La factorización es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc) en forma de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques fundamentales», que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.

El teorema fundamental de la aritmética cubre la factorización de números enteros, y para la factorización de polinomios, el teorema fundamental del álgebra. La factorización de números enteros muy grandes en producto de factores primos requiere de algoritmos sofisticados, el nivel de complejidad de tales algoritmos está a la base de la fiabilidad de algunos sistemas de criptografía asimétrica como el RSA.

Factor Común

Definición:

Es la transformación de una expresión algebraica racional entera en el producto de sus factores racionales y enteros, primos entre sí.

Procedimiento para factorizar:

Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor.

Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el segundo factor.

Este es el primer caso y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).

Ejemplo:

x^{3}y+x^{2}x^{2}-2xy = xy(x^{2}+xy-2)

Se llama factor común por agrupación de términos, si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de términos con un factor común diferente en cada grupo.

Cuando pueden reunirse en grupos de igual número de términos se le saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los grupos entre paréntesis, se la saca este grupo como factor común, quedando así una multiplicación de polinomios.

Tratar desde el principio que nos queden iguales los términos de los paréntesis nos hará mas sencillo el resolver estos problemas.

2ax + 2bx - ay + 5a - by + 5b

Agrupo los términos que tienen un factor común:

(2ax - ay + 5a ) + ( 2bx - by + 5b )

Saco el factor común de cada grupo:

a ( 2x - y + 5 ) + b (2x - y + 5 )

Como las expresiones encerradas entre paréntesis son iguales se tiene:

( 2x -y +5 )(a + b)

Caso II. Factor común por agrupación de Términos.

30 05 12

PROCEDIMIENTO.

1) Consiste en agrupar entre paréntesis los términos que tienen factor común,

Separados los grupos por el signo del primer término de cada grupo.

2) La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que

los dos términos que se agrupen tengan algún factor común, y siempre que las

cantidades que quedan dentro del paréntesis después de sacar el factor común

en cada grupo, sean exactamente iguales.

3) Después de lo anterior se utiliza el procedimiento del caso I, Factor Común

Polinomio.

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Ejemplos:

a) ax +bx +ay +by = (a+b)(x+y)

1º) Agrupar términos que tienen factor común: (ax+bx) + (ay+by)

2º) Factorando por el factor común: x(a+b) + y(a+b)

3º) Formando factores: uno con los términos con factor común y otros con los términos no comunes (a+b)(x+y), que es la solución.

b) 3m^2 -6mn +4m -8n = (m-2n)(3m+4)

1º) Agrupando términos que tiene factor común: (3m^2 -6mn)+(4m-8n)

2º) Factorar por el factor común: 3m(m-2n) + 4(m-2n)

3º) Formando factores: (m-2n)(3m+4) <– Solución.

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EJERCICIO 91.

Factorar o descomponer en factores:

1) a^2+ab+ax+bx = (a+b)(a+x)

1º) Agrupar términos con factor común: (a^2+ab)+(ax+bx)

2º) Factorar por el factor común: a(a+b)+x(a+b)

La regla de Ruffini es un algoritmo que permite obtener fácilmente el cociente y el resto de la división de un polinomio por un binomio de la forma x-a. Veamos el algoritmo con un ejemplo, consideremos P(x)=2x3 + x2 - 3x + 5 y Q(x)=x-1. La división se realiza como sigue:

1.Se ordena el polinomio P(x) de mayor a menor grado y se colocan los coeficientes de cada término . Si no apareciese algún término entre el de mayor grado y el de menor se coloca un 0. A la izquierda se pone el número que se resta a x en Q(x), en nuestro caso 1 y se baja el coeficiente del término de mayor grado, este paso se corresponde con la figura 1.

2. Se multiplica el coeficiente que se ha bajado (2) por el que se ha colocado a la izquierda (1). El resultado del producto se coloca debajo del coeficiente del término siguiente y se suman. Figura 2

3. El resultado de la suma se vuelve a multiplicar por el número situado a la izquierda y se repite el proceso. Figuras 3 y 4.

4. El último número (recuadro rojo en Fig. 4) se corresponde con el resto de la división mientras que el resto de números de la fila inferior son los coeficientes del cociente.

Resto = 5 y C(x)=2x2 + 3x por tanto 2x3 + x2 - 3x + 5 =(x-1) (2x2 + 3x) +5

la regla de Ruffini facilita el cálculo rápido de la división de cualquier polinomio entre un binomio de la forma (x-r)\ . Descrita por Paolo Ruffini en 1809, es un caso especial de «división sintética» (una división de polinomios en donde el divisor es un «factor lineal»).1 El Algoritmo de Horner para la división de polinomios utiliza la regla de Ruffini (también se la conoce como Método de Horner o Algoritmo de Ruffini-Horner). La regla de Ruffini permite asimismo localizar las raíces de un polinomio y factorizarlo en binomios de la forma (x-r)\ (siendo r un número entero) si es coherente.

Algoritmo[editar]

La regla de Ruffini establece un método para la división del polinomio:

entre el binomio:

para obtener el cociente:

y el resto:

1. Se trazan dos líneas a manera de ejes y se escriben los coeficientes de P(x),

ordenados y sin omitir términos nulos. Se escribe la raíz r del lado izquierdo y el primer

coeficiente en el renglón inferior (an):

2. Se multiplica (an) por r y se escribe debajo de an-1:

3. Se suman los dos valores obtenidos en la misma columna:

4. El proceso se repite:

Los valores b son los coeficientes del polinomio resultante   de grado uno menos que el

grado de  . El residuo es 

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:

fracción

P(x) es el numerador.

Q(x) es el denominador.

Una fracción algebraica es una expresión fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios.

OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS

     Suma y resta de fracciones algebraicas:10.1  Calcula el resultado de la suma:

1º  Calculas el mínimo común múltiplo de los denominadores:                    vemos que el m.c.m.(2, 3, 4) = 122º Divides el m.c.m. por cada denominador y el cociente lo multiplicas por el numerador:

 

10.2  Calcula el valor de:

 Respuesta:   Solución: 

 

1º  Calculamos el m.c.m.(3, 4 y 5) = 60

2º Dividimos 60 entre cada denominador y el cociente lo multiplicamos por su numerador y escribiendo por delante el sino que le corresponda.

Multiplicación y división de fracciones algebraicas.

Basta que tengas en cuenta como se multiplican y dividen las fracciones como estudiaste hasta ahora. Con tener en cuenta, respecto a la parte literal, que, para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes y para dividir se restan, es suficiente.

10.21 Halla el valor de:

 Respuesta:  .

Solución:

Para multiplicar fracciones se halla el producto de numeradores y se divide por el producto de denominadores. Si se puede, se simplifican factores comunes:

10.22    Calcula el producto:

 Respuesta: 

Solución:Multiplicamos la parte numérica primero y luego la parte literal sumando los exponentes de las potencias de la misma base:

Dividimos la parte numérica primero y luego la parte literal restando los exponentes de las potencias de igual base y su resultado lo colocamos donde el exponente era mayor:

10.23  Halla el producto de:

 Respuesta: 

Solución:

Indicando los productos notables y simplificando factores comunes:

10.24   Halla el producto de:

 Respuesta: 

Solución:

El polinomio es una clase de expresión algebraica entera, en la cual existe una o más variables o indeterminadas, que no actúan como divisor, ni están afectadas por operaciones de radicación. Existen distintos tipos de polinomios: monomio (un término), binomio (dos términos), trinomio (tres términos), y

cuatrinomio (cuatro términos).

En matemáticas, un polinomio (del latín polynomius, y este del griego, πολυς [polys] ‘muchos’ y νόμος [nómos] ‘regla’, ‘prescripción’, ‘distribución’)1 2 3 es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias enteras de una o de varias variables indeterminadas.

Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.

Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.

En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicos y geometría algebraica.

Definición algebraica[editar]

Los polinomios están constituidos por un conjunto finito de variables (no determinadas o

desconocidas) y constantes (llamadas coeficientes), con las operaciones aritméticas de suma,

resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos. Pueden ser de una o

de varias variables.

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los

términos del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

1.Ordenamos  los polinomios , si no lo están.

 Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x)

2.Agrupamos  los monomios  del mismo grado .

P(x) +  Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3

3.Sumamos los monomios semejantes .

P(x) +  Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del

sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de polinomiosMultiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio  que tiene de grado el mismo  del polinomio y

como coeficientes  el producto de los coeficientes del polinomio por el

número.

3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio  por todos y cada uno de los monomios que

forman el polinomio .

3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x2 − 3    Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los

elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) =

= 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de

los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios  de siguiente modo:

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo . Si el polinomio no es

completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio

del divisor.

x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado

anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir  el primer monomio del dividendo entre el primer

monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos

al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.

5x3 : x2 = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x2 : x2 = 8

10x − 6 es el resto , porque su grado es menor que el del divisor  y por

tanto no se puede continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente .

División por Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x — a , entonces utilizamos

un método más breve  para hacer la división , l lamado regla de Ruffini .

Resolver por la regla de Ruffini la división:

(x4 −3x2 +2) : (x −3)

1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los

términos que faltan con ceros.

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.

3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término

independendiente del divisor.

4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo

del siguiente término.

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido , 56 , es el resto .

9El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al

dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18

Un sistema es un conjunto de funciones que operan en armonía o con un mismo propósito, y que puede ser ideal o real.

Un sistema es un conjunto de partes o elementos organizados y relacionados que interactúan entre sí para lograr un objetivo. Los sistemas reciben (entrada) datos, energía o materia del ambiente y proveen (salida) información, energía o materia.

SISTEMA SOCIO-AMBIENTAL

Sistema que cuenta con una gran variedad biológica, así como especies endémicas de fauna y flora silvestre (como el pino y el sauce), también cuenta con ríos, arroyos y lagunas que favorecen a la población. Además de la gran diversidad existe un gran equilibrio en los ecosistemas; la silvicultura en el municipio se ha acrecentado, se ha mejorado la conservación de áreas forestales, el aprovechamiento de los recursos naturales es equitativo; hay tala moderada de árboles, existe reforestación y conservación de la flora y fauna gracias a la educación con la que cuenta la población de Lerma

El concepto socioambiental se relaciona con la

generación de una visión integrada entre el medio físicobiótico,

el social y el económico.

•La evaluación socioambiental describe las tendencias

de los procesos más relevantes en una unidad territorial.

Territorio, diferenciación de la superficie de la tierra con

Base en un concepto de pertenencia; por ejemplo:

Administrativo, como el territorio nacional; funcional,

Como la cuenca o la reserva territorial; concreto, donde

Habita y lo defiende un animal, familia o grupo.

La teoría neoclásica es una teoría de acción, que se define generalmente como microeconomía, que apunta a cuestiones fundamentales, tales como la asignación

de los recursos escasos y su utilización bajo formas alternativas, el cual investiga la economía pura y analiza los procesos de la asignación de los recursos, pero no la distribución de esos recursos. A través de el método de resolución de los problemas que es el de la optimización. Los neoclásicos explicaban la formación de los precios, no en función de la cantidad de trabajo necesaria para producir los bienes, como en las teorías de Ricardo y de Marx, sino en función de la intensidad de la preferencia de los consumidores en obtener una unidad adicional de un determinado producto.

El término economía neoclásica o escuela neoclásica es un concepto impreciso utilizado

en economía; ciencia política, etc., para referirse en general a un enfoque económico basado

en una tentativa de integrar alanálisis marginalista algunas de las percepciones provenientes

de la economía clásica.1 2 3

Entre otras, estas tentativas incluyen: La consideración tanto de la oferta como la demanda en

la determinación de los precios. Segundo: los neoclásicos otorgan gran importancia al papel

del dinero en asuntos económicos. Tercero, los neoclásicos extendieron el análisis económico

a otras situaciones que las consideradas tanto por los clásicos como los marginalistas, es

decir, examinaron no solo situaciones de monopolio,duopolio y competencia perfecta, sino

también situaciones de competencia imperfecta. 

Economía clásica[editar]

Los economistas clásicos utilizan los tres factores definidos por Adam Smith, cada uno de los

cuales participan en el resultado de la producción mediante una recompensa fijada por

el mercado: Tierra (que incluye todos los recursos naturales), Labor y Capital (que se refiere a

maquinaria y equipos usados en la producción).

Conviene mantener presente que los economistas clásicos –Adam Smith, David Ricardo, etc.–

subsumen en “labor” o “trabajo” un elemento que los fisiócratas consideraban un cuarto factor:

los emprendedores (entrepreneurs). Para Smith la función de tales personas era tan solo de

supervisión, así los reduce al “mero trabajo” de “secretario de confianza” (ver gerente). Esa

situación empieza a cambiar con Jean-Baptiste Say, pero aun así los “entrepreneurs” no

reganaron su posición como cuarto factor. Trabajo es uno de los tres factores de producción y

recursos humanos, que tiene el hombre, para sobrevivir a través de un esfuerzo físico o

desarrollo social.

La Tierra[editar]

El factor tierra es lo que los humanos encontramos en la naturaleza, en sentido amplio, se

refiere al conjunto de recursos naturales empleados en el proceso de producción. Comesfa

prende la tierra propiamente dicha, el agua, el aire, las plantas,los animales, los minerales y

las fuentes de energía. La tierra tiene recursos naturales; localización geográfica utilizada para

procesos productivos de bienes comunes.

Factores de producción[editar]

Los factores de producción son todos aquellos recursos que por si solos o por manufactura del

hombre son empleados en los procesos de elaboración de bienes y en la prestación de

servicios. Los clasificamos en dos principales grupos:

Factores tradicionales

Factor humano o trabajo: Toda actividad humana que interviene en el proceso de

producción. En economía dicho factor es representado con una "L".

Factor capital: Se representa con una "K" y podemos dividirlo en tres grupos:

Capital físico: Formado por bienes inmuebles, maquinaria, etc.

Capital humano: Todo el personal, sean empleados o ejecutivos.

Capital financiero: El cual se haya formado por el dinero.

Factor tierra: Engloba los recursos naturales y es representado con una "T".

Factor moderno o empresarial

Numerosos autores añaden también otro factor, el empresarial. Lo conocemos con el nombre

de Iniciativa Empresarial (IE), y es el encargado de la coordinación de los factores productivos

tradicionales. Dicha figura recae sobre el empresario.

Ejemplo

El Banco como empresa, posee tanto factor tradicional como factor moderno. Dentro del factor

tradicional, se halla el factor humano, que serán por ejemplo, aquellos empleados de las

sucursales. También posee factor capital, tanto físico (edificios, ordenadores, etc.) como

financiero (el dinero que posee). Todos ellos están coordinados por el factor Iniciativa

Empresarial.

El capital contable[editar]

Artículo principal: Capital (economía)

Los recursos que se emplean para producir bienes y servicios constituyen el capital.Se

pueden distinguir 3 clases :

Capital físico: Es el formado por los elementos materiales tangibles :edificios, materias

primas,entre otros.

Capital humano: Es la educación, formación profesional de los empresarios y

trabajadores de una empresa u sociedad.

Capital financiero: Es el dinero que se necesita para formar una empresa y mantener su

actividad..

Tecnología[editar]

Es un factor de especial relevancia en los últimos tiempos.

Producción manual:Aquella en que el ser humano proporciona fuerza y el manejo de las

herramientas.

Producción mecanizada:Aquella en la que la maquinaria proporciona la fuerza y el ser

humano las herramientas.

Producción tecnificada:Aquella en la que la máquina proporciona la fuerza y controla las

herramientas.Los economistas clásicos consideraban que para producir bienes y servicios era necesario utilizar unos recursos o factores productivos: la tierra, el trabajo y el capital. Esta clasificación de factores sigue siendo muy utilizada en la actualidad. Por tierra se entiende no sólo la tierra agrícola sino también la tierra urbanizada, los recursos mineros y los recursos naturales en general. Por capital se entiende el conjunto de recursos producidos por la mano del hombre que se necesitan para fabricar bienes y servicios: la maquinaria o las instalaciones industriales, por ejemplo. Conviene que esto quede claro ya que la palabra 'capital' se usa muchas veces de forma incorrecta para designar cualquier cantidad grande de dinero. El dinero sólo será capital cuando vaya a ser utilizado para producir bienes y servicios, en cuyo caso se llamará capital financiero. El dinero que se vaya a utilizar para adquirir bienes de consumo no puede ser llamado capital. Por trabajo se entiende la actividad humana, tanto física como intelectual. En realidad toda actividad productiva realizada por un ser humano requiere siempre de algún esfuerzo físico y de conocimientos previos.

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Tierra, trabajo y capital, en un grabado de 1875.

Esta clasificación de los factores productivos se correspondía biunívocamente con un análisis "sociológico" del sistema económico en tiempos de los economistas clásicos. En la Inglaterra del siglo XVIII había tres clases sociales claramente diferenciadas: la aristocracia, propietaria de la tierra, la burguesía, propietaria del capital, y los trabajadores. La justificación de los ingresos de la aristocracia y de la burguesía resultaba de la retribución de los factores que poseían y que dedicaban a la producción. En la actualidad la clasificación ha perdido mucho sentido. No existe hoy una aristocracia terrateniente separada de la burguesía y es frecuente encontrar trabajadores que poseen algunas acciones y son propietarios también de una vivienda.

Los clásicos pensaban que para crecer económicamente, para producir más, era suficiente con el aumento de la cantidad de factores disponibles, principalmente del trabajo y del capital. Ahora se sabe que el papel más importante en el crecimiento económico lo tienen los avances en el conocimiento científico y técnico. Podríamos por tanto añadir a los tres factores productivos dos más: los conocimientos humanos que están incorporados al factor trabajo (el "know-how") y la tecnología, o simplemente técnica, que está incorporada al capital.

La economía ecológica (en adelante EE) se define como la "ciencia de la gestión de la sustentabilidad"1 o como el estudio y valoración de la (in)sostenibilidad.2 Es un conjunto de modelos de producción integral e incluyente que toma en consideración variables ambientales y sociales. A diferencia de la economía marrón que es la administración eficaz y razonable de los bienes que se basa en la persecución del crecimiento económico a través del uso óptimo de insumos y factores de producción.3 No es una rama de la teoría económica, sino un campo de estudio transdisciplinar, lo que quiere decir que cada experto de una ciencia, por ejemplo biología, conoce un poco de economía, física u otras, con la finalidad de comunicarse entre investigadores y realizar una fusión de conocimientos4 que permita afrontar mejor los problemas ya que el enfoque económico convencional no se considera adecuado. Sin embargo, está abierta también a no científicos. Artículo introductorio en ICE:5

La Economía Ecológica es una transdisciplina que podría definirse (entre otras) como la "ciencia de la gestión de la sustentabilidad". Es un estudio relativamente nuevo que viene a implantar un modelo completamente diferente de desarrollo.

La Economía Ecológica parte de la idea de que el ser humano puede vivir de una manera sustentable con las demás especies y recursos naturales que el planeta ofrece. Específicamente critica y pone en cuestióna el modelo actual de desarrollo y condena la economía clásica que piensa en modelos cerrados y en términos únicamente crematísticos ($) sin importar el bienestar y el respeto hacia otras especies.

Parte de la idea de que no todo puede ser regulado por el mercado, no se puede dejar a la "mano invisible" que también regule recursos vitales como lo son el agua, el aire. Es necesario un equilibrio que radique en la capacidad de los seres humanos para vivir dentro de los límites ambientales que la Tierra ofrece.