Todos los seres humanos tenemos conocimientos y habilidades que adquirimos por diversos medios: al interior del hogar, en la escuela, en charlas, en lecturas de revistas y libros en general, entre otros. Con el propósito de evaluar los conocimientos que dominas de los temas básicos de álgebra, contestando lo que recuerdes y como lo recuerdes, iniciaremos con una…

EVALUACIÓN DIAGNÓSTICA

INSTRUCCIONES: Relaciona las columnas, anotando en el paréntesis la letra que corresponda.

( ) La suma de dos números menos el triple del primero

A) q(q+1)=8

( ) p B) La mitad de un número menos el recíproco de otro

( ) La diferencia de dos números menos 23 unidades

C) La suma de dos números menos la mitad del segundo número

( ) b+18 D) (a+b) (a-b)

( ) El producto de la suma de dos números por la diferencia de los mismos

E) El triple del cuadrado de un número menos un tercio de otro número

( ) 2

dc d

F) (h-g)-23

( ) El triple del cuadrado de un número menos la mitad del cubo de otro número

G) (e+f)-3e

( ) 23

3

nm

H) Un número más 18 unidades

( ) El producto de dos números consecutivos es igual a 8

I) Raíz cuadrada de un número

( )

1

2

t

r

J) 323

2

tb

1) ¿Escribe brevemente que piensas que vamos a estudiar en álgebra? ________ __________________________________________________________________ 2) ¿Explica que entiendes por expresión algebraica? ______________________ __________________________________________________________________

3) La siguiente expresión algebraica: -3x3 + 2a – 10y2b ¿Cuántos Términos

Algebraicos tiene?_____ escríbelos separados aquí_______________________

4) En la expresión: - 5x2 Señala ¿Cuáles son cada uno de sus Elementos Algebraicos y como se llaman?: __-__ es el ___SIGNO Negativo__; ______ es el_________________ _____ es la ___________________; ______ es el _________________ 5) La expresión algebraica -3x3 + 2a – 10y2b es un

a) Polinomio b) Monomio c) Trinomio d) Binomio 6) Escribe un Monomio__________ ahora un Polinomio: __________________ 7) Si tenemos la expresión, 2a3 b cuál de los siguientes términos es semejante a él ? a) – 8a3b b) 2a2b c) – 6ab2 d) 12 a3b2 8) Entonces escribe ¿Cuándo un término es semejante a otro?

__________________________________________________________________

9) Suma las siguientes expresiones; 6a + 4b –11c – 4c – 5b + 7a

Resultado: ________________________ 10) Resta 5m - 8n - 4p de - 3n - 4p + 6m

Resultado: ________________________

11) Multiplica los siguientes polinomios: ( 3x + 8y ) ( 2x + 4y)

Resultado: ______________

12) Divide la siguiente expresión 24x3 - 16x2 + 8x =

4x Resultado: ______________

13) De la siguiente operación algebraica simplifica los términos semejantes, eliminando correctamente los signos de agrupación: { 5xy – (5 + 3xy) (2x - y) } =

Resultado: ____________________________________

INSTRUCCIONES: Marca con una X solamente una de las opciones con la que te identifiques.

Tota

lmen

te d

e

acuerd

o

De a

cuerd

o e

n

cie

rtos a

specto

s

Indecis

o

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esacuerd

o e

n

cie

rtos a

specto

s

Tota

lmen

te e

n

desacuerd

o

Me gustan las matemáticas, en general.

Desde la primaria, he comprendido lo temas matemáticos

Los temas matemáticos, en general me son de fácil comprensión

Las matemáticas son sólo para estudiantes destacados

Los conocimientos matemáticos que obtengo en la escuela tienen poca aplicación en la vida cotidiana

Del lenguaje común al lenguaje algebraico En álgebra, es muy importante saber expresar las proposiciones verbales comunes como proposición con lenguaje algebraico, observa como las literales sustituyen a los conceptos. Por ejemplo: Un productor agrícola siembra 5 hectáreas de frijol, más 8 hectáreas de maíz, más 3 hectáreas de calabacitas, tendríamos: 5f + 8m + 3c, ésta es una expresión algebraica compuesta por signos numéricos y letras, de donde:

5f representa las 5 hectáreas de fríjol. 8m representa las 8 hectáreas de maíz. 3c representa las 3 hectáreas de calabacitas.

“ALGO PRÁCTICO” Supón que un terreno en forma rectangular tiene una superficie (área) de 4 500 m2, sabiendo que el ancho mide 30 m. ¿Cuánto mide el largo? Como es sabido, para calcular el área de un rectángulo empleamos: área, es igual, al producto del largo por el ancho, de aquí surge la necesidad de utilizar un lenguaje más práctico para representar una expresión verbal en una expresión con símbolos, por ejemplo, en el caso anterior quedaría A = (L) (a) donde: A = representa el área.= 4500 m2 A, es una literal

L = representa el largo. = L es una Incógnita por resolver

a = representa el ancho. = 30 m a, es otra literal De esta misma forma existen muchas situaciones en las que se emplean literales para expresar cantidades “conocidas”, y debes tener siempre presente que si no se conocen los valores numéricos se llaman incógnitas y se representan por la x, y, z, “COMO UNA FAMILIA” La familia López González está integrada por cuatro personas: Juan Carlos, Julián, Carmen Alicia y Lucía. Si la clasificamos algebraicamente tenemos que: López González es la expresión algebraica. Juan Carlos Julián Carmen Alicia Lucía Si tomamos un término de la familia por ejemplo: Juan Carlos López González éste está formado por cuatro elementos que son:

Juan, Carlos, López y González.

¡Ahora bien! ¿Cuántos elementos encontramos en Julián y Carmen Alicia? Escríbelo. Julián _____________________________ Carmen Alicia ______________________

Son los términos de la expresión.

“DEL LENGUAJE COMUN AL LENGUAJE ALGEBRAICO”.

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

En álgebra es fundamental saber expresar las proposiciones verbales comunes, en proposición con lenguaje algebraico.(o matemático) Representa las siguientes expresiones verbales en expresiones algebraicas

EXPRESIÓN VERBAL

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

1. El peso de tu profesor

2. La suma de dos números

3. La diferencia de dos números

4. El producto de dos números

5. La mitad de un número más otro número

6. La tercera parte de la suma de dos números

7. El cuadrado de la diferencia de dos números

8. El cociente de dos números

Escribe la estrategia que utilizaste para pasar del lenguaje común al lenguaje algebraico una expresión.

AHORA DE MANERA INVERTIDA

“DEL LENGUAJE ALGEBRAICO AL LENGUAJE COMUN”

1. Analizar diferentes expresiones algebraicas y relacionarlos con el lenguaje común,

haciendo la expresión verbal correspondiente. 2. De las expresiones algebraicas siguientes, pásalas a lenguaje común:

a/2 + b =__________________________________________________ 3a - h = _________________________________________________ 2x = _____________________________________________________ 3 (a – b) = _________________________________________________ 2m – 4n = _________________________________________________

( a – c )2 = _______________________________________________

3. Integrados en equipos de 2 o 3 integrantes, hacer tres planteamientos sencillos de lenguaje algebraico a lenguaje común.

I. INSTRUCCIONES.- Escribe en lenguaje algebraico dentro del rectángulo de la derecha, las siguientes expresiones verbales.

a) El precio de 1m. de tela b) La leche que da una vaca c) La leche que dan 5 vacas d) El maíz que produce una hectárea de terreno, 2 hectáreas y 9

hectáreas

e) La suma de dos números f) La suma de dos números al cuadrado g) La 1/5 parte de la producción total de huevo en una granja

avícola.

II. INSTRUCCIONES: Identifica la expresión algebraica que corresponda a cada una de las expresiones verbales. El doble del cubo de un número: ( )

a) 2 a b) 2a3 c) a/2

Un número más el cuádruplo del mismo número es igual a 25: ( ) a) x + 4x = 25 b) x + x = 25 c) x + x/4 = 25 El cuadrado de un número disminuido en 8 es igual a la tercera parte de otro número.( ) a) 2m - 8 = 3n b) ( 2m - 8 ) = n/3 c) m2 - 8 = n/3

La mitad de un número más otro número ( )

a) a/2 + a b) a/2 - c c) a/2 + m

El cuadrado de un número más su mitad ( )

a) a/2 + a b) a2 + a2 c) a2 + a/2

I.- INSTRUCCIONES: Escribe en lenguaje verbal las siguientes expresiones algebraicas. a) a/4 + 5b = __________________________________________________ b) a - h = __________________________________________________ c) (x3 ) (y) = __________________________________________________ d) a - b = __________________________________________________ 2 e) 2( a ) (b)2 = __________________________________________________ f) 2m +9n = __________________________________________________ g) a2 – c2 = __________________________________________________ II. INSTRUCCIONES: Identifica la expresión verbal que corresponde a cada una de las siguientes expresiones algebraicas, colocando dentro del paréntesis la letra que corresponda a la respuesta correcta. 1. m/2 ( ) a) El doble de un número. b) El cuadrado de un número. c) La mitad de un número. 2. 2x + c ( )

a) El doble de la suma de dos números.

b) El doble de un número aumentado en otro.

c) La suma del doble de dos números.

3. b/4 - 5 ( )

a) La cuarta parte de un número disminuido en 5.

b) El cuádruplo de un número disminuido en 5.

c) La diferencia de la cuarta parte de dos números.

4. 2a + a2 ( )

a) El doble de un número más el mismo número

b) El doble de un número más su mitad

c) El doble de un número más su cuadrado

5. a/2 + b/2 ( )

a) La suma de la mitad de dos números

b) la suma del cuadrado de dos números

c) La mitad de un número más otro número

En forma individual determina una estrategia de solución para conocer lo que nos dice la expresión algebraica y expresarla en lenguaje común o coloquial.

Integrados en equipos, socializa las estrategias encontradas señalando coincidencias y diferencias.

Seleccionar una estrategia en cada equipo para exponerla al grupo.

Plantear por equipos las diferentes formas de representar el lenguaje algebraico al

lenguaje común. Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución. Realizar las actividades de aprendizaje correspondientes.

Plantear por equipos las diferentes formas de representar el lenguaje algebraico y de realizar problemas similares.

Plantear por equipos un problema semejante al grupo para su solución. Presentar al grupo los trabajos desarrollados en el equipo.

Las matemáticas y en especial el álgebra, fueron desarrolladas por personas que trataban de resolver problemas reales y de describir el mundo que los rodeaba. Incluso en la actualidad se continúa con el desarrollando de las matemáticas y el álgebra, es el lenguaje que se utiliza para expresarlas.

Expresión Algebraica

En la vida diaria es frecuente el uso de símbolos para simplificar anotaciones y facilitar las operaciones. Como el signo $ que significa pesos, el símbolo que significa que nos aproximamos a una curva, el símbolo °, que significa grados y otros que vemos en cada momento; pero los más usados son simples abreviaturas en las que la primera letra de una palabra reemplaza a toda la palabra, por ejemplo m (metro), l (litro), r (radio), c.p. (código postal), Ha (hectárea), P.M. (pasado meridiano) y varios más que son de uso común. En este curso se pretende primero, que te familiarices con conocimientos más abstractos que la aritmética, que solo utiliza números; y resuelvas problemas en donde se presentan valores por medio de letras. ¿Que es Álgebra? Cuando las cantidades son representadas por medio de letras para lograr la generalización, se habla de Álgebra. El hombre al contextualizar abstractamente el número, después de muchos siglos que empezara a medir y contar, crea las bases para la formación de la ciencia algebraica; por lo tanto Álgebra es la rama de las matemáticas que generaliza los métodos y procedimientos para efectuar cálculos y resolver problemas. Expresión algebraica Una expresión algebraica es el conjunto de números y letras relacionadas (“separadas”) por los símbolos de operación suma, resta, multiplicación, división, potencia, raíces, etc.; que sirve como modelo para representar algunos problemas de la vida real, como esto; a2 – 2ab + 3b3 o también A = (b) (h) / 2 Las expresiones algebraicas las podemos clasificar según el número de términos algebraicos que posean: a) Monomio: Expresión algebraica que consta de un sólo término, ejemplos: -8p3 ; 1 m3 n2 ; 4z3, etc. 3 3w b) Binomio: Expresión algebraica de dos términos, ejemplos: 5x - 1; 3x2 + 2mx; 4z2 + 5x2, etc. 3 y2 c) Trinomio: Expresión algebraica de tres términos, ejemplo: 2x + 3y - 5, 3x2 - 5x + 17, 1 m2 + 3 mn - n2, etc. 16 4 d) Polinomio: Expresión algebraica de más de un término, ejemplos: x + 2, 7y2 + 4x -y3, 4m -7n - 5 mn + 1, etc.

Elementos de un término algebraico Un término algebraico está formado por máximo cuatro elementos algebraico: el signo, coeficiente (numérico o literal), literal y exponente. No necesariamente en un término algebraico se tienen que escribir todos los elementos, puesto que algunos se sobre entienden. Analiza las siguientes expresiones algebraicas y definir cuantos términos algebraicos tienen.

a) 5x ___________________________

b) 3x + x2 y - 1/3 + z _______________

c) 7y + 2m2 ______________________

d) 8m - 7/4n + 2x2 ________________

Utilizando los signos de agrupación realiza dos expresiones algebraicas sencillas.

_________________________ y __________________________ Literal e Incógnita Además de los números usados en aritmética, en el álgebra se usan letras. Una letra puede representar cualquier número conocido (primeras letras del abecedario a, b, c, d, …) estas letras se llaman LITERALES y si los números son desconocidos se llama INCÓGNITAS y se representan por las últimas letras del abecedario u,v,x,y,z. Coeficiente Es el factor numérico de una expresión o término algebraico, en la expresión 3a el “3” es el coeficiente numérico y “a” es la literal; en la expresión “ x ” 1 es el coeficiente numérico y “x” es la literal. En el producto ab , el factor a es coeficiente del factor b, e indica que el factor b se toma como sumando a veces; o sea ab = b+b+b+b… a veces. Este es un coeficiente literal. Cuando una cantidad no tiene coeficiente numérico, su coeficiente es la unidad. Así, b equivale a 1b. Exponente El exponente es el número “pequeño” que se encuentra “arriba” de la literal o del número; e indica las veces que la base (sea número o literal) se toma como factor (o veces que se va a multiplicar), en la expresión 4a ; el exponente de “a “ es uno. Si la expresión es 7x3 ; el exponente de x es tres. Valor numérico de las expresiones algebraicas. El valor numérico de una expresión algebraica es el resultado que se obtiene al sustituir las literales por valores numéricos y efectuar las operaciones indicadas. Las operaciones dentro de un símbolo de agrupación deben efectuarse antes que

ninguna otra. ¿Como obtener el valor numérico de a2 – 2ab + 3b3 si para a = 3, b = 4? Se sustituyen los valores de a y b ------ 32 – 2 (3)(4) + 3(43) ---------= 9 – 24 +192 = 177 Variables y constantes Variable es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir, puede cambiar de valor. Si tenemos la función y = 2x y si le asignamos valores a “x”, resulta que el valor de “y” cambiará conforme “varía” el valor de “x”. En cambio, CONSTANTE es cualquier letra o símbolo con un valor fijo, es decir, no puede cambiar su valor. Por ejemplo los números ( 2, 9, 5, …) son

constantes porque tienen un solo valor y no pueden variar. El (“pi”) es una constante que vale aproximadamente 3.1416.

Reflexiona el siguiente esquema

¿CUÁNDO SON TÉRMINOS SEMEJANTES? Distinguir los términos semejantes es muy importante, porque en álgebra sólo podemos efectuar las operaciones de suma y/o resta, cuando los términos son semejantes; a esto se le llama reducción de términos semejantes. En cada una de las siguientes expresiones subraya los términos semejantes: a) 7m2 , 6m3 , 4m2 , 2m , 11m2

b) 7a2 b, 8ab2, 5a2 b, 3a4 -10a2 b

c) 3x2 y, 8xy2, 14x3 y, -8x3 y - yx3

Analiza detenidamente lo siguiente:

a) -7m es semejante a: m, -5m, 1 m, 2 m

4 b) 3 ab2 c3 es semejante a: -11ab2 c3, 9b2 ac3, 2 c3ab2. 3

Expresión algebraica está formada

por…

Términos algebraicos y estos, se forman

por…

Elementos algebraicosque son...

Signo Coeficiente Literal y Exponente

c) -7m2, -8m, 3 m3 no son términos semejantes. 5 d) 7a3 - 7b3 + 7 c3 no son términos semejantes. ¿Podrías decir por qué razón los términos de los ejemplos c) y d) no son términos semejantes?: c): ________________________________________________________ d): _________________________________________________________

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE:

I.- INSTRUCCIONES: De las siguientes expresiones algebraicas: (Coloca sobre las líneas la respuesta correcta ) ¿Cuántos términos tiene? ¿Cuáles son semejantes? a).- ax + 7ax - 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .___Tres____,. . . . ______ax ; 7ax___ b).- x2 + x + 3x2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ___________, . . . _________________ c).- xy + 5z + 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .___________, . . . . ________________ d).- y3 – x2 + 2x3 – y3 . . . . . . . . . . . . . . .. . . . ___________ . . . ._________________ e).- pq2 – 9pq2 + p3 – 3p3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ___________ . . . . .___________________

Escribe con tus palabras ¿Cuándo un término es semejante a otro?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

¿CÓMO REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES?

La reducción de términos semejantes es una operación que consiste en convertir en un sólo término, dos o más términos semejantes en una expresión (si es que los hay); lo cual lo hacemos sumando y/o restando los coeficientes numéricos aritméticamente, añadiendo al resultado la literal o literales con su respectivo exponente. Realiza la reducción de los siguientes términos semejantes: 7m2 + 6m3 - 4m2 + 2m - 11m2 = __________________________ 7a2 b + 8ab2 - 5a2 b + 3a4 = _______________________________

3x2 y + 8xy2 + 14x2 y - 18x2 y = _____________________________ 3a + 5b - 5a + 4b - 13a = __________________________________ 3x2 y - 12xy2 + 5xy2 + 6x2 y + 9xy2 = ________________________

5 m2 + 2 m2 - 1 m = ______________________________________ 3 5 2

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE I.- INSTRUCCIONES: Efectúa la siguiente reducción de términos algebraicos a).- 3a + 2b + b + 5a = . . . .. . . . . . . : _____________________________________ b).- 2xy + xy – 6xy =. . . . . . . . . . . . : _____________________________________

¿ A l

g e b

a r

c).- 9x3 + 9y3 + 8x – 4y3 = . . . . . . . .:_____________________________________ d).- 3x3+ 3x2 – 4x3 + 9x2 = . . . . . . . .: ____________________________________ e).- 6a2 + 9b + 5a2 – 7b = . . . . . . . . : ____________________________________ II.- INSTRUCCIONES: De las siguientes expresiones algebraicas realiza la reducción de términos semejantes, Colocando sobre las líneas la respuesta correcta. a).- 2ax + 7ax - 5ax + 3ax – 9ax . . . . . . . . . .______________________________, b).- x2 + 2x + 3x2 – 3x + x = . . . . . . . . . .....______________________________, c).- 4m3n2 – 2m2n - 5m3n2 + 2m2n = . . . . . . . . .______________________________, d).- 10xy - 5z – 9xy + 4z + z = . . . . . . . . . . . . .______________________________, e).- 4ab + 3bc – 5ab + 8bc – 10bc + ab .. . . . ______________________________,

LECTURA: EL HOMBRE QUE CALCULABA

Hacía pocas horas que viajábamos sin detenernos cuando nos ocurrió una aventura digna de ser relatada, en la que mi compañero Beremiz, con gran talento, puso en práctica sus habilidades de eximio cultivador del Álgebra. Cerca de un viejo albergue de caravanas medio abandonado, vimos a tres hombres que discutían acaloradamente junto a un hato de camellos. Entre gritos e improperios, en plena discusión, braceando como posesos, se oían exclamaciones: -¡Que no puede ser! -¡Es un robo! -¡Pues yo no estoy de acuerdo! El inteligente Beremiz procuró informarse de lo que discutían.

-Somos hermanos, explicó el más viejo, y recibimos como herencia esos 35 camellos. Según la voluntad expresa de mi padre, me corresponde la mitad, a mi hermano Hamed Namur una tercera parte y a Harim, el más joven, solo la novena parte. No sabemos, sin embargo, cómo efectuar la partición y a cada reparto propuesto por uno de nosotros sigue la negativa de los otros dos. Ninguna de las particiones ensayadas hasta el momento, nos ha ofrecido un resultado aceptable. Si la mitad de 35 es 17 y medio, si la tercera parte y también la novena de dicha cantidad tampoco son exactas ¿cómo proceder a tal partición? -Muy sencillo, dijo el Hombre que Calculaba. Yo me comprometo a hacer con justicia ese reparto, mas antes permítanme que una a esos 35 camellos de la herencia este espléndido animal que nos trajo aquí en buena hora. En este punto intervine en la cuestión. -¿Cómo voy a permitir semejante locura? ¿Cómo vamos a seguir el viaje si nos quedamos sin el camello? -No te preocupes, Bagdalí, me dijo en voz baja Beremiz. Sé muy bien lo que estoy haciendo. Cédeme tu camello y verás a que conclusión llegamos. Y tal fue el tono de seguridad con que lo dijo que le entregué sin el menor titubeo mi bello jamal, que, inmediatamente, pasó a incrementar la cáfila que debía ser repartida entre los tres herederos. -Amigos míos, dijo, voy a hacer la división justa y exacta de los camellos, que como ahora ven son 36. Y volviéndose hacia el más viejo de los hermanos, habló así: -Tendrías que recibir, amigo mío, la mitad de 35, esto es: 17 y medio. Pues bien, recibirás la mitad de 36 y, por tanto, 18. Nada tienes que reclamar puesto que sales ganando con esta división. Y dirigiéndose al segundo heredero, continuó: -Y tú, Hamed, tendrías que recibir un tercio de 35, es decir 11 y poco más. Recibirás un tercio de 36, esto es, 12. No podrás protestar, pues también tú sales ganando en la división. Y por fin dijo al más joven: -Y tú, joven Harim Namur, según la última voluntad de tu padre, tendrías que recibir una novena parte de 35, o sea 3 camellos y parte del otro. Sin embargo, te daré la novena parte de 36 o sea, 4. Tu ganancia será también notable y bien podrás agradecerme el resultado. Y concluyó con la mayor seguridad: -Por esta ventajosa división que a todos ha favorecido, corresponden 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado ( 18 + 12 + 4 ) de 34 camellos. De los 36 camellos sobran por tanto dos. Uno, como saben, pertenece al Bagdalí, mi amigo y compañero; otro es justo que me corresponda, por haber resuelto a satisfacción de todos el complicado problema de la herencia. -Eres inteligente, extranjero, exclamó el más viejo de los tres hermanos, y aceptamos tu división con la seguridad de que fue hecha con justicia y equidad. Y el astuto Beremiz –el Hombre que Calculaba- tomó posesión de uno de los más bellos jamales del hato, y me dijo entregándome por la rienda el animal que me pertenecía: -Ahora podrás, querido amigo, continuar el viaje en tu camello, manso y seguro. Tengo otro para mi especial servicio. Y seguimos camino hacia Bagdad.

¿Puedes explicar matemáticamente lo que sucedió?

¡Hazlo pues!

Suma y resta de polinomios: Para sumar dos o más expresiones algebraicas del tipo que sea, monomio o polinomio, se colocan los términos semejantes uno a continuación del otro, respetando los signos o en columna si son varios y se reducen los términos semejantes, si los hay

Sumar: 3x2, -2x + 1, - 3x -2x2 + 2 Planteamiento: Se escriben las expresiones entre paréntesis y conectadas entre si con el signo de la suma (+)

( 3x2 ) + ( -2x + 1) + (- 3x -2x2 + 2) = Se eliminan los paréntesis:

3x2 - 2x + 1 - 2x2 - 3x + 2 Se reducen los términos semejantes, si los hay: Por lo tanto: ( 3x2 ) + ( -2x + 1) + ( - 2x2 - 3x + 2 ) = x2 - 5x + 3 Para restar dos expresiones algebraicas, se debe tomar en cuenta que intervienen dos cantidades, la primera que se escribe, es el minuendo y es la cantidad a la que se le va a quitar la segunda llamada sustraendo. El planteamiento de una resta es (minuendo) menos (sustraendo) igual a diferencia. Ejemplo Restar 3a - 2b + 5c “de” 7a + 3b - 2c Planteamiento: ( 7a + 3b - 2c ) - ( 3a - 2b + 5c ) = Eliminación de paréntesis: 7a + 3b - 2c - 3a + 2b - 5c = Se reducen términos semejantes,: 4a + 5b - 7c Por lo tanto: Restar 3a - 2b + 5c “a” 7a + 3b - 2 = 4a + 5b - 7c

Otro ejemplo: “a” -5x + 6y – 3z Restar 7y – 10x – 5z Planteamiento: ( - 5x + 6 y – 3z ) – ( 7y – 10x – 5z ) Eliminación de paréntesis - 5x + 6y – 3z – 7y + 10x + 5z Se reducen términos semejantes, Por lo tanto: “a” -5x + 6y – 3z Restar 7y – 10x – 5z = 5x – y + 2z

¿Te quedó entendible? Entonces ¡Adelante!

Operaciones fundamentales

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

I. INSTRUCCIONES: Reducir términos semejantes.

1). 3a + 2b + a + b = _____________________________

2). 7xy - 5xy - 8yx = _____________________________

3). 2 m + 1 n + 1 m - 2 n = _____________________________

3 5 4 7

II.- INSTRUCCIONES: Sumar las siguientes expresiones algebraicas.

1). 3x - 7y - 4z ; - 5z + 4 y - 7x ; - 3y + 4z - 4x

Respuesta__________________ 2). - 6a + 4b + 11c ; - 4c - 4b + 7a ; - 7b - 15c – a

Respuesta_________________

3). 2a2 b - ab2 + 5ab ; - 3ab - 4a2 b + 7ab2 ; a2 b - 5ab2 + 3ab

Respuesta_________________ 4). -10x +5x +8 + 12x2 – 9x – 1

Respuesta_________________ III.- INSTRUCCIONES: Restar las siguientes expresiones algebraicas.

1). Restar 5m - 8n - 4p “a” - 3n - 4p + 6m = __________________________ 2). Restar - 8a + 7x - 3m “a” 3a - 8m - 5x = ___________________________ 3). “a” 4x - 3y + 2 restar 5x + 7y – 6 = _________________________________ 4). “a” 7a - 4b - 5c restar 4c - 6a + 8b = _________________________________

BASES Y EXPONENTES

¿Te atreves a resolver el siguiente problema? Se deja caer una pelota desde una altura de 144 centímetros. Cada vez que toca el suelo, la pelota rebota hasta una altura de dos tercios ( ⅔ ) de la que alcanzó en su rebote anterior (ver la figura siguiente) ¿Cuál es la altura a la que se encuentra después de que ha tocado el suelo 10 veces?

Respuesta correcta: ___________________

¿Explica por qué?_________________________________________________________

si no tienes la respuesta sigue leyendo y aprendiendo ¿Qué es una base, un exponente y una potencia? Con el siguiente ejemplo vamos a contestar dichas preguntas 82

El 8 es la base, es decir, el número que se repite en la multiplicación. El pequeño número que se escribe de lado derecho arriba se llama exponente.

La base y el exponente juntos se llaman POTENCIA En una expresión de potencia xn, el exponente entero positivo n indica el número de factores de la base x. Es decir., xn = x · x · x · x · . . . x con n factores de x. Obtención de bases y aplicación de exponentes Identifica cada base; luego escribe la expresión en forma de factores y multiplica.

a) 52 b) (-2)4 c) -24 Solución a) La base es 5; 53 = 5 · 5 · 5 = 125 b) La base es – 2; (-2 )4 = (-2) (-2) (-2) (-2) = 16 c) La base es 2, no -2; – (24)= – ( 2 · 2 · 2 · 2 ) = –16

Los matemáticos han convenido en colocar las bases con signos negativos entre paréntesis. Así el signo negativo en la expresión – 24 no es parte de la base.

Cuando vayas a aplicar un exponente a una base negativa, Coloca la base entre paréntesis: (–4)2 = (–4 ) (–4 ) = 16

Un signo negativo antes de una base significa “ el inverso de”, no una base negativa: –42 = el inverso de 42 = – (4 · 4 ) = – 16

Ahora si te toca a ti realizar las siguientes actividades de aprendizaje e identificar cada base; luego escribe la expresión como factores y multiplica: Escribe tus respuestas

a) 44(⅓)5 = _________ b) (-3)4 =________ c) -34 =_______ d) (-6)2 ( ½ )3=___________ La propiedad de base

Un exponente afuera de un paréntesis se aplica a todas las partes de un producto o un cociente que éste dentro de los paréntesis:

(x · y )n = xn · yn

Utilizamos el nombre de propiedad de bases porque repetimos la base n veces, lo cual produce n factores de cada parte de la base. Utilizando la propiedad de base de los exponentes, resolvamos las siguientes potencias: Multiplicación y división de bases semejantes Busca patrones en las multiplicaciones y divisiones de los siguientes dos ejemplos, para ver si puedes predecir las reglas. ¡¡¡ANIMO TU PUEDES!!! a) (x4) ( x3) = ( x · x · x · x ) ( x · x · x ) = x7 b) x1 · x6 = x·x·x·x·x·x·x = x7 Contesta la siguiente pregunta: ¿Que otras expresiones con exponentes producirán x7?

n n

n

x x

y y

3

2

2

3

2)

3

)( 3 )

)4

)2(3 )

a

b x

xc

d a

3

3

2 2 2

2 2

2

3 3 3

2 8

3 27

( 3) . 9

4 16

2.3 . 54

x x

x x

a a

________________________________________________________________________ ¿Qué sucede con los exponentes cuando multiplicamos?__________________________ Ahora utilizando la propiedad de simplificación de las fracciones, vamos a escribir las siguientes expresiones con una sola base y exponente.

Tú resuelve aquí el siguiente:

___________________________________________________ ¿Qué otras expresiones con exponentes producirían x2 ? _______________________________________________________________________ ¿Que sucede con los exponentes cuando dividimos? _____________________________

MUCHAS FELICIDADES SI CONTESTASTE ACERTADAMENTE, si no, ponle mas ganas y atención Las propiedades de la multiplicación y división con bases semejantes son:

Para multiplicar expresiones, conserva la base y suma los exponentes xa · xb = x a+ b Para dividir expresiones, conserva la base y resta los exponentes:

Propiedad de las potencias Vamos a simplificar las expresiones siguientes, utilizando la definición de los exponentes positivos enteros para escribir cada expresión sin los paréntesis. a) ( x3 )2 = ( x3 ) ( x3 ) = x 3+3 = x 6 b) ( 2x2 )3 = (2x2) (2x2) (2x2) = 2 · 2 · 2 · x2 + 2 +2 = 8x6 resuelve el siguiente: (0.5y4)2 = _________________________________= _________

52

3

42

2

) . . . . 1.1.1. .

) . . . 1.1. .

x xxxxx x x xa x x x x x

x xxx x x x

x xxxx x xb x x x x x

x xx x x

aa b

b

xx

x

7

5)

xc

x

Muy bien, Felicidades; ahora podemos resumir la propiedad de las potencias así:

Al aplicar un exponente a una expresión elevada a una potencia, multiplicamos los exponentes: ( x a )b = x (a ) ( b )

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Simplifica las siguientes expresiones: _____________________ ___________________________ ____________________ _________________________ ____________________ ____________________________ _________________________ ________________________

No se te olvide resolver el problema inicial “la altura de la pelota que rebota”

8

5

6 7

26

4 3

)

) .

)

)

aa

a

b a a

c b

d x y

3

2 3

2 3

32 3

25 6

2

)

)

)

3)

e a b

x yf

xy

a bg

ab

x yh

xy

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE POLINOMIOS

“EL SR. RODRIGUEZ Y SUS DOS TRABAJOS”

Las operaciones algebraicas nos ayudan a resolver problemas de nuestra vida cotidiana. Como en el caso del…

“Sr. Rodriguez que trabaja en dos empresas diferentes. En una de ellas tiene un sueldo de 2x pesos diarios y en la otra 5x pesos diarios. Como esta persona

desafortunadamente no sabe contar, necesita que le ayudes y le digas”:

¿Cuánto le pagaron en sus dos “Chambas” por una semana de trabajo?_________________

¿Cuántos días necesita trabajar para ganar 441x pesos?___________

¿Explica brevemente, como encontraste la solución?

1) Analizar el material escrito en la antología relacionado con la multiplicación y división algebraica.

2) Estudiar otros materiales impresos para realizar ejercicios de multiplicación y división.

3) Contrastar los procedimientos utilizados y saberes recuperados del problema planteado.

Con la finalidad de realizar un cierre a este pequeño problema analiza tus resultados obtenidos y consénsalos con los de tus compañeros de asesoría.

Plasmar las conclusiones por equipo en hoja rota folio y presentarla para su análisis y discusión grupal.

Resolver otros ejercicios o actividades de aprendizaje.

Propiciar la libre expresión de las emociones y sentimientos generados durante el desarrollo del tema.

PRODUCTOS O MULTIPLICACIÓN ALGEBRAICA: Para realizar la multiplicación de polinomios se aplican las leyes de los exponentes, ley de los signos, y la propiedad distributiva. 1. Ley de los Exponentes: a) am · an = am + n (Se suman los exponentes) b) (am ) n = am n (Se multiplican los exponentes) c) (ab) m = am bm (Se multiplican los exponentes)

2. Ley de los signos: + por + = + - por - = + + por - = - - por + = - 3. Ley Distributiva: La cual nos indica que el monomio se multiplica por cada uno delos

términos del polinomio. a ( b + c ) = ab + ac monomio polinomio En álgebra para indicar multiplicación generalmente usamos paréntesis y punto · ,por ejemplo. 5 X 4 en aritmética (5) (4) y 5 · 4 en álgebra Al desarrollar la multiplicación de expresiones algebraicas procedemos a lo siguiente. Multiplicar (4a) (5ax) a) Multiplicamos los coeficientes: (4) (5) = 20 b) Ponemos las letras una al lado de la otra, (indicando multiplicación). (a) (ax) c) Aplicamos las leyes de los exponentes: en este caso a1 · a1 = a( 1 + 1 ) d) Por lo que la solución es: 20 a2 x PRODUCTO DE MONOMIOS: Para multiplicar dos monomios tomarás en cuenta dos aspectos importantes: las leyes de los exponentes y la ley de los signos. Ejemplos: 1. (3x ) (4x ) = (3) (4) (x) (x) = 12x2

2. (- 7m2 n3 ) (10mn4 ) = - 70 m3 n7

3. (- 8ab2 ) (- 2a3 b) = 16a4 b3

4. (- 3 x3 y5 ) ( 1 xy2 ) = - 3 x4 y7 2 5 10

Para realizar la multiplicación de un monomio por un polinomio: se aplica la propiedad distributiva, leyes de los exponentes, ley de los signos. Ejemplos: Monomio polinomio 1) 5x ( 3x2 - 6x + 7 ) = 15x3 - 30x2 + 35x

Solución: (5x) (3x2 ) = 15x3 (5x) (-6x) = -30x2 = 15x3 - 30x2 + 35x (5x) ( 7 ) = 35x

2) 6xy ( 3x3 y2 - 7xy + 2 ) = 18x4 y3 - 42x2 y2 + 12xy

3) 3 x ( 1 xy2 - 2 y ) = 3 x2 y2 - 6 xy 5 2 3 10 15 Simplificado = 3 x2 y2 - 2 xy 10 5 PRODUCTO DE DOS POLINOMIOS: Para realizar esta operación será necesario que utilices las leyes anteriores. Ejemplo: 1) ( 3x + 8y ) ( 2x + 4y ) = 6x2 + 28xy + 32y2

Solución: Podemos obtenerla de dos maneras: 1º Desarrollo Horizontal. a) Se multiplica cada término del primer polinomio por todos los términos del segundo polinomio y se procede igual para el segundo, tercero. Términos del primer polinomio. ( 3 x + 8y ) ( 2x + 4y ) = ( 3x ) ( 2x ) + ( 3x ) ( 4y ) + ( 8y ) ( 2x ) + ( 8y ) ( 4y ) = = 6x2 + 12xy + 16xy + 32y2

b) Reducir términos semejantes: 6x2 + 28xy + 32y2

2º Desarrollo en columna. Productos Parciales. 3x + 8y 2x ( 3x + 8y ) = 6x2 + 16xy 2x + 4y 4y ( 3x + 8y ) = 12xy + 32y2 16xy + 12xy = 28xy

6x2 + 16xy

+ 12xy + 32y2

6x2 + 28xy + 32y2

NOTA: Se ordenan en columna los términos semejantes y se reducen. Ya conociste como multiplicar: monomio por monomio, monomio por polinomio y polinomio por polinomio. Ahora puedes realizar cualquier tipo de multiplicación algebraica; realizando las: ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. I. Encuentra los productos de las siguientes expresiones algebraicas: 1. (3a2) (5a2+3a2+2a2) =_____________________________________

2. (xy2) (-5x3y3) =____________________________________ 3. ( x3 - 3x4 + 5x2 ) ( 5x2 + 8x - 7 ) =____________________________________ 4. 2ab (a2+2a-3b+5) =____________________________________ 5. (2x - 3 ) ( 4x2 + 6x + 9 ) =____________________________________ 6. (-2m) (-8m2) =____________________________________ 7. ( mn3 + 1 ) ( mn3 - 1 ) =____________________________________ 4 5 8. (-7a) (-1ab) =____________________________________ 6 3 9. 4xy (1x2-1xy3+4) =____________________________________ 2 4 II.- Observa las siguientes figuras y calcula sus áreas, realizando las multiplicaciones correspondientes 3x 4x 2a3 x+1 8x Respuestas:____________ ____________ ___________________ COCIENTE O DIVISIÓN DE POLINOMIOS:

Para realizar la división de polinomios seguimos un procedimiento similar al utilizado en la multiplicación, sin olvidar las leyes de los exponentes y la ley de los signos: 1. Ley de los exponentes:

A) am ÷ an = am-n (Se restan exponentes) esta ley presenta tres casos:

a) a5 ÷ a2 = a3 exponente positivo

b) a8 = a( 8 - 8 ) = a0 = 1 exponente cero a8 c) a3 = a( 3 - 7 ) = a-4 = 1 exponente negativo a7 a4 2. Ley de los signos:

+ ÷ + = + - ÷ - = +

+ ÷ - = - - ÷ + = -

DIVISIÓN DE MONOMIOS:

Ejemplo 1: Dividir ( 36m4 ) ÷ ( 9m2 ) ó también lo podemos expresar 36m4

9m2 Solución: 4m2 Explicación:

a) Dividimos los coeficientes ( 36 ) ÷ ( 9 ) = 4

b) Dividiendo las literales, utilizando las leyes de los exponentes. m4 = m4- 2 = m2 m2 c) Entonces el resultado es: 4m2 Ejemplo 2: Dividir 6ab2 = 3ab 2bc c

La división de monomios también es común expresarla en columna, en forma racional (en fracción común).

Explicación: a) Dividimos los coeficientes ( 6 ) ÷ ( 2 ) = 3

b) Dividir: a = a , b2 = b2-1 = b1 1 = 1 1 b c c

Entonces el resultado es: 3ab c DIVISIÓN DE UN POLINOMIO ENTRE UN MONOMIO: Se aplica la propiedad distributiva de la división; es decir, cada término del polinomio se divide entre el monomio, utilizando las leyes de los exponentes y de los signos. Ejemplo 1: Dividir 24x3 - 16x2 + 8x = 4x Recordarás que hay que dividir cada término del polinomio entre el monomio.

= 24x3 - 16x2 + 8x = 6x2 - 4x + 2 4x 4x 4x Ejemplo 2: Dividir 45a3b2 + 15ab2 = 45a3b2 + 15ab2 = 3a2 + 1 15ab2 15ab2 15ab2 Ejemplo 3: Dividir 280x4y3 - 160x3y2 + 40x2y2 = 280x4y3 - 160x3y2 + 40x2y2 = -7x2y + 4x - 1 -40x2y2 - 40x2y2 -40x2y2 -40x2y2

DIVISIÓN DE DOS POLINOMIOS: Ejemplo: Dividir 7x + x2 + 10 x + 2 Solución: a) Se ordena el dividendo y el divisor con relación a una misma letra.

x2 + 7x + 10 x + 2 b) Se escribe otra vez el problema de la división. (cociente) x + 2 x2 + 7x + 10 (divisor) (dividendo) c) Se divide el primer término del dividendo (x2) entre el primer término del divisor (x), el resultado será el primer término del cociente. X

x2 = x entonces x + 2 x2 + 7x + 10 x d) El primer término del cociente (x) se multiplica por todo el divisor (x + 2) y el producto obtenido (x2 +2x) se resta del dividendo colocándola debajo de su término semejante para su reducción (pasa cambiando el signo). x (x + 2) = x2 +2x x x + 2 x2 + 7x + 10 -x2 - 2x . 5x + 10 (residuo) e) Dividir el primer término del residuo 5x entre el primer término del divisor (x). El producto es el segundo término del cociente con su signo. x + 5 5x = +5 (resultado) entonces x + 2 x2 + 7x + 10 x -x2 - 2x . 5x + 10

f) El segundo término del cociente (5) se multiplica por todo el divisor y el producto se resta del dividendo, cambiando los signos. El producto se coloca debajo de su término semejante para su reducción (como en el paso d). ( 5 ) ( x ) = 5x x + 5 ( 5 ) ( 2 ) = 10 entonces x + 2 x2 + 7x + 10 - x2 - 2x . 5x + 10 -5x - 10 residuo 0 g) Efectuar la comprobación de la división. cociente por divisor = dividendo ( x + 5 ) ( x + 2 ) = x2 + 7x + 10 Como ya conoces los diferentes tipos de división algebraica, te reto a realizar correctamente las siguientes: ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. I. Realiza las siguientes divisiones.

1). (-18a3b2) ÷ (6ab) = ________________________________________

2). 4x2y -6x4y3 -8x5y2+10x =________________________________________ 2xy2

3) ( - 2 x3y5) ÷ (4 xy) =________________________________________

5 5 4) 3xyz+6xyz2-9x3y5z7 =________________________________________ - 3xy 5). 9x3 - 3x2 - 3x + 4 =________________________________________

3x + 2 6). 2x2 + 13x + 15 =________________________________________ x + 5 7) 2x4 - 8x3 + 19x2 - 33x + 15 =___________________________________ x2 - x + 5

+++pend….

PRODUCTOS NOTABLES

“EL ÁREA DE TRES TERRENOS” 1. Te presentamos el siguiente reto: “Tres amigos, Luis, Carlos y Josefina tienen cada uno un terreno y lo midieron para el área de su respectivo terreno. El problema es que no tenían cinta métrica y con una cuerda que encontraron, hicieron DOS medidas en cada terreno, para después medirla en su casa con la cinta. El terreno de Luis midió (7m.+ 3m) de largo y (7m.+ 3m) de ancho; El de Carlos midió (8m. + 5m) de largo y (8m. + 4m) de ancho; el de Josefina midió (9m. + 2m) de largo y (9m. –

2m) de ancho”.

a) Utiliza lápiz, regla y una hoja cuadriculada para cada terreno. b) Mide en centímetros las dos medidas de largo y las dos de ancho señaladas para cada terreno. c) Observa cada terreno y realiza una cuadricula en cada medida para que obtengas las áreas

correspondientes. ¿Son iguales los terrenos? Si o No. ________ Calcula el área de cada terreno y señala: Cuanto midió el terreno de Luis? ______ cuanto el de Carlos?_________ y el de Josefina?____________ Ahora representa con diferentes coeficientes y literales cada una de las medidas de los lados de los tres terrenos y así puedas comparar el contenido del tema de productos notables. ¿De que otra manera se puede realizar dicho calculo?

1) Operar la multiplicación de binomios y analizar los contenidos del tema de productos notables de las páginas subsecuentes. 2) Presentar los cálculos realizados en equipos de 3 a 4 estudiantes. 3) En una plenaria en equipos presenta y socializa los resultados obtenidos, para analizar diferentes estrategias de solución al reto presentado. 4) Ejemplifica, utilizando una cuerda en la cancha de usos múltiples de la escuela, repartidos

en equipos cada uno de los binomios señalados.

Plasma tus conclusiones por equipo en hoja rota folio y preséntalo para su análisis y discusión en el grupo.

Plantea por equipos un reto semejante al grupo para su solución.

Resuelve las actividades de aprendizaje de tú Guía didáctica ¿QUE SON LOS PRODUCTOS NOTABLES?

Productos notables son ciertos casos de multiplicaciones de polinomios y se pueden obtener directamente aplicando reglas notables, que nos permiten llegar al resultado sin necesidad de realizar las multiplicaciones parciales.

EL PRIMER PRODUCTO NOTABLE QUE TRATAREMOS ES EL...

BINOMIOS CONJUGADOS o

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (a + b ) ( a - b) Los primeros términos son idénticos y los segundos sólo son diferentes en el signo ó dicho de otra manera: En éste binomio existe un término común que corresponde al termino que tiene la misma literal e igual signo (en el ejemplo es “a” y su signo (+) ) y otro término semejante pero simétrico, que tiene igual literal pero signo diferente ( es “b” con signo diferente uno + b y otro – b). Analiza detenidamente el siguiente esquema donde utilizaremos literales (letras) y números.

Con literales ( a + b ) ( a – b ) y con números ( 4 + 2 ) (4 – 2 ) Términos Comunes a1 = 4 (Signos iguales) a2 = 4

Términos semejantes b1 = 2 (signos diferentes) - b2 = - 2

¡Ahora veamos!

a (4) - menos - b (-2 )

a (4) a2 -ab

16 - 8 con letras = a2 – ab + ab – b2 + más con números = 16 – 8 + 8 - 4 b (2) +ab - b2 se reducen términos semejantes (-ab + ab)

+8 -4 o ( - 8 + 8)

a2 se elimina

16 (-ab , –8) Con letras = a2 – b2

Con números = 16 – 4 = 12m2

Se elimina - b2

(+ ab , + 8 ) - 4

En base en lo anterior tenemos con letras (a + b ) (a – b) = a2 – b2 que en los binomios conjugados: con números (4 + 2) ( 4 – 2) = 16 – 4 o sea = 12 m2

Comenta con tus compañeros y asesor los aspectos que no comprendas, lo que te llame más la atención y utiliza el ejemplo para relacionarlo con algún hecho real de la vida cotidiana.

En conclusión: La suma de dos cantidades multiplicada por su diferencia, también conocida como binomios conjugados es igual al cuadrado del minuendo (en la diferencia) menos el cuadrado del sustraendo.

Por ejemplo : al desarrollar: Diferencia a) ( 2m + 9 ) ( 2m - 9 ) = 4m2 - 81 minuendo sustraendo

b) ( 2a - 1 ) ( 1 + 2a ) = 4a2 - 1 minuendo sustraendo

c) ( a3 - b2 ) ( a3 + b2 ) = a6 - b4 minuendo sustraendo

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. Determine el producto de los siguientes binomios conjugados aplicando las dos reglas anteriores: 1. ( x + y ) ( x - y )= 6. ( 6x2 - m2x ) ( 6x2 + m2x )=__________

2. ( m - n ) ( m + n ) =____________ 7. ( 11 - ab ) ( 11 + ab )= _____________

3. ( x2 + a2 ) (x2 - a2 )=____________8. ( x2 + 13 ) ( 13 - x2)= ______________

4. ( 3a + 4b ) ( 3a - 4b )= __________ 9. ( 3ab - 5b2 ) ( 3ab + 5b2 )= __________

5. ( 1 - 8xy )( 1 + 8xy )=_________ _10. ( ax - 6 ) ( 6 + ax )= _______________

EL SIGUIENTE PRODUCTO NOTABLE ES.....

EL BINOMIO AL CUADRADO

Primer caso ( a + b )2 o → ( a + b ) ( a + b) signos positivos

Segundo caso (a – b )2 o → ( a – b ) ( a – b) signo positivo y negativo

En el primer caso el binomio tiene dos términos iguales (hasta sus signos), esto es, el primer término es “a” y es positivo; el segundo término es “b” y también es positivo; o sea, es el producto de la SUMA de dos cantidades. En el segundo caso el primer término es “a” y es positivo; el segundo término es “b” y es negativo; o sea, es el producto de la DIFERENCIA de dos cantidades. Analiza detenidamente el siguiente esquema donde utilizamos literales (letras) y números. EJEMPLO DEL PRIMER CASO ( a + b )2 y (4 + 2 )2 Con literales ( a + b )2 o sea (a + b) ( a + b ) y con números ( 4 + 2 )2 o sea (4 + 2) (4 + 2) Primero se identifica cuál es el 1er. Término (“a” o el “4” ) y el 2do término ( “b” o el “2”)

a (4) + mas b (2 )

a2 +ab

16 + 8 a (4) con letras = a2 + ab + ab + b2

con números = 16 + 8 + 8 + 4 + más

+ab b2 se SUMAN términos semejantes (ab + ab) o

(8 + 8)

b (2) +8 4

Se suma

a2 el término

16 semejante

(+ ab +8) Con letras = a2 + 2ab + b2

Se suma el b2 Con números = 16 +16 +4 = 36m2

término semejante 4

(+ ab + 8)

Analicemos con el mismo esquema en el SEGUNDO CASO: (a – b)2 o (4 – 2)2

a (4) - menos -b (-2 )

a2 - ab

16 -8 a (4) con letras = a2 - ab - ab + b2

con números = 16 - 8 - 8 + 4 - menos

-ab + b2 suma términos semejantes (-ab - ab) o (-8 - 8)

-b (-2) - 8 + 4

Se suma

a2 el término

16 semejante

(- ab, -8) Con letras = a2 - 2ab + b2

Con números = 16 -16 + 4 =

4m2 Se suma el + b2

término semejante + 4

(- ab, - 8)

En base en lo anterior tenemos con letras (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 que los binomios al cuadrado : (a - b )2 = a2 – 2ab + b2

con números (4 + 2)2 = 16 + 16 + 4 (4 – 2)2 = 16 – 16 + 4 o 2 )2 = 4 Observa con cuidado cada uno de los ejemplos desarrollados anteriormente, notarás que en el resultado aparecen ciertas semejanzas o reglas:

El primer término del resultado es EL CUADRADO DEL PRIMER TÉRMINO.

El segundo término del resultado es EL DOBLE PRODUCTO DEL PRIMER TÉRMINO DEL BINOMIO POR EL SEGUNDO TÉRMINO. El tercer término del resultado es EL CUADRADO DEL SEGUNDO TÉRMINO DEL BINOMIO.

Por ejemplo, aplicando las reglas en cada uno de los ejercicios 1 y 2 que anteriormente resolvimos.

1. ( a + b )2

Primer segundo Término término

Cuadrado del primer término ------------------------ ( a )2 --------------- = a

2

Doble producto del primero por el segundo ---- 2( a ) ( b ) ---------- = 2 ab

Cuadrado del segundo término ----------------------- ( b )2 ------------- = b

2

El resultado final es = a2 + 2ab + b

2

2. ( x - y )2

primer segundo término término

Cuadrado del primer término ------------------------ ( x )2 --------------- = x

2

Doble producto del primero por el segundo ---- 2( x ) ( - y ) --------- = - 2 xy

Cuadrado del segundo término ----------------------- ( y )2 ------------ = y2

El resultado final es = x2 - 2xy + y2

El resultado de elevar un binomio al cuadrado recibe el nombre de

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Como puedes observar en los resultados de cada caso, lo que cambia es el signo del segundo término del resultado. Entonces la regla para la diferencia de dos cantidades al cuadrado es la misma, que para la suma de dos cantidades al cuadrado y sólo varía el signo del segundo término observa detenidamente:

1. ( a + b )2 = a

2 + 2ab + b

2 -. . . . . . . . . ( a - b )2 = a

2 – 2ab + b

2

3. ( 3m+ 4n )2 = 9m

2 + 24mn + 16n2 . . . . ( 3m - 4n )

2 = 9m

2 – 24mn + 16n

2

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE. Desarrolla los siguientes Binomios al cuadrado utilizando las tres reglas:

1. ( m + a )2 = 6. ( m - a )

2 =____________________

2. ( x + 9 )2 = 7. ( a

2 - 4 )

2 = ___________________

3. ( 4ax + 1 )2 = 8. ( 2a + x

2)2 =___________________

4. ( x2 +1 )2 = 9. ( x

2 - 1 )

2 =____________________

5. ( mn + 4 )2 = 10. ( Xm - Yn)

2 ___________________

Otro producto notable es:

PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA ( x + a ) ( x + b ) :

Para este caso es necesario que identifiques que el producto de dos binomios de la

forma ( x + a ) ( x + b ) tienen como característica que el primer término en ambos binomios es igual y se llama término común (en este caso es la “x”) y existen dos términos NO comunes que son la “a” y la “b” que pueden tener signos iguales o diferentes. Analicemos detenidamente el esquema donde utilizamos literales (letras) y números. Con literales ( x + a ) ( x + b ) con números ( 4 + 2 ) (4 + 3 )

Términos x1 = 4 Signos iguales Comunes x2 = 4

Términos a = 2 con signos iguales o NO comunes b = 3 diferentes

x ( 4 ) + mas b (3)

x2 (16 ) xb (12) 1ro. El término común al cuadrado x2 o 42

x ( 4 ) 2do. La suma de los no comunes por el

común

( a + b ) ( x ) o ( 3 + 2 ) ( 4 ) = (5)(4) = 20

+ más 3ro. La multiplicación de los NO comunes

b (2) xa ( 8 ) ab ( 6 ) ( a ) ( b ) o (2 ) (3) = ab o 6a

Resultado Final = x2 + x (a + b) + a b 16 + 20 + 6 =_ 42 m2_

otro ejemplo:

( x - 2 ) ( x - 3 ) = x² + (- 3 - 2 ) x + ( -3 . -2 )

= x² - 5 x + 6 ------que es el resultado final.

éste es un trinomio de la forma x2 + bx + c

Término común (x )

Términos NO comunes

De lo anterior podemos concluir las siguientes tres reglas del producto de dos binomios con término común o binomios de la forma ( x + a ) ( x + b ), es igual a:

EL CUADRADO DEL TÉRMINO COMÚN LA SUMA ALGEBRÁICA DE LOS TÉRMINOS NO COMUNES POR EL TÉRMINO COMÚN EL PRODUCTO (multiplicación) DE LOS TÉRMINOS NO COMUNES.

Hagamos otros ejercicios y presta mucha atención

Aplicando lO anterior tenemos:

1. (m3 + 4 ) ( m3 + 5 ) = ( m3 )² + ( 4 + 5 ) m3 + ( 4 ) ( 5 ) = m6 + 9m3 + 20

El cuadrado del término común: (m3)2 = m6

La suma algebraica de los términos no comunes por el común: (4 + 5) m3 = 9m3

El producto de los términos no comunes: ( 4 ) ( 5 ) = 20

2. ( y + 6 ) ( y - 3 ) = ( y )² + ( 6 - 3 ) y + ( 6 ) ( - 3) = y² + 3y - 18

El cuadrado del término común: (y)2 = y2

La suma algebraica de los términos no comunes por el común: ( 6 - 3)y = 3y

El producto de los términos no comunes: ( 6 ) (-3 ) = -18

Con esto concluye este tema, para reforzarlo ejercita lo aprendido. ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

Resuelve los siguientes PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA ( x + a ) ( x

+ b ) aplicando sus tres reglas: 1. ( x + 2 )( x + 5 ) = 6.( y + 7 ) ( y - 1 ) =______________

2.( a + 4 ) ( a + 3 ) = 7.( n + 12 ) ( n + 5 ) =_____________

3. ( m - 7 )( m - 1 ) = 8. ( x2 + 3 ) ( 5 + x2 ) =______________

4. ( mn + 10 )( mn - 2 ) = 9. ( 5 - z ) ( 3 - z ) =_______________

5. ( xy - a )( xy + c ) = 10.( a2y3 + 12 ) (+12 + a2y3 ) =_________

Otro producto notable es el : CUBO DE UN BINOMIO:

La expresión ( a + b )³ , representa el cubo de la suma de dos cantidades

La expresión ( a - b )³ , representa el cubo de la diferencia de dos cantidades

Elevar al cubo el binomio equivale a multiplicarlo por si mismo tres veces, resultando:

( a + b )³ = ( a + b ) ( a + b) ( a + b ) ó ( a - b )³ = ( a - b ) ( a - b) ( a - b ) pero

también

( a + b )³ = ( a + b )² ( a + b ) ó ( a - b )³ = ( a - b )² ( a - b)

Si primero desarrollamos el binomio al cuadrado ( a + b )² tendríamos = a² + 2ab + b² y si

lo multiplicamos por el otro (el tercer) binomio y utilizamos la propiedad distributiva nos

resulta lo siguiente:

( a + b ) ( a² + 2ab + b² ) = a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³

Reducimos los términos semejantes y nos resulta = a³ + 3a² b + 3ab² + b³

Al desarrollar el cubo de un binomio, se obtiene como resultado un "polinomio de cuatro

términos".

En este caso también es más práctico aplicar sus cuatro reglas, que realizar cada uno de los

pasos anteriores, por lo tanto las reglas son las siguientes: ( a + b )3

Primer regla: EL CUBO DEL PRIMER TÉRMINO DEL BINOMIO; (a )³ = a³

Segunda regla: EL TRIPLE PRODUCTO DEL CUADRADO DEL PRIMER TÉRMINO

POR EL SEGUNDO TÉRMINO; 3 ( a )²( b ) = 3 a² b ( ¡aquí es el cuadrado del 1er.

Término!)

Tercera regla: EL TRIPLE PRODUCTO DEL PRIMER TÉRMINO, POR EL

CUADRADO DEL SEGUNDO TÉRMINO; 3 (a ) ( b )² = 3 a b² (¡ aquí es el cuadrado

del 2do. término!)

Cuarto paso: EL CUBO DEL SEGUNDO TÉRMINO DEL BINOMIO; ( b )³ = b³

Por lo tanto ( a + b )³ = a³ + 3a² b + 3a b² + b³

Otro ejemplo: Desarrollar el binomio al cubo (3m + 2n)³ aplicando las reglas anteriores

tenemos que:

- Cubo del primer término del binomio

- El triple producto del cuadrado del primer

término por el segundo término

- El triple producto del primer término por

el cuadrado del segundo término

-El cubo del segundo término del binomio

( 3m )³ =

3 ( 3m )² ( 2n ) = 3 ( 9 m )( 2n) =

3 ( 3m ) ( 2n )² = 3 ( 3m) ( 4n) =

( 2n )³ =

27 m³

54 m² n

36 m n²

8n³

Entonces: (3m + 2n )³ = 27m³ + 54m²n + 36mn² + 8n³

En el caso de la diferencia de dos cantidades al cubo ( a - b )³, las reglas siguen siendo las

mismas que en la suma de dos cantidades al cubo, pero en este caso cambian algunos de

los signos:

( a - b)³ según las reglas...

- Cubo del primer término del binomio ------------------------ ( a )³ ------------------- = a³

- El triple producto del cuadrado del primer término

por el segundo término ---------------- 3 ( a )² ( -b ) ----- 3 a² ( -b) ------- = - 3 a² b

- El triple producto del primer término por el

cuadrado del segundo término ---------- 3 ( a ) ( -b )² ----- 3 a ( b²)--------- = 3 a b²

-El cubo del segundo término del binomio ---------------------- ( - b )³ ----------- = - b³

Por lo tanto su resultado es ( a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Por último comparemos la suma del binomio al cubo y la diferencia del binomio al cubo

En la suma sus resultados fueron: -------- ( a + b )³ = a³ + 3 a² b + 3 a b² + b³

En la diferencia obtuvimos: --------------- ( a - b)³ = a³ - 3 a² b + 3 a b² - b³

Podrás sacar tus propias conclusiones ?

¡CLARO QUE SI!

SOLO CAMBIAN LOS SIGNOS DEL SEGUNDO Y CUARTO TÉRMINO DEL POLINOMIO, CUANDO ES UNA DIFERENCIA (RESTA)

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Realiza tus operaciones con calma, orden y

limpieza en la página de aún lado para tu mayor comodidad.

(x + 2y )³ =___________________________________________ = ___________________

( 2ab - 4)³ =___________________________________________ =___________________

(3a + 8 )³ =___________________________________________ = ___________________

FACTORIZACIÓN.

“BUSCANDO FACTORES”

ACTIVIDADES

1. Vamos a rescatar tus conocimientos previos acerca de la multiplicación y división

algebraica, productos notables, para iniciar el tema de Factorización. 2. Cierto día un asesor del SAETA planteó el siguiente problema a sus alumnos:

En la feria del elote de la localidad de Xalisco, vamos a poner una exposición para promover y difundir el SAETA, pero solamente nos rentan locales con áreas de 60 m2. ¿Cuántos locales y cuáles son las dimensiones (largo y ancho) que pueden tener, si los lados deben medir metros completos y no deben exceder de 20 metros?

3. Realiza dibujos, recortes de materiales si lo consideras necesario. 4. Integrarse en equipos de 2 o 3 para trabajar el problema con toda libertad.

1. 1) Analizar los temas de Factorización de la antología (Factorizar polinomios con factor

común, Factorizar diferencias de cuadrados, Factorizar Trinomios cuadrados perfectos, Factorizar Trinomios de la forma x² + bx + c, en dos binomios con término común y Suma o Diferencia de Cubos Perfectos.)

2. En equipos de 3 o 4 estudiantes, realizar el análisis del problema anterior hasta resolverlo, señalando alguna estrategia de solución.

Resolver las actividades de aprendizaje de la antología, referente al tema de Factorización

Una vez que encontraron las respuestas correctas al problema, socializarlo en una

plenaria de todo el grupo. Exponer las estrategias utilizadas para llegar al resultado.

Comparar los resultados y sobre todo las estrategias encontradas. Que los alumnos manifiesten sus emociones y sentimientos durante el desarrollo y

solución del problema.

Factorizar quiere decir descomponer en factores.

Tenemos que expresar el concepto de factorización.

DEFINICIÓN: La Factorización es un producto contrario a la multiplicación, es decir, el producto se puede descomponer en factores. Ejemplo: FACTORIZACIÓN

24 = (2)(2)(2)(3)

24 = (4)(3)(2)

24 = (6)(4) FACTORES

24 = (8)(3)

24 = (12)(2)

MULTIPLICACIÓN

Aplicaremos la factorización en las expresiones algebraicas, ya que frecuentemente se utiliza para resolver con mayor facilidad algunas operaciones. La factorización de una expresión algebraica consiste en expresarla como producto de factores o producto indicado.

Lo primero será aprender a factorizar…

1. POLINOMIOS QUE TIENEN UN FACTOR COMÚN:

Así como factorizamos un número también podemos factorizar un polinomio, es decir, lo podemos descomponer en factores; para lograrlo nos vamos a auxiliar de la propiedad distributiva. Recordemos que usamos la propiedad distributiva para multiplicar, así: a ( b + c ) = a b + a c Producto suma

Si leemos la igualdad anterior de derecha a izquierda tendremos:

ab + ac = a ( b + c ) Suma Producto

Así, mediante el uso de la propiedad distributiva el polinomio ab+ac se ha transformado en un producto, es decir, se ha factorizado a (b + c). Un polinomio puede factorizarse mediante el uso de la propiedad distributiva sólo cuando sus términos tienen un factor común.

Llamamos FACTOR COMUN al factor que aparece en TODOS los términos de un polinomio

Binomio Trinomio

Ejemplo: 2 x + 2 y = 2 ( x + y ) otro ejemplo 2 x + x y + 3 x y2 = x ( 2 + y

+ 3y2 )

Factor común (2 ) Factor común ( x )

Así, para factorizar un polinomio procedemos como en el siguiente ejemplo:

Factorizar el binomio 5x + 5 y

Primero; buscamos el factor común y ese elemento FACTOR COMÚN

Será uno de los factores.

5 x + 5 y = 5 ( ) Falta encontrar el otro factor

Segundo; Para encontrar el otro factor dividimos

cada término del polinomio entre el 5 x + 5 y = 5 ( x + y )

factor común

5x = x 5y = y

5 5

Factorizar 5x + 5y = 5 ( x + y ) resultado correcto

A veces no es tan fácil encontrar el factor común, por ejemplo en el binomio 2x + 4y,

aparentemente no hay factor común pero dicho binomio puede escribirse de la siguiente

manera:

2 x + 4 y factor común (2)

Luego podemos factorizar

dicho binomio así................ 2x + 4y = 2 ( x + 2y )

2x + 2 ( 2y )

2x = x 4y = 2y

factor común 2 2

Factorizar 2x + 4y = 2 (x +2y ) resultado correcto

Ahora requerimos de toda tu atención para continuar aprendiendo la Factorización

Al igual que un número, un mismo polinomio puede ser factorizado de distintas maneras,

por ejemplo el binomio 8x2 + 4x puede ser factorizado de las siguientes formas:

A). ( 8x ) (x ) + 4 x = x ( 8x + 4 ) B) 8x2 + 4x

factor común ( x ) 4 ( 2x2 ) + 4 x = 4 ( 2x2 + x )

Factor común ( 4 )

C) 8x2 + 4x

2x ( 4x ) + 4x ( 1 ) = 4x ( 2x + 1 ) resultado correcto

Factor común (4x)

De las tres anteriores factorizaciones obtenidas, la más completa es la C), ya que en las

otras dos, las expresiones “ 8x + 4 ” y “ 2x + x ” aún tienen un factor común, (el 4 en la

primera y la x en la segunda) lo cual no sucede en el último caso, debido a que

encontramos el MÁXIMO FACTOR COMÚN.

Pero momento... ¿Que es eso del máximo factor común ?

El MÁXIMO FACTOR COMÚN es el mayor de los factores comunes y

para obtenerlo debemos encontrar el Máximo Común Divisor de los coeficientes

(o números) y escogemos las literales (o letras) que aparezcan en todos los

Términos con su MENOR EXPONENTE.

CON CALMA HAGAMOS UN EJEMPLO y practiquemos el máximo común divisor con

coeficientes (números) y literales (letras) SALE ?... PUES ANIMO Y ADELANTE.

Factorizar el polinomio: 12 x2 y2 + 24 x3 y2 – 6 x4 y

Primer paso: Obtener el máximo factor común,

A) Para esto es necesario encontrar el máximo común divisor (mcd) de los coeficientes (o

números).

Los coeficientes son 12 ; 24 ; 6 2 (mitad)

6 ; 12 ; 3 3 (tercia)

2 ; 4 ; 1

ya NO hay un número que divida a TODOS

Como ya no son divisibles el 2; 4; y 1; se multiplican los números que Si dividieron 2

(mitad) y 3 (tercia) y se obtiene el máximo común divisor m.c.d. que será ( 2x 3 ) = 6

B) Ahora escogemos las literales (letras) que aparezcan en TODOS los términos

con su MENOR exponente.

Polígono que vamos a factorizar = 12x2y3 + 24x3 y2 - 6x4y En todos los

términos aparece la literal “x” y la “y” pero...

Para la “x” el exponente menor es ( x2 )

Para la “y” el exponente menor es ( y )

C) por todo lo anterior el MÁXIMO FACTOR COMÚN es 6x2y

Segundo paso: Encontrar el OTRO FACTOR dividiendo cada término del polinomio,

entre el

máximo factor común obtenido:

Polinomio por factorizar 12x2y3 + 24x3y2 – 6x4y = 6x2y ( 2y2 + 4xy – x2 )

12 x2y3 entre 6x2y = 2y2

24 x3y2 entre 6x2y = 4xy

- 6x4y entre 6x2y = x2

Por lo tanto:

Factorizar 12x2y3 + 24x3y2- 6x4y = 6x2y ( 2y2 + 4xy – x2 ) resultado correcto.

Si tenemos alguna duda sobre nuestro resultado obtenido, podemos COMPROBAR la

respuesta, efectuando la multiplicación de el máximo factor común POR los términos

obtenidos, y así llegar a el polinomio inicial que se nos indicó factorizar.

6x2y (2y2 + 4xy - x2 ) = 12x2y3 + 24x3y2 – 6x4y

( 6x2y) ( 2y2) = 12x2y3

Debido a que es el polinomio dado

(6x2y) (4xy) = 24x3y2 la Factorización es correcta.

(6x2y ) ( -x2 ) = - 6x4y

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE

1. Encuentra el máximo común divisor (m.c.d.) de cada uno de los conjuntos de números:

a) ( 2, 4, 6, ) = ________ b) ( 6, 24, 36 )= _________ c) ( 5, 10, 15)= ______

d) (8, 36, 16) =________ e) ( 24, 40, 50)= ________ f) (9, 21, 30 ) =______

2. Encuentra la(s) literal(es) que aparezca(n )en todos los términos con su menor

exponente.

a) ( a, a2, a3)= _________ b) ( x2y; xy2 ) = _________ c) (ab2c; b3c2; ab3c2)=_____

d) (m2, m3, m5) =________ e) (x3y2, xy3 )=__________ f) (a2, ab, ab2) = _______

3. Practica las siguientes divisiones de los términos siguientes:

a) x5 = ______ b) -12x2y3 =_______ c) 28 a3 b2 =______ d) – 5x5

=

x2 4xy2 -7ab 5x5

e) 2zy4 =______ f) 18 m3n2 =________ g) 100b2a2 = _______

2zy - 6 m3n 10 ba2

4. Encuentra el, máximo factor común de los polinomios siguientes y luego factorizarlos:

Polinomio Máximo Factor Común Factorización

a) 5x + 10

b) 2x + 3x + 5x

c) 16x2 –4x3 +8x4

d) 12x3y + 4x2 –6y2

e) 25xy2 + 30x3y2 +15y2x4

f) 42x2y – 7x3+ 14y3x2

g) 32 m4n2- 16m2n – 8m3n

Ahora lo que hay que aprender es a Factorizar:

2. DIFERENCIA DE CUADRADOS a un binomio conjugado

Recordemos que al multiplicar binomios conjugados obtenemos como resultado una diferencia de cuadrados.

( x + y ) ( x - y ) = x2 - y

2

Binomio diferencia de conjugados cuadrados

Si leemos la igualdad anterior de derecha a izquierda, tenemos:

x2 - y

2 = ( x + y ) ( x - y )

Es decir, que podemos factorizar una diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados.

No olvidemos que el minuendo de la diferencia de cuadrados era obtenido al elevar al cuadrado el término común de los binomios, por lo que si le extraemos raíz cuadrada a dicho minuendo obtendremos el término común, así :

x2 - y

2 = ( x ) ( x )

minuendo Término común

x2 = x

Para obtener términos opuestos de los binomios extraemos raíz cuadrada al sustraendo así:

x2 - y

2 = ( x + y ) ( x - y )

sustraendo Términos opuestos (simétricos)

y2 = y

De donde podemos concluir lo siguiente:

Para factorizar una diferencia de cuadrados formamos binomios conjugados, obteniendo su término común al extraer la raíz cuadrada al minuendo, y los términos opuestos al extraer raíz cuadrada al sustraendo.

Ejemplo : Minuendo Sustraendo

9x2 - 4y

2

9x2 = 3x 4y2 = 2y

Luego 9x2 - 4y2 = ( 3x + 2y) (3x - 2y)

Término Términos común opuestos Extraer raíz cuadrada equivale a encontrar uno de los factores iguales del número al cual se desea extraer raíz.

Ejemplos : 2 factores iguales

1) x4 = ( x

2 ) ( x2 ) 4x = 2x

2) 81r6 = (9r

3 ) (9r3 ) 681r = 39r

3) 0.09 = (0.3) (0.3) 09.0 = 0.3

¡CLARO que SI PUEDO!

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

1. Calcula mentalmente la raíz cuadrada de las siguientes expresiones.

a) 81x4 b) 121x

2y

2 c) r

10 d) x

10 y

4 z

2 e) 16m

10 f) 9y6

_______ _______ ______ _______ _________ _____ 2. Relaciona las columnas asociando cada Binomio Conjugado con su Factorización o Diferencia de Cuadrados..

DIFERENCIAS DE CUADRADOS BINOMIOS CONJUGADOS

( ) x2 - 49 a) ( y+4) ( y-4)

( ) m2 - 4m

4 b) (m+3) ( m-3)

( ) m2 - 9 c) ( x+7) ( x-7)

( ) y4 -16 d) ( y

2+4) (y

2-4)

( ) 25 - 9p6 e) ( y

2+8) (y

2-8)

f) ( m+2m2) ( m-2m

2)

g) (5+3p3) ( 5-3p

3)

3. Completa los espacios vacíos con la expresión que haga falta para que las igualdades se cumplan.

a) x4 - 81 = ( x

2 + ) ( x

2 - ) b) y2 - 4 = ( y + ) ( y - )

c) r6 - 49 = ( +7 ) ( - 7) d) x

4 - = ( + 1 ) ( - 1)

4. Los binomios siguientes son diferencia de cuadrados, factorízalos correctamente a binomios conjugados.

a) r2 -5

2 b) m

6 - 4 c) x

2 - 9 d) 16a

6 - 4b4

(______)(_______) (______)(_______) (_______)(_______) (______)(________) Ahora lo que continúa es aprender a factorizar…

3. TRINOMIO CUADRADO PERFECTO en un binomio al cuadrado.

Recordarás que el resultado de elevar un binomio al cuadrado recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

( x+y )2 = x

2+ 2xy + y

2

( x-y )2 = x

2- 2xy + y

2

Si leemos las igualdades anteriores de derecha a izquierda, tenemos :

x2 + 2xy + y

2 = ( x + y )

2

x2 - 2xy + y

2 = ( x - y )

2

Por lo que podemos afirmar que un trinomio cuadrado perfecto puede factorizarse en un producto de 2 binomios iguales. Antes de averiguar cómo encontramos dicho binomio debemos identificar si un trinomio es cuadrado perfecto o no, para lo cual recordaremos las características de un trinomio cuadrado perfecto.

1er. término

( x + y )2 = x

2 + 2xy + y

2

2do. término

Por ejemplo: Observemos si el trinomio: 4x2 + 16xy + 16y

2 cumple con las

características anteriores :

1º) 4x2 es el cuadrado de 2x

2º) 16y2 es el cuadrado de 4y

3º) ¿Es 16xy el doble de (2x)(4y) ?

Veamos, 2 (2x)(4y) = 16xy ¡ Si lo es ! por lo que afirmamos que el trinomio 4x2 +

16xy + 16 y2 es cuadrado perfecto. Observa que para encontrar extraemos raíz

cuadrada a los término 4x2 y 16y2, así :

24x = 2x 216y = 4y

Algunas veces los trinomios no aparecen ordenados, entonces para poderlos analizar es necesario que primero los ordenemos en forma decreciente con respecto a una variable, por ejemplo:

x2 + y2 + 2xy x2 + 2xy + y2 ordenando en forma decreciente respecto a “x” Al ordenar en forma decreciente el exponente de la variable se debe escribir de mayor a menor. Para identificar si un trinomio es cuadrado perfecto veamos los siguientes pasos :

¿ Es 36x2 + 100y2 - 120xy un trinomio cuadrado perfecto?

1º. Ordenamos el trinomio en orden decreciente respecto a una variable

Orden decreciente con respeto a “x”

36x2 - 120xy + 100y2

2º. Extraemos raíz cuadrada al 1er. y 3er. término 1er. Término 3er. Término

36x2 - 120xy + 100y2 6x 10y

3º Verificamos si el término central es el doble 36x2 - 120xy + 100y2

El cuadrado del ler. término

El doble del 1ero. Por el 2do. por el 2do.

término

El cuadrado del 2do. término

producto de las raíces obtenidas. 6x 10y 2(6x) (10y) = 120xy

Por lo tanto, el trinomio 36x2 - 120xy + 100y2 es cuadrado perfecto.

En resumen: Un trinomio es cuadrado perfecto si después de ordenarlo

en forma decreciente respecto a una variable, se cumple que el término

central es el doble del producto de las raíces cuadradas del 1er. y 3er.

término del trinomio.

Ejemplos:

a) 9 + x2 + 6x ordenando queda x2 + 6x + 9 x2 + 6x + 9 ¿ es 2(x) (3) = 6x ? Por lo que x2 + 6x + 9 es cuadrado perfecto x 3 ¡ Si lo es !

b) x2 + 4p - 16 ordenando queda p2 + 4p - 16 p2 + 4p - 16 ¿ es 2(p) (4) = 8p ? Por lo que p2 + 4p - 16 no es cuadrado perfecto p 4 ¡ No lo es ! ¡Aplica tus conocimientos! ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

1. Escribe dentro del paréntesis una ( X ) si el trinomio es cuadrado perfecto.

a) x2 + xy + y

2 ( ) b) y

2 + z

2 + 2yz ( )

c) 4x2 + 32x + 64 ( ) d) x

2 - 8x + 4 ( )

2. Escribe dentro del cuadro el término que falte para completar un trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo: a) x2 - 8x + b) x2 + + 25 x ? c) b2 + 12b + luego 2(x) (?) = 8x ? = 8x d) +14x + 49 2x ? = 4 e) 4x2 + + 16 de donde el término que falta es 16 f) y2 - 16y +

3. Factoriza los siguientes Trinomios Cuadrados Perfectos a su binomio al cuadrado.

a) x2 + 8x + 16 = ________________ b) y

2 - 16y + 64 = __________

c) 16x2 + 40x + 25 =________________ d) 100z

2 - 100z + 25 = _________

4. Resuelve el siguiente problema:

a) ¿Cuánto mide de lado un cuadrado cuya área es x2 + 4x + 4 ?

área

x2 + 4x + 4 ?

Lo que hay que aprender es a factorizar…:

4. TRINOMIOS DE LA FORMA x2 + bx + c a dos binomios

con término común.

Recordemos que al multiplicar dos binomios con término común, obtenemos un

trinomio cuadrático de la forma x2+bx+c; donde b representa la suma algebraica

de los términos no comunes y c el producto de los mismos.

( x + p ) ( x + q ) = x2 + bx + c b = p + q

c = p . q Término Términos no Suma de Producto de común. comunes. los no comunes. los no comunes.

Por lo que: Un trinomio de la forma x2 + bx + c puede factorizarse en un producto de binomios con término común.

Hagamos un ejemplo con el Trinomio x2+7x+10, éste es de la forma x2+bx+c. la comprobación de ambos:

x2 + 7x + 10 7 = b donde 10 = c x2 + bx + c

Lo cual quiere decir que para factorizar el trinomio x2 + 7x + 10, debemos encontrar dos binomios que tengan un término común. ¿Cómo lo hacemos?

1. El término común lo podemos obtener si extraemos raíz cuadrada al término

cuadrático ( x2 ).

x2 + 7x + 10 = ( x ) ( x )

x término común 2. Para encontrar los términos no comunes buscamos dos números que cumplan las siguientes condiciones: p + q = 7 (sumados den 7) p . q = 10 (multiplicados den 10)

Primero veamos los factores de 10 Ahora veamos cuáles de los factores positivo, ambos factores son los dos anteriores suman 7. positivos o los dos negativos. 10 10 . ( 10) . ( 1 ) ( 10 ) . ( 1 ) ---------- 10 + 1 = 11 ( 5 ) . ( 2 ) ( 5 ) . ( 2 ) 5 + 2 = 7 (-10 ) . (-1 ) (-10 ) . (-2 ) (-10)+(-2) = -12 ( -5 ) . (-2 ) ( -5 ) . (-2 ) ( -5 )+(-2) = -7

Luego 5 y 2 cumplen las condiciones, por lo que:

x2 + 7x + 10 será factorizado en = ( x + 5 ) ( x + 2 )

Por lo tanto: Al factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c formamos un producto de binomios con término común, donde:

1. El término común es obtenido al extraer la raíz cuadrada al término cuadrático (x2 ).

2. Los términos no comunes se obtienen al encontrar dos números que cumplan las siguientes condiciones:

p + q = b y p . q = c

Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios.

1. x2 - 5x + 6

a) Checamos que dicho trinomio sea de la forma x2 + bx + c

x2 + bx + c

x2 - 5x + 6

observa que el coeficiente del término cuadrático debe ser 1.

b) Obtenemos el término común

x2 - 5x + 6 = ( x ) ( x )

x término común

c) Como b = -5 y c = 6 Buscamos dos números que multiplicados nos de 6 y sumados -5, para encontrar los términos no comunes. ( ) ( ) = 6 y ( ) + ( ) = -5 Luego como 6 es positivo, tenemos que los factores pueden ser los dos positivos, o los dos negativos, así:

6 ¿ Cuáles de dichos factores suman -5 ?Veamos

luego

Los términos comunes son: -3 y -2

( 6 ) . ( 1 ) (- 6 ) . (- ¡ ) ( 3 ) . ( 2 )

( 6 ) + ( 1 ) = 7 ( - 6 ) + ( - 1 ) = -7 ( 3 ) + ( 2 ) = 5 (- 3 ) + ( - 2 ) = -5

Por lo que el trinomio puede factorizarse así: x2 - 5x + 6 = ( x - 3 ) ( x - 2 )

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE.

1. Encuentra dos números "p" y "q" tales que cumplan con las condiciones que se señalan. Observa el ejemplo.

p . q p + q p q p . q p + q p q

a)

12

8

6

2

d)

12

- 7

b)

20

9

e)

-15

- 2

c)

56

15

f)

- 32

4

2. Factoriza los siguientes trinomios

a) x2 - 3x - 10 = ____________ d) x2 + 9x - 36 = ___________

b) m2 + 9m + 14 = ___________ e) x10 - 10x5 + 24 = __________

c) y2 - 8y + 12 = ____________ f) y4 - y2 _ 2 = ____________

3¿Cuáles serán las dimensiones de un rectángulo cuya área es de y2 - 5y + 6? A = Largo x ancho A = y2 - 5y + 6

Area = y2 - 5y + 6 Ancho_____

Largo =_____________

4. Es la Factorización del trinomio x2 - 13x - 30 .. .................. ....................( )

a) ( x2 - 3 ) ( x - 10 ) b) ( x - 10 ) ( x + 3 ) c) ( x + 5 ) ( x - 6 ) d) ( x - 15 ) ( x + 2 )

Ahora hay que aprender es a Factorizar un…

5. CUBO PERFECTO DE BINOMIOS a binomio al cubo

Recordarás que el resultado del binomio al cubo es un polinomio de cuatro términos, de ( x + y )3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 ; de ( x – y )3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 En base a lo anterior, un polinomio ordenado en relación con una literal es cubo perfecto cuando: a) Tiene cuatro términos. b) El primero y el último término son cubos perfectos. c) El segundo término es + o – y el triple del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del segundo. d) El tercer término es + el triple de la raíz cúbica del primero por el cuadrado de la raíz cúbica del segundo. Si todos los términos son positivos, la expresión dada corresponde al cubo de la suma de dos términos; si los términos son, alternativamente, positivos y negativos, la expresión dada es el cubo de la diferencia de dos términos. Ejemplo: Factorizar 8y3 + 12 y2 + 6 y + 1 Analizamos la expresión para ver si cumple con las condiciones señaladas: a) Tiene cuatro términos, b) Raíz cúbica de 8y3 es 2y ; Raíz cúbica de 1 es 1 c) El segundo término 3 (2y)2(1) = 12y2 d) El tercer término 3(2y) (1)2 = 6y Como cumple con todas las condiciones y los términos son positivos por lo tanto el Factorizar 8y3 + 12 y2 + 6 y + 1 su resultado correcto es (2y + 1 )3 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: Resuelve las siguientes factorización de cubos perfectos de binomios : 1- 3b + 3b2 – b3 = ___________________________________ = ________________ 27 – 27ª + 9a 2 –a3 = ________________________________ = ________________

x3 +3x2y + 3xy2 + y3 = ________________________________ = ________________