35

ECUACIONES EXPONENCIALES

LEYES DE EXPONENTES:

Son aquellas definiciones y teoremas que estudian a los

exponentes a travs de las operaciones de potenciacin y

radicacin.

POTENCIACIN:

Es una operacin matemtica que consiste en hallar una expresin

llamada potencia, partiendo de otras expresiones llamadas base y

exponente.

Notacin: a : base

an = P n: exponente

P: potencia

Definiciones:

Exponente natural

an =

n veces

a si n

a a a si n

1

. ... 2

Exponente cero

Si a 0 se define:

a0 = 1

Nota:

* 00 no est definido

Exponente negativo

Si a 0 n N se define:

a-n =

n

n aa

1 1

Nota:

* 0 n

no existe

Teoremas:

Sean a y b nmeros reales y m, n enteros positivos, entonces

se cumple:

1. Multiplicacin de bases iguales.

an . a

m = a

m+n

2. Divisin de bases iguales.

mm n

n

bb

b

3. Potencia de potencia.

n m

m m n nb b b.

Nota:

* m.nmn bb

4. Potencia de una multiplicacin.

n n nab a b

5. Potencia de una divisin.

n n

n

a a

b b

; b 0

Nota:

* Si b es un nmero real y m, n, p son enteros, entonces:

zbbb yxm

pnm

Se efecta las potencias de arriba hacia abajo

RADICACIN EN :

Es una operacin matemtica que consiste en hacer corresponder

dos nmeros llamados ndice y radicando con un tercer nmero

llamado raz, el cual es nico, segn:

nb = r rn = b

n: ndice (n 2 ; n N)

36

b: radicando

r: raz n-sima principal de b

Teoremas:

Si n

a y n

b existen, entonces se cumple:

1. Raz de una multiplicacin:

na

nb = n ba

2. Raz de una divisin:

n

nn

a a

bb si b 0

3. Raz de una radicacin:

n m nmb b. .

Exponente fraccionario:

Si nm

a existe en se define:

mn

n ma a

1. Reducir

2

1

5

4

3

2

32

1

27

1

A

A) 5 B) 8 C) 4

D) 3 E) 9

2. Simplifica:

3n 22

n 7

11E

1331

a)9 b)10 c)11 d)12 e)1

31. Simplificar :

n2

4n + 20n

16n + 80n

A) 2 B)2 C)4 D) 8 E) n 2

3. Calcular el valor numrico de :

2-x

x .

x

x

para x = 100 A)0,1 B)100 C)10 D)0,01 E)1

4. Calcular x en :

(4x+1

)(8x-1

) = 16x+3

A)10 B)13 C)11 D)12 E)14

5. Hallar n a partir de :

44 4 4

= 4 4

n

42

A)1 B)2 C)3 D)4 E) 3 6. Determine el valor de x en :

36 = xx3

A)3 2 B) 3 3 C) 3 6 D) 3 9 E)2

7. Hallar x en :

9 99

= )xx(9

A)9 B)93

C)99

D)98

E)9 9

8. Si : x + y = 3

x

2x(x+y) = 216

el valor de y - x es : A)15 B)18 C)21 D)24 E)25

9. Resolver : 2

x+1 + 4

x = 80

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

10. Si : 5

27 = )xx 5(

hallar : x2

A)1,2 B)1,6 C)1,8 D)2,4 E)2,5

11. Si: 3xx . Hallar: 1xxx

A)6 B)9 C)270 D)3 E)27

12. Simplificar: 243.24

123.9523

n

n

nn

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

13. Si se cumple: xyyx

Calcular: xxy

xyxy

yxyx

2 .

A)x B)xy C)x/y D)y/x E)y

14. Si : 1 + a = aa

37

calcular : a

a 1- + 1 aa a

a a

A)a B)a2

C)1 D)a-1 E)a

a-1

15. Si: 16

2

22nn

. Calcular: 1 11 n nn

A)1 B)4 C)2 D) 2 E) 4 2 16. Indicar el exponente final de x en :

radicales

xxxxx

20

5 5 5 5 5.......

A)185.20

1205 B)205

1205 C)195.4

1205 D)195.20

1205 E)

205

17. Calcule el exponente final de x en :

3 4 5 1.....4.3.2.

n nxxxxx

A)!

11

n B)1-(n+1)! C)

!

1)!1(

nn

D)(n+1)!-1 E) )!1(

11

n

18. Si la expresin:

21 2

7 33.3 2

ax

axaxes equivalente a x

2.

Hallar el valor de a. A)3 B)4 C)5 D)6 E)7

19. Si: 5 45 xx . Hallar x2 A)0,2 B)0,3 C)0,4 D)0,6 E)0,8

20. Si: 08,02,0xx .

Hallar: 225225 xx

A)4 B)27 C)55 D)256 E)1/ 2

21. Resolver:

658

1818

xx

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5 22. Resolver:

122x27 9x.93x3 , e indicar el valor de: x+1

A)0 B)-1 C)-2 D)-3 E)-4 23. Luego de Resolver:

16168 84 42 xxx

, el valor de 11x es:

A)2 B)1 C)11 D)1/2 E)5/3

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

POLINOMIOS ESPECIALES

TRMINO ALGEBRAICO

Es una expresin algebraica donde no estn presentes las

operaciones de adicin y sustraccin.

Ejemplo:

M(x,y) = 4 x5 y

3

TRMINOS SEMEJANTES

Dos o ms trminos sern semejantes si a los exponentes de las

respectivas variables son iguales.

Ejemplos:

P(x;y) = 4x2y

7 y Q(x;y) = 2x

2y

7

P(x;y) = 5x2y

3 y S(x;y) = 2xy

7

M(x;y) = 2

3

y

x4 y N(x) =

2

3

y

x2

POLINOMIO

Son expresiones algebraicas racionales enteras en las cuales las

variables estn afectadas solo de exponentes enteros positivos.

Ejemplos:

P(x;y) = 5x3y

7 (monomio)

R(x;z) = 2x2z + 5z

5 (binomio)

F(x) = 3 5x + 3 x2 (trinomio)

GRADO DE UN MONOMIO

A. Grado Relativo:

Es el grado respecto de una de sus variables y el valor es el

exponente que afecta a dicha variable.

Ejemplo:

Sea P(x;y;z) = 5 x5y3z

GR(x) =

GR(y) =

GR(z) =

B. Grado Absoluto:

Es la suma de los grados relativos.

Ejemplo:

Sea R(x;y;z) = 2x4y

5z

3

Exponentes

Variables Coeficiente

38

GA =

GRADO DE UN POLINOMIO

A. Grado Relativo:

Es el grado del polinomio respecto de una de sus variables y el

valor es el mayor de los grados relativos de la variable en cada

trmino.

Ejemplo:

Sea P(x,y) = 3x3y

5 7x

2y

9 + 5x

7

GR(x) =

GR(y) =

B. Grado Absoluto: (Grado del polinomio)

Es el mayor de los grados absolutos de cada trmino.

Ejemplo:

Si F(x;y) = 2x2y

3 7x

6y + 4x

4

Polinomios Especiales

POLINOMIO MNICO:

Un polinomio de una variable que tiene coeficiente principal 1 se le

denomina mnico.

Ejemplos:

A(x) = 1 + x2 + 3x

B(x) = 7 2x2+x

3

C(x) = x

POLINOMIO ORDENADO:

Con respecto a una variable es aquel que presenta a los

exponentes de dicha variable colocados en forma ascendente o

descendente.

Ejemplos:

P(x) = 4x4 + 12x

2 3x + 7

Es un polinomio ordenado descendentemente respecto a x.

P(x,y,z) = 21xz4 34x

5y

2z + 41x

7y

4

Es un polinomio ordenado ascendentemente respecto a x e y,

adems es ordenado descendentemente respecto a z.

POLINOMIO COMPLETO:

Es aquel polinomio que presenta todos sus exponentes desde el

mayor hasta el de grado cero.

Ejemplos:

A(x) = 4x3 + 12x 7x

2 + 16

B(x,y) = x3 + 3x

2y + 3xy

2 + y

3

Nota: Si un polinomio tiene una sola variable y adems es

completo, entonces el nmero de trminos ser igual a su grado

aumentado en una unidad.

POLINOMIO HOMOGNEO:

Es aquel en el cual todos sus trminos tienen el mismo grado

absoluto, al cual se le llama grado de homogeneidad.

Ejemplo:

P(x,y) = 3x3y

12 + 23x

8y

7 15x

15 13y

15

R(x) = 7xy3 + 8x

2y

2

POLINOMIO IDNTICAMENTE NULO:

Es aquel polinomio cuyos coeficientes son todos ceros.

Ejemplo:

P(x) = (n m) x2 + (p q) x, si es idnticamente nulo:

n m = 0 m = n

p q = 0 p = q

POLINOMIOS IDNTICOS:

Dos polinomios son idnticos si sus trminos semejantes tienen

coeficientes iguales.

Ejemplo:

p(x) = ax2 + bx + c

q(x) = dx2 + ex + f

p(x) = q(x)

Si se cumple a = d; b = e; c = f

01. Si: 2423.....21322223)( xxxxxF Hallar: F(1) A)100 B)200 C)300 D)600 E)1200

02. Sea: bac1ab5a

zyx)z,y,x(M

GR(x)=2 ; GR(y)=8, adems GA=22 Hallar el valor de: a + b + c

A)16 B )15 C)13 D)12 E)10

03. Si: 1mnyxyx5)y,x(P5m2nm1m2nm

4 4

15 15 15 15

39

adems: GR(x) = 7 ; GR(y) = 19. Hallar el trmino independiente de dicho polinomio A)-5 B)-1 C)0 D)1 E)8

04. Si:

37)()(

53)()(

xxGxF

xxGxF

Hallar: ))2((FG

A)-15 B)-16 C)-17 D)-18 E)-19

05. Hallar: mnmn del monomio.

mynx

nymxyxP

21

21),( , Si: GR(y) = 4 ; GA(P)=10

A)3 B)4 C)5 D)256 E)3125

06. Si:

210))((25)2( xxFPxxP

Hallar: F(3) A)6 B)7 C)8 D)9 E)10

07. Dado el polinomio:

P(x; y) = xay2b+c + xa+by2c + xa+2c ya-2b cuyo grado de homogeneidad es 6, calcular: a + b + c A)5 B)6 C)7 D)8 E)9

08. Si el polinomio:

abcddxcxbxax)x(P2d3c4b5a

Es completo y ordenado. Calcular: P(1) P(0) A)25 B)24 C)22 D)21 E)19

09. Si el polinomio:

F(x) = (2m + n 215) x9 (2n + p 215)x5 + (2p + m +216) Es idnticamente nulo, hallar el valor de: m+n+p A) 1 B) 0,5 C) 0 D)1,5 E) 3

10. Hallar m IN, sabiendo que el polinomio P(x) es de grado 36.

IN)(m;x7x0,2P 31m235m(x)

A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8

11. Si se cumple la siguiente identidad:

a x 3 b x 4 7 2x 3

Calcular: 3

a b a) 1 b) 2 c)3 d) 4 e) 5

12. Hallar a b , si el polinomio es homogneo:

a 5 3 a 1

a a bP x,y a x by c x

a) 8 b) 9 c)10 d)12 e) 11 13. Si el polinomio que se muestra:

4 4 3 2 3P x x n 15 x 3x 5nx n 1 es un polinomio mnico. Hallar el trmino que no depende de la variable en dicho polinomio. a) 5 b) 1 c) 9 d) 7 e) 2

14. En el polinomio:

2n 2

P a 1 3a 2 (5a 7) (4a 7)

Se observa que: 3 coef 686 Trm. Ind. Calcular el valor de n.

a)1 b) 3

2 c) 2 d)

2

3 e) 3

15. Si al reducir:

nn n

x xP x x 1 x 1

x; x 0

resulta un polinomio completo, qu se puede afirmar de:

nnn n 6n n

J x 2x 3x 4x y a) Que es homogneo b) Que es completo c) Que es ordenado d) Que es un monomio e) Que es un trinomio 16. Si el polinomio:

1 2 3a 1 a 2 a 3

1 2 3 nP x a x a x a x a Es completo y ordenado Donde n es entero positivo : Hallar:

1 2 3 nS a a a a

a) n 1 b) 2n c) n 1

d) 2

n n 1 e) n

17. Sabiendo que el polinomio:

2 4 2 2 3

2 6

P x;y a bc 3a 2 x 3 ab c 3b 2 x y

2 abc 3c 2 y

es idnticamente nulo, hallar:

9 9 9

E a b c a) 12 b) 18 c) 21 d) 27 e) 30

18. Hallar el valor de n para que el grado de:

322),(

ynxyxP , sea 36

A)6 B)7 C)8 D)9 E)10

19. Sea el polinomio:c31cb6a54b3a

ycxybxyax)y,x(P

adems a y c son nmeros pares y b es un nmero impar. calcular el valor de: a.b.c A)10 B)20 C)30 D)40 E)50

20. Si:

31125),(

6247),(

5463),(

tqtqP

babaN

yxyxM

Calcular: )()(

)()(

tGRbGR

PGAxGR

A)2 B)3 C)4 D)16/9 E)18/11

40

21. Sea el binomio:

2325b35232aybxyx3yxayax)y,x(Q

Calcular: 1b.a A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

22. Sea: 33527)( aaxaaxaaxxM un polinomio

de grado 4, seale el coeficiente del trmino cuadrtico. A)10 B)12 C)13 D)14 E)15

23. Calcular el trmino independiente del siguiente polinomio:

8)3)(2)(1)...(1)(2)(3()( xxxxxxxP A)10 B)12 C)8 D)6 E)44

24. Si los polinomios:

2 2 3 2 2 2

2 2

P x a b x b c x

c a x 2abc

3 2

H x abx bcx cax 1

son idnticos, halle:

2 2 23 3 3 3 3 3ab b c bc c a ca a b

a b c

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6

PRODUCTOS NOTABLES

Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se

obtienen en forma directa, sin necesidad de efectuar la operacin

de multiplicacin.

PRINCIPALES IDENTIDADES:

Trinomio cuadrado perfecto:

(a + b)2 = a

2 + 2ab + b

2

(a b)2 = a

2 2ab + b

2

Identidades de Legendre:

(a + b)2 + (a b)

2 = 2(a

2 + b

2)

(a + b)2 (a b)

2 = 4ab

Diferencia de cuadrados:

(a + b) (a b) = a2 b

2

Desarrollo de un binomio al cubo:

(a + b)3 = a

3 + b

3 + 3ab(a + b)

(a b)3 = a

3 b

3 3ab(a b)

Suma y diferencia de cubos:

(a + b) (a2 ab + b

2) = a

3 + b

3

(a b) (a2 + ab + b

2) = a

3 b

3

Multiplicacin de binomios con trmino comn:

(x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x + ab

Desarrollo de un trinomio al cuadrado:

(a + b + c)2 = a

2 + b

2 + c

2 + 2(ab + bc + ac)

Desarrollo de un trinomio al cubo:

(a+b+c)3 = a

3 + b

3 + c

3 + 3(a+b) (b+c)(a+c)

(a+b+c)3=a

3+b

3+c

3+3(a+b+c)(ab+bc+ac) - 3abc

Identidad trinmica (Argand):

x2 + x + 1) (x

2 x + 1) = x

4 + x

2 + 1

IGUALDADES CONDICIONALES:

Si: a + b + c = 0 , se cumple:

a3 + b

3 + c

3 = 3abc

a2 + b

2 + c

2 = 2(ab + ac + bc)

(ab + bc + ac)2 = (ab)

2 + (bc)

2 + (ac)

2

01. Si: a+ b= 5 a.b=3.

Calcular: 2)( ba

A)-7 B)-9 C)6 D)10 E)12

02. Calcular el valor de:

4 1)7x)(1x()4x)(2x(

A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

03. Luego de efectuar:

5)3x)(11x()7x()1x(3333

Se obtiene: A)35 B)40 C)45 D)30 E)25

04. Simplificar:

)25)(25(

)27()27(22

A)1 B)2 C)3 D)18 E)28

05. Si: 4a

1a .

Hallar: 3

3

a

1a

A)52 B)51 C)50 D)49 E)48

06. Si: a b = 3ab = 6.

Calcular el valor de:33

ba A)250 B)252 C)253 D)255 E)257

07. Sabiendo que:

2a

b

b

a .

41

Hallar el equivalente de.

22

22

)1b()3a(

)3b()1a(

A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2

08. Si:

a b c 0

Calcular:

3 3 3a b c

E9abc

a) 2 b)3 c)1

2 d)

1

3 e) 4

09. Sabiendo que: a+ b+ c = 1

Calcular: bc)1a(

cb)1a(333

A)-3 B)-1 C)0 D)1 E)3

10. Si: 0142 xx . Calcular el valor de:

33

13 x

x

A)49 B)51 C)53 D)55 E)57

11. Si xR,x0 tal que: 4(x4 + 1) = 5x

2,

Entonces el valor de:

21

xx es:

A)3/4 B)13/4 C)9/4 D)7/4 E)2

12. Reducir:

2 2

6

(x 3)(x 3)(x 3x 9)(x 3x 9)

x 729

a) 6

x b) 6

x c) 6

x 729 d) 1 e) 3 13. Si:

1 1 1

a b a b

; proporcione el equivalente de:

6 6 6

3

a b 6 a bT

ab

a) 7 b) 7 c) 9 d) 9 e) 11

14. Si: x y z 0

Calcular:

3 3 33x y 3y z 3z x

3x y 3y z 3z x

a) 9 b) 16 c) 25 d) 4 e) 3

15. Al efectuar:

2 2 3 3 4 4 1 2 2a x a x a x ax a x Se obtiene un producto de la forma:

a a

x x

; Hallar : " "

a) 4 b) 2 c) 6 d) 9 e) 5

16. Cumplindose que:

ab ac bca b c

c b a

Halle el valor de: 77 77 77

7 7 7 7 7 7 21

a b c

(a b a c b c ).(abc)

a) 3 b) 2 c) 1 d) 1 e) 2

17. Si se cumple que: 2n 2n 2na b c 0

Calcular el valor de:

n n na b c

Cbc ac ab

a) 4 b) 5 c) 2 d) 6 e) 3

18. Si: a+ b=7 a.b=3.

Calcular: 22

ba A)42 B)43 C)44 D)45 E)46

19. Efectuar:

222)3x(2)5x()1x(M

Y dar como respuesta el valor de: 1m A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

20. Dada la igualdad: 14a

1a

4

4

Calcular: a

1a

A) 6 B) 3 C) 2 D) 6 E) Ms de una es correcta.

21. Si: )yx(2)yx(222

El valor de 22

322

xyyx

y8

x5

y6x4

xy

yx5

es:

A)11 B)10 C)9 D)8 E)7

22. De la siguiente igualdad:

338383x

Indicar el valor de: 1x3x3

A)5 B)4 C)3 D)1 E)2

23. Si: Rz,y,x .

Adems: )2(26222 zyxzyx

Calcular el valor de: xzy zyx

A)8 B)6 C)5 D)4 E)2

42

DIVISIN ALGEBRAICA

IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE DIVISIN ENTERA:

Dados los polinomios dividendo (D(x)), divisor (d(x)), cociente (q(x))

y residuo (R(x)) condicionados por la definicin, se cumple:

D(x) d(x) . q(x) + R(x)

TEOREMA:

Dado el dividendo D(x) y el divisor d(x), los polinomios cociente q(x)

y residuo R(x) son nicos.

Clases de Divisin

De acuerdo a su resto o residuo podemos clasificar en:

1. Divisin Exacta (R(x) 0)

D(x) d(x) . q(x)

2. Divisin Inexacta (R(x) 0)

D(x) d(x) . q(x) + R(x)

Como d(x) 0, se tendr la equivalencia siguiente:

)(

)()(

)(

)(

xd

xRxq

xd

xD

PROPIEDADES DE GRADOS

El grado del cociente: Grad(q) = Grad(D) Grad(d) El grado mximo que puede tomar el residuo ser uno menos al

divisor. Grad. Max.R = Grad(d) 1 TEOREMA:

De la identidad fundamental de divisin entera:

P(x) d(x) q(x) + R(x)

I. Si x = 1 P(1) = d(1) q(1) + R(1) Se obtiene la suma de coeficientes

II. Si x = 0 P(0) = d(0)q(0) + R(0) Se obtiene el trmino independiente.

Criterios para dividir polinomios

Dados los polinomios en una sola variable estos deben ser

completos y ordenados en forma descendente. Si faltase algn

trmino, en su lugar se reemplazar un trmino con coeficiente

cero.

Mtodos para dividir algebraicamente polinomios

Los procedimientos a seguir derivan de la divisin entera de

nmeros enteros.

1. Mtodo clsico o divisin normal: Seguiremos los mismos pasos de la divisin de enteros.

2. Por coeficientes separados: En un caso similar a la divisin normal con la diferencia que en ste caso slo se trabajan con los coeficientes.

3. Mtodo de Guillermo Horner: Diremos que ste es un caso sintetizado de coeficientes separados y exigen las mismas condiciones. En forma general:

Dividir a0xn + a1x

n-1 + a2x

n-2 + an

Entre b0xm + b1x

m-1 + b2x

m-2 + bm

Donde n m a0b0 0

4. Regla de Paolo Ruffini: Se considera como un caso particular del mtodo de Horner, se utilizar el divisor es de primer grado o transformable a esta forma. Veamos un ejemplo inicialmente efectuado por Horner para ver una comparacin con la regla de Ruffini. En general

Al dividir a0xn + a1x

n-1 + a2x

n-2 + + an entre ax+b; ab 0 se

presentarn dos casos :

CASO I

Cuando a = 1; se tendr:

bx

na ....... 2-nx2a

1-nx1a nxoa

CASO II

Cuando a 1; se tendr:

bax

na ....... 2-nx2a

1-nx1a nxoa

De la identidad fundamental

D(x) (ax + b)q(x) + R(x)

a

bx (aq(x)) + R(x)

TEOREMA DE RENATUS DESCARTES

(TEOREMA DEL RESTO)

Finalidad: Se utiliza para hallar el resto en una divisin de

polinomios sin la necesidad de efectuar dicha operacin, es decir,

de una manera directa.

TEOREMA: En toda divisin de la forma P(x) entre (ax+b), el resto

se halla mediante el valor numrico del polinomio P(x) cuando x

toma el valor de

a

b.

01. Calcular el cociente que resulta de dividir :

6524

122522831344

xx

xxxx

A) 322 xx B) 322 xx C) 322 xx D) 232 xx E) 232 xx

02. Si la divisin:

1x2x4

baxx15x22x20

2

234

, es exacta.

Calcular: a.b

43

A)-1 B)1 C)3 D)5 E)6 03. Encuentre el trmino Independiente del cociente:

3 2x 4x 1

x 1

a) 1 b) 1 c) 2 d) 3 e) 3 04. En la divisin:

4 3 22x 3 2x 12x 3 2x 2

x 2

Calcular la suma de coeficientes del cociente:

a) 2 b) 2 2 c) 3 2 d) 6 2 e)0 05. Hallar el resto de la divisin:

2x

11x7x8x2 24

A) 3 B) 16 C) 14 D)-16 E) 18

06. Calcular el resto de dividir:

1x

1x2xx

4

135160

A)3x B)2x-1 C)4x D)2x+1 E)3x-1

07. Hallar el valor de m si el resto de la divisin:

1x

ax3xx 23

, es 9 A) 2 B) 3 C) 4 D)5 E) 8 08. Hallar el resto al dividir:

3 2 2x 2x (2 m 2m)x 2m 2

x m 2

A)1 B)2 C)3 D) 2 E) 1 09. Si la divisin:

3x2x

3x8x14BxAx

2

234

, es exacta.

Hallar el valor de:

1AB A)5 B)4 C)3 D)2 E)1

10. Luego de dividir:

2x3

6x2x4x22x3234

proporcione la suma de coeficientes del cociente

A)3+ 2 B) 2+ 3 C) 1+ 2 D) 2- 2 E) 3+2 2

11. Calcular el resto en:

5x7x

18)6x)(1x()3x)(5x)(4x)(2x(

2

y dar como respuesta la raz cuadrada de dicho resultado. A)1 B) 2 C)3 D)4 E)5

12. Si:

8

2

x ax b

x 2x 1

da como resto 8x 7 Hallar el valor de: a b

a) 0 b) 1 c) 2 d) 1 e ) 2 13. Reconstruir la siguiente divisin por el mtodo de Guillermo

Horner.

5 a 6 6b c 0

1

2 a b 3

Dar como respuesta: a b c a) 4 b) 1 c) 10 d) 8 e) 6

14. Calcular a b si la suma de los coeficientes del cociente es 256 y el resto es 24.

61ax 2bx 2b a

x 1

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

15. Hallar el valor de "a" si al dividir:

a 17 a 16 a 15 3 2x x x x x x 1

entre x 1 se observa que la suma de los coeficientes del cociente es igual a 90 veces su resto. a) 13 b)155 c)160 d)163 e) 165 16. Al efectuar la divisin:

4 2 3 2 2 2nx n n 1 x x n x n 7x n 1

se observa que la suma de los coeficientes del cociente y el resto es cero, el valor de ste ltimo es: a) 1 b) 4 c) 2 d) 8 e) 2 17. En la siguiente divisin:

4 3 2 2 22

9x 6ax a 3b x abx 9a

3x ax b

el residuo obtenido es de grado cero e igual a:

2R 6ab b

Calcular:

2 2

2

3a bE

a

a) 12 b) 16 c) 15 d) 24 e) 35

18. Hallar a para que el residuo de la divisin

2

223

ax

aaxaxx

sea 5a+11 A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

19. Hallar el resto al dividir:

1x

1xbxaxbxax

5

812263751

A)x3+1 B)x+1 C)x-2 D)1-x E)1-x

3

20. Calcular el resto en:

5x7x

18)6x)(1x()3x)(5x)(4x)(2x(

2

y dar como respuesta la raz cuadrada de dicho resultado. A)1 B)2 C)3 D)4 E)5

21. Si los coeficientes del cociente entero de dividir:

44

3x2

cbxaxx18x8234

son nmeros consecutivos y el residuo es igual a 18, calcular: a + b c A)-7 B)-3 C)0 D)3 E)7

22. Si la siguiente divisin:

2

50

)1x(

baxx

Es exacta, calcular el valor de: a + b A)-2 B)-1 C)0 D)1 E)2

23. Calcular m, si el resto de la divisin:

2x

mx5x12x6x4x2 21002100320052006

,es 17. A)1 B)3 C)4 D)6 E)9

COCIENTES NOTABLES

CONCEPTO

Son aquellos cocientes que se pueden obtener en forma directa sin

necesidad de efectuar la operacin de divisin.

Condiciones que debe cumplir:

m mx y

x y

Donde:

x; y bases iguales

m Z+; m 2

DEDUCCIN DE LOS COCIENTES

CASO I: (para n=par o impar)

n nx y

x y=

CASOII:(para n=impar)

n nx y

x y=

CASOIII:(para n=par)

n nx y

x y=

CONDICIN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTENER UN

C.N.

De:

m n

p q

x y

x y se debe cumplir:

m n

rp q

; r Z+

Donde r

FORMULA DEL TRMINO GENERAL DE UN C.N.

Es una frmula que nos permite encontrar un trmino cualquiera en

el desarrollo de los C.N., sin necesidad de conocer los dems.

De la divisin:

n nx y

x y

Tenemos:

. n k kkt signo x y1

.

Donde:

tk trmino del lugar k

x 1er. trmino del divisor.

y 2do. trmino del divisor.

n nmero de trminos de q(x)

1. Hallar el t9 del C.N.

yx

yx 1515

a) x6 y

6 b) x

6 y

8 c) x

8 y

6

d) xy e)- x8 y

6

2. Hallar el t6 del C.N.

65

4235

nm

nm

a) m5 n

30 b) m

3 n

30 c)m

6n

25

d) m6 n

25 e) x

8 y

6

3. Calcular n en el cociente notable:

25

223

ba

nbna

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 15 4. Calcular el nmero de trminos del C.N.

98

34124

mm

mm

yx

yx

a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 5. Calcular el t11 en el C.N.

m3

507m

yx

yx

a) x6 y

390 b) x

8 y

380 c)x

4 y

280

d) x9 y

280 e) N.A

6. Calcular a.b si el siguiente C.N. tiene en su desarrollo como

45

t60 =x56

y708

ba

ba

yx

yx42

196148

a) 2 b) 6 c) 10 d) 12 e) 20 7. Hallar (m + n) si el t25 del desarrollo de:

nm

nm

ax

ax23

86129

es x

270 a

288

a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 11

8. Si x15 + x12 + x9 + x6 + x3 + 1, es el desarrollo del cociente notable:

A) 15

5

x 1

x 1

B) 12

2

x 1

x 1

C) 18

3

x 1

x 1

D) 18

3

x 1

x 1

E) 20

5

x 1

x 1

9. 1Sabiendo que uno de los trminos del C.N.

2yx

yx ba

es x

4y

10

Calcular: a.b a) 20 b) 100 c) 200d) 300 e) 600

10. En el C.N. 73

ba

yx

yx

hay un trmino central, que es: x

c y

231.

Hallar: E = a + b +c a) 769 b) 765 c) 767 d) 768 e) 700 11. Cul es el lugar que ocupa un trmino en el C.N.

25

140350

yx

yx

contado a partir del 1 trmino sabiendo que la diferencia del grado absoluto de ste con el G.A. del trmino que ocupa la misma posicin contado a partir del extremo final es 9.

a) 30 b) 31 c) 32 d) 34 e) 33 12. Calcular el valor numrico del sexto trmino del cociente

notable para x 3

7 7x 1 x 1

2x

a) 64 b) 81 c) 128 d) 128 e) 64 13. Calcular el trmino independiente en el cociente notable:

9 18x 9 3

x

a) 9 b) 19 c) 27

d) 9

9 e) 27

9 14. La suma de todos los exponentes de las variables del

desarrollo de: 100 100

4 4

x y

x y

; es:

a) 2400 b) 2500 c) 2600 d) 2700 e) 2800

15. 1Si al dividir:

n n

n n

2 2

3 1 3 1

x y

x y

se obtiene como segundo trmino en su cociente a 16 8

x y .

Cuntos trminos tiene el cociente notable? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 16. Hallar el nmero de trminos que tiene el siguiente producto:

20n 19n n 20n 19n nx x x 1 x x x 1 a) 41n b) 40n 1 c) 42n

d) 40 e) 21

17. Hallar el 12vo trmino del desarrollo del siguiente cociente

notable:

19 19x y

x y

A) -x7y13 B) x11y7 C) -x9y12

D) x12y9 E) -x7y11

18. Si la siguiente divisin da lugar a un cociente notable. Calcular

el 8vo trmino de ste:

20 30

a a 1

x y

x y

A) x4y14 B) x2y18 C) x6y14

D) x4y21 E) N.A. 19. Calcular a + b si el quinto trmino del desarrollo del siguiente

cociente notable:

14 35

2 5

x y

x y

es : x9-a y12+b A) 13 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7 20. Hallar el coeficiente del cuarto trmino del desarrollo de:

5 532x 243y

2x 3y

A) 24 B) 52 C) 54 D) 34 E) 54 21. Simplificar la expresin:

1..............xxx

1..............xxx547290

9096102

Calcular el valor para x= 2 A) 1089 B) 73 C) 72 D) 1090 E) 511 22. Calcular el 11mo trmino en el cociente notable:

m 507

3 m

x y

x y

A) x6y390 B) x6y290 C) x13y39

D) x26y290 E) x6y190

46

FACTOTRIZACIN

Es el proceso de transformacin de un polinomio en una

multiplicacin indicda de sus factores primos o sus potencias.

Multiplicacin

P(x) = x2 + 3x + 2 (x + 1) (x + 2)

Factorizacin

FACTOR PRIMO

Un polinomio F ser primo de otro polinomio P si F es factor

algebraico de P y primo a la vez.

Nota .

Ejemplos:

P(x) = (x + 2)3 (x + 1)

2 (x + 5)

6

Son factores primos de P(x):

P(x) = (x) (x + 2)6 (x 1)

2

Son factores primos de P(x):

CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS

1. Factor Comn

Consiste en buscar factores comunes a todos los trminos de un

polinomio para luego extraerlos a su menor exponente.

Ejemplos:

1. Factorizar:

P(x,y) = 2x2y + 3xy

2 + xy

2. Factorizar:

A(x,y) = (x + 2) y + (x + 2) x + (x + 2)

2. AGRUPACIN

Consiste en agrupar trminos convenientemente tratando que

aparezca algn factor comn.

Ejemplos:

1. Factorizar:

x2 + x + xy + y xz z

2. Factorizar:

x2 + ax + x + xy + ay + y

3. ASPA SIMPLE

Forma general de polinomio a factorizar: m, n N

P(x,y) = Ax2n

+ Bxn y

m + Cy

2m

P(x) = Ax2n

+ Bxn + C

Ejemplos:

1. Factorizar:

2x2 + 7xy + 6y

2

2. Factorizar:

(x + y)2 2 (x + y) + 1

3. Factorizar:

(x + y)2 2 (x + y) + 1

TEOREMA

Sean f(x) y g(x) polinomios primos y primos entre s, tal que:

P(x) = n px xf g( ) ( )

.

I. Nmeros factores primos = 2 II. Nmeros factores algebraicos = (n + 1) (p + 1) 1

Ejemplo:

Sea P(x) = (x + 2)3 (x + 4)

I. Nmeros factores primos = II. Nmeros factores algebraicos =

4. ASPA DOBLE:

Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

Ax2 + Bxy + Cy

2 + Dx + Ey + F

Ejemplos:

* 20x2 + 22xy + 6y

2 33x 17y + 7

5. ASPA DOBLE ESPECIAL

Se utiliza para factorizar polinomios de la forma:

Ax4 + Bx

3 + Cx

2 Dx + E.

Ejemplos: Factorizar

..

47

6. Mtodo De Los Divisores Binmicos.

Con ste mtodo se busca uno o ms factores binomios primos

Consideraciones:

Si P(x0) = 0; entonces: (x- x0) es un factor primo de P(x).

Los dems factores se encuentran al efectuar:

0xxxP

Los valores que anulan a P(x); se pueden encontrar:

ceros

Posibles

x Pincipal deCoef. Divisores xde PT. indep. Divisores

xPr0

Ejemplo:

Factorizar: P(x) = x3 + 6x

2 + 11x 6

1. Factorizar:

F(x; y)=x3-x2y+xy2-y3.

Sealar el nmero de factores primos.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

2. Factorizar:

F(x)=(x2+2)2-(2x+1)2

Sealar el factor primo que ms se repite:

A) x+1 B) x-1 C) 2x+1

D) 2x-1 E) x+2

3. Factorizar: 8x2 - 2x - 3

e indicar un factor A) 2x - 1 B) 3x - 4 C) 4x - 3 D) 8x - 1 E) 8x 3

4. Factorizar:

P(x) = (x + 1)4 5(x + 1)2 + 4 Indicando un factor primo. A) x B) x + 8 C) x + 9 D) x + 12 E) x + 7

5. Luego de factorizar:

12(x+y)2 + 7(x+y) -

12

se obtiene: A) (4x - 4y - 3)(3x - 3y+4) B) (4x+4y - 3)(3x+3y+4) C) (4x - 4y+3)(3x+y - 4) D) (3x+4y+3)(4x+3y - 4) E) (6x+y+2)(2x - y - 6)

6. Factorizar:

F(x;y)=6x2+13xy+6y2+12x+13y+6

Indicar la suma de factores primos

A) 5x+5y+1 B) 5x+5y+2 C) 5x+4y+5

D) 5x+4y+4 E) 5x+5y+5

7. Calcular un factor de: a2+2a+ab+b+1

A) a+b+1 B) b+1 C) b - 1 D) a - 1 E) a+b

8. Luego de factorizar:

N(x; y)=6x2+19xy+15y

2 - 11x+4 - 17y

indicar un factor: A) 2x+3y - 1 B) 2x - 3y+1 C) 3x - 5y+4 D) 3x+y+4 E) 3x+5y+4

9. Factorizar:

P(x)=x4+6x

3+7x

2+6x+1

y calcular la suma de coeficientes de un factor primo obtenido. A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 7

10. Factorizar:

P(x)=2x4+x

3 - 16x

2+8x - 1

e indicar un factor A) 2x

2+5x - 1 B) x

2+3x 1 C) x

2+2x - 1

D) 2x2+x - 1 E) x

2+5x+1

11. Factorizar:

N(x)=2x4 - 3x

3 - 2x

2 -x+6

e indique un factor: A) 2x

2+x+1 B) 2x

2 - x+1 C) x

2+x+1

D) x2 - x+3 E) x

3 - x+1

12. Factorizar:

x3 - 3x

2+4x - 2

y calcular un factor. A) x+1 B) x - 1 C) x

2+x+1

D) x2+2x - 2 E) x+2

13. La suma de sus coeficientes de un factor primo del polinomio:

561456 234 xxxxxP ; es: A) 7 B) 5 C)3 D) 8 E) 9

14. Indique el factor primo de mayor suma de coeficientes al factorizar el polinomio:

303116 22 xxxxxxP

A) x-3 B) x-5 C) x+2

D) x+3 E) x+5

15. si el polinomio:

QaaxxaxxxP ;13 234 es un cuadrado perfecto, otorgue el menor valor de a

A) 2 B) -3 C) 4

D) 5 E) -2

16. Despus de factorizar:

2 2x 2 x 4x 6 15 Seale el factor que tiene mayor suma de coeficientes:

a) 2

x 4x 9 b) 2

x 4x 1 c) 2

x 4x 3

d) 2

x 4x 7 e) 2

x 4x 4

17. Factorizar e indicar el coeficiente cuadrtico de uno de los factores primos de:

4 3 216x 8x 16x 22x 15

a) 2 b) 3 c) 4 d)5 e)6

18. Indicar el nmero de factores primos en:

8 6 4 2x 5x 5x 5x 6

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

48

19. Sealar un factor primo del polinomio:

10R x x 2 256x x 4 2048

a) 2

x 2x 4 b) 2

x 2x 4 c) 2

x 2

d) 2

x 5 e) 10

x 256x 1

20. Indicar un factor de:

a3+2a

2b+4ab

2+8b

3

A) a

2+b

2 B) a

2+2b

2 C) a+b

D) a+2b E) a+4b

FACTORIALES Y BINOMIO DE

NEWTON

El desarrollo del binomio de Newton se aplica para poder

determinar los trminos del resultado de potencias binomios,

cuando los exponentes son nmeros naturales mayores que tres,

pues cuando los exponentes son pequeos podemos aplicar

productos notables.

Cuando se asignan valores a las variables se pueden generar

diversas sumatorias con nmero combinatorios, las cuales serian

difciles de sumar sin usar el binomio de Newton, por ejemplo se

llega a calcular que:

2020

20

20

4

20

3

20

2

20

1

20

02... CCCCCC

en forma directa, pues 220

es el resultado de desarrollar; (1 + 1)20

por Binomio de Newton.

CONCEPTOS PREVIOS

FACTORIAL

El factorial de un nmero slo est definido en el conjunto de los

nmero naturales y es igual el producto del nmero dado, por todos

los nmero naturales menores que l, sin incluir el cero.

NOTACIN

Para indicar el factorial de un nmero empleamos cualesquiera de

los siguiente smbolos .

! n n

Se lee: factorial de n

Por definicin:

n! ..............................

Ejemplos:

!3 = .............................

6!= .........................................

Definiciones:

Factorial de cero 0!= ......

Factorial de la unidad 1! .....

Igualdad de Factorial

Si a! = b! a = b , a, b Z+

Ejemplo: Hallar x

x! = 24

Propiedades

1. Si a! = 1 a = 1 a = 0

2. n! = n (n 1)! , n Z+ n 1

Ejemplo:

6!= (n+2)!= (2x-1)!=... (6x+5)!=..

Semifactorial:

Se representa por: !!N y su definicin depende, si N es par o

impar.

= 2 2 4 6 ..... 2N !!n(par) 2n x x x x n

= 2 1 3 5 2 1N !!n -1(impar) 2n -1 x x x.....x( n ) Propiedades:

!!.( 1)!!= ( 1)! n n n

ANALISIS COMBINATORIO

Se define como el nmero total de grupos que se pueden formar

con n elementos tomados de k en k, de modo que los grupos

se diferencias por lo menos en un elemento.

NOTACIN: n

k

n

kC

Se lee: combinaciones de n elementos tomados de k en k, o

simplemente combinaciones de n en k.

n

k

n

n k kC!

( )! !

Donde: n, k Z ; n k 0

Adems: n es el ndice superior

k es el ndice inferior

EJEMPLOS:

9

6 ............................................................C

7

4 ..................................................................C

PROPIEDADES:

1)

1 1O 1 n n n

nC ; C n ; C

49

2) Complemento:

n n

k n kC C

3) Degradacin:

11

n n

k k

nC C

k

1

1

n n

k k

n kC C

k

1

n n

k k

nC C

n k

4) Suma de Combinatorias:

1

1 1

n n n

k k kC C C

Ejemplos:

20

0 .....C ;

10

0 ......C :

17

1 ........C

205

1 .......C ;

205

205 .......C ;

2

2

x

x.......C

Complementarias

9

6 ....................C

25

22 ....................C

Suma de combinatorias

7 7

2 3 ........C C

20 20

7 6 ........C C

Degradacin

10

5 .................................C

12

4 ...................................C

BINOMIO DE NEWTON

Definicin: es una expresin matemtica que tienen la forma de

una funcin polimonial.

Es un binomio de la forma:

(a+b)n , para n = 0, 1, 2,3,.........

Sabemos:

0

1

2

3

.

( a b ) ....

( a b ) .......

( a b ) .....................

( a b ) ....................................

En forma polinomial:

n n n n n 1 n no 1 nP(x,a) (x a) C x C x a ... C a

n Z

Propiedades:

1. n( x a ) tiene (n+1) Trminos.

2. Exponente de x van disminuyendo de n hasta 0

Exponente de a van aumentando de 0 hasta n.

3. En cada trmino, la suma de exponentes de x y a es igual a n.

4. Recordemos que la suma de coeficientes se obtiene

para 1 x a

1 2 ... .....n n n n

o nC C C C

Trmino General:

Contando de Izquierda a derecha:

n n k k

K KT C x a1

Donde:

n exponentedel binomio

1 k lugar del termino

x,a te rminosdel binomio

Contando de derecha a izquierda:

1

n k n k

K KT C x a

Donde:

T K+1 es el trmino de lugar ( k+1)

Trmino Central:

El desarrollo del binomio tendr un nico trmino central en cambio

si n es par, luego la posicin que ocupa este Trmino es:

11

n

2 2

12 2

n n

nc n n

( )T T C x a ; n es par

50

01. Calcular:

!42

!41!40!82!81

!83E

a) 2 b) 10 c) 11

d) 20 e) N.A. 02 Luego de simplificar: E =

2000! 2001! 2002!

2000! 2001!

Calcular la suma de cifras de "E". A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 03. Simplificar:

!1n!n!2n!1n!nE

a) n + 2 b) 1 c) 1/2

d) n e) N.A.

04. Simplificar:

2113

218

208

147

186

185

CC

CCCCE

a) 1/2 b) 2 c) 4

d) 8 e) N.A.

05. Si:

CCC

15

6

15

9

15

6

5

982E

, el valor de E2 es igual a:

A)400 B)256 C)512 D)64 E)81

06. Calcular n en.

n2

p10

n2

2p CC

a) 5 b) 2 c) 4

d) 7 e) N.A.

08. Siendo : 42!b!a

!10

Calcular: ab : a) 12 b) 15 c) 20 d) 30 e) 42

09.Hallar el valor de n, sabiendo que:

184!n

)3!n(!n

a)4 b)8 c)12 d)16 e) N.A.

10. Sabiendo: 3 11777

7 176

C Ck k

Calcula: K !

a) 3 b) 6 c) 9 d) 11 e) N.A.

11. Halla n si el octavo trmino del desarrollo de:

n

2x

1x

contiene a x

12

a) 20 b) 25 c) 33 d) 35 e) 40

12. Calcula el lugar que ocupa el trmino que contiene a x

5 en el

desarrollo de:

135

x

1x

a) 10 b) 11 c) 12 d) 15 e) 20

13. Calcula el coeficiente del quinto trmino de:

7

4x

1x

a) 30 b) 35 c) 33 d) 40 e) 1

14. Halla n si en el trmino 28 del desarrollo de (x+3y)

n el

exponente de x es 3. a) 30 b) 28 c) 25 d) 15 e) 12

15. Halla el lugar que ocupa el trmino independiente de:

56

3

3

x

1x

a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29

16. Calcular el coeficiente de x6 en el desarrollo de:

C(x) = (1 + 2x + x2)

a) 10 b) 120 c) 80

d) 30 e) 30

17. Determina el valor de n para que los trminos de lugares 9 y

10 de (x+3)n tengan igual coeficiente.

a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

18).- Halla (n+m), si se sabe que el cuarto trmino de (x+2)n es

80mx

m.

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

19).- Calcula el tercer trmino en el desarrollo de:

7

3

3

xx

1xx

a) 21 x

1/2 b) 21x

3/2 c) 35x

d) 35x3/2

e) 21

20. Calcular el valor de n en:

596.... n1n

nn

n2n

n1n

n2

n3

n1

n2

n0

n1

C

nC

C

C)1n(

C

C3

C

C2

C

C

a) 34 b) 35 c) 36 d) 37 e) 38