matemÁtica - southamericanuniversity.org · división de polinomios y cociente notables....

55

Objetivos de la unidad:

Interpretarás la realidad, valorando y utilizando el lenguajealgebraicoypropondrássolucionesaproblemáticasatravésdeladivisióndepolinomiosycocientenotables.

Construirás soluciones a situaciones problemáticas del aula ydel entorno utilizando los triángulos, con sus teoremas y rectasnotables,valorandolaopinióndelosdemás.

División De polinomios Triángulos FacTorización

MATEMÁTICAUnidad2

56 matemática - octavo grado

Descripción del ProyectoAl finalizar la unidad aplicarás los conceptos estudiados para darle solución a una situación del entorno.

Divisió n de polinomios

Método convencional

Divisió n sinté tica

Cocientes notables

Triá ngulos

Rectas y puntos notables

Semejanza de triángulos

Igualdad de triá ngulos

Concepto

Casos

Concepto

Casos

Factoreo

Factor comú n (monomio y polinomio)

Trinomio cuadrado perfecto

Trinomio factorizable de la forma x2 + bx + c

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

octavo grado - matemática 57

Motivación

Lección1

El esquema básico de la división de polinomios es el mismo utilizado en aritmética.

Efectúa 15 ÷ 3

Obtienes que 15 ÷ 3 = 5, lo que también puedes expresar así: 15

35=

Ahora, realiza (8 + 20 − 12) ÷ 4

Puedes efectuarla de dos formas:

a) 8 20 124

164

4+ −

= =

Indicadores de logro:

realizarás con seguridad la división de polinomios entre monomios.

aplicarás y explicarás con seguridad las propiedades de las potencias en la división de polinomios.

resolverás problemas usando la división de polinomios.

Demostrarás perseverancia en la solución de problemas utilizando la división sintética.

División De polinomios

Segunda Unidad

Una fábrica de alimentos empaca su producto en cajas de formas cúbicas que poseen volúmenes de 125x3, dichas cajas son empacadas en un recipiente cúbico de 1500x12 de volumen. ¿Cuántas cajas caben en el recipiente grande?¿Cómo puedes resolver esta situación? Efectuando una división, es decir: 1500x12 ÷ 125x3...

Al operar tienes: 1500125

12 1212

312 3 9x

xx x= =−

(Revisa el punto de apoyo en esta página) Caben 12x9 cajas.

Punto de apoyo

Recuerda que en la división algebraica debes usar la propiedad de cociente de potencias de igual base: a

aa

n

mn m= −

División de polinomio entre monomio

b) 84

204

124

2 5 3 4+ +−

= + − =

Observa que los resultados son iguales.

Aplícalo, ahora a una expresión algebraica.

UNIDAD 2


Ejemplo 1

José, encargado de una bodega tiene que cargar un contenedor que tiene una capacidad de 100x21 más otro contenedor de 50x12 de volumen los cuales contienen material almacenado en cajas de 5x3 de volumen, ¿cómo crees que José encontrará la cantidad de cajas que irán en los contenedores?

Realiza las siguientes divisiones:

a) ( ) ( )9 6 12 36 5 5 4 4 3 3 2a b a b a b a b− + ÷ c) 23

32

53 3

4 3a a a a− +

÷

b) ( ) ( )16 8 12 4 28 7 4 3 3c c c c c− − + ÷ d) ( ) ( )1445

33 22 3

4m nm n

mn mn+ − ÷

Actividad 1

Solución:

Mediante una división, que la planteas así:

( ) ( )100 50 521 12 3x x x+ ÷

Al efectuar la operación obtienes:

100 505

21 12

3

x xx+ = + = + = +− −100

5505

20 10 20 1021

3

12

321 3 12 3 18 9x

xxx

x x x x

A partir de este ejercicio, puedes observar que:

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio y sumas algebraicamente los cocientes que resultan.

Ejemplo 2

Efectúa:

( ) ( )9 6 12 36 5 5 4 4 3 3 2a b a b a b a b− + ÷

Solución:

93

63

123

3 2 46 5

3 2

5 4

3 2

4 3

3 23 3 2 2a b

a ba ba b

a ba b

a b a b− + = − + aab

UNIDAD 2


El área de la pizarra está expresada por el polinomio x2 + 5x + 6; sabes que el ancho mide x + 2 .¿cuál es el largo de la pizarra?

¿Cómo puedes resolver esto? El área del rectángulo es igual al producto de la base por la altura, es decir: A = bh

En este caso, conoces el área y la altura, entonces tienes que al despejar la base queda así: b

Ah

=

Esto significa que para darle solución a la situación planteada, tienes que efectuar la operación:

x2 + 5x + 6 ÷ x + 2

Para realizar la división procedes de la siguiente manera:

División de polinomio entre polinomio

Paso 1 x x x2 5 6 2+ + + Ordenas los polinomios descendentemente con respecto al exponente de la letra, no siempre se da el caso que los polinomios tengan completo sus términos, entonces se coloca un cero en el lugar del término que falta.

Paso 2 x x x2 5 6 2+ + +x

Divides el primer término del dividendo entre el primer termino del divisor y el resultado es el primer término del cociente, así: x2 ÷ x = x

Paso 3 x x x2 5 6 2+ + +

− −+

x x xx

2 20 3

Ahora, multiplicas el cociente calculado (x), por el divisor: x(x + 2) = x2 + 2xy lo restamos del dividendo. La resta da un residuo de 3x.

Paso 4 x x x2 5 6 2+ + +

− −x x x2 2 ↓0 3 6+ +x

Luego a este residuo, agregas (bajas) el término que falta del dividendo, en este caso particular es 6. Observa que el residuo no es cero y que el exponente de la variable es igual al del divisor.

Paso 5 x x x2 5 6 2+ + +

−− − ++ +

x x xx

2 2 30 3 6

↓

Después de observar el residuo, nota que puedes continuar la división. Regresa entonces al paso 2 y efectúa.

Paso 6 x x x2 5 6 2+ + +

− − ++ +

x x xx

2 2 30 3 6

↓

− −3 60 0x

Multiplica 3(x + 2) = 3x + 6, luego restas y llegas a un residuo cero. En este caso la división es exacta. Si el residuo no es cero y el mayor exponente del mismo es menor que el exponente del divisor, el cociente es inexacto y la división termina.

El largo de la pizarra es x + 3. Si el valor de x es 0.30 m: ¿Cuál es el ancho y el largo de la pizarra? De seguro llegarás a la respuesta: ancho = 2.3 m y largo = 3.3 m

UNIDAD 2


Ejemplo 3

Encuentra la base de una pared que tiene un área de 6x2 + 11x + 4 con la altura señalada en la figura.

Solución:

Así como el ejemplo anterior, tienes que la operación a realizar es:

6x2 + 11x + 4 ÷ 2x + 1

Sigue los pasos descritos anteriormente, y compara tu respuesta con la siguiente:

6 11 4 2 1

6 3

2

2

x x x

x x

+ + +

− − 3 48 4

xx

++

− −8 4x 0 0 La base de la pared es 3x + 4

Ejemplo 4

Efectúa a3 − a ÷ a + 1

¿Cómo lo resolverías?

Recuerda que si hacen falta términos, los sustituimos con ceros.

a a a

a a

3

3 2

0 1+ − +

− − a a

a a

2

20

−

− −

+ aa a2

0+

El resultado es a2 − a

Como podrás observar has llegado a obtener un cociente inexacto por que tienes un residuo diferente de cero. El resultado de esta división es 3x + 7 con residuo 41x + 23.

Ejemplo 5

Efectúa – 2x2 + 5x + 3x3 −12 ÷ – 5 + x2 – 3x

Efectúa las siguientes divisiones.

a) 5 8 21 32 2a ab b a b+ − +entre

b) 4 5 6 2 33x x x+ - -entre

c) 4 5 4 13 2 53 2c c c c+ + +- entre

d) 10 8 1 4 23x x xentre+ + +

e) 6 13 15 6 2 24 3 2x x x x xentre+ + +- -

Observa

Observa que para hacer la división de polinomios primero tienes que ordenar los polinomios de forma descendente con respecto al exponente de la variable.

Solución:

3 2 5 12 3 5

3 9

3 2 2

3

x x x x x

x

− − − −

−

+

+ xx x x2 15 3 7+ +

0 7 20 12

7

2

2

+ +

+

x x

x

−

− 21 350 41

x ++ xx + 23

Residuo

Actividad2

2x+1

UNIDAD 2


Recuerda que para efectuar una división, tanto el dividendo como el divisor deben estar ordenados en forma decreciente.

Ejemplo 6

Divide x3 − 5x2 + 3x + 14 entre x − 3

Solución:

Primero efectúa siguiendo el proceso anterior.

x x x x

x x

3 2

3

5 3 14 3

3

− + + −

− + 22 2 2x − xx

x x

−

− +

3

0 2 32

+ −−

2 60

2x x

3 14x +

+ −3 9x5

¿De qué otra forma se puede resolver?

Observa ahora, ésta forma de hacer la división:

a) Separa solamente los coeficientes y el término independiente.

De x3 − 5x2 + 3x + 14 Obtienes 1 − 5 + 3 + 14

b) Luego analiza el divisor x – 3.

De este término, sólo utilizarás el término independiente –3 pero con signo contrario, en este caso particular será 3.

Luego multiplica el término independiente del divisor que es 3 por 1 y lo colocas debajo del segundo término que es – 5 luego lo sumas y obtienes –2.

Ahora, se multiplica 3 por –2 y obtienes –6, lo colocas debajo del término 3, efectúa la suma y obtienes – 3, continuando este proceso, multiplicas este resultado por 3 y obtienes – 9 que sumado con 14 resulta 5.

El resultado final es 1 – 2 –3 + 5, el polinomio resultante tendrá como coeficientes 1 – 2 –3 y el último número, en este caso 5, será el residuo. El grado del polinomio será disminuido en 1.

El resultado se escribe así: x2 – 2x − 3, que es el cociente que obtuviste al principio y con residuo 5.

Al procedimiento anterior se le denomina división sintética o división abreviada. Este procedimiento se puede utilizar en la división de polinomios en una variable con divisor de la forma x – a.

1 - 5 + 3 + 14 3

1 - 5 + 3 + 14 3

+ 3 - 6 - 9 1 - 2 - 3 + 5

Residuo

1 - 5 + 3 + 14 3

3 - 6 - 9 1 - 2 - 3 + 5

1 - 5 + 3 + 14 3

31 - 2

División sintéticac) Ubica estos coeficientes en la siguiente posición.

UNIDAD 2


Ejemplo 7

Divide 5x4 + 3x2 – 6 entre x + 2

Solución:

Primero separa los coeficientes, verificando que los términos del polinomio estén completos: 5 + ? + 3 + ? – 6

Nota que hacen falta dos términos que luego los sustituyes con ceros, así: 5 + 0 + 3 + 0 − 6

Ahora aplica el proceso anterior de la división sintética:

Los números obtenidos son los coeficientes del cociente, excepto el último que es el residuo.

El grado del polinomio cociente queda disminuido en 1.

Entonces el resultado es:

a a2 4 8− + con residuo – 7, lo que también puede expresarse así:

a aa

2 4 872

− + −+

1 – 2 0 9 – 2

– 2 + 8 –16

1 – 4 +8 – 7

Tomas el resultado final, 5 −10 23 – 46 + 86, donde 5 −10 23 – 46 serán los coeficientes del polinomio cociente y 86 será el residuo.

El grado del polinomio cociente estará disminuido en 1 o sea quedará grado 3.

Entonces el resultado es: 5x3–10x2 + 23x – 46 con residuo de 86.

Lo que también se puede expresar así:

5 10 23 46862

3 2x x xx

− + − ++

Ejemplo 8

Efectúa: a a a3 22 9 2− + entre +

Solución:

Los coeficientes y el término independiente son:

1 – 2 0 9, ubica 0 en el término que falta.

Identifica el término independiente del divisor y lo utilizas con su signo contrario, en este caso es – 2.

Aplica el proceso de división sintética:

5 + 0 + 3 + 0 – 6 – 2 –10 + 20 –46 + 92 5 –10 + 23 –46 + 86

UNIDAD 2


Resumen

En esta lección repasaste la división de polinomios entre monomios. El cociente de un polinomio por un monomio es igual a un polinomio cuyos términos son los que se obtienen de dividir cada término del polinomio por el monomio.

Cuando dividistes polinomio entre polinomio hiciste los siguientes pasos:

a) Ordenaste los polinomios descendentemente con respecto a una letra, no siempre se da el caso que los polinomios tengan completo sus términos, entonces colocaste un cero en el lugar del término que falta.

b) Dividiste el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el resultado es el primer término del cociente.

c) Multiplicaste el cociente del primer término dividiendo entre el primer término del divisor calculado, por el divisor y lo restaste del dividendo. La resta dio un resultado.

d) Luego a este resultado, agregaste (bajaste) el término que falta del divisor. Observaste que el residuo no es cero.

e) Observaste el residuo, si el exponente de la variable es mayor o igual al del divisor, puedes continuar la división. Regresa entonces al paso 2.

f) Si el residuo es cero, la división es exacta. Si el residuo no es cero y el mayor exponente del mismo es menor que el exponente del divisor, el cociente es inexacto y la división termina.

Efectúa las siguientes divisiones, utilizando la división sintética:

a) x x x x3 22 2 2+ + + entre -

b) m m m m4 35 4 48 2- - entre+ +

c) − − + − +6 20 2 3 32 4 3a a a aentre

d) 2 18 7 34 3 2a a a a− − − +entre

e) 8 3 1 15 2b b b− − −entre

Actividad 3

UNIDAD 2


4

Autocomprobación

3 Al efectuar 15 12 282m m+ − entre 5m – 6 resulta:a) 3m + 2 c) 2 + 3m

b) 2 – 3m d) 3m – 2

Para dividir polinomios nos debemos de auxiliar de la propiedad:

a) aa

am

nm n= − c)

ab

axa xabxb b

n

mn

n

=......

b) a xa an m n m= + d)

aa

am

nm n= ÷

2

El cociente de x x x2

343

634

+ - entre es:

a) 94

89

12

xx+ − c)

49

169

8xx

+ −

b) 49

12

1x

x− + d) 49

8 1x

x− +

1

En el siglo X vivió el gran algebrista musulmán Abu Kamil, quien continuó los trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el álgebra serían

aprovechados en el siglo XIII por el matemático italiano Fibonacci.

Durante este mismo siglo, el matemático musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo comentarios

sobre los trabajos de Diofanto y Al-Jwarizmi y gracias a ellos, los europeos conocieron la

Aritmética de Diofanto.

Para encontrar el cociente de: 9m4 +18n3 −4n2 +24n −16 entre 2n2 + 4n −3 a) Efectúo la división sintética entre −3. b) No se puede usar la división sintética por que hay

un divisor grado 2.c) Verifico si los términos del polinomio están

completos y luego efectúo la división sintética. d) Efectúo la división sintética entre 3 por que

siempre se le cambia signo al coeficiente divisor.

4

UN POCO DE HISTORIA

Al-Jwarizmi


Motivación

Segunda Unidad


resolverás problemas aplicando el cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dichas cantidades con confianza.

resolverás problemas aplicando el cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dichas cantidades.

resolverás con seguridad problemas aplicando el cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades, entre la suma o diferencia de las cantidades.

cocienTes noTables

Lección2

Rosa necesita un marco para colocar el dibujo de un paisaje que tiene forma rectangular, cuya área es x2 – 16, si su base mide x – 4, ¿cómo encontrarías la medida de la altura?Para encontrar la respuesta tienes que recordar que el área de un rectángulo es: A = b hComo en este caso conoces la base, entonces tienes que despejar la altura así:

hAb

= Ahora, sustituye los datos de la situación

planteada:

hxx

x=−−

= +2 16

44 Entonces la altura mide x + 4

¿Cómo puede resolver German?

Decide dividir x2 – y2 entre x –y ó x yx y

2 2−−

y su cociente será la longitud. x y x y

x xy

2 2

2

− −

− + x y

xy y

+

− 2

− +xy y 2

0

o sea x yx y

x y2 2−

−= +

German piensa como encontrar la longitud de una tabla que tiene la forma rectangular si sabe que el área está representada por el polinomio:

x2 − y2, y el ancho es x − y

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dos cantidades

UNIDAD 2


¿De que otra forma puede resolver?

Notarás que el cociente no es más que el mismo denominador o divisor con signo contrario, o sea que no es necesario hacer todo el procedimiento de cociente de polinomios basta con poner el divisor con signo diferente.

A partir de las situaciones anteriores, se tiene que a todo cociente que obedece a reglas fijas y que pueden ser escritos por simple inspección se les llama “Cocientes Notables”

De lo anterior concluyes que el cociente:

x yx y

x y2 2−

+= −

Efectúa por simple inspección:

a) 9 253 5

2xx

−+

c) 49 367 6

2 2y zy z−−

b) 164

2 2b cb c

−−

d) 81 1009 10

2aa

−+

Actividad 1

Ejemplo 1

Encuentra el cociente por simple inspección de: 25n2 − 36 entre 5n + 6

Solución:

Al aplicar la regla anterior obtenemos 5n − 6, ya que

25 52n n= y 36 6=

Entonces: 25 365 6

5 62n

nn

−+

= −

Observa

Regla

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

Ejemplo 2

Encuentra por simple inspección: 4 92 3

2 2 4

2

a b ca bc

−−

Solución:

Aplicando la regla:

4 92 3

2 32 2 4

22a b c

a bca bc

−−

= +

Ejemplo 3

Efectúa por simple inspección: 16 254 5

2−−

mm

Solución:

Aplicando la regla tenemos que:

16 254 5

4 52−

−= +

mm

m

Observa

Regla

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la diferencia de dichas cantidades es igual a la suma de las cantidades.

UNIDAD 2


Si el volumen de dos cubos está representado por a3 y b3, y su suma la quieres dividir entre la suma de sus aristas, es decir entre a + b.

¿Cómo lo harías?

a b a b3 30 0+ + + +

− −a a b3 2 a ab b

a b

a b

2 2

2

2

− +

−

++ aab

ab b

2

2 3+

− −ab b2 3

0 De esta división observas que:

La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

¿De qué otra forma puedes resolver a ba b

3 3++

? Aplicando la regla: a b

a ba ab b

3 32 2+

+= − +

Punto de apoyo

La propiedad potencias de potencias es:

(an )m = anm

Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o la diferencia de dos cantidades

a

a a

b

b b

+

+

=

=a3 b3

Ejemplo 4

Encuentra el cociente de:

27 13 1

3 13 1

3 3 3xx

xx

++

=+

+( )

Solución:

Al aplicar la regla: ( ) ( )( ) ( )3 3 1 12 2x x− + y resolviendo primero las potencias y luego los productos que quedan indicados, llegas a obtener el cociente.

Entonces tienes:

27 13 1

3 3 1 1 9 3 13

2 2 2xx

x x x x+

+= − + = − +( ) ( )( ) ( )

Ejemplo 5

Encuentra el cociente de:

64 274 3

3 6

2

m nmn

++

Solución:

Aplicas la regla64 274 3

4 3

4 34 4

3 6

2

2 3 3

22 2m n

mnmnmn

mn m+

+=

( ) ++

= ( ) − nn 2 23 3( )( )+ ( )

=16m2n4 – 12mn2 + 9

Entonces tienes:

64 274 3

16 12 93 6

22 4 2m n

mnm n mn

++

= − +

UNIDAD 2


Ejemplo 6

Encuentra por simple inspección el cociente de:

8 1252 5

3aa++

Solución:

Aplicas la regla:

8 1252 5

2 52 5

2 2 5 53 3 3

2 2aa

aa

a a++

= ( ) ++

= ( ) − ( )( ) +

= − +4 10 252a aEntonces tienes:8 1252 5

4 10 253

2aa

a a++

= − +

La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia

de las cantidadesSigamos estudiando otro cociente notable

a ba b

3 3−−

=

a b a b

a a b

3 3

3 2

0 0+ + − −

− − a ab b

a b

2 2

2

+ +

+

+

aa b ab

ab b

2 2

2 3

+

−

−ab b2 3+0

Luego concluyes que: a b

a ba ab b

3 32 2−

−= + +

Ejemplo 7

Efectúa: 1255

55

3 3 3 3m nm n

m nm n

−−

=−

−( )

Solución:

Aplicando la regla tenemos:1255

5 53 3

2 2m nm n

m m n n−

−= ( ) + ( )( ) + ( )

= 25m2 + 5mn + n2

Entonces:1255

25 53 3

2 2m nm n

m mn n−

−= + +

Ejemplo 8

Efectúa: 1 000 2710 3

3 9 6

3 2

, a b xab x

−−

Solución:

1 000 2710 3

10 3

10 3

3 9 6

3 2

3 3 2 3

3

, a b xab x

ab xab x

−−

=( ) − ( )

− 22

10= aab ab x x3 2 3 2 2 210 3 3( ) + ( )( ) + ( )

= + +100 30 92 6 3 2 4a b ab x x

Entonces: 1 000 2710 3

100 30 93 9 6

3 22 6 3 2 4, a b x

ab xa b ab x x

−−

= + +

Observa

La regla es: La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad más el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

UNIDAD 2


Encuentra el cociente aplicando reglas, es decir, por simple inspección de:

a) n xnx

3 3 11+

+

b) 125 645 4

3++

yy

c) 82

9 9

3 3

a ya y

++

d) 27 83 2

12 3

4

p rp r

−−

e) 11

21

7

−−

nn

f) 27 1253 5

3 3m nm n

−−

Actividad 2

De lo anterior puedes concluir que: La diferencia de dos potencias iguales, ya sean pares o impares es siempre divisible por la diferencia de

las bases. a ba b

n n−−

, para n par o impar, y el total de

términos del cociente es igual al exponente (número) de los términos del dividendo o el numerador.

Observa

Cociente de la suma o diferencia de dos potencias iguales de

dos cantidades entre la suma o diferencia de esas cantidades

Para seguir dividiendo potencias mayores que 3 como un cociente notable, puedes hacerlo, siempre y cuando se conozcan algunas leyes para este tipo de cociente.

Por regla general tienes:

1. a ba b

a a b ab b4 4

3 2 2 3−−

= + + +

2.

a ba b

a a b ab b4 4

3 2 2 3−+

= − + −

3.

a ba b

a a b a b ab b5 5

4 3 2 2 3 4−−

= + + + +

4.

a ba b

a a b a b ab b5 5

4 3 2 2 3 4−+

= − + − +

Ejemplo 9

Efectúa: xx

5 322

−−

Solución:x

xx x x x

54 3 2 2 3 432

2++

+ + + +

=

=( ) ( ) (2) ( ) (2) ( )(2) (2)

xx x x x

x x x x

4 3 2

4 3 2

16

2 4 8 1

+ + + +

= + + + +

( ) (2) ( ) (4) ( )(8)

66

Entonces: xx

x x x x5

4 3 2322

2 4 8 16−−

= + + + +

UNIDAD 2


Ejemplo 10

Efectúa: xx

6 642

−+

Solución:xx

x x x x x6

5 4 3 2 2 3642

2 2 2−+

= + − +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (– ))( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

2

4 5

5 4 3

−

= − +x x x (( ) ( )( ) ( )( )4 8 16 32

2

2

5

–

–

x x

x x

+ −

= 44 3 24 8 16 32+ − +x x x –

Observa que el cociente tiene 6 términos igual que el exponente del dividendo.

Punto de apoyo

a ba b

4 4++

= no se puede porque no es exacta la división.

a ba b

4 4+−

= no se puede porque no es exacta la división.

Ejemplo 11

Efectúa: xx

7 11

++

Solución:xx

x x x x x7

6 5 4 2 3 3 211

1 1 1+

+= + − +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (– 11 1 14 5 6

6 5 4 3

) ( )( ) ( )− +

= + +

x

x x x x– – x x2 1− +

Punto de apoyo

La suma de potencias iguales pares nunca es divisible por la suma ni por la diferencia.

Estos son algunos ejemplos que no puedes hacer como cocientes notables ya que no son divisibles:

x yx y

6 6++

, x yx y

6 6+−

, x yx y

8 8++

, x yx y

8 8+−

UNIDAD 2


Encuentra el cociente por simple inspección de:

a) 64 12 1

8

2

mm

++

d) x yx y

4 4

2 2

++

b) 100 110 1

4

2

xx

−−

e) 243 323 2

5hh

−−

c) x

x

4 162

−−

f) 5122

9 9a ba b

++

Actividad 3

Resumen

De todo lo anterior tenemos:

x yx y

x y2 2−

+= −

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la suma de las cantidades es igual a la diferencia de las cantidades.

x yx y

x y2 2−

−= +

La diferencia de los cuadrados de dos cantidades dividida entre la diferencia de dichas cantidades es igual a la suma de las cantidades.

x yx y

x xy y3 3

2 2++

= − +La suma de los cubos de dos cantidades dividida por la suma de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

x yx y

x xy y3 3

2 2−−

= + +La diferencia de los cubos de dos cantidades dividida por la diferencia de las cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad mas el producto de la primera por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

a ba b

a a b ab b4 4

3 2 2 3−−

= + + +

a ba b

a a b ab b4 4

3 2 2 3−+

= − + −

a ba b

a a b a b ab b5 5

4 3 2 2 3 4−−

= + + + +

a ba b

a a b a b ab b5 5

4 3 2 2 3 4++

= − + − +

La diferencia de dos potencias iguales, ya sean pares o impares es siempre divisible por la diferencia de las bases.

La diferencia de potencias iguales pares es siempre divisible por la suma de las bases.

La diferencia de potencias iguales impares es siempre divisible por la diferencias de las bases.

La suma de potencias iguales impares es siempre divisible por la suma de las bases.

UNIDAD 2


Autocomprobación

Al efectuar 27 13 1

6

2

aa

++

se obtiene:

a) 9 3 14 2a a− +b) 9 3 14 2a a+ +c) 3 3 14 2a a− +d) 9 3 14 2a a+ −

1

Toda aquella división de polinomios que cumple con ciertas reglas fijas y su cociente se puede escribir por simple inspección se conocen algebraicamente como:a) Divisiones exactas de polinomiosb) Cocientes notables c) Productos notablesd) Divisiones inexactas

2 Cuando efectuamos bb

7 1282

−−

obtenemos:

a) 8 12 18 273 2 2 3a a b ab b+ + +b) b b b b b b6 5 4 3 22 4 8 16 32 64+ − + − + −c) b b b b b b6 5 4 3 22 4 8 16 32 64− + − + − +d) b b b b b b6 5 4 3 22 4 8 16 32 64+ + + + + +

El resultado de efectuar 16 812 3

4 4a ba b

−−

es:

a) 8 12 18 273 2 2 3a a b ab b− + −b) 8 12 18 273 2 2 3a a b ab b+ − +c) 2 6 6 33 2 2 3a a b ab b+ + +d) 8 12 18 273 2 2 3a a b ab b+ + +

3

4

En las civilizaciones antiguas se escribían las expresiones algebraicas utilizando abreviaturas

sólo en ocasiones; sin embargo, en la edad media, los matemáticos árabes fueron capaces de describir cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos

modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como

el conocimiento del teorema del binomio.


Motivación

Segunda Unidad


resolverás con precisión problemas aplicando el teorema “la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º“.

Determinarás y explicarás con seguridad el circuncentro de un triángulo cualquiera.

Determinarás y explicarás con seguridad el incentro de un triángulo cualquiera.

Determinarás y explicarás con seguridad el baricentro de un triángulo cualquiera.

Triángulos, recTas y punTos noTables

Lección3

Una persona que diseña su casa desea que la fachada de la entrada principal tenga forma de triangulo, pero los constructores le piden que elija que tipo de triángulo le gustaría que sea la fachada; ¿sabes cuántos tipos de triángulo hay?

Para dar una respuesta a la interrogante definiremos:

Primero lo que es ángulo: es la abertura que forman en un plano dos semirrectas unidas en un punto llamado vértice.

¿Qué es triángulo?

Es un polígono de tres lados. Los puntos donde éstos se cortan se llaman vértices. Un triángulo se designa con el símbolo ∆ se puede representar como ∆ABC donde las letras están representando sus vértices.

Por la medida de sus lados Por la medida de sus ángulosEquilátero:

Es el que tiene sus tres lados iguales.

Acutángulo:

Es el que tiene sus tres ángulos agudo.

Isósceles:

Es el que tiene dos lados iguales..

Rectángulo:

Es el que está formado por un ángulo recto.

Escaleno:

Es el que tiene sus tres lados desiguales.

Obtusángulo:

Si tiene un ángulo obtuso.

¿Cómo se clasifican los triángulos?

UNIDAD 2


Tres lados: dos catetos y una hipotenusa.

Tres ángulos: dos son agudos y el otro es un ángulo recto.

El Teorema de Pitágoras establece que en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos. Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b, y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:

c a b2 2 2= + al despejar el valor de la hipotenusa tienes:

c a b= +2 2

Hipotenusa

Cateto

Cateto

El siguiente diagrama ilustra una de las demostraciones más conocidas del Teorema de Pitágoras.

Los ángulos de un triángulo generalmente se representan con letras griegas minúsculas como: θ(teta), β(beta), α (alfa)

Pitágoras observó que en un triángulo rectángulo se cumple que el cuadrado de la longitud del lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados.

En un triángulo rectángulo, se pueden distinguir los siguientes elementos:

Al despejar uno de los catetos se tiene:

a c b2 2 2= − luego: a c b= −2 2

Ejemplo 1

Luís quiere saber la medida del tensor del poste que está frente a su casa la cual tiene una altura de 3 m, la distancia que hay del poste a la base del tensor es de 4 m.

Solución:

¿Cómo se puede resolver? Utilizando el teorema de Pitágoras.

c x y= +2 2 x = 4, y = 3

Luego sustituyes en el teorema y resulta:

c = +4 32 2 c = +16 9 = 25 = 5 c = 5

R: La medida del tensor es 5 m.

Teorema de Pitágoras

Tensor

4m

3m

UNIDAD 2


Ejemplo 2

¿Cuál será la altura de la casa de José que proyecta en un momento determinado una sombra de 5 m y la distancia que hay del techo al extremo de la sombra es de 9 m?

a) Construye un triángulo de cada tipo: isósceles, obtusángulo, escaleno, acutángulo y equilátero.

b) En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 8 cm y uno de sus catetos 4 cm, ¿cuánto mide el otro cateto?

c) Una escalera de 5 m de longitud se coloca contra una pared, de manera que su extremo inferior está a 3 m de la base de la pared. ¿A qué altura de la pared está apoyada?

d) Los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 cm y 6 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

Actividad 1

Distancia 9 m

x = 5 m sombra

Solución:

¿Qué haces para resolver?

Primero identificas cual lado hace falta.

Denominas “y” a la altura y utilizas, c x y2 2 2= +

es decir: y c x= −2 2

Sustituyes c = 9 y x = 5 para encontrar “y”.

y = − = − = =9 5 81 25 56 752 2 .

Esto indica que la altura de la casa mide 7.5 m

UNIDAD 2


Aplica el teorema:

Encuentra la suma de los ángulos exteriores del siguiente triángulo:

Punto de apoyo

La suma interna de los ángulos de todo triángulo es 180º

El ángulo 1 es igual a 180º − 60º = 120º

El ángulo 2 es igual a 180º − 50º = 130º

El ángulo 3 es igual a 180º − 70º º = 110º

Si ∠ = ∠ = ∠ =1 120 2 130 3 110º , º ºy

Entonces al sumar 120º + 130º + 110º = 360º

Ejemplo 3

Determina el valor de cada ángulo exterior del siguiente triángulo.

Solución:

Sabes que la suma de los ángulos exteriores es igual a 360º, entonces:

∠ + ∠ + ∠ =x x x2 2 3600

5 3600x x= ==3605

0

;

x = 720

Los ángulos miden: 144º, 144º y 72º

2x

2x

x

Los ángulos exteriores de un triángulo son los que se forman con uno de sus lados y la prolongación de otro.

Así en la figura, se tiene que para el triángulo ABC, los ángulos internos son: α, β, y θ . Sus ángulos externos son:

Teorema: la suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º

Así tienes que si:

∠ ∠ ∠α β θ, y son los ángulos interiores del triángulo ABC y ∠ ∠ ∠α β θ', ' , ' son los ángulos exteriores del triángulo ABC.

Entonces:

∠ + ∠ =α α ' º180 por ser adyacentes (suplementarios)

∠ + ∠ =β β ' º180 por ser adyacentes (suplementarios)

∠ + ∠ =θ θ ' º180 por ser adyacentes (suplementarios)

Al efectuar la suma tenemos:

∠ + ∠ + ∠α β θ + ∠ + ∠ + ∠α β θ' ' ' = 540º

∠ + ∠ + ∠α β θ = 180º

Entonces: 180º + ∠ + ∠ + ∠α β θ' ' ' = 540º

∠ + ∠ ∠α β θ' ' '+ = 540º − 180º

∠ + ∠ + ∠α β θ' ' ' = 360º

50̊

2

60̊ 1

3

70̊

AB

Cθ'

θ

β β1αα'

UNIDAD 2


En un triángulo obtusángulo, el ortocentro es un punto exterior del triángulo.

En un triángulo rectángulo, el ortocentro es el vértice del ángulo recto.

a

c

bOrtocentro

A

CB

OrtocentroH

hc

ha

hb

Alturas: la altura de un triángulo es el segmento de recta perpendicular, trazada desde cada vértice al lado opuesto o sus prolongaciones.

Observa la figura, se han trazado las tres alturas, son rectas perpendiculares que parten del vértice al lado opuesto.

Rectas y puntos notables

Dichas alturas se cortan en un mismo punto que se le llama ortocentro.

O

B C

A

R

P

Q

Ortocentro

A B

C

En un triángulo acutángulo, el ortocentro es un punto interior del triángulo.

UNIDAD 2


La perpendicular al segmento AB por el punto de intersección de las mediatrices se le llama circuncentro.

El circuncentro se encuentra a igual distancia de los tres vértices del triángulo, verifícalo.

BisectricesBisectriz es el segmento que divide al ángulo en dos partes iguales.

Trazamos un ángulo. Lo medimos con un transportador y señalamos un punto M en la mitad del arco que abarca.

MediatricesMediatriz es la perpendicular trazada en el punto medio de cada lado, es decir, que divide al segmento en dos partes iguales.

Las mediatrices de un triángulo son las perpendiculares trazadas en el punto medio de cada uno de sus tres lados.

En la figura se ha dibujado la mediatriz de cada lado. Con una regla puedes hallar el punto medio M.

La semirrecta OM, que divide al ángulo en dos partes iguales es la bisectriz.

Cada punto de la bisectriz está a igual distancia de los lados del ángulo si P es un punto de la bisectriz, se cumple que: PA = PB

En todo triángulo, el punto de intersección de la bisectrices se llama incentro.

Medianas En un triángulo, son las rectas que se trazan desde el vértice hasta el punto medio del lado opuesto.

Observa el triángulo de la figura, AP BQ, y CR son las medianas de los lados, BC AC y AB respectivamente. El punto donde se intersecan las medianas se llama baricentro.

A

g

B

RQ

CP

C

BA m

O

C

A B

O A

B

MP

UNIDAD 2


Resumen

En todo triángulo:

Rectas notables Puntos notables

Altura Son las rectas que se trazan desde el vértice y son perpendiculares al lado opuesto.

Ortocentro donde se cortan las alturas.

Mediana Son las rectas que se trazan desde el vértice hasta el punto medio del lado opuesto.

Baricentro donde se intersectan las medianas.

Mediatriz Son las perpendiculares que se trazan en el punto medio de cada lado del triángulo.

Circuncentro donde se intersectan las mediatrices.

Bisectriz Son las rectas que dividen un ángulo en dos partes iguales.

A cada triángulo corresponden tres bisectrices, una para cada ángulo.

Incentro donde se intersectan las bisectrices.

En esta lección estudiaste lo siguiente:

Triángulo:

Por sus lados.

Por sus ángulos.

Equilátero. Isósceles. Escaleno.

Acutángulo. Rectángulo. Obtusángulo.

Teoremas:Pitágoras, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos: c a b2 2 2= +La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º

a) Dibuja un triángulo obtusángulo y ubica el ortocentro.

b) Dibuja un triángulo obtusángulo y otro rectángulo. Señala el circuncentro en cada uno de ellos.

c) Construye un triángulo cualesquiera y ubica el incentro, luego verifica que este punto esté a igual distancia de los lados.

Actividad 2

UNIDAD 2


Autocomprobación

4 La suma de los ángulos externos de los triángulos es:

a) 360º

b) 180º c) 270º

d) 90º

2

El punto de intersección de las alturas de un triángulo se llama:

a) Circuncentrob) Baricentroc) Incentrod) Ortocentro

1 La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a:

a) 360º

b) 180º

c) 270º

d) 90º

3

Los triángulos que poseen un ángulo obtuso y dos agudos son:

a) Acutángulosb) Rectángulosc) Obtusángulosd) Escálenos

El teorema de Pitágoras es de mucha utilidad en la resolución de problemas de la vida cotidiana.

Por ejemplo: Galileo Galilei, utilizó el teorema de Pitágoras para

determinar la medida de algunas montañas lunares.

La altura de un edificio, sabiendo la medida de la sombra que proyecta y la distancia del punto más

alto del edificio al extremo de la sombra. Bajar frutos de un árbol y se quiere construir una escalera que sea capaz de alcanzarlos, sabiendo

la altura a la que se encuentran los frutos y la distancia del árbol a la base de la escalera.

APLICACIONES DE PITÁGORAS

Galileo Galilei


Segunda Unidad

resolverás problemas aplicando los criterios de igualdad de triángulos.

Determinarás y explicarás con seguridad la semejanza de triángulos.

resolverás problemas aplicando la semejanza de triángulos.


Motivación

Los triángulos además de clasificarse por sus lados y sus ángulos, también pueden compararse para determinar si son iguales o semejantes a partir de sus lados y ángulos.Recorta dos triángulos como el siguiente, coloca uno sobre el otro, observarás que coinciden en todas sus partes.Se dice entonces que estos triángulos son iguales porque tienen la misma forma e igual tamaño.

criTerios De igualDaD y semejanza De Triángulos

Lección4

Para que dos triángulos sean iguales o congruentes, no es necesario demostrar la igualdad de sus tres lados y sus tres ángulos iguales. Estudiarás algunos criterios para determinar si son iguales partiendo de sus lados y sus ángulos.

El término congruencia es utilizado para indicar la igualdad entre dos figuras geométricas. Dos triángulos iguales son congruentes.

El símbolo que utilizarás para establecer congruencia es ≅

¿Qué observas en los triángulos ABC y MLK?

Criterios de igualdad

¿Cómo haces para decidir si dos lados son homólogos o congruentes entre si?

Los lados homólogos son los que ocupan la misma posición en ambos triángulos.

AB KL� ��

≅ , BC LM� ��

≅ y CA MK� ��

≅ ; además sus ángulos también son congruentes:

θ θ≅ ' , α α≅ ' , y β β≅ '

De esto se concluye que ∆ ABC ≅ ∆ KLM

C

A B

K

M L

θ

α βα’

θ’

β’

UNIDAD 2


Criterio Lado Ángulo Lado (LAL)Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente es congruente.

Así tenemos:

AB DE� ��

≅ , AC DF� ��

≅ , ∆ ABC ≅ ∆ DEF

Solución:

Observa que AC LK� ��

≅ y AB LM� ��

≅ y α α≅ " por lo tanto ∆ ABC ≅ ∆ KLM tanto por LAL.

¿Te has dado cuenta que los triángulos pueden tener diferentes posiciones?

Para este caso puedes colocar un triángulo sobre otro virtualmente para ver si coinciden todos sus lados.

Para demostrar la igualdad de dos triángulos, no necesariamente deben de tener las mismas posiciones.

Criterio Ángulo Lado Ángulo (ALA)Dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos y el lado que los subtiende respectivamente congruentes.

Con base a lo anterior puedes afirmar que :

∠ ≅ ∠A D y AC DF� ��

≅ y ∠ ≅ ∠C F , también lo puedes plantear de esta manera:

θ θ≅ " y AC DF� ��

≅ y α α≅ "

Por lo tanto ∆ ABC ≅ ∆ DEF por ALA.

Criterio Lado – Lado – Lado (LLL)

Dos triángulos son iguales si sus lados correspondientes son congruentes.

∆ ABC ≅ ∆ DEF porque AB DE� ��

≅

BC EF��

≅ y AC DF� ��

≅

Por consecuencia también: θ θ α α≅ ≅" " y β β≅ "

Por lo tanto ∆ ABC ≅ ∆ DEF por LLL.

B

CAθ

β

α

E

FDθ

β

α

Aθ β

α

B

C

θβ

α

M

K L

C

BA θ

β

α

F

ED θ''

β''

α''

Luego esto se simboliza así:

∆ ABC ≅ ∆ DEF por LAL

Ejemplo 1

Verifica si los triángulos :

∆ ABC ≅ ∆ KLM , son iguales.

C F

A B D E

α α''

θ θ''β β''

UNIDAD 2


a) Construye dos triángulos, luego aplica los criterios estudiados sobre igualdad y comprueba si cumplen alguno de esos criterios.

b) Aplica uno de los criterios de igualdad y construye dos triángulos que cumplan esos criterios.

Actividad 1

Semejanza de triángulosEl concepto de semejanza en la vida cotidiana:

Cuando utilizas el término de semejanza en el lenguaje cotidiano, ¿a qué te estas refiriendo? Será acaso:

Un objeto que se parece a otro.

Objetos de igual tamaño.

Objetos de igual forma.

Objetos exactamente iguales.

Es difícil que puedas seleccionar una opción que responda en forma correcta a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales, entre otros.

Por ejemplo:

El color del automóvil de Pedro es semejante al color del automóvil de María.

La pelota de ping-pong es semejante a la de fútbol.

La estatura de Marcela es semejante a la de Enrique.

Hay gemelas que son tan semejantes que es difícil diferenciarlas.

La llave que usa Sofía, para abrir la puerta de su casa, es semejante a la de su hermano José.

UNIDAD 2


Nota que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una característica común entre los objetos o personas, tales como: color, tamaño y forma, entre otros.

El uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al “parecido”, en una o más características, que existe entre dos personas u objetos.

Antes de analizar lo que es semejanza de triángulos, verifica primero solamente el concepto de semejanza.

Para ello es necesario que conozcas lo que son lados correspondientes y lo que es proporcionalidad.

¿Qué observas en la figura que se muestra?

El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad.

Observa

A B

C F

D E

c = 5 cm a = 3 cm

a1 = 6 cm c1 = 10 cm

b1 = 8 cm

b = 4 cm

Los lados correspondientes son respectivamente:

c y c’ (lado grande y lado grande)

a y a’ (lado pequeño y lado pequeño)

b y b’ (lado mediano y lado mediano)

Tienes entonces que, dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.

Se aclara que dos triángulos para que sean semejantes no deben de tener el mismo tamaño ni posición y la relación de semejanza se denota con el símbolo ≅

∆ ABC ≅ ∆ DEF y se lee:El triángulo ABC es semejante al triángulo DEF.

Entonces, se tiene que en dos triángulos semejantes sus lados homólogos son proporcionales.

En este caso se escribe:

ABDE

ACDF

CBFE

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��

� ��= =

Puedes concluir que dos figuras geométricas poligonales serán semejantes, si existe una correspondencia entre los vértices,con tal que sus ángulos y sus lados correspondientes sean congruentes.

Si realizas la división entre los lados homólogos (correspondientes) el resultado que se obtiene es 2 (dividiendo 10 entre 5; 8 entre 4 y 6 entre 3), este valor recibe el nombre de razón y cuando la razón es igual en todos y cada uno de los lados correspondientes, se dice que los lados son proporcionales.

UNIDAD 2


Ejemplo 2

Encuentra el valor del lado desconocido del triángulo siguiente:

F

D E

34

4.5

C

BA

8

9

x

C

Y

BA

X

Solución:

Primero debes establecer las relaciones de proporcionalidad:

84 3

945

= =x

. ya que ∆ ABC ≅ ∆ DEF

Los lados que se han relacionado son:

AC� ��

= 8 , AB� ��

= 9 , CB x� ��

=

Luego del otro triángulo, DF� ��

= 4 DE� ��

= 45. FE� ��

= 3 como el lado que quieres encontrar es CB x

� ��= y es

homólogo con FE� ��

= 3 , estableces la relación x3

, ésta la igualas a cualquiera de las otras dos razones en este caso

particular tomas a 945.

y las igualas:

x3

945

= =.

despejas

x x

x

=( )

= =

=

3 945

2745. .66

El valor desconocido del triángulo ∆ ABC es x = 6

TeoremaToda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero.

Demostración:

Sea el triángulo ∆ ABC con una paralela XY a la base del triángulo AB.

Lo que se quiere demostrar es que ∆ ABC ≅ ∆ XYC (Son semejantes)

Primero, los tres ángulos de cada triángulo son iguales:

∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠C C A X B Y, , Por que son ángulos correspondientes entre líneas paralelas, además por proporcionalidad sabes que:

CXCA

CYCB

� ��

� ��

� ��

� ��= Esto significa que los lados laterales de

ambos triángulos son proporcionales

Por lo tanto, los triángulos son semejantes porque sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.

UNIDAD 2


Ejemplo 3

Encuentra el lado que hace falta en el triángulo. Si DE� ��

es paralela a AB� ��

Solución:

Primero encuentra las razones:

y CECB

CECB

� ��

� ��

� ��

� ��=+

=4

4 549

,

Luego igualas las dos razones 6

649+

=x

y despejas

6 9 4 6( ) = +( )x ; 54 = 24 + 4x

Resuelves la ecuación: 54 24 454 24 4

= +− =

xx

30 4304

=

=

x

x

Simplificando queda: x x= =152

75.

R: El valor buscado es x = 7.5

C

B

A

X

6 4E

D5

UNIDAD 2


1. Con una regla graduada en centímetros dibuja los triángulos que se te indican y determina si los siguiente triángulos son semejantes (escala en milímetros).

a) 5, 7, 12 y 10, 15, 24, c) 4, 5, 6 y 8, 10, 1

b) 3, 7, 9 y 8, 10, 12 d) 8, 3, 5 y 4, 1, 5

2. Determina el valor de los lados que hacen falta en las siguientes parejas de triángulos.

3. Determina las razones por qué los triángulos ∆ ABC y ∆ CDE son semejantes y encuentra el segmento: AB DE

� �� ≅

Actividad 2

Resumen

Criterios para verificar si dos triángulos son iguales:

Lado – Ángulo – Lado Dos triángulos son iguales si tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruente.

Ángulo – Lado – Ángulo Dos triángulos son iguales si tienen dos ángulos y el lado que los subtiende respectivamente congruentes.

Lado – Lado – Lado Dos triángulos son iguales si sus lados correspondientes son congruentes.

Además se afirma que dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.

5 cm

B

A C

D

E4 cm

3 cm

a) b)

A

C

8

4

N6

3 9 B

C

AB

X

810

125

4

UNIDAD 2


La construcción de modelos a escala (aviones, barcos y edificios, entre otros) requiere de una

buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, esto con el fin de que la

maqueta sea lo más semejante posible al objeto real, además de guardar una proporcionalidad

adecuada. En el caso de dos fotografías de la misma

persona, una de tamaño 3 × 4 pulgadas y otra de 6 × 8 pulgadas, ambas son semejantes y

tienen una misma proporción, ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo

largo y con una misma razón, o sea, las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.

Autocomprobación

2 Si en dos triángulos, sus ángulos correspondientes son congruentes y sus lados homólogos proporcionales se dice que son:a) equivalentesb) igualesc) semejantesd) alternos

1 Cuando dos triángulos tienen sus lados y ángulos congruentes se dice que son triángulos:a) equivalentesb) igualesc) semejantesd) alternos

3 El símbolo que denota cuando dos triángulos son semejantes es: a) ~b) =c) ≈d) ≅

4 Al trazar una paralela a un lado de un triángulo este forma con los otros dos lados un triángulo que es:a) equivalente al primerob) igual al primeroc) alternod) semejante al primero

APLICANDO SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS


Segunda Unidad

FacToreo

Determinarás y aplicarás con seguridad el factor común polinomio en una o más expresiones algebraicas.

resolverás con seguridad problemas utilizando el factor común monomio o polinomio


Motivación

En nuestro diario vivir , en centros de estudio , en el trabajo etc. siempre hay algo que tenemos en común, por ejemplo: En nuestro centro de estudios todos tenemos bolígrafo, cuadernos, pupitres, el mismo docente, etc., y todo esto se vuelve un factor común de los estudiantes que participan en un salón de clases.El señor Monterrosa, tiene un terreno en una lotificación y compra dos lotes colindantes a los lados del terreno, pero necesita comprar un predio de 16 m2 para que su terreno sea cuadrado y tenga las dimensiones siguientes: (ver ilustración)¿Cómo puedes escribir las dimensiones del terreno del señor Monterrosa?

Lección5

En el polinomio, 5ac3+7bc2 – bc

¿Cuál es el factor que se encuentra en todos sus términos?

Es “c”, por que es la variable (factor) que está presente en todos los términos; pero observas que tiene diferente exponente, entonces. ¿cuál de las tres es el factor común c3, c2 ,ó c?, la respuesta es “c”. Siempre tomarás la variable con su menor exponente.

El polinomio factorizado, queda así:

5ac3+7bc2 – bc = c (5ac2 + 7bc –b)

Factor común monomio

x2

16 m2

UNIDAD 2


12x3y2 + 6x2yz −3xyzPrimero encuentras el MCD de los coeficientes: 12 6 3

4 2 1

3

Esto indica que el factor común de los coeficientes es 3. De la parte literal, los comunes son x, y, las tomas con su menor exponente.3xy es el factor común del polinomio, por que 3xy, se repite en los tres términos.

Ahora, divides cada término del polinomio entre el factor común:

123

63

33

3 2 2x yxy

x yzxy

xyzxy

+ −

Luego escribes el factor común como producto del cociente de la división que efectuaste: 3xy(4x2y + 2xz − z)Y este seria la expresión factorizada por que si multiplicas el producto de esos factores obtienes 12x3y2 + 6x2yz −3xyz 3xy(4x2y + 2xz − z)

Entonces: 12x3y2 + 6x2yz − 3xyz = 3xy (4x2y + 2xz − z)

Ejemplo 2

Factoriza 4m3n4p2 + 16m2n3p3 – 7m2n2

¿Cómo encuentras el factor común?

Solución:

Paso 1

4m3n4p2 + 16m2n3p3 – 7m2n2 lo primero es encontrar el MCD de los coeficientes 4, 16 y 7.

Pero en este caso no existe divisor común, por lo que afirmas que no hay factor común en los coeficientes. ¿Por qué dices que no hay factor común en los coeficientes?

Paso 2

Encuentras el factor común de las variables, y observas que m, n está repetida en los tres términos, pero p no puede ser factor común dado que no está en el tercer término. Luego tienes que tomar las variables m, n con su menor exponente m2 y n2 entonces, el factor común es m2n2.

Luego haces la división del polinomio entre el factor común:

4 16 73 4 2

2 2

2 3 3

2 2

2 2

2 2

m n pm n

m n pm n

m nm n

+ −

Y obtienes m2n2(4mn2p2 + 16np3 – 7) como respuesta:

4m3n4p2 + 16m2n3p3 – 7m2n2 = m2n2 (4mn2p2 + 16np3–7)

Ejemplo 3

Factoriza: 8x2 – 4x

Solución:

El MCD de los coeficiente 8 y 4 es igual a 4.

Luego x es la variable común, la tomas con su menor exponente. Se tiene entonces que 4x es el factor común,

divides entre 4x; 84

44

2 12x

xxx

x− = − y obtienes un

polinomio factorizado igual a 4x (2x – 1)Por lo tanto 8x2 – 4x = 4x (8x – 1)

Ejemplo 1

Factoriza 12x3y2 + 6x2yz −3xyz

Solución:

UNIDAD 2


Factor común de polinomiosEjemplo 4

Factoriza: 3x2(2a + b) − 5(2a + b)

¿Cuál es el factor común? Observa que la expresión tiene dos términos 3x2(2a + b) y −5 (2a + b), en ambos términos se repite el factor (2a + b); por lo tanto el factor común es (2a + b)

Solución:

Escribes (2a + b), y los términos que quedan los agrupas así:( 3x2 – 5)

Entonces: 3x2(2a + b) − 5(2a + b) = (2a + b)(3x2 – 5)

En este caso el factor común es un polinomio. (Binomio).

Ejemplo 5

Factoriza: 3m (5xy – 3) – (5xy – 3)

¿Cuál es el factor común?

Observa y te darás cuenta que el factor común es el binomio (5xy – 3). Luego el coeficiente de (5xy – 3) es 1 por lo que al agrupar los coeficientes te queda 3m – 1.

Solución:

3m (5xy – 3) – (5xy – 3) = (5xy – 3)(3m – 1)

Actividad 1 Factoriza:

a) x2 + xb

b) 24a2xy2 − 36x2y4

c) 34ax2 + 51a2y – 68ay2

d) x3 – 6x4

e) a3 + a2x + ax2

f) 9a2 – 12ab + 15a3b2 – 24ab3

Trinomio CuadradoSi recuerdas el estudio de los productos notables el cuadrado de un binomio es un trinomio, observa los siguientes casos:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a −b)2 = a2 − 2ab + b2

Los resultados a2 +2ab + b2 y a2 − 2ab + b2 son trinomios cuadrados perfectos porque son el resultado del cuadrado de un binomio.

Trinomio Cuadrado Perfecto¿Cuándo un trinomio es cuadrado perfecto?

Cuando una vez ordenado el trinomio, el primero y tercer término tienen raíz cuadrada exacta, el segundo término es el doble producto de las raíces cuadradas del primer y tercer término.

La factorización de cuadrados perfectos la puedes obtener mediante el uso de una regla o desde el punto de vista geométrico, analizando esta expresión como el área de un cuadrado del cual quieres conocer las dimensiones de sus lados.

Factoriza:

a) (n + 4) – 4x(n + 4)

b) 8m2n2(x – 1) + 2n(x – 1)

c) (h + 2x) +3n2 (h + 2x) – 4y (h + 2x)

d) 3x3(2n – 5) + (2n – 5)

e) 4y2 (p – x) − (p – x)

Actividad 2

UNIDAD 2


Ejemplo 7

Factoriza: x2 + 10x + 25

¿De que otra forma se puede factorizar?

Solución:

Primero tienes que determinar si es un trinomio cuadrado perfecto, para hacerlo, observas si x2 y 25 tienen raíz cuadrada exacta.

x x2 = y 25 5= luego multiplicas por dos las raíces 2(x)(5) y obtienes el segundo término del polinomio. En este caso es 2(x) (5) = 10x

Entonces x2 + 10x + 25 es un trinomio cuadrado perfecto.

Sumas ambas raíces con el signo del segundo término y el binomio resultante lo elevas al cuadrado así:

x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

Ejemplo 8

Factoriza el siguiente trinomio: 100x2 − 20xy + y2

¿Qué diferencias observas en este trinomio?

Solución:

Verificas si el trinomio está ordenado, es decir los términos que tienen raíz cuadrada exacta estén en los extremos de 100x2 − 20xy + y2, luego verificas si es un trinomio cuadrado perfecto. Extraes la raíz cuadrada a los términos de los extremos así:

Para 100x2 − 20xy + y2 .Verificas que 100 102x x= y y y2 =

A continuación verificas si al efectuar 2(10x) (y) obtienes el segundo término, en este caso, se cumple, lo que indica que es un Trinomio cuadrado perfecto.

100x2 − 20xy + y2 = (10x − y)2 ó (10x − y) (10x − y)

Observa los signos

Ejemplo 6

¿Cúales son las dimensiones del terreno del señor Monterrosa?

Solución:

De la situación inicial retomas la representación gráfica.Observa que está dividido en cuatro regiones.

Analizando cada una de las regiones del cuadrado anterior se observa que se puede escribir el cuadrado con los términos siguientes y sus áreas.

Si sumas todas las áreas tienes:

x2 + 4x + 4x + 16

Como se tienen dos regiones iguales (4x), se suman las dos áreas obteniendo como resultado 8x; luego: x2 + 4x + 4x + 16 = x2 + 8x + 16

R: Las dimensiones del terreno del señor Monterrosa son: (x + 4) por (x + 4) equivalente a: x2 + 8x + 16

Puedes decir que la factorización del trinomio cuadrado perfecto de este ejemplo es:

x2 + 8x + 16 = (x + 4) (x + 4) = (x + 4)2

16 m2

x2

4x

4xx2x

x

4416 m2

UNIDAD 2


Trinomios factorizables que no son cuadrados perfectos

Ejemplo 9

Factoriza: x2 + 7x + 10:

¿Qué diferencias encuentras con los trinomios anteriores? ¿Es un trinomio cuadrado perfecto?

Solución:

Primero tienes que determinar que no es trinomio cuadrado perfecto, para lo cual verificas que el tercer término no tenga raíz cuadrada exacta. ¿Cómo lo resuelves?

Lo descompones como el caso anterior en dos factores:

(x + )(x + ), x es la raíz cuadrada del primer término.

El signo del segundo término del primer binomio (+) es el que tiene el segundo término del trinomio, y el signo del segundo es el que resulta de multiplicar el primer signo por el signo del segundo término del trinomio:

+ por + = +

Observa que los dos signos son iguales. Cuando se tienen signos iguales buscarás dos números que sumados resulten el coeficiente del segundo término del trinomio en este caso es"7 "

Y el resultado de estos mismos números multiplicados es el coeficiente del tercer término del trinomio. Para este trinomio es 10.

En este ejemplo se tiene que x2 + 7x + 10 = (x + 5) (x + 2)

Se te sugiere que si te dificulta encontrar la pareja de números, puedes factorizar el término independiente, en x2 + 7x + 10 es 10

1051

25

2 + 5 = 7; 2 por 5 es 10. Los números son 2 y 5 tienes que escribir como segundo término en cada paréntesis (x + 5) (x + 2), generalmente el número mayor se ubica en la primera posición.

Factoriza los siguientes trinomios:

a) x2 – 10x + 25 d) 9x2 + 12xy + 4y2

b) 36 – 12m2 + m4 e) 1 + 20n + 100n2

c) 25n2 + 90nm + 81m2 f) 4 − 16x2 + 64x2

Actividad 3

Trinomio de la forma x2 + bx +cSe caracteriza por tener dos variables iguales, una cuadrática y una lineal y un término independiente, otra característica es que el término cuadrático siempre tendrá coeficiente 1.

Por ejemplo:

a) x2 + 5x – 6

b) p2 – 2p + 1

c) a2 − 20a – 800

Ahora observa cómo factorizar estos trinomios:

Puedes pensar en el producto de dos binomios, pero como un proceso inverso:

(a + b)(a + c) = a2 + ab + ac + bc

= a2 + (b + c) a + bc

Producto de los términos comunes

Suma de los términos no comunes por el término común

Producto de los términos no comunes

UNIDAD 2


Ejemplo 10

Factoriza: x2 + 2x – 15

Solución:

Como los signos son diferentes en x2 + 2x – 15 entonces los factores serán: (x + )(x – )

Es decir buscarás dos números que restados den el segundo término (2) y multiplicados (15).

1551

35 5 3 2; 5 por 3 15− = =

Por lo tanto x2 + 2x – 15 = (x + 5) (x − 3)

Ejemplo 11

Factoriza: −4y +3 + y2

¿En este caso cómo resuelves?

Solución:

Primero tienes que ordenar el trinomio y2 − 4y + 3, una vez ordenado procedes igual que los anteriores.

y2 − 4y + 3 = (y − ) (y − )

Los signos son iguales, por lo que buscas dos números que sumados resulten − 4y multiplicados 3; entonces los dos números que buscas son: 3 y 1 3 + 1 = 4; 3 por 1 = 3

Es decir: y2 − 4y + 3 = (y − 3) (y − 1)

Trinomio de la forma ax2 + bx + c

Ejemplo 12

Factoriza: 6x2 + 7x + 2

¿Qué diferencias observas con el caso anterior?

¿Cómo lo resuelves?

Solución:

Primero multiplicas el trinomio por el coeficiente de x2 que en este caso es “6”; pero cuando multiplicas por el segundo término, dejas indicado.

Así: 6 (6x2 + 7x + 2) = 36x2 – 6(7x) – 12

Luego lo expresas de la siguiente manera: (6x)2 + 7 (6x) + 12

Luego aplicas los mismos procedimientos que en el caso anterior, descomponiendo el trinomio siempre en dos factores, donde el primer término será la raíz cuadrada del primer término cuadrático (6x + ) (6x + ) usas el mismo criterio para colocar los signos en cada factor.

Ahora, buscas dos números que sumados se obtenga 7 y multiplicados 12.

12631

223

= 4 4 + 3 = 7 y 4 por 3 = 12

= 3

Tienes: (6x + 4) (6x + 3)

Para no alterar la expresión, divides los factores entre

6, así , ( )( )6 4 6 36

x x+ + porque en este caso el

coeficiente de x2 es 6.

Procedes a simplificar buscando factor común en cada uno de los factores resultantes y el denominador (6) lo descompones en: 2 × 3.( )( ) ( ) ( )6 4 6 3

2 32 3 2 3 2 1

2 33 2 2 1

x x x xx x

+ +×

=+ +

×= +( ) +( )

Luego tienes que 6x2 + 7x + 2 = (3x + 2) (2x + 1)

Observa

La expresión ax2 + bx + c, se diferencia del trinomio cuadrado estudiado antes en que el término x2 tiene coeficiente diferente de 1. Las siguientes expresiones tienen la forma anterior: 3x2 + 7x – 6; 2n2 + 11n + 5; 7y2 – 23m + 6

UNIDAD 2


Ejemplo 13

Factoriza: 5x2 + 13x – 6

Solución:

5x2 + 13x – 6 = 5 (5x2 + 13x – 6) = (5x)2 + 13(5x) – 30 = (5x + )(5x − )

Buscas dos números que restados resulte 13 y multiplicados 30

301551

235

15 – 2 = 13 y 15 × 2 = 30

Luego (5x +15) (5x − 2)

Como se multiplicó por 5 entonces divides también por 5 ó simplificas.( )( ) ( )( )

( )( )5 15 5 2

55 3 5 2

53 5 2

x x x xx x

+ − = + − = + −

Por lo tanto: 5x2 + 13x – 6 = (x + 3) (5x – 2)

Factoriza:

a) x2 – 4x + 3 e) y2 + 7y + 6 i) 4c2 + 15c + 9

b) n2 – 9n + 20 f) n2 −2n − 35 j) 6x2 −5x − 6

c) c2 + 5c – 24 g) 2x2 +3x − 2 k) 20y2 + y −1

d) x2 − 4x + 3 h) 3n2 – 5n − 2 l) 2n2 +5n + 2

Actividad 4

Resumen

Caso EjemploFactor común monomio 6t3 – 4t2 – 2t = 2t(3t2 – 2t – 1)Factor común polinomio 3z(z + 3) + (z + 3) = (z + 3)( 3z + 1)

4y 2– 12yz + 9z2 = (2y – 3z)2

Trinomio de la forma x bx c2 + + x2 + 2x – 24 = (x + 6)(x – 4)

Trinomio de la forma ax bx c2 + + 4y2 + 3y – 10 = (y + 2)(4y – 5)

En esta lección hemos estudiado algunos casos de factorización:

UNIDAD 2


El triángulo de Pascal, o de Tartaglia, es un conjunto de números enteros, infinito, ordenados en forma de triángulo, que expresan coeficientes binomiales y se construye de la siguiente manera:

escribimos el número «1», centrado en la parte superior; después, escribimos una serie de

números «1» en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados; sumamos las parejas de cifras situadas horizontalmente y separadas por una casilla en blanco (1 + 1), y el

resultado (2) lo escribimos debajo de dicha casilla; continuamos el proceso escribiendo, en las casillas

inferiores, la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3). Las cifras escritas en las

filas, tales como: «1 2 1» y «1 3 3 1» recuerdan los binomios como:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Autocomprobación

4 Cuando se factoriza el polinomio x (8 + y) + z (8 + y) resulta:a) xz (8 + y)

b) (8 + y) (x + z)

c) xz (8 + y)2

d) (8 + y)2 (x + z)

2 Al descomponer en factores la expresión 20 453 2 2 5a b a b− resulta:

a) 4 9 3 2a b−( )

b) 5 4 93 5 3a b b a−( )c) 5 4 92 4ab a b ab−( )d) 5 4 92 2 3a b a b−( )

1 Factoriza el siguiente polinomio: 2x2 + 9x + 4a) (2x + 5) (x – 1)

b) (x + 4) (2x + 1)

c) (2x + 8) (2x + 1)

d) (x + 1) (2x + 4)

3 Al factorizar el polinomio 9 12 42x x− + obtenemos:a) (3x – 2)2

b) (3x – 2) (3x + 2)

c) (3x + 2)2

d) (x – 2) (3x + 2)

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1


Proyecto

Un albañil tiene que construir una casa cuyo tejado sea de dos aguas que formen un ángulo de 120º, como la figura.

a) Clasifica el triángulo de acuerdo a sus lados y sus ángulos.

b) Calcula la base del techo sobre la pared, si la altura del tejado es de 2 m.

c) Al trazar la altura del techo se forman dos triángulos, obsérvalos, describe sus características y clasifícalos de acuerdo a sus lados y ángulos.

d) Una de las ventanas de la casa debe tener de área 4x2 − 2x, y quieren ubicar la puerta de vidrio y para comprarla tiene que conocer sus dimensiones, si un lado mide 2x − 1, ¿cuánto mide el otro lado?

120º


Recursos

Materiales: regla, compás, transportador

Aguilera Liborio Raúl, Matemática Octavo grado. . Talleres Gráficos UCA, San Salvador, El Salvador, 2007, 219p

Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra, Publicaciones Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p.

Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p

Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática II, Geometría y Trigonometría, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición, México 1995, 179p.

Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p

Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1991, 626p.

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