual de lp es lq donde p y q estánrelacionados por la fórmula (1/p) + (1/q) = 1. Ver espacios L p para más detalles.

Derivada de FréchetDada una aplicación (no necesariamente lineal) f : V → W entre dos espacios de Banach es posible definir laderivada de esta función generalizando el caso de . Intuitivamente, si x es un elemento de V, la derivada de f en elpunto x es una forma lineal continua que aproxima f cerca de x. Formalmente, se dice que f es diferenciable en x siexiste una forma lineal continua A : V → W tal que

El límite aquí se toma sobre todas las sucesiones de elementos no nulos de V que converjan al nulo de V. Si el límiteexiste, escribimos Df(x) = A y le llamamos la derivada de f en x.Esta noción de derivada es una generalización de la derivada ordinaria de funciones R → R, pues las funcioneslineales de R a R son las multiplicaciones por números reales.

Espacio de Banach 20

Si f es diferenciable en todos los puntos x de V, entonces Df : V → L(V, W) es otra función entre espacios de Banach(que no es, en general, lineal), que posiblemente, se puede diferenciar de nuevo, definiendo así derivadas más altasde f. La n-ésima derivada en un punto x se puede ver como una función multilineal Vn → W.La diferenciación es una operación lineal en el siguiente sentido: si f y g son dos funciones V → W que sondiferenciables en x, y r y s son escalares de K, entonces rf + sg es diferenciable en x con D(rf + sg)(x) = rD(f)(x) +sD(g)(x).La regla de la cadena es también válida en este contexto: si f : V → W es diferenciable en x que pertenece a V, y g :W → X es diferenciable en f(x), entonces la función compuesta g o f es diferenciable en x ya la derivada es lacomposición de las derivadas:

GeneralizacionesMuchos espacios importantes en análisis funcional, por ejemplo el espacio de todas las funciones infinitamentediferenciables de R en R o el espacio de todas las distribuciones sobre R son espacios vectoriales completos, pero nonormados, no siendo espacios de Banach entonces. En los espacios de Fréchet aún se tiene una métrica completa,mientras que los espacios LF son espacios vectoriales uniformes que surgen como límites de espacios de Fréchet.

Enlaces externos• Weisstein, Eric W. «Banach Space [1]» (en inglés). MathWorld. Wolfram Research.• Banach Space [2] en PlanetMath

Referencias[1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ BanachSpace. html[2] http:/ / planetmath. org/ encyclopedia/ BanachSpace. html

Espacio de Hilbert 21

Espacio de HilbertEn matemáticas, el concepto de espacio de Hilbert es una generalización del concepto de espacio euclídeo. Estageneralización permite que nociones y técnicas algebraicas y geométricas aplicables a espacios de dimensión dos ytres se extiendan a espacios de dimensión arbitraria, incluyendo a espacios de dimensión infinita. Ejemplos de talesnociones y técnicas son la de ángulo entre vectores, ortogonalidad de vectores, el teorema de Pitágoras, proyecciónortogonal, distancia entre vectores y convergencia de una sucesión. El nombre dado a estos espacios es en honor almatemático David Hilbert quien los utilizó en su estudio de las ecuaciones integrales.Más formalmente, se define como un espacio de producto interior que es completo con respecto a la norma vectorialdefinida por el producto interior. Los espacios de Hilbert sirven para clarificar y para generalizar el concepto deseries de Fourier, ciertas transformaciones lineales tales como la transformación de Fourier, y son de importanciacrucial en la formulación matemática de la mecánica cuántica.Los espacios de Hilbert y sus propiedades se estudia dentro del análisis funcional.

IntroducciónComo se explica en el artículo dedicado a los espacios de producto interior, cada producto interior <.,.> en unespacio vectorial H, que puede ser real o complejo, da lugar a una norma ||.|| que se define como sigue:

H es un espacio de Hilbert si es completo con respecto a esta norma. Completo en este contexto significa quecualquier sucesión de Cauchy de elementos del espacio converge a un elemento en el espacio, en el sentido que lanorma de las diferencias tiende a cero. Cada espacio de Hilbert es así también un espacio de Banach (pero noviceversa).Todos los espacios finito-dimensionales con producto interior (tales como el espacio euclídeo con el producto escalarordinario) son espacios de Hilbert. Esto permite que podamos extrapolar nociones desde los espacios de dimensiónfinita a los espacios de Hilbert de dimensión infinita (por ejemplo los espacios de funciones). Sin embargo, losejemplos infinito-dimensionales tienen muchos más usos. Estos usos incluyen:• La teoría de las representaciones del grupo unitarias.• La teoría de procesos estocásticos cuadrado integrables.• La teoría en espacios de Hilbert de ecuaciones diferenciales parciales, en particular formulaciones del problema

de Dirichlet.• Análisis espectral de funciones, incluyendo teorías de wavelets.• Formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica.El producto interior permite que uno adopte una visión "geométrica" y que utilice el lenguaje geométrico familiar delos espacios de dimensión finita. De todos los espacios vectoriales topológicos infinito-dimensionales, los espaciosde Hilbert son los de "mejor comportamiento" y los más cercanos a los espacios finito-dimensionales.Los elementos de un espacio de Hilbert abstracto a veces se llaman "vectores". En las aplicaciones, son típicamentesucesiones de números complejos o de funciones. En mecánica cuántica por ejemplo, un conjunto físico es descritopor un espacio complejo de Hilbert que contenga las "funciones de ondas" para los estados posibles del conjunto.Véase formulación matemática de la mecánica cuántica.Una de las metas del análisis de Fourier es facilitar un método para escribir una función dada como la suma(posiblemente infinita) de múltiplos de funciones bajas dadas. Este problema se puede estudiar de manera abstractaen los espacios de Hilbert: cada espacio de Hilbert tiene una base ortonormal, y cada elemento del espacio de Hilbertse puede escribir en una manera única como suma de múltiplos de estos elementos bajos.

Espacio de Hilbert 22

Los espacios de Hilbert fueron nombrados así por David Hilbert, que los estudió en el contexto de las ecuacionesintegrales. El origen de la designación, aunque es confuso, fue utilizado ya por Hermann Weyl en su famoso libro lateoría de grupos y la mecánica cuántica publicado en 1931. John von Neumann fue quizás el matemático que másclaramente reconoció su importancia.

EjemplosEn los siguientes ejemplos, asumiremos que el cuerpo subyacente de escalares es , aunque las definiciones sonsimilares al caso de que el cuerpo subyacente de escalares sea .

Espacios euclideosEl primer ejemplo, que ya había sido avanzado en la sección anterior, lo constituyen los espacios de dimensión finitacon el producto escalar ordinario.En otras palabras, n con la definición de producto interior siguiente:

donde la barra sobre un número complejo denota su conjugación compleja.

Espacios de sucesionesSin embargo, mucho más típico es el espacio de Hilbert infinito dimensional.

Si B es un conjunto, definimos sobre B, de la forma:

Este espacio se convierte en un espacio de Hilbert con el producto interior

para todo x e y en .B no tiene por que ser un conjunto contable en esta definición, aunque si B no es contable, el espacio de Hilbert queresulta no es separable.

Expresado de manera más concreta, cada espacio de Hilbert es isomorfo a uno de la forma para un conjuntoadecuado B. Si B = N, se escribe simplemente .

Espacios de LebesgueÉstos son espacios funcionales asociados a espacios de medida (X, M, μ), donde M es una σ-álgebra de subconjuntosde X y μ es una medida contablememte aditiva en M. Sea L² μ(X) el espacio de funciones mediblescuadrado-integrables complejo-valoradas en X, módulo el subespacio de esas funciones cuya integral cuadrática seacero, o equivalentemente igual a cero casi por todas partes. cuadrado integrable significa que la integral del cuadradode su valor absoluto es finita. módulo igualdad casi por todas partes significa que las funciones son identificadas siy sólo si son iguales salvo un conjunto de medida 0.El producto interior de las funciones f y g se da como:

Uno necesita demostrar:•• Que esta integral tiene de hecho sentido.

Espacio de Hilbert 23

•• Que el espacio que resulta es completo.Éstos son hechos técnicamente fáciles. Obsérvese que al usar la integral de Lebesgue se asegura de que el espaciosea completo. Vea espacios Lp para discusión adicional de este ejemplo.

Espacios de Sobolev

Los espacios de Sobolev, denotados por son otro ejemplo de espacios de Hilbert, que se utilizan muy amenudo en el marco de las ecuaciones en derivadas parciales definidas sobre un cierto dominio . Los espacios deSobolev generalizan los espacios Lp.Además de los espacios de Sobolev generales se usan ciertas notaciones particulares para cierto tipo deespacios:

••

Bases ortonormalesUn concepto importante es el de una base ortonormal de un espacio de Hilbert H: esta es una familia {ek}k ∈ B de H'satisfaciendo:• Los elementos están normalizados: Cada elemento de la familia tiene norma 1: ||ek|| = 1 para todo k en B• Los elementos son ortogonales: Dos elementos cualesquiera de B son ortogonales, esto quiere decir: <ek, ej> = 0

para todos los k, j en B cumpliendo la condición j ≠ k.• Expansión densa: La expansión lineal de B es densa en H.También utilizamos las expresiones secuencia ortonormal y conjunto ortonormal. Los ejemplos de basesortonormales incluyen:• El conjunto {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} forma una base ortonormal de R³• La secuencia {fn: n ∈ Z} con fn(x) = exp(2πinx) forma una base ortonormal del espacio complejo L²([0, 1])• La familia {eb: b ∈ B} con eb(c) = 1 si b = c y 0 en caso contrario, forma una base ortonormal de l²(B).Obsérvese que en el caso infinito-dimensional, una base ortonormal no será una base en el sentido del álgebra lineal;para distinguir los dos, la última base se llama una base de Hamel.Usando el lema de Zorn, se puede demostrar que cada espacio de Hilbert admite una base ortonormal; además,cualesquiera dos bases ortonormales del mismo espacio tienen el mismo cardinal. Un espacio de Hilbert es separablesi y solamente si admite una base ortonormal numerable.Puesto que todos los espacios separables infinito-dimensionales de Hilbert son isomorfos, y puesto que casi todos losespacios de Hilbert usados en la física son separables, cuando los físicos hablan de espacio de Hilbert quierensignificar el separable.Si {ek}k ∈ B es una base ortonormal de H, entonces cada elemento x de H se puede escribir como:

Incluso si B no es numerable, sólo contablemente muchos términos en esta suma serán diferentes a cero, y laexpresión está por lo tanto bien definida. Esta suma también se llama la expansión de Fourier de x.Si {ek}k ∈ B es una base ortonormal de H, entonces H es isomorfo a l²(B) en el sentido siguiente: existe una funciónlineal biyectiva Φ : H → l²(B) tal que

para todo x y y en H.

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Operaciones en los espacios de Hilbert

Suma directa y producto tensorialDado dos (o más) espacios de Hilbert, podemos combinarlos en un espacio más grande de Hilbert tomando su sumadirecta o su producto tensorial. La primera construcción se basa en la unión de conjuntos y la segunda en el productocartesiano.

La suma directa requiere que , y es el mínimo espacio de Hilbert que "contiene" a la unión delos dos conjuntos:

Mientras que el producto tensorial es el mínimo espacio de Hilbert que "contiene" al producto castesiano:

Complementos y proyecciones ortogonalesSi S es un subconjunto del espacio de Hilbert H, definimos el conjunto de vectores ortogonales a S

es un subespacio cerrado de H y forma, por tanto, un espacio de Hilbert. Si V es un subespacio cerrado de H,entonces el se llama el complemento ortogonal de V. De hecho, cada x en H puede entonces escribirseunívocamente como x = v + w con v en V y w en . Por lo tanto, H es la suma directa interna de Hilbert de Vy . El operador lineal PV : H → H que mapea x a v se llama la proyección ortogonal sobre V.Teorema. La proyección ortogonal PV es un operador lineal auto-adjunto en H con norma ≤ 1 con la propiedad PV² =PV. Por otra parte, cualquier operador lineal E auto-adjunto tal que E² = E es de la forma PV, donde V es el rango deE. Para cada x en H, PV(x) es el elemento único v en V que minimiza la distancia ||x - v||.Esto proporciona la interpretación geométrica de PV(x): es la mejor aproximación a x por un elemento de V.

ReflexividadUna propiedad importante de cualquier espacio de Hilbert es su reflexividad, es decir, su espacio bidual (dual deldual) es isomorfo al propio espacio. De hecho, se tiene todavía más, el propio espacio dual es isomorfo al espaciooriginal. Se tiene una descripción completa y conveniente del espacio dual (el espacio de todas las funciones linealescontinuas del espacio H en el cuerpo base), que es en sí mismo un espacio de Hilbert. De hecho, el teorema derepresentación de Riesz establece que para cada elemento φ del H ' dual existe un y solamente un u en H tal que

para todo x en H y la asociación φ ↔ u proporciona un isomorfismo antilineal entre H y H '. Esta correspondencia esexplotada por la notación bra-ket popular en la física pero que hace fruncir el ceño a los matemáticos.

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Operadores en espacios de Hilbert

Operadores acotadosPara un espacio H de Hilbert, los operadores lineales continuos A: H → H son de interés particular. Un tal operadorcontinuo es acotado en el sentido que mapea conjuntos acotados a conjuntos acotados. Esto permite definir su normacomo

La suma y la composición de dos operadores lineales continuos son a su vez continuos y lineales. Para y en H, lafunción que envía x a <y, Ax> es lineal y continua, y según el teorema de representación de Riesz se puede por lotanto representar en la forma

Esto define otro operador lineal continuo A*: H → H, el adjunto de A.El conjunto L(H) de todos los operadores lineales continuos en H, junto con la adición y las operaciones decomposición, la norma y la operación adjunto, formas una C*-álgebra; de hecho, éste es el origen de la motivación yel más importante ejemplo de una C*-álgebra.Un elemento A en L(H) se llama auto-adjunto o hermitiano si A* = A. Estos operadores comparten muchaspropiedades de los números reales y se ven a veces como generalizaciones de ellos.Un elemento U de L(H) se llama unitario si U es inversible y su inverso viene dado por U*. Esto puede también serexpresado requiriendo que <Ux, Uy> = <x, y> para todos los x, y en H. Los operadores unitarios forman un grupobajo composición, que se puede ver como el grupo de automorfismos de H.

Operadores no acotadosEn mecánica cuántica, uno también considera operadores lineales, que no necesariamente son continuos y que nonecesariamente están definidos en todo espacio H. Uno requiere solamente que se definan en un subespacio denso deH. Es posible definir a operadores no acotados auto-adjuntos, y éstos desempeñan el papel de los observables en laformulación matemática de la mecánica cuántica.Ejemplos de operadores no acotados auto-adjuntos en el espacio de Hilbert L²(R) son:•• Una extensión conveniente del operador diferencial

donde i es la unidad imaginaria y f es una función diferenciable de soporte compacto.• El operador de multiplicación por x:

éstos corresponden a los observables de momento y posición, respectivamente, expresados en unidades atómicas.Observe que ni A ni B se definen en todo H, puesto que en el caso de A la derivada no necesita existir, y en el caso deB la función del producto no necesita ser cuadrado-integrable. En ambos casos, el conjunto de argumentos posiblesforman subespacios densos de L²(R).

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Referencias• Dieudonne, Jean Alexandre (1966). Fundamentos de análisis moderno. Barcelona: Reverté. ISBN 9788429150605.

Fuentes y contribuyentes del artículo 27

Fuentes y contribuyentes del artículoEspacio vectorial  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=64105850  Contribuyentes: .José, 80.224.97.xxx, A ntiyanki, Adverick, Amo de las supercuerdas, Amoceann, AnthonnyAG,Banfield, Bostador, Camilo, Cinabrium, Comae, Danielba894, Davius, DefLog, Diegusjaimes, Dnu72, Eduardosalg, Er Komandante, Felipealvarez, Folkvanger, FrancoGG, Fsd141, GTubio,GermanX, Gusbelluwiki, Götz, HUB, Helene Schopenhauer, Hflores, Hprmedina, Igna, Ingenioso Hidalgo, Ivn, Javierito92, Jerowiki, Jkbw, Jorge c2010, Jorgechp, Joseaperez, Juan Marquez,Juan Mayordomo, Juanfquim, Julie, Julio grillo, Kadellar, Kiroh, Kved, LP, Laura Fiorucci, Linkedark, Lualalsa, Magister Mathematicae, Malguzt, ManuelMore, Marianov, Martinwilke1980,Matdrodes, Maveric149, Moriel, Morthylla, Natofe, Numbo3, Orgullomoore, Orly01, Paintman, Perky Pat, Pirenne, Poco a poco, Raulshc, Ricardo Oliveros Ramos, Ricardogpn, Ricardos,Robertg, Rojasyesid, Romanm, Rαge, SMP, Sauron, Savh, Silvae, Sittsam, Taichi, Tano4595, Troodon, Tuncket, Txuspe, Vitamine, Vivero, Wesisnay, Wewe, Wikiwa1, Wrcdriver, Youandme,conversion script, 189 ediciones anónimas

Espacio vectorial normado  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=63582714  Contribuyentes: Davius, Diegusjaimes, Hoenheim, Jmvgpartner, Jorge c2010, Juan Mayordomo,Magister Mathematicae, Mcapdevila, MercurioMT, Raulshc, 12 ediciones anónimas

Espacios Lp  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=61531557  Contribuyentes: Alberto5000, Correogsk, Davius, Juan Mayordomo, MarceloTapiaGaete, Raulshc, Spyglass007, 9ediciones anónimas

Espacio de Banach  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=58329026  Contribuyentes: Alexav8, Cassilia, Cgb, Cw88, Davius, Drake 81, Error de inicio de sesión, Gonhidi, HUB,Ingenioso Hidalgo, Javg, Jerowiki, Joseaperez, Juan Mayordomo, Lfiguero, Macarrones, Mandramas, Mister, Moriel, Pati, Pólux, Raulshc, Rsg, Vargenau, Vicaram, Xan de Menguxo, 17ediciones anónimas

Espacio de Hilbert  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=64063913  Contribuyentes: Agualin, Akhram, Alexav8, CSTAR, Cassilia, DanFar, Danielba894, Davius, DefLog,Euclides, GermanX, Götz, Info.abstracta, Jerowiki, Jorge c2010, Juan Mayordomo, Kismalac, Lluvia, MONIMINO, Mandramas, Wewe, Wricardoh, Xenoforme, 41 ediciones anónimas

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 28

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:Vector space illust.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Vector_space_illust.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Oleg AlexandrovArchivo:FuncionesComoEV.GIF  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FuncionesComoEV.GIF  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: MarianovArchivo:IntersecciónEspacioVectorial.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:IntersecciónEspacioVectorial.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: MarianovArchivo:VectorGenerado.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:VectorGenerado.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: MarianovArchivo:BaseGeneradora.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:BaseGeneradora.gif  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Marianov

Licencia 29

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