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UNIVERSIDAD DE TARAPACA

GUIA N° 3 ALGEBRA - ISIC

Verónica Zamudio R./2012

FACTORIZACIÓN La factorización es una operación, que permite escribir una expresión como producto, sin alterar el valor de ella. En Algebra los factores pueden ser de tres tipos: numérico, literal o completo: es decir contiene los dos primeros casos. I.-FACTOR NÚUÉRICO:- Se busca el número más grande, que divida a todos los

coeficientes numéricos dados sin excepción. A este número, se le identifica como Máximo Común Divisor (MCD).

Identificar el MCD y factorizar: a) 15a+10b= b) 8m-12n= c) 16a-20x= d) 24y-18z= e) 32x+24m= f) 0,5x-0,1y= g) 0,25s+0,06t= h)1,5a-2,5b= i) 0,6m+0,8n= j) 75x+100y= k) 72m+ 48r= l) 120s-100k= II.- FACTOR LITERAL: se reconoce como la o las letras repetidas que están contenidas en todos los términos dados; considerando el menor exponente dado, respectivamente. Identificar el factor literal y factorizar: a) 94 aa = b) 73 3xx = c) 32 54 mm = d) 274 hvh = e) 5293 nmnm = f) dxd 512 5 = g) yrr 87 76 = h) amma 533 = i) xx nn 26,0 = j) 3264 mm aa = k) 4,5g-2,7h= l)0,01a+0.02m=




III.-FACTOR COMÚN: Se caracteriza por contener los dos casos anteriores en

forma simultánea, siendo generalmente el factor un monomio, pero también se dá el caso de polinomios:

1) Factor común monomio:

a) 364 xx = b) 33618 aax = c) 96 2820 aa = d) 95 6,04,0 xx = e) 432 7248 mnmn = f) 76 5,15,2 xx =

g) 24

512

94 xx = h) abba 2,0

518 43 =

i) 3924

41575,0 jhjh = j) 86

83125,0 pp =

k) 5

815

49 xxy = l) 1013

433

415 ss =

m) 32 862 xxx = n) 2

522

yx

yx nn

=

ñ) 925364 52 nnn aaa = o) ba

ba

ba 96 23

=

p) 36

278

916

81xx

= q) qmpmnm xxx

IV.-FACTORIZACIÓN CON USO DE PRODUCTOS NOTABLES: En cada uno de los siguientes ejercicios, utilice las recomendaciones de

factorización, dadas anteriormente y una vez que las haya aplicado revise si el resultado obtenido, representa alguno de los productos notables antes vistos.

a) 1002 x = b) 100202 xx = c) 2961 aa =




d) 26 9ba = e) 53106 24169 nmnm = f) 22 1478412 yxyx = g) 23323 12123 yaxyaxa = h) 247254 36 mm = i) 2462 6126 mamma =

j) 189 2040 xx = k) 65 36 xx =

l) baba 72 +12= m) 1582 nmnm = n) xx 9,04,0 3 = ñ) 35 1622 aa = o) xyyx 7512 3 = p) mnnm 2045 3 = q) abba 1805 3 = r) 25102 yy = s) 108624 2 hh = t) 2753 x = u) 6483 a = v) 635 12898 yxx =




w) 23 20500 xyx =

y) 2

2

164y

xax =

z) 32 331 aaa = Soluciones:

I.-a)5(3a+2b) b)4(2m-3n) c)4(4a-5x) d)6(4y-3z)

e) 8(4x+3m) f) )51(

21 yx g) )

253

21(

21 ts h) )53

21 ba

ii.-a) )1( 54 aa b) )31( 43 xx c) )54(2 mm d) )1( 722 vhh

e) )1( 452 mnnm f) )512( 4 xdd g) )76(7 ryr h) )13( 42 maam

iii.-a) )32(2 2xx b) )2(18 2axa c) )75(4 36 aa d) )32(51 45 xx

e) )32(24 32 nmmn f) )35(21 6 xx g) )

53

91(4 22 xx h) )118(

51 32 baab

i) )51(43 524 jhjh j) )31(

81 26 pp k) )

253(

43 4xyx l) )57(

43 310 ss

m) )43(2 2xxx n) )1(32

yx

yx nn

ñ) )52( 41252 aaaa nnn

o) )96( 2 aaba p) )

3816

91(

91 36 xx q) )( qpnm xxxx

iv-a)(x+10)(x-10) b) 2)10( x c) 2)31( a d) )3)(3( 33 baba e) 253 )43( nm f) 2)72(3 yx g) 23 )2(3 yxa h) 23 )23(6 m

i) 22 )1(6 am j) )3)(6( 2020 xx k) )2)(3( 33 xx l)(a-b-3)(a-b-4)

m)(m+n+5)(m+n+3) n) )32)(32(101

xxx ñ) )9)(9(2 3 aaa

o)3xy(2x+5)(2x-5) p) )23)(23(5 mmmn q) )6)(6(5 aaab r) 2)5( y s)6(4h-9)(h+2) t) )51)(51(3 xx u) )41)((41(3 33 aa

v) )87)(87(2 333 yxyxx w)20x(5x+y)(5x-y) y) )21)(21(4ya

yax




FRACCIONES ALGEBRAICAS

I.- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS. Utilizando factorización y productos notables, reduzca a su más simple expresión:

a) yxyx

75502114

= Rp:

257

b) nmnm

48363627

= Rp:

43

c) 22

22

2 nmnmnm

= Rp:nmnm

d) xx

xx2

652

2

= Rp:

xx 3

e) 33

12

4

xx = Rp:

312 x

f) 16

1272

2

xxx = Rp:

43

xx

g)6523

2

2

xxxx = Rp:

31

xx

h) 43

3

1007525

xxx

= Rp:

x431

i) 454

252

2

aa

a = Rp:95

aa

j) 1525114

24

24

xxxx = Rp:

517

2

2

xx




k)aaxax

axa209

162

222

= Rp:

5)4(

xxa

l) 122

3

xxxx = Rp:

1)1(

xxx

m) 22

33

baba

= Rp:

bababa

22

n) 14015542273

2

2

xxxx = Rp:

)4(5)2(3

xx

ñ) xx

xx2

652

2

= Rp:

xx 3

o) 18996

2

2

mmmm = Rp:

63

mm

p) ba

baba33

2 22

= Rp:

3ba

q) xxxxxx

44103

23

23

= Rp:

25

xx

r) 1

12

3

xx

x = Rp: 1x




MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Simplifique y reduzca a la más mínima expresión las siguientes fracciones algebraicas, revisando cuidadosamente cada numerador y denominador, detectando si es posible factorizarlos.

a) 1

155

1 32

x

xx

x = Rp: )1(3 2 xx

b) 11

112 22

x

xx

xx = Rp: 2)1( x

c) 1811107

158189

2

2

2

2

aaaa

aaaa = Rp:

96

aa

d) 543

936

223

2

xxx

xxxx = Rp:

)3(1xx

e) 672

23294

2

2

xxx

xx = Rp:

3232

xx

f) 931

127

2

2

3

3

xxaa

ax = Rp:

13

ax

g) 23

145

1279

652

2

2

2

2

2

xxx

xxxx

xxx = Rp:1

h) 2

2

2

2

2

422

24

82

464

xx

zpqx

xzqp = Rp: 28 zpq

i) xx

xxxxx

212

2412714

223

2

= Rp:

127




j) 2764512

4541514

2

2

2

2

xxxx

xxxx = Rp:

51

xx

k) xx

xxx

xxx

xx51

822

2520

22

2

2

2

= Rp:x

l) 44

482162

2

2

23

2

2

2

xxxx

xxxx

xxx = Rp:

11x

m) 8232

15243

76107

2

23

2

2

2

2

aaaaa

aaaa

aaaa = Rp:

7)1(

aaa

n)222

5182122

3611

10281 23

22

2

aaa

aa

aa

aaa = Rp:

)6(4)9(

aaa

ñ)

xxxx

xx

xxxx

153328

1625

251020

2

23

2

2

2

2

Rp:4

)4(8

xxx

o)

384

126631 32

xx

aaa

aa = Rp:

)2(23xa

x

p) 5

2452056

4912 2

2

2

2

2

xxx

xxxx

xxx = Rp:

71x

q)3

1009310020

30727 2

23

2

2

4

x

xxxx

xxxx

xx = Rp:10

)3(

xxx




SUMA Y RESTA DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Procedimiento: 1º Determinar el mínimo común múltiplo algebraico; para ello

se debe considerar los siguientes pasos: a) Ubicar el mcm numérico b) Se obtiene el mcm literal como la letra repetida (o las),

pero con el mayor exponente dado c) Se identifica un representante de cada polinomio, pero

con el mayor exponente dado. 2º Se opera, con el mismo método que las fracciones

simples. 3º Se resuelven paréntesis y reducen términos semejantes,

reduciendo a la más simple expresión.

Resolver los siguientes ejercicios aplicando el procedimiento antes presentado, reduciéndolos lo más posible:

a) xxx 3

5276

2 = Rp: 261136

xx

b) 2

31

222

aa

aa

= Rp: 2143

aa

a

c) xy

xyxxy

yxx

2

22 2 = Rp:

xyx

d) 82

665

112

17222

ppppp

ppp = Rp:

42p

e) 253

126

712

3222

xxxxxx

x = Rp: 12

3x




f) 1

532

32

222

xxxx

xxx = Rp:

17x

g) ax

xaa

xax

xa2

22

= Rp: ax

xa2

3 22

h)

42

22

32yy

yy Rp:

4102 y

i) 22

2

22 2102

25 xyyxyx

yxxy

= Rp: 22

2

255

yxx

j)

ba

baa 211 = Rp:

bab

k)

112

xxx

xx = Rp: 2

)2)(1(x

xx

l)

aa

a111 2 = Rp: a

1

FRACCIONES ALGEBRAICAS COMPUESTAS

Desarrolle las siguientes fracciones, aplicando las propiedades de las 4 operaciones básicas de ellas. Conviene que trabajes el numerador y luego el denominador, buscando reducir y simplificar cada vez que puedas.

1)

yx

yx11

= 2)

441

22

2

y

yyy

=

3) xx

x

22

12 = 4)

yx

x

1

11




5)

2

22

21

22

x

= 6)

x11

11

1

=

7)

11

11

1

2

2

aa

aaa = 8)

x

xx

11

1

=

9) 22

22

111xaxa

ax

xa

= 10)

2

49

123

123

1

x

xx

=

11) 33

22

22

11 yxyx

xy

xy

yx

= 12)

xx

x

xx

x1

11

11

1

=

13)

942

173

83

94

6 14)

4111

11

41

11

=

Respuestas:

1)xy 2)y+2 3) 2

1x

4) yx 5) 22x 6)x+1

7)-a-1 8)x-1 9)a+x 10) 2

4x

11)x 12) 3

2x

13) 1401275 14)

2412




DESPEJE DE FÓRMULAS En todas las otras asignaturas, es común la presencia de fórmulas para conocer determinada variable. Te presentamos a continuación una técnica simple, que esperamos revises y compartas con tus compañeros y te ayuden a futuro en tu formación profesional. Insiste y organiza tu tiempo de trabajo.

Ejemplo: Despejar “r” en la fórmula )3(31 2 hrhV

1° Permutar o dar vuelta la igualdad, para que la incógnita quede a la izquierda de

ella. Vhrh )3(31 2

2° Eliminar fracciones sacando común denominador; en este caso es 3 Vhrh 3)3(2 3° Eliminar paréntesis, si es necesario Vhhr 33 32 4° Aislar el término que contiene la incógnita 32 33 hVrh 5° Despejar la letra o variable incógnita, en este caso “r”

2

3

33

hhVr

6° Es posible que el resultado se pueda expresar de otra forma equivalente




32

hhVr

EJERCICIOS PROPUESTOS

I.- Despeje la letra que se indica, usando el método propuesto u otro que le sea más conveniente:

a) MDD pe 2 "M" b) 22 hrS "r"

c) 1,045,0 3 DA "D" d) l

kd2

1cos "k"

e) N

LEGT "E" f)

EJQLF

3

"L"

g) 332Wd "W" h)

12

4hJ "h"

i) 2

dDL "D" j)

1000DNV

"N"

k) 3

34 rA "r" l) hrV 2

31 "r"

m) gET 2 "E" n) 2

21 mvA "v"

ñ) L

dD2

tg "d" o)

LdD

k

1 "D"

p) E

SRLD "R" q)

IPGLD

2

"L"

r) 22

4hdS "d" s) C

ktPDe 2

"k"




t) APNLV )1(

"P" u) 21

6PP

Td

2" P "

v) AL

RW2

2

"A" w) hdS "h"

y) fc 5,0 "f" z) c

xc 1

"c"

A) f 2 "f" B) 1cossen 22 " cos "

C) 22 sectg1 " tg " D) 2

21 atv "t"

E) dLT 432 "L" F) bhA

21

"b"

II.- Las siguientes fórmulas específicas son utilizadas en otras disciplinas, y en

ellas se te pide, despejar la variable que se indica:

1) Area trapezoide 2

cHbhahHA "h"

2) Perímetro de una elipse 222 baP "a"

3) Volúmen pirámide truncada 21123AAAAhV "h"

4) Volúmen de una Cuña 6

2 bhcaV "h"

5) Superficie de un pistón 4

2DS “D”

6) Potencia efectiva de un motor 602 NRFP

“N”




7) Potencia fiscal 6,0785,008,0. RDNfiscalP “R”

8) Cilindrada total ZLDVc 4

2 “D”

9) Peso de un volante 2VkTgP

“V”

10) Trabajo mecánico cos dFT “F” 11) Ec. del gas ideal PV=nRT “T” 12) largo de un rectángulo 22 adb “a” 13) Teorema de Euclides pqh 2 “p”

14) Teorema del seno sensen

ba “b”

15) Teorema del coseno bc

acb2

cos222

“a”

16) Área de un polígono regular de n lados 4

2)2(tg2

n

nnaA

“a”

17) Radio circunscrita a un triángulo A

cRsen2

“A”

18) Ángulo en una r

arcoAB “r”

19) Área triángulo dado 3 lados ))()(( csbsassA “a” (Teorema de Herón)

20) Radio círculo inscrito en un s

cbar

)(21

“a”

21) Flujo laminar 2

32mD

VLhpl

“D”




22) Velocidad de un ventilador 2

2

1

2

1

NN

hh "" 1N

23) Pérdida de cabeza debido a la fricción gD

LfVh2

4 2

“L”

24) Número de Reynold Vd

Re “d”

25) La relación entre la temperatura F en la escala de Fahrenheit y la temperatura

C en la escala Celsius está dada por

3295

FC “F”

26) La resistencia total para dos resistencias 1R y 2R conectadas en paralelo, está

dada por

21

21

RRRRR

"" 1R

APLICACIONES DEL DESPEJE DE FÓRMULAS 1) Fuerza transmitida, al efectuar un ensayo en un casco de seguridad:

)(21 22 dDDDHBF ""d

F fuerza en kg. HB= dureza Brinell D= diámetro de la bolita de ensayo en mm d= diámetro de la impresión en mm. 2) Cálculo de impuestos, está dado por:

)( DCYtIM “Y” IM= monto de impuesto T= tasa del impuesto sobre la renta Y= ingresos C= costos D= depreciación




3) Método de depreciación N

VRVADp “VA”

Dp depreciación en el período VA valor de adquisición VR valor de desecho N número de años de vida útil

4) Cantidad de dinero, después de un número cualquiera de años niCS )1( ""C

S= suma de dinero al finalizar el año n C= capital inicial i= tasa anual de interés que se paga sobre la cuenta n= número de años que el dinero queda en la cuenta 5) Beneficios netos anuales, de cada uno de los años de vida útil de un proyecto

ttt CBBN "" tB tBN beneficio neto en el año t tB beneficios brutos en el año t tC costos en el año t t 1,2,3,..T T= último año de la vida útil del proyecto

6) Sistema de poleas fija 1GF ""G

G carga suspendida rendimiento

7) Cálculo de conicidad: l

dDc ""d

dD diferencia de diámetros l altura del tronco del cono

8) Intensidad de corriente : RPI "" P

I= intensidad de corriente P=potencia R=resistencia




9) Tasa de riesgo por días, efectivamente perdidos por accidentes y

enfermedades (Trap)

221 añoTRañoTRTrap

"2" añoTR

10) Ecuación de Torricelli: ghv 2 ""h

11) Velocidad de corte en el taladro 1000

DNVc

"" D

D=diámetro de la broca N= número de revoluciones por minuto

12) Resistencia eléctrica del conductor S

LPRc

"" L

P= resistencia específica del material del conductor L= longitud total del conductor S= sección del conductor

VALORACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una vez aprendido el proceso que involucra trabajar con fórmulas, es necesario otorgarle valores a las variables, que te permitirán conocer el valor a la incógnita. Sé ordenado y riguroso, en el proceso de desarrollo de cada ejercicio y no olvides de compartir con tus compañeros.

1) Si a=3, b=5 determinar

bbaba

a

1

= Rp:-61

2) Si a=-31 determinar

aaa 21 23 = Rp:-27




3) Si a=2, b=21 determinar

2

8ab = Rp: 1

4) Si a= -21 determinar

1

21

1

11

a

aa = Rp:23

5) Si a=2; b=31 ; c=

21 entonces

acb

caba

543 2 Rp: -

310

6) Si a=2; b=5; c=-3 entonces 2

2

abbc

ba Rp:-

21

7) Si 21x determinar 222 xx Rp: 24

8) Si a=-21 determinar

aa

a 2

1

Rp:

23

9) Si x=4; y=32 valorar

xyxy 23 Rp:

211

10) Si a=-21 ; b=-

43 valorar abba 223 Rp:-

128105

11) Si r=0,5m; h=2m valorar hrVc2

31 Rp:

12) Si r= 41 pulg, h=2 pulg, valorar hrV 2 Rp:

13) Si R=32 , M=

23 , valorar 2MR Rp:

14) Si 30 105 D , N=48 valorar

20

ND Rp:

15) Si 101R , 202R , 303R entonces 321

111RRR

Rp:




16) Si kcq 2,11 ; kcq 8,12 ; r=0,25m entonces 221

rqqF

Rp:

17) Si P=3,625; g=0,02 entonces gP215,0 Rp:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE FÓRMULAS DE ESPECIALIDAD 1) En el período de un año, en una empresa se han producido 10 lesiones

incapacitantes y se trabajaron 200.000 H.H. a) Determinar, la tasa de frecuencia de lesiones incapacitantes por la fórmula

)(exp..106

estrabajadorosiciónHHHHntesincapacitalesionesdenTF




Solución: 000.200exp

10

bajadoresosicióntraHH

ntesincapacitalesionesn 50

000.2001010 6

TF

b) Si a la empresa le significaron 45 dias perdidos. Determinar la tasa de

gravedad por la fórmula

)(exphom..000.000.1)(

trabajadasosicióndebrehorasHHDCDEPperdidosdiastotalTG

DEP= días efectivamente perdidos por lesiones incapacitantes = 45 dias DC= días cargo imputados por invalidez permanente (tabla)= 150 dias

975000.200

10195 6

diasTG

2) Se tiene un cable de Cu de 40 metros de largo y 3,65 2mm y 3,65 2mm de

sección, sabiendo que la resistencia específica del cobre es 0,0179 mtmm 2 .

a) calcular la resistencia eléctrica del conductor mediante la fórmula

Solución: P=0,0179mtmm 2 .

SPLRc

L=40mt S= 3,65 2mm 2mm

196,065,3

400179,0Rc

b) Conocida la resistencia eléctrica del conductor, calcular la potencia perdida IRcPperdida , si la corriente que circula es de 225 amperes.

Solución: wattsPperdida 1,44225196,0

3) Calcular la cantidad de madera que hay en 75 tablas de igual medida, si se

sabe que el ancho es de 12”, el espesor de 3” y el largo es de 6,5 mt a través

de la fórmula 6,310

aeLNC

Solución: a= ancho del trozo del madera en “

e= espesor del trozo de madera en “ L= largo del trozo en pie N= número de trozos iguales




"5,4876,310

755,6312

C

4) Calcular el número de revoluciones, para perforar un acero Cr-Ni con una broca de 12 mm de acero rápido, si la velocidad de corte es de 24 min

m . Use

la fórmula 1000

DNVc

para calcular N, sabiendo que:

D= diámetro de la broca N= número de revoluciones por min. Solución: despejamos primero “N” de la fórmula dada y luego la valoramos

rpmN 63768,37000.24

AUTOEVALUACIÓN DE LA UNIDAD "ÁLGEBRA EN LOS REALES"

A continuación, te proponemos una evaluación formativa a desarrollar en forma individual, para luego compartir dudas e impresiones con tus compañeros, asesorados por el profesor. Para sentirte que estas con los objetivos logrados para la siguiente unidad, de un total de 18 preguntas debes contestar correctamente a lo menos 14. En caso contrario, debes reforzar lo antes posible los contenidos respectivos.




1) ¿Cuál de las siguientes expresiones, es un cuadrado de binomio y porqué?

a) 16129 2 xx b) 16249 2 xx c) 16249 2 xx

2) Calcular

111

aa

a= Rp:1+a

3) Simplificar; 158245

283242

4823512

2

2

2

2

2

2

xxxx

xxxx

xxxx = Rp:1

4) Si a=2, b=5, c=-3, calcular 2

2

abbc

ba Rp:-1/2

5) Reducir: 23

y

y

y

y

xy

yx Rp:

y

yx

6) ¿Cuál de las siguientes proposiciones son verdaderas? Justifica tu respuesta.

a) py

pxyxp 1 b)

yx

yp

yxp

c)

abbaba

111

7) Calcular;

x

x11

11 2

= Rp:

x11

8) ¿Cuál es el resultado de 2

11xx

?

a) 2

1

xx b) 21 xx c) 11 xx d)

xx 12

9) Si b

a 1 , 2bc entonces determina el valor de

acb ;

a) 2b b) 4b c) b d) b1 e) n.a.




10) Si 2xp , 3 xq entonces el valor de pq es?

a) 5x b) 1b c) 5x d) x e) 2x 11) Calcular 21 1 xxx xxx Rp: xx xx

12) Sea 25

52x ;

1

25

52

y entonces 11 yx Rp:

2111

13) Si a=2, b=31 , c=

21 entonces

acb

caba 5

43 2 Rp:

310

14) Calcular; baba

baab

bab

baa

22

2 Rp: 1

15) Si 21

a , calcular 1

21

1

11

a

aa Rp:23

16) Reducir 104

1254

22

nnn Rp:

1041n

17) Si 000170,0 = n107,1 entonces el valor de n es; Rp: -4 18) Calcular área y perímetro de un rectángulo, cuyos lados son (2x+3) y (6x-1).

guia n 4 factorizacion - chitita.uta.clchitita.uta.cl/cursos/2012-1/0000320/recursos/r-2.pdf · dá...

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