ejemplos de espacios lp

5/26/2018 Ejemplos de Espacios Lp

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ANLISIS FUNCIONALY

OPTIMIZACIN

Apuntes

Curso: 2010/11

Jos D. Martn Gmez


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ndice general

1. ELEMENTOS DE ANLISIS FUNCIONAL 41.1. Recordatorio de Anlisis Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. Ejemplos de espacios normados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1. El espacio RN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2. Los espaciosp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3. Los espaciosLp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.4. Los espaciosCk([a, b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Aplicaciones lineales y continuas. Espacio dual. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. Identificacin de algunos espacios duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.2. Espaciosp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.3. EspaciosLp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Algunos teoremas importantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6. Espacios reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7. Ejemplos de espacios reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7.1. Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7.2. Espaciosp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.3. EspaciosLp() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.7.4. Propiedades de los espacios reflexivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8. Convergencia dbil y-dbil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.8.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.9. Subconjuntos dbilmente cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10. Teoremas de compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. MINIMIZACIN DE FUNCIONALES 232.1. Descripcin del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Semicontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3. Teoremas de existencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Espacios de Sobolev unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5. Principios de dualidad para problemas de norma mnima . . . . . . . . . . . . . . 37

3. OPTIMIZACIN DIFERENCIABLE 42

3.1. Derivacin en los sentidos de Gteaux y Frchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.1. Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.2. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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3.1.3. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.4. Derivacin de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2. Derivacin y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3. Teoremas de la funcin inversa y de la funcin implcita . . . . . . . . . . . . . . 503.4. Condiciones necesarias de extremo no condicionado. . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5. Problemas con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5.1. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.5.2. Teorema de H.W. Kuhn- A.W. Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4. ELEMENTOS DEL CLCULO DE VARIACIONES 604.1. Ejemplos clsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2. Algunos resultados importantes de derivabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3. El problema ms elemental del Clculo de Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.4. Otros tipos de problemas del Clculo de Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4.1. Problemas Isoperimtricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4.2. Problemas de punto final variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.3. Problemas con datos convexos y restricciones de desigualdad . . . . . . . 72


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Captulo 1

ELEMENTOS DE ANLISISFUNCIONAL

La distancia ms corta entre personas es una sonrisaE. Zeidler

1.1. Recordatorio de Anlisis Funcional

En esta seccin recordamos algunos resultados que se usarn a menudo a lo largo del curso,

la mayora de los cuales corresponden a la asignatura Anlisis Funcional.

A lo largo del curso, los espacios vectoriales se considerarn siempre construidos sobre el

cuerpo de los nmeros reales R.

Definicin 1.1.1 SeaXun espacio vectorial, una norma enXes una aplicacin : X R+que verifica:

1.x= 0si y slo six= 0,2.x=||x, R, xX,3.x + y x + y, x, yX.

Un espacio dotado de una norma, se llama espacio normado (en adelante e.n.). Los espacios

normados (en adelante tambin e.n.) son espacios mtricos con la distanciad(x, y) =x y, x, yX.

Si el espacio resultante es completo (i.e. si toda sucesin de A. Cauchy es convergente) se diceque es un espacio de S. Banach.

Proposicin 1.1.2 Un subespacio de un espacio de Banach sigue siendo de Banach con lanorma inducida si y slo si es cerrado.

Proposicin 1.1.3 Dado un e.n. X, la aplicacin norma : X R es continua, de hecho

verifica |x y| x y, x, yX.Tambin son continuas las aplicaciones(x, y)X Xx + yX,(, x) R XxX.

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Observacin 1.1.4 A veces en un mismo espacio Xpodemos tener definidas dos normas a, b distintas. En general es falso que la aplicacin b sea continua considerando el espacioXcon la topologa definida a partir de a.

Definicin 1.1.5 Dos normas definidas en un mismo espacio X, se dicen normas equivalentessi generan la misma topologa.

Proposicin 1.1.6 Dos normas a, bson equivalentes si y slo si existenC1, C2> 0 talesque

C1xa xbC2xa, xX.

Ejemplo 1.1.7 SiX, Y son dos e.n., el espacio producto X Y, es un e.n. con cualquiera delas normas equivalentes

(x, y)= max{xX, yY}, xX, yY,(x, y)1=xX+ yY, xX, yY,(x, y)2=

x2X+ y2Y1/2, xX, yY.(x, y)p=

xpX+ ypY1/p, p(1, +), xX, yY.Definicin 1.1.8 SeaXun espacio vectorial, una aplicacin(|) :X X R, se dice que esun producto escalar si es bilineal, simtrica y definida positiva, es decir

1. (x + y|z) =(x|z) + (y|z) , R, x,y ,zX,

2. (x|y) = (y|x), x, yX,3. (x|x)> 0, xX\ {0}.

Dado un producto escalar enX, se puede definir una norma sobreX(llamada norma inducidapor el producto escalar) mediante

x=

(x|x), xX.

Un e.n. en el que la norma se define a travs de un producto escalar, se llama prehilbertiano. Enlos espacios prehilbertianos se verifica la desigualdad de A. Cauchy-H. Schwarz

|(x|y)| xy, x, yX.

Si el espacio es completo, se dice que es un espacio de D. Hilbert.

Se recuerda

Definicin 1.1.9 Dado X un espacio vectorial, se dice que C X es convexo si para todox, yCse tiene que el segmento

[x, y] =

x + (1 )y / [0, 1]

est contenido enC.

En los espacios de Hilbert se tiene el siguiente resultado fundamental:


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Teorema 1.1.10 (Teorema de la proyeccin) SeaHun espacio de Hilbert, Kun conjunto con-vexo cerrado no vaco yxH, entonces existe un nico elemento xK(llamado la proyeccindexsobreK) tal que

x x= nf{x k / kK}.Ademsxest caracterizado por

(1.1) xK y (x x|k x)0, kK.

1.2. Ejemplos de espacios normados.

1.2.1. El espacio RN

El espacio vectorial RN, formado por las N-tuplasx = (x1, , xN)de nmeros reales, es un

espacio de Hilbert con el producto escalar usual:

(x|y) =Ni=1

xiyi, x, y RN.

La norma correspondiente es la norma eucldea. Tambin se pueden definir otras normas como

por ejemplo

x= max{|x1|, , |xN|}, x RN,x1=

Ni=1 |xi|, x RN,

xp= (

Ni=1 |xi|p)1/p, p(1, +), x RN.

En RN

y en general en todo espacio de dimensin finita, todas las normas son equivalentes.

1.2.2. Los espacios p

Sobre el espacio vectorial de las sucesiones de nmeros reales y para 1p


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El espacio c0 se define como el subespacio cerrado de definido por las sucesiones que

convergen a cero y por tanto es tambin un espacio de Banach.

En los espaciosp se verifica la desigualdad de O. Hlder: Sean p, p [1, +]dos exponentesconjugados, i.e. tales que

(1.2) 1

p+

1

p = 1

(con el convenio que p = 1 = p = + y p = + = p = 1). Si{xn} p,{yn} pentonces{xnyn} 1 y se tiene

{xnyn}1 {xn}p{yn}p .

Cuando1 < p, p


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1.2.3. Los espacios Lp()

Sea RN un conjunto medible en el sentido de H. Lebesgue. Para una funcin f, integrableen el sentido de Lebesgue, se denota la integral de f por alguna de las siguientes expresiones:

f=

f dx =

f(x)dx,

y la medida de Lebesgue de un conjunto medible la denotaremos por||. Para 1p


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Proposicin 1.2.2 Supongamos|| < +, si 1 q p entonces Lp() Lq() y setiene

(1.5)

fq

|

|(pq)/pq

fp,

f

Lp().

Demostracin: Supongamos primerop


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10 Jos D. Martn Gmez

Obsrvese que se verifica

AxY AL(X,Y)xX, xX.

Se tiene

Proposicin 1.3.4 SiYes un espacio de Banach, entoncesL(X, Y)es un espacio de Banach.

Definicin 1.3.5 Dado un e.n.X, se denomina espacio dual deXy se denota porX al espacioL(X,R).

Ntese que, por la Proposicin 1.3.4, X siempre es un Banach (aunque X no lo sea). Si

x X y xXse suele denotarx, x= x(x)

y se denomina producto de dualidad de x conx.

Cuando sea importante especificar los espacios, usaremos la notacinx, xX,X.

1.4. Identificacin de algunos espacios duales

1.4.1. Espacios de Hilbert

En los espacios de HilbertXse verifica el Teorema de F. Riesz que permite identificar Xcon

X. Concretamente, se tiene que la aplicacin R : XX definida por

Rx,y= (x|y), x, yX,

es un isomorfismo ismetrico entre X y X, es decir es lineal, biyectiva y verifica

RxX =xX, xX,

en particular, tantoR como R1 son continuas. Este resultado permite identificar X con X.

1.4.2. Espacios p

Si 1 p < +, el dual del espacio p se identifica con p mediante la aplicacin (es unisomorfismo isomtrico) R : p

(p) definida por

(1.6) Rx,y=

n=1

xnyn, x={xn} p , y={yn} p.

En el caso p = +, la aplicacin anterior es lineal e isomtrica (por tanto inyectiva) pero nosobreyectiva. Si en cambio definimos R : 1 (c0) de forma anloga, i.e.

Rx,y

=

n=1

xn

yn

,

x={

xn}

1,

y ={

yn}

(c0

),

entonces s resulta un isomorfismo isomtrico, i.e. 1 se identifica con (c0).


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Jos D. Martn Gmez 11

1.4.3. Espacios Lp()

Si 1 p < + y RN es medible entonces el dual del espacio Lp() se identifica conLp

()mediante la aplicacin (es un isomorfismo isomtrico)R : Lp

()

(Lp()) definida por

Rf,g=

fgdx, fLp(), gLp().

Sip = +, la aplicacin anterior es lineal e isomtrica (por tanto inyectiva) pero no sobreyectiva.El espacio L1()no se identifica con el dual de ningn espacio.

1.5. Algunos teoremas importantes.

Recordamos algunos resultados fundamentales referentes a la teora de aplicaciones lineales

y continuas entre e.n..

Teorema 1.5.1 (H. Hahn-S. Banach) SeanXun e.n., Mun subespacio vectorial deX yfM, entonces existefX tal que

(1.7) f(x) =f(x), xM

(1.8) fX =fM .

Observacin 1.5.2 Sean X e.n., M subespacio vectorial de X, f M, f X tales que severifica (1.7), entonces se tiene

fX = supxX

xX=1

|f(x)| supxM

xX=1

|f(x)|= supxM

xX=1

|f(x)|=fM ,

luego el Teorema de Hahn-Banach, adems de decirnos que toda aplicacin lineal y continua deM enR, se puede prolongar a una aplicacin lineal y continua de X enR, nos dice que estaprolongacin la podemos tomar de forma que tenga la menor norma posible.

Definicin 1.5.3 SeanXun e.n., Mun subespacio deX yNun subespacio deX, se defineel complemento ortogonal deMpor

M ={x X /x, x= 0, xM}

y el complemento ortogonal deNpor

N={xX / x, x= 0, x N}.

Los conjuntos M y Nson subespacios cerrados de X y X respectivamente. El Teorema de

Hahn-Banach tiene las siguientes consecuencias importantes

Corolario 1.5.4 SeaXun e.n.

1. Para todo xXexistex X tal quexX = 1yx est alineado conx, i.e.(1.9) x, x=xXxX.


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2. Esto implica

(1.10) xX= maxxX=1

x, x= maxx=0

x, x

x

X

, xX.

3. SiMes un subespacio deX, yxX\ M, entonces existex M tal quex, x = 0.4. Como consecuencia se deduce

(1.11) M= (M), para todo subespacio vectorialMX.

5. En particular, un subespacio MXes denso si y solo siM ={0}.

Teorema 1.5.5 (Teorema de separacin estricta de convexos) SeanC yKdos conjuntos con-vexos cerrados no vacos de un e.n. X y, por ejemplo, Kes compacto. SiC

K=

entonces

(1.12) x X tal que supxC

x, x< nfxK

x, x

Corolario 1.5.6 SeanCun conjunto convexo cerrado no vaco de un e.n. X yx0 /C entonces

(1.13) x X tal que supxC

x, x


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Proposicin 1.6.2 La aplicacinJest bien definida, es lineal e isomtrica. Por tanto permiteidentificarXcon el subespacio J(X)deX.

Demostracin: Para ver que est bien definida hay que probar que dado xX, J(x) perteneceaX, o lo que es lo mismo, que la aplicacin

x X x, xX,X

es lineal y continua. La linealidad se prueba fcilmente, respecto a la continuidad basta usar

|x, xX,X| xXxX , x X,

comoJ(x) es lineal (y por tanto, si no hay confusin, pondremos J x), esta desigualdad prueba

queJ x es continua y

Jx

X

x

X. Para ver que de hecho esta desigualdad es una igualdad,

usando el Corolario 1.5.4 consideremos ahora x X tal quexX = 1 y x alineado con x. Setiene

JxX = supxX=1

Jx,xX,X Jx,xX,X =x, xX,X =xX.

Para terminar la demostracin basta probar que Jes lineal lo cual se prueba fcilmente.

Definicin 1.6.3 Un e.n. Xse dice reflexivo, si la aplicacinJ,definida por (1.14), es sobre-yectiva.

Observacin 1.6.4 Es claro a partir de la definicin anterior que todo espacio reflexivo se

identifica con su bidual, sin embargo esta condicin no basta para que el espacio sea reflexivo.Puede ocurrir que haya una identificacin deXconX distinta deJy queJno sea sobreyectiva.

Como el bidual siempre es un espacio de Banach se deduce en particular que todo espacioreflexivo es Banach.

1.7. Ejemplos de espacios reflexivos

1.7.1. Espacios de Hilbert

Vamos a probar que si X es Hilbert entonces es reflexivo. Para ello hay que probar que

la aplicacin J definida por (1.14) es sobreyectiva. Sea entonces x0 X y consideremos laaplicacin de Riesz R : XX definida por

Rx,y= (x|y), x, yX,

la cual sabemos que es un isomorfismo isomtrico. En particular, la composicin x0 Res linealy continua y por tanto un elemento de X, luego existe x0X tal que Rx0 = x0 R. Vamos aprobar queJ x0= x

0 para ello consideramos x

X y xXtal que Rx = x. Se tiene

Jx0, xX,X =x, x0X,X=Rx,x0X,X=

= (x|x0) =Rx0, xX,X=x0, RxX,X =x0, xX,X .Como la igualdad anterior es cierta para todo x X, se deduce J x0= x0.


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1.7.2. Espacios p

Se cumple que los espacios p con 1 < p < + son reflexivos. Para probarlo, sea X = pcon 1 < p < +

y definamos J por (1.14). Como antes hay que ver que J es sobreyectiva.

La demostracin es muy similar a la anterior, sea x (p) y consideremos la aplicacionesRp:

p (p), Rp :p (p) definidas por

Rpx, y(p),p =

n=1

xnyn, x={xn} p, y={yn} p

Rpy, x(p),p =

n=1

xnyn, x={xn} p, y ={yn} p ,

las cuales sabemos que son isomorfismos isomtricos. Sabemos que la composicin x Rp esuna aplicacin lineal y continua de p

en R y por tanto un elemento de (p

), luego existe

x={xn} p tal que Rpx= x Rp . Dado y (p) e yp tal que Rpy= y se tiene

Jx,y(p),(p) =y, x(p),(p)=Rpy, x(p),(p)

=

n=1

xnyn=Rpx, y(p),p =x, RpyX,X =x, y(p),(p) .

Como esta igualdad es cierta para todo y (p) se deduce J x= x.

1.7.3. Espacios Lp()

Anlogamente al resultado anterior, se tiene que los espacios Lp() con RN medible,1< p < + son reflexivos. La demostracin es prcticamente idntica a la anterior.

1.7.4. Propiedades de los espacios reflexivos

Veamos a continuacin algunas propiedades de los espacios reflexivos

Proposicin 1.7.1 Sea Xun espacio de Banach, entonces X es reflexivo si y slo si X esreflexivo.

Demostracin: Supongamos primeroXreflexivo, para probar que X es reflexivo hay que probar

que la aplicacin JX L(X

, X

) definida por

JXx, xX,X =x, xX,X , x X,

es sobreyectiva. Sea entonces x0 X y denotemos JX a la aplicacin J definida por (1.14).Como JX pertenece aL(X, X), la composicin x0JX es lineal y continua de X a R y portanto un elemento de X. Tomemos pues x0 = x

0JX y vamos a probar que JXx0 = x0, lo

que como x0 es arbitrario, probar que JX es sobreyectiva. Para x X y x X tal que

JXx= x, el cual siempre existe ya que JX es sobreyectiva por hiptesis, se tiene

JXx0, xX,X =x, x0X,X =JXx, x0X,X =

=x0, xX,X=x0, JXxX,X =x0, xX,X .Como la igualdad anterior es cierta para todox X, se tiene entonces la igualdadJXx0= x0.


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Supongamos ahora queX es reflexivo y definamos JX, JX como anteriormente, para probar

que Xes reflexivo tenemos que ver que JXes sobreyectiva o lo que es lo mismo JX(X) =X.

Ahora bien como JX es un isomorfismo isomtrico de X sobre JX(X) y X es un espacio de

Banach se tiene que JX(X)es un espacio de Banach, lo que por la Proposicin 1.1.2 significa queJX(X) es cerrado. Por tanto, por el Corolario 1.5.4, JX(X) = X

si y slo si JX(X) ={0}.

Para probar esta ltima igualdad, consideremos x 0JX(X), lo que significa

x0, JXxX,X = 0, xX.

Como X es reflexivo, existe x0 X tal que JXx0 = x0 y por tanto la igualdad anteriornos da

0 =JXx0, JXxX,X =JXx, x0X,X =x0, xX,X,para todo xXy por tanto x0 = 0, con lo que al ser JX lineal se deduce x0 = 0 y por tanto

JX(X)

={0}. Proposicin 1.7.2 Todo subespacio cerrado de un espacio reflexivo es reflexivo.

Demostracin: SeaXreflexivo y MXun subespacio cerrado, queremos probar que la aplica-cinJM :MM definida por

JMm, mM,M =m, mM,Mes sobreyectiva. Consideremos entoncesm0M y definamos x0X por

x0, xX,X =m0, x|MM,M , x X.

ComoXes reflexivo, existex0Xtal queJXx0= x0, dondeJXes la aplicacin J definida por(1.14). Se tiene entonces

(1.15) x, x0X,X=JXx0, xX,X =m0, x|MM,M , x X.

Supongamos que x0 no pertenece a M, como M es cerrado, por la Corolario 1.5.4, existe

x X tal quex, x0X,X= 0 y x|M = 0. Sin embargo esto es imposible por (1.15), luego x0pertenece a M y por tanto podemos considerar JMx0. Sea ahora m

M, por el Teorema deHahn-Banach existe x X tal que x|M =m. Usando (1.15) y x0M, deducimos

JM

x0

, m

M

,M =

m, x

0M

,M =

x

|M, x

0M

,M =

=x, x0X,X=m0, x|MM,M =m0, mM,M .Comom es arbitrario, se tiene entonces que JMx0= m

0.

1.8. Convergencia dbil y-dbilDefinimos a continuacin las nociones de convergencia dbil y convergencia-dbil que sern

de gran utilidad para probar resultados de compacidad en e.n..

Definicin 1.8.1 Sea Xe.n., una sucesin

{xn

} X se dice que converge dbilmente a un

punto xXy se escribexn xsi y slo si(1.16) x, xn x, x, x X.


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Definicin 1.8.2 SeaXe.n., una sucesin{xn} X se dice que converge-dbilmente a unpunto x X y se escribexn x si y slo si

(1.17) x

n, x x

, x, xX.Observacin 1.8.3 La nocin de convergencia dbil procede de una topologa, denotada por(X, X), que es la topologa menos fina sobre X que hace continua todas las aplicaciones{x}xX definidas por:

x :xX x, x R.Siendo (X, X) la topologa menos fina que la topologa definida por la norma entonces tienemenos abiertos y menos cerrados luego, en particular, si un conjunto es cerrado para esta topologaentonces es cerrado para la topologa inicial deXy en general la recproca es falsa.

Observacin 1.8.4 Obsrvese que la convergencia-dbil no es otra cosa que la convergenciapuntual.

Observacin 1.8.5 Los conceptos de lmite dbil y-dbil son lineales, esto es el lmite de lasuma es la suma de los lmites y el lmite de un escalar por una sucesin es el escalar por ellmite de la sucesin.

Observacin 1.8.6 Est claro que si una sucesin{xn}converge en norma (se dice que convergefuerte) hacia un elemento x X, entonces gracias a la continuidad de los elementos de X setiene quex, xn converge ax, x para todo xXy por tanto{xn}converge dbil axX.Es decir, la convergencia fuerte implica la convergencia dbil.

Cuando tenemos una sucesin{xn} definida en el dual X de un espacio X podemos con-siderar la convergencia fuerte que sera la convergencia definida a travs de la norma en X,

la convergencia-dbil definida por la Definicin 1.8.2 y la convergencia dbil definida por laDefinicin 1.8.1, donde decir que{xn} converge dbilmente a x enX es equivalente a decir

(1.18) x, xnX,X x, xX,X , x X.

Por otra parte considerando la inyeccin cannicaJdefinida por (1.14), entonces decir que{xn}converge-dbilmente a x es equivalente a

Jx,xnX,X Jx,xX,X , xX,

o lo que es lo mismo

(1.19) x, xnX,X x, xX,X , x J(X).

Comparando (1.18) con (1.19) vemos que en general la convergencia dbil implica la convergencia

-dbil, siendo equivalentes los dos conceptos en el caso de espacios reflexivos.En los espacios de dimensin finita todas las convergencias anteriores son equivalentes.

1.8.1. Ejemplos

Teniendo en cuenta las identificaciones de espacios duales que vimos anteriormente se tiene

las siguientes convergencias dbiles.


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Espacios de Hilbert

SeaXun espacio de Hilbert, una sucesin{xn}en Xconverge dbilmente a xXsi y slosi

(1.20) (xn|y)(x|y), yX.

Al estar en espacios reflexivos, la convergencia-dbil es equivalente a la convergencia dbil.

Espaciosp

Si 1p


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con lo cual{en} converge-dbil a 0 en 1. Como p con 1 p < + est contenido en c0,(1.21) implica tambin que{en}converge dbil a 0 en p para todop(1, +)y-dbil en.Sin embargo si definimos y ={ym} por ym= 1, para todo m N, se tiene

m=1

en,mym= 10, n N,

y por tanto{en}no converge a 0 dbilmente en1. En particular,{en}no converge fuertementea cero en 1. De hecho, como

{en}= supnN

|en,m|= 1,

y como{en} {en}p para todo p[1, +] se tiene que{en} no converge fuertementea 0 en ningn espacio p con 1p+.

SiXes un espacio de Hilbert separable infinito-dimensional, es conocido que existe una base

ortonormal{zn} de X (si Xes finito-dimensional el resultado tambin es cierto pero entonces{zn}es finita), es decirzn= 1, para todo n N, (zn|zm) = 0si n=m y

x=

n=1

(x|zn)zn, xX

donde la suma infinita se entiende en la topologa de X, i.e.

lmm

x m

n=1(x|zn)zn= 0.

Adems se sabe que se verifica que la sucesin{(x|zn)} pertenece a 2 y se tiene (identidad deParseval)

{(x|zn)}22 =

n=1

(x|zn)2 =x2X,

esto permite identificar xXcon la sucesin{(x|zn)} 2 y por tanto identificar todo espaciode Hilbert separable con2. El ejemplo presentado anteriormente para los espacios p permite por

tanto dar un ejemplo en todo espacio de Hilbert separable infinito-dimensional de una sucesin

que converge dbil pero no fuerte, de hecho como en se identifica con zn y se tiene que{zn}converge dbil a 0 pero no fuerte.

1.8.2. Propiedades

Veamos ahora algunas propiedades de la convergencia dbil y-dbil.

Proposicin 1.8.7 Sean X, Y e.n. y A L(X, Y). Si{xn} converge dbilmente a x en X,entoncesAxnconverge dbilmente aAxenY.

Demostracin: Sea{xn}que converge dbilmente ax en X. Para todoy Y, se tiene que y Apertenece aX y por tanto, por definicin de convergencia dbil se tiene

y, AxnY,Y =y A, xnX,X y A, xX,X =y, AxY,Y,

para todo y Y. Por tantoAxn converge dbilmente aAx.


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Observacin 1.8.8 Si A no es lineal (aun cuando sea continua), el resultado anterior no escierto, as hemos visto antes ejemplos de sucesiones{xn}que convergen dbilmente a cero perono fuertemente, por tanto la sucesinxnno converge a cero enR(enRla convergencia fuertey dbil son lo mismo) aunque la aplicacin : X Res continua.Proposicin 1.8.9 SeaXe.n. Si{xn} converge dbilmente axX, entonces est acotada yse verifica

(1.22) xX lm infn

xnX.Anlogamente, siXes un espacio de Banach y{xn}una sucesin que converge-dbilmente ax X, entonces est acotada y se verifica(1.23) xXlm inf

nxnX .

Demostracin: Supongamos primero{

xn}

que converge dbilmente a x

X. Consideramos

entonces la familia de aplicacionesJ xnX =L(X,R) (con J la inyeccin cannica, definidapor (1.14)), la cual, por definicin de convergencia dbil, verifica que para todo x X lasucesinJxn, xX,X =x, xnX,X es convergente y por tanto acotada. Como X y R sonespacios de Banach, el Teorema (1.5.10) de Banach-Steinhaus nos dice entonces que la sucesin

JxnX =xnX est acotada.Por otra parte, para todo x X, conxX= 1, se tiene

|x, x|= lmn

|x, xn| xX lm infn

xnX= lm infn

xnXy por tanto gracias a (1.10), del Corolario 1.5.4 de Hahn-Banach, se deduce (1.22).

En el caso de una sucesin

{xn

} en X, basta con aplicar el Teorema 1.5.10 de Banach-

Steinhaus a la familia{xn}contenida en X =L(X,R).

1.9. Subconjuntos dbilmente cerrados

Es importante en las aplicaciones saber si el lmite dbil de una sucesin contenida en un

determinado conjunto sigue estando en dicho conjunto. Ello conduce a la siguiente definicin.

Definicin 1.9.1 SeaXun e.n. yCX, se dice queCes secuencialmente dbilmente cerradosi para todo xXtal que existe{xn} Cque converge dbilmente axse tiene quexC.Usando que la convergencia fuerte implica la convergencia dbil es inmediato comprobar que todo

subconjunto secuencialmente dbilmente cerrado de un e.n. es cerrado. El recproco sin embargo

no es cierto en general aunque s para los subconjuntos convexos.

Teorema 1.9.2 (S. Mazur) Todo subconjunto convexo y cerrado de un e.n. es secuencialmentecerrado.

Demostracin: Se basa en el Teorema de separacin de convexos, ms concretamente en el Coro-lario 1.5.6. Sea{xn} Cque converge dbilmente a x0. Si x0 no pertenece a C, existe entoncesx X tal que

x X tal que supxC

x, x


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1.10. Teoremas de compacidad

Una de las dificultades principales de los espacios de dimensin infinita es que deja de ser

cierto el hecho de que todo subconjunto cerrado y acotado sea compacto, tal y como suceda enlos espacios finito-dimensionales. De hecho se puede probar (Teorema de Riesz, ver por ejemplo

el libro de H. Brzis) que la bola unidad cerrada de un e.n. es compacta si y slo si el espacio es

finito-dimensional. Los teoremas siguientes nos muestran que este resultado sigue siendo cierto

en espacios infinito-dimensionales si nos conformamos con la convergencia dbil y-dbil.

Teorema 1.10.1 Sea Xun e.n. separable y{xn} X una sucesin acotada, entonces existeuna subsucesin de{xn}que converge-dbil.

Demostracin: Sea{yn} Xdenso numerable. Se tiene

|x

n, y1| x

nXy1X,con lo que el hecho de que{xn} est acotada implica que la sucesinxn, y1 est acotada en Ry por el Teorema de B. Bolzano-K. Weierstrass existe una subsucesin{xn1,j} de{xn} tal quexn1,j , y1 converge. De la misma forma, se tiene ahora que la sucesinxn1,j , y2 est acotaday por tanto existe una subsucesin{xn2,j} de{xn1,j} tal quexn2,j , y2 converge. Tambin serconvergente la sucesinxn2,j , y1 al ser una subsucesin dexn1,j , y1. Siguiendo este proceso seconstruyen para todok Nsucesiones{xnk,j}tales que{xnk+1,j}es una subsucesin de{xnk,j},para todo k N y{xnk,j} es una subsucesin de{xn}. Adems para todo k N y para todol {1, , k} existe el lmite dexnk,j , yl. Se define ahora la sucesin diagonal xnj = xnj,j , lacual es tal que la sucesin

{xnj}jk

es una subsucesin de xnk,j

para todo k

N y por tanto

lmj

xnj , yk, k N.

Sea ahoraxX entonces para todo k N, como la sucesinxnj , yk es de Cauchy, se tiene

lm supi,j

|xnj , x xni , x|= lm supi,j

|xnj xni , x|

lm supi,j

|xnj xni, x yk| + lm supi,j

|xnj xni , yk|=

= lm supi,j |

xnj

xni , x

yk

| lm supi,j

xnj

xniX

x

yk

X.

Como la sucesin{xn} y por tanto la sucesin{xnj} est acotada y como la sucesin{yk} esdensa, se deduce que el miembro derecho de la desigualdad anterior se puede tomar tan pequeo

como se quiera. Es decir

lm supi,j

|xnj , x xni , x|= 0

lo que significa que la sucesinxnj , x es de Cauchy y por tanto convergente, es decir se haprobado

lmj

xnj , x, xX.

Se define entonces x :X R por(1.24) x(x) = lm

jxnj , x, xX.


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Fcilmente se ve que x es lineal, adems se tiene

|x(x)|= lmj

|xnj , x| lm supj

xnjXxX(supnN

xnX)xX,

para todoxX, lo que junto con la linealidad de x prueba quex se encuentra enX. La propiadefinicin (1.24) prueba entonces que{xnj} converge-dbil a x.

Un resultado relacionado con el anterior es cierto para espacios reflexivos. Antes, necesitamos

el siguiente resultado.

Teorema 1.10.2 SeaXun e.n. tal queX es separable, entoncesXes separable.

Demostracin: Sea{xn} un subconjunto denso y numerable de X. Por definicin de norma enel espacio dual, existe{xn} Xtal que para todo n N,xnX= 1y

(1.25) x

n, xn 1

2x

nX.SeaD el espacio vectorial sobre Q generado por los vectores xn, n N. Teniendo en cuenta

D=

n=1

Dn

con

Dn=

nj=1

jxj : j Q

y que el cardinal de Dn es menor o igual que el de Qn se deduce que Dn es numerable y portanto D como unin numerable de conjuntos numerables tambin lo es. Si probamos que D es

denso en X, habremos entonces terminado la demostracin. Pero por otra parte est claro que

D es denso en el espacio vectorial sobre R generado por los vectores xn, el cual denotamos por

L. Por tanto para probar que D es denso en X, basta probar que L es denso, para lo que por

el Corolario 1.5.4 basta ver que L se reduce al cero de X. Sea pues x L, i.e. x verificax, x= 0 para todoxL.

Como{xn} es denso en X, para todo > 0 existe xn tal quex xnX . Entoncesusando (1.25) se verifica

xn

X

2

xn, xn

= 2

xn

x, xn

2.

Esto implicaxX3para todo >0, lo que prueba x = 0 y por tanto L ={0}.

Corolario 1.10.3 Un espacio reflexivo es separable si y slo siX es separable.

Teorema 1.10.4 SeaXreflexivo. Entonces toda sucesin acotada enXadmite una subsucesindbilmente convergente.

Demostracin: Sea{xn} una sucesin acotada en X. Denotamos por Mla clausura del espaciogenerado por los elementos de la sucesin. Entonces (razonando como con el espacio L que

apareca en la demostracin del Teorema 1.10.2)Mes separable. Por ser un subespacio cerrado

de un espacio reflexivo, la Proposicin 1.7.2 prueba que Mes reflexivo y por tanto equivalentea M. Por otra parte, el Teorema 1.10.2 prueba que M es separable con lo cual{xn} se puedeconsiderar como una sucesin acotada en el espacio M dual del espacio separable M y por


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tanto, por el Teorema 1.10.1, existen una subsucesin{xnj} de{xn} y existe x M tales que{xnj}converge dbilmente a x en M(recurdese que en espacios reflexivos la convergencia dbily la-dbil es lo mismo). Es decir, para todo m M se tiene

m, xnj M,M m, xM,M.

Ahora bien, si x es un elemento de X, su restriccin a M x|Mnos da un elemento de M y

por tanto se tiene

x, xnj X,X=x|M, xnj M,M x|M, xM,M=x, xX,X.

Como esto es cierto para todo x X, se deduce que{xnj} converge dbilmente a x en X. Los resultados anteriores son consecuencias de teoremas ms generales que son vlidos cuando

se trabaja con la topologa dbil. Enunciamos ahora algunos:

Teorema 1.10.5 (Alaoglu-Bourbaki) En todo B-espacioX, la bola unidad cerrada deX, BX ={x X / x 1}, es compacta para la topologa-dbil.

Teorema 1.10.6 (Bourbaki-Kakutani-mulian) Todo B-espacio Xes reflexivo si y slo si labola unidad cerrada deX, BX={xX / x 1}, es compacta para la topologa dbil.

Teorema 1.10.7 Todo B-espacio X es reflexivo si y slo si la bola BX es secuencialmentedbilmente compacta.

Teorema 1.10.8 En todo B-espacio Xseparable la bola unidad cerradaBX de X es secuen-

cialmente-dbilmente compacta.


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Captulo 2

MINIMIZACIN DE FUNCIONALES

2.1. Descripcin del problema

En el presente tema vamos a estudiar la existencia de solucin a problemas de Optimizacin

de la forma general abstracta

(2.1) nfxU

f(x),

dondeU es un conjunto dado, generalmente un subconjunto de un e.n. X, yfes una aplicacindada (un funcional) definida sobreUcon valores en R. AU se le denomina el conjunto de lasrestricciones o conjunto admisible y a fel funcional coste o funcional objetivo.

Obsrvese que un problema de la forma

supxU

f(x)

se convierte en uno de la forma (2.1) sin ms que cambiar f porf, as pues slo estudiaremosel problema (2.1).

Definicin 2.1.1 Seaf :U R conUun subconjunto de un e.n. X, se dice quef tiene unmnimo global o absoluto en un punto xsi:

(2.2) x Uyf(x)f(x), x U.

En tal caso pondremosf(x) = mn

xUf(x).

Se dice queftiene un mnimo local o relativo en un punto xsi:

(2.3) x Uy E(x)tal quef(x)f(x), x U E(x),

dondeE(x)denota un entorno del punto x.

Anlogamente se definen los mximos (globales, locales) y se dice que una funcin tiene un

extremo (global, local) si tiene un mnimo o un mximo (global, local).En este tema abordaremos el estudio de mnimos globales o absolutos. Obviamente todo

mnimo global o absoluto es un mnimo local o relativo.

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Observacin 2.1.2 El resultado conocido ms importante referente a la existencia de mnimosglobales es el Teorema de K. Weierstrass que dice: siUes compacto, no vaco, yf :U R escontinua, entoncesftiene un mximo y un mnimo absolutos enU, o su Corolario, que enRN,dice: sif : RN Res continua y verifica lmx+ f(x) = +,entoncesftiene un mnimoabsoluto en cualquier conjunto cerradoU RN.Observacin 2.1.3 El mtodo directo del Clculo de Variaciones, para resolver el problema(2.1), consiste en elegir una sucesin minimizante{xn} U,i.e. tal que

lmn

f(xn) = nfxU

f(x),

y probar que alguna subsucesin de{xn} converge a un mnimo globalx de f enU. Para queeste mtodo sea exitoso se han de tener varias condiciones:

a) Para que la sucesin minimizante tenga una subsucesin convergente, se ha de tener alguna

condicin de compacidad sobreU.Para esto debemos elegir una adecuada topologa enU.b) El lmite de la subsucesin minimizante ha de estar enU. Para esto debemos tener queUsea

cerrado en dicha topologa.

c) Sobre el funcionalfdebemos tener alguna condicin de continuidad, de hecho, si se busca unmnimo, basta tener la siguiente condicin de semicontinuidad inferior

sixn converge en dicha topologa axentoncesf(x) lm infn

f(xn),

para que el lmite de la subsucesin minimizante sea un mnimo.

La condicin de semicontinuidad inferior se facilita ms cuanto ms restrictiva sea la topologa

enU, i.e. cuanto ms fina sea la topologa (cuanto ms abiertos tenga) ya que una funcin fes continua en un punto x0 si la imagen inversa de un entorno de f(x0) es un entorno de delpunto. Sin embargo elegir una topologa fuerte est en contradiccin con la compacidad ya queen una topologa fuerte hay pocos compactos. Por tanto debemos elegir una topologa que hagaun balance entre estas condiciones.

2.2. Semicontinuidad

Para no dificultar la exposicin, nos limitaremos al caso de espacios mtricos.

Definicin 2.2.1 Sea Uun espacio mtrico, f :U R, diremos que f es semicontinua infe-riormente, y se escribirfs.c.i., en un puntox Usi para toda sucesin{xn} Uque convergeax, se tiene

(2.4) f(x)lm infn

f(xn)

Diremos quefes semicontinua inferiormente (enU) si lo es en todo punto xdeU.Claramente, sifes continua enU se tiene que es semicontinua inferiormente enU. El recprocosin embargo no es cierto, basta considerar la funcin f : R R definida por

f(x) = 1 si x= 0

0 si x= 0.la cual es semicontinua en 0 pero no continua.

Las siguientes propiedades son inmediatas:


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Lema 2.2.2 SeaUun espacio mtrico.

1. Sifes s.c.i. enU y0 entoncesfes s.c.i. enU

2. Sif yg son s.c.i. enU entoncesf+ g tambin.3. Sif yg son s.c.i. enU entonces nf{f, g}tambin.4. Si{fi}iIes una familia cualquiera de funciones s.c.i. enU entonces sup{fi / i I} es

una funcin s.c.i. enU.Se tiene la siguiente caracterizacin de semicontinuidad inferior.

Proposicin 2.2.3 SeaUun espacio mtrico. Un funcionalf :U R es s.c.i. enUsi y slosi para todo Rel conjunto de subnivelE definido por

(2.5) E ={x U/ f(x)}

es un subconjunto cerrado deU.

Observacin 2.2.4 En el resultado anterior estamos suponiendo queUes todo el espacio. Enlas aplicaciones, lo usual es queUsea un subconjunto de otro espacio X, con lo que el resultadoanterior habr que aplicarlo aUdotado de la topologa relativa deX. Por tanto lo que se tendres quefes s.c.i. si y slo si para todo Rexiste un cerradoCdeX, tal queE =U C, loque en el caso particular de queUsea cerrado es equivalente a pedir queE sea cerrado deX.

Demostracin de la Proposicin 2.2.3: Supongamos f s.c.i. enU y sea R. Para probar queE es cerrado consideramos una sucesin{xn} E que converge a un punto x U, tenemosque probar que xE o equivalentemente que f(x), pero esto es evidente a partir de (2.4)y f(xn) para todo n N.

Para el recproco supongamos ahora queEes cerrado cualquiera que sea R, consideremosx U, y una sucesin{xn}que converge a x y denotemos

l= lm infn

f(xn).

Para probar quefes s.c.i. tendremos que probar la desigualdadf(x)l. Por definicin de lmiteinferior, sabemos que existe una subsucesin

{xnk

}de

{xn

}tal que

lmk

f(xnk) =l.

Por tanto para todo > 0 existir k0 tal que f(xnk)l + para todo k k0, lo que significaque xnk pertenece a El+ para todo k k0. Teniendo en cuenta que

xnkkk0

converge a x

y que El+ es cerrado, se tiene entonces que x pertenece a El+. Es decir, hemos probado que

f(x)l+ para todo >0 y por tanto f(x)l.

Observacin 2.2.5 SiUes un espacio topolgico arbitrario, se puede tomar como definicin defuncional f :U R semicontinuo inferiormente enUprecisamente el carcter cerrado de losconjuntosEpara todo R. Cuando el espacio topolgico es tal que los conceptos de cerrado ysecuencialmente cerrado no son equivalentes, esta definicin no coincide con la dada utilizandosucesiones en la definicin 2.2.1.


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2.3. Teoremas de existencia

Usando el concepto de semicontinuidad inferior se tiene (ver la Observacin 2.1.3) el siguiente

Teorema de Weierstrass sobre la existencia de mnimoTeorema 2.3.1 (Teorema de Weierstrass) Supongamos queUes un espacio mtrico, compactoy no vaco y quef :U Rsea s.c.i. enU, entoncesftiene un mnimo global enU.Demostracin: Sea = nfxUf(x). Por definicin de nfimo, existe una sucesin{xn} Uminimizante, es decir, tal que

lmn

f(xn) =.

ComoUes compacto, existen entonces una subsucesin{xnk}de{xn}y un elemento x Utalesquexnk converge a x enU. Por ser f s.c.i., se tendr

f(x)lm infk f(xnk) = lmn f(xn) =,

y por tantof(x) =. A la hora de aplicar el Teorema anterior surge sin embargo la dificultad ya mencionada en el

tema anterior de que los conjuntos cerrados y acotados de e.n. infinito-dimensionales no son en

general compactos. Para salvar esta dificultad se puede tratar de usar la topologa dbil en lugar

de la fuerte. Introducimos por tanto la siguiente definicin

Definicin 2.3.2 SeaXun e.n.,U X, f :U R. Diremos quefes secuencialmente dbil-mente semicontinua inferiormente (y se escribe s.d.s.c.i.) en un punto x Usi dada cualquier

sucesin{xn} Utal que

xn converge dbilmente a

x, se tiene

f(x) lm infn

f(xn).

Diremos quefes s.d.s.c.i. enUsi lo es en todo punto deU.

Observacin 2.3.3 Evidentemente, si f es s.d.s.c.i., entonces es semicontinua inferiormente,pero no recprocamente. De hecho, existen funcionales continuos que no son s.d.s.c.i.; basta porejemplo considerar la aplicacin

f :x2 1 x22 R,

que evidentemente es continua. Si tomamos la sucesin{en}n12 dada poren ={en,m}m1con en,m = 1 si n = m, en,m = 0 si n= m. Ya vimos en el tema anterior que{en} convergedbilmente en2 a 1, sin embargo f(0) = 1yf(en) = 0para todo n, con lo cual

f(0)> lm infn

f({en}).

De manera anloga a la Proposicin 2.2.3 se tiene el siguiente resultado (la demostracin es

completamente similar)

Proposicin 2.3.4 Sean X e.n.,U X secuencialmente dbilmente cerrado y f :U R.El funcional fes s.d.s.c.i. si y slo si para cada

R el conjunto E definido por (2.5) es

secuencialmente dbilmente cerrado.

A fin de obtener ejemplos de funciones s.d.s.c.i., recordamos el concepto de funcin convexa.


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Definicin 2.3.5 Sean Xun espacio vectorial yU Xun subconjunto convexo. Se dice quef :U Res convexa si

f(x + (1 )y)f(x) + (1 )f(y), x, y U, [0, 1].La funcinfse dice estrictamente convexa si

f(x + (1 )y)< f(x) + (1 )f(y), x, y U, x=y, (0, 1).

Es inmediato comprobar que las funciones convexas verifican la siguiente propiedad:

Proposicin 2.3.6 SeanXun espacio vectorial,U Xconvexo yf :U R convexa. Entoncespara cada Rel conjunto E definido por (2.5) es un subconjunto convexo deX.

El recproco de la Proposicin 2.3.6 no es cierto en general; es decir, la convexidad de los

conjuntosE no implica la convexidad de f. Por ejemplo, la funcin f :x R f(x) =x3 noes convexa y los conjuntos de subniveles son siempre convexos.

Gracias al Teorema 1.9.2 de Mazur, se tiene entonces:

Proposicin 2.3.7 SeanXe.n.,U Xconvexo y cerrado, f :U Rconvexa. Entoncesf ess.c.i. enUsi y slo si es s.d.s.c.i. enU.

El resultado principal que usaremos para la existencia de solucin de un problema de mini-

mizacin en e.n. es el siguiente resultado.

Teorema 2.3.8 SeanXun espacio reflexivo,U Xun subconjunto secuencialmente dbilmentecerrado no vaco y f :U R una funcin s.d.s.c.i. Suponemos adems que se verifica una delas siguientes condiciones:

i) El conjuntoUes acotado.ii) El conjuntoUno es acotado pero

(2.6) lmx

xU

f(x) = +.

Entoncesftiene un mnimo global enU.Demostracin: Consideremos primero el casoUacotado, la demostracin es muy similar a la delTeorema 2.3.1. Sea = nfxUf(x)y tomemos una sucesin{xn} U minimizante, i.e. tal que(2.7) lm

nf(xn) =.

ComoU es acotado, la sucesin ser por tanto acotada, luego por el Teorema 1.10.4, de com-pacidad dbil, existen entonces una subsucesin{xnk} de{xn} y un elemento xX tales que{xnk} converge dbilmente a x. ComoUes secuencialmente dbilmente cerrado, tendremos quex pertenece aUy comofes s.d.s.c.i., se tendr

f(x)lm infk

f(xnk) = lmnf(xn) =,

y por tanto f(x) =.Consideremos ahora el caso en queUno es acotado pero se verifica (2.6). Sabemos entonces

que existe R >0 tal que si x U yx> R, se tiene f(x)> max{ + 1, 0}( definido como en


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el caso anterior, que podra ser). En particular, denotando BR a la bola cerrada de centrocero y radioR, se tiene

= nfxU

f(x) = nfxUBR

f(x).

Por otra parte, como el conjunto BR es convexo y cerrado, se deduce que es secuencialmente

dbilmente cerrado y por tanto es fcil ver que la interseccinU BR es secuencialmente dbil-mente cerrado. Puesto que claramente tambin es acotado, podemos aplicar el resultado anterior

y obtener la existencia de x U BR U tal que

f(x) = nfxUBR

f(x) =,

lo que termina la demostracin del resultado. A la hora de aplicar el resultado anterior conviene recordar el Teorema 1.9.2 y la Proposicin

2.3.7. As se tiene en particular

Teorema 2.3.9 SeanXun espacio reflexivo,U Xun subconjunto convexo, cerrado, no vacoyf :U R una funcin convexa y s.c.i. Suponemos adems que se verifica una de las condicionesi) o ii) del Teorema 2.3.8. Entoncesftiene un mnimo enU.

Obsrvese que el resultado se aplica en particular si fes convexa y continua.

Respecto de la unicidad de solucin al problema de minimizacin (2.1), se tiene:

Proposicin 2.3.10 Sean Xun espacio vectorial sobre R,U X convexo y f :U R,estrictamente convexa. Entonces existe a lo ms una solucin al problema (2.1).

Demostracin: Supongamos x1 y x2 dos elementos distintos deUsoluciones de (2.1), i.e.

f(x1) =f(x2) = mn{f(x) / x U},

entonces, comoUes convexo, x= 12(x1+ x2) Uy, comofes estrictamente convexa, se verifica

f(x)0 tal que

(2.23) i(u)C0(I)=uC0(I)CuW1,p(I).

Demostracin: Es evidente que la aplicacin i es lineal.

En principio observamos que mn{|u(s)|p

/ s I} |u(t)|p

, t I . Integrando ahora, setiene:(b a) mn{|u(s)|p / s I} u(t)p

Lp(I)y por tanto

(2.24) mn{|u(s)| / s I} (b a)1/puLp(I).

La desigualdad (2.23) es consecuencia de (2.19), (2.24) y la desigualdad de Hlder bidimensional

(i.e. a1b1+ a2b2(ap

1 + ap

2)1/p(bp1+ b

p2)

1/p). En efecto, se tiene

uC0(I)mnsI

|u(s)| + (b a)1/puLp(I)(b a)1/puLp(I)+ (b a)1/puLp(I)

[(b

a)p

/p + (b

a)]1/p

uW1,p(I).

Teorema 2.4.13 El espacio W1,p(I) es un espacio de Banach reflexivo y separable. H1(I) esun espacio de Hilbert separable.


33/75


Demostracin: a) Veamos que W1,p(I) es completo, para ello consideremos una sucesin deCauchy{un}en W1,p(I)es decir tal que

lmm,n

un

umW

1,p

(I)= 0,

y veamos que es convergente. Teniendo en cuenta

un umW1,p(I)=un umpLp(I)+ un umpLp(I)

1/p,

se tendr en particular que la sucesin{um}es de Cauchy enLp(I). De hecho tambin se tendraque{un}es de Cauchy enLp(I)pero mejor que esto, podemos usar la Proposicin 2.4.12 por lacual sabemos que existe C >0 tal que

un umC0(I)Cun umW1,p(I)

y por tanto que{un} es de Cauchy en C0(I). Usando que los espacios Lp(I) y C0(I) son com-pletos, tendremos por tanto la existencia de uC0(I)y vLp(I) tales que(2.25) unu en C0(I), unv en Lp(I).Por otra parte, por definicin de derivada dbil se tiene

(2.26) un(t) =un(a) +

ta

un(s) ds, t I .

Teniendo en cuenta que la convergencia en C0(I) (la cual es equivalente a la convergencia uni-

forme) implica la convergencia puntual y el hecho de que la convergencia en Lp(I) implica la

convergencia en L1(I) y por tanto en L1(a, t) para todo t (a, b] se puede pasar al lmite en(2.26) para deducir

u(t) =u(a) +

ta

v(s) ds, t I ,

lo que prueba que u pertenece aW1,p(I)as como la igualdad v = uen Lp(I). Usando ahora que

la convergencia en C0(I) implica la convergencia en Lp(I), gracias a (2.25) se deducir tambin

un uW1,p(I)=un upLp(I)+ un upLp(I)

1/p 0 enLp(I)y por tanto que un converge a u en W

1,p(I).

b) Veamos ahora queW1,p(I)es un espacio reflexivo. Como el producto de espacios reflexivoses reflexivo (demostrarlo) y como Lp(I) es reflexivo se tiene que Lp(I)Lp(I) es reflexivo.Consideramos la aplicacin F :W1,p(I) Lp(I) Lp(I) definida por F(u) = (u, u). Se tieneque F es una aplicacin lineal isomtrica de W1,p(I) en Lp(I)Lp(I), por tanto F(W1,p(I))es un subespacio cerrado de Lp(I)Lp(I). Por la Proposicin 1.7.2 vemos que F(W1,p(I)) esreflexivo y por tanto tambin W1,p(I).

c) Finalmente, veamos que W1,p(I)es un espacio separable. En efecto, de nuevo recordamos

queLp(I)es separable y que el producto de espacios separables es separable (demostrarlo), luego

Lp(I)Lp(I)es separable. Como todo subconjunto de un espacio mtrico separable es separable(demostrarlo), se tiene queF(W1,p(I))Lp(I) Lp(I)es separable. ComoFes un isomorfismoisomtrico de W1,p(I) sobre F(W1,p(I)), se llega a que W1,p(I)es separable.

En la demostracin del prximo resultado vamos a usar el Teorema de Ascoli-Arzel (ver por

ejemplo [2],[10] o [11]). A fin de recordar este resultado necesitamos la siguiente definicin:


34/75


Definicin 2.4.14 Un conjunto UC0(I)se dice equicontinuo si para todo >0 existe >0tal que para todauUy para todo t, s Icon|t s|< , se tiene|u(t) u(s)|< .

Teorema 2.4.15 (Teorema de G. Ascoli-C. Arzel) Un conjunto U C0

(I) es relativamentecompacto enC0(I)(es decir, su clausura es compacta) si y slo si es acotado y equicontinuo.

Estudiamos ahora un resultado ms fuerte que la Proposicin 2.4.12.

Teorema 2.4.16 Los conjuntos acotados deW1,p(I)son relativamente compactos enC0(I)(estosignifica que la inyeccin deW1,p(I)enC0(I)es compacta).

Demostracin: Consideremos un conjunto acotado U en W1,p(I) y, por el Teorema de Ascoli-Arzel (ver Teorema 2.4.15), vamos a probar que Ues acotado y equicontinuo en C0(I).

El hecho de que Ues acotado es una simple consecuencia de (2.23), lo que nos prueba la

existencia de C >0 tal que

supuU

uC0(I)CsupuU

uW1,p(I).

Con respecto a la equicontinuidad vamos a usar la desigualdad (2.18), la cual implica

|v(t) v(s)| supuU

uW1,p(I)|t s|1/p, t, s I, vU.

Por tanto dado >0 y tomando

=

supuUuW1,p(I)+ 1

p,

se deduce que para todo vUy para todo t, s I con|t s|< se tiene|v(t) v(s)| .

Observacin 2.4.17 Por definicin de la norma enW1,p(I)est claro que si una sucesin{un}converge fuertemente enW1,p(I)si y slo si{un}y{un}convergen fuertemente enLp(I)auyu respectivamente. Teniendo en cuenta la Proposicin 2.4.12, el resultado es an mejor, un noslo converge enLp(I)sino que converge enC0(I). Anlogamente tambin est claro, al menosen el caso p = 2, (usar (1.20) y la Proposicin 1.8.7) que si un converge dbilmente a u en

W1,p

(I)entoncesun converge audbilmente enLp

(I)yun converge dbilmente auenC0

(I).Gracias al Teorema 2.4.16 vamos a ver que de hecho esta ltima convergencia es fuerte.

Veamos un lema de topologa til en lo que sigue:

Lema 2.4.18 Sea(X, )un espacio topolgico y{xn} X. Si existexXtal que toda subsu-cesin de{xn}posee una subsucesin que converge axentonces{xn}converge ax.

Demostracin: Supongamos lo contrario. Entonces existe un -entornoE(x) tal que para todonN existe mn con{xm} / E(x). Por tanto existe una subsucesin{xnk} tal que{xnk} /

E(x)para todok

N. De esta subsucesin es imposible extraer una sucesin que converja a x.

Teorema 2.4.19 Si una sucesin{un} converge dbilmente en W1,p(I) hacia una funcin u,entonces{un}converge fuertemente au enC0(I)(y por tanto enLp(I)para todo p[1, +]).


35/75


Demostracin: Como toda sucesin que converge dbilmente est acotada, el Teorema 2.4.16implica la existencia de una subsucesin{unk}de{un}y de uC0(I)tales que{unk}convergefuertemente a u en C0(I). Como por otra parte la convergencia dbil en W1,p(I) implica la

convergencia dbil en C0(I) deducimos que la funcin u debe entonces coincidir con u. Enparticular el lmite no depende de la subsucesin escogida y por tanto toda la sucesin{un}converge fuertemente a u en C0(I).

Otra propiedad importante del espacio W1,p(I) viene dada por el siguiente resultado.

Proposicin 2.4.20 El espacio C1(I)es denso enW1,p(I).

Demostracin: ComoC0(I) es denso en Lp(I), dada uW1,p(I) (luego uLp(I)), existe unasucesinvnC0(I) que converge fuertemente a uen Lp(I). Definimos entonces unC1(I)por

un(t) =u(a) + t

a

vn(s) ds,

t

I.

Usando (2.12) y (1.5) deducimos por tanto que para todo t Ise tiene

|un(t) u(t)|= ta(vn(s) u(s)) ds

ta|vn(s) u(s)| ds(b a)1/pvn uLp(I),

lo que, gracias a que vn converge a u en Lp(I), prueba

un uC0(I)= maxtI

|un(t) u(t)| 0, cuandon ,

luego un converge a u en C0(I) lo que a su vez implica que un converge a u en L

p(I). Como

tambin sabemos que un= vn converge a u en Lp(I)se deduce que

un uW1,p(I)=un upLp(I)+ un upLp(I)1/p

tiende a cero, cuando n . Esto prueba que un converge fuertemente a u en W1,p(I) y portanto la densidad de C1(I) en W1,p(I).

Observacin 2.4.21 La demostracin de la Proposicin 2.4.25 se ha basado en que C0(I) esdenso enLp(I), i.e.

(2.27) C0(I)Lp(I)

=Lp(I),

para probar queC1(I)es denso enW1,p(I),i.e.

(2.28) C1(I)W1,p(I)

=W1,p(I).

Para terminar con esta introduccin a los espacios de Sobolev unidimensionales vamos ahora

a definir y estudiar el espacio W1,p0 (I).

Definicin 2.4.22 Se defineW1,p0 (I)como el subespacio deW1,p(I)formado por las funciones

que se anulan en los extremosa, bdeI i.e.

W1,p0 (I) ={uW1,p(I) / u(a) =u(b) = 0}.

Las propiedades principales de W1,p0 (I) se resumen en el siguiente


36/75


Teorema 2.4.23 Se tiene:

1. El espacio W1,p0 (I)es cerrado enW1,p(I)y por tanto es un espacio de Banach separable y

reflexivo. El espacio H1

(I)es un espacio de Hilbert separable.2. La aplicacin

W1,p0 (I)

: W1,p0 (I)) Rdefinida por

uW1,p0 (I)

=uLp(I), uW1,p0 (I),

es una norma sobreW1,p0 (I)equivalente a la deW1,p(I).

3. El espacio C10(I)es denso enW1,p0 (I).

Demostracin: 1. Sea{un} una sucesin en W1,p0 (I) que converge en W1,p(I) hacia una funcinu W

1,p

(I). Como la convergencia en W1,p

(I) implica la convergencia en C0

(I) y sta a suvez la convergencia puntual, la igualdad un(a) = un(b) = 0 para todo n N, implica queu(a) =u(b) = 0 y por tanto uW1,p0 (I). Por tanto W1,p0 (I) es cerrado en W1,p(I).2. Es fcil comprobar que W1,p

0 (I)

proporciona una norma sobre W1,p0 (I). Para probar que es

equivalente a la de W1,p(I)observemos que para toda uW1,p0 (I), se tiene

(2.29) uW1,p0 (I)

=uLp(I)upLp(I)+ upLp(I)

1/p=uW1,p(I).

Recprocamente, sea uW1,p0 (I) entonces, por definicin (u(a) = 0, u(b) = 0) y por (2.4.3), setiene

u(t) =

t

au(s) ds y u(t) =

b

tu(s) ds.

Tomando valores absolutos, sumando y aplicando la desigualdad de Hlder, se tiene

2|u(t)| ta

|u(s)| ds + bt

|u(s)| ds= ba

|u(s)| ds(b a)1/puLp(I).

Elevando a p e integrando cuando tIobtenemos: 2pupLp(I)(b a)pupLp(I) i.e.

(2.30) uLp(I)b a

2 up

Lp(I), uW1,p0 (I)

con lo cual se tiene

uW1,p(I)=up

Lp(I)+ up

Lp(I)

1/p b a2

pup

Lp(I)+ up

Lp(I)

1/p=

=

1 +

b a

2

p1/puLp(I)=

1 +

b a

2

p1/pu

W1,p0 (I)

, uW1,p0 (I),

lo que junto con (2.29) prueba la equivalencia de las dos normas.

3. SeauW1,p0 (I)W1,p(I). Por la Proposicin 2.4.25, sabemos que existe{wn} C1(I) queconvergen a u en W

1,p

(I). Sean entonces unW1,p

0 (I) definidas por

un(t) =wn(t) 1b a

(t a)wn(b) + (b t)wn(a)

, tI , n N.


37/75


Teniendo en cuenta que la convergencia enW1,p(I)implica la convergencia uniforme y por tanto

la puntual, se deduce que{wn(a)} y{wn(b)}convergen a cero y por tanto la igualdad

un(t) wn(t) = 1

b a(t a)wn(b) + (b t)wn(a), tIimplica fcilmente que unwn converge a cero en W1,p(I), con lo cual un converge a u enW1,p0 (I).

Observacin 2.4.24 En el transcurso de la demostracin de la Proposicin 2.4.23 hemos pro-bado la desigualdad (2.30), que se conoce como la desigualdad de H. Poincar.

Finalmente veamos una representacin de los elementos del dual de W1,p(I).

Proposicin 2.4.25 Sea f (W1,p(I)), entonces existen u0, u1 Lp(I) tales que se tiene la

representacin(2.31) f(w) =

I

u0w+

I

u1 w, wW1,p(I)

y adems se tiene la igualdad

(2.32) f(W1,p(I)) =u0p

Lp(I)

+ u1p

Lp(I)

1/p.

Demostracin: Se denota por Xel espacio productoLp(I) Lp(I)dotado de la norma producto:

(2.33) (v0, v1)X= v0pLp(I)

+ v1pLp(I)1/p

,(v0, v1)Lp(I) Lp(I),

y se considera la aplicacin F : w W1,p(I) F(w) = (w, w) Lp(I) Lp(I). Entonces Fes un isomorfismo isomtrico deW1,p(I) sobreM=F(W1,p(I))Lp(I) Lp(I). La aplicacing : (v0, v1)M f(F1(v0, v1))R es una forma lineal continua sobre M. Por el Teoremade Hahn-Banach se puede prolongar a una forma lineal continua g sobreXtal quegX =f.Por el teorema de representacin de Riesz se sabe que existen u0, u1Lp(I)tales que

(2.34) g((v0, v1)) =

I

u0v0+

I

u1v1, (v0, v1)X,

con

(2.35) gX =(u0, u1)X = u0pLp(I)+ u1pLp(I)1/p

.

Es fcil ahora ver (2.31) y (2.32).

2.5. Principios de dualidad para problemas de norma mnima

Los problemas de norma mnima, i.e. los problemas de distancia de un punto a un conjunto,

en espacios de Hilbert son abordables mediante el Teorema 1.1.10 de la Proyeccin. En el caso de

un e.n. dichos problemas pueden ser estudiados mediante los denominados teoremas de dualidad

que exponemos a continuacin. Estos teoremas son casos particulares del denominado Teorema

de dualidad de Fenchel (ver [12]). Aqu vamos a tratar solamente el caso de distancia de un puntoa un subespacio.

El primer resultado que exponemos es el siguiente


38/75


Teorema 2.5.1 SeanXun e.n., Mun subespacio vectorial deXyxX entonces(2.36) nf

mMx mX= max

mM

m

X1

m, x.

Seax M el elemento donde se alcanza el mximo del segundo derecho, si existex M elelemento donde se alcanza el nfimo del primer miembro (con lo cual ser un mnimo) entoncesx xyx estn alineados, es decir(2.37) x, x x=xXx xX.Demostracin: Sea

d= nfmM

x mX.

Si mM y m M conmX1, entoncesm, x=m, x m x mX,

de donde tomando nfimo en el miembro derecho y supremo en el izquierdo, se deduce,

d supmM

mX1

m, x.

Si d = 0, es entonces evidente que se verifica (2.36). Suponemos, pues, que d > 0, o lo que es

equivalente, que x no pertenece a M. Para demostrar (2.36) basta probar que existe x MconxX1 tal quex, x= d. Para ello sea Nel espacio generado por x y M, es decir

N={x + m / R, mM},y definamos

f :x + mNd R.Obsrvese que puesto que x no pertenece a M se verifica que para todo y N existen R,mMnicos tales que y =x +m y por tanto fest bien definida, adems se ve fcilmenteque es lineal y que verifica f(x) =d, f(m) = 0 para todo mM. Se tiene tambin

|f(x + m)|=||d ||

x +m

X

=x + mX, R \ {0}, mM.

Como la desigualdad anterior es tambin cierta si = 0, se deduce que f pertenece a N y

fN 1. Por el Teorema 1.5.1 de Hahn-Banach podemos ahora encontrar x X tal quexX =fN1 y x|N =f. Este x verifica las condiciones deseadas.

Para probar la segunda parte del Teorema, sea xMel elemento donde se alcanza el mnimodel miembro izquierdo de (2.36) y sea x M el elemento donde se alcanza el mximo. Se tieneentonces

x xX=x, x=x, x x xXx xX x xX,con lo cual todas las desigualdades anteriores son igualdades y en particular

x, x x=xXx xX,

lo que prueba la condicin de alineamiento (2.37). Anlogamente al resultado precedente se tiene el siguiente que resulta ms interesante a

efectos prcticos.


39/75


Teorema 2.5.2 SeanXun e.n., Mun subespacio vectorial deXyx X, entonces

(2.38) mnmM

x m= supmM

mX1

x, m

Adems, si el supremo en el miembro derecho de (2.38) se alcanza en algnxMconx 1y six es donde se alcanza el mnimo en el miembro izquierdo entonces x x X yx Xestn alineados i.e.

(2.39) x x,x=x xXxX.

Demostracin: Para todo m M y mM conmX1 se tiene

x, m

=

x

m, m

x

m

X

m

X

x

m

X .

Tomando supremo en el miembro izquierdo e nfimo en el derecho se tiene entonces

nfmM

x m supmM

mX1

x, m

Para terminar la demostracin de (2.38) basta entonces probar la existencia de x M tal que

x xX = supmM

mX1

x, m=xM

M .

Para ello usamos el Teorema de Hahn-Banach y entonces existe x X tal que

xM

=xM

, xX =xM

M .

El elemento x =x x verifica entonces las condiciones deseadas.Para demostrar la segunda parte del Teorema sea ahora x M el elemento donde se alcanza

el mnimo del miembro izquierdo de (2.38) y supongamos que existe xM conxX1 dondese alcanza el supremo, entonces

x xX =x,x=x x,x x xXxX x xX .

Por tanto todas las desigualdades anteriores son igualdades y en particular se tiene la condicin

de alineamiento (2.39).

Observacin 2.5.3 Como consecuencia del resultado precedente se concluye que, ante un pro-blema concreto de norma mnima, es interesante plantear ste en el dual de un e.n. conocido, yaque en ese caso tendremos garantizada la existencia de solucin al problema.

Como corolario del Teorema 2.5.2, se tiene el siguiente resultado de gran inters en las aplicaciones

Corolario 2.5.4 Sean X e.n., x1,

, xn

X linealmente independientes, y c1,

, cn

R.

Supongamos que el conjunto

U={x X / x, xi= ci, i= 1,...,n}


40/75


es no vaco. Entonces

(2.40) mnxU

xX = maxai

R

ni=1aixiX1

n

i=1

aici

Adems, six Ues un punto donde se alcanza el mnimo en el miembro izquierdo de (2.40) ya = (a1, ..., an)RN tal que

ni=1aixiX 1, es un punto donde se alcanza el mximo en el

miembro derecho, entoncesx yn

i=1aixi estn alineados, es decir,

(2.41) x,n

i=1

aixi=xX

ni=1

aixi

X

.

Demostracin: El hecho de que el supremo en el miembro derecho de (2.40) se alcanza es conse-cuencia de que el conjunto

{a RN / n

i=1

aixiX1}

es un compacto de RN, y la aplicacin a RN f(a) =ni=1 aixi es continua en RN.Por otra parte, como Ues no vaco por hiptesis, si fijamos x0U, y denotamos por M al

subespacio vectorial de Xgenerado por los xi entonces se tiene U =x0+ M

, con lo que

nfxU

xX = nfmM

x0 m.

Por el Teorema 2.5.2, el nfimo anterior se alcanza y adems,

mnmM x0 m= maxmMmX1

x, m= maxai Rni=1aixiX1

ni=1

aici.

Finalmente, la condicin de alineamiento (2.39) prueba la igualdad (2.41). A fin de poder usar el resultado anterior es conveniente saber que significa la condicin de

alineamiento en algunas situaciones particulares. El primer resultado es bien conocido y por tanto

no incluimos su demostracin.

Proposicin 2.5.5 SeaXun espacio prehilbertiano y seanx1, x2X, x1= 0. Entonces(2.42) (x1|x2) =x1Xx2X existe 0 tal que x2= x1.La siguiente condicin de alineamiento sigue directamente de las condiciones para la igualdad en

la desigualdad de Hlder.

Proposicin 2.5.6 Sean RN medible, p (1, +), 1/p+ 1/p = 1, f Lp(), y gLp

(), entoncesf yg estn alineadas, es decir

(2.43)

f(x)g(x) dx=

|f(x)|p dx1/p

|g(x)|p dx

1/p.

si y slo si

(2.44) |f(x)|fp

p

= |g(x)|gp

p

i.e. g(x) =K|f(x)|p/psgnf(x)cpdx,

para alguna constanteK0.


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Finalmente veamos el alineamiento entre funciones integrables y acotadas.

Proposicin 2.5.7 SeaRN medible, f L1(), gL(), entoncesf yg estn alinea-das, es decir

(2.45)

f gdx=fL1()gL().

si y slo sigyf verifican

(2.46) g(x) =gL()sgnf(x) i.e. g(x) =Ksgnf(x)cpdx,

para alguna constanteK0.Demostracin: Supongamos que se verifica (2.45) entonces se tiene

(2.47) gL()fL1()=

gf dx

|g||f| dx

gL()|f| dx gL()fL1().

Luego todas las desigualdades deben ser igualdades. Se tendr por tanto

gf =|g||f| cpd

y por tanto g y ftienen el mismo signo. Adems se tiene que cumplir

|g||f|=gL()|f| cpd

que junto con la condicin de signo implica (2.46).

La demostracin del recproco es evidente.


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Captulo 3

OPTIMIZACIN DIFERENCIABLE

3.1. Derivacin en los sentidos de Gteaux y FrchetEn esta seccin vamos a realizar una breve introduccin a la teora de derivacin en e.n..

3.1.1. Definiciones y primeras propiedades

Definicin 3.1.1 SeanX, Y e.n., UXabierto, F :U Y, x0U, hX. Diremos queFes diferenciable en el sentido de R. Gteaux (brevemente, G-diferenciable) enx0y en la direccinhsi existe el lmite enY

lm0

F(x0+ h) F(x0)

.

En este caso se denota

(3.1) F(x0, h) = lm0

F(x0+ h) F(x0)

.

y al elemento F(x0, h)Y,as definido, se le denomina la G-diferencial deFen el punto x0 yen la direccinh.

Si existeF(x0, h)para todahX, diremos queFes G-diferenciable enx0, y a la aplicacinF(x0)definida por

(3.2) F(x0) :hXF(x0, h)Y

la denominaremos la G-diferencial (o diferencial Gteaux) deFen el punto x0.

Observacin 3.1.2 En la definicin precedente no es necesaria estructura topolgica para X;basta, para que las definiciones tengan sentido, que X sea un espacio vectorial sobre R y quex0 sea un punto interno deU, es decir, tal que dado hXexista un0 > 0 tal que para todo(0, 0)se tengax0+ hU.

Observacin 3.1.3 Es inmediato demostrar que si F es G-diferenciable en x0 entonces la G-diferencial es homognea enh, es decir

F(x0, h) =F(x0, h), R, hX.Adems, la aplicacintF(x0+ th)es continua ent= 0.

42


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Definicin 3.1.4 SeanX, Y e.n., U Xabierto, x0 U, F : U YG-diferenciable enx0.Si aplicacin F(x0) pertenece aL(X, Y), entonces se dice que Fes G-derivable en x0 y a laaplicacinF(x0)se la denomina la derivada Gteaux (G-derivada) deF enx0.

Observacin 3.1.5 Es inmediato comprobar que decir queFes G-derivable enx0es equivalentea decir que existeA(x0) L(X, Y)tal que

lm0

F(x0+ h) F(x0) A(x0)hY

= 0, hX,

y en tal caso A(x0)est determinado unvocamente porA(x0) =F(x0).Es evidente que si Fes G-derivable en x0 entonces F es G-diferenciable en x0 y entonces

Fes G-diferenciable enx0 en la direccinh. En general, salvo siX=Y = R, no se tienen lasimplicaciones contrarias.

Las definiciones precedentes generalizan el concepto de derivada direccional para aplicaciones

de RN en R. Un concepto ms restrictivo lo constituye la nocin de derivada en el sentido de M.

Frchet.

Definicin 3.1.6 Sean X, Y e.n., U X abierto, F : U Y, x0 U. Diremos que F esderivable en el sentido de M. Frchet (o F-derivable) enx0, si existeA(x0) L(X, Y)tal que

(3.3) lmh0

F(x0+ h) F(x0) A(x0)hYhX = 0.

En tal caso A(x0) es nico (ver la Proposicin 3.1.7), se le denotaF(x0) y se le denomina laderivada Frchet (o F-derivada) deF enx0.

Proposicin 3.1.7 SiFes F-derivable enx0, entonces es G-derivable enx0, F(x0) L(X, Y),F(x0) =F(x0)yFes continua enx0.

Demostracin: Sea h X\ {0} y A(x0) L(X, Y) satisfaciendo (3.3), entonces para = 0 setiene

0

F(x0+ h) F(x0)

A(x0)hY

=hXF(x0+ h) F(x0) A(x0)(h)YhX .

Usando (3.3), podemos pasar al lmite cuando 0 en la desigualdad precedente para probar

A(x0)h= lm0

F(x0+ h) F(x0)

,

de donde se deduce que F es derivable Gteaux en x0 y F(x0) = A(x0). En particular, esto

prueba la unicidad de A(x0) mencionada anteriormente.

La continuidad de F en x0 se sigue observando que (3.3) implica

(3.4) F(x0+ h) =F(x0) + A(x0)h + hr(x0, h)

donde

r(x0, h) = F(x0+ h) F(x0) A(x0)hhX 0 en Y, cuandoh0.


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Ejemplos1. Es inmediato comprobar que si X e Y son e.n., A : X Y es lineal entonces A es

G-diferenciable en todo punto x0 de X, con A(x0) = A. Si adems A pertenece aL(X, Y),entonces A es F-derivable en todo punto x0 de X.

2. Supongamos X, Y, Z e.n., a(., .) : X Y Z bilineal, entonces a es G-diferenciable entodo punto(x0, y0) de X Y con

F((x0, y0), (h, k)) =a(x0, k) + a(h, y0), (x0, y0), (h, k)X Y.

Si a es continua entonces es F-derivable.

Un concepto de derivada ms restrictivo que el de aplicacin F-derivable y que usaremos ms

adelante es el siguiente.

Definicin 3.1.8 Sean X, Y e.n., U X abierto, F : U Y, x0 U. Diremos que F esestrictamente derivable enx0, si existeA(x0) L(X, Y)verificando que para todo >0 existeun= (x0, )> 0 tal queB(x0, )U y

(3.5) F(x1) F(x2) A(x0)(x1 x2)Yx1 x2X, x1, x2B(x0, ).

En tal caso, Fes derivable Frchet enx0 conF(x0) =A(x0), y escribiremosF SD1(x0).

Observacin 3.1.9 Fderivable Frchet enx0 no implicaFSD1(x0).

Observacin 3.1.10 Todas las nociones de diferencial y derivada que se han introducido poseencarcter lineal enF.

3.1.2. Regla de la cadena

Teorema 3.1.11 (Regla de la cadena) Sean X, Y, Z e.n., U X abierto, x0 U, V Yabierto. Consideremos dos aplicaciones : U V, : V Z, y denotemos y0 = (x0),F = .

Si es F-derivable eny0 yes F-derivable (respectivamente, G-derivable, G-diferenciable,G-diferenciable en la direccin h de X) en x0, entonces Fes F-derivable (respectivamente, G-derivable, G-diferenciable o G-diferenciable en la direccinhdeX) enx0, y se satisface

(3.6) F(x0) =(y0)

(x0),

(respectivamente, F(x0) = (y0)(x0), F(x0, h) = (y0) ((x0, h))). Adems, si SD1(x0)ySD1(y0), entoncesF SD1(x0).

Demostracin: a) Supongamos que es G-diferenciable en x0 en la direccin h, es decir, queexiste

(x0, h) = lm0

(x0+ h) (x0)

.

Como es derivable Frchet en y0= (x0), para todo y en un entorno de y0 se satisface

(y) =(y0) + (y0)(y y0) + y y0Yr(y) con lm

yy0r(y) = 0,

lo que unido a

lm0

(x0+ h) =y0,


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permite afirmar que si|| es suficientemente pequeo entoncesF(x0+ h) F(x0)

=

((x0+ h)) (y0)

=

=(y0)((x0+ h) y0) + (x0+ h) y0Yr((x0+ h))

.

Pero como (y0) L(X, Y) se tiene

lm0

(y0)((x0+ h) y0)

= (y0)

lm0

(x0+ h) y0

=(y0) ((x0, h))

y

lm0

(x0+ h) y0Yr((x0+ h))

= 0,

ya que, por continuidad, r((x0+ h)) tiende a cero con , y el cociente

(x0+ h) y0Y

se mantiene acotado.

b) Supongamos ahora que y son estrictamente derivables en x0 e y0 respectivamente.

Consideremos fijado >0 y tomemos 1> 0 y 2> 0 tales que

(3.7) 1(y0)L(Y,Z)+ 2(x0)L(X,Y)+ 12.

Entonces existen 1> 0 y 2> 0 tales que B1= B(x0, 1)U, B2 = B(y0, 2)V y:

(3.8) (x1) (x2) (x0)(x1 x2)Y1x1 x2X x1, x2B1

(3.9) (y1) (y2) (y0)(y1 y2)Z2y1 y2Y y1, y2B2.

Tomemos

= mn

1,

21+ (x0)L(X,Y)

1.

Seanx1 y x2B(x0, )B1. Por (3.8)

(3.10) (x1) (x2)Y(1+ (x0)L(X,Y))x1 x2X, x1, x2B(x0, )

De aqu, por la definicin de , se deduce (x1), (x2)B2. As pues

F(x1) F(x2) (y0)

(x0)(x1 x2) Z

((x1))((x2))(y0)((x1)(x2))Z+(y0)

(x1) (x2) (x0)(x1 x2) Z

2(x1) (x2)Y + (y0)L(Y,Z)1x1 x2X 2(1+ (x0)L(X,Y)) + 1(y0)L(Y,Z) x1 x2Xx1 x2X,

y en consecuencia F = pertenece a S D1(x0).c) Siy son derivables Frchet enx0e y0respectivamente, el razonamiento se realiza como

en b) tomando x2= x0 y x1= x0+ h. La demostracin del resto del Teorema es inmediata.

Observacin 3.1.12 El Teorema precedente es falso si solamente se supone quees G-derivable.


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Ejemplo.Sean X, Y e.n., a : XX Y bilineal y continua. Vamos a ver que la aplicacinJ :XY definida por J(x) =a(x, x) para todo xX, es F-derivable.

Claramente,J = a D, con D : X X X definida por Dx = (x, x), para todo x X.ComoD es lineal y continua, entonces D es F-derivable para todo xXy se tiene

D(x0)h= Dh = (h, h), hX.

Adems, sabemos que a es F-derivable y

a(x0, y0)(h, k) =a(x0, k) + a(h, y0), (x0, y0), (h, k)X Y.

Usando la regla de la cadena, se tendr que Jes F-derivable en todo x0Xy se tiene

J(x0)h= (a D)(x0)h= a(Dx0)D(x0)h= a(x0, x0)(h, h) =a(x0, h) + a(h, x0).

En particular, si a es simtrica, se tiene J

(x0)h= 2a(x0, h).

3.1.3. Teorema del valor medio

Vamos a tratar ahora de generalizar el Teorema del valor medio al caso de funciones G-

diferenciables. Denotamos a los segmentos que une los puntosx1, x2 por

[x1, x2] ={x1+ t(x2 x1) / t[0, 1]}, (x1, x2) ={x1+ t(x2 x1) / t(0, 1)}.

Se tiene el siguiente resultado.

Teorema 3.1.13 (Valor medio) SeanXun e.n., U

Xabierto yx1, x2 dos puntos deU tales

que [x1, x2]U. Se tiene1. Si F : U R es G-diferenciable en todos los puntos de [x1, x2] en la direccin x2x1,

entonces existex0(x1, x2)tal que

(3.11) F(x2) F(x1) =F(x0, x2 x1)

2. Si Y es un e.n. y F : U Y es G-diferenciable en todos los puntos de [x1, x2] en ladireccinx2 x1, entonces existex0(x1, x2)tal que

(3.12) F(x2) F(x1)Y F(x0, x2 x1)Y.

Demostracin: En el caso 1., se considera (t) =F(x1 + t(x2 x1)), definida y derivable en todoel intervalo [0, 1], con derivada

(t) =F(x1+ t(x2 x1), x2 x1).

Aplicando el Teorema del valor medio en R a se deduce entonces (3.11).

En el caso 2., por el Corolario 1.5.4 de Hahn-Banach, existe y Y conyY = 1tal que

y, F(x2) F(x1)Y,Y =F(x2) F(x1)Y.

Una vez elegido este y , se define : [0, 1]

R por (t) =

y, F(x1+t(x2

x1))

y se observa

que gracias a la regla de la cadena, la derivada de viene dada por

(t) =y, F(x1+ t(x2 x1), x2 x1), t[0, 1].


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Aplicando el Teorema del valor medio en R a se tiene entonces que existe t(0, 1) verificandoF(x2) F(x1)Y =y, F(x2) F(x1)Y,Y =(1) (0) =

=y, F(x1+ t(x2 x1), x2 x1) yYF(x1+ t(x2 x1), x2 x1)Y,lo que junto conyY = 1prueba (3.12) con x0= x1+ t(x2 x1).

Como consecuencia del resultado precedente, podemos obtener un criterio de derivabilidad

estricta. Para ello introducimos la definicin.

Definicin 3.1.14 SeanXeY e.n.,UXun abierto yF :UY. Se dice queFes de clase1 en U, y se denota F C1(U, Y), si Fes G-derivable en todo punto x0 Uy la aplicacinx0UF(x0) L(X, Y)es continua.Proposicin 3.1.15 SeanXeY e.n.,UXabierto yF :UY. SiF C1(U, Y), entoncesFes estrictamente derivable en todos los puntos de U (y en consecuencia es derivable Frcheten todos los puntos deU).

Demostracin: Sean x0U y >0 fijados. Por hiptesis, existe >0 tal queB = B(x0, )U, F(x) F(x0)L(X,Y) xB.

Si x1 y x2 pertenecen a B, entonces [x1, x2] B. Aplicando el Teorema del valor medio aF F(x0), podemos afirmar la existencia de x(x1, x2)B tal que

F(x2) F(x1) F(x0)(x2 x1)Y F(x) F(x0)x2 x1 x2 x1.

3.1.4. Derivacin de orden superior

Observacin 3.1.16 Si F : U Y es derivable Frchet en todos los puntos de U, podemosconsiderar la aplicacinF definida por

F :xUF(x) L(X, Y).ComoL(X, Y)es un e.n., se puede hablar del concepto de derivada Frchet deF; caso de queexista dicha derivada en un punto x0U, la denotaremos(F)(x0)y diremos queFes dos vecesderivable Frchet enx0. Evidentemente, en tal caso(F)(x0) L(X, L(X, Y)), y en consecuencia

es identificable con una aplicacin bilineal continua de XX Y que denotaremos F

(x0).Este razonamiento puede ser generalizado a derivadas Frchet de orden mayor que dos, y da lugara un Clculo diferencial para derivadas Frchet. Nosotros nos vamos a contentar con algo msmodesto.

Definicin 3.1.17 Sean X e Y e.n., U Xabierto y F : U Y. Dados x0 U y h X,se dice que F es dos veces G-diferenciable en x0 en la direccin h, si existe 0 > 0 tal que Fes G-diferenciable en la direccin h en todo punto de la forma x0 + h con|| < 0, y existe2F(x0, h , h)definido como el lmite

(3.13) 2F(x0, h , h) = lm0

F(x0+ h,h) F(x0, h)

.

Al elemento F2(x0, h , h)Yas definido lo denominaremos la G-diferencial segunda deF enel punto x0en la direccinh.


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EjemploSi X, Y son e.n.,a(., .) :X XYes una forma bilineal simtrica y definimos JporJ(x) =a(x, x), entonces es fcil comprobar que

2

F(x0, h , h) = 2a(h, h) hX.Observacin 3.1.18 Est claro que si para ciertosx0UyhXexiste2J(x0, h , h), entoncesexiste2F(x0,h,h)para todo Ry se verifica

2F(x0,h,h) =22F(x0, h , h).

Observacin 3.1.19 En el caso en que el espacio de llegada esR, caso de que existan, es fcilcomprobar a partir de las definiciones que

F(x0, h) = d

dF(x0+ h)|=0

2F(x0, h , h) = d2

d2F(x0+ h)|=0.

Utilizando esta observacin, la frmula de Taylor para funciones reales de variable real y la

existencia, por el Corolario 1.5.4, de un elemento y Y conyY = 1 alineado con unelemento dado en Y , es fcil demostrar el siguiente resultado

Teorema 3.1.20 SeanX, Y e.n., U Xabierto yF :U Y. Supongamos dadosx1, x2Utales que [x1, x2]U, yFes dos veces G-diferenciable en todo punto de [x1, x2]en la direccinx2 x1. Entonces

1. SiY = R, existex0(x1, x2)tal que

(3.14) F(x2) =F(x1) + F(x1, x2 x1) +12

2F(x0, x2 x1, x2 x1).

2. SiYno es necesariamenteR, existex0(x1, x2)tal que

(3.15) F(x2) F(x1) F(x1, x2 x1)Y 122F(x0, x2 x1, x2 x1)Y.

3.2. Derivacin y convexidad

Vamos ahora a mostrar como se puede aplicar la G-diferenciabilidad para estudiar la conve-xidad de una funcin

Proposicin 3.2.1 Sea Xun e.n., U Xabierto, convexo y F : U R. Supongamos quepara todo par de puntosx1 yx2 del abierto Uexiste la G-diferencialF(x1, x2 x1).Entoncesse tiene

1. Fes convexa si y slo si se verifica

(3.16) F(x2) F(x1)F(x1, x2 x1) x1, x2U.

2. Fes estrictamente convexa si y slo si se verifica

(3.17) F(x2) F(x1)> F(x1, x2 x1) x1, x2U, x1=x2.


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Demostracin: Supongamos primeroFconvexa, entonces dado (0, 1), se tieneF(x1+ (x2 x1)) F(x1)

F(x2) + (1 )F(x1) F(x1)

=F(x2) F(x1).

La demostracin de (3.16) se sigue entonces sin ms que tomar el lmite cuando tiende a cero.

Recprocamente, si se satisface (3.16), entonces para todo parx1, x2Uy todo[0, 1] setiene:

F(x1)F(x1+ (x2 x1)) + F(x1+ (x2 x1), (x2 x1))y

F(x2)F(x1+ (x2 x1)) + F(x1+ (x2 x1), (1 )(x2 x1)).Por la homogeneidad de la G-diferencial en la variable h, multiplicando la primera de las dos

desigualdades por 1

, la segunda por y sumando, se prueba

F(x1+ (1 )x2)F(x1) + (1 )F(x2)

y por tanto Fes convexa. El argumento anterior sirve tambin para probar que (3.17) implica

la convexidad estricta de F.

Para probar el recproco, supongamos Festrictamente convexa. Como en particular F es

convexa, se tendr por tanto (3.16). Si ahora x1, x2 U x1= x2 y (0, 1) entonces, por elcarcter estrictamente convexo de Fse tiene

F(x2) F(x1)> F(x1+ (x2 x1)) F(x1)

F(x1, (x2 x1))

=F(x1, x2 x1).

Proposicin 3.2.2 En las hiptesis de la Proposicin 3.2.1 conFG-diferenciable en [x1, x2]yen la direccinx2 x1. Fes convexa si y slo si

(3.18) F(x2, x2 x1) F(x1, x2 x1)0, x1, x2U.

Demostracin: De (3.16) se tiene

F(x2) F(x1)F(x1, x2 x1)

F(x1) F(x2)F(x2, x1 x2).Sumando estas desigualdades y teniendo en cuenta la homogeneidad de la G-diferencial en la

direccin se obtiene (3.18).

Seanx1, x2Uy consideremos la funcin (t) =F(x1+ t(x2 x1)). Por las hiptesis, esderivable en [0, 1] y (t) =F(x1+ t(x2 x1), x2 x1).

Sea ahora 0s < t1 y llevamos xs = x1+s(x2 x1) y xt = x1+t(x2 x1) a (3.18) enlugar de x1 y x2. Se obtiene:

F(xt, (t

s)(x2

x1))

F(xs, (t

s)(x2

x1)),

dividiendo por t s se deduce (t)(s), i.e. es creciente luego, por clculo elemental, es convexa y por tanto ()(1) + (1 )(0) i.e. Fes convexa.


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Proposicin 3.2.3 Sean Xun e.n., U Xabierto, convexo y F : U R. Supongamos queexiste la G-diferencial segunda 2F(x1, x2x1, x2x1)para todo par de puntosx1, x2 de U,entonces se tiene

1. Fes convexa si y slo si se verifica

(3.19) 2F(x1, x2 x1, x2 x1)0, x1, x2U.

2. Si se verifica

(3.20) 2F(x1, x2 x1, x2 x1)> 0, x1, x2U.

entoncesFes estrictamente convexa.

Demostracin: Gracias a la Proposicin 3.2.1, a (3.14) y a

2F(, x2 x1, x2 x1) =2F(, x2 x1X x1X (x1 ), x2 x1X x1X (x1 )) =

=x2 x12X x12X

2F(, x2 , x2 ),

est claro que (3.19) y (3.20) implican la convexidad y la convexidad estricta respectivamente de

F.

Para terminar la demostracin basta probar que si F es convexa entonces se verifica (3.19).

Para ello sean x1, x2U con x1=x2 (el caso x1 = x2 es trivial). Como Fes convexa entoncesse verifica (3.18) luego reemplazamos x2 por x1+ t(x2

x1), para cadat

(0, 1), y se tiene

F(x1+ t(x2 x1), t(x2 x1)) F(x1, t(x2 x1))0.

Dividiendo por t2, teniendo en cuenta la homogeneidad de la G-diferencial en la direccin, y

haciendo tender t a cero se obtiene (3.19).

Observacin 3.2.4 Si Fes estrictamente convexa, no tiene por qu verificarse (3.20), bastapor ejemplo con considerar la aplicacinF : R R definida porF(t) =t4 para todo t R, lacual es estrictamente convexa y sin embargo F(0) = 0.

EjemploSi Xes un e.n., a(., .) :X

X

Res una forma bilineal simtrica y definimos J por

J(x) =a(x, x), usando el resultado anterior se tiene que Jes convexa si y slo si es semidefinidapositiva y que si a es definida positiva entonces Jes estrictamente convexa. De hecho en este

caso, se tiene que Jes estrictamente convexa si y slo si a es definida positiva ya que si existe

h= 0 con a(h, h) = 0, entonces para todo(0, 1)se tiene

J(0 + (1 )h) = (1 )2a(h, h) = 0 =J(0) + (1 )J(h).

3.3. Teoremas de la funcin inversa y de la funcin implcita

Para terminar con esta introduccin a la teora de derivacin en e.n. veamos ahora un Teo-

rema de la funcin inversa de gran generalidad, que nos servir ms adelante para obtener unageneralizacin del Teorema de los multiplicadores de J.L. Lagrange en el caso de espacios de

Banach


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Teorema 3.3.1 (Teorema de L.A. Liusternik de la funcin inversa ) SeanX,Ydos espacios deBanach, U Xabierto, x0U, yF : U Y tal queF SD1(x0)yF(x0) sea sobreyectiva.Entonces existen dos nmerosr0> 0yK >0tales que para todo y

B (F(x0), r0))existex

U

con

(3.21) F(x) =y, x x0XKy F(x0)Y

Demostracin: Suponemos, sin prdida de generalidad, que x0 = 0 y F(x0) = 0 (bastara conreemplazar F por la funcin G definida por G(x) = F(x0+x)F(x0)). Para simplificar lanotacin, denotaremos A= F(0). ComoA es sobreyectiva, por el Teorema 1.5.8, del inverso a

la derecha de Banach, sabemos que existe C >0 y una aplicacinM :YXtal que para todoyY se tiene

A(M(y)) =y, M(y)XCyX,

(se dice que M es un inverso a la derecha de A). Como por hiptesis F SD1(0), podemosafirmar la existencia de un r1> 0 tal que B(0, r1)U, y

(3.22) F(x1) F(x2) A(x1 x2)Y 12C

x1 x2X x1, x2 B(0, r1).

Tomemos

r0= r12C

.

Fijadoy B (0, r0)

ejemplos de espacios lp

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