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Proyecto de integración

Colegio George Washington

Profesor Nicolas Jaurena

Guía de trabajo: eje Algebra

Nombre: _____________________________________ Curso:8° __ Fecha: ___/___/___

Esta guía de apoyo se basa en el eje de Algebra, si bien algunas actividades pueden resultarte

difíciles, no dudes en preguntar, recuerda también revisar tu cuaderno, ya que parte de esta

materia fue vista el año pasado y el actual. Recuerda, haz los ejercicios en tu cuaderno, el

desarrollo de cada ejercicio es muy importante para tu aprendizaje.

Da tu mejor esfuerzo en completar este trabajo.

Esta guía está pensada para que lo comiences hoy lunes 4 de mayo y sea terminada y

enviada a la profesora Claudia el día viernes 8 de mayo, mucho éxito en tu trabajo.

I. Reducir términos semejantes.

A) Antes de reducir los términos vamos a hacer un ejercicio, agrupa en los diferentes cuadros,

aquellos términos que son semejantes a los modelos.

Modelo A: 2𝑥2𝑦2

Modelo B: 6𝑥𝑦2

Modelo C: 4𝑥2𝑦

Modelo D: 5𝑥𝑦

Términos:

−3𝑥2𝑦2 / 8𝑦2𝑥 / −3𝑥2𝑦 / 2𝑦𝑥 / −6𝑦𝑥 / 5𝑦𝑥2 / −3𝑦2𝑥 / −8𝑦2𝑥2 /

8𝑦𝑥 / 4𝑦𝑥2 / 2𝑥𝑦2 / 5𝑦2𝑥2 / −9𝑥2𝑦 / 7𝑥2𝑦2 / 𝑦𝑥 / −7𝑥2𝑦 / 5𝑥𝑦2 / −2𝑦2𝑥

/ 4𝑥𝑦 / 9𝑥2𝑦2




B) Reduce términos semejantes.

1) 𝑥 ∙ 𝑥 + 6𝑥2

2) 𝑥 + 𝑥 + 2(4𝑥 + 2) − 10𝑥

3) 2𝑥𝑦2 + 3𝑥2𝑦 + 2𝑦2𝑥

4) 6𝑥 (𝑥 + 𝑦) + 4𝑦 (𝑥 − 4) + 16𝑦 − 10𝑥𝑦

5) 𝑥𝑦 (𝑥2 + 8𝑥𝑦) − 𝑥3𝑦 − 7𝑥(𝑥𝑦2)




II. Multiplicación de expresiones algebraicas.

Para lograr multiplicar correctamente expresiones algebraicas, debemos recordar

algunas reglas, también, que este tipo de ejercicios puede presentarse en distintos casos:

Monomios, Binomios y polinomios.

Las expresiones algebraicas pueden darse como monomios, binomios y polinomios,

veamos que significa cada una:

Un monomio es una expresión algebraica, formada por una sola pieza o termino, es

decir es una expresión sola, ya que no está sumándose ni restándose con otras, aquí

aparecen algunos ejemplos de monomios.

/ 5 / 𝑥3 / −5𝑥2 / 𝑥3𝑦 / Si te fijas, cada expresión está sola, no se están sumando ni restando con otras.

Un binomio es una expresión que cuenta con dos monomios, ya sea que estos se estén

sumando o restando, observa:

/ 𝑥 + 5 / 2𝑦2 − 3𝑥 / 8 − 2𝑦 / 3𝑦 + 5𝑦2 /

Como podrás apreciar, los binomios se forman, por expresiones en las que se suman o

restan dos monomios.

Entre más términos tenga una expresión tendrá otros nombres, por ejemplo, un

trinomio, tendrá tres términos:

𝑥 + 5𝑦 − 2𝑥2

Aquellas expresiones algebraicas de más de tres monomios se llaman polinomios y

dependiendo de la cantidad de términos que posean cambiara su nombre, por ejemplo,

si tiene seis términos, se le llama polinomio de seis términos.




Identificar

A) Ahora que ya conoces los distintos tipos de expresiones que pueden darse vamos a

identificarlas y agruparlas según lo que son:

Número

de

términos.

1 2 3 Más de 3

Nombre Monomio Binomio Trinomio Polinomio

Expresión 5𝑦3 2𝑥 − 3𝑦 𝑥2 − 4𝑥 + 5 𝑦2 − 4𝑥 + 5𝑦 − 3

Agrupa estas expresiones algebraicas según si son monomios, binomios, trinomios o

polinomios: /𝑥2 / 2𝑥 − 3𝑦 / 3𝑥 + 2𝑦 − 1 / 3𝑥 + 5𝑥2𝑦 + 3𝑥 − 2 / 2𝑦 + 2𝑦2 / 2𝑦 + 3𝑦2 − 3𝑥 + 8 / 2𝑥𝑦 / 2𝑥𝑦 − 2𝑦2𝑥 + 3 / 3𝑥𝑦2 / 3𝑥 − 2𝑦𝑥2 + 5 / 5𝑦2 + 2𝑥2 − 3𝑦 + 2 / 3𝑥 − 2𝑥𝑦 / 6𝑥 − 2𝑦2 − 3𝑦3 + 2 / 9𝑦𝑥2 + 2𝑥 − 3𝑦 − 2 / 2𝑦3 / 9𝑥𝑦 − 2𝑦 + 2𝑥 / 𝑦𝑥 / 6𝑥 − 2𝑥2 + 2𝑦 / 5𝑥 − 2𝑦 / 6𝑥𝑦 + 2𝑥2𝑦/




B) Multiplicación de expresiones algebraicas.

Cuando multiplicamos expresiones algebraicas, podemos encontrarnos con tres casos

diferentes, que tengamos que multiplicar monomios por monomios ̧que debamos

multiplicar, monomios por polinomios o polinomios por polinomios. (en este caso, se

entenderá por polinomio a todas las expresiones que tengan dos o más términos).

Para cada caso hay una forma de resolver, primero vamos a ver la formula, luego un

ejemplo y por ultimo haremos algunos ejercicios para aprender.

Multiplicar monomios por monomios.

Para multiplicar monomios por monomios multiplicamos primero los coeficientes

numéricos (es decir los números), luego los factores literales (en este caso las letras),

según corresponda.

Ejemplo: 2𝑥2 ∙ 6𝑥

Primero, multiplicamos los números: 2 ∙ 6 = 12

Luego, multiplicamos las letras: 𝑥2 ∙ 𝑥 (se entiende que esta x esta elevada a uno),

aplicamos el procedimiento de multiplicación de potencias y sumamos los exponentes.

Listo, ya tenemos nuestra expresión, tanto de números como de letras (numeral y

literal).

Quedaría de esta forma: 12𝑥3

Ahora intentaremos hacer estos ejercicios, básate en lo que acabamos de aprender para

ello.

Ejercicios multiplicación de monomios.

1) 2𝑎3 ∙ 3𝑎2 =

2) 6𝑥𝑦 ∙ 2𝑦2𝑥 =

3) 5𝑥𝑦 ∙ 2𝑦 =

4) 4𝑦 ∙ 3𝑥2𝑦 =

5) 3𝑦 ∙ 2𝑥 =




Multiplicar monomios por polinomios

Para multiplicar monomios por polinomios solo debemos multiplicar el monomio, por

cada término del polinomio que estemos multiplicando, de nuevo recuerda, multiplica

primero los factores numerales de cada expresión y luego los factores literales.

Ejemplo: 3𝑥 (2𝑦 + 3𝑥)

Ahora realicemos unos ejercicios para practicar lo aprendido:

Ejercicios de multiplicación de monomios por polinomios.

1) 2𝑚(3𝑥 + 2𝑚 − 3) =

2) 3𝑥(2𝑥𝑦 − 1 + 5𝑦) =

3) 3𝑦𝑥(5𝑥2 + 3𝑥2 − 2𝑦3) =

4) 5𝑦2𝑥3(2𝑦2 − 3𝑦3 + 2𝑥) =

5) 6𝑥2𝑦(3𝑦𝑥 − 2𝑥2𝑦 + 5𝑦2𝑥) =




Multiplicar polinomios por polinomios.

Este es en general el ejercicio más largo de las multiplicaciones que veremos hoy, para

realizarlo usaremos una formula, si la aplicas de forma ordenada y multiplicas como

hemos ido aprendiendo en esta guía no tendrás ningún problema para realizar estos

ejercicios.

Para hacer esto debemos conocer la propiedad distributiva de la multiplicación, ¿la

recuerdas? No hay problema si no es así, recordémosla ahora mismo:

“La multiplicación de un número por una suma es igual a la suma de las

multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos”

Puede que esta explicación no haya quedado clara, así que veamos un ejemplo:

𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

Lo que dice en resumidas cuentas es que esta multiplicación: 𝑎(𝑏 + 𝑐) y esta: 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐

lograrían obtener el mismo valor.

Pero, ¿será cierto? comprobémosla con números, digamos que: 𝑎 = 5, 𝑏 = 2 𝑦 𝑐 = 4

La expresión entonces quedaría así: 5(2 + 4) = 5 · 2 + 5 · 4

Con este sencillo ejemplo queda comprobado que esta propiedad de la multiplicación

funciona.

Continuemos entonces, ¿cómo multiplicar polinomios entre sí? Para ello debemos usar

una formula, observa con atención:

(𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑) = 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑑

Intentemos ver un ejemplo de cómo aplicar esta fórmula paso a paso.

(2𝑥 + 2𝑦)(5𝑥2 + 3𝑦2)

Solo debemos ir siguiendo nuestra formula.

Ahora que ya tienes una idea de cómo multiplicar polinomios entre sí, vamos a

ejercitar.




Ejercicios de multiplicación de polinomios por polinomios.

1) (𝑥 + 2)(3𝑦 + 4𝑥)

2) (2𝑥 + 2𝑦)(3𝑥𝑦 + 2𝑥)

3) (3𝑥𝑦 + 2𝑥)(2𝑥2𝑦 + 3𝑦2𝑥)

4) (2𝑦 + 3𝑥 + 2)(2𝑥 + 3𝑦 + 6)

5) (3𝑥 + 2𝑦 + 3)(6𝑥𝑦 + 2𝑥 + 5)




III. Problemas de razones y proporciones.

En guías de trabajo anteriores trabajamos problemas de razones y proporciones, allí

aparece un ejemplo de cómo resolverlas, sin embargo y si por cualquier motivo no la

tienes, puedes ver aquí dicho ejemplo de cómo resolverlas:

Para resolver estos ejercicios podemos plantear una ecuación, por ejemplo:

Tengo dos hermanos, tienen repartidos dulces en relación a 1 es a 3, juntos tienen

20 dulces, ¿Cuánto tienen cada uno?

Sigue estos pasos para plantear una ecuación que responda esta pregunta:

Espero que con este ejemplo puedas guiarte para resolver los problemas. No olvides

que en cada uno debes plantear una ecuación para resolverlo.

Problemas de razones y proporciones.

Problema uno: compartiendo la carga.

Dos trabajadores llevan juntos una carga de 45 kg, pero uno de ellos tiene más fuerza

que el otro, así que han decidido repartir la carga en relación 2 es a 3, ¿Cuánta carga

lleva cada uno?

Plantea una ecuación que resuelva este problema.




Problema dos: horarios de trabajo.

Hay dos trabajadores en una tienda, trabajan juntos, pero cantidades diferentes sus días

de trabajo estos están en relación de 2 es a 5, ¿cuánto trabajaran cada uno en un mes de

28 días? Plantea una ecuación que resuelva este problema.

Problema tres: madre e hija.

La edad de una madre y una hija está en razón de 3 esa 6, si juntas suman 81 años,

¿Qué edad tiene cada una? Plantea una ecuación que resuelva este problema.

Problema cuatro: Un pago justo.

Dos trabajadores reciben un sueldo juntos de $275.000, el cual deben repartirse.

Considerando que el primer trabajador trabajo 6 días y el segundo 4 días, ¿cuánto

dinero debería recibir cada uno para que la repartición sea justa?

Plantea una ecuación que resuelva el problema.

Problema 5: Fichas de casino.

Tres jugadores tienen fichas de casino para jugar en relación de 2 es a 3 es a 5. Si juntos

suman 60 fichas de casino para jugar, ¿cuantas tiene cada uno?

Plantea una ecuación que resuelva el problema.




IV. Calculo de inecuaciones.

Las inecuaciones son una expresión que a diferencia de las ecuaciones representan una

desigualdad, y sus soluciones no son un número específico, sino que determinan que

una cantidad es mayor o menor que otra.

En términos generales una inecuación es muy similar para operar que una ecuación,

salvo por ciertas características particulares que veremos en este ejemplo.

Pero antes hay algunos símbolos que debemos recordar:

< representa “menor que”

> representa “mayor que”

≤ representa “menor o igual que”

≥ representa “mayor o igual que”

Ahora, el ejemplo: 3𝑥 − 2 > 7

Veamos otro ejemplo, esta vez con una consideración especial.




Graficando inecuaciones en la recta numérica.

Las inecuaciones se pueden graficar en la recta numérica, es una forma de expresar

gráficamente los valores que puede tomar “x” que como pudiste apreciar son

muchísimos, (recuerda que puedes graficar una inecuación, solo cuando ya la

terminaste).

Pero ¿Cómo graficamos una inecuación?

Muy sencillo, seguiremos un procedimiento, observa:




Veamos por ultimo otros ejemplos para graficar:




Calcular y graficar inecuaciones.

Ahora que ya tienes una noción del cálculo y la forma de graficar las inecuaciones

haremos estos ejercicios para practicar. No olvides, revisa cada paso y haz cada

ejercicio con calma.

Calcula cada inecuación y luego grafica el resultado.

1) 3𝑥 − 7 < 5

2) −𝑥 + 4 < 2

3) 3𝑥 + 5 < 29

4) 4𝑥 − 4 > 24

5) 3𝑥 + 10 ≤ 28

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