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POTENCIAS RACESCUADRADAS

INTRODUCCIN

Esta unidad es fundamental en el desarrollo algebraico de toda la eta-pa. Captar correctamente los conceptos de potencias y raz cuadrada evi-ta posibles errores en el futuro. Se va a ver la potencia como una mul-tiplicacin abreviada, y la raz cuadrada, como la operacin inversa dela potencia de exponente 2. Se puede considerar que la unidad est di-vidida en dos partes, una relacionada con potencias y otra con racescuadradas.Comienza la unidad con la definicin de potencia como una expresinabreviada de una multiplicacin de factores iguales, definiendo la basey el exponente de la potencia. Se resaltan las potencias de exponentes

2 y 3, los cuadrados y cubos, y las potencias de base negativa.A continuacin se expone cmo operar con las potencias de un productoy de un cociente expandindolas a productos y cocientes de potencias.Seguidamente se ensea a trabajar con el producto y el cociente depotencias de la misma base y a pasarlos a una nica potencia de lamisma base. Como caso particular aparecen las potencias de exponente0 y 1.Las potencias de potencias permiten obtener una nica potencia.Una vez terminada la parte de potencias se pasa a definir cuadradoperfecto y la raz cuadrada exacta como la base de un cuadrado perfecto.

Si el radicando no es un cuadrado perfecto, se puede definir la razcuadrada entera y el resto de la raz.Por ltimo, se muestra cmo calcular la raz cuadrada entera poraproximaciones o mediante una regla o algoritmo exacto.

POTENCIASDE EXPONENTE NATURAL

MAYOR QUE UNO

OPERACIONESCON POTENCIASDE LA MISMA

BASE

POTENCIADE UN

PRODUCTOY UN COCIENTE

CUADRADOS PERFECTOSRAZ CUADRADA EXACTA

RAZ CUADRA ENTERACLCULO


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CONTENIDOS DEL EP GRAFE

Potencia de exponente natural.Base de una potencia.Exponente de una potencia.Potencias de exponente 2 y 3, cuadrados y cubos.

Potencias de base un nmero negativo.Signo de potencias de base negativa.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS

Se deben poner numerosos ejemplos para explicar el concepto de potenciascomo una multiplicacin abreviada, ensendoles la comodidad de lanotacin.

Hay que tener cuidado al trabajar con potencias de base negativa e insistir

en el signo de la potencia segn sea el exponente par o impar. Un error comn es no utilizar los parntesis cuando la base de la potenciaes negativa.

SOLUC IONES DE LAS ACT IV IDADES

1. a) Base 2, exponente 4; 24 16

b) Base 3, exponente 4; 34

81c) Base 4, exponente 3; 43 64d) Base 5, exponente 3; 53 125e) Base 3, exponente 5; 35 243f) Base 2, exponente 5; (2)5 32g) Base 10, exponente 4; (10)4 10000h) Base 6, exponente 2; (62) 36

2.

ATENCIN A LA D IVERS IDAD

Bsico Libro del alumno: actividades 32, 33, 38 a 41, 60 a 62 y 76 a 78. Cuaderno de Matemticas bsicas. Cuaderno n.o 1 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Nmeros naturales. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividades 1 y 2.

Ampliacin Cuaderno de Matemticas, Nmeros naturales (1.o de ESO). Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividades 1 a 3.

Potencia Base Exponente Valor

(6)3 6 3 216

(3)4 3 4 81

(4)2 4 2 16

(10)3 10 3 1000


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Potencia de un producto.Potencia de un cociente.


Remarcar con ejemplos la potencia de un producto o de un cociente. Cadaejemplo se puede realizar de dos formas distintas, primero operando elparntesis o primero desarrollando el parntesis.

Hay que tener cuidado en que solo se puede aplicar si se tiene un productoo un cociente. No se puede aplicar el desarrollo a la potencia de unasuma o de una resta.

ATENC IN A LA D IVERS IDAD

Bsico Libro del alumno: actividades 44, 45, 79 y 80. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 3.


3. 3136

4. 81

5. a) 207 360000 c) 81b) 5832 d) 125

6. a) 3, 81, 1 296b) 5, 3, 125, 1000c) 6, 8d) 2, 4, 4, 1 296, 16, 81

Nota s :


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Producto de potencias de la misma base.Base de productos de potencias de la misma base.Exponente de productos de la misma base.Potencia de exponente 1.


Los alumnos deben conseguir averiguar la regla mediante ejemplos en losque se desarrollen las potencias para luego comprimir el producto como unanica potencia.

Hacer hincapi en el orden de prioridad de las operaciones cuando hayasumas y restas de potencias de la misma base.


Bsico Libro del alumno: actividades 35, 46 y 81.Ampliacin Cuaderno n.o 1 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Nmeros naturales.


7. a) 36 729 b) 210 1 024

8. a) 9, 243b) 5, 25, 3 125c) 5, 32d) 6, 729

9. a) (2)5 32 b) (2)7 128

10. a) (3)2 (3)3 (3) (3)6 36

b) 52

53

55

11. 46 y 212.

Nota s :


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Cociente de potencias de la misma base.Base de cocientes de potencias de la misma base.Exponente de cocientes de la misma base.Potencia de exponente 0.


Los alumnos deben conseguir averiguar la regla mediante ejemplos en losque se desarrollen las potencias, simplificar el cociente y escribir la potenciaresultante.

Hacer observar que al dividir potencias del mismo exponente resultanpotencias de exponente 0, y relacionar con las potencias de exponente cero.

Se debe tener cuidado de que el exponente del divisor no sea mayor que

el exponente del dividendo. A alumnos avanzados se les puede explicar laspotencias de exponente negativo.


12. a) 33 27 c) (5)0 1b) 24 16 d) (8)5 32768

13. a) 243 : 9 27 c) 625 : 625 1b) 64 : 4 16 d) (2 097152) : 64 32768

14. a) 72 49 b) (3)2 9 c) 151 1515. a) 2, 4 c) 9, 27

b) 1, 5 d) 13, 5 764801

16. a) 54 : 52 c) (73) : [(72)] [(73)] : [(72)] 73 : 72

b) (3)4 : (3)3


Bsico Libro del alumno: actividades 35 y 81.Ampliacin Cuaderno n.o 1 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

"Nmeros naturales".

Nota s :


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Potencia de una potencia.Base de la potencia de una potencia.Exponente de la potencia de una potencia.


Si se desarrolla la potencia exterior, la potencia de una potencia es un casoparticular de productos de potencias de la misma base.

Hay que tener cuidado si la base de la potencia es negativa para escribircorrectamente los parntesis.


17. a) 38 6561 c) (1)70 1b) (3)6 729 d) (10)8 100 000000

18. a) (34)3 c) [(3)2]4

b) (56)4 (53)8 (52)12 (51)24 d) (237)0

19.

20. a) (22)2 c) (42)3

b) (32)2 d) [(5)2]4


Bsico Libro del alumno: actividades 47 y 82. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 4.Ampliacin Cuaderno n.o 1 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Nmeros naturales.

Nota s :

Potencia Base Exponente Potencia Signode potencia

[(7)4]2 7 8 (7)8

[(13)15]5 13 75 (13)75

[((10)2)3]5 10 2 3 5 (10)30

[((5)2)3]6 5 2 3 6 (5)36


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Cuadrados perfectos.Raz cuadrada exacta.


El concepto de raz cuadrada se puede explicar como el clculo de la basede un cuadrado perfecto.

La palabra cuadrada hace referencia al objeto geomtrico. Se puedeexplicar dibujando cuadrados de puntos, siendo la raz cuadrada el nmerode puntos del lado del cuadrado.

Puede ser til construir una tabla con los 20 primeros cuadrados perfectos.


Bsico Libro del alumno: actividades 36, 49, 50, 54, 55 y 84. Cuaderno n.o 1 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Nmeros naturales. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividades 5 a 7.Ampliacin Libro del alumno: actividad 74. Cuaderno n.o 1 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

"Nmeros naturales". Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 4.

Nota s :


21.

22. a) No, 52 28 62 e) S, 225 152

b) S, 121 112 f) No, 212 444 222

c) S, 256 162 g) No, 142 220 152

d) S, 400 202 h) S, 1 600 402

Nmeros

Cuadradosperfectos

10 11 12 13 14 15 16 17

100 121 144 169 196 225 256 289


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Raz cuadrada entera.Resto de la raz.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS La raz cuadrada entera es una generalizacin de la raz cuadrada exacta.

Algunos alumnos creen que solo existen races cuadradas exactas. El concepto de resto de la raz es complicado. Se puede ver como los puntos

que sobran para formar el mayor cuadrado posible, como se muestra en elmargen del epgrafe.

Realizar numerosos ejemplos hasta que se asimile el concepto de razcuadrada entera y su resto.


Bsico Libro del alumno: actividad 57. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividades 3 y 4.Ampliacin Libro del alumno: actividades 73 y 90 a 92. Cuaderno n.o 1 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Nmeros naturales.

Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividades 5 a 7 y 9a 11.


23. a) 112 130 122 b) 192 375 202

La raz entera de 130 es 11. La raz entera de 375 es 19.Resto: 130 112 9 Resto: 375 192 14

24. a) 42 18 52 18 4. Resto: 2

b) 42

21

52

21

4. Resto: 5c) 82 75 92 75 8. Resto: 11

d) 112 140 122 140 11. Resto: 19

e) 122 150 132 150 12. Resto: 6

f) 312 1 003 322 1003 31. Resto: 42

25. 64

Nota s :


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Clculo de la raz cuadrada por aproximaciones.Nmero de cifras de la raz cuadrada.


Averiguar el nmero de cifras de la raz cuadrada ayuda a encontrar msrpido la aproximacin buscada.

El nmero que sobra entre el nmero dado y el cuadrado de la raz es elresto de la raz.

Se puede utilizar una tabla con cuadrados perfectos para ahorrar cuentas.

SOLUC IN DE LAS ACT IV IDADES26. a) Una cifra. b) Dos cifras. c) Dos cifras. d) Tres cifras.

27. a) 4 c) 50b) 10 d) 65


Bsico Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividades 8 a 10.Ampliacin Cuaderno n.o 1 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Nmeros naturales. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 8.

Nota s :


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Clculo de la raz cuadrada entera por una regla.

SUGERENCIAS DIDCTICAS

La regla de raz cuadrada es un algoritmo pesado para la mayora de losalumnos. Se debe practicar hasta su asimilacin.

Esta regla se presta a numerosos errores durante el proceso, por lo que sedebe insistir en la comprobacin del resultado como se indica al final delpaso octavo.


Bsico Libro del alumno: actividades 59 y 86.


28. a) 1 centena y 2 centenas.b) 2 centenas y 3 centenas.c) 3 centenas y 4 centenas.

29. a) 22

b) 79c) 123

Nota s :

84


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ESTRATEG IAS Y TCN ICAS

En la resolucin de problemas es conveniente leer detenidamente elenunciado varias veces para comprenderlo. Al principio es recomendable ir probando resultados para entender el

problema. Ver cuntas personas lo saben en la primera hora, la segunda

hora, etc. Hay que acostumbrar al alumno a que cuando crea que ha terminado elproblema, vuelva a leer detenidamente el enunciado para ver si hacontestado correctamente y ha hallado todo lo que le pedan.


30. 1 51 52 53 54 55 56 57 1 5 25 125 625 3125 15625 78125 97656

Al cabo de 7 horas todava no conocen la noticia 100 000personas. Pero al cabo de 8 horas conocen la noticia:97656 58 97 656 390625 488281

31. 2 horas y media 120 minutos 30 minutos 150 minutos.Perodos de tiempo de 5 minutos: 150 : 5 30Nmero de bacterias generadas:21 22 23 24 229 230 2 147483 646 bacterias.

Nota s :

85


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ORGANIZA TUS IDEAS

En esta pgina se muestran los contenidos vistos a lo largo de la unidad. Seempieza por las potencias, dando la definicin de potencia y las operacionescon potencias. A continuacin se da la definicin de raz cuadrada exacta,cuadrados perfectos y raz cuadrada entera, y el nmero de cifras de la razcuadrada.Para completar este esquema: Escribir ejemplos en todos los apartados como aparece en la definicin de

potencia. Poner la regla de clculo de la raz cuadrada describiendo los pasos

necesarios. Se puede ampliar poniendo el clculo de una raz cuadrada por medio de

aproximaciones.

Nota s :

86


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CLCULO MENTAL

32. a) 24 8 e) 92 18 i) 42 8b) 33 9 f) 103 1000 j) 1002 10000c) 23 8 g) 25 10

d) 43 64 h) 32 933. a) 16 c) 32 e) 1

b) 9 d) 100 f) 1331

34. a) 5 c) 4 e) 65b) 75 d) 16464 f) 24

35. a) 26 c) 56 e) 52 g) (5)3

b) 39 d) (4)9 f) 60 h) 24

36. a) 5 c) 11 e) 20 g) 50b) 10 d) 4 f) 7 h) 10

37. a) 6 c) 4 e) 10 g) 20b) 8 d) 9 f) 13 h) 40

EJERCICIOS PARA ENTRENARSE

Potencias de exponente natural38. a) 53 c) 93 e) 25

b) 82 d) 34 f) 154

39. a) 16 c) 8 e) 1000000b) 32 d) 343 f) 625

40. a) 81 b) 25 c) 32 d) 10 e) 531441 f) 34341.

42. a) 62 b) 23 c) 25 d) 102 e) 33 f) (2)5

43. a) 32 b) (5)3 c) 104 d) 43 e) 24 f) (6)3

Potencia Base Exponente Valor

32 3 2 9

(4)6 4 6 4 096

84 8 4 4 096

(2)2 2 2 4

270 27 0 1

(10)3 10 3 1000

Nota s :

87


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Operaciones con potencias44. a) 23 43 c) 22 52 82 e) (5)3 (3)3 63

b) 76 66 d) 34 24 54 f) (2)6 (5)6 (8)6

45. a) 32 768 : 64 512 c) 248832 : 243 1024

b) 4096 : 16 256 d) 110592 : 216 51246. a) 36 729 b) (2)5 32 c) (7)5 16 807

47. a) 34 81 c) (1)12 1 e) (2)8 256b) (1)9 1 d) 210 1 024 f) (10)12 1000000000000

48. a) 23 23 26 64b) 33 32 35 243c) 53 52 55 3 125

Cuadrados perfectos49. a) No c) No e) No

b) S d) S f) S50. a) 1 b) 5 c) 9 d) 0

51. 1 y 9, porque 1 1 1, y 9 9 81.

52. No te dicen la verdad, porque ningn nmero entero de una cifra elevadoal cuadrado es igual a 2.

53. La cifra de las unidades de cualquier cuadrado perfecto puede ser: 0, 1,4, 5, 6 y 9.

Raz cuadrada exacta54.

55. 192 361

56. a) 9 3 b) 7

Raz cuadrada entera57. a) 6 b) 6

58. a) 35 b) 13

59. a) Raz 18, resto 0. c) Raz 35, resto 29.b) Raz 85, resto 50. d) Raz 46, resto 0.

Nota s :

Cuadrados perfectosRaz cuadrada exacta 16 225 4 489 1 8494 15 67 43

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PROBLEMAS PARA APLICAR

60. 625 butacas.

61. 1 728 rotuladores.

62. 53 125 billetes

54 625

63. 3375 dm3

64. a) 100 m b) 400 m

65. 64 m

66. 64 caramelos.

67. S, se puede formar un cuadrado de lado 7.

68. Raz: 8Resto: 12

Falta: 569. 10 cuadraditos.

70. Raz: 5Resto: 3

71. a) 14b) 225. Luego habra que aadir 29 magdalenas.

72. 38. No sobra ningn rbol, la raz de 1 444 es exacta.

73. 27 puntos.

74. 255 unidades.

75. 3 718 m

Nota s :


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PARA INTERPRETAR Y RESOLVER

93. a) 2 2 2 2 24 16No habra combinaciones suficientes para contar con todas las letrasdel alfabeto

b) Tiene que escribir el nombre de su animal favorito en cuatro lenguas:BOLBORETA (en gallego)TXIMELETA (en euskera)PAPALLONA (en valenciano)MARIPOSA (en castellano)

SOLUC IONES DE LA AUTOEVALUAC IN

1. a) 343 b) 16

2. a) 24

16 b) (6)2

363. a) 53 23 c) 85 : 35

b) (2)7 57 (1)7 d) (12)3 : 33

4. a) 6 561 b) 78125 c) 8 d) 1296

5. a) Raz: 3 Resto: 0

b) Raz: 4 Resto: 7c) Raz: 20 Resto: 0d) Raz: 8 Resto: 16

6. Raz: 17 Resto: 25

7. 200 m8. 48 cm2

9. a) 27

b) 783

10. a) Raz: 45 Resto: 56

b) Raz: 34 Resto: 48

Nota s :

91


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MURAL DE MATEMT ICAS

Este mural trata de cmo trabajar y escribir con nmeros grandes, nmerosenteros con un gran nmero de cifras.Se pueden realizar las siguientes actividades de ampliacin: Explicar la notacin cientfica y el uso de la calculadora cientfica. Se puede

encontrar en Wikipedia, http://es.wikipedia.org/, buscando notacincientfica.

Ya que el mural habla de un billn, se puede ampliar el lenguaje buscandoen un diccionario (por ejemplo, en Internet, http://www.rae.es/) las siguientespalabras: millar, milln, millardo, billn, trilln y cuatrilln, y escribir elnmero resultante.

Mostrar la diferencia entre el billn americano y el espaol. Al no tenerseen cuenta la diferencia, en los medios de comunicacin aparecen cifraseconmicas astronmicas al traducir cifras del ingls.

Buscar en Internet la palabra googol.

JUGANDO CON LAS MATEMT ICAS

19 025 aos, 10 meses y 19 das.

Nota s :

1esomaes lp esu03

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