tema1 algebra [modo de...

HABILIDADES MATEMÁTICAS

Alejandro Vera TrejoAlejandro Vera Trejo

TEMARIO

12

ÁLGEBRA

MODELOS LINEALES

34

MODELOS NO LINEALES

INTERÉS SIMPLE 45

INTERÉS SIMPLE

6INTERÉS COMPUESTO

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

67

ANUALIDADES

8 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

BIBLIOGRAFIA

BÁSICABÁSICA

1. Aurelio Baldor, “ALGEBRA”, por Editorial Patria, septiembre 2007.2. Villalobos José Luis, "Matemáticas Financieras“ 2a Edición 2001 por Prentice Hall.3 Alf d Dí M Ví M l A il Gó " M á i Fi i "3. Alfredo Díaz Mata, Víctor Manuel Aguilera Gómez " Matemáticas Financieras",Tercera edición 1999 por Mc Graw Hill Interamericana.

4. Estadísticas para administración y economía, by David R. Anderson and Dennis J.Sweeney (Paperback - Jan. 2, 2008)y ( p , )

COMPLEMENTARIA

1 Perelman Yako “Matemáticas recreati as” Martíne Roca España 20021. Perelman, Yakov “Matemáticas recreativas” Martínez Roca, España 2002.2. Deulofeu Jordi, “Gimnasia mental 131 juegos”, Martínez Roca, México 2003.3. Cuellar Romero Nicolás, “Matemáticas para negocios, banca y comercio”, México2001.

4. Tan Soo Tang, “Matemáticas para administración y economía”, 3ª Edición CengageLearning, México 2005.

OBJETIVO GENERAL

El estudiante será capaz de generar unp grazonamiento dirigido a la aplicaciónde operaciones financieras ysoluciones de diversos problemassoluciones de diversos problemasrelativos al ámbito de negocios a travésde casos prácticos y solución debl ili d é iproblemas, utilizando técnicas

matemáticas.

1. ÁLGEBRAObjetivoObjetivo

Desarrollará la habilidad del uso delálgebra como herramienta quepromueva el análisis sobresituaciones particulares de unasituaciones particulares de unaorganización.

Pl á l llPlanteará casos reales que conllevenal análisis y solución de problemasalgebraicos. Se aplicarán expresionesg p palgebraicas de situaciones reales parael análisis y el razonamiento.

1. ÁLGEBRA¿Qué es el Álgebra?¿Qué es el Álgebra?

La palabra Álgebra procede del árabe yp g p ysignifica reducción y es la rama de lasmatemáticas que estudia lasestructuras las relaciones y lasestructuras, las relaciones y lascantidades.

Ál b dif i d l i é iÁlgebra a diferencia de la aritmética,en donde solo se usan los números ysus operaciones aritméticas (como +,p (−, , ), en álgebra los números sonrepresentados por símbolos(usualmente a b c x y z)(usualmente a, b, c, x, y, z).

1. ÁLGEBRA¿Qué es el Álgebra?¿Qué es el Álgebra?

Esto es útil porque:p q

Permite la formulación general deleyes de aritmética (como a + b = b +leyes de aritmética (como a + b = b +a), y esto es el primer paso para unaexploración sistemática de las

i d d d l ú lpropiedades de los números reales.

Permite referirse a números"desconocidos", formular ecuaciones yel estudio de cómo resolverlas.Permite la formulación de relacionesPermite la formulación de relacionesfuncionales.

1. ÁLGEBRA1.1 ¿Qué es un término algebraico?1.1 ¿Qué es un término algebraico?

Término algebraico: es el productog py/o división de una o más variables(factor literal) y un coeficiente o factornumérico Por ejemplo:numérico. Por ejemplo:

E é i l b i

23xyEn este término algebraico, tenemosque 3 es el factor numérico y xy elfactor literal.

En este término algebraico tenemos

ab−

En este término algebraico, tenemosque -1 es el factor numérico y elcoeficiente literal ab.

1. ÁLGEBRA1.2 ¿Qué es una expresión algebraica?1.2 ¿Qué es una expresión algebraica?

Expresión algebraica: es el resultadop gde combinar uno o más términosalgebraicos mediante las operacionesde adición y/o sustracción Porde adición y/o sustracción. Porejemplo:

28xab + 8xab +−23 25,04 yyzxxy −+

rpqpq538

315 22 −+−−


Se denomina grado absoluto de ungtérmino algebraico, a la suma de losexponentes de su coeficiente literal,por ejemplo:por ejemplo:

tiene grado absoluto 1 + 2 = 3El d l ió l fi i

23xyEl grado en relación al coeficienteliteral es el exponente de cada letra.

tiene grado absoluto 5+2+3+1+4=15

432503,0 decba−tiene grado absoluto 5+2+3+1+4 15


Cuando una expresión algebraica tienep gun sólo termino algebraico, recibe elnombre de Monomio. Si la expresiónalgebraica tiene dos términosalgebraica tiene dos términosalgebraicos recibe el nombre deBinomio. Si tiene tres términosl b i ib l b dalgebraicos, recibe el nombre de

Trinomio. Y en caso contrario si tienemás de tres términos algebraicos, segdenominaMultinómio.

Además las expresiones algebraicasAdemás, las expresiones algebraicascon exponentes positivos se llamanpolinomios.


Por ejemplo:j p

Es un monomio (polinomio),pues tiene un solo término algebraico

23xypues tiene un solo término algebraico(con exponentes positivos).

E bi i (28b Es un binomio (y es unpolinomio).

28xab +−

1Es un trinomio

(que no es un polinomio)

22 8315 −+−− pqpq

(que no es un polinomio).


Ley de los signosy g

más x más = másmás x menos = menosmás x menos = menosmenos x más= menosmenos x menos = más

Signos diferentes dan negativo ysignos iguales positivo. Estos solog g pfunciona para multiplicación ydivisión. Suma y resta depende de losnúmeros que acompañen al signonúmeros que acompañen al signo.

1. ÁLGEBRA1.3 ¿Qué es la valorización de expresiones

Algebraicas?

Es reemplazar cada variable por unp pvalor numérico que le corresponde yresolver las operaciones indicadas en laexpresión para determinar su valorexpresión para determinar su valorfinal. Por ejemplo:

i 1 222 23 si x=-1 e y = 2

Primero se reemplazan las variables y

22 23 xyxyx +−

p yse realizan las operaciones:

3)2)(1(2)2)(1()1(3 22 −=−+−−− 3)2)(1(2)2)(1()1(3 =+

1. ÁLGEBRA1.4 ¿Qué es la reducción de términos semejantes?1.4 ¿Qué es la reducción de términos semejantes?

Son los términos algebraicos queg qtienen el mismo factor literal, es decir,deben tener las mismas letras con losmismos exponentes La reducción demismos exponentes. La reducción detérminos semejantes consiste en sumaro restar aquellos que se encuentran enl ió l b i Ej lalguna expresión algebraica. Ejemplo:

abaaababa 14181585232 22 −++−++−−

Sumando los términos semejantes laexpresión queda:

.1752516 2 ++− ababa

1. ÁLGEBRA1.5 ¿Para que sirve el uso de paréntesis?1.5 ¿Para que sirve el uso de paréntesis?

En álgebra los paréntesis sirven parag p pindicar que las operaciones que ellosencierran tienen prioridad ante lasdemás o bien para indicar lo que estádemás, o bien para indicar lo que estádentro de ellos debe ser consideradocomo un todo.

Para suprimir los paréntesis se siguenlas siguientes reglas:g g

(i) Si un paréntesis es precedido por unsigno positivo entonces se puedesigno positivo, entonces se puedesuprimir sin cambiar los signos de lostérminos que están dentro de ellos.


(ii) En caso contrario, si un paréntesis( ) , pes precedido por signo negativo,entonces al suprimir el paréntesis lostérminos que están dentro de éltérminos que están dentro de élcambian de signo.

E l é i lEn el caso que a un paréntesis no lepreceda ningún signo, entonces seentiende que el paréntesis tiene unq psigno positivo.

Por ejemplo en la siguiente expresiónPor ejemplo, en la siguiente expresión,suprimir los paréntesis y reducir lostérminos semejantes.


xxyxyxyx 5)37()1842(3 ++++

Para resolverlo se puede hacer de dosformas una es eliminar los paréntesis y

xxyxyxyx 5)37()1842(3 −+−−+++−−

formas, una es eliminar los paréntesis yluego reducir los términos semejantes.Otra es reducir los términos semejantesd d l é i l li identro del paréntesis y luego eliminarlos paréntesis, y nuevamente reducirtérminos semejantes. Aplicando laj psegunda forma:

xyxxyx 5)36()416(3 −−−++−

yxxyxxyx

19125364163

−−=−−+−+−+−+=

1. ÁLGEBRA1.6 ¿Qué es la multiplicación de expresiones

algebraicas?

La más simple es la multiplicación dep pmonomio por monomio. En esta semultiplican los coeficientes numéricos,la parte literal y se aplican lasla parte literal y se aplican laspropiedades de las potencias. Ejemplo:

63242224 15)5)(3()5()3(

Para multiplicar un monomio por un

63242224 15.)5)(3()5()3( yxyyxxyxxy −=−=⋅−

p pbinomio, utilizamos la propiedad de ladistributividad de la multiplicación conrespecto a la adición esto es:respecto a la adición, esto es:

acbcabaacabcba )()( +=+=+=+

1. ÁLGEBRA1.6 ¿Qué es la multiplicación de expresiones

algebraicas?

Para multiplicar un binomio por unp pbinomio, también se utiliza lapropiedad de la distributividad de lamultiplicación con respecto a lamultiplicación con respecto a laadición. Esto es:

bdbcadacdcba +++=+⋅+ )()(En general esta propiedad se utilizapara multiplicar un monomio por

)()(

p p pcualquier multinomio.

232322332 31423 −−−−

+−+− khhkkhkhkh

2155

4321

89

22334−−−− +−+

−=

hkhkh

1. ÁLGEBRA1.7 ¿Qué es la factorización?1.7 ¿Qué es la factorización?

Es expresar un objeto o número porp j pejemplo un polinomio como productode otros objetos más pequeños(factores) (en el caso de números(factores), (en el caso de númerosdebemos utilizar los números primos)que, al multiplicarlos todos, resulta elbj i i l P j l l úobjeto original. Por ejemplo, el número15 se factoriza en números primos 3x5

Sacar el factor común es añadir laliteral común de un polinomio,binomio o trinomio con el menorbinomio o trinomio, con el menorexponente y el divisor común de suscoeficientes

1. ÁLGEBRA1.7 ¿Qué es la factorización?1.7 ¿Qué es la factorización?

Factor común por agrupación dep g ptérminos. Ejemplos

)( dcbaadacab ++=++ )( dcbaadacab ++++

)()( yxbyxabyaybxax +++=+++

El siguiente se aprecia claramente quese está repitiendo el término (x-y)p ( y)

Y por lo tanto la factorización es:)(7)(3)(5 2 yxyxxyxx −+−+−

Y por lo tanto la factorización es:

)735)(( 2 ++− xxyx

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