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ÁLGEBRA
3.1 – DIVISIÓN DE POLINOMIOS COCIENTE DE MONOMIOS El cociente de un monomIo por otro monomio de grado infer ior es un nuevo monomio cuyo grado es la diferencia de los grados de los monomios que se dividen.
(axm)(bxn) = nmxb
a −
TÉCNICA DE LA DIVISIÓN DE POLINOMIOS ♦ En el dividendo, dejamos huecos en los términos que faltan. ♦ Dividimos el monomio de mayor grado del dividendo por el monomio de mayor
grado del divisor. ♦ El producto de este monomio por el divisor, cambiado de signo, se coloca bajo el
dividendo y se suma. ♦ A partir de aquí volvemos a proceder como en los apartados anteriores hasta que el
grado del resto sea menor que el grado del divisor.
♦ Solución = D(x) : d(x) = C(x) + )x(d
)x(R
DIVISIÓN ENTERA Y DIVISIÓN EXACTA A la división entre polinomios en la que, además del cociente, hay un resto, se le llama
división entera: D(x) : d(x) = C(x) + )x(d
)x(R
Cuando el resto es cero, se dice que la división es exacta: )x(C)x(d
)x(D =
3.2 – DIVIDIR UN POLINOMIO POR x – a. REGLA DE RUFFINI 3.3.1 - REGLA DE RUFFINI La regla de Ruffini sirve para dividir un polinomio por x – a. Las operaciones (sumas y multiplicaciones por a) se realizan una a una. Se obtienen, así, los coeficientes del cociente y el resto de la división 3.3.2 - UN CRITERIO DE DIVISIBIL IDAD POR x – a Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x – a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a. Por tanto, para buscar expresiones x – a que sean divisores de un polinomio, probaremos con los valores de a (positivos y negativos) que sean divisores del término independiente.
3.3.3 - VALOR DE UN POLINOMIO PARA x = a El valor numér ico de un polinomio, P(x), para x = a, es el número que se obtiene al sustituir la x por a y efectuar las operaciones indicadas. A ese número se le llama P(a). 3.3.4 - TEOREMA DEL RESTO El valor que toma un polinomio, P(x), cuando hacemos x = a, coincide con el resto de la división P(x) : (x – a). Es decir, P(a) = r
3.3 - FACTORIZACIÓN UN POLINOMIO 3.5.1 - PROCEDIMIENTO PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO Factor izar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios (factores) del menor grado posible. Método para factorizar un polinomio: • Sacar factor común • Recordar los productos notables • Si es un polinomio de grado > 2 : Por Ruffini, probando con los divisores del
término independiente, hasta obtener resto cero: P(x) = (x – a).C(x) • Si es un polinomio de grado = 2: Se resuelve la ecuación de segundo grado:
ax2 + bx + c = 0 ⇒
++⇒
⇒
⇒
c bxax solución tieneNo
) x-a.(x doblesolución 1
) x- x).( x-a.(x distintas soluciones 2
2
21
21
3.5.2 - RAÍCES DE UN POLINOMIO Un número a se llama raíz de un polinomio P(x), si P(x) = 0 Método para calcular las raíces de un polinomio: • Se factoriza el polinomio • Se iguala cada uno de los factores a cero. 3.5.3 – INVENTAR POLINOMIOS Si una raíz es x = a ⇒ P(x) = (x – a)…..
3.4 - FRACCIONES ALGEBRAICAS 3.7.1 - DEFINICIÓN
Se llama fracción algebraica al cociente de dos polinomios. )x(Q
)x(P
3.7.2 - SIMPLIFICACIÓN Para simplificar una fracción, se factorizan numerador y denominador y se eliminan los factores comunes obteniéndose otra fracción equivalente.
3.7.3 - REDUCCIÓN A COMÚN DENOMINADOR Se sustituye cada fracción por otra equivalente, de modo que todas tengan el mismo denominador, que será el mínimo común múltiplo de los denominadores 3.7.4 - OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS • Suma y resta: Para sumar o restar fracciones algebraicas, estas se reducen a común
denominador y se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador. Después se simplifica la fracción resultante.
• Producto : El producto de dos fracciones algebraicas es el producto de sus
numeradores partido por el producto de sus denominadores.
• Fracción inversa de otra : La fracción inversa de )x(Q
)x(P es
)x(P
)x(Q.
• Cociente : El cociente de dos fracciones algebraicas es el producto de la primera por
la inversa de la segunda (Producto cruzado de términos).
3.5 – RESOLUCIÓN DE ECUACIONES ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. NÚMERO DE SOLUCIONES Una ecuación de segundo grado es de la forma ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0 Número de soluciones: Llamamos discriminante ∆ = b2 – 4ac
• Si ∆ >0 ⇒ Dos soluciones distintas
• Si ∆ = 0 ⇒ Una solución doble
• Si ∆ < 0 ⇒ No tiene solución RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
• Completa: ax2 + bx + c = 0 ⇒ x = a2
ac4bb 2 −±−
• Incompletas : Si b = 0 ax2 + c = 0 Se despeja x2 y luego se hace la raíz Si c = 0 ax2 + bx = 0 Se saca factor común la x y luego cada uno de los productos se iguala a cero y se obtienen las soluciones.
ECUACIONS BICUADRÁTICAS ax4 + bx2 + c = 0 Se hace un cambio de variable x2 = t Se resuelve la ecuación de segundo grado en t Se calcula las x como la raíz de t
ECUACIONES CON RADICALES Si sólo hay una raíz – Se aísla la raíz en un miembro de la ecuación y se elevan ambos miembros al cuadrado.
Si hay más de una raíz – Se aísla una raíz en un miembro de la ecuación y se elevan los dos miembros al cuadrado. Esto habrá que hacer tantas veces como raíces tenga. Nota : Al elevar al cuadrado se duplican las soluciones, por tanto es necesario comprobar las soluciones en la ecuación inicial. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CON “ x” EN EL DENOMINADOR Hacer común denominador Eliminar denominadores Resolver la ecuación lineal obtenida Comprobar las soluciones ECUACIONES DE GRADO MAYOR QUE DOS Se factoriza (Utilizando sacar factor común, productos notables, ecuaciones de segundo grado, Ruffini ) y luego se iguala cada factor a cero. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
| x –a | = b
−=−=−
bax
bax
ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Ecuaciones exponenciales son aquellas en la que la incógnita está en el exponente. • Si no hay sumas :
• Si se pueden poner todos en función de la misma base : ax = ay ⇒ x = y • Si no se pueden poner todos en función de la misma base: Aplicar la
definición de logaritmo : ax = b ⇒ x = log a b • Si hay sumas: Cambio de variable ax = t
Resolver la ecuación en t Calcular la x
Ecuaciones logar ítmicas son aquellas en las que la incógnita está en una expresión afectada por un logaritmo. Utilizar las propiedades de los logaritmos: k = log a a
k log ab = b.log a log a + log b = log (a.b) log a – log b = log (a/b) Comprobar las soluciones en la ecuación inicial teniendo el cuenta que el dominio de un logaritmo es [0,+∞) [ log (f(x)) ⇒ f(x) > 0 ]
3.6 – SISTEMAS DE ECUACIONES SOLUCIÓN Una solución de una ecuación con varias incógnitas es un conjunto de valores (uno para cada incógnita) que hacen cierta la igualdad.
Las soluciones con más de una incógnita suelen tener infinitas soluciones
DEFINICIÓN DE UN SISTEMA
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones de las que pretendemos encontrar su solución (o soluciones) común.
RESOLVER UN SISTEMA
Para resolver un sistema de ecuaciones consiste en buscar una solución común a todas ellas.
METODOS TRADICIONALES: SUSTITUCIÓN, IGUALACIÓN Y REDUCCIÓN • Sustitución: Despejar una incógnita de una ecuación y sustituir en la otra • Reducción: Multiplicar las ecuaciones por los números adecuados para que al
sumarlas se vaya una incógnita. • Igualación: Se despeja la misma incógnita de las dos ecuaciones y se igualan.
3.7 – MÉTODO DE GAUSS PARA SISTEMAS LINEALES
El método de Gauss es una interesante generalización del método de reducción para sistemas lineales de más de dos ecuaciones e incógnitas. SISTEMAS ESCALONADOS Un sistema escalonado es un sistema de ecuaciones en la que en cada ecuación hay una incógnita menos:
ax + by + cz = d b’y + c’z = d’ c’ ’z = d’ ’
Se resuelven de abajo arriba: Primero la última ecuación, después la penúltima,..
MÉTODO DE GAUSS Consiste en mediante operaciones elementales, sustituir una ecuación por una combinación lineal de otra, transformar un sistema en un sistema escalonado que es más sencillo de resolver.
El mismo camino puede hacerse operando sólo con el “esqueleto numérico” del sistema llamado matr iz del sistema
==+
=++≈
≈
≈
=++=++
=++
ihz
gfzey
dczbyax
ih00
gfe0
dcba
''d''c''b''a
'd'c'b'a
dcba
''dz''cy''bx''a
'dz'cy'bx'a
dczbyax
Sistema Compatible Determinado ⇒ Tiene una única solución (∃! solución) SISTEMAS INCOMPATIBLES (sin solución) Si al aplicar el método de Gauss llegamos a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = k (k ≠ 0), entonces el sistema es Incompatible ⇒ No tiene solución SISTEMAS INDETERMINADOS (con infinitas soluciones) Si al aplicar el método de Gauss llegamos a una ecuación del tipo 0x + 0y + 0z = 0, se suprime. Si quedan menos ecuaciones que incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones. Se llama Sistema Compatible Indeterminado ⇒ Existen Infinitas soluciones
3.8 – INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA DEFINICIÓN DE INECUACIÓN
Una inecuación es una desigualdad (<, ≤, >, ≥) entre expresiones algebraicas.
SOLUCIÓN DE UNA INECUACIÓN
Solución de una inecuación es un valor de x con el cual se cumple la desigualdad.
RESOLVER UNA INECUACIÓN Resolver una inecuación consiste en encontrar todas sus soluciones.
Habitualmente tiene infinitas, que se agrupan en intervalos de R.
• Inecuaciones lineales de pr imer grado: (Se resuelven como una ecuación normal teniendo en cuenta que si se multiplica o divide por un número negativo la desigualdad cambia de signo)
ax + b > 0 ⇒ ax > -b : Si a > 0 x > -b/a ⇒ x ∈ (-b/a, +∞) Si a < 0 x < -b/a ⇒ x ∈ (-∞, b/a)
• Inecuaciones lineales de grado mayor o igual que dos
Se igualan a cero y se resuelve la ecuación. Estas soluciones dividen la recta real en partes. Tomando un número en cada parte se comprueba si cumplen la inecuación o no. Si la cumplen todo ese intervalo es solución. También habrá que comprobar los extremos de los intervalos.
ax2 + bx + c > 0 ⇒ ax2 + bx + c = 0 ⇒
==
2
1
xx
xx
x1 x2
x ∈ ( -∞,x1) ∪ (x2, +∞) Si la desigualdad contiene el igual los puntos se pintan y se cogen los extremos.
• Inecuaciones con cocientes
Se igualan a cero, por separado, numerador y denominador y se resuelve las ecuaciones.
- Los puntos del numerador se incluyen si en la desigualdad está el igual. - Los puntos del denominador nunca se incluyen (no se puede dividir por cero.
Estas soluciones dividen la recta real en partes. Tomando un número en cada parte se comprueba si cumplen la inecuación o no. Si la cumplen todo ese intervalo es solución.
SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE INECUACIONES Solución de un sistema de inecuaciones es una solución común a todas las inecuaciones que lo forman.
RESOLVER UN SISTEMA DE INECUACIONES Resolver un sistema de inecuaciones consiste en encontrar todas sus soluciones.
Se resuelven por separado cada inecuación del sistema y luego se haya la intersección de las soluciones, es decir, las que cumplen todas las ecuaciones a la vez.
3.9 – INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS DEFINICIÓN Una inecuación lineal con dos incógnitas adopta una de estas formas:
ax + by + c < 0 ó ax + by + c > 0 En vez de los signos < o > pueden tener ≤ o ≥ En cada una de ellas, el conjunto de soluciones es el semiplano que está a uno de los lados de la recta ax + by + c = 0. Cuando en la desigualdad está incluido el “ igual” , los puntos de la recta también son soluciones. RESOLUCIÓN GRÁFICA DE UNA INECUACIÓN Para resolver gráficamente una inecuación con dos incógnitas f(x,y) ≤ g(x,y): 1. Se pasa todo a un miembro y se opera hasta obtener f(x,y) ≤ 0 2. Se representa la recta f(x,y) = 0 (Continua si la desigualdad no se estricta y
discontinua si es estricta) 3. Esta recta divide al plano en dos partes 4. Se toma un punto cualquiera del plano que no esté en la recta. Si ese punto cumple
la desigualdad todo este semiplano será la solución de la inecuación, si no la cumple, la solución será el otro semiplano.
3.10 – SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS Var ias inecuaciones forman un sistema cuando se buscan las soluciones comunes a todas ellas.
Como el conjunto de soluciones de una inecuación de primer grado con dos incógnitas es un semiplano, el conjunto de soluciones de un sistemas de inecuaciones de este tipo es la intersección de varios semiplano, es un recinto poligonal o bien un recinto abier to. Es posible que los semiplanos no tengan ningún punto en común. En tal caso el sistema no tiene solución y se dice que es incompatible. Las soluciones de un sistema de inecuaciones son las soluciones comunes a todas las inecuaciones que forman el sistema. Pasos: - Se resuelve cada inecuación por separado y se representa su solución en el mismo
plano. - Se toma como solución la intersección de las soluciones es decir las zonas que estén
cogidas en todos los semiplanos.
ÁLGEBRA
DIVISIÓN DE POLINOMIOS EJERCICIO 1 : Realiza las siguientes operaciones con polinomios: a) ( ) ( ) ( )12231 222 +−−− xxxx b) ( ) ( )xxxx 2:236 24 −+−
c) ( ) 2522 33 xxxx −++ d) ( ) ( )2:235 224 ++− xxxx
e) ( )( ) ( )3132 222 −−−+− xxxxx f) ( ) ( )12:224 225 −−+− xxxx
g) ( )123232 2
2−+−
+ xxx h) (2x3 – 3x2 + 2):(x2 + 1)
i) ( ) ( )xxxx 3232 222 −−+ j) ( ) ( )1:224 23 ++− 2xxx 2 Solución:
( ) ( ) ( ) 2x2x5x2x32x2x2x3x2x31x2x2x31x a) 2342234222 −+−−=−−+−−=+−−−
Cociente = 6x2 + 12x + 24 Resto = 45x + 2
( ) 2345252342522 x6x12x4xx3xx9x12x4x3xx3x2c) +++=−+++=−++
Cociente = 5x2 − 13 Resto = 2x + 26
e) ( )( ) ( )3132 222 −−−+− xxxxx = x4 - 2x3 + 3x2 – x2 + 2x – 3 – x3 + 3x2 = x4 – 3x3 + 5x2 + 2x – 3
Cociente = 2x3 + x − 1 Resto = 2x − 3
( ) 5x3
2x
9
231x2x34x
3
8x
9
41x2x32x
3
2g) 2222
2++−=+−−++=−+−
+
Cociente = 2x − 3 Resto = −2x +5
( ) ( ) ( ) x15x2x12x4x6x2x9x12x4x6x29x12x4xx3x23x2xi) 235235224222 +−+=+−++=+−++=−−+
Cociente = 2x − 1 Resto = −2x + 3
TEOREMA DEL RESTO EJERCICIO 2 : Obtén el valor de k para que el polinomio P(x) ==== 3x5 ++++ 2x3 ++++ kx2 −−−− 3x ++++ 4 sea divisible entre x ++++ 1. Solución: Para que P(x) sea divisible entre x + 1, ha de ser P(−1) = 0; es decir: P(−1) = − 3 − 2 + k + 3 + 4 = k + 2 = 0 → k = −2 EJERCICIO 3 : Calcula el valor numérico de k para que la siguiente división sea exacta: (kx4 −−−− 3x2 ++++ 4x −−−−5) : (x −−−− 2) Solución: Llamamos P(x) = kx4−3x2 + 4x − 5. Para que la división sea exacta, ha de ser P(2) = 0; es decir:
( )169
09165812162 =→=−=−+−= kkkP
EJERCICIO 4 : Halla el valor de k para que el polinomio P(x) ==== kx3 −−−− 3kx2 ++++ 2x −−−− 1 sea divisible entre x −−−− 1. Solución: Para que P(x) sea divisible entre x − 1, ha de ser P(1) = 0; es decir:
( )21
0121231 =→=+−=−+−= kkkkP
EJERCICIO 5 : Consideramos el polinomio P(x) ==== 7x4 −−−− 2x3 ++++ 3x2 ++++ 1. a) Halla el cociente y el resto de la división: P(x) : (x ++++ 2) b) ¿Cuánto vale P(−−−−2)? Solución:
Cociente: 7x3 – 16x2 + 35x – 70 Resto: 141 b) P(-2) = 141 EJERCICIO 6 : a) Calcula el valor numérico de P(x) ==== 14x6 −−−− 2x4 ++++ 3x2 −−−− 5x ++++ 7 para x ==== 1? b) ¿Es divisible el polinomio anterior, P(x), entre x −−−− 1? Solución: a) P(1) = 14 − 2 + 3 − 5 + 7 = 17 b) No. Por el teorema del resto, sabemos que el resto de la división P(x) : (x − 1) coincide con P(1). En este caso P(1)
= 17 ≠ 0; por tanto, P(x) no es divisible entre x − 1. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS EJERCICIO 7 : Factoriza los siguientes polinomios: a) x4 + x3 – 9x2 – 9x b) 3xxxx +−+− 444 234
c) 234 103 xxx −+ d) xxxx 33 234 −−+
e) xxxx 842 234 −−+ f) 1243 23 −−+ xxx
g) 234 54 xxx −− h) 233 −− xx
i) xxxx 632 234 +++ j) xxxx 99 234 −−+ Solución: a) Sacamos factor común: ( )9999 23234 −−+=−−+ xxxxxxxx
( ) ( )( )( )1339923 ++−=−−+ xxxxxxxx
b)
( )( )( )1313444 2234 +−−=+−+− xxxxxxx
Raíces: x = 1, x = 3 c) Sacamos factor común: ( )103103 22234 −+=−+ xxxxxx
Buscamos las raíces de x2 + 3x − 10 resolviendo la ecuación:
Por tanto: ( )( )52103 2234 +−=−+ xxxxxx
d) Sacamos factor común: ( )3333 23234 −−+=−−+ xxxxxxxx
( )( )( )31133 234 ++−=−−+ xxxxxxxx
e) Sacamos factor común: ( )842842 23234 −−+=−−+ xxxxxxxx
( ) ( )( )223 22842 +−=−−+ xxxxxxx
f)
1 3 –4 –12
2 2 10 12
1 5 6 0
–2 –2 –6
1 3 0
( )( )( )3221243 23 ++−=−−+ xxxxxx
g) Sacamos factor común: ( )5454 22234 −−=−− xxxxxx Buscamos las raíces de x2 – 4x – 5 resolviendo la ecuación:
264
2364
220164
0542 ±=±=+±=→=−− xxx 1
5−=
=xx
Por tanto: ( )( )1554 2234 +−=−− xxxxxx h)
( )( )23 1223 +−=−− xx xx
i) Sacamos factor común: ( )632632 23234 +++=+++ xxxxxxxx
( )( )32632 2234 ++=+++ xxxxxxx
j) Sacamos factor común: ( )9999 23234 −−+=−−+ xxxxxxxx
1 1 –9 –9
3 3 12 9
1 4 3 0
–3 –3 –3
1 1 0
( )( )( )13399 234 ++−=−−+ xxxxxxxx
FRACCIONES ALGEBRAICAS EJERCICIO 8 : Simplifica:
a) 23
345
3
96
xx
xxx
+
++ b)
xxxxx
23 23
3
++−
c) xxx
xxx
23
223
23
+−
−−
d) 24
234
932
xxxxx
−−−
e) xxx
xxx+−
−+−23
23
2133
f) 11
23 2
−+⋅
+−
xxx
xx
x
g) ( ) 1
11
2
1
122 −
+−
+− xxx
h)
+−−−⋅
−−
+−
1613
112
2
3
xx
xxx
xxx
i) 4
1213
22
2 −−
+−+
− xxx
xx
j) ( )
( )22
2
1
3
1
121
+−
−⋅−
x
x
x
x k)
xxx
xx
xx
223
2112
2
2
++−
+++−
l) 39
4234
2
2
++
−
+−−+
xx
x
xxxx
m) 2
11
2 xxx
xx
x +
+−−
⋅ n) x
xxx
xxx 1
333
332
2
2 +++
+−++
ñ) 1
112
1:
11
2 −−
−+ xxx
1 0 –3 –2
2 2 4 2
1 2 1 0
–1 –1 –1
1 1 0
1 2 3 6
–2 –2 0 –6
1 0 3 0
o) xx
xx
xx
x
+
+−+
−+2
221
1 p)
( )21
121:
11
+
++
+ x
xxx
q) 1
51
3112
2
2
−−
++
−+
x
xx
xxx
r) ( )
xx
xx 312
21
121 2−
−−
⋅ s) xx
xxx
xx
x
2
75132
22
2
+
+−+++
Solución:
a) ( )
( )( )( ) ( ) xxxxxx
xx
xx
xxx
xx
xxx33
3
3
3
96
3
96 22
23
2
23
23
345
+=+=+
+=+
++=+
++
b) ( )
( )( )( )( )( ) 2
121
11
23
1
23 2
2
23
3
+−=
+++−
=++
−=
++−
xx
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
xx
c) ( )
( )( )( )( )( ) 1
112
13
23
2
23
22
2
23
23
−+=
−−+−
=+−
−−=
+−−−
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
d) ( )
( )( )( )( )( ) 3
1
33
13
9
32
9
322
2
22
22
24
234
++=
+−+−
=−
−−=−
−−xx
xxx
xxx
xx
xxx
xx
xxx
e) ( )
( ) xx
xxx
xxx
xxx 11
1
2
133 3
23
23 −=−
−=+−
−+−
f) ( )
( ) ( )( )
1x
3x3x2
1x
1xx
1xx
x23x3
1x
xx
1xx
x21x3
1x
xx
1x
x2
x
3 22222
−++−=
−+
⋅+−+=
−+⋅
+−+
=−+⋅
+⋅
g) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1x1x
2x2x2
1x1x
1x2x21x
1x1x
1x1x21x
1x1x
1
1x
2
1x
1
1x
1
1x
2
1x
12
2
2
2
2
2
222 +−
−+=+−
−+−++=+−
−+−++=
+−+
−+
−=
−+
−+
−
h)
( )( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( )
( )( )( )( )
x1x6x
1x1xx
1x1x
1x6x
1x6x
1x1xx
1x1x
x3x31xx2x2
1x6x
xx
1x1x
1xx31x1x2
1x6x
xx
1x
x3
1x
1x2
2
2
2
22
2
3
2
3
=+−−
+−⋅
−++−−=
+−−
+−⋅
−⋅+−−+−−=
=+−−
−⋅−+
+−−−=
+−−
−⋅
−−
+−
i)( ) ( )( )
4x
3x11x
4x
12xx6x3x4x2
4x
1
4x
2x1x3
4x
2xx2
4x
1
2x
1x3
2x
x22
2
2
22
2222 −
−+−=−
−−++−+=−
−−
−−−
−
+=
−−
+−+
−
j)( )
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
2
2
22
2
22
2
1x2
1x6x
1x2
x61x
1x
x3
1x2
1x
1x
x3
1x1x2
1x
1x
x3
1x
1
2
1x
+
−−=+
−−=+
−+
−=+
−+−
−=+
−−
⋅−
k)( )( ) ( )
x2x
4x4
x2x
2x3xx2xx4x2
x2x
2x3
x2x
1xx
x2x
2x1x2
x2x
2x3
2x
1x
x
1x222
222
2
2
222
2
+
−=+
−−++−−+=+
+−+
++
+
+−=
+
+−+++−
l)( )( ) ( )
9x
12
9x
x3xx4x212x4x3x
9x
3xx
9x
x4x2
9x
3x4x
3x
x
9x
x4x2
3x
4x22
222
22
2
22
2
−=
−
−+−−+++=−
−+
−
+−−
++=
++
−
+−−+
m)
( )( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )( ) ( )
( ) ( ) 2x2
1x
1x2
1x
1xx2
1xx
2
1xx
1xx
1
2
1xx
1xx
1xx
2
1xx
1xx
1xx
2
xx
1xx
1x1xx
2
xx
x
1x
1x
x 2222222
−+=
−+=
−+
=+
−=
=+
−+−=
+−
−−=+−
−+−=+
+−−
⋅
⋅⋅⋅⋅
n)
( )( )( ) 3x
7
3xx
x7
x3x
x7
x3x
3xx3x3x3x3x2
x3x
3x1x
x3x
3x3
x3x
x3x2
x
1x
x3x
3x3
3x
3x222
222
22
2
2
2
2
2
+=
+=
+=
+
++++−−+=+
+++
+
+−+
+=+++
+−++
ñ) ( )( )
1x
x3x2
1x
11x3x2
1x
1
1x
1xx2x2
1x
1
1x
1x1x2
1x
1
1x
1x2
1x
1
1x2
1:
1x
12
2
2
2
22
2
2222 −
−=−
−+−=−
−−
+−−=−
−−
−−=
−−
+−=
−−
−+
o)( )
xxxxxxxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
xx
+−=
+−−−++=
++−
+−
++=
++−
+−+
22
22
22
2
2
2
2
12212221221
1
p)( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )2
2
2
2
2222 1x
1x3x
1x
1x2xx
1x
1x2
1x
1xx
1x
1x2
1x
x
1x
1x2
x
1:
1x
1
+
++=+
+++=+
+++
+=
+
+++
=+
+++
q)( )( ) ( )
1x
1
1x
x5x3x31xx2x2
1x
x5
1x
1xx3
1x
1x1x2
1x
x5
1x
x3
1x
1x222
222
2
2
222
2
−=
−
−−++++=−
−−
−+
−
++=
−−
++
−+
r) ( ) ( )
( )( )
( )( )
( )( )
2
2222
x6
1x2
x3
1x2
1x2x2
1
x3
1x2
1x2x2
1x2x2
x3
1x2
x21x2
1x2x2
x3
1x2
x2
1
1x2
1 −=−−
=−−+−=−
⋅−−−=−
−−
⋅⋅⋅⋅
s) ( )( )
x2x
2
x2x
x7x52xx6x3x2
x2x
x7x5
x2x
2x1x3
x2x
x2
x2x
x7x5
x
1x3
2x
x222
222
2
2
22
2
2
2
+=
+
−−++++=+
+−+
+++
+=
+
+−+++
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES EJERCICIO 9 : Resuelve las siguientes ecuaciones:
343
344
1) 22 +−=−− x
xxxx
028112) 24 =+− xx 34
334
15 3)
22 ++−=+ xx
x
0100214) 24 =−− xx ( ) ( )3
154 5)
−=−+ xxxx 049486) 24 =−− xx
121637) −=+ xx 358) =−+ xx 3
1422
49) =
−+
+ xx
xx
611
423
10) =+
+xx
45
12
12
11) =+−+
− xx
x 124412) +=+ xx
211
1412
13) =−
+−xx
x 14) 099 234 =−−+ xxxx 15) 012112 23 =+−− xxx
16) 044 234 =−−+ xxxx 17) 0652 23 =+−− xxx 18) 044 23 =−−+ xxx
27
2
122 19) 1 =++−
xxx ( ) xloglogxlog =+− 43 20) 2 0363721) 24 =+− xx
( ) ( ) 2212 22) lnxlnxln =−+ 124523) +=+ xx 098
33 24) 12 =+− +xx
22 6
331
4
525)
xx=− ( ) ( ) 1231 26) =−−+ xlogxlog xx 2111327) =+−
042322 28) 11 =+⋅−+ +− xxx x
xx
x 16
161
29)+=−
+
31
3
3 30)
1
12
=+
+−
x
xx
032231) xx1 =−+− xx 37132) −=− 052233) 2 =−++ xx Solución:
3
4x3xx
3
x4x4 1) 2
2 +−=−− ;
343
33
33
344 22 +−=−− xxxxx
; 4x3x3x3x4x4 22 −−=−−
04x4x2 =+− ; 224
2
16164==
−±=x ; Solución: x = 2
028x11x 2) 24 =+− 242 zxzx :Cambio =→= 028z11z2 =+−
±=→=
±=→=→±=
±=
−±=
24
77
2311
2
911
2
11212111
xz
xzz
2 2 7 7 :soluciones Cuatro 4321 =−==−= x,x,x,x
34
3xx3
4
15x 3)
22 ++−=+ ;
412
433
415
44 22
++−=+ xxx ; 1233154 22 ++−=+ xxx
0xx2 =+ ; ( )
−=→=+
=→=+
101
0 01
xx
xxx
0100x21x 4) 24 =−− 242 :Cambio zxzx =→= 0100212 =−− zz
−=
±=→=→±=
±=
+±=
vale) (no 4
5 25
22921
2
84121
2
40044121
z
xzz Dos soluciones: x1 = −5, x2 = 5
( ) ( )3
1xx54xx 5)
−=−+ ; 3
542
2 xxxx
−=−+ ; xxxx −=−+ 22 15123
015x13x2 2 =−+ ;
−=−=
=→±−=
±−=
+±−=
215
430
1
41713
4
28913
4
12016913x
xx
049x48x)6 24 =−− 242 :Cambio zxzx =→= 049482 =−− zz
−=
±=→=→±=
±=
+±=
vale) (no 1
749
25048
2
500248
2
196304248
z
xzz Dos soluciones: x1 = −7, x2 = 7
1x216x37) −=+ ; ( )212163 −=+ xx ; xxx 414163 2 −+=+ ; 15740 2 −−= xx
−=−==
→±=±
=+±
=45
810
3
8177
8
2897
8
240497x
xx
Comprobación:
vale. sí 35253 =→=→= xx
vale. no 45
27
27
449
45 −=→−≠=→−= xx
Hay una solución: x = 3
3x5x8) =−+ ; xx +=+ 35 ; xxx 695 2 ++=+ ; 450 2 ++= xx
−=−=
→±−=±−
=−±−
=4
1
235
2
95
2
16255
x
xx
Comprobación:
vale sí 1312141 −=→=+=+→−= xx
vale no 43541414 −=→≠=+=+→−= xx
Hay una solución: x = −1
3
14
2x
x
2x
x49) =
−+
+;
( )( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )223
2214223
23223
212−+−+
=−+
++−+
−xxxx
xxxx
xxxx
( )414632412 222 −=++− xxxxx ; 56141815 22 −=− xxx ; 056182 =+− xx
==
→±=±
=−±
=4
14
21018
2
10018
2
22432418
x
xx
6
11
4x
2
x
310) =
++ ;
( )( ) ( )
( )( )46
41146
1246418
++=
++
++
xxxx
xxx
xxx
; xxxx 4411127218 2 +=++ ; 7214110 2 −+= xx
−=−==
→±−=±−
=+±−
=1136
2272
2
225814
22
336414
22
316819614x
xx
4
5
1x
2x
1x
2 11) =
+−+
−;
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )114
115114214
11418
+−+−
=+−−−
++−
+xxxx
xxxx
xxx
; ( ) ( )1523488 22 −=+−++ xxxx
55812488 22 −=+−++ xxxx ; 2140 2 −+= xx ;
−=
=→±−=
±−=
+±−=
7
3
2104
2
1004
2
84164
x
xx
12x44x12) +=+ ; ( ) 1244 2 +=+ xx ; 1248162 +=++ xxx ; 0442 =++ xx ;
Comprobación: válida es sí422 →=→−=x
2
11
1x
4
x
1x213) =
−+−
; ( )( )
( ) ( )( )( )12
11112
812
1122−−=
−+
−−−
xxxx
xxx
xxxx
; ( ) xxxxx 111181322 22 −=++−
22
4
2
16164x −=−=
−±−=
xxxxx 11118264 22 −=++− ; 21370 2 −−= xx ;
−=−==
→±=±
=+±
=71
142
2
141513
14
22513
14
5616913x
xx
14) Sacamos factor común: ( ) 09999 23234 =−−+=−−+ xxxxxxxx
: 9x9xx osFactorizam 23 −−+
x2 – 9 = 0 ⇒ x = ± 3
( )( )( )
−=→=+=→=−
−=→=+=
→=+−+=−−+
303
303
101
0
033199 234
xx
xx
xx
x
xxxxxxxx
Por tanto, las soluciones de la ecuación son: 3310 4321 −==−== x,x,x,x 15) Factorizamos:
( )( )( )
−=→=+=→=−=→=−
→=+−−=+−−303
404
101
034112112 23
xx
xx
xx
xxxxxx
Por tanto, las soluciones de la ecuación son: 341 321 −=== x,x,x
16) Sacamos factor común: ( ) 04444 23234 =−−+=−−+ xxxxxxxx
:44 osFactorizam 23 −−+ xxx
( )( )( )
−=→=+=→=−
−=→=+=
→=+−+=−−+
202
202
101
0
022144 234
xx
xx
xx
x
xxxxxxxx
Por tanto las soluciones de la ecuación son: 2x,2x,1x,0x 4321 −==−== 17) Factorizamos:
( )( )( )
−=→=+=→=−=→=−
→=+−−=+−−202
303
101
0231652 23
xx
xx
xx
xxxxxx
Por tanto, las soluciones de la ecuación son: 2x,3x,1x 321 −=== 18) Factorizamos:
( )( )( )
−=→=+−=→=+
=→=−→=++−=−−+
404
101
101
041144 23
xx
xx
xx
xxxxxx
Por tanto, las soluciones de la ecuación son: 411 321 −=−== x,x,x
2
7
2
122 19)
xx1x =++− ;
27
2
12
22 =++
xx
x
Hacemos el cambio de variable: 2x = y : 271
2=++
yy
y ; 0273722 222 =+−→=++ yyyyy
==
=→±=
±=
−±=
31
622
657
6
257
6
24497y
yy
1222 =→=→=• xy x
58123
331
31
231
22 ,loglog
loglogxy x −=−=−==→=→=•
Hay dos soluciones: x = 1; x2 = −1,58 20) log (x − 3)2 + log 4 = log x ; log [4(x − 3)2 ] = log x ; 4(x − 3)2 = x → 4(x2 − 6x + 9) = x
4x2 − 24x + 36 = x → 4x2 − 25 x 6 + 36 = 0 ;
==
=→±=
±=
−±=
49
8184
8725
8
4925
8
57662525x
xx
49
;4 :soluciones dosHay 21 == xx
2 036x37x1) 24 =+− ; 036z37zzxzx :Cambio 2242 =+−⇒=→=
==
→±=±=−±=1
36
23537
2122537
2144136937
z
zz
1111
63636362
2
±=→±=→=→=
±=→±=→=→=
xxxz
xxxzHay cuatro soluciones: x1 = −6, x2 = −1, x3 = 1, x4 = 6
2 ( ) ( ) 2lnx2ln1xln2 2) =−+ ; ( ) ( ) 221 2 lnxlnxln =−+ ; ( ) ( )
22
12
21 22
=+→=+x
xln
xx
ln
( ) 01241241 222 =+−→=++→=+ xxxxxxx ; 122
2
442==
−±=x ; Hay una única sol: x = 1
2 ( ) 3xx401x4x44x51x24x51x24x53) 222 −−=⇒++=+⇒+=+⇒+=+
−=−==
→±=±=+±=43
86
1
871
8491
84811
x
xx
Comprobación:
válida Es12391 →+==→=x
válida es No21
123
21
41
43 →−=+−≠=→−=x
Hay una solución: x = 1
2 09
833 4) 1xx2 =+− + ; ( ) 0
98
3332
=+⋅− xx
:3 cambio el Hacemos yx = 08y27y909
8y3y 22 =+−→=+−
==
==→±=
±=
−±=
31
186
38
1848
182127
18
44127
18
28872927
y
yy
89,013log8log
18log38
log38
338
33 =−=−==→=→=• xy x
131
331 −=→=→=• xy x
Hay dos soluciones: x1 = −1; x2 = 0,89
2 22222
2
222x49x46156x415
x12
6
x12
x4
x12
15
x6
3
3
1
x4
55) =⇒=−⇒=−⇒=−⇒=−
−=
=→±=→=
23
23
49
492
x
xxx
23
;23
:soluciones dosHay 21 =−= xx
2 ( ) ( ) 12x3log1xlog 6) =−−+ ; ( )2310110231
1231 −=+→=
−+→=
−+
xxxx
xx
log
2921
292120301 =→=→−=+ xxxx
( ) ( ) ( )130x53x40121x44x49x9
121x44x41x911x21x311x21x311x21x3x2111x327)
22
222
+−=⇒+−=−
+−=−⇒−=−⇒−=−−=−⇒=+−
===
→±=±=−±
=4
1382610
82753
872953
8
0802809253x
xx
Comprobación:
válida Es10220119119310 →⋅==+=+→=x
válida es No2
134
132
231
1129
1149
34
13 →=⋅≠=+=+→=x
Hay una solución: x = 10
2 042322 8) x1x1x =+⋅−+ +− ; 0423222
2 =+⋅−⋅+ xxx
; Hacemos el cambio: 2x = y
04322
=+−+ yyy
; 8080864 =→=+−→=+−+ yyyyy ; 382 =→= xx
( )( )( )
( )( ) ( )
03x14x806x28x1606x28x166x12x6x16x16x6
1x2x6x16x16x61xx6
1x6
1xx6
1xx16
1xx6
x6
x
1x
6
16
1x
x29)
222222
22222
=++→=++⇒=−−−⇒++=−−
++=−−⇒+
+=
++
−+
⇒+=−
+
−=−=
−=−=→±−=±−=−±−=
23
1624
41
164
161014
1610014
169619614
x
xx
23
;41
:soluciones dosHay 21
−=−= xx
( ) 11x1xx1x
1xx33
3
1
3
330)
22
−+−+−+
+−=→= ; 012111 22 =+−→−=−−+− xxxxx : 1
22
2
442==
−±=x
Hay una única solución: x = 1
0322
2)31 x
x
1=−+ ⇒ Así,.2 :Cambio zx = 03
2 =−+ zz
032 2 =−+ zz 0232 =+− zz
=→=→=
=→=→=±=−±=0121
1222
213
2893
xz
xzz
x
x
32) ( )
−==+±−=→=−+→−=−+→−=−
3x
2x
2
2411x06xxx37x2x1x37x1 222 vale)(no
33) 0x1205250522405222 xxxxx2x =⇒=⇒=−⋅⇒=−+⋅⇒=−+⋅
SISTEMAS DE ECUACIONES EJERCICIO 10 : Halla la solución de los siguientes sistemas, analítica y gráficamente:
a)
=+
=+
422
323yx
yx
b)
+=
=−−
xxy
xy
3
0242
c)
=−+−=
06
22
xy
xxy d)
=+
=+−
73
223
1
yx
yx e)
=+−−=
062
32
xy
xxy
Solución: a)
• Resolvemos el sistema analíticamente: xy
yx
yx
yx
yx
yx
yx
−=
=+
=+
=+
=+
=+
=+8
8
1832
28
22
618
63
62
422
323
2x +3(8−x) = 18; 2x + 24 −3x = 18; −x = −6 ; x = 6 → y = 8 − 6 = 2 ; Solución: x = 6; y = 2
• Interpretación gráfica:
−=→=+
+−=−=−=→=+
xyyx
xxx
yyx
8422
632
32
63
2183
23
Estas dos rectas se cortan en el punto (6, 2).
b)
• Lo resolvemos analíticamente:2xx0;x3x2x4
2x4y
x3xy
02x4y222 −−=+=+
+=
+=
=−−
−=→−=
=→=→±=
±=
+±=
21
102
231
2
91
2
811
yx
yx
x
−=−=
==
2y
1x y
10y
2x:
2
2
1
1 Solución
• Interpretación gráfica: 2). 1,( y 10) (2, puntos los en cortan se parábola la y recta La 324
2 −−
+=+=
xxyxy
c)
• Resolvemos analíticamente el sistema:06;062
206
222
22
=−−=−+−−=
=−+−=
xxxxx
xxyxy
xxy
=→−=
=→=→±=
±=
+±=
82
33
251
2
251
2
2411
yx
yx
x
=−=
==
8y
2x y
3y
3x:
2
2
1
1 Solución
• Interpretación gráfica: 8). 2,( y 3) (3, puntos los en cortan se recta la y parábola La 6
22
−
−=−=xy
xxy
d)
• Resolvemos analíticamente el sistema:
=+=+−
=+
=+−
=+
=+−
73
12322
736
126
36
22
73
223
1
yx
yx
yx
yx
yx
yx
( ) 143732;37731432 =−+−=
=+=+ xxxy
yxyx
437137;1;77;211492;149212 =−=⋅−==−=−−=−=−+ yxxxxxx
Solución: x = 1; y = 4
• Interpretación gráfica: 4).(1, punto el en cortan se rectas dos Estas 37733
2141432
−=→=+
−=→=+
xyyx
xyyx
e)
• Lo resolvemos analíticamente:065;0623
3062
322
22
=+−=+−−−=
=+−−=
xxxxx
xxyxy
xxy
−=→=
=→=→±=
±=
−±=
22
03
215
2
15
2
24255
yx
yx
x
−=
=
=
=
2
2 y
0
3:
2
2
1
1
y
x
y
x Solución
• Interpretación gráfica: 2) 2,( y 0) 3,( puntos los en cortan se recta la y parábola La6232
−
−=−=
xyxxy
EJERCICIO 11 : Halla las soluciones de estos sistemas:
a)
−=++
+=
xyyx
xy
4
13 b)
=−
=−
32
03
yxyx
x c)
=+
=+
4
332
yxyx d)
−=−
=+
3
62
yx
yx
e)
=+
=+
2511
521
yx
yx f)
−=−=+
22
12
ylogxlog
ylogxlog g)
=+=+
6322
lnylnxln
yx
h)
=
=−+ 82
022xy
ylogxlog
i) ( )
=+=−
1
22
yxlog
xy j)
=−=++
2
822 1
logxlogylog
yx
k)
=−=−
1
9
ylogxlog
yx l)
−=−=−2
322
xy
xy
m)
−=+−=+
13
213
yx
yx n)
=−
=−
126111
yxyx ñ)
=+
=−
622
02yx
yx
=+
−=−
6511
12o)
yx
yx
==+
6
13p) 22
xy
yx
+−=
−=
12
5q)2 yyx
xy
Solución:
a) xxxx
xy
xyyx
xy
−+=++++=
−=++
+=
13413
13
4
13 ( )21254;1254 +=++=+ xxxx
1;44;41454 222 ==++=+ xxxxx ;
=→=
→−=→±=
41
válida no1
1
yx
x
x
Hay una solución: x = 1; y = 4
b)9xx6;3
3
xx2
3
xy
3yx2
0xy3
3yx2
0y
x
x
3
22
22
=−=−
=
=−
=−
=−
=−33
26
2
36366;960 2 =→==
−±=+−= yxxx
Solución: x = 3; y = 3
c) ( )( ) ( )
( )( )xx
xxxx
xxxx
xy
xx
yx
yx−−
=−
+−−
−=
=−
+
=+
=+443
43
442
4
34
32
4
332
; 08113;312328 22 =+−−=+− xxxxxx
=→=
=→==
→±=±
=−±
=31
34
38
616
6511
6
2511
6
9612111
yx
yx
x
=
=
=
=
3
1 y
3438
:solucionesdosHay2
2
1
1
y
x
y
x
d) xx
xx
yx
xy
yx
yx
=−
+=−
=+
−=
−=−
=+
23
326
3
26
3
62 ( ) ( ) 09134;1249;23 2222 =+−=−+=− xxxxxxx
=→=
→==
→±=±
=−±
=41
válida no49
818
8513
8
2513
8
14416913
yx
x
x
=≠−=⋅−=
23
49
23
49
23 que puesto válida, es no 49
solución La x La única solución del sistema es x = 1, y = 4.
e) ( )
xyxyxy
yx
xyxy
yx
yx
yx 1155
225
522
25
2511521
=→=→=
+=
=+
+=
=+
=+
2520;225;2
25 22 +−=+=+= xxxxx
x
=→==
=→=
→±=±
=−±
=
221
42
21
2
435
4
95
4
16255
yx
yx
x
=
=
=
=
2
21
y
21
2 :soluciones dosHay
2
2
1
1
y
x
y
x
f) ( )
−=−=+
=−=+
22222
2212
ylogxlogylogxlog
ylogxlogylogxlog
1005
22
224
=→=→=
−=−
=+
xxlogxlog
ylogxlog
ylogxlog
Sustituyendo en la primera ecuación este valor, queda: 10112 =→=→=+ yylogylogxlog
Por tanto, la solución es x = 1, y = 10.
g) ( ) ( ) 65
5
65
622
6322 5
=−
−=
==+
==
=+= ++
xx
xy
xyyx
lnxylnlnylnxln
yxyx
=−±
=→+−=→=−2
2425565065 22 xxxxx
=−=→=
=−=→=→±=
±
325y2x
235y3x
2
15
2
15
Hay dos soluciones: x1 = 3, y1 = 2 ; x2 = 2, y2 = 3
h)
=+=
==
==−
++ 32228202 2
32
2
2 xyyxylogxlogylogxlog
xyxy 0322323
222
=−+→−=
−==
xxxxxy
yx
−=
=→=→±−=
±−=
+±−=
válida) (no 3
11
242
2
162
2
1242
x
yxx Hay una única solución: x = 1, y = 1
i) ( ) ( ) 10212
2
12
22
22
=+−→=+−
=−
=+=−
yyyylog
xy
yxlogxy
−=
=→±−=
±=
+±−=→=−+
4
3
271
2
491
2
48110122
y
yyyy
7293 =−=→=• xy
142164 =−=→−=• xy
Hay dos soluciones: x1 = 7, y1 = 3 ; x2 = 14, y2 = −4
j) x2y2
x
y
822
2logx
ylog
822
2logxlogylog
822y1xy1x
y1x
=
=
=+
=
=+
=−=+
+++
( ) 8222822221 =+⋅→=++ xxxx ; 082822 :Cambio 22 =−+→=+→= zzzzzx
−=
=→±−=
±−=
+±−=
4
2
262
2
362
2
3242
z
zz
21222 =→=→=→=• yxz x
vale No424 →−=→−=• xz
El sistema tiene una única solución: x = 1, y = 2
k)
=
+=
=
+=
=
+=
=−
=−
yx
yx
yx
yx
yx
log
yx
ylogxlog
yx
10
9
10
9
1
9
1
9 10199109 =→=→=→=+ xyyyy
1;10 :solución unaHay == yx
l) 32
23
23 2
22222
−=−
−
−=
−=−
−=−=− x
xx
y
xy
xyxy ; 430343
4 242422
−−=→−=−→−=− xxxxxx
043 :Cambio 22 =−−→= zzzx
→−=
±=±=→=→=→±=
±=
+±=
vale no1
2444
253
2
253
2
16932
z
xxzz
12
12
=→−=•−=→=•
yx
yx
1;21;2 :soluciones dosHay
22
11
=−=−==
yxyx
m) 2311331
21313
213 −−−=+
−−=−=+
−=+−=+ xx
xyyx
yxyx
113
3313313 −−=+→−−=+→−−=+ xx
xxxx
( ) xxxxxxx +=→++=+→−−=+ 222 012111 ⇒ ( )
=→−=
→=→=+
21
válida no001
yx
xxx
Hay una única solución: x = −1; y = 2
n) ( ) ( )12612612
66
12
6111
−=−−
=−=−
=−
=−xxxx
yx
xyxy
yx
yx ⇒ 672026612 22 +−=→−=−− xxxxxx
=→==
=→=→±=
±=
−±=
223
46
32
417
4
17
4
48497yx
yxx
2y;2
3x ; 3y;2x :soluciones dosHay 2211 ====
ñ) ( ) 622622
2
622
02 2
2=+
=+
=
=+
=− yyyyyx
yxyx Hacemos el cambio: 2y = z
−=
=→±−=
±−=
+±−=→=−+
3
2
251
2
251
2
2411062
z
zzzz
21222 =→=→=→=• xyz y
válida no323 →−=→−=• yz
Hay una solución: x = 2; y = 1
y21x) +−=o ⇒
( )
( ) ( )0623101051266
2152166566
566511
22 =+−⇒+−=+−
+−=+−+⇒=+
=+⇒=+
yyyyyy
yyyyxyxy
xyxyyx
−=→==
=→=±=−±=52
103
206
32
201723
2024052923
xy
xyy
036x13xx1336x13x
36x
x
6y 2424
22 =+−→=+→=+→=p) 03613:Así. :Cambio 22 =+−= zzzx ⇒
±=→=
±=→=±=±=−±=24
39
2513
22513
214416913
xz
xzz
==
−=−=
==
−=−=
32
32
23
23
:4
4
3
3
2
2
1
1
yx
yx
yx
yx
Soluciones
( ) ( ) 1x52x5x2
+−−−=q) ⇒ 12101025 ++−−+= xxxx ⇒ 3,42168 ==⇒=⇒= yxxx
SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS EJERCICIO 12 : Obtén, mediante el método de Gauss, la solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:
a)
−=++=−−=++
25822723
zyxzyxzyx
b)
=−+−=+−−=−+
4
832
623
zyx
zyx
zyx
c)
=++=−+
−=+−−
62623
42
zyxzyxzyx
d)
=+−=−+
=+−
13232222
zyxzyxzyx
e)
−=+−−=+−
=−+
3273622
zyxzyxzyx
f)
=−+=+−
=−+
421322
2
zyxzyx
zyx
g)
=+−=−+=+−
627362
zyxzyxzyx
h)
=+−−=−+
=+−
92253
72
zyxzyxzyx
i)
−=−−=−−=++
11362
zyxzyxzyx
Solución:
a)
0
1
3
0237
13
29
3
932
155
723
13
12
1
25
822
723
=
−=
=
→
=−−=
−=+−=
=
→
−=+−
=
=++
→
−
+
−=++
=−−
=++
z
y
x
yxz
xy
x
yx
x
zyx
ªª
ªª
ª
zyx
zyx
zyx
b) →
=−
−=+
=−+
→−
−=+−
−=+
=−+
→−+
=−+
−=+−
=−+
0x7
2zx5
6z2yx3
ª2ª3
ª2
ª1
2zx2
2zx5
6z2yx3
ª1ª3
ª1ª2
ª1
4zyx
8z3yx2
6z2yx3
2z
2y
0x
2z2x36y
2x52z
0x
−===
=+−=
−=−−=
=
→
c) 1z,1y,3x
14zx2y
3z2x
1z
2z2
2zx
4zyx2
ª1ª3
ª1ª2
ª1
6zyx2
6z2yx3
4zyx2
=−==
−=++−=
=+=
=
=
=−
−=+−+−
→++
=++
=−+
−=+−−
:Solución
d) →−
−
−=+−
−=+−
=−+
→⋅−⋅−
=+−
=+−
=−+
→
=+−
=−+
=+−
5)(:ª3
ª3ª2
ª1
5z5y5
4z4y5
2zy2x
ª12ª3
ª12ª2
ª1
1z3yx2
2z2yx2
3zy2x
ª3
ª1
ª2
1z3yx2
3zy2x
2z2yx2
1z
0y
2x
2zy23x
0z1y
1z
1zy
1z
3zy2x
−===
=+−=
=+=
−=
→
=−
=−
=−+
→
e)
( )→
−
−
−=+−
−=+−
=−+
→
⋅−
−
−=+−
−=+−
=−+
5:3
32
1
1555
1335
622
123
12
1
32
73
622
ª
ªª
ª
zy
zy
zyx
ªª
ªª
ª
zyx
zyx
zyx
120 :
0246226
2133
12
2
3
22
622
−===
=−−=+−=
=−=+=
−=−
=
→
=−
=−
=−+
→ z,y,xSolución
zyx
zy
z
zy
z
zyx
f) →
=
−=+−
=−+
→
−
⋅−
=−+
=+−
=−+
2
354
2
13
122
1
42
1322
2
y
zy
zyx
ªª
ªª
ª
zyx
zyx
zyx
11222
15
835
43
2
=+−=+−=
=+−=+−=
=
zyx
yz
y
121 : === z,y,xSolución
g) →⋅−
=+
−=−
=+−
→
−
⋅−
=+−
=−+
=+−
ª
ªª
ª
zy
zy
zyx
ªª
ªª
ª
zyx
zyx
zyx
3
372
1
0
1147
62
13
132
1
62
73
62
h) →⋅−
−=−
−=−
=+−
→
⋅−
−
=+−
−=−+
=+−
ª
ªª
ª
zy
zy
zyx
ªª
ªª
ª
zyx
zyx
zyx
3
322
1
52
1252
72
123
12
1
922
53
72
212 :
241727
14525
2
52
2
72
=−==
=−−=−+=
−=+−=+−=
=
→
−=−
−=−
=+−
→ z,y,xSolución
zyx
zy
z
zy
z
zyx
i) →⋅−
−=−−
−=−−
=++
→
−
−
−=−−
=−−
=++
ª
ªª
ª
zy
zy
zyx
ªª
ªª
ª
zyx
zyx
zyx
3
322
1
732
534
62
13
12
1
1
13
62
311 :
161626
12
97237
339
732
93
62
=−==
=−+=−−=
−=−
+−=−
+−=
==
→
−=−−
=
=++
→ z,y,xSolución
zyx
zy
z
zy
z
zyx
INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA EJERCICIO 13 : Resuelve:
21
23
12a)
+−<−− xx
x
6x3
23
1xb)
−+≥−
61
31
24
c) ≤+−− xx
03d) 2 ≤+ xx ( )
23
13
32e) −>+−
−x
xx f) .
7Resuelve 0
3x
x++++ ≥≥≥≥−−−−
g) 22 5 2 16x x x+ ≤ − −+ ≤ − −+ ≤ − −+ ≤ − − h) 2
20
xx++++ ≤≤≤≤ i) 2 3 6 8 2x x x+ − > −+ − > −+ − > −+ − > −
Solución:
( ) ( )1x3x6121x22) +−<−−a ⇒ 3361224 −−<−− xxx ⇒ ( )11,intervalo11x ∞−→<
( ) x3121x2)b −+≥− ⇒ x3122x2 −+≥− ⇒ 17x3 ≥ ⇒
∞+→≥ ,3
17Intervalo
3
17x
( ) ( ) 11x24x3 ≤+−−c) ⇒ 122123 ≤−−− xx ⇒ ( ]15, Intervalo15x −∞→≤ .
d) x2 + 3x = 0 ⇒ x(x + 3 ) = 0 ⇒ x = 0 ; x = -3
-3 0 Solución: x ∈ (-∞,-3] U [0,+∞)
( ) ( ) ( )2x31x3x2 −>+−−e) ⇒ 6x31x6x2 −>−−− ⇒ x21>− ⇒
−∞−→−<2
1, Intervalo
2
1x
f) Igualamos por separado numerador y denominador a cero x + 7 = 0 ⇒ x = -7 (pintado) 3 – x = 0 ⇒ x = 3 (sin pintar)
- 7 3 Solución: x ∈ [−7, 3). g) Reducimos a una ecuación de segundo grado y calculamos sus soluciones:
2 20 2 16 2 5 4 21 0x x x x x≤ − − − − → − − ≥
± + ± ±− − = → = = =2
74 16 84 4 100 4 10
4 21 02 2 2
3
ƒ
‚x x x
-
La solución es ( ] [ )Luego la solución a la inecuación es , 3 U 7, .−∞ − + ∞
-3 7 h) Se igualan, por separado, numerador y denominador a cero: x + 2 = 0 ⇒ x = -2 (pintado) x2 = 0 ⇒ x = 0 (sin pintar)
Por tanto, ( ]la solución es , 2 .∞- -
-2 0 i) 2 23 6 8 2 5 14 0x x x x x+ − > − → + − >
2Resolvemos la ecuación 5 14 0:x x+ − =
25 25 56 5 9
2 27
x− ± + − ±= =
−
ƒ
‚
Solución: x ∈ (-∞,-7) U (2,+∞)
-7 2
EJERCICIO 14 : Resuelve e interpreta gráficamente: a) 2x – 3 < 5 b) 042 ≤−x c) 513 −>+− x d) x2 ++++ x −−−− 6 ≤≤≤≤ 0 e) −−−− 2x ++++ 4 ≤≤≤≤ −−−− 2 f) 2x ++++ 1 > −−−−5 Solución: a) • Resolvemos la inecuación: 482532 <→<→<− xxx ⇒ { } ( )44/ :Soluciones ,xx ∞−=<
• La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 4, la recta y = 2x − 3 queda por debajo de la recta y = 5; es decir, 2x − 3 < 5:
b)
=−=
→±=→=→=−2
24404 22
x
xxxx
La parábola y = x2 − 4 corta al eje X en x = −2 y en x = 2.
En el intervalo [−2, 2] toma valores negativos o nulos. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [−2, 2]:
c) • Resolvemos la inecuación: 26363513 <→<→−>−→−>+− xxxx
}{ ( )22 : ,x/xSoluciones ∞−=<
• La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x menores que 2, la recta y = −3x + 1, va por encima de la recta y = −5; es decir, −3x +1>−5:
d)
−=
=→±−=
±−=
+±−=→=−+
3
2
251
2
251
2
2411062
x
x
xxx
La parábola y = x2 + x − 6 corta al eje X en −3 y en 2. En el intervalo [−3, 2], toma valores negativos o nulos. Por tanto, las soluciones de la inecuación son los puntos del intervalo [−3, 2].
e) • Resolvemos la inecuación:− 2x + 4 ≤ − 2 → − 2x ≤ − 6 → 2x ≥ 6 → x ≥ 3
Soluciones: { x / x ≥ 3 } = [3, + ∞) La interpretación gráfica es la siguiente: para valores de x mayores o iguales que 3, la recta y = −2x + 4 va por debajo (coincide) con la recta y = −2. Es decir, −2x + 4 ≤ −2
f) • Resolvemos la inecuación: 2x + 1 > −5 → 2x > −6 → x > −3⇒ Soluciones: {x / x > −3} = (−3, +∞) • Interpretación gráfica: para valores de x mayores que −3, la recta y = 2x + 1
va por encima de la recta y = −5. Es decir, 2x + 1> −5.
SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA EJERCICIO 15 : Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a) ( )
≥+≤−+
642
0214
x
x b)
−>+<−
162
423
xx
x c)
( )( )
≤−+<−−
0913
0121
x
x d)
( )( )
<−≤+−
412
4723
x
x
Solución:
a) ( )
121
142
22
24
642
0244
642
0214
≥
−≤
≥
−≤
≥−≤
≥+≤−+
≥+≤−+
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
Como no hay ninguna solución común a las dos inecuaciones, el sistema no tiene solución.
b) 7
2
7
63
162
423
−><
−><
−>+<−
x
x
x
x
xx
x
Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir:
{x < 2 y x > −7} = {x / −7 < x < 2} = (−7, 2)
c) ( )
( ) 2
1
6322
09330121
09130121
≤
>
≤−<−
≤−+<+−
≤−+<−−
x
x
xx
xx
xx
Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir: { } { } ( ]21212y1 ,x/xxx =≤<=≤>
d) ( )( ) 3
16233
4224763
4124723
<≤
<≤
<−≤+−
<−≤+−
x
xxx
xx
xx
Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a las dos inecuaciones, es decir: { } { } ( ]11/3y1 ,xxxx ∞−=≤=<≤ INECUACIONES Y SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS EJERCICIO 16 : Resuelve gráficamente:
a) 2x ++++ y ≤≤≤≤ 3 b) 3x ++++ 2y ≤≤≤≤ 1 c)
≤≥+
2x
y3x 2 d)
≤−≤+
31
yxyx e)
≤−≥+−42
yyx
Solución: a) 2x + y ≤ 3 es lo mismo que 2x + y − 3 ≤ 0. Representamos la recta 2x + y − 3 = 0 (y = −2x + 3) y vemos que divide el plano en dos mitades. Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo (0, 0). En él, 2 · 0 + 0 ≤ 3, se cumple la desigualdad. Por tanto, las soluciones de la inecuación 2x + y − 3 ≤ 0 son todos los puntos de la región señalada, incluida la recta:
b) 3x + 2y ≤ 1 es los mismo que 3x + 2y − 1 ≤ 0.
mitades. dos en plano el divide que vemos y 2
130123 recta la mosRepresenta
+−==−+ xyyx
Tomamos un punto cualquiera, por ejemplo, (0, 0). Vemos que cumple la desigualdad:3 · 0 + 2 · 0 ≤ 1 Por tanto, las soluciones de la inecuación 3x + 2y ≤ 1 son todos los puntos de la región señalada, incluida la recta:
c) 3x + y ≥ 2 es lo mismo que 3x + y − 2 ≥ 0. ( )
=+−==−+
223023 rectas las mosRepresenta
xxyyx
Sustituyendo (2, 1) en la desigualdad 3x + y ≥ 2, vemos que la cumple: 3 · 2 + 1 ≥ 2. Además, x ≤ 2 corresponde a los puntos que se sitúan a la izquierda de la recta x = 2 ( o sobre ella). Tomando las soluciones comunes a las dos desigualdades, llegamos al recinto solución del sistema (la parte coloreada y las semirrectas que lo limitan):
d) x + y ≤ 1 es los mismo que x + y − 1 ≤ 0 x − y ≤ 3 es lo mismo que x − y − 3 ≤ 0
( )( )
−==−−+−==−+303101 :rectas dos las mosRepresenta
xyyxxyyx
Sustituyendo el punto (0, 0) en las desigualdades, vemos que se cumplen. Y si tenemos en cuenta que las soluciones del sistema son la soluciones comunes a ambas inecuaciones, obtenemos que las soluciones del sistemas son los puntos de la zona coloreada (incluyendo las semirrectas que la limitan):
e) −x + y ≥ −2 es lo mismo que −x + y + 2 ≥ 0.
( )
=−==++−
4
202 :rectas las mosRepresenta
y
xyyx
Si sustituimos el punto (0, 0) en las dos desigualdades, vemos que se cumplen:
≤−≥+
40
200
Por tanto, las soluciones del sistema corresponden al recinto coloreado (incluyendo las dos semirrectas que lo limitan):
PROBLEMAS EJERCICIO 17 : Hemos comprado un pantalón y una camiseta por 44,1 euros. El pantalón tenía un 15%%%% de descuento y la camiseta estaba rebajada un 10%%%%. Si no tuvieran ningún descuento, habríamos tenido que pagar 51 euros. ¿Cuánto nos ha costado el pantalón y cuánto la camiseta? Solución: Llamamos x al precio del pantalón sin el descuento e y al precio de la camiseta sin descuento. Así:
( ) 1,44519,085,0
511,449,085,0
51=−+
−=
=+=+
xx
xyyx
yx
153651x51y ; 36x ; 8,1x05,0 ; 9,451,44x9,0x85,0 =−=−==−=−−=−
El pantalón costaba 36 euros y la camiseta 15 euros, sin los descuentos. Por tanto, el precio del pantalón (con descuento) ha sido de:36 · 0,85 = 30,6 euros y el de la camiseta (con descuento) ha sido de:15 · 0,9 = 13,5 euros
EJERCICIO 18 : Se mezcla cierta cantidad de café de 1,2 euros/kg con otra cantidad de café de 1,8 euros/kg, obteniendo 60 kg al precio de 1,4 euros/kg. ¿Cuántos kilogramos de cada clase se han utilizado en la mezcla? Solución: Llamamos x a la cantidad de café utilizado del primer tipo e y a la cantidad del segundo tipo. Así: x + y = 60 (pues hemos obtenido 60 kg de mezcla) 1,2x + 1,8y = 60 · 1,4 (este es el precio total de la mezcla)
Resolvemos el sistema de ecuaciones:
=−+−=
=+=+
84)60(8,12,1
60
848,12,1
60
xx
xy
yx
yx
204060x60y40x24x6,010884x8,1x2,184x8,1108x2,1 =−=−=→=→−=−→−=−→=−+ Se han utilizado 40 kg del primer tipo y 20 kg del segundo tipo. EJERCICIO 19 : La edad de un padre hace dos años era el triple de la edad de su hijo. Dentro de once años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuál es la edad actual de cada uno? Solución: Llamamos x a la edad actual del padre e y a la edad actual del hijo. Así:
Hace dos años, la edad del padre era el triple de la edad del hijo: ( )232 −=− yx
Dentro de once años, el padre tendrá el doble de edad que el hijo: ( )11211 +=+ yx
Resolvemos el sistema de ecuaciones:( )( )
+=+−−=
+=+−=−
+=+−=−
2221143
43
22211
632
11211
232
yy
yx
yx
yx
yx
yx
414454y3x15y11422y2y3 =−=−=→=→−+=− El padre tiene 41 años y el hijo, 15 años. EJERCICIO 20 : Un grifo tarda en llenar un estanque dos horas más que otro grifo. Si se abren los dos grifos a la vez, el estanque se llena en 2,4 horas. ¿Cuánto tiempo tardará el primer grifo en llenar el estanque? ¿Y el segundo grifo solo?
Solución: Llamamos x a las horas que tarda uno de los grifos en llenar el estanque. Como el otro grifo tarda dos horas más, tardará x + 2. Es decir:
estanque del 2x
1 llena hora una enhoras 2grifo 2
estanque del x1
llena hora una enhoras grifo 1er
+→+→
→→
x
x
o
Entre los dos llenan, en una hora: estanque del 2
11+
+xx
Como los dos grifos juntos tardan 2,4 horas en llenar el estanque, en una hora llenarán estanque. del 4,2
1
Por tanto:4,2
12
11 =+
+xx
Resolvemos la ecuación: ( ) ( ) 8,4x8,2x0x2xx4,28,4x4,22xxx4,22x4,2 22 −−=→+=++→+=++
−==
→±=±=+±=vale) (no 2,1
4
22,58,2
204,278,2
22,1984,78,2
x
xx
Uno de los grifos tardaría 4 horas en llenarlo y el otro grifo tardaría 6 horas. EJERCICIO 21 : Un grupo de amigos va a cenar a un restaurante. Cuando van a pagar observan que, si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros; y si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros. ¿Cuántos amigos son y cuál es el precio total que tienen que pagar? Solución: Llamamos x al número de amigos e y al precio total de la cena. Si cada uno pone 20 euros, sobran 5 euros, es decir: 20x − 5 = y Si cada uno pone 15 euros, faltan 20 euros, es decir:15x + 20 = y
Resolvemos el sistema de ecuaciones:5255
20155202015520
=→=+=−
=+=−
xx
xxyx
yx
Son 5 amigos y el precio total es de 95 euros.
EJERCICIO 22 : Averigua un número sabiendo que la suma del doble de su inverso más el triple de dicho
número da como resultado .2
25
Solución:
Llamamos x al número buscado y planteamos la ecuación:2
253
2 =+ xx
xx 2564 2 =+ ⇒ 04256 2 =+− xx
==
=
→±=±
=−±
=
61
122
4
122325
12
52925
12
9662525
x
x
x 61
y 4 :soluciones dosHay
EJERCICIO 23 : Un grupo de amigos tiene que pagar una factura de 500 euros. Si fueran dos amigos más, cada uno de ellos tendría que pagar 12,5 euros menos. ¿Cuántos amigos son? Solución:
euros. 500
pagar que tiene uno Cada amigos. de número al x Llamamosx
Si fueran x + 2 amigos (dos amigos más), cada uno tendría que pagar:
menos) euros 12,5 ( euros 512500
,x
−
( ) 500512500
2 euros, 500 son total en Como =
−+ ,x
x
Resolvemos la ecuación: 500250001
5,12500 =−+−x
x ⇒ 0250001
5,12 =−+−x
x ⇒
9551005x20y =−=−=
02500015,12 2 =−+− xx ⇒ 00001255,12 2 =−+ xx ⇒
−=
=→±−=
±−=
+±−=
vale) (no 10
8
2522525
25
5062525
25
5000062525
x
x
x
Son, por tanto, 8 amigos. EJERCICIO 24 : Cristina tiene 8 años más que Carlos, y hace 2 años tenía el doble de edad que él. ¿Cuántos años tiene actualmente cada uno? Solución: Llamamos x a la edad que tiene actualmente Carlos y hacemos un cuadro que resuma la información:
La edad de Cristina hace 2 años era el doble que la de Carlos, es decir: ( )226 −=+ xx
Resolvemos la ecuación: 426 −=+ xx ⇒10 = x ⇒ Por tanto, Carlos tiene 10 años y Cristina, 18. EJERCICIO 25 : En un examen tipo test, que constaba de 40 preguntas, era obligatorio responder a todas. Cada pregunta acertada se valoró con un punto, pero cada fallo restaba medio punto. Sabiendo que la puntuación total que obtuvo Pablo fue de 32,5 puntos, ¿cuántas preguntas acertó? Solución:
Llamamos x al número de preguntas que acertó.
−→→
xx
40Falló Acertó
:Así
Como cada acierto vale un punto, y cada fallo resta medio punto, la puntuación total fue: ( ) 5324050 ,x,x =−+
Resolvemos la ecuación: 5325020 ,x,x =−+ ⇒ 51250 ,x, = ⇒ 2550512
==,,
x
Por tanto, acertó 25 preguntas. EJERCICIO 26 : Un padre ha comprado un jersey para cada uno de sus cinco hijos, gastándose en total 108,75 euros. Tres de los jerseys tenían un 15% de descuento, y otro de ellos tenía un 20% de descuento. Sabiendo que inicialmente costaban lo mismo, ¿cuánto ha tenido que pagar por cada jersey? Solución: Llamamos x a lo que costaba cada jersey antes de los descuentos. Los que tienen un 15% de descuento valdrán ahora 0,85x. El que está rebajado un 20% costará 0,8x. Por tanto, el total que ha pagado es: 3 · 0,85x + 0,8x + x = 108,75
2,55x +0,8x + x =108,75 ⇒ 4,35x = 108,75 ⇒ euros 2535475108
==,,
x
Por el que no tiene descuento ha pagado 25 euros. El que tiene un 20% de descuento cuesta ahora 20 euros. Por cada uno de los tres que tenían rebaja de un 15% ha tenido que pagar 21,25 euros. EJERCICIO 27 : Un comerciante compró dos artículos por 30 euros y los vendió por 33,9 euros. En la venta del primer artículo obtuvo un 10% de beneficio y en la venta del segundo artículo ganó un 15%. ¿Cuánto le costó cada uno de los artículos? Solución: Llamamos x al precio del primer artículo e y al precio del segundo. Así:
( ) 9333015111
30
93315111
30
,x,x,
xy
,y,x,
yx
=−+−=
=+=+
12;6,005,0;9,3315,15,341,1 =−=−=−+ xxxx ; .y 181230 =−= El primer artículo le costó 12 euros y el segundo, 18.
EJERCICIO 28 : La suma de dos números es 12 y la de sus inversos es 83
. ¿Cuáles son esos números?
Solución: Llamamos x e y a los números que buscamos.
Así:( ) ( )xxxx
xy
xyxy
yx
yx
yx
−=+−
−=
=+
=+
=+
=+
1238128
12
388
12
8311
12
096363;3368896 22 =+−−=+− xxxxxx
=→=
=→=→±=
±=
−±==+−
84
48
2412
2
1612
2
12814412;032122
yx
yx
xxx
Los números son el 4 y el 8. EJERCICIO 29 : Alberto compró 3 bolígrafos y 2 cuadernos, pagando en total 2,9 euros. Una semana después, los bolígrafos tenían un 20% de descuento y los cuadernos, un 15%. Si los hubiera comprado con estas rebajas, habría tenido que pagar 2,42 euros. ¿Cuánto le costó a Alberto cada bolígrafo y cuánto cada cuaderno? Solución: Llamamos x al precio de cada bolígrafo e y al precio de cada cuaderno, antes de la rebaja.
Así:2
39,242,27,14,2
9,22342,2285,038,0
9,223 xy
yx
yxyx
yx −=
=+=+
=⋅+⋅=+
4222
3927142 ,
x,,x, =
−+ ⇒ 422
215934
42 ,x,,
x, =−
+ ⇒ 84,41,593,48,4 =−+ xx ⇒ 09030 ,x, −=−
130 =→= y,x Antes de la rebaja, cada bolígrafo costaba 0,3 euros y cada cuaderno, 1 euro. EJERCICIO 30 : En una empresa obtienen 6 euros de beneficio por cada envío que hacen; pero si el envío es defectuoso, pierden por él 8 euros. En un día hicieron 2 100 envíos, obteniendo 9 688 euros de beneficio. ¿Cuántos envíos válidos y cuántos defectuosos hicieron ese día? Solución: Llamamos x al número de envíos válidos e y al número de envíos defectuosos. Así:
( ) 6889100286
1002
6889861002
=−−
−=
=−=+
xx
xy
yxyx
8921;4882614;68898800166 ===+− xxxx ; 20889211002 =−=y Por tanto, el número de envíos válidos fue de 1 892 y el de envíos defectuosos, 208. EJERCICIO 31 : Se mezcla cierta cantidad de café de 6 euros/kg con otra cantidad de café de 4 euros/kg, obteniendo 8 kg de mezcla. Sabiendo que el precio del café mezclado es de 4,5 euros/kg, ¿cuántos kilogramos se han mezclado de cada clase? Solución: Llamamos x a la cantidad de café (en kg) del primer tipo e y a la cantidad de café (en kg) del segundo tipo.
Así: ( ) 36846
8
3646
8
85446
8
=−+−=
=+=+
⋅=+=+
xx
xy
yx
yx
,yx
yx
6282;42;364326 =−=→===−+ yxxxx Se han mezclado 2 kg de café de 6 euros/kg con 6 kg de café de 4 euros/kg.
ÁLGEBRA • Operaciones con polinomios EJERCICIO 1 : Dados los polinomios P(x) = 4x3 – 7x2 – 6x + 14 , Q(x) = 2x3 + 3x + 5. Calcular: a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x) c) 2P(x) – 3Q(x) d) P(x).Q(x) e) P(x) : Q(x) EJERCICIO 2 : Realiza los siguientes productos: a) (x3 – 4x2 + 4).(2x – 3) b) (x3 + 2x2 – 6x + 2).(x2 + 3x – 2) c) (2x + 3)2 d) (3x-7).(3x+7) EJERCICIO 3 : Halla el cociente y el resto de las siguientes divisiones y expresa el resultado en la forma
)x(d
)x(R)x(C
)x(d
)x(D +=
a) (2x2 – 6x + 8) : (x + 4) b) (3x3 + 15x2 – 14x + 6) : (x2 – 3x +2) c) (4x3 – 6x + x4 + 12) : (x2 + 2x – 3) d) (x4 – 5x3 + 6x2 – 7) : (2x + 3) e) (x3 – 4x2 + 5x – 6) : (x2 – 7) EJERCICIO 4 : Mediante la regla de Ruffini, calcula el cociente y el resto de: a) (2x3 – 6x2 + 5x – 8) : (x + 1) b) (2x3 + 5x2 – 6) : (x + 2) c) (3x3 + 15x – 10) : (x – 3) d) (5x3 + 2x4 + 5x) : (x + 3) • Factor ización de polinomios EJERCICIO 5 : Calcular las raíces de a) x3 + 6x2 – x – 6 b) x3 + 3x2 – 4x – 12 c) x4 – 5x2 + 4 d) x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 EJERCICIO 6 : Descomponer en factores los polinomios: a) x4 + 2x3 – 13x2 – 14x + 24 b) x4 + 4x3 + 4x2 c) x4 – 5x2 + 4 d) x3 + 2x2 + 4x e) 2x3 + 11x2 + 2x – 15 f) 3x4 – 3x3 – 18x2 g) 4x2 + 12x + 9 h) 25x2- 4 EJERCICIO 7 : Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios: P(x) = x4 + 7x3 + 12x Q(x) = x5 + 2x4 – 3x3 • Teorema del resto EJERCICIO 8 : Hallar m para que 5x3 – 12x2 + 4x + m sea divisible por x – 2 EJERCICIO 9 : Calcular a para que el polinomio x3 + ax + 10 sea divisible por x + 5 EJERCICIO 10 : Dado el polinomio x4 + 6x3 – 3x2 + 5x + m, determinar m para que al dividirlo por x + 3 se obtenga 100 como resto. • Fracciones algebraicas EJERCICIO 11 : Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
a) 2x
1x.
1x
3x2 +
−−
+ b)
1x
2x:
1x
4x4x2
2
++
−++
c) x2xx
2x3x23
3
−++−
d) 2xx2x
3x2x23
2
−−+−+
e) 4x8x5x
4x3x23
23
++++−
f) 9x3x5x
9x15x7x23
23
++−−+−
g) 3x
1x.
1x
9x6x2
2
++
−++
h) 5x
2x.
4x
25x10x2
2
++
−++
i) 36x
6x5x:
6x
4x2
22
−+−
+−
j)
++
+−
x
3
x
2x:
1x
2
x
12
2
EJERCICIO 12 : Calcula y simplifica:
a) 6x5x
3
3x4x
x22 +−
−+−
b) 1x2x
x1
1x
x2 ++
+++
c) 3x4x
2x
6x5x
1x22 +−
−++−
−
d) 1x
x3
1xx
3x3
2
2 −−
++−
e) 1x
1x
1x2x
222 −++
+− f)
30x11x
11
20x9x
122 +−
−+−
g) 9x
1x
9x6x
x21
3x4x
x1222 −
+−+−
+−+−
− h)
3x4x
x1
6x5x
x1
2x3x
x21222 ++
+−++
−−++
+
• Resolución de ecuaciones EJERCICIO 13 : Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 4
12x3x4
2
x 22 −+=− 03x4xb) 24 =+− c) 2
1
x
3x
3x
1x2 =−+++
d) x4 + 2x2 – 3 = 0 e) 61x24x =−++ f) –x.(x – 1).(x2 – 2) = 0
g) x21x
25x2xx22
23=
−+−−
h) 2x4 + 4x3 – 18x2 – 36x = 0 i)3
x
3
x32x
3
16x 22−−=−−
j) 036x5x 24 =−− k) 7x3x3 =+− l) 4
5
1x
2x
1x
2 =+−+
−
m) 610x3x =++ n) 04x5x 24 =+− ñ) x2x3x2 =+
o) x
11
1x
1x =−−+
p) 2x8x2 =−+ q) 22 x
41
x
2
x
3 +=+
r) 3x+2 + 3x = 90 s) 4x – 7.2x – 8 = 0 t) 7x-1 – 2x = 0
u) 4x − 2x−1 − 14 = 0 v) log (2x) − log (x + 1) = log 4 w)9
79
3
1
3
13
xx =−+
x) ( ) ( )6x4log2log1x3log −+=− y) 162
22x3
1x4=
+
− z) 24logxlog2 −=+
1) 04
322 1xx2 =+− + 2) ( ) ( ) 6log3xlog2xlog =−+− 3) log (2x + 3) – log x = 1
• Sistemas de ecuaciones EJERCICIO 14 : Resuelve analíticamente los siguientes sistemas de ecuaciones e interpreta gráficamente la solución:
a)
=−=+
2yx2
1yx b)
=+=+
2yx
1yx c)
=+=+
2y2x2
1yx
d)
=++++=
02yx
2x4xy 2 e)
=+−++=02yx4
2x4xy 2 f)
=−−++=
02yx
2x4xy 2
EJERCICIO 15 : Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:
−=+=−
2y3x4
4yx2)a
2
−=−=+
4y3x3
2yx)b
5yx
0y2 x)c
22
=+
=+
d)
=−
=+−+ 532
11321y1x
yx
e)
==+
1xylog
2ylogxlog2 f)
=+
=+
y
2yx
x
3y2x
g)
=−−+=
2log)yxlog()yxlog(
5.255 yx
=−
=−
8yx3
14
y
2
x
)h
−=−=−
1y2
1x
y1x2)i 2
j)
=−++= +
3log)yxlog()yxlog(
42.4 1yx k)
=+
=+
7yx
52yx2 l)
=−=+
122yx3
20yx
• Método de Gauss para sistemas lineales EJERCICIO 16 : Resuelve, aplicando el método de Gauss, los siguientes sistemas lineales:
a)
=++=+−=−+
3zyx
5z2yx
0zyx2
b)
=++−=++
=++
2z3y9x4
3zy5x2
4zy2x
c)
=−+=+−=−+
13z5yx4
3zy3x2
5z3y2x
d)
−=−−=+=+=+
2zy2x
5yx
3zy
4zx
e)
=+=+
=++
3zy
2yx
3zyx
f)
−=−+=++
=+−
9z4yx
10z5yx2
7z2yx
g)
−=+−−=+−
=−+
6z2yx
16z2y6x6
3zy4x3
h)
=−+=+−=+−=+−
0z2yx3
6z3yx
3zyx2
5z3y2x
• Inecuaciones con una incógnita EJERCICIO 17 : Resuelve las siguientes inecuaciones: a) − 2x + 4 ≤ − 2 b) x2 + x − 6 ≤ 0 c) 2x + 1 > −5
d) 51x3 −>+− e) 04x 2 ≤− f) 53x2 <−
g) 3x −1 ≤ 4x h) x2 − 3x > −2 i) 123
1 +≤−x
x
( )1x
3
1x2 j) −>−
04x k) 2 ≥− l) 3(x−1)+1≤ 2(x+1)
( )1x2x32 m) +<− 04x4x n) 2 ≤−+− ñ) 0x3
2x >−−
o) 0xx
3x2
>−+
p) 03x
2x2
≤−+
q) 01x2x
6xx2
2≥
+−−+
r) 0x4x3 ≥− s) x3 +3x2 – x – 3 < 0 t) 3x2 – 6x > 0 • Sistemas de inecuaciones con una incógnita EJERCICIO 18 : Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a)
−>
+≤+
1x2
3x2
14x8x3 b)
<−>−−
03x2
04x3x2 c)
−>+−+
−≥
+−
6
5x22
2
1
3
xx
8x12
x3x2
d)
−>+<−−
165x3
0xx310 2
• Inecuaciones con dos incógnitas EJERCICIO 19 : Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones: a) 2x – 3y < 6 b) x + 2y ≥ 0 c) 3x - 2y ≤ 0 d) 4x + y > 3 • Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas EJERCICIO 20 : Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a)
−<>−y1x
0yx2 b)
−≥≤−y2x
4yx2 c)
>++>
>−
01yx
0y
0yx
d)
<−≥
≤
yx
1y
2y
• Problemas algebraicos EJERCICIO 21 : Un número de tres cifras es tal que la suma de sus cifras es 9. Si el orden de las cifras se invierte, el número disminuye en 99 unidades y la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. Hallar dicho número. EJERCICIO 22 : El área de un trapecio isósceles es 7 m2 y su base menor mide 2,5 m. Calcular la base mayor y la altura, sabiendo que ésta es las dos terceras partes de la base mayor.
EJERCICIO 23 : Un número de dos cifras elevado al cuadrado se diferencia del cuadrado del número que resulta al intercambiar sus cifras en 297. La cifra de las unidades es la mitad de la de las decenas. Hallar el número. EJERCICIO 24 : El área de un triángulo isósceles es 60 m2 y cada uno de los lados iguales mide 13 m. Hallar la base y la altura del triángulo. EJERCICIO 25 : Dos hermanos se diferencian en cuatro años de edad. Dentro de ocho años, las edades de ambos sumarán 40 años. ¿Cuáles son sus edades actuales? EJERCICIO 26 : De un rectángulo sabemos que su área es 192 cm2 y sus diagonales miden 20 cm. Calcula la longitud de sus lados. EJERCICIO 27 : Por dos bolígrafos, un lápiz y un rotulador he pagado 6 euros. Por cuatro bolígrafos y dos rotuladores ha pagado 10 euros. Y por cinco lápices y tres rotuladores he pagado 11 euros. ¿Cuál es el precio de cada artículo? EJERCICIO 28 : Halla cuatro números enteros consecutivos que sumen 366. EJERCICIO 29 : Halla dos números sabiendo que suman 7 y sus inversos, 7/12.
EJERCICIO 30 : Halla la medida de los lados de un rectángulo si sabemos que su perímetro es 20 cm y la diagonal 58 cm. EJERCICIO 31 : Si aumentamos en 2 dm cada arista de un recipiente cúbico, su capacidad aumenta en 98 litros. Averigua la capacidad inicial del depósito. EJERCICIO 32 : En un aula estudian 28 alumnos. De ellos, hay tantos alumnos con ojos verdes como alumnos con ojos azules, y el resto tiene ojos castaños. Si el número de alumnos con ojos castaños es igual que los alumnos que tienen ojos verdes y azules juntos. ¿cuántos alumnos hay con cada color de ojos? EJERCICIO 33 : Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, siendo un total de 20 personas entre hombres, mujeres y niños. Contando a los hombres y las mujeres juntos, su número es el triple que el número de niños. Además, si hubiera ido una mujer más, su número igualaría al de los hombres. Calcula cuántos hombres, mujeres y niños han ido a la excursión. EJERCICIO 34 : Ana se dispone a invertir 100.000 euros. En el banco le ofrecen dos productos: Fondo Tipo A, al 4 % de interés anual, y Fondo Riesgo B, al 6 % de interés anual. Invierte una parte en cada tipo de fondo y al cabo del año obtiene 4.500 euros de intereses. ¿Cuánto adquirió de cada producto? EJERCICIO 35 : Los lados de un rectángulo se diferencian en 2 m. Si aumentáramos 2 m cada lado, el área se incrementaría en 40 m2. Halla las dimensiones del polígono. EJERCICIO 36 : El alquiler de una tienda de campaña cuesta 90 euros al día. Inés está preparando una excursión con sus amigos y hace la siguiente reflexión “Si fuéramos tres amigos más, tendríamos que pagar 6 euros cada uno” . ¿Cuántos amigos van de excursión? EJERCICIO 37 : Dos vacas y tres terneros valen lo mismo que dieciséis ovejas. Una vaca y cuatro ovejas valen igual que tres terneros. Tres terneros y ocho ovejas cuestan lo mismo que cuatro vacas. Averigua el precio de cada animal. EJERCICIO 38 : En la actualidad la edad de un padre es el triple de la de su hijo, y dentro de 15 años la edad del padre será el doble de la de su hijo. ¿Cuántos años tienen en este momento el padre y el hijo? EJERCICIO 39 : Si Juan sube de tres en tres los escalones de una torre, tiene que dar 30 pasos menos que si los sube de dos en dos. ¿Cuántos escalones tiene la torre?