43

M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S

Bloque 1. Modelización Tema 1. Productos notables y factorización Ernesto tiene un terreno cuadrado ubicado en una esquina en la comunidad “Maravillas”, para hacer más anchas las calles le van a quitar dos metros de frente y dos metros de fondo. Ernesto quiere saber cuál será la nueva área del terreno. ¿En tu vida se ha presentado una situación similar?, ¿en qué casos es necesario usar las matemáticas? El Álgebra es una rama de las matemáticas en la que se usan símbolos para representar relaciones aritméticas.

• Los símbolos algebraicos son representados por números, letras y signos que constituyen las diversas operaciones aritméticas.

• Una expresión algebraica tiene símbolos algebraicos: 32 −+ yx .

Del ejemplo anterior se puede obtener una expresión algebraica, ya que el terreno es cuadrado, al quitarle dos metros de frente y dos metros de fondo sigue siendo un cuadrado. Si se denota la medida de su lado con “x”, el nuevo lado del cuadrado será x – 2 y su área se representará por (x – 2)2; ésta última es una expresión algebraica.

• Una variable representa cualquier número: x, y, s, t, etc. • Las constantes representan un único número, éste no

cambia: π,125,97,5 4 .

2 m

2 m

x

44

• Un monomio o término es una expresión algebraica en la

que no aparecen sumas ni restas, por ejemplo 533 bca .

• Un binomio consta de dos términos, por ejemplo: 53 421 zxy − .

• Un polinomio consta de dos o más términos. • Dos o más términos son semejantes

cuando tienen igual parte literal, es decir, las mismas variables elevadas a los mismos exponentes. Por ejemplo:

57ab , 5

75 ab y 509.23 ab son términos

semejantes. Un término es simétrico a otro cuando sólo varían en el signo, por ejemplo: 57ab es el simétrico de

57ab− . Se debe recordar que: a) Cuando se reducen términos semejantes se obtiene otro término semejante cuya parte literal es la misma y el coeficiente es la suma o resta de los coeficientes de los términos. b) Al realizar la suma de dos polinomios se simplifican los términos semejantes de ambos polinomios. En la resta de polinomios se antepone el signo “–” al sustraendo, es muy importante no olvidar multiplicar este signo por cada uno de los términos del sustraendo. c) Las leyes de los exponentes son: I. El producto de las potencias de igual base es otra potencia

con la misma base y su exponente es igual a la suma de los exponentes de los factores: yxyx bbb += .

116565 35)5)(7()5)(7( bbbb == + II. El cociente de dos potencias de la misma base es otra

potencia con la misma base y su exponente es la diferencia

45

M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S

del exponente del dividendo, menos el exponente del

divisor: yxy

x

bbb −= .

bbbb 5

210

210 45

4

5

== −

III. La potencia de un producto es una potencia cuya base son los factores del producto elevados a la potencia indicada:

xxx baab =)( . 3333 82)2( bbb ==

IV. La potencia de una potencia es elevar la base a un exponente que es el producto del exponente de la base

por el exponente de la potencia: ( ) xyyx aa = . 9)3()3(333 82)2( bbb ==

Para llevar a cabo el producto de términos (monomios) no es necesario que sean términos semejantes, se multiplican sus coeficientes y su parte literal siguiendo las leyes de los exponentes.

Ejemplos: a) (-5x2y5)(2x3y2z) El nuevo coeficiente es -5 x 2 = -10. Luego (x2y5 )(x3y2z) = x2 x3 y5 y2z = x2 + 3 y5 + 2 z = x5 y7z. Por lo tanto (-5x2y5)(2x3y2z) = -10x5y7z.

b) ¿Cuál es el volumen de un prisma rectangular cuyas medidas son: 10m2, 8mn, 2m3n3? El volumen es la multiplicación de las medidas, V = 160m6n4. Para obtener el producto de un monomio por un polinomio el monomio debe multiplicarse por cada uno de los términos del polinomio.

46

Al desarrollar el producto “a(x + b)” es necesario multiplicar “a” por cada

término de “x + b”, el resultado obtenido es “ax + ab”.

Este producto se puede generalizar.

x (x + a) = x2 + xa ax (x + a) = ax2 + a2x

ax (x + b) = ax2 + abx. Ejemplos:

xxxx41

21

21

21 2 +=

+ , 5x(x + 5) = 5x2 + 25x, xxxx

206

52

43

52 2 +=

+

Para facilitar la multiplicación de polinomios se coloca el multiplicando debajo del multiplicador como se muestra a la derecha y se obtiene el producto de cada término del multiplicador por el polinomio.

Existen productos de expresiones algebraicas que siguen ciertas reglas y se conocen como productos notables, algunos casos son los siguientes:

Productos notables Reglas cuadrado de un binomio

suma ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 resta ( a - b )2 = a2 - 2ab + b2

binomios conjugados ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 binomios con término común ( x + a)(x + b) = x2 + ( a + b) x + ab

Al multiplicar dos binomios se multiplica el primero por cada uno de los términos del segundo.

47

M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S

Cuadrado de un binomio. Los binomios son idénticos.

22

2

2

2 bababab

abababa

++

+

+

+×+

22

2

2

2 bababab

abababa

+−

+−

−

−×−

Ejemplos: a) 442)2(2)2( 2222 ++=++=+ xxxxx Si x = 3 se tiene 2541294)3(43)23( 22 =++=++=+

b) 91

32

31

312

31 2

22

2

+−=

+

−=

− xxxxx

Binomios conjugados. Tienen un término común y otro simétrico.

22

2

2

babab

abababa

−

−−

+

−×+

Ejemplos: a) 42)2)(2( 222 −=−=−+ xxxx Si x = 3 se tiene 54923)23)(23( 22 =−=−=−+

b) 91

31

31

31 2

22 −=

−=

+

− xxxx

48

Binomios con un término común. Tienen un término común “x” y otros no comunes: “a” y “b”.

abxbaxabxb

xaxbxax

+++

+++

+×+

)(2

2

Ejemplos: a) 6)6()1()3)(2()32()3)(2( 222 −−=−+−+=−+−+=−+ xxxxxxxx Si x = 3 se tiene 06396)3()3()33)(23( 2 =−−=−−=−+

b) 181

61

181

61

61

31

61

31

61

31 222 −−=

−+

−+=

−+

+−+=

+

− xxxxx

El proceso inverso de desarrollar una multiplicación es la factorización. Por ejemplo, la descomposición en factores primos de 50 es 255 ×× , el número 50 se ha factorizado. Factorizar un polinomio es representarlo como producto de dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.

Factor Común Los factores comunes son aquellos términos que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica.

Por ejemplo sea abbaab 14217 22 −−

Las variables “a” y “b” aparecen en todos los términos con diferente exponente.

49

M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S

abbaab 14217 22 −− = )2)(7()3)(7())(7( abaabbab −−

El factor 7ab se encuentra en los tres términos.

abbaab 14217 22 −− = )23)(7( −− abab

Este primer caso se emplea en una expresión en la que todos los términos tienen un factor común, por ejemplo: a) xyyxyx 2223 −+ tiene como factor común xy , luego )2(2 2223 −+=−+ xyxxyxyyxyx . b) )()( byaybxaxbyaybxax +++=+++ ))(()()( bayxbaybax ++=+++= si a = 3 y b = 5 entonces:

)8)(()53)(()53()53()53()53( yxyxyxyyxxbyaybxax +=++=+++=+++=+++

Trinomio cuadrado perfecto Un trinomio cuadrado perfecto es de la forma 22 2 baba ++ , para factorizar a este tipo de trinomio se hace lo siguiente:

Se extrae la raíz cuadrada exacta de los términos elevados al cuadrado.

14

1816 2

x

xx↓↓

++

Se obtiene el doble producto de las raíces encontradas. Se compara la expresión anterior con el segundo término, debe ser igual excepto tal vez por el signo.

El producto es xx 8)1)(4(2 = coincide el

signo.

Se factoriza como el cuadrado de la suma o diferencia de las raíces encontradas, dependiendo del signo del segundo término.

22 )14(1816 +=++ xxx

Ejemplos: 2224 )1(12 −=+− aaa , 22 )35(93025 +=++ xxx

50

Diferencia de cuadrados Un binomio es una diferencia de cuadrados siempre que los términos tengan diferentes signos y ambos términos tengan raíz cuadrada exacta: 22 yx − . Para factorizar a este tipo de binomio se hace lo siguiente:

Se extrae la raíz cuadrada exacta de los términos elevados al cuadrado.

14

116 2

x

x↓↓

−

Se obtiene la suma y la diferencia de las raíces de los términos.

14,14 +− xx

Su factorización es igual al producto de la suma y la diferencia de las raíces de los términos.

)14)(14(116 2 +−=− xxx

Ejemplos: a) ))((22 yxyxyx −+=− b) )75)(75(4925 22 bababa −+=− c) ( )( )aaaaaaaaaaa −+++=−+=−++=++ )1()1()1(121 2222222424 Trinomio de la forma cbxx ++2 Pasos para factorizar un trinomio de la forma cbxx ++2 :

Se obtiene la raíz cuadrada del primer término.

x

xx↓

=−− 822

Se colocan dos paréntesis y la raíz encontrada. El primer paréntesis lleva el primer signo y el segundo el producto de los dos.

))((822 xxxx =−− ))((822 +−=−− xxxx

Se buscan dos números “m” y “n” tales que cmn = y bnm =+ .

4(2) = 8 y 4 – 2 = 2 Entonces c = 8 y b = 2

Luego ))((2 nxmxcbxx ++=++ . )2)(4(822 +−=−− xxxx