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Walter Orlando Gonzales Caicedo

www.goncaiwo.wordpress.com

POLINOMIOS

NOTACIÓN FUNCIONAL

Se utiliza para indicar las variables en una expresión algebraica. Par ello

emplearemos letras como P, F, G,..., etc.

Ejemplo:

P(x) se lee P de x: x variable

F(x;y) se lee F de xy: x, y variable

x, y, z variables

a, b, c constantes

VALOR NUMÉRICO

Es el número que se obtiene al reemplazar las letras de una expresión por valores

determinados.

Ejemplos:

1. Hallar el V.N. de: E(x,y,z) = x2 + y3 + 3z

Para x = 3; y = 2; z = 5

Solución:

V.N. “E” = (3)2 + (2)3 + 3(5) = 32

2. Hallar P(3,2), si P(x,y) = x2 + 5y + 20

Solución:

P(3,2) es el V.N. de P(x,y)

Para x = 3; y = 2

P(3,2) = 32 + 5(2) + 20 = 39

POLINOMIOS ESPECIALES

1. Polinomios Homogéneos

Son aquellos en los que todos los términos tienen igual grado.

Ejemplo: x3y2 – x5 + x2yz2

Es un homogéneo de grado 5.

2. Polinomios Ordenados



Un polinomio será ordenado con respecto a una de sus variables, si los

exponentes de dicha variable están aumentando o disminuyendo según sea el

orden ascendente o descendente.

Ejemplos:

Se tiene que el polinomio x4y7 – x8y10 + x5y24 Está ordenado

ascendentemente con respecto a y.

P(x) = 6 + x – 2x2 + 8x3

3. Polinomios Completos

Un polinomio será completo con respecto a una de sus variables si contiene todos

los elementos de dicha variable desde el mayor hasta el cero inclusive.

Ejemplo: xy8 – y8 + x3y7 + x2y8

Es completo con respecto a x.

Propiedad:

En todo polinomio completo y de una sola variable, el número de términos es

equivalente al grado aumentado en uno. Es decir:

Número de términos = Grado + 1

Ejemplo:

P(x) = x3 – x4 + 2x – 7x2 + 11x5 + 2

Como es completo:

Número de términos = 6

4. Polinomios Idénticos

Dos polinomios son idénticos si tienen el mismo valor numérico para cualquier

valor asignado a sus variables. En dos polinomios idénticos los coeficientes y sus

términos semejantes son iguales.

Ejemplo:

ax + by + cz = 8z + 2x – 5y

Donde:

a = 2; b = –5; c = 8



5. Polinomios Idénticamente Nulos

Son aquellas expresiones que son equivalentes a cero. Estando reducidas se

cumple que cada coeficiente es igual a cero.

Ejemplo: ax + by + cz = 0

Donde: a = 0; b = 0; c = 0

FACTORIZACIÓN

Proceso inverso de la multiplicación por medio del cual una expresión algebraica

racional entera es presentado como el producto de dos o más factores algebraicos.

Factor Divisor: Un polinomio no constante es factor de otro cuando lo divide

exactamente, por lo cual también es llamado divisor.

Factor Primo Racional: Llamamos así a aquel polinomio que no se puede

descomponer en otros factores. Racionales dentro del mismo campo.

Ejemplo:

El proceso: (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab, es una multiplicación.

En cambio el proceso: x2 + (a + b)x + ab = (a + b) (x +b) es una factorización

Donde:

(x + a), (x + b), son factores primos.

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

Factor Común Monomio

Consiste en extraer la parte que se repite en todos los términos para lo cual se

extrae la expresión repetida, elevada a su menor exponente.

Ejemplo:

Factorizar E(x,y) = 7x5y5 – 2x3y3 + x2y2

El factor común monomio será x2y2. Ahora dividiremos cada uno de los términos

cada uno de los términos entre dicho factor común, para lo que queda en el

polinomio. Luego de dicho proceso se tendrá:

)127( y)E(x, 3322 xyyxyx

Factor Común Polinomio



Se usa este método cuando el polinomio posee un factor común de 2 o más

términos. Por lo general, se encuentra luego de agrupar términos y bajo los

siguientes criterios:

- De acuerdo al número de términos

Ejemplo: si el polinomio tiene 8 términos podemos agrupar de 2 en 2 o de 4 en 4.

- De acuerdo a los coeficientes de los términos:

Ejemplo:

Factorizar:

E(x,y) = x12 + x8y4 + x4y8 + y12

Como no hay factor común monomio podemos agrupar los 4 términos de 2 en 2 y

en forma ordenada.

En cada uno de los tres grupos:

E = x6(x4 + y4) + y8(x4 + y4)

Factor Común Polinomio (x4 + y4). Ahora dividamos cada agrupación entre el factor

común polinomio.

))(( y)E(x, 8644 yxyx

Los factores primos no se pueden descomponer en nuevos factores, tiene un único

divisor que es sí mismo

Esta expresión tendrá 2 factores primos: )( 44 yx y )( 86 yx

Método de las Identidades

Aplicación de identidades notables para estructuras conocidas.

Recordemos los siguientes:

A) Trinomio Cuadrado Perfecto

A2 2AB + B2 = (A B)2

OBSERVACIÓN:

EL TRINOMIO O CUADRADO PERFECTO ES EL DESARROLLO DE UN BINOMIO AL

CUADRADO, SE CARACTERIZA POR PORQUE EL DOBLE DEL PRODUCTO DE LA RAÍZ

DE DOS DE SUS TÉRMINOS ES IGUAL AL TERCER TÉRMINO:



Todo trinomio cuadrado perfecto se transforma en binomio al cuadrado.

Ejemplo:

Luego: es un T.C.P.

B) Diferencia de Cuadrados

A2 – B2 = (A + B) (A – B)

Ejemplos:

1. Factorizar: x4 – 4b2

Solución:

Se tiene: (x2)2 – (2b)2 = (x2 + 2b) (x2 – 2b)

2. Factorizar: x2 + 2xy + y2 – z6

Solución:

x2 + 2xy + y2 – z6 (x + y)2 – (z3)2 = (x + y + z3) (x + y – z3)

C) Suma o Diferencia de Cubos

A3 B3 = (A B) (A2 AB + B2)

Ejemplo:

Factorizar: 27x3 – 8

Solución:

(3x)3 – 23 = (3x - 2) (9x2 + 6x + 4)

D) ASPA SIMPLE

Se utiliza para factorizar expresiones trinomios o aquella que adopten esa forma:

Ax2m + Bxmyn + Cy2n

Ejemplos:

Factorizar: a2 + b2 + 3a + 3b + 2ab - 28

Tenemos:

(a + b)2 + 3(a + b) – 28 (a + b + 7) (a + b – 4)

4 -4



ACTIVIDADES DE SISTEMATIZACIÓN

1. Factorización por Factor Común

48563 .8

)1(21 .7

)2(2)2(3 .6

124-6293 5.

4024816 .4

2.

7035 .1

22232

223223

3244223

753

332

mabbxabaabba

xax

xyxx

xayxayxa

yxyxyxyx

xxx

mnm

2. Factorización por diferencia de cuadrados

25

1 .8

81

49 .7

)2()( .6

)(4 .5

9

14 .4

49 .3

12125 .2

.1

42

1210

22

22

2

121062

42

282

nn

xn

n

ba

ba

xxa

yxx

x

azyx

yx

cba

3. Factorización por cuadrado perfecto

242

44222

126

42236

49141 )4

14424 )3

81198121 )2

257049 )1

yxyx

xmxama

xx

nanamm

4 8)

)(4)(4 )7

)()(2 )6

336

25

25

1 )5

2224

22

22

24

bbaa

mnmmnm

babaaa

xx



4. Factorización de Trinomios de la forma: cbxx2

3013 )4

406 )3

2928 )2

4013 )1

2

2

2

2

mm

nn

nn

aa

352 )8

365 )7

3314 )6

607 )5

2

2

2

2

aa

xx

aa

aa

ECUACIONES POLINOMIALES

Ecuación:

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en las que aparece una o varias

incógnitas. Cuando la igualdad entre las dos expresiones se verifica para cualquier

valor numérico de las incógnitas se llama identidad y no se considera una ecuación.

Ejemplo 1:

a) -2x = 8 es una ecuación con una incógnita

b) x2 - 2x = y – 1 es una ecuación con dos incógnitas

c) La igualdad 3x + 6 = 3(x+2) no se considera una ecuación sino una identidad

porque se verifica para cualquier valor de la variable x. En concreto, esta igualdad es

cierta para cualquier valor de x debido a la propiedad distributiva del producto

respecto de la suma.

Asimismo la igualdad (x+1)2 = x2 + 2x + 1 es una identidad.

En toda la unidad se trabaja en el conjunto de los números reales.

Una solución de una ecuación es un valor numérico de cada una de las incógnitas

para los que se verifica la igualdad.

Clases de Ecuaciones

Las ecuaciones pueden ser:

A. Polinómicas: Cuando las potencias de las variables son números naturales. Ejemplos:

x – 12 = 23

3x2 – 5x + 13 = 6

5x3 – 6x + 7 = 3x2

x4 – 5x + 6 = 0

B. Racionales. Cuando hay variables en el denominador. Ejemplos:



22

112

2

32

xx

x

82

1

1

3

xx

C. Irracionales. Cuando hay variables dentro de radicales. Ejemplos:

63223 xx 121

312

xx

D. Exponenciales. Cuando las bases son números y en los exponentes hay variables. Ejemplos:

642x

82 432 xx

E. Trigonométricas. Cuando en la ecuación hay funciones trigonométricas. Ejemplos:

senxxxsen 4cos3 22 5,021 xsen

F. Logarítmicas. Cuando en la ecuación hay funciones logarítmicas. Ejemplos:

16log4log 22x

xx ln5ln1

Clasificación de las Ecuaciones Polinomiales.

Ecuaciones Polinómicas de Primer Grado o Lineales: Una ecuación de primer

grado es siempre reducida a la forma típica: ax + b = 0; cuya solución es: x = -a

b;

siendo a y b coeficientes (números reales o expresiones algebraicas que no contienen

a x).

Si a 0, entonces la solución es determinada y única.

Si a = 0 y b 0, entonces no hay solución; la ecuación es imposible.

Si a = 0 y b = 0, entonces la solución es infinita: cualquier número; la ecuación es

indeterminada.

Ejemplo 1.

Resolver la ecuación: 6x – 5 = 2x + 7

Solución:

6x – 5 = 2x + 7

6x – 2x = 7 + 5



4x = 12 → x = 4

12

x = 3 → S. = 3

Ejemplo 2. Resolver la ecuación: 5

3

4

52

2

3 xx

Solución:

Hallando el M.C.M. a los denominadores de cada sumando, siendo el número 20;

desarrollando se obtiene:

30x - 40 = 25x+12

30x -25x = 12+40

5x = 52

x = 5

52 → S. =

5

52

Ejemplo 3. Resolver 2x+3=2x+5

Solución:

2x-2x = 5-3

0.x = 2 → x = 0

2

No hay solución, debido a que la ecuación es imposible.

Ejemplo 4:

Resolver 9x-2x+16=7x+14+2

Entonces:

9x-2x-7x = 14+2-16

0.x =0 → x = 0

0

Tiene infinitas soluciones, la ecuación es indeterminada.

Ejemplo 5. Resolver:

(x+5x)(x+2) – 3(4x-3) = (5-x)2

Solución:

2)5()34(3)2)(5( xxxx

22 1025912107 xxxxx

910251012722 xxxxx

5x = 6



x=2a

4acbb 2

x = 6/5 → S = 6/5

Ecuaciones Polinómicas de Segundo Grado:

Una ecuación de segundo grado puede ser siempre reducida a la forma ax2 + bx + c =

0; donde a es diferente de 0; a, b y c son coeficientes (números reales o expresiones

algebraicas que no contienen a x).

La resolución de una ecuación cuadrática puede realizarse ya sea por factorización,

completando cuadrados o aplicando la fórmula general.

A. Método de Factorización: consideremos el siguiente:

Ejemplo

Resolver x2 – 8x + 15 = 0

Solución:

x2 – 8x + 15=0

(x-5)(x-3)=0

x-5= 0 x-3=0

x= 5 x=3

→ S. = 5, 3

B. Método de Completar Cuadrados: consideremos el siguiente:

Ejemplo

Resolver: x2-6x+6=0

Solución:

x2-6x+6=0

x2-6x=-6

x2-6x+9=-6+9

(x-3)2=3

x-3= 3

x=3 3

Entonces:

x=3+ 3 x=3- 3

→ S. = 3+ 3 , 3- 3

C. Método de la Fórmula General: La solución de la ecuación de segundo grado es:

Estudio de las soluciones: ax2 + bx + c = 0, a 0 {a, b, c} R.



Donde:

= b2 - 4ac es el discriminante de la ecuación cuadrática.

Caso I: Si, = b2 - 4ac = 0; la ecuación tiene dos raíces reales e iguales a (-b/2a)

pero tiene una única solución real.

Ejemplo:

Sea x2 - 12x + 36 = 0

Tenemos que su:

= (-12) 2 - 4(1)( 36) = 144 - 144 = 0

Luego: Se tiene sus dos raíces iguales a 12/2(1) = 6 siendo esta una única solución.

Caso II: Si; = b2 - 4ac > 0 la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.

Si el discriminante es cuadrado perfecto entonces existen dos raíces reales racionales.

Ejemplo: x2 - 7x + 12 = 0

Tenemos: = (-7) 2 - 4(1) (12) = 49 - 48 = 1

Luego:

Si el discriminante no es cuadrado perfecto entonces existen dos raíces reales

irracionales conjugadas.

Ejemplo: 2x2 - 13x + 10 = 0

Tenemos: = (-13) 2 - 4(2)(10) = 169 - 80 = 89

Luego:

Caso III: Si; = b2 - 4ac < 0 la ecuación tiene dos raíces complejas y conjugadas.

Ejemplo: x2 + x + 1 = 0

Tenemos: = (1)2 - 4(1)(1) = - 3 < 0 entonces la ecuación admite 2 raíces complejas

conjugadas.

Luego:


I. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES LINEALES CON UNA Y DOS VARIABLES

1. x + 4 = 28

2. y – 6(5) - 5y = 31

3. 8z = 40 + 3z

3 x,4x2

17

2

1)7(x 21

1 2

( 13) 89 13 89 13 89 13 89 , x

2 2 2 2x x

1 2

1 3 1 3 1 3 , x

2 2 2

i ix x



4. 10x = - 5x + 60

5. -15y + 3 = - 36 - 18y

6. 2x + 4 + (3x - 4) = 3x + 12

7. -(3x + 2) - 8 = 5(x - 3) +15

8. 4(-x + 1) + 5 = -(x + 3) + 5

9. 4(3x + 2) - 8 = 2(2x -7) -1

10. -( - 2x - 4) - (5x - 3x + 2) = - 4x - ( - 8x + 2)

11. -(7x - 2 + 12) + ( - 5x - 3x + 4) = - ( - x + 7) - (6x - 4 - 7)

12. -18 - [ 3(x + 2) + 4] = 21 - [ 6( - 2x - 2) + 1]

13. 5x(8-x)-3x(5-3x)= -26-2x

14. x+3(x-1)= 6-4(2x+3)

15. (x+1)(2x+5)=(2x+3)(x-4)

16. 420

45

12

83

315

710 2

x

xx

x

x

17. 2)5(2)3()73(6)1(5 22 xxxxxxx

18.

19. – –

20.

II. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

21. Hállense dos números cuya diferencia sea 11, y un quinto de cuya suma sea 9.

22. Hállense dos números cuya suma sea 34 y cuya diferencia sea 10. 23. La suma de dos números es 73, y su diferencia, 37; hállense los números. 24. Un tercio de la suma de dos números es 14, y la mitad de su diferencia es

4; determine los números. 25. La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103.

¿Cuáles son los números? 26. Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular

la medida del lado del cuadrado. 27. Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se

triplica. ¿Cuánto mide el lado? 28. Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre

tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?

29. Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la edad de la novia era 3/4 de la edad del novio. ¿Qué edad tienen actualmente?

30. Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la edad del padre?

31. Una compañía fabrica un producto a un costo variable de S/ 3,50 por unidad. Si los costos fijos son de S/ 10,500, cada unidad se vende a S/ 4.50 ¿Cuántas unidades deben ser vendidas para que la compañía tenga una utilidad de S/ 7,000?



32. El ingreso obtenido al vender x artículos a un precio p es I = x.p Resuelva: En un tienda hay 500 pares de zapatos de dos marcas diferentes cuyos precios son S/ 80,00 y S/ 135,00. Si la venta de todos los zapatos produjo ingresos de S/ 46.600 ¿Cuántos pares de cada marca había?

33. El costo total de producción corresponde los costos fijos más los costos variables, es decir: C = CF + CV, aplicando la definición resuelva el problema: Una fábrica de camisas paga S/ 140.000 en arriendo, el costo del material es la mitad de la mano de obra ¿Cuanto paga por materiales y cuánto por mano de obra si el costo total asciende a S/ 500.000?

34. Se define como utilidad a la diferencia entre los ingresos totales recibidos y los costos totales, es decir: U= I - C , Resuelva: Un fabricante produce semanalmente 150 artículos los que vende al doble del costo menos S/ 100,00 ¿Cuánto es el costo de cada artículo si sus utilidades son de S/ 36.000?

35. Un fabricante produce lámparas que vende a US$ 8.200. Los costos de producción son: US$ 130.000 en arriendo y US$ 3.500 en material y mano de obra por cada lámpara producida ¿Cuántas lámparas debe producir para obtener utilidades de US$ 246.000?

36. Una empresa de productos alimenticios desea evaluar los márgenes de utilidad de cierto producto. Los costos fijos son de S/ 40,000, y el costo variable es de S/ 5.00. Si el precio de venta es de S/ 10.. Ud. es contratado para determinar:

a. La contribución de los ingresos generados por este producto a los costos fijos por unidad.

b. La cantidad por producir que asegurará a la empresa una utilidad de 20% sobre el costo total.

c. La utilidad, expresado en unidades de producción.

37. Un total de S/. 10.000 fue invertido en dos bancos comerciales A y B. Al final del primer año ganaron 6% y 5,75% respectivamente sobre las inversiones originales. ¿Cuál fue la cantidad original por banco si en total se ganó S/. 588,75 en intereses al año?

III. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES

1. 25x2 - 1 = 0

2. x3 + 10x2 + 25x = 0

3. x3 + x2 - 6x - 6 = 0

4. x2 + 2x - 5 = 0

5. x4 + x3 -9x2 - 9x = 0 6. x2 = 81 7. 14x2 - 28 = 0 8. (x + 6)(x - 6) = 13 9. (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0 10. (x + 11)(x - 11) = 23 11. x2 = 7x 12. 21x2 + 100 = - 5



13. 2x2 - 6x = 6x2 - 8x 14. (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 15. (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)

IV. Resuelve las siguientes problemas:

1. La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendrá

dentro de 6 años. Determina la edad actual. 2. Una persona compró cierto número de objetos en S/300. Podría haber

comprado 10 objetos más, si cada uno hubiese costado S/ 5 menos. ¿Cuántos objetos compró?

3. Una excursión para bucear costó $300. Si hubieran sido 3 miembros menos en el club, el costo por persona habría sido de $5 más. ¿Cuántos miembros hay en el club?

4. Gabriel Jesús compró cierto número de lapiceros por S/24. Si cada lapicero le hubiera costado S/1 menos, pudo haber comprado 4 lapiceros más por el mismo dinero. ¿Cuántas lapiceros compró y a qué precio?

5. Halla dos enteros consecutivos impares cuyo producto es 255 6. Pedro Antonio compró cierto número de relojes por US$192. Si el precio de

cada reloj es ¾ del número de relojes, ¿cuántos relojes compró? 7. Una fábrica de artículos de losas produce platos de tipo “A” y “B”. El costo

de producir plato “A” es de S/.2 más que el plato “B”. Los costos de producción de “A” y “B”, son de S/.1 500 y S/. 1 000 respectivamente, y se hacen 25 unidades más de “A” que de “B”. ¿Cuántas unidades de cada producto se fabrican?

8. El gerente de una fábrica de muebles sabe que el costo de vender “x” juegos de dormitorios es C=20x+60 y el ingreso de vender “x” juegos de dormitorios es I=x2-8x. Encuentre el punto de equilibrio de “x” (igualar los ingresos y los costos).

INECUACIONES

1. DEFINICIÓN: Es una desigualdad.

2. DESIGUALDAD: Es una relación que nos indica que una cantidad o expresión es mayor o menor que otra. Estos se establecen solo en el campo de los números reales. Signos: (Sirven para designar a las desigualdades)

diferente a mayor que menor que

También:

mayor o igual que menor o igual que

- +

| | | | | | | |

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3



Si a es (+) a 0

Si a es (-) a 0

3. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES

1. Sea: a b Si se le suma o resta: c

a c b c (NO VARIA)

2. Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por la misma cantidad, el sentido de la desigualdad NO VARIA.

Si: a b ac bc

y c 0 c

a

c

b

3. Si a b c 0

Cumple:

c

b

c

a

bcac

se invierte

4. Si a b b c

a b c a c

5. Si a b c > d

Se cumple: a + c b + d

6. Si a b c d Se cumple: a – c c - d

7. Si a b c d b 0 d 0 Se cumple: ac bd Consecuencias:

Si a b siendo b 0

nn

nn

ba

ba

Menores de

cero (-) Mayores de

cero (+)



0 2 4

+ +

8. Si: a b c d siendo b 0 c 0

Se cumple: c

a

d

b

4. CLASES DE DESIGUALDADES:

1. Desigualdad condicional o inecuaciones: Son aquellos que verifican solo para determinados valores o sistemas de valores atribuido a sus incógnitas y para los cuales están definidos sus miembros.

Ejemplo:

3x – 2 13

x 5

2. Desigualdad Incondicional: Toman cualquier valor o sistemas de valores.

Ejemplo:

a2 + 5 0

“a” toma cualquier valor real.

Solución:

a2 -5

Pero como a2 0 0 -5

a2 - 5 es OBVIO

5. CLASIFICACIÓN DE LAS INECUACIONES DE ACUERDO A SUS SOLUCIONES:

1. Inecuación Posible: a. Inecuación determinada: Sea: (x – 2) (x – 4) 0

Porque 2 x 4 (ya está determinada)

b. Inecuación Indeterminada: Sea (x – 3)2 + 1 0, cuando satisface para cualquier valor de x.

2. Inecuación Imposible o absurda: Cuando carece de soluciones: Ejemplo:

X2 -2 (es imposible)

a. Inecuación equivalente: Cuando tiene las mismas soluciones.} Ejemplo:

3x – 5 2x + 1



5x + 2 4 (x + 2)

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una inecuación de primer grado con una incógnita es aquella que puede reducirse a la

forma:

ax + b 0 ó ax + b 0

Si: ax + b 0

a

bx

Si: ax + b 0

a

bx

Si a = 0, la inecuación se reduce a:

b 0

Para todo valor de x; es positivo, lo cual se denomina ecuación indeterminada.

Ejemplo:

Resolver la inecuación:

3

2

2

1x2

6

2x3

5

1x2

Solución:

MCM (5, 6, 2, 3) = 30

Multiplicando por 30:

3

230

2

1x230

6

2x330

5

1x230

12x – 6 + 15x – 10 30x + 15 + 20

-3x 51

x -17

Graficando:

| |

- -17 +

- x -17 ó x - , -17

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Toda inecuación de 2do grado puede reducirse siempre a:



ax2 + bx + c 0 ; a 0

El conjunto solución: {x R / ax2 + bx + c 0} y dependerá de la naturaleza del

discriminante.

= b2 – 4ac

Luego:

Caso 1: Si = b2 – 4ac 0 = ax2 + bx + c, tiene dos raíces reales diferentes, por

ejemplo x1, x2, con x1 x2 , entonces:

ax2 + bx + c = (x – x1) (x – x2)

1.1) ax2 + bx + c 0 a (x - x1) (x – x2) 0

a) Si a 0 x - , x1 U x2 ,

b) Si a 0 x x1 , x2

1.2) Ax2 + bx + c 0 a (x – x1) (x – x2) 0

a) Si a 0 x x1 , x2

b) Si a 0 a (x – x1) (x – x2) 0

Caso 2: Si = b2 – 4ac = 0 ax2 + bx + c, tiene dos raíces iguales, es decir: x1 = x2,

luego:

Sea: ax2 + bx + c = a(x – x1)2

2.1 ax2 + bx + c 0 a (x – x1)2 0

a) Si a 0 x R – {x1}

b) Si a 0 x

2.2 Ax2 + bx + c 0. a (x – x1)2 0

a) Si a 0 x

b) Si a 0 x R – {x1}

Caso 3: Si = b2 - 4ac 0 ax2 + bx +c, no tiene raíces reales:

3.1. Si a 0 ax2 +bx + c 0, x R

3.2. Si a 0 ax2 + bx + c 0 , x R

Ejemplo:

Sea: x2 – 7x + 6 0

(x - 6) (x - 1) 0



x - , 1 U 6,


I. RESOLVER LAS SIGUIENTES INECUACIONES

1.

2.

3 . 7x2 + 21x − 28 < 0 4 . −x2 + 4x − 7 < 0

5 .

6 . 7 . X 2 – 25x + 144 < 0

8.

9 .

10. 123

1

2

13x

xx

11. 13

1)53(294

xxx

12. 103

4

15

135

5

9 xxx

13. 18

5

6

14

9

52 xxx

14. 012

1023

4

81

3

53 xxx

15. 222 )12(25)13( xxxx

16. 5623 x

17. 8542 xx

18. 0)2)(3( xx

19. 0)1()6( 2xx

20. 0)53()12( xx

21. 042x

22. 0862 xx

23. 01032 xx



24. 016 2 xx

25. 052

13

x

x

26. 052

13

x

x

27. 01

22x

x

28. 01

252x

29. 0189

42 xx

30. 11

22x

x

31. 193

25

x

x

32. 2

1

5

12

x

x

33. xx

x5

5

34. 1

1

1

1

x

x

x

x

35. 032

62

x

x

36. 0)2()13( xxx

37. 06116 23 xxx

38. 045 24 xx

39. 04

1582

2

x

xx

II. RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS

40.

41. 231

532 2

xx

xx



42. 1227

842

xx

x

43. 15332

12723

xx

xx

44. 51)1(3

32)1(34

x

xx

45.

31

6

67

3

33

13

2

522

xxx

xxx

46.

2

7

10

7

5

64

06

1

3

112

xxx

xx

MATRICES

1. Definición: Una matriz es un conjunto de números dispuestos en filas y columnas. Si hay m filas y n columnas, la matriz aparecerá así:

Donde:

El elemento está situado en la fila i y en la columna j.

El número de filas y columnas mxn recibe el nombre de dimensión de la matriz. Si m=n se dice que la matriz es cuadrada de orden n. El número total de elementos de la matriz es mxn. Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar coinciden en su valor.

Ejemplo:

Es una matriz de tamaño 4 x 3 Se emplean los paréntesis cuadrados con el fin de considerar la ordenación rectangular de números como una entidad.

2. Clases:



Según la forma de la matriz, esta puede ser:

Matriz fila: tiene una sola fila. La i–ésima fila de A es la matriz de tamaño 1 x n. Es decir:

Ejemplo:

Matriz columna: tiene una sola columna. La j–ésima columna de A es la matriz de tamaño n x 1.

Ejemplo:

Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas. En una matriz

cuadrada A de orden n los elementos se denominan elementos diagonales, y se dice que forman la diagonal principal de A.

Ejemplo: La siguiente es una matriz cuadrada de orden 3

Sus elementos diagonales son:

Matriz rectangular: La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn

Ejemplo:

Matriz transpuesta: dada una matriz A, se llama transpuesta de A, y se designa por AT, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas. Es decir:

si entonces la transpuesta de A es la matriz . Esto es,

la transpuesta de A se obtiene intercambiando las filas y columnas de A, se

denota por . Por lo tanto:



Ejemplo: Sea:

Entonces:

El siguiente teorema resume las propiedades básicas de la transpuesta.

Teorema Si c es un número real y A y B son matrices, entonces:

Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica si sus elementos cumplen que (los elementos de la diagonal principal pueden tomar cualquier valor). Es

decir: .Por tanto es simétrica:

Obsérvese que una matriz es simétrica si y solamente si es cuadrada y es simétrica con respecto a su diagonal principal

Ejemplo: Sean:

Entonces A es simétrica y B no es simétrica.

Matriz antisimétrica: se llama así a toda matriz cuadrada que cumple que:

(los elementos de la diagonal principal son todos nulos).

Ejemplo: 022

201

210

A



Atendiendo a los elementos, una matriz puede ser:

Matriz nula: todos sus elementos son cero y se denota por 0. Es decir:

Matriz diagonal: Una matriz cuadrada se dice diagonal si son nulos todos los elementos que no estén en la diagonal principal; es decir:

jia

a

a

a

A ij

nn

si0

0...00

.................

00...0

00...0

,

22

11

Ejemplo:

100

020

005

A

Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo:

500

050

005

A

Matriz Identidad o unidad: Matriz cuadrada tal que aij = 1 i = j, aij = 0 i j,

es decir son nulos todos los elementos que no están en la diagonal principal y los elementos de la diagonal principal son todos 1.

I=

10...00

.................

00...10

00...01

Ejemplo:

100010001

A

Matriz triangular superior: En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:

ji si0

...00

............

0

...

222

11211

ij

mn

n

n

a

a

aa

aaa

A



Ejemplo:

100

610

425

A

Matriz triangular inferior: En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros. Son de la forma:

ji si0

...

............

0

0...0

21

2221

11

ij

mnmm

a

aaa

aa

a

A

Ejemplo:

149

023

002

A

3. Igualdad entre matrices: Dos matrices y (del mismo

tamaño) son iguales si todos los elementos correspondientes son iguales, es decir:

para i= 1,2,…,m

Ejemplo:

Hallar x,y,z,w si:

423

32

52

9542

wz

yx

wz

yx

Solución:

Por la definición de igualdad entre matrices, tenemos:

2x-4=x+2

5y+9=3-y

z+2=3z

w-5=2w-4

Luego: Despejando x,y,z,w en las ecuaciones anteriores, tenemos:

x = 6, y = -1, z = 1, w = -1

OPERACIONES CON MATRICES

1. SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES.



Sólo se pueden restar

sumar matrices del mismo orden. Para ello se

tanres

suman los

elementos que ocupan las mismas posiciones. Es decir: consideremos A = (aij) y B = (bij)

Entonces: A + B = (aij + bij)

Ejemplo:

Sean: 032

641

410

132BA

Entonces

422

511

043120

)6(14312,

442

773

043120

614312BABA

2. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ.

Para multiplicar una matriz por un número real, se multiplica dicho número por todos y

cada uno de los elementos de la matriz. Es decir, sea: Є R y A = (aij) entonces:

.A = ( . aij)

Ejemplo: sea 410

132A

Entonces: 1230

3963 A

3. PRODUCTO DE MATRICES.

3.1.- PRODUCTO DE UNA FILA POR UNA COLUMNA.

3.2.- PRODUCTO DE DOS MATRICES. Para multiplicar las matrices A y B ha de cumplirse que el número de columnas de la matriz A sea igual al número de filas de la matriz B. Es decir, si A es de orden mxn, para que el producto AxB sea posible, B debe ser de orden nxp, y la matriz producto resulta de orden mxp. Más breve:

A mxn . B nxp = C mxp

¿Cómo se multiplican?

El elemento cij de la matriz producto resulta de multiplicar la fila "i" de la matriz A por la columna "j" de la matriz B, elemento a elemento y, luego, se suman los productos así

obtenidos. Brevemente: kjik

n

kij bac

1



Ejemplo: Multiplicar las matrices

22

23

53

46

43

01

12

x

x

BA

Solución:

23830

46

139

2354)4(33463

50)4(13061

5)1()4(23)1(62

xx

BA

OBSERVACIÓN:

El producto de matrices no tiene la propiedad conmutativa. Es decir:

A B B A.

Dos matrices A y B son inversas si los productos A.B y B.A son iguales a la matriz unidad.

Una matriz A es regular si posee matriz inversa. A la matriz inversa de A, se la designa por A-1

4. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Un determinante es un número asociado a una matriz cuadrada (orden n x n) formado por la suma de n! productos. En cada producto interviene un elemento de cada fila y un elemento de cada columna. Veamos en concreto cómo se desarrolla un:

4.1 DETERMINANTE DE 2º ORDEN: se desarrollan de la siguiente forma:

21122211

2221

1211aaaa

aa

aaA

Ejemplo: calcular el determinante de la matriz57

12A

Solución:

177107)1(5257

12A

4.2 DETERMINANTE DE TERCER ORDEN: se desarrollan mediante la llamada regla de Sarrus; es decir:

332112113223312213312312133221332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

A



Ejemplo:

1217284627841646)3(473)3(12)3(3)3(276414

473

316

234

6. MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA: Dada una matriz cuadrada A

de orden n se llama MATRIZ INVERSA DE A y se denota por A-1 a la matriz que

verifica: donde es la matriz identidad.

OBSERVACIÓN:

Si |A| 0 A posee matriz inversa (además se dice que A es inversible o regular).

Si |A| = 0 A no posee matriz inversa (se dice que A es singular).

6.1 Métodos de cálculo de la matriz inversa

Método de adjuntos:

A

AA

t

ad )(1

Método de Gauss: Veamos un ejemplo.

Ejemplo: Calcular la inversa de 210

121

011

A

Solución:

Lo haremos primero por el método clásico o método de adjuntos, el que viene indicado por la definición: la traspuesta de la adjunta dividida por el determinante. Primero, calculamos el determinante; si el determinante es nulo, no existe matriz inversa; si no es nulo, seguimos:

1210004

210

121

011

A

Calculamos ahora la matriz adjunta, sustituyendo cada elemento por su adjunto;

calculamos primero los adjuntos:

11221

11

1)01(10

01101

12

011)01(

10

11202

20

01

2)02(21

01101

10

212)02(

20

11314

21

12

33

32312322

21131211

A

AAAA

AAAA

Luego: formamos la matriz adjunta:



111

122

123

adA

Y finalmente hacemos la inversa, trasponiendo la matriz adjunta y dividida por el

determinante:

A

AA

t

ad )(1

111

122

123

111

122

123

1

11A

Ahora lo hacemos por el método de Gauss:

111100

122010

123001

111100

122010

001011

111100

011110

001011

100210

011110

001011

100210

010121

001011

Es conveniente, se haga por el método que se haga, comprobar la inversa

(multiplicada por la directa tiene que dar la identidad). Es decir:

100

010

001

210

121

011

111

122

123

ACTIVIDAD DE SISTEMATIZACIÓN

I . RESOLVER LAS SIGUIENTES EJERCICIOS:

1. Dadas las matrices:

415

003102

A

241

10121151

B

Calcular:

A + 3B; 2A – B; A.B; B.A; A.A; B.B

2. Dadas las matrices:

012

15

413

121

A

5

341

35

21

113

1

B



Calcular: A + B, A - B, A.B, B.A, A.A, B.B, A.A.A = A³.

3. Se consideran las matrices:

122

212301

A

40

32

11

A

0

3

1

2

16

1

5

2

3

13

1

3

2

2

1

C

Calcular:

3A, 3A + 2B, AC, CA, AB, BA, A-1, B-1, C-1

4. Calcular los siguientes determinantes de orden dos:

5. Calcular los siguientes determinantes de orden tres:

6. Calcular las inversas de las siguientes matrices, si las tuvieran.

a) 02

10 b)

43

21 c)

84

21

d)

114

301

211

e)

104

213

012

f)

1098

765

432

7. Calcula los productos posibles entre las matrices:

543

012C y

1

2

1

B ,

110

111

321

A

8. Para las matrices

3

1

2

D y

3001

2415

1032

C , 321

430B ,

304

211A , realiza

las siguientes operaciones:

a) AB b) A.D c) B.C d) C.D e) ATC



f) DTAT g) BTA h) DTD i) DDT

9. La siguiente tabla da el costo en soles de una lata de vegetales en tres diferentes supermercados.

Si un comprador compra 6 latas de alverjas, 4 de fríjol y 5 de maíz encuentre el

costo total en cada uno de los supermercados por medio de multiplicación de

matrices.

Rpta: Los costos en cada uno de los 3 supermercados son los siguientes:

Supermercado 1: 50.80



10. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.

a) Representar la información en dos matrices.

b) Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas

para cada uno de los modelos.

Alverjas fríjol maíz

3.3 2.5 4.2

3.4 2.3 4.0

3.6 2.8 3.5

Supermercado 1

Supermercado 2

Supermercado 3

walter orlando gonzales caicedo · un polinomio será ordenado con respecto a ... como no hay...

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