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7/25/2019 1esomaes Lp Esu12

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Figuras planas

I N TRODUCC IN

PROGRAMACINDIDCTICA 12

OBJET IVOS

Identificar las figuras planas que se presentan en la realidad analizando sus caracters-ticas.

CR I TER IOS DE EVALUAC INReconocer, dibujar y describir las figuras planas en ejercicios y en su entorno inmediatodistinguiendo sus elementos caractersticos.

Utilizar la suma de los ngulos interiores de un tringulo para obtener la suma de losngulos interiores de un polgono cualquiera.

Identificar y construir polgonos iguales en general y tringulos iguales en particular,usando los criterios de igualdad de forma adecuada.

Trazar y obtener las rectas y los puntos notables de un tringulo cualquiera y utilizarlospara resolver problemas geomtricos sencillos.

Los elementos bsicos de la geometra estudiados en la unidad anterior permiten construiry estudiar figuras planas.En esta nueva unidad se van a afianzar los conocimientos adquiridos en la etapa anteriory se van a ampliar con un estudio general de los polgonos y en particular del tringulo.Este se va a constituir en la figura plana ms sencilla que permite simplificar el estudiode las dems, dado que cualquier polgono se puede descomponer en tringulos contiguosy consecutivos cuyos vrtices coincidan con los del polgono. Es importante que los alumnos sean capaces de descomponer cualquier polgono en

tringulos de la forma antes indicada. Deben comprender y aprender que la suma de

los ngulos interiores de un tringulo es 180 puesto que es la base para el estudio dela suma de los ngulos interiores de cualquier otro polgono.

Asimismo deben adquirir el concepto de igualdad de polgonos y manejar los criteriosde igualdad de tringulos para identificar de forma rpida si dos tringulos son igualeso para construir un tringulo igual a otro.

Y por ltimo, estudiarn las rectas notables del tringulo: mediatrices, bisectrices, alturasy medianas, y sus puntos de corte, Y utilizarn sus propiedades para construircircunferencias inscritas y circunscritas.

La programacin didcticase encuentra en el CDde Programacin

Reconocer el tringulo como el polgono ms sencillo a partir del cual se pueden obte-ner relaciones geomtricas en las dems figuras planas.

Distinguir las rectas y puntos notables de un tringulo y usar sus propiedades para re-solver problemas geomtricos.


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INTRODUCCIN

En esta nueva unidad de geometra plana se van a afianzar losconocimientos adquiridos en la etapa anterior y se van a ampliar con

un estudio general de los polgonos y en particular del tringulo.Se empieza recordando qu son los polgonos y cules son los elementosde los polgonos regulares. Y se hace una clasificacin de los tringulosy los cuadrilteros.A partir de la suma de los ngulos de un tringulo y de ladescomposicin de cualquier polgono en tringulos, se calcula la sumade sus ngulos interiores.Despus se establece la relacin de igualdad entre polgonos y se aplicade forma particular a los tringulos simplificando su estudio con la

utilizacin de los tres criterios de igualdad.Se completa el estudio del tringulo con la definicin y el trazado desus rectas notables: mediatrices, bisectrices, alturas y medianas, y conla obtencin de los puntos notables y el estudio de sus propiedades.

CONSTRUCCINDE POLGONOS

REGULARES

TRINGULOS

CRITERIOSDE IGUALDAD

DE TRINGULOS

RECTASNOTABLES

SIMETRASEN LAS FIGURAS

PLANAS

SUMA DENGULOS

FIGURASPLANAS

POLGONOS


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CONTENIDOS DEL EP GRAFE

Polgonos y sus elementos.Polgonos regulares.Elementos caractersticos de un polgono regular.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS

Los polgonos y sus elementos son conocidos por los alumnos. Se trata deun repaso que les permita recordar y de ponerlos en contacto con elposterior estudio de determinadas figuras planas; en esta unidad, con eltringulo.

Es conveniente, sin embargo, insistir en los elementos de los polgonosregulares, sobre todo en la apotema, porque aparece en el clculo de reasy en la obtencin de la medida del lado de polgonos regulares.

SOLUC IONES DE LAS ACT IV IDADES

1.

0 diagonales 2 diagonales 5 diagonales

2. a) Imposible, porque tiene ngulos agudos y tambin obtusos, y, por tanto,no pueden ser iguales.

b)

ATENCIN A LA D IVERS IDAD

Bsico Libro del alumno: actividades 1, 2, 37, 44, 45, 47, 48 y 77. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Geometra. Cuaderno de Matemticas bsicas.

Nota s :


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Construccin de polgonos regulares conocido el radio de la circunfe-rencia circunscrita.Construccin de polgonos regulares conocido el lado del polgono.


Una vez conocidos los polgonos regulares y sus caractersticas, resultainteresante para los alumnos el poder construir ellos mismos dichospolgonos.

Hay que resaltar la importancia en el manejo del comps en la construccinde la mediatriz, as como trasladar una misma medida con el comps.

Recordar que para dividir un segmento en partes iguales hay que utilizarel mtodo de Tales. Para ello es importante que los alumnos trabajen con

escuadra y cartabn para trazar paralelas.

Nota s :


6/24

267


Bsico

Libro del alumno: actividades 3, 4, 5, 50 y 51.

Ampliacin

Libro el alumno: actividades 6 y 52.


3.

El lado mide 4,7 cm.4. No.5.

6. a) 4,58 cmb) Uniendo vrtices no contiguos dejando uno entre ellos.

l 6,48 cm

Nota s :

72o


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268


Clasificacin de los tringulos.Clasificacin de los cuadrilteros.


Los alumnos ya conocen los distintos tipos de tringulos y cuadrilteros,pero se suelen olvidar el nombre, y por ello conviene repasarloscomentando sus caractersticas.

Una forma de afianzar sus conocimientos es hacer preguntas acerca delas diferencias y de lo que tienen en comn los distintos cuadrilteros.

Como tienden a pensar que el rombo es un cuadrado girado, convienecolocar las figuras en distintas posiciones e insistir en la utilizacin deinstrumentos de medida para comprobar si los lados son iguales o si los

ngulos son rectos.

ATENC IN A LA D IVERS IDAD

Bsico

Libro del alumno: actividades 7, 8, 9, 38, 42, 46, 49 y 78. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Geometra. Cuaderno de Matemticas bsicas: actividades de la 41 a la 45 y de la 47

a la 49. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 3.

Ampliacin

Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividades 1 y 2.


7.

8. a) Son paralelogramos.b) El rectngulo tiene los cuatro ngulos iguales, y el romboide los tiene

iguales dos a dos.9. a) Tringulo escaleno acutngulo.

b) Cuadriltero, paralelogramo, romboide.

3 cm

3 cm


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269


10. No, porque la suma de los ngulos no es 180.11. 6012. a) 900

b) 128 34c) Podran valer lo mismo.


Bsico

Libro del alumno: actividades 10, 11, 12, 39, 41, 43, 54, 55, 56, 57 y 79.

Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO"Geometra.

Cuaderno de Matemticas Bsicas. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 4.

Ampliacin

Libro del alumno: actividades 52, 53 y 87. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividades 3 y 5.


Descomposicin de un polgono en tringulos.Suma de los ngulos de un tringulo y de un polgono.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS Aunque el contenido de este epgrafe es sencillo, resulta ms fcil an si

se aprende por experimentacin. Por ello es interesante que los alumnosrealicen el proceso que se describe para comprobar que los ngulos de untringulo suman 180.

Conviene que los alumnos se acostumbren a descomponer los polgonos entringulos, porque es un mtodo muy sencillo y til en la resolucin deproblemas matemticos. Resulta muy prctico, y por ello se utiliza en otrasciencias: topografa, geodesia

En lugar de darles la frmula directamente, se puede proponer como

actividad que descompongan en tringulos un cuadriltero, un pentgono,un hexgono Junto a cada figura deben escribir el nmero de tringulosque contiene y la suma de los ngulos de todos ellos. De esta forma sepuede llegar a generalizarla para un polgono de n lados.

Nota s :


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270


Igualdad de polgonos.


Es importante que entiendan el criterio de igualdad de polgonos. Paraello hay que trabajar con dibujos del mismo polgono no solo en diferentestamaos, sino tambin en distintas posiciones, para que comprendan queson iguales no por el hecho de tener la misma forma, sino por la medidade sus lados y sus ngulos.

Tambin es conveniente, especialmente en las primeras actividades, queutilicen los instrumentos de medida para comprobarlo.

Nota s :

ATENC IN A LA D IVERS IDADBsico

Libro del alumno: actividades 13, 14, 15, 16, 60 y 80.

Ampliacin

Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 6.


13. S, porque son iguales sus lados y sus ngulos.14. S, porque son iguales sus lados y sus ngulos.15. No, sus ngulos pueden ser diferentes.16. S, porque sus lados son iguales y, al ser regular, sus ngulos tambin

son iguales.


10/24

271


17. Los ejes de simetra son ay d.18.

Mide 60.19.

Miden 30.


Bsico

Libro del alumno: actividades 17, 18, 63 y 64.

Ampliacin

Libro del alumno: actividades 19 y 65.


Simetras en las figuras planas.Eje de simetra.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS Intentar que los alumnos puedan ver en objetos cotidianos los ejes de

simetra que los dividen en dos partes iguales. Proponer figuras ms complejas en las que aparezcan varios ejes de simetra.

Estas figuras suelen aparecer en logotipos de algunas marcas.

Nota s :


11/24

272


Criterios 1 y 2 de igualdad de tringulos.Criterio 3 de igualdad de tringulos.


Intentar que los alumnos deduzcan por s mismos los criteriosproponindoles la construccin de un tringulo conocidos sus lados. Unavez hecho, pedirles que midan los ngulos, y as comprobarn que todoslos tringulos obtenidos son iguales.

De la misma forma, se les pedir que construyan un tringulo conociendodos lados y el ngulo que forman. Despus medirn el tercer lado y losotros dos ngulos y comprobarn que son iguales.

Como en los otros criterios, se pedir a los alumnos que dibujen un

tringulo conociendo un lado y los ngulos contiguos. Luego medirn losotros dos lados y el ngulo que forman, y comprobarn que son iguales.

Nota s :


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273


20. a) b) c)

21.

Los tringulos son iguales porque lo son sus lados.22. No, porque la suma de los lados ms pequeos debe ser mayor que el

ms grande.


Bsico

Libro del alumno: actividades 20, 21, 22, 61 y 81. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Geometra.

Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 2.Ampliacin

Libro del alumno: actividad 62. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Geometra. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 4.

63o

7 cm

45o

3 cm

4 cm

5 cm

6 cm

108o

35mm

=3,50

cm

7,20 cm = 72 mm

5cm=0,5dm

Nota s :

274


13/24

274


Mediatrices de un tringulo.Circuncentro. Propiedad.


En la unidad anterior se estudi el concepto de mediatriz y su trazado.Por tanto, es suficiente recordar su definicin y la propiedad de que todossus puntos estn a la misma distancia de los extremos del segmento. Demodo que ellos solos pueden trazar las tres mediatrices de los lados deltringulo y observar que se cortan en un punto.

Intentar, mediante preguntas, que deduzcan que el circuncentro seencuentra a la misma distancia de los tres vrtices del tringulo, y pedirlesque adivinen la figura que se podra trazar teniendo en cuenta esa

propiedad.


Bsico

Libro del alumno: actividades 23, 24, 25 y 82. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Geometra.

Ampliacin

Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividades 7 y 8.


23. 24.

Se cortan en el circuncentro.

25. a) b)

8cm 8cm

C

80o

C

5 cm

12 cm

7 cm

C65o 40o

7 cm

C65o 40o

275


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275


Bisectrices de un tringulo.Incentro. Propiedad.

SOLUC IONES DE LAS ACT IV IDADES26.

27. a) b) El radio tiene la longitud delsegmento IP.

28. a)

b)


Bsico

Libro del alumno: actividades 26, 27 y 28. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Geometra.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS Como ya conocen el concepto y trazado de la bisectriz de un ngulo, se

puede comenzar pidindoles que dibujen las bisectrices de los tres ngulosdel tringulo. As comprobarn por s mismos que se cortan en un punto.

Recordando la propiedad de la bisectriz de que todos sus puntos estn ala misma distancia de los lados del ngulo, podemos hacer preguntas queles lleven a la conclusin de que el incentro est a la misma distancia delos tres lados del tringulo y que es posible dibujar una circunferencia concentro en l y radio la distancia a un lado cualquiera del tringulo.

4 cm

3 cm

6 cm

P

45o80o

I

7 cm120o

I

7 cm

7 cm120o

I

7 cm

276


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276


Alturas de un tringulo.Ortocentro.


Hay que definir la altura porque es un nuevo concepto. Despus se lespuede pedir que tracen las alturas de tringulos acutngulos, rectngulosy obtusngulos de distintos tamaos y en posiciones diferentes.

La dificultad al dibujar las alturas es que los alumnos tienden a pensarque deben ir al centro de cada lado (por similitud a las mediatrices). Paraque ganen confianza en su trazado, conviene empezar por los tringulosacutngulos, continuar con los rectngulos y finalizar con los obtusngulos.

Adems hay que ayudarles a construirlas cuando se trata de estos ltimos,

puesto que alguna de las alturas no queda dentro del tringulo. Desde el primer ejercicio comprobarn por s mismos que, como en losdems casos, las alturas se cortan en un punto, aunque este no cumpleninguna propiedad.


Bsico Libro del alumno: actividades 29, 30 y 31.

Cuaderno n.o

5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o

ESOGeometra.


29. 30.

El ortocentro coincide conel vrtice donde est elngulo recto.

31. a) b) El ortocentro es exterior altringulo.

6 cm

70o

6 cm5 cm

5 cmO

8 cm

5 cm

O

4 cm

277


16/24

277


Bsico

Libro del alumno: actividades 32, 33, 34, 40 y 82. Cuaderno n.o 5 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1. o ESO

Geometra. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 1.

Ampliacin

Libro del alumno: actividad 83.


32. a) b)

33.

No es necesario trazar las tres alturas.34. Los tringulos T1 y T2 son iguales por tener un

lado igual, la mediana, y sus ngulos contiguosiguales.


Medianas de un tringulo.Baricentro.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS Tambin es nuevo el concepto y trazado de las medianas. Pero una vez

definida, no presenta ninguna dificultad, y ellos solos pueden dibujar las tresmedianas de un tringulo cualquiera, comprobando una vez ms que secortan en un punto.

Se les puede hacer notar con las distintas actividades que el baricentrosiempre queda dentro del tringulo.

A

BC

E

F

G

6 cmG

8 cm

10 cm

B

CA

T1 T2

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ESTRATEG IAS Y TCN ICAS

El mtodo inductivo, pasando de lo particular a lo general, es muy utilizadoen matemticas, y conviene no solo que lo aprendan, sino tambin quevaloren la ventaja de poder simplificar el problema empezando por loscasos ms sencillos para encontrar despus una solucin general.

Hay que hacerles comprender que la conclusin obtenida para cada casoparticular no es la solucin del problema, sino una forma de llegar a ella. La dificultad de este mtodo es precisamente conseguir encontrar esa

relacin que permite generalizar los resultados de los casos particulares.Por ello conviene realizar una actividad guiada proponindoles en cadamomento que busquen una frmula comn que permita obtener la solucinen todos y cada uno de los casos estudiados. Si de ese modo no loconsiguen, se les puede tambin orientar en ella descomponiendo losresultados particulares en las operaciones que permiten obtener la frmulageneral.

SOLUC IONES DE LAS ACT IV IDADES PROPUESTAS

35.180

n

(n 2)

36. 36

n

0

Nota s :

279


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ORGANIZA TUS IDEAS

Es conveniente acostumbrar a los alumnos a elaborar sus propios esquemasde la unidad. Como no resulta fcil, se pueden dar unas orientaciones aseguir:1. Anotar los epgrafes de la unidad.2. Dividirlos en dos grupos: polgonos y tringulos.3. Seleccionar en los epgrafes de polgonos lo ms importante y escribirloen forma abreviada ayudndose de un dibujo si lo consideran necesario.4. Hacer lo mismo con los epgrafes referidos a los tringulos.5. Presentar todo lo anterior en una sola hoja.Una vez realizados, es importante revisarlos uno a uno, indicando las mejorasque se pueden hacer, bien porque haya que aadir algn detalle olvidado obien porque hayan seleccionado conceptos que no son tan importantes.

Nota s :

280


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CLCULO MENTAL

37. a) Pentgono convexo irregular.b) Octgono convexo regular.c) Cuadriltero (trapezoide).

38. Los cuadrados y los rombos tienen los lados iguales.Los cuadrados y los rectngulos tienen los ngulos iguales.

39. Los ngulos agudos correspondientes son iguales.40. res la altura sobre el lado BC.

ses la mediana sobre el lado AC.t es la mediatriz del lado AB.

41. 6042. a) Verdadero. b) Falso. c) Verdadero. d) Falso.43. a) A 35 b) A 50 c) A 35 d) A 20

EJERCICIOS PARA ENTRENARSEPolgonos

44. a) Pentgono irregular cncavo. c) Octgono irregular cncavo.b) Heptgono regular convexo. d) Hexgono irregular convexo.

45. 846. S son iguales, puesto que sus lados y sus ngulos lo son.47. En total tiene 14 diagonales.48. a) Rectngulo. c) Rombo.

b) Tringulo rectngulo issceles. d) Escaleno.

49. Es falso porque tambin cumple esa condicin el trapezoide que tieneforma de cometa.

Nota s :

281


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Construccin de polgonos regulares

50. 51. 52.

Suma de los ngulos de un polgono

53. a) A 68 b) A 3554. 15055. a) 360 b) 1800 c) 1080 d) 126056. a) En 8 tringulos. b) 144057. Como suman 90, son complementarios.58. Es equiltero.59. Es un tringulo rectngulo.

Igualdad de polgonos

60. S, porque tienen los lados y los ngulos iguales.61. F 43. Son iguales.62. No necesariamente.63. No.

S las rectas que unen los puntos medios de los lados opuestos.

64. a) b)

No tiene ejes de simetra.

65.

Rectas y puntos en un tringulo

66.

Que todos los puntos coinciden.

67. a) b)

68. D 58 E 90 58 32 C 58

8 cm

O

CA

B

8 cm

8 cm

4 cm

7 cm

C

6 cm 4 cm

7 cm

I

6 cm

282


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PROBLEMAS PARA APLICAR

69. S, segn el criterio 3 de igualdad de tringulos.70. a) No si tienen los lados distintos.

b) S, segn el criterio 2 de igualdad de tringulos.

71. Son ms pequeos si los hace de 10 mm de lado.72. El circuncentro es el punto que se halla a la misma distancia de los

vrtices de un tringulo.73. a) Tringulo.

b) Cuadriltero.c) Hexgono.

74. Dividiendo el tringulo por la mediana de uno de los lados.75. Las cuatro seales son cuadrados.

Cada eje divide a la figura en dos partes iguales.76. a) En cualquier punto de cualquier bisectriz.

b)

Nota s :

P

B

C

A N

M

283


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REFUERZO

Polgonos

77. a) Hexgono irregular cncavo. b) Pentgono regular convexo.

78.

79. a) A 57 y B 123 b) A 79

Igualdad de polgonos

80. S son iguales porque lo son sus lados y sus ngulos.81. D 42

Rectas y puntos en un tringulo

82. a), b), c) y d)

e) Todas las rectas coinciden.

AMPLIACIN

83. a)

b)

c) y d)

Las medianas coinciden.84. Un ngulo es de 45, y otros dos, de 90. El cuarto mide 135.85. X 150

S NO

NO NO

S S

Los 4 lados son iguales

Los 4 ngulos son iguales

Es un paralelogramo

Rombo Romboide

100o8 cm8 cm

C

A

B

M

P

N

C

A

B

M

P

N

G

C

A

B

M

P

N

T

S

R

284


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PARA INTERPRETAR Y RESOLVER

86. a) No verifica la condicin 4.a

b) No verifica la condicin 1.a, 4.a y 5.a

c) Verifica todas las condiciones.

d) No verifica la condicin 2.a

87.

SOLUC IONES DE LA AUTOEVALUAC IN

1. a) Cuadriltero convexo.b) Hexgono cncavo.c) Tringulo convexo.

2.

Se obtiene un tringulo escaleno.3. a) 9 tringulos. b) 16204.

5. 726. a) b)

7. a) A 69 y B 111 b) A 270

Ortocentro

C

Baricentro

Circuncentro

B

A

4 cm

65o

5 cm

4 cm

110o

7 cm

O

5 cm

10 cm

I

8 cm

5 cm

10 cm

I

8 cm

285


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MURAL DE MATEMT ICAS

Es muy importante que los alumnos conozcan curiosidades de la vida cotidianarelacionadas con la matemtica, puesto que a veces parece tan escondida quetienen la sensacin de que es muy abstracta y poco til.Las abejas alucinan puede ayudar a introducir comentarios interesantessobre la educacin ambiental y la alimentacin.

Tambin es importante que trabajen la matemtica a travs de los juegos, deforma ldica. As se sienten motivados para realizar ejercicios que de otraforma ni siquiera intentaran resolver.El juego propuesto en esta pgina, tringulos mgicos, se puede realizar enparejas o en pequeos grupos, de modo que crea un clima en el que sefomenta la educacin para la cooperacin, la educacin cvica y moral y laigualdad de gnero.Entre los juegos que tienen relacin con la unidad estudiada, el ms conocidoes el tangram, un rompecabezas compuesto de 7 figuras planas (o ms) conlas que se puede estudiar la igualdad de tringulos y de cuadrilteros o la

suma de sus ngulos.Entre las muchas opciones que ofrece Internet, hay una pgina muyinteresante para el estudio del tringulo desde la suma de sus ngulos hastasus rectas y puntos notables de forma interactiva:http://www.pntic.mec.es/eos/MaterialesEducativos/mem2002/geometria_triangulo/contenido.htmOtra pgina muy curiosa que contiene elementos ldicos de geometra es:http://descartes.cnice.mec.es/geometrie/index.htmEn ella hay magia, ingenios, paradojas, historia Es muy entretenida ydespierta curiosidad e inters.Otra opcin interesante para trabajar las matemticas con ayuda del ordenadores utilizando programas especficos de geometra. En este caso, el Cabri-Gomtre II es una buena opcin, puesto que los dibujos de las figuras sehacen de forma exacta y permite la construccin de puntos medios,mediatrices, bisectrices as como la medida de ngulos, longitudes,permetros y no es necesario tener conocimientos geomtricos para utilizarlocorrectamente.

JUGANDO CON LAS MATEMT ICAS

2

CA

D E

1

1

D E D

BA

F

1

2

Nota s :

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