Bloque : Álgebra

Unidad Didáctica 3El lenguaje algebraico. Polinomios.

1. Monomios.Un monomio es el producto indicado de un número (coeficiente)

por una o varias letras elevadas a unos exponentes (parte literal).

Cada una de las letras que componen la parte literal de un monomio se denomina variable.

Se dice que dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, las mismas letras elevadas a los mismos exponentes respectivos.

Se llama grado de un monomio al número que resulta de sumar los exponentes de las letras que constituyen su parte literal. Los números son monomios de grado 0 , puesto que x0 = 1.

Se llama valor numérico de un monomio, para ciertos valores de las letras que intervienen, al número que se obtiene al sustituir las letras por estos valores y efectuar las operaciones indicadas.

1. En cada uno de los siguientes monomios identifica el coeficiente y la parte literal, halla el grado y el valor numérico para los valores x=3, y=–2, z=5:(a) 3x2 (b) 4x2y (c) –5x2y2z2 (d) y3z (e) 4

[Solución: (a) 2; 27 (b) 3; –72 (c) 6; –4500 (d) 4; –40 (e) 0; 4 ]

2. Operaciones con polinomios. Para sumar o restar monomios, hay que operar de la misma forma a

como se hacía con los radicales:

(1) Los monomios han de ser semejantes, ya que si no lo son, no se pueden sumar y hay que dejar la operación indicada.

(2) Se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.

Ejemplo: 3x2ab + 5x2ab – 2xab = 8x2ab – 2xab .

Para multiplicar o dividir monomios, se multiplican o dividen los coeficientes por una parte y las partes literales por otra, teniendo en cuenta como se multiplican y dividen potencias de la misma base.

Ejemplo:

2. Efectúa las siguientes operaciones con monomios:(a) 5x – 3x + x (c) (7x2)·(–5x3)(b) 7x3 + 3y3 – 11x3 – y3 (d)

(e) (f)

[Solución: (a) 3x (b) –4x3 + 2y3 (c) –35x5 (d) 42x/5 (e) –x4/4 (f) –8x6/15]

3. Polinomios.Un polinomio está formado por sumas y diferencias de dos o más

monomios. Cada uno de los monomios que componen el polinomio se llama término del polinomio. Si un polinomio tiene dos términos se le llama binomio, si tiene tres trinomio, y así sucesivamente. Al término que no tiene letras se le denomina término independiente.

Aunque se puede trabajar con polinomios con varias letras (variables), nosotros vamos a estudiar sólo los polinomios en una variable, la x y lo denotaremos por P(x).

Se dice que un polinomio está en forma reducida cuando están efectuadas todas las sumas posibles de monomios semejantes, y que está ordenado cuando los términos que lo componen están ordenados de mayor a menor exponente de la x.

Se llama grado de un polinomio al mayor exponente de la x que aparece en la forma reducida del polinomio.

El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a, es el resultado que se obtiene al sustituir x por a, y realizar las operaciones indicadas.

3. Escribe en forma reducida y ordenada los siguientes polinomios. ¿Cuál es su grado?(a) 5x + 6x2 – 8x + x3 – 6x2 + 4 (c) 4 + x + 2x4 – x2 + 5x3 + 4x4 – 3 +

4x2– 6x4

(b) 2x – 4x2+ x3 – x2 + 4x3– x – 5x3

[Solución: (a) x3 – 3x + 4; 3 (b) – 5x2+ x; 2 (c) 5x3 + 3x2 + x + 1; 3 ]

4. Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x3 + 2x2 – x + 1 para los valores de x:(a) x = 5 (b) x = –1 (c) x = ½ (d) x=–2/3

[Solución: (a) 171 (b) 3 (c) 9/8 (d) 61/27 ]

4. Operaciones con polinomios.Para efectuar cualquier operación con polinomios, lo primero que

tenemos que hacer es escribirlo en forma reducida y ordenada.

Para sumar o restar dos polinomios, se suman o restan sus monomios semejantes.

En la práctica, lo que se suele hacer es colocar los dos polinomios ordenados en forma decreciente uno debajo de otro de forma que coincidan en la misma columna los monomios semejantes y sumar o restar los coeficientes.

Ejemplo: A = 3x2 + 5x – 2 y B = x3 + 4x2 – 5

A = 3x2 + 5x – 2 A = 3x2 + 5x – 2 + B = x3 + 4x2 – 5 – B = x3 + 4x2 – 5

A + B = x3 + 7x2 + 5x – 7 A – B = – x3 – x2 + 5x + 3

5. Dados los polinomios A(x) = x2 – x + 3; B(x) = 3x3 – 2x2 + x – 5, calcula:(a) A(x) + B(x) (b) A(x) – B(x) (c) B(x) – A(x)

[Solución: (a) 3x3 – x2 – 2 (b) –3x3+ 3x– 2x + 8 (c) 3x3 – 3x + 2x – 8]

6. Dados los polinomios , , calcula: P(x) + Q(x) (b) P(x) – Q(x)

[Solución: (a) 2x2 – x + 8 (b) –2x2/3 + x/2 + 4 ]

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada uno de los monomios del polinomio (no olvides aplicar correctamente la regla de los signos).

Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio del primero por cada monomio del segundo, sumando después los términos semejantes.

Ejemplo: P = 2x3 - 4x2 – 1 y Q = 3x – 2

P = 2x3 - 4x2 – 1 * Q = * 3x - 2

– 4x3 + 8x2 + 2 6x4 – 12 x3 – 3x

P * Q = 6x4 – 16 x3 + 8x2 – 3x + 2

7. Multiplica:(a) (4x3 – 5x2 + 6x – 2) · (3x2) (c) (3x2 + 6x – 1) · (3x + 5)(b) (10x4 – 8x3 + 6x2 – 12x + 4) · (–x3/2)(d) (4x3– 5x + 6) · (2x2 – x + 4)

[Solución: (a) 12x5–15x4+18x–6x2 (b) –5x7+4x6–3x5+6x4–2x3

(c) 9x3+33x2+27x–5 (d) 8x5 – 4x4 + 6x3 + 17x2– 26x + 24 ]

8. Dados los polinomios P(x) = x + 1; Q(x) = x2 – x + 2; R(x) = x2 + 2x – 1, calcula:(a) 3·Q(x) – 2·R(x) (b) P(x) · [Q(x) + R(x)](c) P(x) · Q(x) + P(x)·R(x)

[Solución: (a) x2 – 7x + 8 (b) y (c) 2x3 + 3x2 + 2x + 1 ]

5. Productos notables. Sacar factor común.La potencia de un polinomio es igual al polinomio que se obtiene al

multiplicar por sí mismo tantas veces el polinomio base como indica el exponente.

Hay casos en los que es muy útil el uso de los productos notables:

Cuadrado de una suma: (a+b)2 = a2 + b2 + 2ab

Cuadrado de una diferencia:

(ab)2 = a2 + b2 2ab

Suma por diferencia: (a+b)(ab) = a2 b2

9. Efectúa:(a) (2x2 + x + 3)2 (c) (5x + 2/5)2

(b) (x + 6)2 (d) (2x – 1)2

(e) (4/3 – 5x)2 (f) (x +10)(x –10)(g) (3x + 1/2)(3x – 1/2)

[Solución: (a) 4x4+4x3+13x2+6x+9 (b) x2+36+12x (c) 25x2+4/25+4x (d) 4x2+1–4x (e) 16/9+25x2–40x/3 (f) x2–100 (g) 9x2–1/4 ]

10. Expresa mediante un producto notable las siguientes expresiones:(a) 4x2 – 36 (c) x2 + 25 + 10x(b) x2 – 49 (d) x4 + 6x2 + 9(e) x2 + 100 – 20x (f) 4x2 + 1 – 4x

[Solución: (a) (2x+6)(2x–6) (b) (x+7)(x–7) (c) (x+5)2 (d) (x2+3)2

(e) (x–10)2 (f) (2x–1)2 ]

La operación de sacar factor común de varios sumandos consiste en aplicar la propiedad distributiva:

ax ay = a(x y)

11. Saca factor común en las siguientes expresiones:(a) x2 + 3x (b) 5x2 – 10x (c) 4x2 – 6x4

(d) 3x6 + 9x2 – 6x3

[Solución: (a) x(x+3) (b) 5x(x–2) (c) 2x2(2–3x2) (d) 3x2 (x4+3–2x3) ]

12. Saca factor común en las siguientes expresiones:(a) x(x+2)–6(x+2) (b) 2x(x+1) –6(x+1)(c) x2(x–1)+x(x–1)

[Solución: (a) (x+2)(x–6) (b) 2(x+1)(x–3) (c) x(x–1)(x+1) ]

Actividades.1. En cada uno de los siguientes monomios halla el grado y el valor

numérico para los valores x=–1, y=–2:(a) –x2y (b) 3y3 (c) 5x (d) 3x3y2 (e) –5x11y

[Solución: (a) 3; 2 (b) 3; –24 (c) 1; –5 (d) 5; –12 (e) 12; 10 ]

2. Efectúa las siguientes operaciones con monomios:

(a) (b) (c)

[Solución: (a) –2x2 + 5x3/6 (b) 18x3/5 (c) 5x3/7 ]

3. Razona la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:(a) (3x2)·(4x4)=12x8 (c) x6 / x3 = x2 (e) x2 + x =

2x3

(b) 2x2 + x3 = 3x5 (d) x6 / 3x3 = 3x3

[Solución: Son todas falsas ]

4. Escribe los siguientes polinomios en forma reducida y ordenada, e indica su grado:(a) 2x + x2 – 7 + x + 8 – x2 (c) 7x2 – x + 8 + 4x – x2

(b) –x3 + 2x2 – 5x + 4 – x2 + 3x (d) 5x2 – 3x + 8 – 5x2 + 7

[Solución: (a) 3x +1; 1 (b) –x3 + x2 – 2x + 4; 3 (c) 6x2 + 3x + 8; 2 (d) –3x + 15; 1 ]

5. Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x3 + 2x2 – x + 1 para los valores de x:(a) x = 5 (b) x = –1 (c) x = –2 (d) x = ½ (e)

x=–2/3 [Solución: (a) 171 (b) 3 (c) 3 (d) 9/8 (e) 61/27 ]

6. Si P(x) = 3x2– 5x + 3; Q(x) = 7x4– 4x3+ 6x – 10; R(x) = 5x4– 6x3+ 3x2 – 8x + 7, calcula:(a) P(x) + Q(x) + R(x) (b) P(x) – Q(x) + R(x) (c) P(x) –

Q(x) – R(x)[Solución: (a) 12x–10x3+6x2–7x (b) –2x4–2x3+6x2–19x+20 (c) –12x4+10x3–

3x+6 ]

7. Efectúa:(a) (–9x3 + x – 1)·(–7x2) (c) (x4 – 3x3 + 2x2 – 5x + 1) ·

(2x2 – 3x + 2)(b) (x4 + x3 + 2x2 + 3x + 2) · (x + 5)

[Solución: (a) 63x5 – 7x3 + 7x2 (b) x5 + 6x4 + 3x3 – 7x2 + 17x + 10 (c) 2x6 – 9x5 + 15x4 – 22x3 + 21x2 – 13x + 2]

8. Dados los polinomios : P(x) = x3 – 5x2 + 6x – 4, Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5, R(x) = –8x4 – 4x3 + 2x, S(x) = x4 – x3 + x2 – 1, efectúa las siguientes operaciones :(a) R(x) + S(x) (b) P(x) – Q(x) (c) P(x) · x2

(d) S(x) · Q(x)[Solución: (a) –7x4–3x3+2x+1 (b) –2x3+x2+6x+1 (c) x5–5x4+6x3–4x2

(d) 3x7–9x6+9x5–11x4+2x3+x2+5 ]

9. Utilizando los polinomios del ejercicio anterior, halla el valor numérico de:(a) P(x) para x=1 (b) Q(x) para x=–2 (c) R(x) para x=1/2 (d) S(x)

para x=–2/3[Solución: (a) –2 (b) –53 (c) 0 (d) –5/81 ]

10. Desarrolla los siguientes productos notables :(a) (3x + 8)2 (c) (x/2 + 8)2 (e) (2x/3 + ½)2

(g) (4x – 3)2

(b) (4/3 – 3x)2 (d) (5 – 2x)(5 + 2x) (f) (3x – 1/3)(3x + 1/3)

[Solución: (a) 9x2+64+24x (b) 16/9 +9x2–8x (c) x/4 +64+8x (d) 25 – 4x2

(e) 4x2/9 + ¼ + 2x/3 (f) 9x2– 1/9 (g) 16x2+9–24x ]

11. Expresa mediante un producto notable :(a) 4x4 – 1 (b) 9x2 – 49 (c) 16x2 – 4

[Solución: (a) (2x2+1)(2x2–1) (b) (3x+7)(3x–7) (c) (4x+2)(4x–2) ]

12. Saca factor común en las siguientes expresiones:(a) 6x + 15x2 (c) 2x3 – 4x5 + 6x4

(e) 2x3(x+2) – 4x2(x+2) (b) 3x + 15x2 (d) 15·(x–3)·x2 – 10 (x–3)·x (f) 25·(x–1)·x3 – 15 (x–1)·x2

[Solución: (a) 3x(2+5x) (b) 3x(1+5x) (c) 2x3(1–2x2+3x) (d) 5x(x–3)(3x–2) (e) 2x2(x+2)(x–2) (f) 5x2(x–1)(5x–3) ]

Actividades de repaso.1. Razona la verdad o falsedad de las siguientes igualdades:

(a) x · x = 2x (b) x2·x3 = x5 (c) x2+x3= x5 (d) x3 = 3x

[Solución: (a) Falso (b)Verdadero (c) Falso (d) Falso ]

2. Dado el polinomio: 4x3 – 2x2 + x + 1 – 3x3 + x2 – x – 7 – x3 – 4x2 + 3x – 5.(a) Exprésalo en forma reducida. (b) Indica su

grado.[Solución: (a) –5x2 + 3x – 11 (b) 2 ]

3. Dados los polinomios A(x) = 2x2 + 3x – 1; B(x) = 3x – 7 ; C(x) = 4x3 – 5x + 2 , calcula:(a) El valor numérico de A(x) para x = –2. (c) C(x) – A(x) (d)

A(x) · B(x)(b) A(x) + C(x)

[Solución: (a) 1 (b) 4x3 + 2x2 – 2x + 1 (c) 4x3 – 2x2 – 8x + 3 (d) 6x3 – 5x2 – 24x + 7 ]

4. Saca factor común en la expresión: a3x2 – a2 x3 + a2x2

[Solución: a2 x2 ( a – x + 1 ) ]

5. Calcula las siguientes potencias, aplicando las fórmulas de las identidades notables:(a) (2x + 3)2 (b) (3x – 1/3 )2 (c) (2x2 + 3) (2x2 – 3)

[Solución: (a) 4x2 + 9 + 12x (b) 9x2 + 1/9 – 2x (c) 4x4 – 9 ]

Actividades de ampliación.

1. Halla m, n y p para que se cumpla: (mx2 + 7nx + p) + (x2 + 2x + 5) = 3x2+ 6x + 1.

[Solución: m=2, n=4/7, p=–4 ]

2. Efectúa el producto:

[Solución: ]

3. Efectúa y saca factor común en el resultado:[Solución: 9x4y2(1 + 4x6y4 – 4x3y2) ]

Recuerda:

1. Si p(x) = 2x + 3, q(x) = x3 – 2x + 1 y r(x) = x4 – 1, calcula q(x) – p(x)·r(x)

[Solución: –2x5 – 3x4 + x3 + 4 ]

2. Halla el valor numérico del polinomio p(x) = –x2 + 10x – 21 para:(a) x=2 (b) x=–1 (c) x= ¼ (d)

x=–½ [Solución: (a) –5 (b) –32 (c) –297/16 (d) –105/4 ]

3. Desarrolla los siguientes productos notables:(a) (b) (c)

[Solución: (a) (b) (c) 4x – 5 ]

4. Expresa como productos notables:(a) x2 – 4x + 4 (c) x12 + 2x6 + 1 (e) 9x6 – 60x3 + 100(b) 4x2 – 4x + 1 (d) 9x2 – 4 (f) x2 – 49

[Solución: (a) (x–2)2 (b) (2x–1)2 (c) (x6+1)2 (d) (3x+2)(3x–2) (e) (3x3–10)2 (f) (x+7)(x–7) ]

5. Saca factor común de cada una de las siguientes expresiones:(a) x2 + x (c) –12 – 6x + 24xy (e) 27x3y – 9x2y2 + 9x2y3

(b) 9 – 3 (d) (x+1) + 6(x+1) (f) r2 h + 2 r[Solución: (a) x(x+1) (b) 3(3– ) (c) 6(4xy–x–2)

(d) 7(x–1) (e) 9x2y(3x + y2–y) (f) r(rh+2) ]

6. Simplifica las siguientes fracciones (intenta siempre sacar factor común):(a) (c) (e) (g)

(b) (d) (f) (h)

[Solución: (a) x–y (b) 2+4 (c) (d) b (e) –1/5 (f) x2–x+3 (g)

(h) ]

7. Resuelve las ecuaciones de segundo grado:(a) x2 – 4x + 3 = 0 (c) 3x2 – 243x = 0 (e) 2x2 + 7

= x(b) x2 – 64 = 0 (d) 2x2 + 12x = –18[Solución: (a) x=1, x=3 (b) x=8 (c) x=0, x=81 (d) x=–3 (e) No tiene

solución ]

5. División de polinomios.Efectuar la división de un polinomio dividendo, D(x), por un polinomio

divisor, d(x), que ha de ser distinto de cero y con grado menor o igual que el dividendo, consiste en hallar un polinomio cociente, C(x), y un polinomio resto, r(x), que cumplan:

Pueden presentarse tres casos:

Si tanto el dividendo como el divisor son dos monomios, es decir: D(x) = a·xm, d(x) = b·xn, entonces la división es exacta, y el cociente viene dado por:

Si tanto el dividendo como el divisor son polinomios, conviene seguir el siguiente procedimiento:

(1) Se ordenan los dos polinomios en forma decreciente según las potencias de x, teniendo cuidado de dejar los huecos correspondientes a los términos que falten en el dividendo.

(2) Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor.

(3) El término hallado del cociente se multiplica por el divisor y el producto se resta del dividendo, obteniendo un resto parcial.

(4) Si el resto parcial es cero, o su grado es menor que el grado del divisor, hemos concluido la división. En caso contrario, se repite el proceso hasta llegar a un resto cuyo grado sea menor que el divisor.

1.- Efectúa las divisiones:(a) (10x4) : (5x2) (c) (4x2–5x+6):(x+7) (e) (2x3–

3x+5) : (2x+1)(b) (–x5 + 2x4 – 3x2 + 5x + 4) : x3 (d) (x4 + 1) : (x2 + 1)

[Solución: (a) C=2x2; r=0 (b) C=–x2+2x; r=–3x2+5x+4 (c) C=4x–33; r=237 (d) C=x2–1; r=2 (e) C=x2–x/2–5/4; r=25/4 ]

2. Efectúa las divisiones:(c) (x4 – 2x2 + 6x) : (x2 – x + 3) (b)

[Solución: (a) C=x2+x–4; r=–x+12 (b) x2–3x/2+2; r=0 ]

3. Halla el valor de a para que el polinomio P(x) = x3 – x2 + a sea divisible por x + 2.

[Solución: a=12 ]

D(x)= d(x) · C(x) + r(x) con 0 Grado de r(x) < grado de d(x).

6. División por (x – a). La regla de Ruffini. El teorema del resto.

En las divisiones de polinomios, cuando el divisor es de la forma (x – a) , siendo “a” un número cualquiera, se puede aplicar la regla de Ruffini. Para ello hay que proceder de la siguiente forma:

(1) Se colocan los coeficientes del polinomio dividendo (sin las letras) ordenados en forma decreciente según su grado, escribiendo ceros en los lugares de los términos que faltan.

(2) Se coloca debajo y a la izquierda el término “a” del divisor (observa que ha cambiado de signo).

(3) Se baja el primer coeficiente del dividendo.

(4) Se multiplica este coeficiente “a”, se coloca debajo del siguiente coeficiente del dividendo y se suma con él.

(5) Se repite este proceso hasta llegar al último coeficiente del dividendo (el término independiente).

Entonces, la última linea son los coeficientes del cociente, que es un grado inferior al del dividendo, y el resto de la división es el número que ocupa el último lugar

Ejemplo:

(5x4–3x3+6x–1) (x–2)

C(x) = 5x3+7x2+14x+34 r(x) = 67

4. Efectúa las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini.

(a) (x3 + 4x2 – 7x + 10) : (x – 2) (c) (x5 + 3x – 4) : (x + 2)(b) (2x4 – 5x2+ 6x – 10) : (x + 3) (d) (x7 – 2x5 + x3) : (x – 2)[Solución: (a) C=x2+6x+5; r=20 (b) C=2x3–6x2+13x–33; r=89 (c) C=x4–

2x3+4x2–8x+19; r=–42 (d) C=x6+2x5+2x4+4x3+9x2+18x+36 ; r=72 ]

Teorema del Resto

El resto de la división de un polinomio dividendo D(x) por el divisor (x – a) es igual al valor numérico del polinomio D(x) para x = a, es decir:

r = D(a) .

El teorema del resto nos permite calcular el resto de una división sin necesidad de efectuarla.

5. Demuestra el teorema del resto (basta con aplicar la propiedad fundamental de la división)

6. Halla el resto de las siguientes divisiones sin efectuarlas:(a) (x4 – 5x2 + 8x – 10) : (x–3) (c) (x3 – 6x2+ 5x) : (x – 1)(b) (x7 – x4+ 1) : (x + 2) (d) (2x5 – 5x3 + 6) : (x – 1)

[Solución: (a) 50 (b) –143 (c) 0 (d) 3 ]

7. Resuelve:(a) Halla m para que el resto de la división (x3 + mx2+ 2x – 1) : (x – 3)

sea 68.(b) Halla m para que el polinomio P(x)= x3 – x2+ m sea divisible por

x + 2.[Solución: (a) m = 4 (b) m = 12 ]

7. Divisibilidad de polinomios.Decimos que el polinomio A(x) es múltiplo del polinomio B(x) si existe

un polinomio C(x) tal que: A(x) = B(x) · C(x) (lo que equivale a decir que la división A(x) : B(x) es exacta). En este caso, se dice también que B(x) es divisor de A(x).

8. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:(a) ¿Es A(x) = x3 – x2 + 2x – 2 múltiplo de B(x) = x2 + 2 ?(b) ¿Es P(x) = 7x5 un múltiplo de Q(x)=2x3 ?(c) ¿Es Q(x) = x – 1 divisor de P(x) = x3 – x2 + x ?

[Solución: (a) Si (b) Si (c) No ]

Diremos que el número “a” es un cero, o una raíz, del polinomio P(x) si es solución de la ecuación P(x) = 0, es decir, si P(a) = 0. Un polinomio puede tener tantas raíces como indique su grado, pero nunca más.

Observación: Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros se localizan fácilmente teniendo en cuenta que siempre son divisores del término independiente.

9. Contesta a las siguientes cuestiones:(a) ¿Es 3 raíz del polinomio P(x) = x2 – 9?(b) ¿Es 1 raíz del polinomio P(x) = x4 – 5x2+ 6?(c) ¿Cuáles son las raíces enteras del polinomio P(x) = x4 – 5x3 + x2 – 1?(d) ¿Cuáles son las raíces enteras del polinomio P(x) = x3 – 2x2 + 4x –

3?(e) ¿Cuáles son las raíces enteras del polinomio P(x) = x4 – x3 – 34x2 +

4x + 120?[Solución: (a) Si (b) No (c) No tiene (d) x = 1 (e) 2, –2, –5 y –6 ]

Descomponer un polinomio en factores consiste en hallar dos o más polinomios de grado inferior, tales que su producto sea el polinomio dado. Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede

descomponerse como producto de dos polinomios de grado mayor que cero (todos los polinomios de grado uno son por lo tanto irreducibles).

Para hallar la descomposición factorial del polinomio P(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0 , que tenga las n raíces reales x1, x2, ... , xn consiste en escribirlo de la forma: P(x) = an (x – x1) (x – x2) ... (x – xn)

Para ello, conviene seguir el siguiente procedimiento: (1) Saca factor común todo lo que se pueda. Este paso es obligatorio

cuando el polinomio no tiene término independiente.

(2) Comprueba si el polinomio se corresponde al desarrollo de algún producto notable (este paso es opcional, pero puede ahorrar mucho tiempo):

(3) Si el polinomio es de grado dos, es decir, es de la forma P(x) = ax2+ bx + c, se resuelve la ecuación de segundo grado ax2+ bx + c = 0, y puede ocurrir:

Que la ecuación tenga dos soluciones distintasax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

Que tenga una única solución dobleax2 + bx + c = a(x – x0)2

O que no tenga solución. En este último caso, el polinomio será irreducible de grado dos.

(4) Si el polinomio tiene grado mayor o igual que tres, se buscan las raíces enteras de la siguiente forma:

Localiza todos los divisores del término independiente a0 . Sustituye cada uno de los divisores en P(x) hasta encontrar un divisor,

llamémosle x1 , tal que P(x1) = 0. Entonces x1 es una raíz de P(x). Divide (por el método de Ruffini) P(x) entre (x – x1), y obtendrás un

cociente C1(x) y el resto cero. Aplicando la propiedad fundamental de la división, obtendremos P(x) =

(x – x1) · C1(x), que es ya una primera descomposición en factores de P(x). Se repite este proceso hasta que el cociente obtenido sea un polinomio de grado dos, momento en el que se usarán las técnicas del apartado (3).

10. Averigua si los siguientes polinomios son o no irreducibles:(a) x2 + 1 (b) x3 – x2– 2x + 2 (c) x2 – 8

[Solución: (a) Si (b) No (c) No ]11. Haz la descomposición factorial de los polinomios:

(a) A(x) = x2 – 2x (e) E(x) = x2 – 1/9 (i) I(x) = x3 – 1

(b) B(x) = x3 + 5x2 (f) F(x) = x12 + 2x6 + 1 (j) J(x) = x3 + 5x2 – 4x – 20

(c) C(x) = x4 – 4x2 (g) G(x) = x2 + x – 2 (k) K(x) = x3

– x2 –12x(d) D(x) = x5 – x3 (h) H(x) = 3x2+ 5x – 2

[Solución: A(x)= x(x–2); B(x)= x2(x+5); C(x)= x2(x+2)(x–2); D(x)= x3(x+1)(x–1);

E(x)= (x+1/3)(x–1/3); F(x)= (x6 + 1)2; G(x)= (x–1)(x+2); H(x)= 3(x+2)(x–1/3);

I(x)= (x–1)(x2+x+1); J(x)= (x–2)(x+5)(x+2); K(x)= x(x–4)(x+3) ]

Para calcular el m.c.d. o el m.c.m. de dos polinomios hay que proceder como con los números enteros: se descomponen factorialmente los polinomios y se eligen los factores comunes elevados al menor exponente para el m.c.d. y los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente para el m.c.m.

12. Halla el m.c.d. y el m.c.m. de los polinomios:(a) A(x) = (x – 1)2 (x – 2)3 (x – 5) y B(x) = (x–1)3 (x–2) (x–5) (x–6)(b) A(x) = x2 – 4 y B(x) = x2 – 2x(c) A(x) = x3 + x2 – x – 1 y B(x) = x2 + 3x + 2(d) A(x) = x2 – 5x , B(x) = x2 + x y C(x) = x3 – 4x2 – 5x

[Solución: (a) (x–1)2(x–2); (x–1)3(x–2)3(x–5)(x–6) (b) x–2; x(x+2)(x–2) (c) x+1; (x+1)2(x–1)(x+2) (d) x; x(x–5)(x+1) ]

4. Las fracciones algebraicas.Se llama fracción algebraica a toda expresión de la forma :

Decimos que dos fracciones algebraicas son equivalentes cuando los productos cruzados son iguales.

Es decir: sii P(x) · N(x) = Q(x) · M(x).

Si se multiplica o divide el numerador y denominador de una fracción algebraica por un mismo número o una misma expresión algebraica, se obtiene otra fracción algebraica equivalente a la dada.

13. Comprueba que las fracciones algebraicas y son equivalentes.

Diremos que una fracción algebraica es irreducible si P(x) y Q(x) son primos entre sí, es decir, no tienen ningún factor en común.

Simplificar una fracción algebraica consiste en hallar su fracción algebraica irreducible equivalente. Para ello, se descomponen el numerador y el denominador en producto de factores y simplificamos los factores comunes. Ten siempre presente que: solo se pueden simplificar factores de productos, nunca sumandos ni partes de sumandos aislados.

14. En las siguientes relaciones hay errores muy graves, explica cuáles son : 

15. Simplifica las fracciones algebraicas:(a) (c) (e)

(b) (d)

[Solución: (a) (b) (c) (d) (e) ]

Para sumar o restar fracciones algebraicas, hay que reducirlas a común denominador (se halla el m.c.m. de los denominadores, que será el denominador común, se divide este denominador común por cada denominador y el resultado se multiplica por el numerador correspondiente) y sumar los numeradores dejando el mismo denominador:

16. Efectúa las sumas:(a) (d)

(b) (e)

(c)

[Solución: (a) (b) 1 (c) (d) (e) 0 ]

El producto y el cociente de fracciones algebraicas se definen de la siguiente forma:

;

17. Efectúa:(a) (c)

(b) (d)

[Solución: (a) (b) (c) (d) ]

18. Efectúa las operaciones:(a)

(b)

(c)

[Solución: (a) 1/x (b) 1 (c) ]

Actividades.A1. Efectúa las divisiones:

(a) (7x3) : (2x2) (e) (x – 2/3 + x3) : (2x2 – x)(b) (6x3 + 4x2 – 8x + 10) : (2x) (f) (6x4 – x3 + 5x2 + 3x – 14) :

(2x2 – 3x + 7)(c) (x3 + 5x2 – 8) : (x2 + 4) (g) (x5 – 12x4 – 3x3 + 34x2 – 19) :

(2x2 – 3)(d) (3x3 + x2 – x + 1) : (2x2 – x + 1) (h)

[Solución: (a) C=7x/2; r=0 (b) C=3x2+2x–4; r=10 (c) C=x+5 ; r=–4x–28 (d) C=3/2 x + 5/4 ; r= –5x/4 – 1/4 (e) C=x/2 + ¼ ; r=5x/4 – 2/3 (f)

C=3x2+4x–2 ; r=–31x(g) C=x3/2 – 6x2– 3x/4 + 8 ; r=–9x/4 + 5 (h) C=3x2+2x– 16/3 ;r=–59/9 x +

19/3 ]

A2. En una división de polinomios, halla:(a) El dividendo, sabiendo que el cociente es x2 + 8, el divisor x2 – 3, y

el resto es x + 5.(b) El divisor, sabiendo que el cociente es x2 + 6x – 3, el resto es 5x –

2 y el dividendo es 5x4 + 30x3 – 23x2 – 43x + 22.[Solución: (a) x4 + 5x2 + x – 19 (b) 5x2 – 8 ]

A3. Halla el valor de a y b para que  la división : (x4 – 5x3 + 3x2 +ax + b) : (x2 – 5x +1) (a) sea exacta. (b) Tenga por resto 3x –

7[Solución: (a) a=–10; b=2 (b) a=–7; b=–5 ]

A4. Efectúa las siguientes divisiones aplicando la regla de Ruffini:(a) (x3 + 4x2 + 6) : (x – 4)  (d) (x3 + 1) : (x + 1) (b) (7 – 9x + 4x3 – 8x2) : (x – 3)  (e) (3x4 – 2x3 + x2 + x –6) : (x

+ 2) (c) (x4 – 6x) : (x – 3) (f) (x4 + 6x3 – 2x – 5) : (x – 1)

[Solución: (a) C= x2+8x+32; r=134 (b) C=4x2+4x+3; r=16 (c) C=x3+3x2+9x+21; r=63

(d) C=x2 –x+1; r=0 (e) C=3x3–8x2+17x–33; r=60 (f) C=x3+7x2+7x+5; r=0 ]

A5. Sin hacer la división, ni aplicar la regla de Ruffini, halla el resto de las siguientes divisiones :(a) (x3 – 2x2 – 3) : (x –1)  (e) (x3 – 6x2 + 3x + 2) : (x – 5)(b) (x4 – x3 – x2 + 3) : (x – 2) (f) (2x4 – 2x3 + x – 7) :

(x + 2) (c) (2x4 + 17x3 – 68x –32) : (x+ ½) (g) (x6 + x5 + x4 + x3+ x 2

+ 1) : (x – 1)(d) (x245 – 1) : (x – 1) 

[Solución: (a) –4 (b) 7 (c) 0 (d) 0 (e) –8 (f) 39 (g) 6 ]

A6. Sin hacer la división, di si las siguientes divisiones son o no exactas :(a) (x4 – 16) : (x + 2)  (c) (x5 + 1) : (x – 1) (b) (64x6 – 1) : (2x + 1)  (d) (x5 – 243) : (x + 3) 

[Solución: (a) Si (b) Si (c) No (d) No ]

A7. Halla el valor de m para que las siguientes divisiones sean exactas:(a) [2(m+1)x2 + 3x + (m–2)] : (x – 2) (d) (3x3 – 7x2 – 9x – m) : (x – 3)(b) (x3 – 4x2 – 19x + m) : (x – 7) (e) (5x4 + mx3 + 2x – 3) : (x +

1)(c) (x4 + 2x3 + mx + 2) : (x + 2) (f) (x5 + mx4 – 6x – 30) : (x +

5)[Solución: (a) –4/3 (b) –14 (c) 1 (d) –9 (e) 0 (f) 5 ]

A8. Halla m para que:(a) Al dividir P(x) = mx3 – x2 + 1 por x – 2, el resto sea 13.(b) Al dividir P(x) = –3x4 + 5x3 – mx + 4 por x + 3 , el resto sea 1.

[Solución: (a) 2 (b) 125 ]A9. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones:

(a) ¿Es P(x) = x2 – 5x + 4 divisible por x – 1 ? (b) ¿Es primo el polinomio P(x) = x5 + 1 ?(c) ¿Es posible que 5 sea raíz del polinomio P(x) = x4– x+ 10x2 – 12 ?(d) Halla m para que el polinomio P(x) = x3 + x2 + x + m sea múltiplo

de Q(x) = x2 + 1.[Solución: (a) Si (b) No (c) No (d) m=1 ]

A10.Haz la descomposición en factores de los siguientes polinomios :(a) x2 – 4x + 4 (c) x2 – 25 (e) x2 – 5x + 6(b) x2 + 10x + 25 (d) 49x2 – 16 (f) 3x2 + 10x + 3

[Solución: A(x)=(x–2)2; B(x)=(x+5)2; C(x)=(x+5)(x–5); D(x)=(7x+4)(7x–4); E(x)=(x–2)(x–3); F(x)=3(x+3)(x+1/3) ]

A11.Haz la descomposición en factores de los siguientes polinomios :(a) x3 – x2 + x – 1 (d) x4 – x3 – 16x2 – 20x(b) x4– 2x3 – 10x2 + 4x + 16 (e) x4 – 6x3 – 11x2 + 96x –

80(c) x3 + 3x2 – x – 3 (f) x4 – 25x2 + 144 [Solución: A(x)=(x–1)(x2+1); B(x)=(x–4)(x+2)(x– )(x+ ); C(x)=(x+3)

(x+1)(x–1); D(x)=x(x–5)(x+2)2; E(x)=(x–1)(x-4)(x+4)(x–5); F(x)=(x+3)(x–3)(x+4)(x–4) ]

A12.Halla el m.c.d. y el m.c.m. de los polinomios:(a) A(x) = x3 – 7x2+ 16x –12 y B(x) = x3 – 4x2 + x + 6(b) A(x) = x4 + 5x3 – 3x2 – 13x + 10 y B(x) = x2 + 6x + 5(c) A(x) = x4 + 2x3 – 40x2 – 146x – 105 y B(x) = x2 – 14x + 49(d) A(x) = x2 + 2x , B(x) = x2 – 4 y C(x) = x2 + 3x + 2[Solución: (a) (x–2)(x–3) ; (x–2)2(x+1)(x–3) (b) (x+5) ; (x+5)(x–1)2(x+2)

(x+1)(c) x–7 ; (x–7)2 (x+3)(x+1)(x+5) (d) x+2; x(x+2)(x–2)(x+1) ]

A13.Simplifica las fracciones algebraicas:(a) (c) (e)

(b) (d)

[Solución: (a) (b) (c) (d) (e) ]

A14.Efectúa las sumas:(a) (d)

(b) (e)

(c)   

[Solución: (a) (b) 2/x (c)

(d) x2 + 2 (e) ]

A15.Efectúa:(a) (c)

(b)

[Solución: (a) 1 (b) (c) 1 ]

A16.Efectúa:

(a) (d)

(b) (e)

(c)

[Solución: (a) 1/x 2 (b) (c) (d) x2 + 81 (e) ]

Actividades de ampliación.1. Halla la descomposición factorial de los polinomios:

(a) A(x) = x4 – x3a – 3x3+ 3x2a + 2x – 2a (b) B(x) = x6 + x5a – 7x –7a

[Solución: A(x)=(x–a)(x–1)(x2–2x-2): B(x)=(x+a)(x5–7) ]

2. Un polinomio tiene por raíces 1, 2 y 3. ¿Podrías escribirlo sabiendo que el coeficiente del término de mayor grado es 3 ?

[Solución: 3x3 – 18x2+ 33x – 18 ]3. Efectúa:

(a) (c)

(b)

[Solución: (a) (b) 1 (c) 1 ]

Actividades de repaso.1. Si D(x) = x4 – 2x2 – 8x + 10 es el dividendo, C(x) = x2 + 1 es el cociente

y R(x) = –8x + 13 es el resto de la división entre los polinomios D(x) y d(x), halla el polinomio d(x).

[Solución: d(x) = x2 – 3 ]

2. Halla el cociente y el resto de la división: (3x3 – 6x2 + 5x – 4) : (2x2

+ 4)[Solución: C = 3x/2–3; R = –x+8 ]

3. Calcula, sin efectuar la división, el valor de m para que la división (x5 – 3x3 + 2mx + 5) : (x–2) dé de resto –1.

[Solución: m = –7/2 ]

4. Simplifica la siguiente fracción algebraica:

[Solución: ]

5. Efectúa y simplifica:

[Solución: ]