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Longitudes y reas

I N TRODUCC IN

PROGRAMACINDIDCTICA 13

OBJET IVOS

Emplear el teorema de Pitgoras y las frmulas adecuadas para obtener distancias, per-metros o reas de figuras planas.

CR I TER IOS DE EVALUAC IN

Calcular de la forma ms sencilla y rpida el permetro de las figuras planas.

Estimar y calcular medidas indirectas utilizando el teorema de Pitgoras.

Utilizar las frmulas y procedimientos adecuados para el clculo directo del rea de lasfiguras planas ms elementales.

Reconocer, dibujar y describir las figuras planas como resultado de la composicin de otrasms sencillas.

Aplicar las frmulas del clculo de distancias, permetros y reas de figuras planas ele-mentales para resolver problemas relacionados con el entorno.

Para finalizar con la geometra plana y una vez conocidos todos los elementos y figurasdel plano, se estudian los conceptos de longitud y superficie, y se aprenden mtodos yfrmulas para calcularlos. Es muy importante identificar los conceptos de permetro y rea con la medida del

borde y del interior de la figura, respectivamente, y usar de forma adecuada sus unidadesde medida.

Se debe conseguir que los alumnos utilicen correctamente el teorema de Pitgoras paracalcular la hipotenusa o algn cateto de cualquier tringulo rectngulo, y reconocersituaciones que requieran de su uso para calcular distancias, as como resolverlas. Porello es importante que dominen los contenidos referidos a resolucin de ecuaciones.

Tambin es importante establecer la utilidad de las frmulas para calcular el rea delas figuras planas sencillas, puesto que agilizan dicho clculo y permiten hallar el reade otras figuras ms complejas que se obtienen mediante composicin o descomposicinde aquellas.

La programacin didcticase encuentra en el CDde Programacin

Resolver problemas geomtricos relacionados con la vida cotidiana en los que interven-gan longitudes, permetros y reas, utilizando los procedimientos y estrategias adecua-dos. Asimismo, aplicar los conocimientos geomtricos para comprender y analizar el mun-do fsico que nos rodea.

41035_Programacio?n v7:41035_Programacio n 20/4/10 08:44 Pgina 286

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COMPETENC IAS BS ICAS Saber medir el permetro de figuras planas directamente y utilizando el teorema de Pi-

tgoras. (C2, C7) Medir el rea de diferentes figuras geomtricas simples y la descomposicin de figu-

ras geomtricas complejas en otras ms sencillas para medir su rea. (C2, C3, C5, C8)

Concep t o s Reconocimiento y valoracin de la geometra para co-

nocer y resolver diferentes situaciones relativas al en-torno fsico.

Perseverancia en la resolucin de problemas geom-tricos.

Gusto por la realizacin y presentacin cuidadosa y or-denada de trabajos geomtricos.

Sensibilidad ante las cualidades estticas de la geome-tra, reconociendo su presencia en la naturaleza, en elarte y en la tcnica.

Curiosidad por investigar sobre formas y relaciones geomtricas.

P r o c ed im i en t o s Ac t i t ud e sCONTEN IDOS

Clculo del permetro de los polgonos. Teorema de Pitgoras.

Clculo de distancias usando el teorema de Pitgoras.

Concepto de rea.

Clculo del rea de las figuras planas: rectngulo, cuadrado, pa-ralelogramo, tringulo, trapecio, polgonos regulares e irregulares,crculo y figuras circulares.

Medida del rea de otras figuras mediante composicin y des-composicin de las anteriores.

Utilizacin del Teorema de Pitgoras para calcular me-didas indirectas.

Aplicacin de las frmulas adecuadas para calcular elpermetro y el rea de figuras planas.

Obtencin del rea de figuras planas por composicin odescomposicin de otras ms sencillas.

Identificacin de problemas geomtricos con figuras pla-nas diferenciando elementos conocidos y a conocer.

Descripcin verbal de los problemas y de su resolucin,confrontndolos con otros posibles.

Utilizacin de la terminologa y notacin adecuadas paradescribir con precisin configuraciones geomtricas planas.

ATENC IN A LA D IVERS IDAD SUGERENC IAS Y MATER IALES D IDCT ICOS En el cuaderno de atencin a la diversidad puedes encontrar actividades de refuerzo

(pg. 28 y 29) y actividades de ampliacin (pg. 58 y 59) relativas a estos contenidos. Tambin existen ms actividades clasificadas por grados de dificultad en el CD Banco

de actividades.

Como en cualquier tema de geometra plana, la utilizacin del ordenador permite visualizarlas figuras a veces con ms precisin que los dibujos y realizar medidas exactas. Esto haceinteresante la utilizacin de programas como el Cabri-Geomtre, que permite calcularpermetros de figuras planas. Otro programa similar es Geometricks.Tambin son muy interesantes las pginas del proyecto Descartes dedicadas al clculo depermetros y reas de cuadrilteros que se encuentran a nuestra disposicin enhttp://descartes.cnice.mec.es/1y2_eso/Adems se puede motivar a los alumnos mediante actividades que se pueden realizar fueradel aula. El centro y su entorno contienen gran cantidad de figuras geomtricas planasy se puede dar un paseo invitando a los alumnos a buscarlas y a tomar las medidasnecesarias para que despus puedan calcular sus permetros y reas.

MS RECURSOS

PROGRAMACINDIDCTICA


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INTRODUCCIN

El estudio de la geometra plana se completa en este nivel con el clculodel permetro de los polgonos y del rea de todas las figuras planas.Comienza la unidad con el significado y definicin de permetro de unpolgono y las unidades de medida con que se expresa. Y contina conel clculo de longitudes, introduciendo el teorema de Pitgoras como unmtodo para obtener medidas indirectas. En concreto se aplica al clculode la distancia entre dos puntos que junto con otro forman un tringulorectngulo.Finalizadas las medidas de longitud se define el concepto de rea,determinando el metro cuadrado como unidad de medida de superficie.Seguidamente, mediante ejemplos sencillos, se muestran las frmulas quepermiten calcular el rea de los polgonos, agrupados en ocasiones porla relacin entre sus reas: rectngulo y cuadrado, paralelogramo ytringulo, trapecio, polgonos regulares e irregulares, crculo y figurascirculares.Termina con el clculo del rea de figuras planas que se obtienen porcomposicin o descomposicin de las anteriores.

PERMETRO DEFIGURAS PLANAS

TEOREMADE PITGORAS

REA DE UNASUPERFICIE

REA DE POLGONOS

REA DEL CRCULO Y DEFIGURAS CIRCULARES

CLCULO DE REASPOR COMPOSICINY DESCOMPOSICIN

LONGITUDESY REAS


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CONTEN IDOS DEL EP GRAFE

Permetro de figuras planas.Unidades de medida del permetro.

SUGERENC IAS D IDCT ICAS

Conviene que los alumnos obtengan el permetro de algunos objetosmediante medida directa para que comprendan el significado de la palabrapermetro.

Tambin es interesante que se les propongan actividades con polgonosregulares e irregulares. Ellos encontrarn la forma de simplificar el clculodel permetro utilizando la multiplicacin en lugar de la suma en el casode las figuras regulares.

No est de ms recordarles la longitud de la circunferencia, puesto que setrata de medir el borde de una figura plana, y a lo largo del tema medirnel borde y el interior en todos los polgonos.

SOLUC IONES DE LAS ACT IV IDADES

1. a) 13 cmb) 9 cm

2. a) 24 cmb) 21 cmc) 20 cm

ATENC IN A LA D IVERS IDAD

Bsico Libro del alumno: actividades 1, 2 y 57. Cuaderno de Matemticas bsicas. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida.

Ampliacin Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida.

Nota s :


290


Medidas indirectas.Teorema de Pitgoras.


Es interesante que los alumnos realicen la comprobacin grfica delteorema de Pitgoras, dibujando y midiendo, recortando o con el ordenador,utilizando alguna de las pginas que hay en Internet. Es ms fcil recordarlas frmulas si se hace alguna prctica que contribuya a su comprensin.

Por otro lado, se deben realizar muchos ejercicios para utilizar la frmulacorrectamente:En el clculo de la hipotenusa no suelen tener dificultades, solo algnproblema al despejarla de la igualdad final y en particular cuando no tomaun valor entero; por ejemplo: a2 30.En el caso en que se utilice para calcular la medida de un cateto, seplantean problemas al despejar. Es importante hacerles razonar lasrelaciones de la frmula: si aparece, por ejemplo, c2 16 25, explicarlesque hay que encontrar un valor para c 2 que sumado a 16 d 25, y queellos deduzcan cmo se obtiene.

Nota s :


Bsico Libro del alumno: actividades 3, 4, 31 a 33, 38, 39 y 68. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividades 2 y 3.

Ampliacin Libro del alumno: actividad 79.


3. a) 5 cmb) 10 cm

4. 5 cm5. No.


291


Bsico Libro del alumno: actividades 6, 41, 42, 58, 59, 69 y 70. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida.

Ampliacin Libro del alumno: actividades 75, 76 y 79. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 1.


6. a) 5,10 cmb) 8,49 cm

7. a) 8,66 cmb) 2,24 cm

Nota s :


Clculo de distancias utilizando el teorema de Pitgoras.


Se debe insistir en que los alumnos realicen dibujos que representen lassituaciones planteadas en los problemas, que busquen en ellos tringulosrectngulos y que anoten los datos y lo que deben calcular.

Proponer actividades variadas con un grado de dificultad cada vez mayor.As se animarn a enfrentarse a los problemas y a aprender el mecanismode resolucin.


292


rea de una superficie.Unidad de medida del rea.


Se pueden utilizar geoplanos o polimins para que comprendan no soloel significado del rea, sino tambin la importancia de la unidad de medidautilizada: no es lo mismo tomar como unidad un cuadrito o uno de lostringulos rectngulos en que se puede dividir. As comprobarn que lasuperficie es la misma, pero la medida vara dependiendo de la unidadelegida.

Con esos mismos materiales se puede estudiar cmo figuras que encierransuperficies distintas tienen la misma rea o cmo figuras de igual permetroencierran superficies diferentes.


Bsico Libro del alumno: actividades 8 a 10. Cuaderno de Matemticas bsicas. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 1.


8. a) 13 unidades.b) 12 unidades.

9. a) 26 unidades.b) 24 unidades.

10. S, 5 unidades.

Nota s :


293


11. a) 16 cm2

b) 24 cm2

12. 64 cm2


Bsico Libro del alumno: actividades 11, 12, 34, 35, 46 a, 47 a 62 y 63. Cuaderno de Matemticas bsicas. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida.

Ampliacin Libro del alumno: actividad 67. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 4 a.


rea del rectngulo.rea del cuadrado.


En lugar de darles la frmula para calcular el rea del rectngulo, se lespueden proponer ejercicios en los que tengan que hallar el rea derectngulos de distintas medidas contando cuadritos como en el epgrafeanterior. A partir de los resultados, ellos deducirn una forma rpida paraobtener esa rea y aportarn los datos necesarios para introducir la frmulageneral.

La frmula del rea del cuadrado se puede obtener de la misma forma ocomo se indica en el epgrafe, teniendo en cuenta que es un rectngulo contodos los lados iguales.

Nota s :


294


rea del paralelogramo.rea del tringulo.


Siempre es interesante intentar que los alumnos deduzcan las frmulasmediante mtodos sencillos. En este caso se puede utilizar el ejemplo delepgrafe pidindoles que dibujen el paralelogramo y recorten el tringulorectngulo de la izquierda para que al colocarlo a la derecha compruebenque se forma un rectngulo de igual base y altura que el paralelogramoinicial.

Otra opcin es que el profesor prepare la actividad y, mediantetransparencias, realice l mismo ese proceso.

De igual forma (realizado por los alumnos o con las transparencias) sepuede actuar con el tringulo demostrando que su rea es la mitad de ladel paralelogramo.

Nota s :


Bsico Libro del alumno: actividades 13 a 15, 36, 46 b, 47 b, 48 y 71. Cuaderno de Matemticas bsicas. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida.

Ampliacin Libro del alumno: actividades 50, 67 y 80. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 2 a.


13. 15 cm2

14.

A 10,50 cm2

15. 60 000 cm27 cm

3 cm


295


16. a) 100 cm2

b) 30 cm2

17. 15,48 cm2


Bsico Libro del alumno: actividades 16, 17, 48 b y 72 a. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida.

Ampliacin Libro del alumno: actividad 51. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 4 b.


rea del trapecio.


De nuevo se puede recortar y pegar para obtener una figura de reaconocida. En este caso, siguiendo las instrucciones del epgrafe y colocandode forma consecutiva e invertida un trapecio, se obtiene un paralelogramoque tiene la misma altura que el trapecio y cuya base es la suma de lasdos bases del trapecio.

Es ms interesante si la actividad la realizan los alumnos, pero tambin esun buen recurso la utilizacin de transparencias, puesto que el proceso esseguido por todos de una forma ms constructiva que si se observa eldibujo del libro o en la pizarra.

Nota s :


296


rea de los polgonos regulares.rea de los polgonos irregulares.


Es conveniente e interesante que los alumnos observen que las frmulassurgen por un proceso de construccin de figuras de rea conocida.

En los polgonos irregulares, puesto que ya han trabajado con sudescomposicin en tringulos en la unidad anterior, no resulta difcil quededuzcan mediante preguntas orientadas que su rea se obtiene sumandolas reas de esos tringulos. Lo que puede resultar complicado es suaplicacin a los ejercicios al hallar la base o la altura de cada uno deellos.

En los polgonos regulares, por el contrario, lo difcil es comprender cmose obtiene la frmula, puesto que una vez conocida, la resolucin deproblemas no es tan laboriosa.Para ello resulta cmodo trabajar con el hexgono regular como se muestraen el epgrafe con papel y tijeras y elaborar unas preguntas con el fin deque los alumnos obtengan la frmula por s mismos.

Nota s :


297


18. 25,94 cm2

19. 225 cm2

20. 60 cm2


Bsico Libro del alumno: actividades 19, 49, 60 y 72 b. Cuaderno de Matemticas bsicas. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Refuerzo): actividad 3.Ampliacin

Libro del alumno: actividad 75.

Nota s :


298


rea del crculo.


Los alumnos suelen confundir el rea del crculo con la longitud de lacircunferencia.Para que las asocien de forma correcta, adems de insistir en la diferenciaentre ellas, es prctico que observen las unidades que resultan en cadacaso: 2r dar unidades de longitud (r en cm, por ejemplo) y r2 darunidades de superficie (ya que se obtendrn, por ejemplo, cm2).


Bsico Libro del alumno: actividades 21, 53 y 73. Cuaderno de Matemticas bsicas. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida.

Ampliacin Libro del alumno: actividades 77 y 80 b. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividad 2 b.


21. 314,16 m2

22. 12,56 cm2

23. 11,38 cm2

Nota s :


299


rea de la corona circular.rea del sector circular.Segmento circular.


24. 3,52 cm2

25. 4,19 dm2

26. 2,57 cm2


Bsico Libro del alumno: actividades 24, 25, 54, 55 y 73 b. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida.

Ampliacin Libro del alumno: actividades 26, 66 y 81. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividades 5, 6 y 8.


No es difcil conseguir que los alumnos entiendan la forma de hallar estasreas.

Para obtener la de la corona circular pueden calcular y colorear el rea delcrculo mayor. Despus, sealar con otro color o con rayas o puntos la zonaque hay que quitarle para que solo quede la corona. Observarn que es elrea del crculo ms pequeo y entonces se escribe la frmula.

Para el sector circular se puede trabajar mediante una regla de tres opidiendo que dividan el crculo entre 360 para as obtener el rea delsector circular que corresponde a un ngulo central de 1. Y despusgeneralizar para n grados.

Nota s :


300


reas de figuras obtenidas por composicin y descomposicin de otrasde rea conocida.


En este tipo de actividades, la descomposicin de una figura en otras mssencillas no es nica. Por eso es interesante dejar que cada alumno pienseen la forma de conseguirla y comparar los resultados que se obtienen condistintas descomposiciones.

Otra opcin es proponer nosotros como ejercicio que la misma figura sedescomponga al menos de dos formas distintas para despus comprobarque el rea obtenida es la misma en todos los casos.

Nota s :


301


Bsico Libro del alumno: actividades 27, 56 a y d, y 74. Cuaderno n.o 6 de la Coleccin de cuadernos de Matemticas 1.o ESO

Medida.

Ampliacin Libro del alumno: actividad 78. Cuaderno de Atencin a la diversidad (Ampliacin): actividades 7 y 9.


27. 24,26 cm2

28. 21,5 m2

Nota s :


302

ESTRATEG IAS Y TCN ICAS

La estimacin es una de las estrategias que pocas veces se trabajan conlos alumnos y que es muy importante para decidir si la solucin que seobtiene de forma exacta puede ser correcta.

Se puede utilizar el problema resuelto en esta pgina para comprobar queel resultado es el mismo si la estimacin se hace restando al total decuadrados de la cuadrcula los que no estn del pentgono y tambin esconveniente intentar resolver el ejercicio de forma exacta y observar el errorcometido.

La conclusin a la que se debe llegar es que en ocasiones el clculo exactoes muy complicado y que, dependiendo del problema, a veces un valoraproximado es suficiente.

SOLUC IONES DE LAS ACT IV IDADES PROPUESTAS

29. 5,5 dm2

30. 24 cm2

Nota s :


303

ORGAN IZA TUS I DEAS

Realizar un esquema de esta unidad no es complicado y puede resultar muytil porque los alumnos se obligan a buscar las frmulas que aparecen en ly al mismo tiempo las repasan.Para ayudarles en su elaboracin se les puede pedir que:1. Distingan dos conceptos: longitud y rea.2. Agrupen en el concepto de longitud los epgrafes de la unidad relacionados

con l y aadan un ejemplo de cada uno de ellos.3. Definan el concepto de rea y sus unidades de medida, y despus, dibujen

cada una de las figuras planas que aparecen en la unidad y a su ladoescriban la frmula que permite obtener su rea y un ejemplo.

Han de intentar siempre que el esquema que realicen ocupe solo una pgina.En ocasiones es interesante que los alumnos puedan utilizarlo como unaespecie de chuleta para resolver las actividades en clase o en casa. Con laprctica acabarn por aprender las frmulas y poco a poco dejarn deutilizarlo.

Nota s :


304


CLCULO MENTAL31. a) 9 dm b) 14 cm32. a) S. b) No. c) S. d) S.33. 50 cm34. 9 m2

35. 8 cm36.

37. a) 25 cm2 b) 149 cm2 c) 100 cm2 d) 20 cm2

EJERCICIOS PARA ENTRENARSETeorema de Pitgoras38. 13,93 cm39. a) S. b) No.40. a) 9,80 cm b) 6,71 cm c) 9,90 cm d) 6,71 cm

Clculo de distancias41. a) 13 cm b) 35 cm42. a) 6,93 cm b) 10,39 cm c) 15,59 cm d) 22,52 cm43. 4 dm44. 8,49 cm45. 5 cm

Nota s :

8 4 166 4 12

12 5 305 24 60

18 4 3621 20 210

Base (cm) Altura (cm) rea (cm2)


305


rea de figuras planas46. a) 8 cm2 b) 4 cm2

47. a) 36 dm2 b) 15 cm2

48. a) 12,38 dm2 b) 10,50 dm2

49. a) 42 m2 b) 121,8 cm2

50. a) 36 cm2 b) 10,83 cm2

51. a) 8,99 cm2 b) 8,99 cm2

52. 10,5 unidades cuadradas.

rea del crculo y de figuras circulares53. 50,24 cm2

54. 132,63 cm2

55. a) 6,54 cm2 b) 64,11 cm2

Composicin y descomposicin de figuras56. a) 20,13 cm2

b) 41 cm2

c) 360,67 cm2

d) 54 cm2

e) 40,2 cm2

f) 36 cm2

Nota s :


306


PROBLEMAS PARA APLICAR

57. 16,95 58. 4,58 m59. No, el travesao debera medir 5,44 m.60. 6,25 cm61. Acuadrada 380,25 cm2, Acircular 379,94 cm2. Tiene razn el padre de

Carlos.62. 40 m63. 2 m64. 9 108 cm2

65. 49 cm2

66. 24,81 m2

67. 236 baldosas.

Nota s :


307


REFUERZO

Teorema de Pitgoras. Clculo de distancias68. No.69. 12,16 cm70. 17,32 cm

rea de figuras planas71. a) 7,5 cm2

b) 16 cm2

72. a) 6,3 cm2

b) 31,8 cm2

rea del crculo y de figuras circulares73. a) 254,34 cm2

b) 64,11 cm2

Composicin y descomposicin de figuras74. a) 12,43 cm2

b) 22 cm2

AMPLIACIN

75. 5,20 cm76. 43,28 cm77. 1,77 m78. a) 78,50 cm2

b) 28,50 cm2

c) 64,50 cm2

79. Llamando A, B, C y D a los vrtices empezando por el superior izquierdoy continuando en el sentido de las agujas del reloj: AD 13,23 cm, AB 8,99 cm y BC 14,53 cm.

80. a) Dos posibles soluciones: b 52 m y h 14 cm, o b 26 m y h 28 m.

b) 10,77 m81. 40

Nota s :


308


PARA INTERPRETAR Y RESOLVER

82. La zona deportiva tendr 900 m2, con un ancho de 22,5 m.La zona de la casa tendr un largo de 10 m y un jardn de 30 m.

83. La distancia entre puntos sera 4 cm y el rea del tringulo ser de320 cm2.

SOLUC IONES DE LA AUTOEVALUAC IN

1. 6,24 cm2. 1,8 m3. a) d 11,31 cm b) a 5,66 cm4. a) 12 cm2 b) 21 cm2

5. 10,44 m6. 132,63 cm2

7. a) 84,78 cm2 b) 5,89 cm2

8. a) 175,10 cm2 b) 93,6 cm2

Nota s :


309

MURAL DE MATEMT ICAS

Las actividades propuestas: Jugando a las figuras y Jugando con lasmatemticas, se pueden realizar en grupo o al menos en parejas, por lo quecontribuyen a la educacin para la cooperacin y la paz, y tambin a laeducacin para la igualdad de oportunidades para ambos sexos.Adems, el tipo de respuesta puede ser muy variado, de modo que tambinse trabaja la educacin cvica y moral.La tercera actividad, A mayor permetro, menor superficie, puede realizarsecon ayuda de programas de ordenador como el Geometricks, que permitegenerar fractales de una forma muy sencilla y con ello investigar la relacinentre su permetro y la superficie que ocupan.Otra forma de trabajar con esta atractiva configuracin a partir de sencillasfiguras geomtricas es mediante vdeos. Entre otros, uno muy interesantepertenece a la serie Ms por menos. Sobre este tipo de actividades,informacin de posibles recursos didcticos y su utilizacin en el aula, hayuna pgina web: www.divulgamat.net, con problemas, vdeos, libros, etc. paraestudiar la geometra de una forma diferente.Tambin en Internet se pueden encontrar otras pginas ldicas concuriosidades geomtricas, paradojas, acertijos Una de ellas, mencionada enla unidad anterior y especialmente til en esta, es http://descartes.cnice.mec.es/geometrie/index.htm, que muestra juegos parecidos a las actividadespropuestas en el mural como la paradoja de El rectngulo de Harry Langman.

JUGANDO CON LAS MATEMT ICAS

DESCOMPONIENDO FIGURAS

Solucin

Nota s :


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Documents