I. NOCIONES GENERALESSOBRE ESPACIOSMETRICOS

En este primer capıtulo se recuerdan los conceptos topologi-cos basicos y se adopta la terminologıa y notacion que se mane-jaran a lo largo del curso; se introducen ademas los ejemplos queserviran de modelo para las aplicaciones esenciales de la teorıa adesarrollar.

SECCIONES

1. Definiciones previas y primeros ejemplos.

2. Nociones topologicas en espacios metricos.

3. Aplicaciones entre espacios metricos.

4. Completitud en espacios metricos.

5. Compacidad en espacios metricos.

6. Ejercicios.

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1. DEFINICIONES PREVIAS Y PRIMEROS EJEMPLOS.

La estructura mas importante del analisis funcional es el espacio vectorial.Un conjunto X 6= ∅ se llama espacio vectorial (y sus elementos se llamaranvectores) respecto al cuerpo E (a cuyos elementos llamaremos escalares) sien X se definen dos operaciones, suma y multiplicacion por escalar, con laspropiedades algebraicas siguientes:

(a) X es un grupo abeliano respecto a la suma, es decir:

a.1) ∀x ∈ X : x + y = y + x.

a.2) ∀x, y, z ∈ X : (x + y) + z = x + (y + z).

a.3) Existe un unico 0 ∈ X tal que x + 0 = 0 + x, ∀x ∈ X (noconfundirlo con el neutro de E).

a.4) ∀x ∈ X, ∃ − x ∈ X : x + (−x) = 0.

(b) La multiplicacion por escalar verifica:

b.1) ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ E : α(β · x) = (αβ) · x.

b.2) ∀x ∈ X, 1 · x = x (1 es la identidad en E).

b.3) ∀x ∈ X, ∀α, β ∈ E : (α + β) · x = α · x + β · x.

b.4) ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ E : α · (x + y) = α · x + α · y.

Un espacio vectorial real es aquel donde E = R y un espacio vectorial com-plejo es aquel donde E = C. Siempre que no se especifique el cuerpo E,entenderemos que se trata de R o C.

Notacion: Si X es un espacio vectorial, A ⊂ X, B ⊂ X, λ ∈ E, escribire-mos

A + B = {x + y : x ∈ A, y ∈ B},A−B = {x− y : x ∈ A, y ∈ B},A \B = {x : x ∈ A, x 6∈ B} (en particular Ac = X \A),

λA = {λx : x ∈ A} (observese que 2A 6= A + A),A×B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}.

Una familia finita de vectores {x1, . . . , xn} ⊂ X se dice linealmente inde-pendiente cuando

α1x1 + · · ·+ αnxn = 0 =⇒ α1 = · · · = αn = 0.

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Analogamente, una coleccion arbitraria de vectores es linealmente indepen-diente si cualquier subconjunto finito de ella es linealmente independien-te.

Se dice que un conjunto A ⊂ X linealmente independiente es base de Ha-mel de X si todo vector x ∈ X puede expresarse como combinacion linealde elementos de A, es decir si existen escalares α1, . . . , αn ∈ E y vectoresx1, . . . , xn ∈ A tales que x = α1x1 + · · ·+ αnxn. Entenderemos siempre lascombinaciones lineales finitas, aunque haya un numero infinito de elementosen la base. Se puede probar (como una aplicacion del lema de Zorn) quetodo espacio vectorial posee una base de Hamel. Ademas todas las basestienen el mismo numero de elementos, llamado dimension (algebraica) delespacio.

Un conjunto Y ⊂ X es subespacio de X si Y es tambien espacio vectorial(con las mismas operaciones, por supuesto). Esto ocurre si y solo si 0 ∈ Y yαY +βY ⊂ Y, ∀α, β ∈ E. Dada una familia U ⊂ X, el menor subespacio deX que contiene a U se llama subespacio generado por U , y lo denotaremospor 〈U〉.

Se dice que X es suma directa de los subconjuntos M1, . . . ,Mn, lo cualdenotaremos por X = M1 ⊕ · · · ⊕Mn, si

X = M1 + · · ·+ Mn y Mi ∩∑j 6=i

Mj = {0}, i = 1, . . . , n.

Si esto es cierto, todo vector en X se puede escribir en forma unica comosuma x = m1+· · ·+mn con mi ∈ Mi, i = 1, . . . n. A diferencia de lo anterior,se define la suma directa externa de dos espacios X e Y al producto X × Ycon las operaciones usuales.

En un conjunto arbitrario (no necesariamente con estructura algebraica) sepuede definir el concepto de metrica. Si ademas posee estructura de espaciovectorial, ciertas metricas daran lugar a la nocion de norma, como veremosen el capıtulo II.

1.1.- Definicion. Un espacio metrico es un par (X, d), donde X es unconjunto arbitrario no vacıo y d : X × X → R una aplicacion, llamadadistancia o metrica, tal que, para cualesquiera x, y, z ∈ X, se verifica:

(1) d(x, y) ≥ 0.

(2) d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

(3) d(x, y) = d(y, x).

(4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

De la definicion son evidentes las siguientes propiedades:

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i) d(x1, xn) ≤ d(x1, x2) + d(x2, x3) + · · ·+ d(xn−1, xn), ∀x1, x2, . . . , xn ∈ X.

ii) |d(x, z)− d(y, z)| ≤ d(x, y), ∀x, y, z ∈ X.

iii) Si Y es un subconjunto del espacio metrico (X, d) y se define d′(y1, y2) =d(y1, y2), ∀y1, y2 ∈ Y , entonces (Y, d′) es tambien un espacio metricoy d′ se llama metrica inducida por d a Y .

1.2.- Ejemplos. 1) Sea X un conjunto cualquiera. La aplicacion d definida

por d(x, y) =

{1 si x 6= y

0 six = y,es la llamada metrica trivial o discreta.

2) Si X = R, d(x, y) = |x− y| es la distancia usual (euclıdea).

3) Para X = R2, d(x, y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 es tambien la distanciaeuclıdea.

Las aplicaciones d(x, y) = |x1−y1|+ |x2−y2| y d(x, y) = max{|x1−y1|, |x2−y2|} son tambien metricas en X.

4) En X = Rn son distancias

dp(x, y) =( n∑

i=1

|xi − yi|p)1/p

(p ≥ 1), y

d∞(x, y) = max1≤i≤n

|xi − yi|.

Un hecho interesante es que todas ellas van a dar topologıas equivalentes(ver teorema 5.9, capıtulo II)..

5) Sean X = Q, c ∈ R (0 < c < 1), p primo. Todo x ∈ Q se puede escribircomo x = pα a

bdonde p no divide a a ni a b. Ası definimos el valor p-adico

de x como |x|p = cα si x 6= 0 y |0|p = 0.

De este modo, d(x, y) = |x− y|p es una metrica (ver [BN]).

6) En el espacio X = {x = (xn)n∈N : xn ∈ C, (xn)n∈N sucesion acotada}definimos d(x, y) = supn |xn − yn|. Ası (X, d) es un espacio metrico y sedenota por `∞.

7) En general, si llamamos `p = {x = (xn)n∈N :∑∞

n=1 |xn|p < ∞}, (p ≥1), las aplicaciones dp(x, y) =

( ∑∞n=1 |xn − yn|p

)1/p son tambien distan-cias.

El espacio correspondiente a p = 2 fue estudiado por Hilbert (1912) en suestudio sobre las ecuaciones integrales y constituyo el primer ejemplo de losque posteriomente definiremos como espacios de Hilbert.

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Para comprobar los axiomas (concretamente la desigualdad triangular) sonnecesarias las desigualdades de Holder y Minkowski que veremos posterior-mente (capıtulo II, seccion 2). Como la desigualdad triangular falla precisa-mente cuando p < 1, no tiene sentido definir el espacio `p con p < 1.

8) Los espacios

c = {(xn)n∈N : xn ∈ C, (xn)n∈N convergente} yc0 = {(xn)n∈N : xn ∈ C, lım

n→∞xn = 0},

al ser subespacios de `∞, son espacios metricos con la metrica inducida por`∞.

9) Si llamamos C[a, b] al espacio de las funciones continuas en [a, b], la apli-cacion d(f, g) = maxx∈[a,b] |f(x) − g(x)| define tambien una distancia en elconjunto.

10) Mas generalmente, si B(A) es el espacio de las funciones acotadas en A,d(f, g) = supx∈A |f(x)− g(x)| es tambien una distancia.

Dejamos como ejercicio la comprobacion de los axiomas de espacio metricoen los ejemplos anteriores.

2. NOCIONES TOPOLOGICAS EN ESPACIOS METRICOS.

Sea (X, d) un espacio metrico. Si x ∈ X, r > 0, la bola abierta de centro xy radio r es el conjunto B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}. Analogamente sedefinen las correspondientes bolas cerradas B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r}y las esferas S(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) = r}. En general, se llama diametrode un conjunto A a diam A = sup{d(x, y) : x, y ∈ A}.

Ejemplos. 1) Si d es la metrica trivial en X, B(x, r) =

{{x} si r ≤ 1,

X si r > 1.

2) En (R, | · |), las bolas abiertas son B(x, r) = {y ∈ R : |x− y| < r}.

2.1.- Definicion. Sea A ⊂ X. Se dice que x ∈ A es punto interior de A siexiste r > 0 tal que B(x, r) ⊂ A. Se llama interior de A al conjunto

intA = {x ∈ A : x es punto interior de A}.

Si int A = A, A se llama abierto. Si llamamos A a la coleccion de todos losconjuntos abiertos de X, tenemos las siguientes propiedades:

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P1) Aα ∈ A, α ∈ I =⇒⋃

α∈I Aα ∈ A (I es cualquier conjunto de ındices).

P2) A1, . . . , An ∈ A =⇒⋂n

i=1 Ai ∈ A.

P3) ∅, X ∈ A.

Observacion. Recordemos que un espacio topologico es aquel en el queexiste una familia A de subconjuntos de X que verifican los axiomas (P1),(P2), (P3). De aquı se deduce que todo espacio metrico es a su vez un espaciotopologico.

2.2.- Definicion. Dado A ⊂ X, un punto x ∈ X es de adherencia de Asi

∀r > 0 : B(x, r) ∩A 6= ∅.

El conjunto A = {x ∈ X : x es punto de adherencia de A} se llama clau-sura de A. Un conjunto A se dice cerrado cuando A = A. Las siguientespropiedades son elementales: (1) A ⊂ A; (2) A ⊂ B =⇒ A ⊂ B; (3)A ∪B = A ∪ B.

2.3.- Proposicion. A es abierto si y solo si Ac es cerrado.

Demostracion. Supongamos que A es abierto. Entonces

x ∈ Ac =⇒ ∀r > 0 : B(x, r) ∩Ac 6= ∅ =⇒ B(x, r) 6⊂ A =⇒ x 6∈ intA

=⇒ (como A es abierto) x 6∈ A =⇒ x ∈ Ac.

Esto quiere decir que Ac es cerrado.

El recıproco tambien es directo. ♦

De esta proposicion y de las propiedades analogas para los abiertos, se de-ducen las siguientes:

P1) Si {Ai}i∈I es una familia arbitraria de conjuntos cerrados, entonces⋂i∈I Ai es cerrado.

P2) Si {A1, . . . , An} son cerrados,⋃n

i=1 Ai es cerrado.

P3) ∅, X son cerrados.

2.4.- Definicion. Un punto x ∈ X es punto lımite (o de acumulacion) deA ⊂ X cuando ∀r > 0, B(x, r)∩A contiene infinitos puntos de A (lo que esequivalente a decir que contiene algun punto de A distinto de x). Se llamaconjunto derivado de A,

A′ = {x ∈ X : x es punto lımite de A}.

Es facil comprobar que A es cerrado si y solo si A′ ⊂ A.

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2.5.- Definicion. Dada una sucesion (xn)n∈N de puntos de X, se dice queconverge al punto x, y se escribe xn → x, cuando

∀r > 0, ∃N : xn ∈ B(x, r), ∀n > N.

La condicion anterior equivale a que la sucesion de numeros reales {d(xn, x)}n∈Nconverge a cero.

Analogamente, una sucesion de subconjuntos {An}n∈N de X converge a unpunto x ∈ X si para toda bola B centrada en x, existe un ındice m tal queAn ⊂ B para todo n > m. Es inmediato que:

2.6.- Proposicion. Dada una sucesion arbitraria (xn)n∈N en X, si llama-mos Ak = {xn : n > k}, entonces xn → x si y solo si Ak converge a x.

Ejemplos. 1) Sea X un conjunto arbitrario con la metrica trivial. Si xn → x,entonces xn = x, ∀n > N.

2) Sea Q con la distancia p-adica. Dada la sucesion {pn}n∈N, d(0, pn) =|p|np = cn y como c < 1, pn → 0.

2.7.- Definicion. Una sucesion (xn)n∈N en X es acotada cuando

sup{d(xn, xm) : n, m ∈ N} < ∞.

En general, un subconjunto M ⊂ X es acotado cuando M ⊂ B(x0, r) conx0 arbitrario y r suficientemente grande.

Un concepto mas general, y que relacionaremos posteriormente con el decompacidad, es el siguiente:

2.8.- Definicion. Un conjunto A de un espacio metrico X se dice totalmenteacotado o precompacto si, dado cualquier ε > 0, existe un numero finitode conjuntos A1, . . . , Ap tales que A = A1 ∪ · · · ∪ Ap y diam Ai ≤ ε, i =1, . . . , p.

2.9.- Proposicion. Si A es totalmente acotado, entonces es acotado.

Demostracion. Tomemos ε = 1; por hipotesis A = A1∪· · ·∪Ap con diam Ai ≤1. Para cada i ∈ {1, . . . , p}, elegimos xi ∈ Ai y llamamos

δ = max{d(xi, xj), i, j = 1, . . . , p}.

Dados x, y ∈ A, existiran i, j tales que x ∈ Ai, y ∈ Aj ; luego

d(x, y) ≤ d(x, xi) + d(xi, xj) + d(xj , y) ≤ 1 + δ + 1 = 2 + δ,

lo que prueba la acotacion de A. ♦

El recıproco no es cierto: basta considerar un conjunto infinito A con lametrica discreta pues toda esfera de radio ε < 1 solo posee un punto y A no

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puede cubrirse con un numero finito de esferas de radio ε < 1. Sin embargo,es evidente que se trata de un conjunto acotado.

2.10.- Lema. Sea (X, d) un espacio metrico.

a) Si (xn)n∈N es convergente, entonces esta acotada y su lımite es uni-co.

b) Si xn → x, yn → y, entonces d(xn, yn) → d(x, y).

Demostracion. a) Haciendo ε > 1, existe N ∈ N tal que d(xn, x) < 1, ∀n >N . Por otra parte, para los valores n ≤ N, existe a = max{d(x1, x), . . . , d(xN , x)}.Entonces d(xn, x) ≤ 1 + a, ∀n y d(xn, xm) ≤ 2(1 + a), ∀n, m.

Si xn → x, xn → y, entonces 0 ≤ d(x, y) ≤ d(x, xn) + d(xn, y) → 0.

b) Por la desigualdad triangular, d(xn, yn) ≤ d(xn, x) + d(x, y) + d(y, yn).Entonces

|d(xn, yn)− d(x, y)| ≤ d(xn, x) + d(y, yn) → 0. ♦

Observacion. En R con la metrica euclıdea se verifica ademas que todasucesion monotona y acotada es convergente. Otro resultado importante esel teorema de Bolzano-Weierstrass que afirma que toda sucesion acotada enR tiene alguna sub-sucesion convergente.

Muy utiles en lo sucesivo seran las siguientes caracterizaciones de la clausurade un conjunto.

2.11.- Proposicion. x ∈ A ⇐⇒ ∃(xn)n∈N ⊂ A tal que xn → x.

Demostracion. Si x ∈ A, por definicion, ∀n ∈ N, B(x, 1/n)∩A 6= ∅. Elegimosun punto xn ∈ B(x, 1/n) ∩ A. Esta claro que xn → x porque d(xn, x) <1/n.

Recıprocamente, si xn → x con xn ∈ A, dado cualquier r > 0, existe N(r)tal que xn ∈ B(x, r), ∀n > N(r), de donde B(x, r) ∩A 6= ∅. ♦

2.12.- Corolario. A es cerrado si y solo si dada cualquier sucesion (xn)n∈Ncontenida en A y xn → x, entonces x ∈ A.

2.13.- Definicion. Un subconjunto M de un espacio metrico X es densoen X si M = X. El espacio X se dice separable si posee algun subconjun-to numerable que es denso en X. En la practica se prefieren los espaciosseparables, mas simples que los otros. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplos. 1) Si X es un espacio con la metrica discreta, es separable si ysolo si es numerable, pues ningun subespacio propio puede ser denso.

2) R es separable pues Q ⊂ R es numerable y denso en R.

3) C es separable pues {x + iy : x, y ∈ Q} es numerable y denso en C.

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4) Veamos que `∞ no es separable:

Sea M = {y = (yn)n∈N sucesion formada por ceros y unos}. Asociamos acada y otro numero y ∈ [0, 1] cuya representacion binaria es y1/2 + y2/22 +· · ·+ yn/2n + . . .

Ası, como [0, 1] no es numerable y dos puntos distintos y, z ∈ [0, 1] tienendistintas representaciones binarias, el conjunto de las sucesiones M formadaspor ceros y unos es tambien no numerable. (Otra forma de ver que M es nonumerable es aplicar el procedimiento diagonal de Cantor.)

Ademas, dos de ellas verifican d(y, z) = 1. Por tanto, {B(y, 1/3) : y ∈ M}es una familia no numerable de conjuntos disjuntos.

Si un conjunto arbitrario D fuera denso en `∞, cada una de esas bolas ten-drıa algun punto de D; como hay un conjunto no numerable de bolas, debehaber un conjunto no numerable de elementos de D. De esto se deduce que`∞ no es separable.

5) Los espacios `p, con 1 ≤ p < ∞, son separables:

En efecto, si M = {y = (y1, . . . , yn, 0, . . . ) : yk ∈ Q, ∀k}, M es numera-ble.

Ademas, ∀x = (xn)n∈N ∈ `p, dado cualquier ε > 0, ∃n = n(x) :∞∑

k=n+1

|xk|p <

εp/2 (por ser el resto de una serie convergente).

Como Q es denso en R, ∃yk ∈ Q :∑n

k=1 |xk − yk|p < εp/2. Si definimos elelemento y = (y1, . . . , yn, 0, . . . ), entonces

d(x, y)p =n∑

j=1

|xk − yk|p +∞∑

j=n+1

|xk|p < εp =⇒ d(x, y) < ε.

Esto demuestra que M es denso en `p.

3. APLICACIONES ENTRE ESPACIOS METRICOS.

3.1.- Definicion. Sean (X, d), (Y, d′) espacios metricos. Se dice que unaaplicacion f : X → Y es continua en x0 ∈ X cuando

∀ε > 0, ∃δ > 0 : f(B(x0, δ)) ⊂ B(f(x0), ε).

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Si f es continua en todo x ∈ X, se llama aplicacion continua. (Es evidenteque esta definicion extiende el concepto de continuidad de funciones rea-les.)

3.2.- Proposicion. f : X → Y es continua en x0 si y solo si toda sucesion(xn)n∈N que converge a x0 verifica f(xn) → f(x0).

Demostracion. a) Sea f continua en x0. Entonces

∀ε > 0, ∃δ > 0 : f(B(x0, δ)) ⊂ B(f(x0), ε).

Si xn → x0, dado tal δ, existe N tal que xn ∈ B(x0, δ), ∀n > N. Entoncesf(xn) ∈ B(f(x0), ε).

En definitiva, ∀ε > 0, ∃N : f(xn) ∈ B(f(x0), ε), ∀n > N lo que significaque f(xn) → f(x0).

b) Si f no es continua en x0, entonces

∃ε > 0 : ∀δ > 0, ∃y ∈ B(x0, δ) : f(y) 6∈ B(f(x0), ε).

Si elegimos δn = 1/n, encontramos una sucesion (yn)n∈N tal que yn ∈B(x0, δn) y f(yn) 6∈ B(f(x0), ε). Entonces yn → x0 pero f(yn) 6→ f(x0).♦

3.3.- Proposicion. Sean X e Y dos espacios metricos y f : X → Y . Sonequivalentes:

i) f es continua.

ii) xn → x =⇒ f(xn) → f(x), ∀x ∈ X.

iii) F ⊂ Y es cerrado =⇒ f−1(F ) ⊂ X es cerrado.

iv) A ⊂ Y es abierto =⇒ f−1(A) ⊂ X es abierto.

Demostracion.

i) =⇒ ii). Ya probado en la proposicion anterior.

ii) =⇒ iii). Supongamos que f verifica ii); sea F cerrado en Y y A = f−1(F ).Veamos que A ⊂ A.

Si x ∈ A, ∃(xn)n∈N con xn ∈ A tal que xn → x (por la proposicion 2.11).Por hipotesis, f(xn) → f(x), pero f(xn) ∈ F =⇒ f(x) ∈ F . Como F escerrado, f(x) ∈ F =⇒ x ∈ f−1(F ) = A.

iii) =⇒ iv). Sea A ⊂ Y abierto. Entonces Y \ A es cerrado y, por hipotesis,f−1(Y \A) es cerrado. Como f−1(Y \A) = X \ f−1(A), entonces f−1(A) esabierto.

iv) =⇒ i). Sea x ∈ X y elegimos ε > 0 arbitrario. Es claro que B(f(x), ε)es abierto. Esto implica por hipotesis que f−1(B(f(x), ε)) es abierto. Como

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x ∈ f−1(B(f(x), ε)), debe existir δ > 0 tal que B(x, δ) ⊂ f−1(B(f(x), ε)).De aquı se deduce que f(B(x, δ)) ⊂ B(f(x), ε), como querıamos demostrar.♦

4. COMPLETITUD EN ESPACIOS METRICOS.

Cuando un conjunto tiene ciertas propiedades, es interesante saber que tipode aplicaciones conservan dichas propiedades. Ası, un isomorfismo preservala linealidad de los vectores de un espacio e incluso permite identificar losdos espacios y tratarlos como uno solo. Veremos aquı un concepto similarpara los espacios metricos.

4.1.- Definicion. Dados dos espacios metricos (X, d), (Y, d′), sea f : X →Y. Si f es biyectiva y bicontinua (es decir, tanto f como f−1 son continuas),f se llama homeomorfismo.

Los homeomorfismos preservan las propiedades topologicas esenciales: ası apli-can abiertos de X en abiertos de Y y si x ∈ A′, f(x) ∈ f(A)′.

4.2.- Definicion. a) Si una aplicacion f : X → Y entre dos espacios metri-cos verifica que

∀x1, x2 ∈ X : d(x1, x2) = d′(f(x1), f(x2)),

entonces f se llama isometrıa.

b) Si existe una isometrıa biyectiva f : X → Y , diremos que los espaciosmetricos X e Y son isometricos.

Dos espacios isometricos son indistinguibles respecto a la metrica aunquedifieran en la naturaleza de sus puntos.

4.3.- Definicion. Sea (X, d) un espacio metrico. Una aplicacion T : X → Xse llama contraccion si ∀x, y ∈ X, existe algun r ∈ (0, 1) tal que d(Tx, Ty) ≤r · d(x, y).

4.4.- Proposicion. Toda contraccion T en un espacio metrico (X, d) escontinua.

Demostracion. Para probar que T es continua en x0 ∈ X, debemos verque

∀B(Tx0, ε), ∃B(x0, δ) : T (B(x0, δ)) ⊂ B(Tx0, ε).

Sea pues x ∈ B(x0, δ) un punto arbitrario; debe cumplirse que Tx ∈ B(Tx0, ε),es decir d(Tx, Tx0) < ε. Como T es contraccion, existe r ∈ (0, 1) tal

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que d(Tx, Tx0) ≤ r · d(x, x0) < r · δ. Tomando δ = ε/r, se verifica qued(Tx, Tx0) < ε, como querıamos probar. ♦

4.5.- Definicion. Sea (X, d) un espacio metrico. Una sucesion (xn)n∈N esde Cauchy cuando ∀ε > 0, ∃N : d(xn, xm) < ε,∀n, m > N.

Es facil comprobar que toda sucesion convergente es de Cauchy. Ademas,en R o C toda sucesion de Cauchy converge, pero en general esto no escierto.

4.6.- Definicion (Frechet, 1906). Un espacio metrico es completo si todasucesion de Cauchy es convergente.

4.7.- Ejemplos. 1) Cualquier conjunto X con la metrica trivial es comple-to.

2) Rn con cualquier distancia de las ya definidas es completo.

3) El intervalo X = (0, 1), con d(x, y) = |x − y|, no es completo, porque lasucesion {1/n}n∈N es de Cauchy pero su lımite es cero.

4) El conjunto X = Q con la metrica euclıdea d(x, y) = |x−y| no es completo(hay sucesiones de racionales cuyo lımite es irracional).

5) X = Q, con d(x, y) = |x− y|p, no es completo como muestra el siguienteejemplo:

Eligiendo p = 5, la sucesion xn = 12

∑nk=0(−1)k

(1/2k

)5k es de Cauchy y

converge a√−1 que no es racional.

6) Veamos que el espacio `∞ es completo:

Sea {x(n)}n∈N = {(x(n)1 , x

(n)2 , . . . )}n∈N una sucesion de Cauchy en `∞. En-

tonces, ∀ε > 0, ∃N tal que, para n, m > N ,

d(x(m), x(n)) < ε =⇒ |x(m)i − x

(n)i | < ε, ∀i =⇒ ∃xi : d(x(m)

i , xi) < ε.

Si llamamos x = (x1, x2, . . . ), entonces d(x(m), x) ≤ ε, es decir x(m) →x.

Por otra parte, como la sucesion (x(m)i )m∈N converge a xi, esta acotada, es

decir ∃k > 0 : |x(m)i | < k, ∀m. Aplicando la desigualdad triangular,

|xi| ≤ |xi − x(m)i |+ |x(m)

i | < ε + k,

lo que significa que (xi)i∈N esta acotada. Esto prueba que x ∈ `∞.

7) Tambien son completos los espacios `p, para 1 ≤ p < ∞.

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Para comprobarlo, sea {x(n)}n∈N una sucesion de Cauchy en `p. Entonces∃N tal que, para n, m > N :

d(x(n), x(m)) =( ∑

i

|x(n)i − x

(m)i |p

)1/p< ε =⇒ |x(n)

i − x(m)i | < ε, ∀i.

Esto implica que {x(n)i }n∈N es de Cauchy, por lo que x

(n)i → xi ∈ C.

Si llamamos x = (x1, . . . xi, . . . ), veamos que x(n) → x y x ∈ `p :

Como∑k

i=1 |x(n)i − x

(m)i |p < εp, ∀k, entonces, haciendo m →∞,

k∑i=1

|x(n)i − xi|p ≤ εp =⇒

∞∑i=1

|x(n)i − xi|p ≤ εp =⇒ x(n) − x ∈ `p.

Por la desigualdad de Minkowski (capıtulo II, seccion 2), x = x(n) + (x −x(n)) ∈ `p.

Ademas, d(x(n), x)p =∑∞

i=1 |x(n)i − xi|p ≤ εp =⇒ x(n) → x.

8) Si X = C[a, b] y d(f, g) = maxx∈[a,b] |f(x)− g(x)|, entonces X es comple-to:

Si {fn}n∈N es de Cauchy, maxx∈[a,b] |fn(x) − fm(x)| < ε, para n, m > N.Entonces |fn(x) − fm(x)| < ε, ∀x ∈ [a, b]. Por tanto, por el criterio deconvergencia de Cauchy, {fn}n∈N converge uniformemente en [a, b] y, comofn son continuas, la funcion lımite tambien lo sera. Ası, X es completo.

9) X = C[a, b] con la metrica d(f, g) =(∫ b

a |f(x)− g(x)|2dx)1/2

,∀f, g ∈ X

no es completo.

Si hacemos por ejemplo a = −1, b = 1, la sucesion {fn}n∈N definidapor

fn(x) =

0 si − 1 ≤ x ≤ 0nx si 0 < x ≤ 1/n,

1 si 1/n < x ≤ 1

13

es de Cauchy pero el lımite f(x) =

{0 si − 1 ≤ x ≤ 01 si 0 < x ≤ 1,

no es continua en

x = 0.

10) X = {p : [a, b] → C : p polinomio} con d(p, q) = maxx∈[a,b] |p(x)− q(x)|no es completo.

Para demostrarlo, basta tomar una sucesion de polinomios que converjauniformemente a una funcion continua (por ejemplo, ex =

∑n≥0

xn

n! ).

Otros ejemplos de espacios completos se obtienen gracias a la siguiente ca-racterizacion.

4.8.- Proposicion. Un subconjunto M de un espacio metrico completo Xes completo si y solo si M es cerrado en X.

Demostracion. Sea M completo. Entonces, ∀x ∈ M, ∃{xn}n∈N con xn ∈M, ∀n tal que xn → x. Pero como {xn}n∈N converge, es de Cauchy; portanto converge en M , lo que prueba que x ∈ M.

Recıprocamente, sea M cerrado y {xn}n∈N de Cauchy en M . Por ser Xcompleto, xn → x ∈ X =⇒ x ∈ M =⇒ x ∈ M. ♦

Ejemplo. El espacio c = {x = (xn)n∈N ∈ `∞ : (xn)n∈N converge en C} escompleto con la metrica inducida por `∞.

En efecto, sea x = (xn)n∈N ∈ c. Entonces

∃yk = (ykn)n∈N ∈ c : yk → x =⇒ |yk

n − xn| ≤ d(yk, x) < ε/3, ∀k ≥ N.

Como {yNn }n∈N es convergente, es de Cauchy y |yN

p −yNq | < ε/3, ∀p, q ≥ N1.

Entonces

|xp − xq| ≤ |xp − yNp |+ |yN

p − yNq |+ |yN

q − xq| < ε.

Esto implica que (xn)n∈N es de Cauchy y, en consecuencia, x ∈ c.

Un hecho importante de la completitud es que todo espacio metrico puedeverse como subespacio de un espacio metrico completo.

4.9.- Definicion. Dado un espacio metrico (X, d), un espacio (X∗, d∗) sellama complecion de (X, d) si existe X0 subespacio denso de X∗ tal que(X, d) es isometrico a (X0, d

∗).

4.10.- Teorema. Todo espacio metrico tiene una complecion y dos comple-ciones de un mismo espacio metrico son isometricas.

Demostracion (esquema):

Sea X∗ el conjunto de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy enX, mediante la relacion:

{xn}n∈N ∼ {yn}n∈N ⇐⇒: lımn

d(xn, yn) = 0.

14

Se define d∗ : X∗ ×X∗ → R como d∗(x∗, y∗) = lımn d(xn, yn) siendo {xn} ∈x∗, {yn} ∈ y∗.

Se debe probar:

a) Dicho lımite existe (para ello basta que {d(xn, yn)} sea de Cauchy enR).

b) La definicion no depende de los representantes elegidos.

c) d∗ es una metrica.

d) X∗ contiene un subespacio X0 isometrico a X. Para ello definimos

X0 = {x∗ ∈ X∗ : (x, x, . . . ) ∈ x∗}

y f : X → X0 como f(x) = x∗.

e) X0 = X∗.

f) X∗ es completo.

g) Si (X∗∗, d∗∗) es complecion de X, ∃f : X∗ → X∗∗ isometrıa.

Otra caracterizacion importante de los espacios completos, que solo enun-ciaremos, viene dada en terminos de sucesiones decrecientes de conjuntos oencajes.

4.11.- Definicion. Diremos que una sucesion {An}n∈N de subconjuntos deX es un encaje cuando A1 ⊃ · · · ⊃ An ⊃ . . . y diam An → 0.

4.12.- Proposicion. Sea {An}n∈N un encaje de conjuntos no vacıos. En-tonces An converge a x si y solo si x ∈

⋂n∈N An.

4.13.- Teorema (Principio de encaje de Haussdorf). Sea X un espaciometrico. Son equivalentes:

i) X es completo.

ii) Todo encaje {Fn}n∈N de conjuntos cerrados no vacıos tiene interseccionno vacıa.

iii) Todo encaje {An}n∈N de conjuntos no vacıos converge a un punto x ∈X.

15

5. COMPACIDAD EN ESPACIOS METRICOS.

5.1.- Definicion. Una familia {Ai}i∈I de conjuntos se llama cubrimientode un conjunto A cuando A ⊂

⋃i∈I Ai. Dado un cubrimiento {Ai}i∈I de A,

se llama subcubrimiento a todo cubrimiento {Ai}i∈J tal que J ⊂ I.

5.2.- Definicion. Un subconjunto M de un espacio metrico X es compactosi todo cubrimiento por abiertos de M posee algun subcubrimiento finito(llamada propiedad de Borel-Lebesgue).

Ası, por ejemplo, en R con la metrica usual, el intervalo abierto (0, 1) noes compacto pues del cubrimiento {(1/n, 1), n ∈ N} no se puede extraerningun subcubrimiento finito.

Por otra parte, si un conjunto X posee la metrica discreta, ningun subcon-junto infinito M puede ser compacto; para comprobarlo basta considerar lafamilia de bolas abiertas {B(x, 1/2)}x∈M que es un cubrimiento de M peroque no posee ningun subcubrimiento finito.

5.3.- Definicion. Una familia {Xi}i∈I de conjuntos es un sistema centradoo tiene la propiedad de interseccion finita si toda subfamilia finita tieneinterseccion no vacıa.

Un conjunto A ⊂ X tiene la propiedad de Riesz si para todo sistema centrado{Fi}i∈I de cerrados tal que Fi ⊂ A, ∀i ∈ I, se tiene que

⋂i∈I Fi 6= ∅.

5.4.- Proposicion. Un conjunto A en un espacio metrico X es compactosi y solo si es cerrado y tiene la propiedad de Riesz.

(Ver la demostracion en [CC], [KF].)

5.5.- Proposicion. Todo subconjunto cerrado contenido en un compacto esa su vez compacto.

La siguiente caracterizacion de los conjuntos compactos sera util en lo suce-sivo.

5.6.- Teorema. Sea X un espacio metrico y A ⊂ X. Son equivalentes:

i) A es totalmente acotado y completo.

ii) A es compacto.

iii) Toda sucesion {xn}n∈N contenida en A posee alguna subsucesion {xnk}k∈N

convergente en A (propiedad de Bolzano-Weierstrass).

Demostracion. i) =⇒ ii): Sea {Ai}i∈I un cubrimiento por abiertos de A ysupongamos que ningun subconjunto finito cubre a A. Por hipotesis, dadoε > 0, existen K1, . . . ,Kp tales que A = K1 ∪ · · · ∪ Kp y diam Ki ≤ ε.Ademas al menos uno de los Ki no puede cubrirse con ningun sistema finito

16

de conjuntos de {Ai}i∈I ; digamos que es K1. Por ser K1 ⊂ A, es tambientotalmente acotado. Repitiendo el argumento anterior, existira K2 ⊂ K1 condiam K2 ≤ ε/2 que no puede cubrirse con un numero finito de conjuntos de{Ai}i∈I . Formamos ası un encaje {Kn}n∈N de conjuntos contenidos en Aque es completo. Por el teorema 4.13 existe x ∈ A tal que Kn converge ax. Como x ∈ A ⊂

⋃i∈I Ai, existe A0 ∈ {Ai}i∈I con x ∈ A0; luego para n

grande sera Kn ⊂ A0 lo que contradice que Kn no se puede cubrir con unnumero finito de conjuntos de {Ai}i∈I .

ii) =⇒ iii): Sea A compacto y {xn}n∈N una sucesion de elementos de A.Definimos Xn = {xn, xn+1, . . . }. Es evidente que {Xn}n∈N es una familiacon la propiedad de interseccion finita. Por ser A compacto, existe x ∈ A talque x ∈ Xn para todo n. Podemos suponer que para algun m es x 6∈ Xm (encaso contrario la tesis es evidente). Como x ∈ Xm \Xm, por la proposicion2.11, x es el lımite de alguna subsucesion de {xn}n∈N.

iii) =⇒ i): Sea {xn}n∈N una sucesion de Cauchy en A; por hipotesis existeuna subsucesion convergente en A lo que implica que la propia sucesionconverge en A. Luego A es completo.

Si A no fuese totalmente acotado, existirıa ε > 0 tal que A no puede cu-brirse con un numero finito de bolas de radio ε/2. Elegimos x1 ∈ A yllamamos B1 = B(x1, ε/2). Como B1 no cubre a A, existe x2 6∈ B1; seaB2 = B(x2, ε/2). Razonando en la misma forma, encontramos una sucesion{xn}n∈N de puntos de A tal que xn 6∈ B1∪· · ·∪Bn−1, es decir d(xi, xj) ≥ ε/2con lo que ninguna subsucesion de {xn}n∈N puede ser convergente. ♦

5.7.- Lema. Un subconjunto compacto de un espacio metrico es cerrado yacotado.

Demostracion. Sea M un conjunto compacto y x ∈ M. Entonces existe unasucesion {xn}n∈N ⊂ M que converge a x. Como M es compacto, x ∈ M(pues las subsucesiones deben tener el mismo lımite que {xn}n∈N).

Si M no fuera acotado, dado b ∈ M, ∃{yn}n∈N sucesion en M no acotada talque d(yn, b) > n. Como {yn}n∈N no esta acotada, no puede tener ningunasub-sucesion convergente. ♦

El recıproco es falso, como muestra el siguiente ejemplo:

La sucesion {en}n∈N ⊂ `2, donde en = (δnj)∞j=1, esta acotada y es cerradapues se trata de un conjunto formado por puntos aislados para los qued(xn, xm) =

√2. Sin embargo, no es compacto por la misma razon.

En el caso de espacios normados de dimension finita el recıproco tambien escierto como probaremos mas adelante (capıtulo II, teorema 5.7).

Hemos probado ası que si un conjunto no es cerrado no puede ser compacto.

17

Sin embargo su clausura sı puede serlo. Esto origina la siguiente defini-cion.

5.8.- Definicion. Un conjunto A de un espacio metrico X es relativamentecompacto si su clausura A es compacta.

Las siguientes caracterizaciones (cuya demostracion omitiremos) seran uti-les.

5.9.- Proposicion. La condicion necesaria y suficiente para que un conjuntoA de un espacio metrico completo X sea relativamente compacto, es que seatotalmente acotado.

5.10.- Proposicion. La condicion necesaria y suficiente para que un con-junto A de un espacio metrico X sea relativamente compacto es que seasecuencialmente compacto, es decir que toda sucesion de elementos de A po-sea alguna subsucesion convergente (pero no necesariamente a un punto deA).

En el analisis, uno de los espacios metricos mas importantes es C[a, b] y uncriterio importante para el estudio de la compacidad en estos espacios (queaplicaremos posteriormente en el estudio de ciertos operadores integrales)es el teorema de Arzela-Ascoli que enunciaremos tras definir los conceptosnecesarios.

5.11.- Definicion. Una familia F = {ϕ} de funciones definidas en [a, b] sellama equiacotada cuando existe una constante k > 0 tal que |ϕ(x)| < k,∀x ∈ [a, b], ∀ϕ ∈ F . La familia F se dice equicontinua cuando para todoε > 0 existe δ > 0 tal que ∀ϕ ∈ F ,

d(x1, x2) < δ =⇒ |ϕ(x1)− ϕ(x2)| < ε.

5.12.- Teorema (Arzela-Ascoli). Una familia F ⊂ C[a, b] es relativamentecompacta en C[a, b] si y solo si es equiacotada y equicontinua.

5.13.- Teorema (Arzela-Ascoli generalizado). Dados dos espacios metricoscompactos X e Y , llamamos C(X, Y ) = {f : X → Y : f es continua},que es espacio metrico con la distancia d(f, g) = supx∈X d(f(x), g(x)). Unacondicion necesaria y suficiente para que un conjunto A ⊂ C(X, Y ) searelativamente compacto es que

∀ε > 0, ∃δ > 0 : d(x1, x2) < δ =⇒ d(f(x1), f(x2)) < ε,

para cualesquiera f ∈ A, x1, x2 ∈ X.

Los conjuntos compactos tienen propiedades interesantes que los hacen com-portarse como conjuntos finitos. Ası por ejemplo la imagen continua de uncompacto es un compacto.

18

5.14.- Teorema. Sea f : X → Y una aplicacion continua y X, Y espaciosmetricos. Si M es compacto en X, f(M) es compacto en Y .

La prueba es directa.

5.15.- Corolario. Si f : X → R es continua y M es compacto en X,entonces f alcanza el maximo (y el mınimo) en algun punto de M .

Demostracion. f(M) ⊂ R es compacto, con lo que f(M) es cerrado y acota-do. Esto implica que ınf f(M) ∈ f(M) y sup f(M) ∈ f(M) y las imagenesinversas de esos puntos estan en M . ♦

19

6. EJERCICIOS.

1. Sea d una metrica en X. Determinar todas las constantes k paralas que

i) kd,

ii) d + k

es una metrica sobre X.

Resp.: i) Sea d′ = kd. Para que d′(x, y) > 0, debe ser k > 0.

Para que d′(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, debe ser k 6= 0.

Como las otras dos propiedades son siempre ciertas, toda constantek > 0 hace de d′ una metrica.

ii) Sea d′′ = d + k. Para que d′′(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y, hace falta quek = 0 porque x = y =⇒ d(x, y) = 0 =⇒ d′′(x, y) = d(x, y) + k = k.

Ası pues, solo para k = 0 es d′′ un metrica.

����

2. Si A es el subespacio de `∞ formado por las sucesiones de cerosy unos, ¿cual es la metrica inducida sobre A?

Resp.: Como d(x, y) = supn |xn − yn| =

{1 si x 6= y

0 si x = y,se trata de la

metrica discreta.

����

3. Sea X el conjunto de las ternas ordenadas de ceros y unos. Mos-trar que X tiene 8 elementos y que d(x, y) =“numero de lugaresen que x e y tienen valores diferentes.es una metrica sobre X.(Esta es la llamada distancia de Hamming y es util en teorıa deautomatas y codigos.)

Resp.: cardX = 23 = 8.

i) Es evidente que d(x, y) ≥ 0.

20

ii) d(x, y) = 0 =⇒ x e y no tienen ningun valor diferente =⇒ x = y.

El recıproco es similar.

iii) Por la simetrıa de la definicion, d(x, y) = d(y, x).

iv) Sean x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), z = (z1, z2, z3); debido a qued(x, y) = |x1− y1|+ |x2− y2|+ |x3− y3|, por la desigualdad triangularen R se deduce que

d(x, y) =3∑

i=1

|xi − yi| =3∑

i=1

|xi − zi + zi − yi| ≤3∑

i=1

(|xi − zi|+ |zi − yi|)

=3∑

i=1

|xi − zi|+3∑

i=1

|zi − yi| = d(x, z) + d(z, y).

����

4. Determinar si la aplicacion d : R × R → R definida por d(x, y) =|x2 − y2| es una distancia. Si no lo es, decir si existe un subcon-junto de la recta en que sı lo sea. Dar el mayor de los conjuntosque lo cumplen.

Resp.: Si x = y, es claro que d(x, y) = 0.

Sin embargo, si d(x, y) = 0 =⇒ x2 = y2, pero puede ser x = −y lo queimplica que d no es distancia. Si d esta definida en R+∪{0} o R−∪{0},x2 = y2 =⇒ x = y.

En cualquier caso, d(x, y) = d(y, x) y

d(x, y) = |x2 − y2| ≤ |x2 − z2|+ |z2 − y2| = d(x, z) + d(y, z),

de modo que d es distancia en dichos subconjuntos de R.

����

5. a) Encontrar una sucesion que converja a cero, pero no este enningun `p, con 1 ≤ p < ∞.

b) Encontrar una sucesion que este en `p con p > 1, pero no en`1.

Resp.: a) La sucesion (1/ lnn)n≥2 evidentemente converge a cero pero,debido a que lımn→∞

1/(ln n)p

1/n = ∞, ∀p ≥ 1, la serie∑|1/(lnn)p| es

divergente.

21

b) La sucesion (1/n)n≥1 no esta en `1, pues la serie∑

1/n es diver-gente, pero esta en `p con p > 1 pues

∑1/np < ∞, ∀p > 1.

����

6. Sea (X, d) un espacio metrico cualquiera. Demostrar que la apli-

cacion D : X ×X → R definida por D(x, y) = d(x,y)1+d(x,y) es tambien

una distancia sobre X.

Resp.: Es evidente que D(x, x) = 0 y, si D(x, y) = 0 =⇒ d(x, y) =0 =⇒ x = y.

Por ser d distancia, tambien D(x, y) = D(y, x).

Por ultimo, teniendo en cuenta que la funcion y = x1+x es creciente,

resulta:

D(x, y) =d(x, y)

1 + d(x, y)≤ d(x, z) + d(y, z)

1 + d(x, z) + d(y, z)

=d(x, z)

1 + d(x, z) + d(y, z)+

d(y, z)1 + d(x, z) + d(y, z)

≤ d(x, z)1 + d(x, z)

+d(y, z)

1 + d(y, z)= D(x, z) + D(y, z).

����

7. Sea (X, d) un espacio metrico y P (X) el conjunto de partes deX. Se define la aplicacion D : P (X) × P (X) → R por D(A,B) =ınf{d(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

a) Probar que D no es una metrica en P (X).

b) Si A ∩ B 6= ∅, probar que D(A,B) = 0. ¿Que se puede decirdel recıproco?

c) Si x ∈ X, B ⊂ X, se define δ(x,B) = ınfb∈B d(x, b). Probar que

∀x, y ∈ X, |δ(x,B)− δ(y, B)| ≤ d(x, y).

Resp.: a) Si A ∩ B 6= ∅, ∃x ∈ A ∩ B =⇒ D(A,B) = d(x, x) = 0. Sinembargo A 6= B.

b) Si D(A,B) = 0 =⇒ ∃an ∈ A, bn ∈ B : d(an, bn) → 0, pero puedeser A∩B 6= ∅ (ver por ejemplo las bolas B(0, 1) y B(2, 1) en la distanciaeuclıdea de R).

22

c) Sean b, b′ ∈ B; por la desigualdad triangular,

d(x, b) ≤ d(x, y) + d(y, b) ≤ d(x, y) + d(y, b′) + d(b′, b).

Esto implica que

ınfb∈B

d(x, b) ≤ d(x, y)+ ınfb′∈B

d(y, b′)+ ınfb,b′∈B

d(b′, b) = d(x, y)+ ınfb′∈B

d(y, b′),

o bien δ(x, B) ≤ d(x, y) + δ(y, B).

Analogamente se prueba que δ(y, B) ≤ δ(x,B) + d(x, y).

����

8. Si (X1, d1) y (X2, d2) son espacios metricos, probar que en el es-pacio producto X = X1 × X2 se pueden definir las metricas si-guientes:

d(x, y) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2),d(x, y) = max{d1(x1, y1), d2(x2, y2)},

donde x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ X.

Resp.:

i) Es evidente que d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) ≥ 0.

ii) De la definicion se deduce tambien que:

d(x, y) = 0 ⇐⇒ d1(x1, y1) = d2(x2, y2) = 0⇐⇒ x1 = y1, x2 = y2 ⇐⇒ x = y;

d(x, y) = 0 ⇐⇒ d1(x1, y1) = d2(x2, y2) = 0⇐⇒ x1 = y1, x2 = y2 ⇐⇒ x = y.

iii) Es claro tambien que d(x, y) = d(y, x), d(x, y) = d(y, x).

iv) En el caso de d, se prueba facilmente que

d(x, y) = d1(x1, y1) + d2(x2, y2)≤ d1(x1, z1) + d1(z1, y1) + d2(x2, z2) + d2(z2, y2) = d(x, z) + d(z, y).

Para probar la desigualdad triangular en el otro caso, supongamos, sinperdida de generalidad, que d1(x1, y1) ≥ d2(x2, y2); ası, d(x, y) =d1(x1, y1). Entonces

d(x, y) = d1(x1, y1) ≤ d1(x1, z1) + d1(z1, y1)≤ max{d1(x1, z1), d2(x2, z2)}+ max{d1(z1, y1), d2(z2, y2)}= d(x, z) + d(z, y).

23

����

9. En R definimos la distancia d(a, b) = |a−b|1+|a−b| (ver ejercicio 6).

a) Determinar las bolas abiertas.

b) Hallar δ(2, A) donde A = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.

c) Hallar D(A,B) donde B = {x ∈ R : −2 < x < −1}.

(Las aplicaciones δ y D estan definidas en el ejercicio 7.)

Resp.: a) Sea x ∈ B(a, r); entonces

|x− a|1 + |x− a|

< r =⇒ |x− a| < r + r|x− a| =⇒ (1− r) · |x− a| < r.

- Si r < 1: |x− a| < r1−r =⇒ B(a, r) =

(a− r

1−r , a + r1−r

).

- Si r = 1: B(a, r) = R.

- Si r > 1 se obtiene tambien que B(a, r) = R.

b) Por definicion,

δ(2, A) = ınf0≤x≤1

d(2, x) = ınf0≤x≤1

|2− x|1 + |2− x|

= ınf0≤x≤1

2− x

3− x=

12,

pues y = 2−x3−x es una funcion decreciente en [0, 1].

c) D(A,B) = ınf{d(x, y) : x ∈ [0, 1], y ∈ (−2,−1)}.

Si x ∈ [0, 1], y ∈ (−2,−1), d(x, y) = x−y1+x−y .

Como la derivada parcial ∂d∂x = 1

(1+x−y)2> 0, d es creciente si y es

constante.

Analogamente, como ∂d∂y = −1

(1+x−y)2< 0, entonces d es decreciente si

x es constante.

En el cuadrado [0, 1]× [−2,−1], el mınimo se alcanza en (0,−1) y vale1/2.

����

24

10. Probar que la clausura B(x0, r) de una bola abierta B(x0, r) enun espacio metrico puede ser distinta de la bola cerrada B(x0, r).

Resp.: Sea X un conjunto cualquiera con la metrica discreta, y x0 ∈ Xarbitrario. Entonces B(x0, 1) = {x ∈ X : d(x, x0) < 1} = {x0} =⇒B(x0, 1) = {x0}; sin embargo, B(x0, 1) = {x ∈ X : d(x, x0) ≤ 1} = X.

����

11. Demostrar que si X es un espacio metrico, A ⊂ X y r ∈ R+,entonces Vr(A) = {x ∈ X : d(x, A) ≤ r} es cerrado.

Resp.: Veamos en primer lugar que la aplicacion f : X → R+ definidaporf(x) = d(x,A) = ınf{d(x, y) : y ∈ A} es continua:

Sean ε > 0 y x0 ∈ X arbitrarios. Por la desigualdad triangular, paracualesquiera a, b ∈ A, d(x, a) ≤ d(x, x0) + d(x0, b) + d(b, a). Entonces

ınfa∈A

d(x, a) ≤ d(x, x0)+ınfb∈A

d(x0, b)+ ınfa,b∈A

d(b, a) =⇒ f(x) ≤ d(x, x0)+f(x0).

Analogamente se prueba que f(x0) ≤ d(x, x0) + f(x).

En definitiva |f(x)− f(x0)| ≤ d(x, x0).

Si elegimos δ = ε, entonces d(x, x0) < δ =⇒ |f(x)− f(x0)| < ε.

Como [0, r] es cerrado en R+, entonces f−1[0, r] tambien es cerrado enX. Ademas

f−1[0, r] = {x ∈ E : f(x) ≤ r} = {x ∈ E : d(x,A) ≤ r} = Vr(A).

Otra forma consiste en probar que el complementario V cr (A) es abierto:

Sea para ello x ∈ V cr (A) =⇒ d(x,A) > r. Si llamamos s = d(x,A),

veamos que B(x, (s− r)/2) ⊂ V cr (A).

∀y ∈ B(x, (s− r)/2), d(x, y) < (s− r)/2. Como d(x, A) ≤ d(x, y) +d(y, A), entonces d(y, A) ≥ d(x,A)− d(x, y) > s− s−r

2 = s+r2 > r.

����

12. Probar que un espacio metrico X es separable si y solo si existeY ⊂ X numerable tal que ∀ε > 0, ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : d(x, y) < ε.

25

Resp.: Si X es separable, existe por definicion M ⊂ X numerabletal que ∀x ∈ X, ∃{xn}n∈N ⊂ M : xn → x. Entonces ∀ε > 0, ∃N :d(xn, x) < ε, ∀n > N.

Recıprocamente, si ∀x ∈ X, ∃y ∈ Y : d(x, y) < ε, entonces x ∈ Y .Esto implica que X = Y con Y numerable, es decir X es separable.

����

13. Sea {xn}n∈N una sucesion en un espacio metrico X. Probar:

a) Si xn → x, entonces toda sub-sucesion {xnk}k∈N de {xn}n∈N

converge a x.

b) Si {xn}n∈N es de Cauchy y tiene alguna sub-sucesion conver-gente, entonces {xn}n∈N converge al mismo lımite que dichasub-sucesion.

Resp.: a) Basta tener en cuenta que, si d(xn, x) < ε, ∀n > N , entoncesd(xnk

, x) < ε, con nk > N .

b) Por hipotesis,

∀ε > 0, ∃N1 : d(xnk, x) < ε/2 si nk ≥ N1

∃N2 : d(xn, xm) < ε/2 si n, m ≥ N2.

Tomando N = max{N1, N2}, d(xn, x) ≤ d(xn, xnk) + d(xnk

, x) < ε, sin > N .

����

14. Sea {xn}n∈N una sucesion en un espacio metrico y consideramoslas subsucesiones {x2n}n∈N, {x2n+1}n∈N, {x3n}n∈N que suponemosconvergentes. Demostrar que {xn}n∈N es convergente.

Poner un ejemplo de una sucesion no convergente y que ∀k ≥ 2,{xkn}n∈N sea convergente.

Resp.: Supongamos que lım x2n = a, lım x3n = b, lım x2n+1 = c.

Por ser {x6n}n∈N subsucesion de {x2n}n∈N y {x3n}n∈N, lım x6n = a = b.

Por ser {x6n+3}n∈N subsucesion de {x3n}n∈N y {x2n+1}n∈N, lım x6n+3 =b = c.

26

Ası pues, lım x2n = lım x2n+1 = a. Veamos que lım xn = a:

∀ε > 0, ∃n1 : |x2n − a| < ε, ∀n > n1,

∃n2 : |x2n+1 − a| < ε, ∀n > n2.

Si p = max{n1, n2}, |xn − a| < ε, ∀n > p.

En cuanto a la segunda parte, si definimos xn =

{1 si n no es primon si n es primo,

entonces xkn = 1, ∀n, pero {xn}n∈N no converge.

����

15. Sea {un}n∈N, un ∈ R, un ≥ 0 tal que lımn→∞ un = 0. Demostrarque existe una infinidad de ındices n tales que para cada m > n,un ≥ um.

Resp.: Por hipotesis, ∀ε > 0, ∃N : uN , uN+1, . . . < ε.

Por ser convergente, {un}n∈N esta acotada superiormente, con lo quetiene supremo. Dicho supremo esta en el conjunto porque, en casocontrario, serıa un punto de acumulacion no nulo y la sucesion nopodrıa ser convergente a 0.

Si uν0 es dicho maximo, um ≤ uν0 , ∀m > ν0.

Tomamos ahora la sucesion {uν0+1, . . . } y aplicamos el mismo razona-miento anterior : ∃ν1 > ν0 tal que uν1 ≥ um,∀m > ν1, y ası sucesiva-mente.

Es evidente que la sucesion {uν0 , uν1 , . . . } es decreciente.

Otra forma (por reduccion al absurdo):

Si solo existiera un conjunto finito de ındices {n0, . . . , nk} para el queum ≤ uni , ∀m > ni (i = 0, . . . , k), entonces

∃m1 : um1 > unk+1,

∃m2 > m1 : um2 > um1 ,

...

Esto indica que la subsucesion {umk}k∈N es creciente y no tiene lımite

cero, lo que contradice la hipotesis.

����

27

16. Si d1, d2 son metricas equivalentes sobre X, probar que las suce-siones de Cauchy en (X, d1) y (X, d2) son las mismas.

Resp.: Por hipotesis, ∃a, b > 0 : a · d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ b · d1(x, y).

Si {xn}n∈N es de Cauchy en (X, d1), d1(xn, xm) < ε/b, ∀n, m > Nε.Entonces d2(xn, xm) ≤ b ·d1(xn, xm) < ε. Esto implica que {xn}n∈N esde Cauchy respecto a d2.

Analogamente se prueba la segunda parte.

����

17. Si A y B son cerrados y disjuntos en un espacio metrico X,demostrar que existe f : X → [0, 1] continua tal que f(x) = 0,∀x ∈ A y f(x) = 1, ∀x ∈ B.

Resp.: Basta definir f(x) = d(x,A)d(x,A)+d(x,B) . El denominador nunca se

anula por lo que f esta definida en todo X.

����

18. Sea f : R → R una aplicacion continua y periodica tal que elconjunto {T : T es perıodo de f} es denso en R. Demostrar quef es constante.

Resp.: ∀x ∈ R, ∃(Tn)n∈N : Tn → x y f(a + Tn) = f(a), ∀a ∈ R. Enparticular f(Tn) = f(0 + Tn) = f(0).

Como Tn → x y f es continua, f(Tn) → f(x). Por tanto, f(x) =f(0), ∀x ∈ R.

����

19. Sea f : X → Y una aplicacion tal que f |A : A → f(A) es continua,con A ⊂ X. ¿Es f continua en A?

Resp.: No, pues la funcion de Dirichlet f(x) =

{0 si x ∈ Q1 si x 6∈ Q,

no lo

satisface. La restriccion f |Q es continua y constante pero lımx→a f(x) 6=f(a) con a ∈ Q.

����

28

20. Sea f : R → R una funcion aditiva y continua en x0. Demostrarque f es continua en R y que f(x) = ax, ∀x ∈ R con a fijo.

Resp.: a) Veamos que f es continua en R.

Por hipotesis , ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x− x0| < δ =⇒ |f(x)− f(x0)| < ε.

Debemos probar que f es continua en x, es decir

∀ε > 0, ∃δ > 0 : |y − x| < δ =⇒ |f(y)− f(x)| < ε.

Pero si |y − x| < δ, entonces

|y − x + x0 − x0| < δ =⇒ |f(y − x + x0)− f(x0)| < ε

=⇒ |f(y)− f(x) + f(x0)− f(x0)| = |f(y)− f(x)| < ε.

b) ∀n ∈ N, es claro que f(n) = nf(1). Llamamos a = f(1).

Por una parte, f(x) = f(0 + x) = f(0) + f(x) =⇒ f(0) = 0.

Ademas, 0 = f(1+(−1)) = f(1)+f(−1). Esto implica que f(−1) = −ay f(−m) = mf(−1) = −am.

Por otra parte, a = f(1) = f(q/q) = qf(1/q) =⇒ f(1/q) = a · (1/q).Entonces f(p/q) = pf(1/q) = p · a · (1/q) = a · (p/q).

Por ultimo, ∀x ∈ R, ∃xn ∈ Q : xn → x. Por ser f continua, f(xn) →f(x). Como f(xn) = axn, f(xn) → ax, de modo que ax = f(x).

����

21. Sean las aplicaciones f : E → F , g : F → G, donde f es continuay sobre, g es continua y g ◦ f es homeomorfismo. Demostrar quef y g son homeomorfismos.

Resp.: Como g ◦ f es biyectiva, g es sobre y f es inyectiva. Entoncesf es biyectiva.

Dado A abierto en E, (g ◦ f)(A) es abierto en G. Como g es conti-nua, f(A) es abierto en F. Esto implica que f−1 es continua y f eshomeomorfismo.

∀x, y ∈ F , si g(x) = g(y), entonces

(g ◦ f)−1(g(x)) = (g ◦ f)−1(g(y)) =⇒ f−1(x) = f−1(y) =⇒ x = y.

Esto prueba que g es inyectiva con lo que g es biyectiva.

29

Dado B abierto en F, f−1(B) es abierto en E. Entonces (g◦f)f−1(B) =g(B) es abierto en G =⇒ g−1 continua =⇒ g homeomorfismo.

Otra forma: g = g ◦ f ◦ f−1 con g ◦ f biyectiva y f−1 biyectiva =⇒ gbiyectiva.

g−1 = f ◦ f−1 ◦ g−1 con f continua y f−1 ◦ g−1 continua =⇒ g−1

continua.

f−1 = f−1 ◦ g−1 ◦ g con g continua y f−1 ◦ g−1 continua =⇒ f−1

continua.

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22. Sea f : R → R una aplicacion estrictamente creciente. Probar quela funcion D(x, y) = |f(x) − f(y)| es una distancia sobre R peroD no es equivalente a | · |.

Resp.: a) D(x, y) = 0 ⇐⇒ f(x) = f(y) ⇐⇒ x = y (f es inyectiva porser estrictamente creciente).

D(x, y) = |f(x)−f(y)| = |f(x)−f(z)+f(z)−f(y)| ≤ D(x, z)+D(z, y).

El resto es evidente.

b) Si f no es continua en x0, ∃ε > 0 : ∀δ > 0, |x − x0| < δ pero|f(x)− f(x0)| ≥ ε.

Si fuera D equivalente a | · |, ∃a, b > 0 : a · |x − y| ≤ |f(x) − f(y)| ≤b · |x− y|.

Eligiendo δ = ε/b, ε ≤ |f(x) − f(x0)| ≤ b · |x − x0| < b · ε/b = ε, locual es absurdo.

����

23. Sea M ⊂ `∞ el subespacio de las sucesiones con un numero finitode terminos no nulos. Probar que M no es completo.

Resp.: Construimos la sucesion {x(n)}n∈N siguiente:

x(1) = (1, 0, . . . )x(2) = (1, 1/4, 0, . . . )

. . .

x(n) = (1, 1/4, . . . , 1/n2, 0, . . . ).

Si m > n, d(x(n), x(m)) = sup |x(n)j − x

(m)j | = 1

(n+1)2→ 0.

30

Ası definida, x(n) ∈ M, ∀n, pero lımn→∞

x(n) = x = (1, 1/4, . . . , 1/n2, . . . ) 6∈M .

����

24. Consideremos para cada n ∈ N la sucesion sn = 1 + 11! + · · · + 1

n! .Demostrar que {sn}n∈N es de Cauchy en Q y deducir de ello queQ no es completo.

Resp.: Para probar que es de Cauchy, veamos que |sn − sm| → 0.

En efecto, si suponemos que n > m,

|sn − sm| =1

(m + 1)!+ · · ·+ 1

n!≤

∞∑k=m+1

1k!→ 0

por ser el resto de una serie convergente (como es sabido, e =∑∞

n=0 1/n!).

Ahora bien, como lımn→∞ sn = e 6∈ Q, se deduce que Q no es completo.

����

25. Probar que todo espacio con la metrica discreta es completo.

Resp.: Si X posee la metrica discreta, y {xn}n∈N es de Cauchy en X,entonces ∀n, m > N, xn = xm. Esto implica que {xn}n∈N es conver-gente.

����

26. Si (X1, d1), (X2, d2) son espacios metricos isometricos y X1 escompleto, probar que X2 es completo.

Resp.: Sea {yn}n∈N una sucesion de Cauchy en X2. Como X1 y X2

son isometricos, ∃f : X1 → X2 isometrıa biyectiva. Por tanto, ∃xn ∈X1 : f(xn) = yn.

Ademas, d2(yn, ym) = d2(f(xn), f(xm)) = d1(xn, xm). Por tanto, {xn}n∈Nes de Cauchy en X1. Al ser X1 completo, existe x ∈ X tal que xn → x,de donde d2(yn, f(x)) = d1(xn, x) → 0 =⇒ {yn}n∈N converge a f(x).

����

31

27. Demostrar que toda isometrıa f : R → R cumple que f(x) = a + xo f(x) = a− x.

Resp.: Por ser f isometrıa, |f(x)− f(y)| = |x− y|.

En particular, |f(x) − f(0)| = |x|, es decir f(x) − f(0) = x o f(x) −f(0) = −x. Ahora bien, si existieran x1, x2 ∈ R, x1 6= x2 tales quef(x1) − f(0) = x1 y f(x2) − f(0) = −x2, entonces f(x1) − f(x2) =x1 + x2 =⇒ |f(x1)− f(x2)| = |x1 + x2| 6= |x1 − x2| si x1, x2 6= 0.

Llamando f(0) = a, se obtiene el resultado.

����

28. Un espacio metrico se dice localmente compacto si todo puntotiene un entorno compacto. Probar que Rn y Cn son espacioslocalmente compactos pero no compactos.

Resp.: Dado un punto arbitrario x en Rn o Cn, cualquier bola cerradacentrada en x es un compacto (por ser un conjunto cerrado y acotadocontenido en un espacio de dimension finita). Sin embargo, los espaciosRn y Cn no son compactos pues no son acotados.

����

29. Sea X un conjunto no vacıo. Una aplicacion d : X × X → R sellama pseudometrica si se verifica lo siguiente:

i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X.

ii) d(x, x) = 0, ∀x ∈ X.

iii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X.

iv) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X.

¿La funcion d(x, y) =∫ ba |x(t)−y(t)|dt define una metrica o pseu-

dometrica en C[a, b]? ¿Y en las funciones R[a, b] integrablesRiemann en [a, b]?

Resp.: Los apartados i), ii) y iii) son evidentes.

Por otra parte, como

|x(t)− y(t)| ≤ |x(t)− z(t)|+ |z(t)− y(t)|, ∀t ∈ [a, b],

32

entonces∫ b

a|x(t)− y(t)|dt ≤

∫ b

a|x(t)− z(t)|dt +

∫ b

a|z(t)− y(t)|dt.

Ademas, si x, y ∈ C[a, b] y∫ ba |x(t)− y(t)|dt = 0, entonces x = y.

Sin embargo si x e y se diferencian en su valor en un punto c ∈ (a, b) yson integrables,

∫ ba |x−y| = 0 pero x 6= y. Esto indica que la aplicacion,

definida en R[a, b], es una pseudometrica.

����

30. a) Si tenemos una pseudometrica d sobre X, vamos a estableceruna relacion binaria x ∼ y ⇐⇒ d(x, y) = 0. Demostrar que ∼ esde equivalencia y que el conjunto cociente se puede estructuraren espacio metrico mediante una distancia que se puede definirde forma natural a partir de d.

b) Demostrar que d : R2 × R2 → R2 definida por

d(a, b) = |a1 − b1|, si a = (a1, a2), b = (b1, b2),

es pseudometrica sobre R2. Determinar el conjunto cociente y ladistancia definida sobre el.

Resp.: a) Sea x∗ = {y ∈ X : y ∼ x} = {y ∈ X : d(x, y) = 0}.Definimos d∗ : X/∼ × X/∼ → R por d∗(x∗, y∗) = d(x, y), donde x ∈x∗, y ∈ y∗.

- d∗ esta bien definida: ∀x, x′ ∈ x∗, y, y′ ∈ y∗:

d(x, y) ≤ d(x, x′) + d(x′, y′) + d(y′, y) = d(x′, y′)d(x′, y′) ≤ d(x′, x) + d(x, y′) + d(y, y′) = d(x, y)

}=⇒ d(x, y) = d(x′, y′).

- d∗ es una metrica: d∗(x∗, y∗) = 0 ⇐⇒ d(x, y) = 0 ⇐⇒ x ∼ y ⇐⇒x∗ = y∗.

d∗(x∗, y∗) = d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) = d∗(x∗, z∗) + d∗(z∗, y∗).

b) Es facil comprobar que d es pseudometrica. Debido a que

a ∼ b ⇐⇒ |a1 − b1| = 0 ⇐⇒ a1 = b1,

podemos caracterizar a∗ = {x = (x1, x2) ∈ R2 : x1 = a1}. De estemodo, R2/∼ = {(x, 0) : x ∈ R} y la distancia en el espacio cociente esd∗(a∗, b∗) = |a1 − b1|.

����

33

31. Sea d una distancia en un conjunto X. Diremos que d es ul-trametrica si d(x, z) ≤ max{d(x, y), d(y, z)}, ∀x, y, z ∈ X.

Supongamos que d es ultrametrica.

a) Demostrar que si d(a, b) 6= d(b, c), d(a, c) = max{d(a, b), d(b, c)}.

b) Probar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abierto ycerrado y que ∀b ∈ B(a, r), B(b, r) = B(a, r).

c) Demostrar que cada B(a, r) es, a la vez, un conjunto abiertoy cerrado y que ∀b ∈ B(a, r), B(b, r) = B(a, r).

d) Probar que, si dos bolas tienen un punto en comun, una deellas esta contenida en la otra.

e) Probar que la distancia de dos bolas abiertas distintas deradio r contenidas en una bola cerrada de radio r es igual ar.

Resp.: a) Supongamos que d(a, b) < d(b, c). Entonces

d(a, c) ≤ max{d(a, b), d(b, c)} = d(b, c) ≤ max{d(b, a), d(a, c)} = d(a, c)=⇒ d(a, c) = d(b, c) = max{d(a, b), d(b, c)}.

Si d(a, b) > d(b, c), entonces

d(a, c) ≤ max{d(a, b), d(b, c)} = d(a, b) ≤ max{d(a, c), d(c, b)} = d(a, c)=⇒ d(a, c) = d(a, b) = max{d(a, b), d(b, c)}.

b) Sea x ∈ B(a, r). Entonces ∀ε > 0, ∃y ∈ B(a, r) : d(x, y) < ε.

Eligiendo ε < r, d(a, x) ≤ max{d(a, y), d(y, x)} < r =⇒ x ∈ B(a, r).

Probemos la igualdad B(b, r) = B(a, r) por doble inclusion:

c ∈ B(b, r) =⇒ d(a, c) ≤ max{d(a, b), d(b, c)} < r =⇒ c ∈ B(a, r),c ∈ B(a, r) =⇒ d(c, b) ≤ max{d(c, a), d(a, b)} < r =⇒ c ∈ B(b, r).

c) La bola B(a, r) es un conjunto abierto si y solo si

∀y ∈ B(a, r), ∃ε > 0 : B(y, ε) ⊂ B(a, r).

Si elegimos ε < r, todo z ∈ B(y, ε) verifica d(y, z) < ε y

d(a, z) ≤ max{d(a, y), d(y, z)} ≤ r.

34

La igualdad B(b, r) = B(a, r) se prueba de forma analoga al apartadob).

d) Sea x ∈ B(a, r) ∩ B(b, s) y supongamos que r < s. Entoncesd(x, a) < r y d(x, b) < s, de donde d(a, b) ≤ max{d(a, x), d(x, b)} <s.

Ademas ∀y ∈ B(a, r), d(y, b) ≤ max{d(y, a), d(a, b)} < s =⇒ y ∈B(b, s).

Si r = s, B(a, r) = B(b, r) pues, como d(a, b) < r, a ∈ B(b, r) y porb), B(a, r) = B(b, r).

e) Por d), si las bolas son distintas, son disjuntas: B(a, r)∩B(b, r) = ∅.

Si A = B(a, r), B = B(b, r), C = B(c, r), A ⊂ C, B ⊂ C =⇒d(A,B) = r.

Si x ∈ A, y ∈ B, d(x, y) ≤ max{d(x, c), d(c, y)} ≤ r =⇒ d(A,B) ≤ r.Como d(A,B) ≥ r, deducimos en definitiva que d(A,B) = r.

����

32. Sea X un conjunto arbitrario y E el conjunto de la sucesiones in-finitas de elementos de X, E = {x = (xn)n∈N : xn ∈ X}. Para cadapar de elementos de E definimos K(x, y) = k si xn = yn, ∀n < k yxk 6= yk, es decir, k es el menor ındice que cumple que xn 6= yn. Si

definimos ahora d(x, y) =

{1/K(x, y) si x 6= y

0 si x = y,demostrar que

d es distancia ultrametrica sobre E.

Resp.: Evidentemente, d(x, x) = 0 y si d(x, y) = 0, entonces x = y.

Tambien es claro que d(x, y) = d(y, x).

Dados x, y, z ∈ E, llamamos K(x, y) = n1 y K(y, z) = n2. Si n1 = n2,es evidente que K(x, z) = n1. Si n1 < n2, entonces

x1 = y1, . . . , xn1−1 = yn1−1, xn1 6= yn1

y1 = z1, . . . , yn1 = zn1 , . . . , yn2−1 = zn2−1,, yn2 6= zn2

}=⇒ K(x, z) = n1.

En ambos casos, d(x, z) = 1/n1 ≤ 1/n1 + 1/n2 = d(x, y) + d(y, z).

Ademas max{d(x, y), d(y, z)} = 1/n1 = d(x, z).

����

35

33. a) Si X es un espacio metrico, demostrar que la condicion nece-saria para que una sucesion {xn}n∈N sea de Cauchy es que

∀ε > 0, ∃n0 : d(xn, xn+1) < ε si n > n0.

Demostrar el recıproco con un contraejemplo.

b) Sea X un espacio ultrametrico. Probar que la condicion nece-saria y suficiente para que una sucesion de elementos de X seade Cauchy es que lım

n→∞d(xn, xn+1) = 0.

Resp.: a) La primera parte es evidente.

Para el recıproco, consideramos la sucesion xn = 1 + 1/2 + · · ·+ 1/n.

Resulta entonces que d(xn, xn+1) = 1n+1 < ε si n > 1/ε.

Sin embargo, si tomamos ε = 1/2,

d(xN , x2N ) =∣∣∣ 1N + 1

+ · · ·+ 12N

∣∣∣ >1

2N+ · · ·+ 1

2N=

12, ∀n ∈ N,

es decir {xn}n∈N no es de Cauchy.

b) Supongamos que lımn→∞

d(xn, xn+1) = 0, es decir d(xn, xn+1) <

ε, ∀n > n0. Sean p > q > n0; entonces d(xp, xq) ≤ max{d(xq, xq+1), d(xq+1, xp)}.

A su vez, d(xq+1, xp) ≤ max{d(xq+1, xq+2), d(xq+2, xp)}.

Repitiendo el proceso, obtenemos que

d(xp−2, xp) ≤ max{d(xp−2, xp−1), d(xp−1, xp)} < ε.

En definitiva, d(xp, xq) < ε y {xn}n∈N es de Cauchy.

36