actividad - leer en albatros · para multiplicar un monomio por un polinomio ... , multiplicando el...

B4 �

151

B4 �RealizatransformacionesalgebraicasI

5. 250 125 2 5 243 33 3xy xy y y xy= ( )( ) =

6. 81 310 154 2 3 2 34x y x y x y=

I.Representaenformaestándarlossiguientesradicales.

1. - =273 x 4. 64 4 86 x y =

2. 32 3 7x y = 5. 192 6 83 x y =

3. 54 103 x = 6. 625 2 104 x y = II. Simplifica las expresiones que se indican y escribe el resultado con exponentes

positivos,obien,conradicalessegúncorresponda.

1. x5x2 11. a b

a b

+( )+( )

=5

2

2. xx

4

3 = 12. (3a2)3 =

3. b2 – b5 = 13. x xx

3 2

4 =

4. (x3)2 + 4x6 = 14. (2x4y3)5 =

5. 102

7 5

2 3

x yx y

= 15. x y

xy

2 3

2 2

( )( )

=

6. (3xyz)0 = 16. 16 6 4

12x y( ) =

7. x y

x y

12 3

34 2

= 17. x yx y

2 3

4 3 =

8. (x -3)(x5) = 18. x10 =

9. x y-2 3 5( ) =-

19. 64 6 153 x y =

10. 4 3 212x y-( ) = 20. 16 4 8 124 x y z =

Actividad

152

B4 �B4 �Ordenación

Unpolinomiopuedeexpresarseconunaomásvariables, lascualespuedenrepresentarsepordiferentesletras:a,b,c,x,y,z,etcétera;obien,unamismaletra con distintos subíndices: a1, a2, a3, a4… Estas variables representantambiénexponentesnuméricosdistintos;yelexponentemayorrespectodeunadelasvariablesindicaelgradodelmismo.Parafacilitarlamultiplicacióndepolinomiosesnecesarioordenarlosenrelaciónconlosexponentesdealgunadesusvariables.Laformaenqueseordenan lostérminosdeunpolinomiopuedesercrecienteodecreciente;estaúltimaeslamásfrecuente.

• Forma creciente: Se ordenan los términos del polinomio del menor almayorexponenterespectodeunadesusvariables.

• Formadecreciente:Seordenanlostérminosdelpolinomiodelmayoralmenor exponente respecto de una de sus variables.

Polinomio Orden creciente Orden decreciente

1 2x2y + 5x3y – 2xy + 4 4 – 2xy + 2x2y + 5x3y 5x3y + 2x2y – 2xy + 4

2 3a + 1 – 5a2b + a5 + 7a2b2 1 + 3a – 5a2b + 7a2b2 + a5 a5+ 7a2b2 - 5a2b + 3a + 1

3 2x – 5x2 – 10 – 10 + 2x – 5x2 – 5x2 + 2x – 10

4 x3 – 4x2 + 7x + 2x4 – 5 5 + 7x – 4x2 + x3 + 2x4 2x4 + x3 – 4x2 + 7x – 5

5 3y3 - 3x2y – 4xy2 +x3 3y3 – 4xy2 - 3x2y + x3 (enx)x3 - 3x2y– 4xy2 + 3y3 (eny)

x3 - 3x2y– 4xy2 + 3y3 (en x)3y3 – 4xy2 - 3x2y + x3 (en y)

Al multiplicarse dos polinomios deben considerarse tres casos: monomiopormonomio,monomioporpolinomioypolinomioporpolinomio.Enestaoperación,ademásdeaplicarselaspropiedadesdelosexponentes,seaplicantambiénlaspropiedadesdelamultiplicacióndelosnúmerosreales.

Para multiplicar dos o más monomios, se multiplican loscoeficientesysesumanlosexponentesdelasvariablescomunes,respetando,enamboscasos,lasleyesdelossignos.

Ejemplos

Lossiguientesproductosseefectúanconmonomios.

1. (x)(x)(x)(x)(x) = x5

2. (3x)(2x)(x) = 6x3

3. (5x3)(2x5) = 10x8

4. (2x2y3)( –7x3y4) = –14x5y7

5. (–3xy2)3(2x3y3)(4x2y)2 = (–27x3y6)( 2x3y3)(16x4y2) = –864x10y11

B4 �

153


Para multiplicar un monomio por un polinomio, se aplica lapropiedaddistributiva,multiplicandoelmonomioporcadaunodelostérminosdelpolinomio.

1. 3x2(x2 + 5x + 3) = 3x2(x2) + 3x2(5x) + 3x2(3) = 3x4 + 15x3 + 9x2 2. 7x2y(2x2y3 + 4xy2 – 3x + 2y – 1) = 14x4y4 + 28x3y3 – 21x3y + 14x2y2 – 7x2y3. 2x(5x2 – 4x + 10) = 10x3 – 8x2 + 20x

Para multiplicar un polinomio por un polinomio se aplica lapropiedad distributiva multiplicando cada término del primerpolinomioportodoslostérminosdelsegundopolinomio;alfinalsereducentérminossemejantes.

1. (x + 3)(x + 5) = x(x +5) + 3(x + 5) = x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 152. (x + 7)(x – 4) =x(x – 4) + 7(x – 4) = x2 – 4x + 7x – 28 = x2 + 3x – 28 3. (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) = x2 + 3x + 3x + 9 = x2 + 6x + 94. (2x + 3y)( 2x + 7y) = 4x2 + 14xy + 6xy + 21y2 = 4x2 + 20xy + 21y2

5. (x + 1)(2x2 - 5x + 4) = 2x3 - 5x2 + 4x + 2x2 - 5x + 4 = 2x3 - 3x2 - x + 46. (2x2 + 5x + 4)(x2 + 3x + 5) = 2x4 + 6x3 + 10x2 + 5x3 + 15x2 + 25x + 4x2 + 12x + 20 = 2x4 + 11x3 + 29x2 + 37x + 20

División

Aligualqueenlamultiplicación,aldividirdospolinomiosdebenconsiderarsetrescasos:monomioentremonomio,polinomioentremonomioypolinomioentre polinomio. En esta operación se aplican las propiedades de losexponentes.

Para dividir dos monomios, se dividen o se simplifican suscoeficientesyserestanlosexponentesdelasvariablescomunes.

Ejemplos

1. xx

x5

23=

2. x yx y

x y4 3

22 2=

3. − =−105

23 5

3 23x y

x yy

4. 35

35

3 3

7

2

4

x yxy

xy

=

154

B4 �B4 �5. 2

3

89

89

89

4 3 2 3

2 3 2

12 9 6

4 2 6

8 78 7

( )( )

= = =x y z

x y z

x y zx y z

x yx y

6. 412

13

18

2 3

2

3

23

6x yx y

y y

=

=

Para dividir un polinomio entre un monomio se aplica lapropiedaddisociativaaldividircadatérminodelpolinomioentreelmonomio.

Ejemplos

1. 6 9 3

363

93

33

2 3 13 2 3 2

2x x xx

xx

xx

xx

x x+ + = + + = + +

2. 10 15 20

510

515

5205

2 34 3 2 2 4 3 2 2

3 2x y x y xyxy

x yxy

x yxy

xyxy

x y+ - = + - == + xxy -4

3. x x x

xx

xx

5 3

2

312 36 6

21

2- + = - +

4. 5 9 72

52

92

72

3 2 5

3

2x x xx x

x- + = - +

Para dividir un polinomio entre otro polinomio, se realizan los siguientespasos.

1. Seordenanlostérminosdeldividendoydeldivisorenformadecrecienterespectodeunadelasvariables,ysedejaeneldividendounespacioparalostérminosdecoeficientecero.

2. Sedivideelprimertérminodeldividendoentreelprimertérminodeldivisorparaencontrarelprimertérminodelcociente.

3.Se multiplica el término encontrado del cociente por cada uno de lostérminosdeldivisor,yseescribeelresultadoconsignocontrariodecadatérmino,bajolostérminossemejantescorrespondientesdeldividendo.

4.Se efectúa una suma con los términos semejantes del dividendo y loshalladosenelpaso3,encontrandoelresiduoobienunnuevodividendo,bajandotambiénelsiguientetérminodeldividendooriginal.

5.Paraencontrar los siguientes términosdel cociente se repite lomismoapartirdelpaso 2,hastaqueelresiduoseacerooelexponentedelavariablerespecto de la cual se ordenó sea, por lo menos, una unidad menor alexponentemayordeldivisor.

Ejemplos

1.Dividir3 11 26 8 3 43 2x x x x+ - + ¸ - ;obien 3 11 26 83 4

3 2x x xx

+ - +-

B4 �

155


Procedimiento: x2 + 5x – 2 3x3 = x2 3x – 4 3x3 + 11x2 – 26x + 8 3x –3x3 + 4x2

15x2 = 5x 15x2 – 26x 3x – 15x2 + 20x –6x = –2 – 6x + 8 3x 6x – 8 0Resultado:

3 11 26 83 4

3 2x x xx

+ - +-

= x2 + 5x – 2

2.Dividir 6 4 3 2 32 3- + - ¸ +x x x x ;obien 3 4 63 2

3 2x x xx

- - ++

Procedimiento: x2 – 2x + 1 3x3 = x2 3x +2 3x3 – 4x2 – x + 6 3x –3x3 – 2x2

–6x2 = –2x – 6x2 – x 3x 6x2 + 4x 3x = 1 3x + 6 3x –3x – 2 4Resultado:

3 4 6

3 2

3 2x x xx

- - ++

= x xx

2 2 14

3 2- + +

+

3.Dividir x x x x4 24 8 4 5- + ¸ - + ,obien x xx x

4

2

4 54 8

- +- +

Procedimiento: x2 + 4x + 8 x4 = x2 x2 – 4x +8 x4 + ___ + ___ – 4x + 5 x2 – x4 + 4x3 – 8x2 4x3 = 4x 4x3 – 8x2 – 4x x2 – 4x3 + 16x2–32x 8x2 = 8 8x2 – 36x + 5 x2 – 8x2 + 32x – 64 – 4x – 59

Resultado:

x xx x

4

2

4 54 8

- +- +

=x2+4x+8–4 59

4 82

xx x

+- +

156

B4 �B4 �I.Efectúalasoperacionesqueseindican.

1. (3x2 + 2x – 2) + (–2x2 + 5x + 5) = 2. (12m2 + 9m – 10) + (8m2 + 3m + 15) = 3. (5x3 + 6x2 – 3x +1) + (5x4 – 6x3 + 2x – 5) =4. (8a5 – 6a3 + 6a + 5) + (17a5 + 3a3 + 4a – 7) = 5. (–3cd4 + 6d2 + 2cd –1) + (–3d2 + 2cd + 1) =6. (x2 – 2x + 4) – (x2 – 4x –3) =7. (–7y + 2y2 + 5) – (y2 – 6 – 5y) =8. (5x2 + 4) – (2x2 –1) =9. (5x2 –3x +6) – (9x2 – 5x – 3)= 10. 5a – 3b + c + (4a – 5b – c) =11. 8x – (15y + 16z – 12x) – (–13x + 20y) – (x + y + z) =12. –(2x – 2y) – { [3x – ( 2y – z) – 4x] – (3y – 2z) } = 13. 3a + (4a + 7b – 4c) – (3a + 5b – 3c) – (b – c) =14. 9x + 13y – 9z –7x – 3{–y +[2z – (5x – 9y + 5z) – 3z] }=15. 6a – 7ab + b – 3ac + 3bc – c – [(8a + 9ab – 4b) – (–5ac + 2bc – 3c)] =16. (2x) (2x) (2x) (2x) (2x) = 17. (–5x) (7x) (–x) =18. (4x3)3 (2x5) = 19. (15x5y3) ( –9x7y3) = 20. (–x4y2)2 (5xy4) (3x2y2) = 21. –5x2 (3x2 + 4x + 5) = 22. xy2(3x2y + 5x3y2 – x + 7y – 10) =23. 2x3(x2 + 3x + 6) = 24. (x + 7) (x + 8) =25. (x + 2) (x – 8) = 26. (x + 4)2 =27. (5x + 2y) (3x – 7y) =28. (x – 1) (x2 + x + 1) = 29. (x2 + 4x + 4) (x2 – 2x + 1) =

30. xx

6

5 =

31. 84

3

2

x yx y

=

32. - =55

3 5

4 7

x yx y

33. 35

7

2 5

3

x yxy

=

34. x y z

xy z

4 3

2 3 35( )

=

Actividad

B4 �

157


35. 53

2 3

2 5

2x yx y

=

36. 8 10 62

3 2x x xx

+ +=

37. 15 12 63

3 2 2 3x y xy x yxy

+ + =

38. 12 10 34

5 3 10

5

x x xx

+ + =

39. 24 36 408

8 6 5

7

x x xx

- + =

40. x x xx

3 2

2

4 2 84

- - +-

=

41. 35 6 31

2 7

2+ --

=x xx

42. x

x x

4

2

648 4-

+ -=

43. xx

2 93-+

=

44. x xx

2 5 63

- +-

=

En la siguiente tabla se resumen lasoperacionesefectuadas con los coeficientes yexponentes,deacuerdoconlaoperaciónindicadaentredostérminosyqueatiendenunamismavariable.

En la operación Los coeficientes se Los exponentes se

Suma Suman Dejan igual

Resta Restan Dejanigual

Multiplicación Multiplican Suman

División Dividen Restan

Potenciación Elevanalapotencia Multiplican

Radicación Extraenraíz Dividen

158

B4 �B4 �1. Simplificalostérminossemejantesenlossiguientespolinomios.

a)8x -3x+7x=b)3x +9y –2x –6y=c)7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a2 – 4b3 =d)3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c =e)0.01 b2c – 0.2 c2b - 0.8 c2b + 0.99 b2c=

2. Eliminarparéntesisyreducirtérminossemejantesenlossiguientespolinomios.a)(10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)=b)20 + (-7 +2x) –(-3x-7)=

3.Dadoslospolinomios:A:2b2c –3b + 6cB: 4b - c2b + 12 b2cC:4 – 2c

Ejecutalassiguientesoperaciones.a)A+B=b)A-C=c)B-A=

4.Elperímetrodeunrectánguloes8x –6yunladomide3x +7, ¿cuántomideelotrolado?

5.Realizalassiguientesoperaciones.a)2

13

7 2x x⋅ =

b)−

⋅ =2

334 7x x

c)334

2z ⋅ −=

d)23

465

5 4y y y⋅−

⋅ =

e)− ⋅ =3

245

2a a

f) x x x⋅ ⋅ =312

4 7

6.Despuésderealizarunanálisisencadaunadelassiguientesfiguras,encuentraelpolinomioquerepresenteelperímetrooelvalordeunodesuslados.

Actividad

B4 �

159


160

B4 �B4 �

7.Resuelvelassiguientesoperaciones.a)3 52 2x x⋅ =b) 6 45 5x x⋅ = c) x x3 2⋅ =d) 4 64 7x x⋅ = e)7 55 3x x⋅ =f) ( )− ⋅ =3 65 7x xg)9 7 4⋅ =x h) ( ) ( )− ⋅ − =11 23 3x x

i) ( ) ( )− ⋅ − =5 64 4x x j) 4 123 5x x⋅ − =( )k) ( )− ⋅ =6 73 2x x

l) 25

53

5 7x x⋅ =

m) 56

13

3 5x x⋅ =

n) 411

23

4 6x x⋅ − =

8.Resuelvelossiguientesproductosalgebraicosdeunmonomioporunpolinomio.a) 5(c+4) b) 4(5-x)c) 4(-2c+5)d) 5(-a+b)e) 7x2-3(x+4) f ) -10(-9+4x)g) -11+4(b+2c)+5-7b h) -m(n-1)i) -(x+6)j) -2(a-2b)k) -a(-c+6bc)

B4 �

161


l) 4(3x-2)m) z-6(-1+x)n) 3(x+y+z)ñ) 2-(x-12)+4yo) 3(5x-4y)p) 4y(y+2y2)q) 2a(3a-b+1)r) x(1+2x-y)s) 2a(b-a)t) (a-3ab)bu) 2xy(x+3x-x2)v) x2(1+2x-y2)

9.Multiplicalossiguientespolinomios.a) ( )( )3 5 3 1 3 53 2 3x x x x x+ - + - b) ( )( )5 3 4 7 2 15 3x x x x- - + - c) ( )( )25 5 2 3 37 4 2x x x x+ + - + -d) ( )( )x x x x x3 2 4 3 22 2 3 5 4 4+ - - - + e) x x+( ) +1 22 ( ) f ) ( )x x x+ + -( )3 2 3 12 2

g) (x + 5)(x - 5) h) (2x + 5)(2x - 5) i) (5xy - 6)(5xy + 6)j) (12 + 9ab)(12 – 9ab) k) (3xyv - 4ab)(3xyv + 4ab) l) (3ab2c - 4ad2)(3ab2c + 4ad2)m) (11axt2v2 + w4)(11axt2v2 - w4) n) (5.32 + 4)(5.32 - 4) ñ) [(a+4) - b][(a+4) + b]o) [(x - y) + z][(x - y) - z] p) (2c + d + e)(2c + d - e) q) (a + b + 5)(a + b - 5)r) (a – b + 5)(a + b + 5) s) (a2 - b2 - ab)(a2 + b2 + ab) t) (10 + 2a + 3b)(10 – 2a - 3b)u) (3 – x + y)(3 + x + y) v) (a + b + 7)(a – b + 7) w) (-a –b + 7)(a + b + 7) x) (10x2a + 9bc)(9bc - 10x2a)

10.Realizalassiguientesdivisiones.

am n

n)

- 16

4

6 4

3 =

ba b c

ab c)

36

8

4 3 5

36 =

162

B4 �B4 �c

x y c

x y c)

-

- 2

6 3

3 3 4 2

2 5

( )=

dx yxy

)( )

8 3

3 3 =

ea b c a b c a b c

)-16 24 42 4 6 4 3 2 3 3+ 22

3 3 24a b c=

fx y z xy z x y z

xyz

gx x x x

x x

)-

)

15 25 355

5 6 8 33

4 4 3 3 5 7 3 2

2

4 3 2

2

+=

− + − ++ −−

=

−−

=

16 6

h)

x yx y

i) =

j)

x xx x

xx x

4 2

2

3

2

13 365 6

82 4

− +− ++

− +=

I.Subrayalarespuestacorrecta.

1.Esuntérminode5ºgrado:

a)-3x2yz2 b) 5x5y c) 4x4yz d) -5xy2z4

2.Esuntérminodetercergradoenx:

a)-3x2yz2 b) 4xyz c) 2x3y4z2 d) 6a2b3c

3.Esuntrinomio:

a) a + b b) a3 + b3 – c3 + d3 c) 2x + 3y – 5z d) 3x

4.Esunpolinomiode4ºgrado:

a) 3x2yz + 2 b) a3 + b3 – c3 + d3 c) x5 + y d) 3x4y – 2xy3 + 6xy

5.Elvalornuméricodex2 + 3x – 6 si x = 2es

a) 16 b) 3 c) -60 d) 4

Autoevaluación

B4 �

163


6.Lasimplificaciónde3x2y – 5xy + 6xy2 + 2xy – xy2 + 4x2y – 2xy2es:

a) 7x2y – 10xy - 48xy2 b) 7x2y – 3xy +3xy2

c) 7x2y + 3xy - 3xy2 d) 7x2y – 3xy - 3xy2

7.Elresultadode (3x + 2y + 4) + (2y – 2x + 1) es:

a) x + 4y + 5 b) 5x + 4y - 3 c) x - 4y - 5 d) -6x + 4y + 4

8.Elresultadode(3x2 + 4x – 3) – (2x + x2 – 5)es:

a) 4x2 - 8x + 15 b) 2x2 - 2x - 8 c) 2x2 + 2x + 8 d) 2x2 - 2x + 8

9. Elresultadode3x2(x2y)2(3xy2)3es:

a) 18x9y8 b) 81x9y8 c) 81x8y d) 81x9y9

10.Elresultadodex y z

x y z

2 4 5

2 4 3

( )( )

es

a) x2y2z2 b) z2 c) x8y4z2 d) x4y8z2

II.Resuelvelasoperacionesindicadas.1. (3x – 5y + 7z – 8) + (4z – 3 + 5y – x) = 2. (5x2 + 6x – 3) – 3(3x2 + 8x – 9) + 2(3x2 – 5x + 4)= 3. 4x + 3y – 2{4x + 2z - 3[4x + 3y- (2x – 3y+ 2z) - 2(4x – 5z)]}=4. 4n2m3(3mn3p – 8m2np3 + 6mnp3) = 5. (3x4 – 2x3 +3x2 – 5x + 4)(x2 – 3x + 2) =

6. 36a b c9ab c

5 6 8

3 4 =

7. 36x y z - 72x y z - 3 x y z

6x yz

3 2 5 4 3 3 8 4 5

2 3

0

8. x x x x x2 3 22 3 2 3 1− + − + −

III.Simplificalossiguientesradicales.

1. 4 12 5 27 3 108- + =

2. 72 5 7 4x y z

Autoevaluación

164

B4 �B4 �

1.Enunterrenorectangularcomoelquesemuestraenlafigura,sevaaconstruirunparqueconandadoreslateralesde2mdeanchoenlosladosmáscortosyde1 mdeanchoenlosladosmáslargos.Enelrestodelasuperficiesevaaempastaryasembrarárboles.

a) Si el largo de la superficie empastada es el doble del ancho, encuentra unaexpresiónpolinomialquepermitaencontrareláreadetodoelparque.

b)Siun ladode lasuperficieempastadamide8m,¿cuántomideelotro ladodedichasuperficie?

c)¿Cuálessonlasdimensionesdelterrenoqueserequiereparaloanterior?

2.ElrectánguloPQRShasidosubdivididoencuatrorectánguloscomoseindicaenlafigura.Lasuperficiedetresdeelloseslaindicada.

a)Encuentraunpolinomioquepermitacalcularlasuperficiedelcuartorectángulob)HallalasdimensionesdelrectánguloPQRSc)HallaunaexpresiónpolinomialparacalcularelperímetrodelrectánguloPQRSd)HallaunaexpresiónpolinomialparacalcularelperímetrodelpolígonoPVUTRSe)¿CuálessonlosvaloresdelperímetroyeláreadelrectánguloPQRSsixvale6 unidades?

Evaluación formativa

B4 �

165


EscaladeRango

Nombredelalumno:

Escaladevaloración:0Nulo1Deficiente2Aceptable3 Satisfactorio

Aspectos observables Sí No Estimación

Comprendióelproblema 1

Encontróelpolinomioparaelárea

Encontróelladofaltante

Encontrólasdimensionesdelterreno

Encontróelpolinomioparacalculareláreadelrectángulo

Encontróelpolinomioparacalcularelperímetro

Encontróelpolinomioparacalcularelperímetrodelpolígono

Calculóeláreayelperímetrodelrectángulodado

Total:Cal

Total=

×=

1024

Observaciones:

Nombredequienrevisó:

BLO

QU

E

5 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»

UN

IDA

D D

E CO

MP

ETEN

CIA

»

• Reconocetrinomiosquenosoncuadradosperfectos,comoproductodefactoreslineales.Trinomiosdelaformax2+bx+c.Trinomiosdelaformaax2+bx+c,cona¹ 0, 1.Polinomiosquerequierencombinartécnicas.

• Identificaexpresionesracionalesconfactorescomunesynocomunes,susceptiblesdesersimplificadas.

• Reconoceexpresionesracionalesenformasimplificadaapartirdefactorescomunesyladivisióndepolinomios.

Realiza transformaciones algebraicas II

BLO

QU

E

5 Saberes Conocimientos Habilidades Actitudes y valores» » »

SUG

EREN

CIA

DE

EVID

ENCI

AS

DE

AP

REN

DIZ

AJE

»U

NID

AD

DE

COM

PET

ENCI

A»Construyeeinterpretamodelos

aritméticos,algebraicosygráficosaplicandolaspropiedadesdelosnúmerosrealesyexpresionesalgebraicas,relacionandomagnitudesconstantesyvariables,yempleandolasliteralesparalarepresentaciónyresolucióndesituacionesy/oproblemasalgebraicos,concernientesasuvidacotidianayescolar,queleayudanaexplicarydescribirsurealidad.

Identificalascaracterísticaspresentesentablas,gráficas,mapas,diagramasotextos,provenientesdesituacionescotidianasylostraduceaunlenguajealgebraico.

• Escribetrinomiosdelaformax2+bx+ccomoproductodedosbinomioscuando:a)cespositivo.b)cesnegativo.

• Escribetrinomiosdelaformaax2+bx+ccomoproductodedosbinomiosconfactores:a)enterosb)noenteros

• Elige,entrevariastécnicasposibles,lamásapropiadaosimpleparafactorizarunaexpresión.

• Combinadosomástécnicasdiferentesalfactorizarciertasexpresiones.

• Resuelveoformulaproblemasdesuentornouotrosámbitos;interpretasolucionesyargumentaéstasutilizandodistintasformasdecomunicaciónyrepresentaciónmatemática.

• Expresatrinomiosdelaformax2+bx+ccomoproductodefactoreslineales.

• Expresatrinomiosdelaformaax2+bx+c,cona¹ 0,1,comoproductodefactoreslineales.

• Utilizaunaovariastécnicasdetransformaciónparadescomponerunpolinomioenfactores.

• Obtienefactorescomunes,factorizandoconlastécnicasaprendidasyreduceéstos.

• Ejecutadivisionesentrepolinomios.• Escribeexpresionesracionalesenforma

simplificadautilizandofactorescomunesyladivisióndepolinomios.

• Expresaideasyconceptosmedianterepresentacionesenlenguajecomún,simbólicoográfico.

• Utilizalastecnologíasparaprocesareinterpretarinformación.

• Construyehipótesisydiseñaoaplicamodelos.

• Aprecialaventajaderealizardiversastransformacionesalgebraicasparasimplificarointerpretarresultados.

• Asumeunaactitudconstructiva,congruenteconlosconocimientosyhabilidadesconlosquecuenta,dentrodedistintosequiposdetrabajo.

• Actúademanerapropositivaalresolverlosejerciciosplanteados.

168

B5 �B5 �

En este bloque analizaremos algunas reglas que permiten realizar lamultiplicacióndeunciertotipodebinomiosdeunamaneradirecta,esdecir,sin realizar completamente el procedimiento en el bloque anterior. Reglasque además permiten el desarrollo del cálculo mental, visto indispensableen el desarrollo de diversas competencias. También revisaremos, ademásel concepto de factorización de polinomios y los diferentes casos quese presentan, así como la aplicación de ésta en la simplificación y en lasoperacionesconfraccionesalgebraicas.

Resuelvelossiguientesejercicios.

1. 58

716

512

+ - =

2. 7245

5663

¸ =

3. (3x + 5)2 - 3(x + 5)(x – 6) =4. (2x – 3)(4x2 + 6x + 9) =

5. 4 8 204

2 2 3 3x y xy x yxy

- + =

Áreadeuncuadrado

Consideralassiguientessituacionesyrespondeloqueseindica.1. ElarquitectoGómezcompróunterrenocuadradode80mdeladoenun

nuevofraccionamiento.

INTRODUCCIÓN

Evaluación diagnóstica

Actividad

B5 �

169

B5 �RealizatransformacionesalgebraicasII

Al medirlo se dio cuenta de que el terrenotenía,endosdesuscaras,20m,porloqueelterrenorestantelodividióentresustreshijosdeacuerdoacomoseformaronlosterrenos.

a) ¿Qué superficie le toca al arquitectoGómez?

b)¿Quésuperficielecorrespondealhijo1?c)¿Quésuperficielecorrespondealhijo2?d)¿Quésuperficielecorrespondealhijo3?e)Calculalasuperficietotaldelterreno:

• Sumandolassuperficies• Utilizandolafórmuladecálculopara

eláreadeuncuadrado

2.Supónahoraqueelterrenomedíadeladoxyquealmedirlo,suladomedíaaunidadesmás.

a)Determinaunareglaparacalcularlasuperficietotaldelterreno.

b)Explicabrevementelaregla.

Las actividades anteriores están relacionadas con ciertas reglas específicasque nos permiten multiplicar algunos casos particulares de polinomios demaneramental.

Binomio al cuadrado

EnelcasodelarquitectoGómez,eláreadelterrenopuedecalcularsealsumarlasáreasdecadaunodelosterrenosparciales.

PRODUCTOS NOTABLES

170

B5 �B5 �A=AG+AH1+AH2+AH3A=(80)2 + (80)(20) + (20)(80) + (20)2

A=802 + 2(80)(20) + 202

A=6400 + 3200 + 400A=100,000 m2

Que es el mismo resultado de aplicarla fórmula para el cálculo del área delcuadrado.A=(80 + 20)2 = (100)2 = 100,000

Siobservamoselprocedimiento,tenemosquealdesarrollarunbinomioalcuadrado:“el cuadrado del primer sumando (802),más 2 veces el producto del primersumandoporelsegundo,(2)(80)(20),máselcuadradodelsegundo(202)”.

Sigeneralizamoslareglaacualquierbinomioelevadoalcuadrado,tenemos:

(x+a)2=x2+ 2ax+a2

Silossignosdelbinomiofuerancontrarioselúnicosignoquecambiaeseldeldobleproducto,pues(-a)2 = a2

Lamaneradirectadedesarrollarunbinomioelevadoalcuadradoes:

Ejemplos

1. (x + 3)2 = x2 + 2(3)(x) + 32 =x2 + 6x + 92. (m – 8)2 = m2 – 2(8)(m) + 82 = m2 -16m + 643. (3x + 5)2 = (3x)2 + 2(5)(3x) + (5)2 = 9x2 + 30x + 25

Desarrollalossiguientesbinomiosalcuadrado

1. (x + 3)2 = 7. (1 + 3x2)2 =

2. (5 + a)2 = 8. (2x + 3y)2 =

3. (6x + y)2 = 9. (a2x + by2)2 =

4. (9 + 4x)2 = 10. (3a3 + 8b4)2 =

5. (7x + 11)2 = 11. (4m5 + 5n6)2 =

6. (a + b)2 = 12. (7a2b3 + 5x4)2 =

Actividad

B5 �

171


13. (4xy2 + 5wz3)2 = 23. (x - 3y)²

14. (8x2y + 9m3)2 = 15. (x10 + 10y12)2 =

24. (2x + 6)² 25. (3x - 5)²

16. (x + 5)² 17. (x - 7)²18. (a + 1)²

26. (6x - 8y)² 27. (0.2x - 3)² 28. (5a - 0.3)²

19. (m + 21)²29. ( 3

4x - 5)²

20. (x - 2)²

21. (x - 18)² 22. (p + 5q)² 30. 2

334

2

a b−

Binomios conjugados

Otroproductoqueaparecefrecuentementeendistintosprocesosmatemáticoseselproductodebinomiosconjugados,dondedosbinomiossonconjugadossi únicamente difieren en un signo; por ejemplo, las siguientes parejas debinomiossonbinomiosconjugados:

a+bya–bx + 3 y x – 3

3x2 – 8 y 3x2 + 85m2n + 4 y -5m2n +4

Simultiplicamosdosbinomiosconjugadoscomopolinomiostenemos:

(x + a)(x –a) =x2 – ax +ax – a2

Siobservamoslostérminosremarcados,vemosquesontérminossemejantes,quetienenelmismocoeficienteperosignoscontrarios,porlocualseanulanyelresultadoqueda:

(x + a)(x –a) = x2 – a2

“Elcuadradodelprimertérminomenoselcuadradodelsegundotérmino”.

Directamente:

172

B5 �B5 �Ejemplos

(a + b)(a – b) = a2 – b2 (x + 3)( x – 3) = x2 - 9(3x2 – 8)(3x2 + 8) =9x4 - 64 (5m2n + 4)(-5m2n +4) = (4+5m2n)(4-5m2n) = 16 – 25m4n2

(a2b3 – 2 ) (a2b3 + 2 ) = a4b6 – 2

Realiza los productos de binomios conjugados.

1. (a+3)(a+3) = 9. (2x – 1)(2x + 1) =

2. (3x+2)(3x-2) = 10. (n – 1)(n + 1) =

3. (6x+2y)(6x-2y) = 11. (1 – 3ax)(3ax + 1) =

4. (x2-4) (x2+4) = 12. (2m + 9)(2m – 9) =

5. (x + y)(x – y) = 13. (x3 – x2)(x3 + x2) =

6. (m – n)(m + n) = 14. (y2 – 3y)(y2 + 3y) =

7. (a – x)(x + a) = 15. (1 + 8xy)(8xy – 1) =

8. (x2 + y2)(x2 – y2) = 16. (6x2 – m2x2)(6x2 + m2x2) =

Binomios con término común

Decimos que dos binomios tienen un término común cuando uno de lostérminos de un binomio es idéntico a un término del otro binomio; porejemplo,lassiguientesparejasdebinomiostienenuntérminocomún:

(x + a) y (x + b)(x + 3) y (x – 5)(m + 4) y (m + 6)(m2 – 8) y (m2 – 2)(4xy2 – 6) y (4xy2 + 3)(x – 3) y (4 + x)

Veamoscómoseobtienelaregla.

Almultiplicardirectamentelosbinomiostenemos:(x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab

Actividad

B5 �

173


Observa que los términos remarcados son semejantes y pueden reducirsesumandosuscoeficientes,asítenemos:

(x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab = x2 + ax+ bx + ab = x2 + (a + b)x + ab

Esdecir:

“Elproductodebinomioscontérminocomúnesiguala:elcuadradodeltérminocomún,máslasuma(oresta)delostérminosnocomunesmultiplicadaporeltérminocomún,máselproductodelostérminosnocomunes”.

Silostérminosnocomunestienenelmismosigno(losdospositivosolosdosnegativos),sedebensumarysisondesignoscontrarios,sedebenrestar.Enelproductodelostérminosnocomunesdebenrespetarselasleyesdelossignos.

Ejemplos

(x + 3)(x – 5) = x2 +(3 – 5)x + (3)(-5) = x2 – 2x - 15(4xy2 – 6)(4xy2 + 3)= (4xy2)2 +(-6 + 3)(4xy2) + (-6)(3)= 16x2y4 – 12xy2 - 18(m + 4)(m + 6) = m2 +10m + 24(m2 – 8)(m2 – 2) = m4 – 10m2 + 16 (x – 3)(4 + x)= (x – 3)(x + 4) = x2 + x - 12(m – 9) (m + 2) = m2 – 7m – 18(x + 5) (x – 12) = x2 – 7x – 60(x – 7) (x – 8) = x2 – 15x + 56

1. (x + 3)(x + 6) 6. (y - 3)(y +8 )

2. (y - 4)(y + 5) 7. (xy - 4)(xy + 9)

3. (m -7)(m + 2) 8. 2x + 3)(2x - 5)

4. (x2 + 3)(x2 - 6) 9. (4x2 + 1)(4x2 - 7)

5. (x - 11)(x + 6)

Binomios con términos no comunes o con términos semejantes

Enestecasoningunodelosbinomiostieneuntérminocomúnperolostérminosdelprimerbinomiosonsemejantesalostérminosdelsegundobinomio;porejemplo,lassiguientesparejasdebinomiostienentérminossemejantes:

(2x + 5) y (5x - 6)

Actividad

174

B5 �B5 �

Actividad

“Elproductodebinomioscontérminossemejantesesiguala:lasumadelosproductosdelasparejasdetérminossemejantesylosproductosdelasparejasdetérminosnosemejantes”.

1. 2 3 5 6 15 12 18x xa

x xb c

+( ) +( )= + + +10x2� � �� ( )

=10x2 + 27x + 18Primerostérminos:2x, 5xTérminosmedios:3, 5xTérminosextremos:2x, 6Segundostérminos:3, 6

a.Elproductodelosprimerostérminos:(2x) (5x) = 10x2

b. Suma del producto de los términos medios con el producto de lostérminosextremos:

[(3) (5x) + (2x) (6)] = (15x + 12x) = 27x

c.Productodelossegundostérminos:(3)(6) = 18

2. (2x –3) (4x + 1) = 8x2 – 10x – 33. (5y + 3) (2y – 3) = 10y2 – 9y – 9

1. (4m + 3)(2m – 7) 6. (6xy - 7)(2xy – 5)

2. (3x + 5)(2x – 9) 7. (5m3 + 4)(2m3 + 7)

3. (8m + 11)(7m – 4) 8. (6z - 1)(2z + 9)

4. (5y + 3)(2y – 1) 9. (7y2n - 3)(4y2n – 5)

5. (4m2 - 5)(2m2 – 3) 10. (4m - 11)(7m + 4)

Actividad

B5 �

175


Actividad

Binomio al cubo

Comosunombreloindica,desarrollaremosahoraunbinomioelevadoalcubo:

(x + a)3 = (x + a)(x+a)2 = (x+a)(x2 + 2ax + a2) = x3 +2ax2 + a2x + ax2 + 2a2x + a3 = x3 + 3ax2 +3a2x + a3

Enelcasodeunbinomioconsignoscontrarioseldesarrolloes:

(x - a)3 = (x - a)(x-a)2 = (x-a)(x2 - 2ax +a2) = x3 -2ax2 + a2x - ax2 + 2a2x - a3 = x3 - 3ax2 +3a2x - a3

Lareglaes,porlotanto:

“Unbinomio al cubo es igual a: el cubodel primer término,más (omenos)el triple producto del primer término elevado al cuadrado por el segundotérmino,másel tripleproductodelprimer términoporel segundo términoelevadoalcuadrado,más(omenos)elcubodelsegundotérmino”.

(x2 – 1)3 = (x2)3 + 3(x2)2(–1) + 3(x2)(-1)2 + (-1)3 = x6 – 3x4 + 3x2 – 1

(3x3 + 4y2)3 = (3x3)3 + 3(3x3)2(4y2) + 3(3x3)(4y2)2 + (4y2)3 = 27x9 + 108x6y2 + 144x3y4 + 64y6

(x – 2)3 = x3 – 6x2 + 12x – 8

1. (x + 5)3= 6. (a + 8)3

2. (m – 4)3= 7. (2x + 1)3 =

3. (z – 3)3= 8. (3x – 2y)3 =

4. (x + 6)3= 9. (a – 2b2)3 =

5. (x – 7)3= 10. (2m – 5n)3 =

Productos especiales

Untipoespecialdeproductonotableeseldeunbinomioporuntrinomiomuyparticular:

( x + a)( x ax + a ) = x ax + a x + ax a x + a = x + 2 3 2 2 2 2 3 32 - - - aa3

Observemosquenoesuntrinomiocualquiera,sinoqueestáformadoporel

176

B5 �B5 �cuadradodelprimer término,elproductode losdos términosdelbinomio,pero con signo contrario, y por el cuadradodel segundo término. En estascondicionesobtenemosunasumadecubos.

Análogamentepuedemostrarseque:

(x - a)(x2 + ax + a2) = x3 – a3

Enformadirecta,multiplicamoselprimertérminodelbinomioporelprimertérminodel trinomio,más (omenos)ymultiplicamoselúltimotérminodelbinomioporelúltimotérminodeltrinomio,respetandoleyesdesignos.

Ejemplos

(x + 3)(x2 – 3x + 9) = x3 + 27(m – 4)(m2 + 4m + 16) = m3 – 64

1. (m + 2)(m2 –2m + 4)2. (x – 6)(x2 + 6x + 36)3. (5x + 2)(25x2 – 10x + 4)4. (y – 5)(y2 + 5y + 25)5. (2x2 + 9)(4x4 – 18x2 + 81)6. (3xy + 8)(9x2y2 – 24xy + 64)7. (t + 7s)(t2 – 7ts + 49s2)8. (4x2 – 3y)(16x4 + 12x2y + 9y2)

Lo importante para desarrollar un producto notable es, primeramente,identificarlascaracterísticasdelosbinomiosqueenél intervienen,esdecir,aquécasodelosproductosnotablespertenecen,yposteriormenteaplicarlareglacorrespondiente.

La siguiente tabla muestra los productos notables, la forma especial delpolinomioconlacualseasociaylosnombresquereciben.

Actividad

B5 �

177


Producto notable Desarrollo Regla Nombre

Binomioalcuadrado

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 “El cuadradodelprimer términomás (omenos)eldobleproductodelprimertérminoporelsegundo,máselcuadradodelsegundo”.

Trinomiocuadradoperfecto

Binomiosconjugados

(a – b) (a + b) = a2 – b2 “Elcuadradodelprimertérminomenoselcuadradodelsegundotérmino.”

Diferenciadecuadrados

Binomioscontérminocomún

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

“El cuadrado del término común, más la suma (oresta)delostérminosnocomunesmultiplicadaporeltérminocomún,máselproductodelostérminosnocomunes”.

Trinomiodelaformax2 + bx + c

Binomioscontérminonocomún

(ax + b) (cx + d) = acx2 + (ad + bc)x + bd

“La suma de los productos de las parejas detérminossemejantesylosproductosdelasparejasdetérminosnosemejantes”.

Trinomiodelaformaax2 + bx + c

Binomioalcubo (a ± b)3 =a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

“Elcubodelprimertérmino,más(omenos)eltripleproductodel primer términoelevado al cuadradoporelsegundotérmino,máseltripleproductodelprimer término por el segundo término elevadoal cuadrado, más (o menos) el cubo del segundotérmino”.

Productosespeciales

(x + a)(x2 – ax + a2) = x3 + a3

“El primer término del binomio por el primertérminodeltrinomiomás(omenos)elproductodelúltimo término del binomio por el último términodeltrinomio”.

Sumadecubos

(x - a)(x2 + ax + a2) = x3 – a3 Diferenciadecubos

Como mencionamos al inicio del bloque, los productos notables desarrollan lahabilidad del cálculo mental, entre otras habilidades, que desembocan en eldesarrollodecompetencias.

Ejemplos

Utilizaproductosnotablesparacalcularelresultadodelassiguientesoperaciones:

a) (46)2, b) (84)(76) c) (25)(27) d) (34)(48) e)(14)3

Solución

a) (46)2 = (40 + 6)2 = 402 + 2(6)(40) + 62 = 1600 + 480 + 36 = 2116

obien,

(46)2 = (50 - 4)2 = 502 - 2(4)(50) + 42 = 2500 - 400 + 16 = 2116

Enamboscasos,desarrolladalaoperacióncomounbinomioalcuadrado.

b) (84)(76) = (80 +4)(80 – 4) = 802 - 42 = 6400 – 16 = 6384

178

B5 �B5 �Desarrolladalaoperacióncomounproductodebinomiosconjugados

c) (25)(27) = (20 + 5)(20 + 7) = 202 + 12(20) + 35 = 400 + 240 + 35 = 675

d) (34)(48) = (40 – 6)(40 + 8) = 402 + 2(40) – 48 = 1600 + 80 – 48 =1632

Desarrolladasambasoperacionescomoproductodebinomioscontérminocomún.

e) (14)3 = (10 + 4)3 = 103 + 3(10)2(4) + 3(10)(4)2 + 43 = 1000 + 1200 +480 + 64 = 2744

Desarrolladalaoperacióncomounbinomioalcubo.

Desarrollalosproductosnotablesqueseindican.

1. (2x + 3y) (2x –3y) =2. (1 – 7x2) (1 + 7x2) = 3. (11xy3 – 6x2) (11xy3 + 6x2) =4. (x + 3)2 = 5. (x – 5)2 = 6. (2x + 9) (2x + 1) =7. (x + y + 1) (x + y – 4) =8. (5y2 – 2)2 = 9. (ax + 2by)2 = 10. (x + 3) (x + 5) =11. (y – 9) (y + 1) =12. (a2 + 7) (a2 – 4) = 13. (x5 – 7)2 =14. (5w –3) (5w – 4) =15. (4b2 + 1) (4b2 – 7) =16. (2x + 5) (4x – 1) = 17. (3x + y) (4x – 2y) =18. (7y2 – 2) (2y2 –1) = 19. (x + y + 1)2 = 20. (a – b + 3)2 =

21. (2x + 3y)2 =22. (5x – 6y) (5x – 6y) =23. (x + y + 1) (x + y – 4) =24. (a + b –5) (a + 5 + b) =25. (5x + 4)3 =26. (x – 7y)3 = 27. (a2 – 2b2)3 = 28. (2mn – 5m2n2)3 = 29. (2x + 9) (2x – 9) =30. (5x – 6y) (5x – 6y) =31. (a + b –5)(a + 5 + b) =32. (3x + 4) (2x – 3) =33. (x2 – 5) (x2 + 2) =34. (x – 9y) (x + 7y) =35. (xy + 8) (xy + 6) =36. (xy + 10) (xy – 3) = 37. (x2 – 6y2)2 =38. (x3 – 10)2 =39. (2xy + y2)2 =40. (6x2y2 – 9)2 =

Actividad

B5 �

179


Un medio que facilita encontrar los factores numéricos (coeficientes) deldesarrollodeunbinomioelevadoalan-potencia,conocidocomobinomiodeNewton,eselTriángulodePascal.

En la siguiente tabla se muestra elTriángulo de Pascal. Las columnas serelacionan con cada renglón; a la izquierda con el binomio elevado a lapotenciacorrespondienteyaladerecha,coneldesarrolloasociado,dondeseresaltanloscoeficientesdecadatérmino.

n = 1, 2, 3,… Triángulo de Pascal Desarrollo

(a + b)0 1 1

(a + b) 1 1 1a + 1b

(a + b)2 1 2 3 1a2 + 2ab + 1b2

(a + b)3 1 3 3 1 1a3 + 3a2b + 3ab2 + 1b3

(a + b)4 1 4 6 4 1 1a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + 1b4

(a + b)5 1 1 5 10 10 5 1 1a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + 1b5

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Observacionessobreeldesarrollomostradoenlatablaanterior:

1.Seescribieronloscoeficientes1sóloconlafinalidaddehacermásexplícitalaaplicacióndeltriángulodePascal,peroengeneral,éstosseomiten.

2.Elnúmerodetérminosdecadadesarrolloesn+1,dondeneselexponentedelbinomiocorrespondienteycadacoeficienteobtenidoenelTriángulodePascalesunfactorencadaunodelostérminosdeldesarrollo.

3.Paracompletarcadatérminodeldesarrollosemultiplicanloscoeficientesya obtenidos en el triángulo de Pascal por los términos del binomio,el primero considerado en forma decreciente y el segundo en formacreciente,siendoelmayorexponentealqueestáelevadoelbinomio(n),yelmenorexponente0.

4.Lostérminosdeldesarrollosesuman,esdecir,elsignoresultante(+o-)dependerádelossignosenlostérminosdelbinomio.

TRIÁNGULO DE PASCAL Y BINOMIO DE NEWTON

180

B5 �B5 �Ejemplos

Utilizando elTriángulo de Pascal, y atendiendo a las observaciones necesarias, semuestranlossiguientesbinomiosdeNewtonconsurespectivodesarrollo.

1. (x + 5)4 = (x)4 + 4(x)3(5) + 6(x)2(5)2 + 4(x) (5)3 + (5)4

= x4 + 4x3(5) + 6x2(25) + 4x(125) + 625 = x4 + 20x3 + 150x2 + 500x + 625

2. (2x – 3)5 = (2x)5 + 5(2x)4( –3) + 10(2x)3(–3)2 + 10(2x)2(–3)3 + 5(2x) (–3)4 + (–3)5

= 32x5 + 5(16x) ( –3) + 10(8x3) (9) + 10(4x2) (–27) + 5(2x) (81) + (–243) = 32x5 – 240x + 720x3 – 1080x2 + 810x – 243

3. (x + 2)7 = (x)7 + 7(x)6(2) + 21(x)5(2)2 + 35(x)4(2)3 + 35(x)3(2)4 + 21(x)2(2)5 + 7(x)(2)6 + (2)7

= x7 + 7x6(2) + 21x5(4) + 35x4(8) + 35x3(16) + 21x2(32) + 7x(64) + 128 = x7 + 14x6 + 84x5 + 280x4 + 560x3 + 672x2 + 448x + 128

Observaquesilostérminosdelbinomiotienensignoscontrarios,entonceselpolinomioresultantealternasignos.

1. Encuentra los coeficientes de los binomios elevados a las potencias 6, 7, 8, 9 y 10, continuando la construcción del triángulo de Pascal antes mostrado.

2. Utiliza el triángulo de Pascal para encontrar el desarrollo de los siguientes binomios elevados a la potencia que se indica:

1. (x + 1)4 =2. (3x – 5)6 =3. (2x + 3y)5 =4. (a2 – b2)7 =5. (x2 – y2)5 = 6. (x3 – 2)8 = 7. (8xy + y2)4 = 8. (2x2y2 – 3)4 =

9. (x + 4)8 = 10. (x – y)10 = 11. (a2 + 2b2)5 = 12. (2mn – m2n2)4 = 13. (6a2 – 2b2)5 = 14. (3mn + 5m2n2)4 = 15. (2ab2 + 4a2b3)5 =

Actividad

B5 �

181


Factorizarunpolinomioesrepresentaradichopolinomiocomounproductodedosomásfactoressimples.

Un factor simple es un polinomio que no es posible representarlo comoproductodedosfactoresdiferentesalaunidad;porejemplo,x + 3, 2x + 3sonpolinomiosimples.

Lasiguientetablamuestralaformaespecialdelpolinomioysufactorizaciónrespectiva,lacualcorrespondeaalgunodelosproductosnotables,indicandonuevamentelosnombresquereciben.

Forma especial de polinomio

Factorización Producto notable

Polinomioconfactorcomún

ac+bc–dc=c(a+b-d) Porfactorcomún

Diferenciadecuadrados

a2 –b2=(a-b)(a+b) Binomiosconjugados

Trinomiodelaformax2 + bx + c

x2 + bx + c = (x + n) (x + m)donde:n+m=bynm=c

Binomioscontérminocomún

Trinomiocuadradoperfecto

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 Binomioalcuadrado

Trinomiodelaformaax2 + bx + c

ax2 + bx + c =(rx + n) (sx + m)

donde:rs=a,ns+rm=bynm=c

Binomioscontérminossemejantes

Sumaodiferenciadecubos

a b = (a b) (a ab + b ) 2 23 3± ± ± Productosespeciales

Factor común

Elprimercasoaconsideraralintentarfactorizarunpolinomioesdeterminarsitienefactorcomún.

Un polinomio tiene un factor común si existe un número distinto de la

FACTORIZACIÓN

182

B5 �B5 �unidadounavariable(oamboselementos)quedividanexactamenteatodoslos términos del polinomio, es decir si todos los coeficientes son divisiblespordichonúmero,obienunaomásvariablesestáncontenidasentodoslostérminosdedichopolinomio.

Ejemplo

Elpolinomio:3x4 + 24x2 – 27x

vaatenerfactorcomúnpues,porlomenos,lavariablexapareceentodossustérminos.

Porotraparte,elpolinomio:3x2 + x – 5

no tiene factor comúnpues contieneun términoqueno tiene variable (el términoindependiente) y no existe ningún número distinto de 1 que divida a todos loscoeficientesdesustérminos.

El factor común de un polinomio está formado por el máximo común divisor, loscoeficientes y por la(s) variable(s) que aparecen en todos los términos y tengan elmenorexponente.

Para factorizarunpolinomiopor factorcomún,primeroseobtienedicho factor.Elotrofactoraldividirelpolinomioafactorizarentresufactorcomún.

Ejemplo

Factoriza 16x4y3-4x3y2+12x2y

ObservamosqueelMCDdeloscoeficienteses4yquelasvariablescomunesatodoslostérminossonxey;además,elmenorexponentedexes2yeldeyes1,porlotanto,elfactorcomúndedichopolinomioes4x2y

Aldividirelpolinomioentreelfactorcomúnobtenemos:

16 4 124

4 34 3 3 2 2

22 2x y x y x y

x yx y xy

− += − +

Porlotanto,lafactorizaciónseexpresacomo:

16 4 12 4 4 34 3 3 2 2 2 2 2x y x y x y x y x y xy− + = − +( )

Análogamente,lafactorizacióndelossiguientespolinomiosqueda:

8m4n3 + 12m3n6 = 4m3n3(2m + 3n3)25x2y5z3 – 10x4y2z7 + 15xy6z5 = 5xy2z3(5xy3 – 2x3z4 + 3y4z2)

Antesdeintentarotrotipodefactorizacióndebedescartarseladefactorcomún,yaqueesposibleque,ademásdeésta,seefectúenotrasmás.

B5 �

183


Factorizalasexpresionesporfactorcomún.

1. 6x - 12 =2. 4x - 8y =3. 10x - 15x2 =4. 4m2 -20 am =5. ax + bx + cx =6. 4a3bx - 4bx =7. 3ab + 6ac - 9ad =8. 6x4 - 30x3 + 2x2 =9. 12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =10. 10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =11. 24a - 12ab =12. 14m2n + 7mn =13. 8a3 - 6a2 =

14. b4-b3 =15. 14a - 21b + 35 = 16. 20x - 12xy + 4xz =17. 10x2y - 15xy2 + 25xy = 18. 2x2 + 6x + 8x3 - 12x4 = 19. m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =

20. 34

89

2 2x y xy− =

21. 12

14

18

116

2 3 3 4 2 5 4 2a b a b a b a b+ − + =

22. 4

35125

815

1625

2 2 3 3a b ab a b a b− + − =

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es un binomio cuyos términos tienen signoscontrarios.Serepresentacomo:

x2 – a2

Parafactorizarunadiferenciadecuadradosseleextraeraízcuadradaalvalorabsolutodesustérminos,ylosbinomiosfactoresseobtienencomobinomiosconjugados.

Ejemplo

Factoriza:

1. x2 – 36

x2 = x x x x2 36 6 6− = + −( )( ) = 6

x x x2 36 6 6− = + −( )( )

2. 4a2 – 9b4 = (2a + 3b2)(2a – 3b2)

3. n2 – 13 = (n – 13 )(n + 13 )

Actividad

184

B5 �B5 �

Factoriza.

1. 9a2 –25b2 =2. 16x2 – 100 =3. 4x2 –1 =4. 9p2 – 40q2 =5. 36m2n2– 25 =6. 49x2 – 64t2 =7. 169m2 – 196 n2 =8. 121 x2 – 144 k2 =

9. 9

254936

2 2a b- =

10. 1

259

164 4x y- =

11. 3x2 – 12 =12. 5 – 180f2 =13. 8y2 –18 =14. 3x2 – 75y2 =15. 45m3n – 20mn =16. 2a5 – 162 a3 =

Trinomio de la forma x2 + bx + c

Eneltrinomiodelaformax2+bx+cidentificamosuntérminocuadrático(x2),untérminolineal(ax)yuntérminoindependiente(c).

Parafactorizaruntrinomiode laformax2+bx+cextraemosraízcuadradaaltérminocuadráticoybuscamosdosnúmerosnymtalque,multiplicados,denelvalordeltérminoindependiente(c)yque,sumadosorestados,denelcoeficientedeltérminolineal(b).

Sieltérminoindependienteespositivo,losdosnúmerosnymsondelmismosignoysesuman.Elsignoquelescorrespondeeseldelcoeficientedeltérminolineal.

Sieltérminoindependienteesnegativo,losnúmerossondesignocontrarioyalnúmeromayornomlecorrespondeelsignodeltérminolineal.

Lafactorizaciónserealizatomandobinomioscontérminocomún.

Analicemoslossiguientescasos:

Ejemplos

1.Factorizaeltrinomiox2 + 7x + 10

Alextraerraízcuadradaaltérminocuadráticotenemos:

x x2 =

Actividad

B5 �

185


Puesto que el término independiente es positivo, necesitamos dos númerosmultiplicados que den 10, que al sumarse den como resultado 7, y a ambos lescorrespondeelsignodeltérminolineal,esdecir,positivo.

Dichosnúmerosson5 y 7,pues:(2) (5) = 10 y 2 + 5 = 7

Lafactorizaciónquedacomo:x2 + 7x + 10 = (x + 5)(x + 2)

2.Analicemosotroejemplo.

Factorizaeltrinomiox2 – 3x – 28

Alextraerraízcuadradaaltérminocuadráticotenemos:

x x2 =

Puestoqueeltérminoindependienteesnegativo,necesitamosdosnúmerosquealmultiplicarseden-28 yquealrestarsedencomoresultado-3;porlotanto,almayorlecorrespondeelsignodeltérminolineal,esdecir,negativo;porconsiguiente,alotro,elsignocontrario,esdecir,positivo.

Losnúmerosbuscadosson4 y -7pues:

(4)(-7) = -28 y 4 + (-7) = -3Lafactorizaciónqueda:

x2 – 3x – 28 = (x – 7)(x + 4)

Análogamentesefactorizanlossiguientestrinomios:

m2 – 10m + 21 = (m – 7)(m – 3)

x2 – 4xy –12y2= (x – 6y)(x + 2y)

x2 - 10x + 25 = (x – 5)(x – 5) = (x – 5)2

Silosbinomiossoniguales,entonceslafactorizaciónesunbinomioalcuadrado.

Actividad

186

B5 �B5 �Factorizalossiguientestrinomiosendosbinomios:

1. x2 + 4x + 3 =2. b2 + 8b + 15 =3. 25m2 - 70 mn + 49n2 =4. 25x2 + 70xy + 49y2 =5. r2 - 12r + 27 =6. x2 - x - 2 =7.16m2 - 40mn + 25n2 =8. x2 - 12x + 35 =9. x2 + 14xy + 24y2 =10. m2 + 19m + 48 =11. x2 + 5x + 4 =12. x2 + 10x + 25 =13. b2 - 12b + 36 =

14. y2 - 3y - 4 =15. m2 - 2m + 1 =16. 4a2 + 4a + 1 =17. a2 + 7a + 10 =18. 49x2 - 14x + 1 =19. 36x2 - 84xy + 49y2 =20. 16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =21. 1 + 6a + 9a2 =22. h2 - 27h + 50 =23. 25a2c2 + 20acd + 4d2 =24. 289a2 + 68abc + 4b2c2 =25. s2 - 14s + 33 =26. m2 – 7mn + 12n2 =

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Eneltrinomiodelaformaax2+bx+c identificamosuntérminocuadrático(ax2),untérminolineal(ax)yuntérminoindependiente(c).

Parafactorizaruntrinomiodelaformaax2+bx+cprimeroextraemoslaraízcuadradadeltérminocuadráticosinsucoeficiente,esdecir:

x x2 =

Ahorabuscamosdosparejasdenúmeros(rys)y(nym)talesqueelproductoderysdelcoeficientedeltérminocuadrático(rs=a)yqueelproductodemyndeltérminoindependiente(mn=c);yquelasuma(oresta)delosproductosde los números de la primera pareja con los elementos de la segunda delcoeficientedeltérminolineal:

(rm±sn=born±sn=b)

Siel término independienteespositivo, losproductossesumanyaambosles corresponde el signo del término lineal; y si es negativo, se restan y alproductomayorlecorrespondeelsignodelcoeficientelineal,yalotroelsignocontrario.

Ejemplos

1.Analicemoselprocesofactorizandoeltrinomio8x2 – 14x – 15

x x2 =

Actividad

B5 �

187


Extraemosraízcuadradaaltérminocuadráticosinelcoeficiente.Necesitamos dos números que multiplicados den como resultado el coeficientecuadrático (8) y dos números que multiplicados den como resultado el términoindependiente(15).

Comoel término independiente es negativo, los productosde los elementosde laprimeraparejayloselementosdelasegundasedebenrestar,detalmaneraquedencomoresultadoelcoeficientedeltérminolineal(-14).

Lasparejasdenúmerosson4 y 2, y -5 y 3 pues (4)(2) = 8 y (-5)(3) = -15

Además(4)(-5) + (2)(3) = -20 + 6 = -14

Lafactorizaciónquedacomo:8x2 – 14x – 15 = (4x + 3)(2x – 5)

Observaquelosfactoresseformanconlostérminosquenosemultiplicaron.

2.Analicemosotroejemplo:14x2 + 43x - 21

Lafactorizaciónqueda:14x2 + 43x – 21 = (7x – 3)(2x + 7)

Análogamentesefactorizanlossiguientestrinomios:

2x2 – 5x + 2 = (2x – 1)(x – 2)4x2 + 9x – 9 = (4x – 3)(x + 3)

Factorizalossiguientestrinomios.

1. 5x2 + 11x + 2 =2. 3a2 + 10ab + 7b2 =3. 4x2 + 7x + 3 =4. 4h2 + 5h + 1 =5. 5 + 7b + 2b2 =

6. 7x2 - 15x + 2 =7. 5c2 + 11cd + 2d2 =8. 2x2 + 5x - 12 =9. 6x2 + 7x - 5 =10. 6a2 + 23ab - 4b2 =

Actividad

Actividad

188

B5 �B5 �11. 3m2 - 7m - 20 =12. 8x2 - 14x + 3 = 13. 5x2 + 3xy - 2y2 =14. 7p2 + 13p - 2 =

15. 6a2 - 5a - 21 =16. 2x2 - 17xy + 15y2 =17. 2a2 - 13a + 15 =

Suma y diferencia de cubos

Unasumadecubosesunbinomiocuyostérminostienensignosiguales(x3 +a3)yambostienenraízcúbicaexacta.Análogamente,unadiferenciadecubosesunbinomiocuyostérminostienensignocontrario(x3-a3)yambostienenraízcúbicaexacta.

Parafactorizarunasuma(x3+a3)ounadiferencia(x3 -a3)decubos,seextraeraízcúbicaaambostérminosyconellasseformaunbinomio(x+a)o(x-a).Elotrofactoresuntrinomioqueseformadeacuerdoconlasiguienteregla:elcuadradodelprimertérmino,elsignocontrarioaldelbinomio,elproductodeambostérminosmáselcuadradodelsegundotérmino.

Recuerda,paraobtenerlaraízcúbicadeuntérmino,seextraeraízcúbicaasucoeficienteysedivideentre 3elolosexponentesdela(s)variable(s).

Otrosejemplos:8a3 – 125b6 = (2a – 5b2)(4a2 + 10ab2 + b4)

64n3 + 216 = (4n + 6)(16n2 – 64n + 36)

Realizalassiguientesoperaciones1. 64 – x3 =2. 8a3b3 + 27 =3. 27m3 + 6n6 = 4. x6 – y6 =5. 1

88

273x + =

6. x3 1

64-

Actividad

B5 �

189


Factorización por agrupación

Enestecaso,setratadeaplicarlapropiedadasociativaparaextraerundoblefactorcomúnalagrupartérminosdentrodeunpolinomio.

Ejemplo

1.Factorizaap+bp+aq+bq

Observemosquelosdosprimerostérminostienenapcomofactorcomúnyquelosdosúltimostérminostienenaq.

Seextraefactorcomúnpdelosdosprimerostérminosyqdelosdosúltimosytenemos:p(a+b)+q(a+b)

Elbinomio(a+b)seconvierteahoraenfactorcomúnyporlotantotenemos:

ap + bp + aq + bq = p(a + b ) + q( a + b )= ( a + b ) ( p + q )

2.Veamosotroejemplo.Factoriza3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

Observemosqueelprimeryeltercertérminotienenamcomofactorcomún;y lostérminosterceroycuarto,tienenap.Ordenandoyagrupandotérminostenemos:

3am - 8bp - 2bm + 12 ap = 3am – 2bm + 12ap – 8bp

Yfactorizandoporfactorcomúntenemos:m (3a - 2b) + 4p(3a - 2b) = (3a - 2b)(m – 4p)

1. a2 + ab + ax + bx =2. ab + 3a + 2b + 6 =3. ab - 2a - 5b + 10 =4. 2ab + 2a - b - 1 =5. am - bm + an - bn =6. 3x3 - 9ax2 - x + 3a =7. 3x2 - 3bx + xy - by =8. 6ab + 4a - 15b - 10 =9. 3a - b2 + 2b2x - 6ax =10. a3 + a2 + a + 1 =11. ax - ay - bx + by - cx + cy =12. ac - a - bc + b + c2 - c =

Actividad

190

B5 �B5 �13. 6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =14. 18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =15. 3am - 8bp - 2bm + 12 ap =

16. 23

83

45

165

am am bm bn− − + =

17. 154

214

103

1433

5 72x xz xy yz x z− − + + − =

Factorización completa

Un polinomio está completamente factorizado si ninguno de sus factorespuededescomponersecomoproductodefactoresmássimples.

Ejemplos

Factorizacompletamentelossiguientespolinomios:

a) x3y – 4xy3

b) 5x3 + 10x2 – 40xc) x4 – 13x2 + 36 d) 16xy3 – 2x4

Solución

a)Factorizandoporfactorcomúntenemos:

x3y – 4xy3 = xy(x2 – 4y2)

Peroelsegundofactoresunadiferenciadecuadrados,porloquelafactorizaciónfinalquedacomo:

x3y – 4xy3 = xy(x2 – 4y2) = xy(x + 2y)(x – 2y)

b)Factorizandoporfactorcomúntenemos:

5x3 + 10x2 – 40x = 5x(x2 + 2x – 8)

Comoelsegundofactoresuntrinomiodelaformax2 + bx + c,porloquelafactorizacióncompletaqueda:

5x3 + 10x2 – 40x = 5x(x2 + 2x – 8) = 5x(x + 4)(x - 2)

c)Observemosquex4 – 13x2 + 36 = (x2)2 – 13x2 + 36elcualesuntrinomiodelaformax2+bx+cporloque:

x4 – 13x2 + 36 = (x2 – 9)(x2 – 4)

B5 �

191


Ambosfactoressondiferenciasdecuadradosasí,lafactorizacióncompletaes:

x4 – 13x2 + 36 = (x2 – 9)(x2 – 4) = (x + 3)(x – 3)(x + 2)(x – 2)

d)Factorizandoporfactorcomúntenemos:

16xy3 – 2x4 = 2x(8y3 – x3)

Comoelsegundofactoresunadiferenciadecubos,lafactorizacióncompletaquedacomo:

16xy3 – 2x4 = 2x(8y3 – x3) = 2x(2y – x)(4y2 + 2xy + x2)

Factorizalossiguientespolinomios.Verificalasrespuestas.

1. 2x2 – 5xy = 2. 4a + 6b -12c = 3. 10a2b3c4 – 15a3b2c4 + 30a4b3c2 = 4. 8a5 – 12a3 = 5. x2 + 9x + 8 = 6. y2 – 8y + 7 = 7. b2 – 8b – 20 = 8. w2 – 11w + 28 = 9. x2 – 6x + 9 = 10. y2 + 12y + 36 = 11. a2b4 – 14ab2 + 49 =

12. x2 + 3x + 94

y2 =

13. a2 – 16 = 14. x2 – 144 = 15. 25m2n4 – p6 = 16. x2 –13 =

17. 3x2 + 10x + 3 = 18. 2y2 – y – 6 = 19. 20a2 – 3a – 2 = 20. 10x2 + 11x – 6 = 21. 3x2 + 7x – 6 =22. 12x2 – 25xy + 12y2 =23. 4x4 + 15x2 – 4 =24. 4x4 – 45x2 + 81 =25. x3 + 1 =26. x6 – y6 =27. 8x3y6 + 16x6y12 =28. (x + y)3 – (x – y)3 =29. 343a3 + 729b3 =30. 512m6 – 1728n9 =

31. 827

127

3 6a b-

Actividad

192

B5 �B5 �

Unafracciónalgebraicasimpleesunafraccióncuyonumerador,denominadoroambos,contienepolinomios.

Lossiguientescasossonejemplosdefraccionesalgebraicassimples:

23

2

3

x yz

, 2 3a ba b−+

, 2 8 424 32 24

3 2

5 4 3

x x xx x x+ −+ +

, xx x

4

4 2

163 4−+ −

, xx

5 322

--

Unafracciónalgebraicacuyogradodelpolinomiodelnumeradoresmenorque el grado del polinomio del denominador, se llama fracción algebraicapropia.

Porejemplo:2 8 42

4 32 24

3 2

5 4 3

x x xx x x

+ -+ +

esunafracciónalgebraicapropia,pueselgradodelpolinomiodelnumeradoresmenorqueeldeldenominador;mientrasque:

xx x

4

4 2

163 4−+ − ,

xx

5 322

--

Las reglas para operar las fracciones algebraicas son las mismas que seutilizanconlasfraccionesaritméticas.Simplificarcorrectamenteunafracciónalgebraicayefectuarlasoperacionesdesuma,resta,multiplicaciónydivisiónentreéstas,dependedeldominioquese tengacon losproductosnotablesy la factorización, así como con los procedimientos utilizadospara realizaroperacionesconfraccionesaritméticas.

Para simplificar una fracción algebraica se factorizan tanto el numeradorcomoeldenominadorysecancelanfactorescomunes,aplicandopropiedadesdeexponentes.

Ejemplos

Simplificalassiguientesfraccionessimples:

a)5024

3 4 2

2 5 2

a b ca b c

b)-1525

5 4

5 2

x y zxy z

SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS PROPIAS (SIMPLES)

¿Sienunafracciónalgebraicasepuedendescomponerenfactoreselnumeradoryeldenominador,existiendofactorescomunes,éstossecancelan.Loanteriorpermitesimplificarlafracción,obteniendounaequivalentemássencilla.

acbc

ab

=

B5 �

193


c) 6012

4 5

5 4

a ba b

e)4

2 6

3

2

xx xy+

d) x xx x

2

2

8 157 10

+ ++ +

f) 3 64

2

2

x xx+-

Solución

a) 50

24

2512

3 4 2

2 5 2

a b c

a b c

ab

=

b)− =−1525

35

5 4

5 2

4x y zxy z

xyz

c)6012

54 5

5 4

a ba b

ba

=

d)x xx x

x xx x

xx

2

2

8 157 10

3 52 5

32

+ ++ +

=+ ++ +

=++

( )( )( )( )

e)4

2 6

2 2

2 32

3

3

2

2 2xx xy

x x

x x yx

x y+=

( )+

=+( )

f)3 6

43 2

2 23

2

2

2

x xx

x x

x xx

x+−

=+

+ −=−

( ) ( )

( ) ( )

Simplificarlassiguientesexpresiones,aplicandoloscriteriosdefactorizaciónquecorresponda.

1. 48

72a

ab=

2. 2575

2

2

a bab

=

3. 9632

3 2

4 3

m nm n

=

4. 35

( )( )a ba b++=

5. 35

( )( )a ba b++=

6. 4 45 5

a ba b++

=

7. x xyxy y

2

2

++

=

8. 8 7

64 492 2

x yx y+−

=

9. ( )

( )a b c

a b c− −− −

=2 2

2 2

10. 1 641 4

6

2

−−

=c

c

Actividad

194

B5 �B5 �11.

x xx

2

2

7 1025

+ +−

=

12. x x

x x

2

2

23 2− −+ +

=

13. a

a

2 93 3−+=

( )

14. m n

n m

2 2

2 2−−

=

15. y yy y

2

2

122 15+ −+ −

=

16. x xx x

2

2

5 68 15+ ++ +

=

17. 24 1844 33

x yx y−−

=

18. x

x x

2

2

168 16−

+ +=

19. 9 30 256 10

2x xx+ ++

=

20. xx x

2

2

2520

−+ −

=

21. 4 4 16 3

2y yx− +−

=

22. x xx x

2

2

6 87 12

+ ++ +

=

23. x xx x

2

2

4 128 12+ −+ +

=

24. 6413 40

2

2

−− +

=u

u u

Suma y resta

Lasumayrestadefraccionesalgebraicasserealizademaneraanálogaalasumadefraccionesaritméticassimples:

1. Sesimplificanlasfracciones,siesposible.

2.Secalculaelcomúndenominadordelosdenominadores.

3.Sedivideestecomúndenominadorentrecadaunodelosdenominadores,yelresultadosemultiplicaporelnumeradorcorrespondiente.

4.Posteriormente,sesumanorestanlosproductosysesimplificalafracciónresultante,siesposible.

El cálculo del común denominador equivale a calcular el mínimo comúnmúltiplodelospolinomiosdenominadores.

Paraobtenerelmcmdedosomáspolinomios,primerosefactorizandichospolinomios.

Elmcmeselproductodetodoslosfactoresdistintosqueaparezcantomadosconelmayorexponente.

Ejemplos

1.Hallarelmcmdelossiguientespolinomios:

x2 – 9, x2 + 6x + 9, x2 + 5x + 6

B5 �

195


Solución

Alfactorizarlospolinomiostenemos:

x2 – 9 = (x + 3)(x – 3), x2 + 6x + 9 = (x + 3)2, x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

Porlotanto,elmcmes:

(x + 3)2(x – 3)(x + 2)

2.Realizalasoperacionesindicadas:

a)x xx x

x xx

2

2

2

2

8 157 10

3 64

+ ++ +

++−

=

b)x

x xx

x x−+ −

−++ −

=4

3 41

3 42 2

c)x

x xx

x x−+ −

−++ −

=4

3 41

3 42 2

Solución

Simplificamos primero las fracciones antes de realizar las operaciones con lasfracciones, calculamos el común denominador y después realizamos el procesodescritoanteriormente.

a)x xx x

+ ++

+ +

2

2

8 157 10

x xx

+=

−

2

2

3 64

( )( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

x xx x

x xx x

+ ++ +

+ ++ -

=3 5

2 5

3 2

2 2x xx x

++

+ −3 32 2

= ( )( ) ( )( )( )( )

x x x xx x

+ − + ++ −

3 2 3 2

2 2

=

( )( )x x x x x x

x x x+ − + + + −

=+ − −

2 2 2

2

6 3 6 4 7 62 2 4

b)

xx x

xx x

xx x

xx x

-+ -

- ++ -

= -+ -

- ++ -

=43 4

13 4

44 1

14 12 2 ( )( ) ( )( )

x xx x x x- - -+ -

= -+ -

4 14 1

54 1( )( ) ( )( )

c)

xx

xx x

xx

xx x x

x x x( ) ( ) ( )( )

( ) (-

- --

++

=-

+ -+ -

++

= + - -1

31

31 1

31 1

31

12 2 2

33 1 3 11 1

2

2

)( ) ( )( ) ( )

x xx x

- + -- +

= + - + - + - +

- += -

- +x x x x x x

x xx x

x x

2 2 2

2

2

2

4 3 3 6 31 1

31 1( ) ( ) ( ) ( )

196

B5 �B5 �

Resuelve las siguientes operaciones algebraicas.

1. 32 6

4 35

x xx

x xx

--

-2 2

++

+ =

2. xx x+−−−=

11

212

3. 1 1

22

12xx

x x x+−+

−+=

4. 2 3

2 33

32

( )xx x x

−+ −

−+=

5. xx x

xx x−

+ −−=

11 2

2

6. 2

11

11

12x x x−−+−−=

7. 2 6 2 4 62

2

xx

x xx x

+−

+ −−

=

8. xx x+−+

−=

21

312

9. 1 12

222t

tt t t

+−+−+=

10. 23

3 312x

xx+

++−=

11. 31

2 92 7 92x

xx x+

+−− −

=

12. 12 4

3 8 39

3 8 3

2

2

2

2

x xx x

xx x

−+ −

+−+ −

=

13. 3 13x

xx

++−=

14. 42 5

5 62 5

7 82 5

mm

mm

mm+

+++−

++

15. 3 1220 7 6

1020 7 6

5 920 7 6

2

2

2

2

2

2

p pp p

p pp p

p pp p

−+ −

+++ −

−++ −

Actividad

B5 �

197


Multiplicación y división

La multiplicación de fracciones algebraicas se realiza de manera similara la multiplicación de fracciones aritméticas: producto de numeradoresentreproductodedenominadores, pero antesde realizar lamultiplicación,eliminamosfactoresigualesenelnumeradoryeneldenominador.

Ejemplo

Multiplicar5 43 2

6 1620

x xx x

x xx x

2

2

2

2

- +- +

+ -+ -c cm m

Solución

Factorizamos los polinomios y eliminamos factores iguales en numerador y endenominador:

x xx x

x xx x

x2

2

2

2

3 25 4

206 16

1− +− +

+ −+ −

=

−( )) −( )−( ) −( )

•+( ) −( )+( ) −( )

x

x x

x x

x x

2

1 4

5 4

8 2 =

x x x x

x x x x

-( ) -( ) +( ) -( )-( ) -( ) +( ) -( )

1 2 5 4

1 4 8 2

= xx

++

58

Enelsiguienteproductoserealizaelmismoproceso:

x xx x

x xx x

x2

2

2

2

3 103 2

2 34 5

2− −+ +

− −− −

=

+( )) −( )+( ) +( )

•+( ) −( )+( ) −( )

=+( ) −( ) +( ) −(x

x x

x x

x x

x x x x5

2 1

1 3

1 5

2 5 1 3))+( ) +( ) +( ) −( )x x x x2 1 1 5

= xx-+

31

Realizalossiguientesproductosdefraccionesalgebraicas:

1. 45

68

152

2

3

2

4

ab

ab

ba

=

2. 5 2514

7 710 50

x xx

+ ++

=

Actividad

Actividad

198

B5 �B5 �3.

xy yx xy

x xy yx xy

−+

+ +−

2 22

2

2

2 2

2 =

4. 11

2

2

2−+

+−

xa

a ax x

xa

=

5. 26

84 2

2x xx

++

=

6. a ab a ba a a ab

2

2 22 13

6 6− + −+ + −

=

7. m nmn n

nm n

+− −2

2

2 2

=

8. m nmn n

nm n

+− −2

2

2 2

=

9. x xy yx xy

xx y

2 2

2

2

2 2

4 42 4

− ++ −

=

10. 2 22

32 3

2

2

2

2

x xx

x xx x

+ −− −

=

11. 5 25

147 7

10 50x x

x+ +

+ =

12. x xx

x xx x

x xx x

2

2

2

3 2

2

2

216

2 8 44 4

+−

− −+

++ +

=

13. 2 2

2 504 5

3 32

2aa

a aa

−−

− −+

=

14. x y

xx x

x y

−( )−

+ +

−( )

3

3

2

211

=

15. x xx x x

x xx x x x x

xx

4

3 2

4

4 3 2 2

2273 9

1

3 3+− +

+− + +( ) −

=

Paradividirfraccionesalgebraicasconvertimosladivisiónenunamultiplicaciónalmultiplicarlafraccióndividendoporlafraccióninversadelafraccióndivisor,esdecir:

ab

cd

ab

dc

÷ =

B5 �

199


Yluegoserealizaelprocesodelamultiplicación.

Porejemplo:

x xx x

x xx x

x xx x

x x2

2

2

2

2

2

24 213 28

14 484 32

4 213 28

4+ −+ −

÷+ ++ −

=+ −+ −

+ −

33214 48

7 3

7 4

8 4

6 82x x

x x

x x

x x

x x+ +=

+( ) −( )+( ) −( )

+( ) −( )+( ) +( )

=

xx−+

36=

Enelsiguienteejemploserealizaelmismoproceso.

x xx x

x xx x

x xx x

x x2

2

2

2

2

2

211 2842

9 202 24

11 2842

2 2+ ++ −

÷+ +− −

=+ ++ −

− −

449 20

7 4

7 6

4 6

4 52x x

x x

x x

x x

x x+ +=

+( ) +( )+( ) −( )

+( ) −( )+( ) +( )

=

=xx

++

45

Realizalassiguientesoperacionesdefraccionesalgebraicas.

1. xy

xy

2

2 332

¸ =

2. 35

2

22 3a b

xa b¸ =

3 . x x−÷

−13

2 26 =

4. x xx x

x xx

3

2

2

2 65 52 6

−+

÷−+

=

5. m m

m mm mm m

2

2

2

2

14 484 21

4 323 28

+ ++ −

÷+ −+ −

=

6. x xx

xx

2 8 151

5 153 3

− +−

÷−−=

Actividad

200

B5 �B5 �

7. x x

x xx xx x

2

2

2

2

9 146

5 143 18

+ +− −

÷+ −+ −

=

8. m mm m

m mm m

2

2

2

2

8 1620

11 248 15

+ +− −

÷− +− +

=

9. x xx

xx

2 7 105

3 62 14

+ ++

÷+−

=

10. x xx x

x xx x

2

2

2

2

2 38 15

5 630

− −− +

÷+ −+ −

=

11. m mm m

m mm m

2

2

2

2

8 159 20

2 86 8

− +− +

÷+ −− +

=

12. xx x

x xx x

2

2

2

2

92 3

6 2710 9

++ −

÷− −− +

=

13. x xx x

x xx x

2

2

2

2

7 64 12

7 810 16

− +− −

÷+ −+ +

=

14. 6 5 66 17 12

12 17 612 7 12

2

2

2

2

x xx x

x xx x

− −− +

÷+ +

− + +=

15. 18 65 286 72

48 80 712 143 12

2

2

2

2

x xx x

x xx x

− −+ −

÷+ −+ −

=

I.Desarrollalossiguientesproductosnotables

1. ( )x - =1 2

2. (x2 - 1)2 =3. (4 + 3y3)2 =4. (x - 2)2 =5. (1 + 3x4)2 =6.(3x - 1)2 =7. (a3 - a2)2 =8. (a + 3)(a + 3)=

9. 1 8 1 8-( )· +( )=xy xy

10. (x3 - 3)2=11. (x3y3 - 6)(x3y3 + 6) =12. (x + y + z)(x + y - z)=13. (5ax+1 - 7)(5ax+1 - 4)=14. (2 + y)(4 - 2y + y2)=

15. 32

51a b x y2 3 4

2- =b l

16. (3x + 2)(3x - 2)=

Actividad

actividad - leer en albatros · para multiplicar un monomio por un polinomio ... , multiplicando el...

Documents