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SISTEMA ABIERTO DE EDUCACIN TECNOLGICA AGROPECUARIA

CLCULO

Febrero 2010.

Educacin humana y de calidad

SAETA

GUA DIDCTICA CLCULO SAETA

2

DIRECTORIO

Mtro. Alfonso Lujambio

Secretario de Educacin Pblica

Dr. Miguel zekelyn pardo

Subsecretaria de Educacin Media Superior

Ing. Ernesto Guajardo Maldonado

Director General de Educacin Tecnolgica Agropecuaria

Prof. Sal Arellano Valadez

Director Tcnico

Ing. Agustn Velzquez Servn

Director de Apoyo a la Operacin Desconcentrada

M.C. Maria Elena Hernndez Meja

Coordinadora Nacional del Programa Sistema Abierto de Educacin Tecnolgica

Agropecuaria


3

En el proceso de Revisin de esta antologa, participaron los siguientes docentes del estado de:

Durango

NOMBRE PLANTEL

Ing. Ren Castaeda Molina CBTa No. 172

M.C. Jos Luis Salinas Orozco CBTa No. 3

C.P. Ana Mara Jurado Czarez. C.B.T.F. No. 1

TLQ. Patricia de Jess Rocha Rosales CBTa No. 173

ING. Gildardo Fierro Vargas CBTa No. 63

COMITE EDITORIAL

Profr. Sal Arellano Valadez

M.C. Mara Elena Hernndez Meja

Dr. Tito Ramn Rentera Gutirrez

ASIGNATURA: CLCULO

REGISTRO No. IV

SEP / SEMS / DGETA

JOSE MARIA IBARRARAN No. 804

COL. SAN JOSE INSURGENTES SUR.

06720, MXICO, D.F.

TEL. 01 5 328 10 00 y 01 5 328 10 97

ISBN

Se autoriza la reproduccin del contenido con fines educativos que no impliquen lucro, directo o

indirecto, siempre y cuando se cite la fuente previa autorizacin por escrito de la DGETA.

Febrero 2010.


4

Impreso y hecho en Mxico

Printed and made in Mxico

INDICE

TEMA PAGINA

Presentacin. 6

Unidad I. Funciones. 8

1.1. Concepto de funcin. 8

1.2. Dominio y contradominio. 10

1.3. Tabulacin y graficacin.. 13

1.4. Tipos de funciones 18

1.5. Operaciones con funciones... 22

1.6. Propiedades de las funciones 23

Unidad II. Lmites 28

2.1. Nocin intuitiva del Lmites. 28

2.2. Clculo de Lmites 33

2.3. Continuidad de una funcin.. 45

Unidad III. La funcin derivada.. 46

3.1. Rapidez de variacin instantnea. 46

3.2. El concepto de derivada 50

3.3. Forma general de derivacin. 51

3.4. Interpretacin geomtrica de la derivada.. 53

3.5. Formulas de derivacin................................................................. 57

3.6. Derivadas de funciones implcitas................................................ 67

3.7. Derivadas de funciones trascendentes.......................................... 69

3.8. Derivadas de funciones trigonomtricas...................................... 72

3.9. Identidades trigonomtricas.......................................................... 75

3.10. Anlisis de funciones.................................................................. 87

3.11. Mximos y mnimos relativos de una funcin........................... 90

3.12. Aplicaciones de la derivada........................................................ 97

3.13 Bibliografa. 100


5

HOLA, AQU VAMOS DE NUEVO!

ESTUVIMOS JUNTOS EN ANTERIORES ASIGNATURAS DE

MATEMATICAS Y LO HICISTE MUY BIEN, AHORA CON TU ESFUERZO

LO HAREMOS MEJOR BIENVENIDO!

La naturaleza es rica en fenmenos, y estos, en ocasiones causan trastornos al hombre en su vida

diaria, motivndolo a su estudio para modificarlos, dominarlos o evadirlos como ltimo recurso.

En esta asignatura aprenders formas de calcular y proyectar como resolver problemas que se te

presenten en tu vida diaria.

A continuacin desglosamos el contenido de la asignatura para que conozcas los temas a analizar

en ella, y despus de estudiarlos, los apliques al resolver los problemas de tu realidad.


6

PRESENTACIN

El presente trabajo est dirigido a los estudiantes del SAETA que cursan el BACHILLERATO

TECNOLOGICO bajo el Enfoque de Estrategias Educativas Centradas en el Aprendizaje,

con la intencin de que sirva de gua y material de trabajo mnimo para cubrir los contenidos

programticos que especifica el programa de estudios de la asignatura de Clculo; asignatura

correspondiente al componente bsico de la estructura del bachillerato tecnolgico.

El descubrimiento del Clculo que en un principio apoy algunos problemas de la Fsica,

actualmente constituye una herramienta muy til en los diferentes campos de la ciencia,

permitiendo el estudio de las razones de cambio de muchas cantidades, la estimacin de la

distancia y la velocidad de un cuerpo en movimiento, la prediccin de resultados de las

reacciones qumicas, la explicacin del crecimiento del nmero de bacterias en cultivos, la

descripcin del cambio de corriente elctrica en un circuito, el estudio de las prdidas y ganancias

de una empresa o el encuentro de las rectas tangentes a las cnicas; con esto se puede entender

que el uso del Clculo tiene como lmite la creatividad del ser humano para su aplicacin.

Con el desarrollo de los contenidos programticos en el aula, mediante el proceso enseanza-

aprendizaje, los participantes en dicho proceso deben ir construyendo los conceptos que

permitan comprender las bondades de esta herramienta, la comprensin de los conceptos

analizados y una adecuada aplicacin a diversos problemas de la vida cotidiana. Ello contribuir

a que todos los estudiantes puedan lograr el objetivo general del curso que es:


7

Objetivo General:

Los estudiantes integrarn los contenidos de la matemtica antecedente, para resolver

problemas que los conduzcan hacia los conceptos centrales de funcin, lmite, derivada. Que les

permitan construir una imagen de su entorno con mayor coherencia y formalidad, as como

desarrollarse con solvencia en un entorno social, cientfico y tecnolgico.

Este objetivo habr de lograrse con tu valiosa participacin porque eres el principal actor en la

realizacin de las actividades para la estructuracin y reestructuracin de los aprendizajes de los

contenidos y procedimientos que comprende el curso y que estn incluidos en este material de

apoyo que tienes en tus manos y habrn de desarrollarse bajo la gua de tu asesor.

En el siguiente esquema podrs identificar el contenido de este curso, mismo que est dividido en

temas principales y conceptos subsidiarios:


8

UNIDAD I. FUNCIONES

1.1. Concepto de funcin y variable. Te invito a que observes el siguiente esquema y contestes las preguntas que se te hacen

al respecto.

Observa los engranes A y B.

A B Si A y B representan dos engranes donde el radio de A es un

tercio del radio de B; al hacer girar el engrane a las vueltas que

se desee:

Que suceder con el engrane B?

Si A gira 6 vueltas, Cuntas vueltas gira el engrane B?

Si A Gira 120 vueltas Cuntas vueltas gira B?

Qu engrane hemos estado girando?

De qu dependen las vueltas que gira B?


9

En este ejemplo habrs observado que el engrane A ha dado las vueltas que hemos deseado, por

lo que se puede considerar como variable independiente (x), como las vueltas que da el engrane

B dependen de las vueltas que gire el engrane A, entonces B representa la variable dependiente

(y), entre ellos se establece una relacin. Y = 3

x

A 18 vueltas de A le corresponden dos o ms nmero diferentes de vueltas de B? o solo un

nmero nico de vueltas?

Ahora continua realizando y contestando lo que se te pide.

Analiza la frmula que nos da el volumen de la esfera: 3

4V r3

De qu depende el volumen de la esfera?

Qu variable se requiere hacer que cambie para que vare el volumen de la esfera?

Cul es la variable independiente en esta relacin?

Cul es la variable dependiente?

Si r = 8, habr dos volmenes o ms diferentes?_______o a 8 cm de radio, solo le

corresponde un volumen de la esfera? _____________________

En estos dos ejemplos se observa que hay cierta relacin entre variables, adems esta relacin es

especial porque a cada valor de la variable independiente solo le corresponde un valor a la

variable dependiente. Si se grafica la primera relacin se tiene:

Y = 3

x

y = 4(3.14)x3/3


10

Con una regla traza lneas verticales que corten las grficas:

Cuntos puntos de la grfica cortan las lneas verticales?______________________________

A esta clase de relaciones se les llama funciones, de esta forma se puede concluir que una

funcin es una relacin entre dos variables tal que no hay dos o mas parejas

ordenadas que tengan igual el primer componente.

En estas parejas ordenadas (x,y) los elementos que forman estas parejas integran dos conjuntos de

valores que pueden tomar las variables independiente(x) y dependiente(y).

1.2. Dominio y contradominio Los valores que integran el conjunto de valores que toma la variable (x) se le llama dominio de la

funcin

Al conjunto de valores que toma la variable (y) se le llama contra dominio o rango de la funcin

En la vida diaria es de gran utilidad la idea de pareja ordenada por la relacin que se establece

entre los elementos; ya sean personas, objetos, nmeros, etc.

Cmo se establece esta relacin?

Generalmente mediante una asociacin de elementos de dos conjuntos, formando parejas

ordenadas, establecindose dicha ordenacin o relacin mediante una regla de asignacin.

Ejemplo 1: si se tienen dos conjuntos integrados por:

A= {Zacatecas, Aguascalientes, Monterrey, Cd. Victoria}

B= {Zacatecas, Aguascalientes, Nuevo Len, Tamaulipas} Una regla de ordenacin de estas

parejas es:

C= {(x,y) / x es capital de y; x pertenece a A , y pertenece a B }


11

Escribe esta relacin mediante un conjunto de parejas ordenadas.

C={ }

Ejemplo 2: Si en un cine se relacionan los asientos por el nmero de fila y el nmero de asiento.

La expresin: B = {(2,1), (3,2), (2,7), (5,4) } donde (2,1) indica fila 2 asiento 1

(3,2) indica:

(2,7) indica:

(5,4) indica:

Qu asientos son de la misma fila?

______________________________________________________

Ejemplo 3: En un tu grupo asisten a clases un total de ___alumnos, si estableces una relacin

entre edad y talla del pie. A = {(18, ) , (19, ), (19, ), (20, ) }

Si la relacin la establecemos: B = {nmero de alumnos que calzan del}

Las parejas en tu grupo se integran de la siguiente forma:

B = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) }

Analizando los ejemplos se puede concluir que:

Una relacin es un conjunto de parejas ordenadas, donde al conjunto de todos

los primeros elementos de las parejas se llama dominio de la relacin, al

conjunto formado por todos los segundos elementos de las parejas ordenadas se

le llama rango, codominio o contra dominio de la relacin.

Tambin se llama relacin en el producto cartesiano de 2 conjuntos A x B , al conjunto de

parejas ordenadas, formadas por elementos de A y con elementos de B, en este

orden, mediante una frmula o regla que determina su asociacin; as la

relacin es una seleccin de parejas del producto cartesiano A x B.

Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} el producto de: U x U

Cuntas parejas integran este producto?_____________________________________


12

Completa la grfica de este producto:

9

8

7 * Como se observa en este producto el dominio y el rango

6 son iguales (U)

5

4 *

3

2

1 * * * * * * * * *

1 2 3 4 5 6 7 8 9

dominio

La siguientes relaciones son subconjuntos del producto cartesiano UxU, en ellas enumera las

parejas, identifica: el dominio, el rango y elabora la grfica o identifica las parejas en la grfica

ya elaborada.

R1 = {(x,y) / x = y}= {(1,1).(9,9)}

R2 = {(x,y) / x < y} = {

R3 = {(x,y) / x > y} = {

R4 = {(x,y) / y = x + 3} = {

R5 = {(x,y) / y = x } = {

R6 = {(x,y) / y = x2} = {

R7 = {(x,y) / y = x2 + 1} = {

R8 = {(x,y) / x = 5} = {

Como ya se ha enunciado algunas de estas relaciones cumplen ciertas condiciones; por lo que

reciben el nombre de funciones, en estos ejemplos podrs identificar estas funciones si se

considera que:

Una funcin es una relacin tal que no hay dos parejas ordenadas que tengan

igual el primer componente.

En el conjunto de parejas ordenadas (x,y) ; x , y, reciben el nombre de variables, la primera

independiente (x) y la segunda dependiente (y), a los valores que toman se le llama dominio de

la variable. Al dominio de x se le llama dominio, al dominio de y se le llama rango de la

relacin.


13

Tus conocimientos estn relacionados con tus prcticas demustralos realizando la siguiente

actividad.

De las relaciones anteriores observa el dominio y el rango de cada una de ellas y determina cules

de ellas son funciones.

R1 es ____________________________

R2 es____________________________

R3 es____________________________

R4 es ____________________________

R5 es ____________________________

R6 es ____________________________

R7 es ____________________________

R8 es ____________________________

ACTIVIDAD. Tomando en cuenta el diagrama sagital que define a las siguientes relaciones entre los elementos de los conjuntos dados, determina en cada caso, si la relacin corresponde o no a una funcin. Justifica tu respuesta contestando para cada ejercicio las siguientes preguntas: 1. Para cada elemento del conjunto A, existe su correspondiente en B? 2. La asociacin es tal que para cada elemento de A, le corresponde, en todos los casos, un nico elemento de B? 3. Es f una funcin de A a B?

f

1. A B 1.- No, x5 no tiene su correspondiente en B x1 y1 2.- No, adems de x5 no se asocia con ningn, x4

x2 y2 se asocia a y3 y y4, es decir, a dos elementos de

B

x3 y3 3.- No, ya que no se cumplen las condiciones

dadas

x4 y4 en la definicin.

x5

f

2. A B x1 y1 1. _____________________________________

x2 y2 _______________________________________

x3 y3 2. ______________________________________

x4 ______________________________________

3. ______________________________________

f

3. A B x1 1. _____________________________________

x2 _______________________________________

x3 y 2. ______________________________________

______________________________________

3. ______________________________________


14

f

4. A B 1. _____________________________________

Jos Laura _______________________________________

Luis Bety 2. ______________________________________

Rene Mara ______________________________________

3. ______________________________________

f

5. A B 1. _____________________________________

0 0 _______________________________________

1 2 2. ______________________________________

2 4 ______________________________________

3 6 3. ______________________________________

La regla que nos dice como aparear los elementos de un conjunto con los de otro conjunto para

determinada relacin se puede establecer de diferentes formas:

1. La asociacin se establece mediante una tabla de valores

2. Mediante una grfica

3. Mediante una ecuacin

4. Mediante un enunciado verbal

1.3. Tabulacin y graficacin de funciones La grafica de una funcin f (x) es el conjunto de puntos (x, y) en el plano x, y para el cual y = f

(x). Para elaborar la grafica es necesario primeramente realizar la tabulacin de los valores de x y

de f (x).

Ejemplo: La tabulacin y grfica de la funcin f (x) = 2x 1

Tabulacin Construye la grfica

x f(x)=2x-1

-2 -5

-1 -3

0 -1

1 1

2 3

3 5

X

f(x)


15

Para seguir avanzando lee con atencin los siguientes conceptos

Notacin de Funcin:

Si f es la funcin que tiene como variable de dominio a x y como variable de contradominio

y, el smbolo f(x) se lee f de x , ste representa un valor particular de y que corresponde a

un valor particular de x de este modo se tiene que: y = f(x)= 3x2 + 5x -2, donde x es variable

independiente y y variable dependiente, si la regla para obtener y es: (3x2 + 5x -2 )

si x = 2, y =____________

f(x)= 3x2 + 5x -2 = 3(2)2 +5(2) -2 = 3(4) + 10 -2 = 12 +10 2 = 22 - 2 = 20

f(2) = 20 entonces decimos que la funcin de 2 es 20.

En ocasiones para distinguir una funcin de funcin suele usarse g(x) , h(x), etc.

Ejemplo: f = {(x,y)/ y = x5 } por lo tanto f(x) = x5

f(1) = f(2) = f(5) =

f(-6) = f(3) = f(6) =

f(0) =

Identifica el dominio de f D =

Identifica el rango de f R =

Esta relacin es funcin?______________________Elabora su grfica

Traza una lnea vertical que corte esta grfica que observas?_________________________

Conclusin: Si una grfica es cortada por una lnea vertical en ms de un punto, dicha

grfica corresponde a una relacin que no es funcin.


16

O bien una relacin entre dos variables x y y da y como una funcin de x si a cada

valor de x le corresponde nicamente un valor de y.

Al definir una funcin, su dominio debe de darse:

a) En forma implcita b) En forma explcita

Ejemplo: f(x) = 3x2 5x +2 x = todo nmero real

F(x) = 3x2 5x + 2 1 10 x

Aqu podrs observar que para identificar el campo de variacin de una variable es necesario

saberlo expresar; esta expresin la podemos realizar mediante varias formas, como se refiere a

valores especficos que puede tomar una variable en determinada relacin, a este conjunto de de

valores que puede tomar una variable le llamaremos intervalo. Entonces intervalo es el

conjunto de valores que toma una variable dentro del dominio , comprendido

entre dos de ellos llamados extremos.

Existen intervalos:

a) Finitos: los que contienen a los extremos

b) Infinitos: los que no contienen a un extremo o ambos.

c) Cerrados: Son aquellos cuya variable puede tomar el valor de los extremos

d) Abiertos: Son aquellos en que la variable no puede tomar el valor de los extremos.

Existen diversas formas en que se pueden expresar estos intervalos:

Forma grfica: En la recta numrica se determinan los puntos correspondientes a los extremos del intervalo. Se sealan con un crculo: si es cerrado, el crculo se rellena; si es

abierto, se deja sin rellenar.

a x b a x b

Con parntesis: [a,b] cerrado, (a, b) abierto

Forma constructor : a < x < b, a bx

Ejemplos:

= (a , b) = a < x < b

a x b

= (a , ) = a < x <

a x


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Para que tengas una idea de si has aprendido te invito a enunciar y dibujar los intervalos

segn se indica.

Forma grfica Signos de agrupacin Forma constructor

a) -3 < x < 5

b) 2 6 x

c)

4 x 10

d) x > 5

e)

x 0

f)

-2 x 2

h) [-2 , 2 )

i) [ -3, 4]

Variacin continua: Una variable vara de una manera continua cuando aumenta desde a

hasta b tomando todos los valores del intervalo o disminuye de b hasta a tomando todos los

valores del intervalo.

Ahora para una mejor comprensin de los conceptos hasta aqu desarrollados, realiza las

siguientes actividades. En caso de tener problemas comenta con algn compaero o con

tu asesor los aspectos que necesitas reforzar.

1) dado f(x) = x3 5x2 4x + 20 hallar: f(1) = f(5) =

2) Demostrar que f(0) = -2 [f(3)]

3) Si f(x) = 4 2x2 + 4x4 f(-2) =

4) Si f(x)= x3 5x2 4x + 20 f(t+1) = 5) Si f(y) = y2 + 2y +6 f(y+h) =


18

6) Si f(x) = 2x2+ 5x 3 f(h+1) =

7) Si g(x) =3x2 4 g(x-h) =

8) Si f(x) = x

x

2 f(x+h) f(x) =

9) Si f(x ) = x3 + 3x f(x+h) + f(x) =

10) Si f(x) = 1/x f(x+h) f(x) =

11) Si f(x) = 2x2 5x 3 f(x+h) f(x) =

12) Dado f(x) = 4x demostrar que f(x+1) f(x) = 3f(x)

13) Si f(y) =y2 2y + 6 Demostrar que f(y+h) = y2 2y + 6 +2(y-1)h + h2

14) Si tenemos A={1,2,3} y B = {1,2} hallar AxB

15) De A x B tomar R1 = {(x,y)/x


19

1.4. Tipos de funciones

Las funciones de acuerdo a sus caractersticas se pueden clasificar de diferentes formas,

entre stas se tiene:

1) Funciones algebraicas: Su valor se obtiene con procedimientos algebraicos, stas funciones se clasifican en:

a) Enteras: y = x2 - 3

b) Racionales: y = 4

2

1 x

x

(Expresa una caracterstica para esta

clasificacin)

c) Irracionales: y = 12 xx

2) Funciones trascendentes: Su valor se obtiene con procedimiento y con otros que no lo son.

a) Trigonomtricas: y = Sen x

b) Trigonomtricas inversas: y = arc tan x

c) Logartmicas y = log x y = ln x

d) Exponenciales: y = ax

Tambin podemos tener:

Funciones implcitas: En estas funciones no hay variable despejada, ni se sabe quien es la

variable dependiente ni la variable independiente; ejemplo: y2 3x +x2 - 8

Funciones explcitas: En estas funciones existe una variable despejada y estn indicadas las

operaciones que se requieren realizar para obtener su valor; ejemplo: y = x2 - 3

Funciones de una variable: su valor depende de una variable y = 2x A =3.1415(r2)

Funciones de dos o ms variables: su valor depende de dos o ms variables; ejemplos:

A= bh/2 I=crt, A = hbB

2

)(

Funciones uniformes: Si a cada valor de x le corresponde uno de y; ejemplo: y = 2x + 3

Funciones multiformes: Si a cada valor de x le corresponde ms de un valor de y y = arc Senx

X= .5 ngulo correspondiente puede ser 30, 150

Funciones inversas: Si en una funcin se tiene que el dominio y el rango de la primera funcin

son el rango y el dominio de la segunda funcin respectivamente, estas funciones son inversas.

R1 (a, b) inversa (b, a). Si (a, b) R Rba ),(


20

Funciones constantes: Si el rango consiste en un solo nmero. f(x) = c como y = c la grfica

corresponde a una recta paralela a xx, situada a c unidades del origen.

Funcin polinomial: Cuando est definida por f(x) = a0 xn + a1x

n-1+a2xn-2+an-1x + an , donde n

es un nmero natural y a1, a2, a3 son nmeros reales.

Ejemplo: y = 2x5 3x3 x2 +7x 1, el mayor exponente de la variable indica el grado de la

funcin en este caso es de quinto grado

Funciones idnticas: Es una funcin lineal definida por f(x) = x y = x

En las funciones algebraicas la funcin constante y la funcin identidad se relacionan mediante

una serie de operaciones (suma, resta, multiplicacin, divisin, potencias y radicacin)

obtenindose una nueva funcin algebraica.

Funciones pares: Si f(x) = -f(x) la grfica es simtrica respecto al eje yy la funcin se dice que

es par.

Funciones impares: Si f(-x) = -f(x) la grfica es simtrica respecto al origen y se dice que es

impar.

Existen otras clases de funciones especiales que se definen segn su tipo; por ejemplo:

Funcin mayor entero: [( x )] = n , n nnx ,1

Funcin compuesta: Se representa por: f o g , se define (f o g) = f(g(x))

El dominio de de f o g es el conjunto de todos los nmeros x en el dominio de g, tales que g(x)

se encuentra en el dominio de f(x), si f es una funcin de x en y y g es una funcin de y en z,

entonces la funcin compuesta g o f es la funcin de x a z dada por (g o f)(x) = g(f(x)) para cada

x en x . La funcin composicin tiene dominio x y contradominio z.

Algunos ejemplos pueden aclarar estos conceptos:

Ejemplo 1: Si f(x) = {(0,5), (8,1),(2,9)};

g(x) = {(2,0), (3,8),(4,1),(6,2),(5,6)}

f(g(x)) = { x/x Dg y g(x) Df }, g(f(x)) ={ x/x Df y f(x) Dg }

D= {(2,5 ), (3,1 ), (4, ), (5, ), (6,9 ) , f(g(x) = {(2,5), (3,1), (6,9)}

Ejemplo 2: f(x) = {(1,7), (5,4), (3,5),(4,6)}

g(x) ={(0,-3),(3,5),(4,1)}

f(g(x)) = {(0, ), (3, 4 ), (4,7 )}= {(3,4),(4,7)}


21

Ejemplo 3: Si f(x) = x

G(x) = 2x -3

F(g(x)) = 32 x

Reafirma tus conocimientos realizando las siguientes actividades: Actividades 1: Atrvete! Clasifica las siguientes funciones segn sus caractersticas:,

observa que una funcin puede clasificarse de diferentes formas.

a) Y = x3 -2x +1 puede ser algebraica, entera, polinomial, cbica, explcita, uniforme, de una

variable

b) Y = 5x-4

c) Y = 4 senx

d) Y = 43952

x

x

e) Y = (x3 -4x2+ 2)6

f) Y = xx

g) Y= a2x-1

h) Y= Tan3 6x

i) X2+ y2= 4

j) Y = 8x-1/2

j) Y2 = 8x

k) Y = x3 x2

Actividad 2: Esto se pone interesante! ahora transforma las siguientes funciones en

explcitas, dejando a x como variable independiente.

a) X2= 9y b) 2xy + 1 = 4x2 + y

c) 3xy-6x + y-2=0 d) y2+ 12x = 4x2+ 2y+8

e) x2 -4x +y2 6y = 3

Actividad 3: Con las siguientes funciones obtener el dominio, rango y su grafica:

y = 2x + 6 y = -2x2 + 8x -6

y = 2x +2 y = 12

x

Cul es el dominio de la primera funcin?, estos valores dnde se encuentran en la segunda

funcin?

Qu se puede decir del rango de la primera funcin respecto al dominio de la segunda funcin?

x -1 0 1 2 3 4

y

x 0 2 4 6 8 10

y


22

Cmo son las funciones?

5. Grafica y = x2 1 x = y2 1

Cmo son las funciones en la grfica?

6). grfica -3 si x 1

y = 1 si 1 < x 2 Cul es el dominio?

4 si 2 < x Cul es le rango?

7). y = 3

92

x

x Dominio Rango

Es continua la funcin? En donde es discontinua?

8). x 1 si x


23

1.5. Operaciones con funciones

Con las funciones se pueden realizar operaciones obteniendo con ello nuevas funciones como

resultado de la operacin realizada; stas se pueden obtener mediante suma, diferencia, producto

o cociente. Dadas dos funciones: f(x) y g(x).

Su suma = f+g = (f+g)x = f(x) + g(x)

Su diferencia = f-g = (f g)x = f(x) g(x)

Su producto = = f.g = (f . g)x = f(x). g(x)

Su cociente = g

f = (

g

f)x =

)(

)(

xg

xf

En todos los casos el dominio de la funcin resultante son aquellos valores de x comunes a los

dominios de f(x) y g(x) a excepcin del cociente donde se excluyen los valores para los cuales

g(x) = 0

Ahora, practica las operaciones con funciones en los siguientes casos:

Ejemplo 1: Si f(x) = {(4,3),(5,6),(0,5),(3,2),(8,11)} g(x) = {(5,-4),(0,6),((3,3),(8,9),(7,1)}

(f+g)x = {(5,2), (0, ), }

(f-g)x = {

(f.g)x = {

(f/g)x = {

Ejemplo 2: Si f(x) = x2 g(x) = 4x3 Dominio de f(x) = dominio de g(x) =

(f + g)x = f(x) + g(x) =

(f g)x = f(x) . g(x)=

(f .g)x = f(x) g(x) =

(f / g)x = f(x) / g(x)=

Ejemplo 3: f(x) = 24 x D = [-2, 2] g(x) = x

2 D = (- ),0()0,

(f + g)x = f(x) + g(x)=


24

(f g)x = f(x) g(x) =

(f . g)x = f(x) . g(x) =

(f / g)x = f(x) / g(x) =

Es momento de concluir este tema invitndote a reconocer las:

1.6. Propiedades de las funciones

Para conocer el comportamiento de la curva algebraica es necesario recurrir a ciertas

propiedades que faciliten su anlisis, entre ellas estn:

a) Simetra: Si p es el punto de simetra entre p1 y p2, entonces p es el punto medio de p1p2. Si dos puntos son simtricos respecto a una recta entonces esta recta es

perpendicular al segmento que los une y es su bisectriz (mediatriz)

b) Simetra con respecto al eje x: Una funcin es simtrica respecto a xx si el exponente de y es de multiplicidad par: y2 x +2 = 0, es de multiplicidad par; y2 xy + 2 = 0 no es

de multiplicidad par.

c) Simetra respecto al eje yy: Una funcin presenta simetra con respecto al eje yy si el exponente de x es de multiplicidad par.

Ejemplo:

x2y 2y -3 = 0 (si), Y = (x2 + 2)/ (x+3)(x-1) (no), (x-2)2 +4(y-1)2 = 4 (no)


25

d) Simetra con respecto al origen: Una funcin es simtrica respecto al origen si al sustituir la x por (-x) y la y por (-y) en la expresin original y esta no se altera. x2 +y2 = 4

si es (-x) 2 + (-y)2 = 4

e) Interseccin con el eje xx: x2 + y2 = 25 Si al despejar y y resolver la ecuacin

resultante para x se obtienen races reales. (hacer y = 0) y = 225 x (despejando y

en la ecuacin anterior)

225 x = 0 si se eleva al cuadrado se tiene: 25 - x 2 = 0, x = 5 , los puntos de

interseccin con xx son (5,0) y (-5,0)


26

f) Interseccin con yy: El procedimiento es semejante al anterior haciendo x = 0 y resolviendo para y

X2 = 25 y2 si x = 0 25 y2 = 0 de donde y = 5 y -5 los puntos de interseccin con

(05), (0,-5). (Grfica anterior)

Asntotas de una curva: Si una curva tiende a la direccin de una recta fija, acercndose a ella

de tal forma que la distancia entre un punto variable y la recta llega a ser menor que cualquier

nmero preasignado entonces dicha recta es una asntota.

g) Asntotas verticales: La recta x-a = 0 es una asntota vertical de una curva si x-a es un factor del denominador despus que en la ecuacin se ha despejado la variable

dependiente y se han eliminado los factores comunes. x2y 4y x = 0 y ( x2 4) = x, y

=x/ (x2 -4) de donde x = 2 y 2, asntotas verticales de la curva de la curva.

h) Asntotas horizontales: y b = 0 es una asntota horizontal si y b = 0 es un factor del denominador despus de despejar x y haber simplificado: xy2 x y = 0, x( y2- 1) = y de


27

donde X = y/(y2-1) , si (y2 1) = 0 , y = 1, y = - 1 de donde y-1 = 0 , y + 1 = 0 son dos

asntotas horizontales de la curva.

i) Extensin de la curva: Dominio como en los ejemplos la curva presenta una asntota

vertical en x = 2, la curva no pasa por X = 2, su dominio ser x 0 . e n este apartado es

conveniente manejar el concepto de:

j) Funcin creciente: Cuando a un aumente de x corresponde un aumento de y o al disminuir x disminuye y en un determinado intervalo

k) Funcin decreciente: cuando a un aumento de x corresponde una disminucin de y o al disminuir x, y aumenta.

l) Observa la grfica de la primera funcin:


28

Estas grficas nos auxilian en la determinacin de los intervalos para expresar la extensin de la

curva y en donde es creciente o decreciente.

Confirma tu aprendizaje resolviendo las siguientes

Actividades:

1. De la curva xy + 2y - 2x + 5 construye su grfica y determina a) simetras, b) interseccin con los ejes, c) asntotas, d) extensin de la curva.

2. En igual forma que en el problema anterior: xy x + 3 = 0, x2 + y2 4 = 0,

xy + 2y - 2x +3 = 0, x2y 2xy + 2y x2 + 2x = 0.

FELICIDADES, TE FALTA MENOS QUE AYER!


29

UNIDAD II. LMITES

Con el desarrollo del presente apartado y el desarrollo de las actividades propuestas se pretende

que logres en primer lugar: comprendas el concepto intuitivo de lmite de una funcin, en

segundo trmino, calcules el lmite de diversas funciones aplicando para ello los procedimientos

analizados, y ya comprendidos estos aspectos, puedas determinar la continuidad de una funcin o

su discontinuidad en un intervalo.

El concepto de lmite es tan importante en el estudio del clculo, que el estudiante debe procurar

tener sobre l la mayor comprensin posible, cosa que intuitivamente se puede lograr. En este

sentido te invito a que leas con atencin la siguiente lectura y contestes las preguntas que se te

piden.

2.1. Nocin intuitiva de lmite.

Los temas hasta aqu analizados son parte de lo que se puede llamar preclculo. Estos

proporcionan los elementos fundamentales del Clculo pero no lo es. Para ello es necesario

contar con una idea clara del concepto de lmite idea que distingue al Clculo de otras ramas de

las matemticas, se puede decir que el clculo es el estudio de los lmites. La idea que se

pretende desarrollar es completamente intuitiva y no una definicin del concepto matemtico de

Lmite

EJEMPLO 1. Imagnate un resorte que puede soportar un peso mximo de 5kg. Ahora agregamos peso gradualmente al resorte. Qu pasa? __________________________________________ Cules el lmite de resistencia del resorte? ___________________________________________ 1 kg. 4 kg. 5.5 kg.


30

EJEMPLO 2 Imagnate ahora una lnea de un kilometro de longitud. Dividimos a la mitad dicho segmento; una de las mitades la volvemos a dividir a la mitad y as sucesivamente dividimos en cada ocasin una de las mitades resultantes. Cundo terminaremos de hacer mitades?__________________________________________ Cunto medir la ltima parte que haremos? _______________________________________ Escribe, Qu entiendes por lmite?______________________________________________ Comenta con tus compaeros y den una definicin de lmite ____________________________________________________________________________

Al analizar la funcin:1

1)(

3

x

xxf se pude observar que si x = 1 la funcin es discontinua; ya

que esta expresin para x = 1 presenta una indeterminacin: ahora investigar que sucede con la

funcin cuando damos a x valores muy prximos a ( 1) tanto por la izquierda como por la

derecha

Valores prximos a 1 por la izquierda

X 0 .1 .5 .9 .99 .999 .9999

y 1 1.11 1.75 2.71 2.97 2.997 2.9997

Valores prximos a 1 por la derecha. Obtn los valores de y

X 2 1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001

y 7

A que valor se aproxima x por la izquierda? a qu valor se aproxima y?

A qu valor se aproxima x por la derecha? a que valor se aproxima y?

Observa la grfica de esta funcin y comprueba tus conclusiones:


31

Lim 1

13

x

x =

3

x 1

Actividad: Realiza el mismo proceso con la funcin: 1

2)(

2

x

xxxf

Ejemplo 2: Qu le sucede a f(x) = x2 +3 cuando x se acerca a 3

Construyamos la tabla:

Hacia 3 por la izquierda 3 Hacia 3 por la derecha

x 2.5 2.9 2.99 2.999 3.001 3.01 3.1 3.5

F(x)

Se aproxima a 12 por la izquierda Se aproxima a 12 por la derecha

Analiza la grfica:


32

Ejemplo 3: Con una tabla de valores y en forma grfica analizar el comportamiento de la

funcin:

f(x) = 2

42

x

x a que valor se aproxima f(x) si x se aproxima a 2?



x 1.5 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.5

F(x)

Se aproxima a ____ por la izquierda Se aproxima a____ por la

derecha

Analiza la grfica:

Ejemplo 4: g(x) = x

x



x -.5 -.1 -.01 -.001 0..001 0.01 0.1 0.5

F(x)

Se aproxima a -1 por la izquierda -1 | 1 Se aproxima a 1 por la derecha


33

Notas alguna diferencia respecto a los anteriores ejemplos?

Habrs notado que y se aproxima a dos valores, si por la izquierda x se aproxima a________y se

aproxima a______ si x se aproxima por la derecha a______ y se aproxima a______

Ejemplo 5: f(x) = x

1



x -.5 -.1 -.01 -.001 0..001 0.01 0.1 0.5

F(x)

Se aproxima a por la izquierda ? Se aproxima a por la derecha

Analiza la grfica y obtn tus conclusiones

Observando la grfica fcilmente se puede concluir que:

1 Si x se aproxima a 0 por la izquierda y decrece ilimitadamente.

2. Si x se aproxima a 0 por la derecha y crece ilimitadamente x = 0 es una asntota de la curva.


34

Es momento de recapitular! Estos ejemplos tienen cosas en comn y aspectos en los que difieren:

Existe un valor de x previamente fijado x = c y se aproxim x a este valor por la izquierda y por la derecha.

En los primeros tres casos a medida que nos acercamos a l, valor dado de x tanto por la izquierda como por la derecha existi un valor fijo para y = L, entonces se dice

f(x) L que se expresa: el lmite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L

simblicamente: Lim f(x) = L

x c

En el penltimo ejemplo aproximndose a x por la izquierda, y toma el valor de -1 y acercndose por la derecha y se aproxima a 1 por lo que dicho lmite no existe.

Lim |x|/x no existe

x 0

En el ltimo ejemplo no existe el lmite porque la grfica crece y decrece acercndose a X = 0 pero no logra tomar el valor de 0.

Entonces es posible concluir que: Lmite de una variable: Una variable se aproxima a un lmite cuando toma todos los valores

sucesivos de tal forma que la diferencia entre la constante y la variable llega a ser tan

pequea como se quiera.

Conclusin: Una variable x tiende a una constante a como lmite cuando los

valores sucesivos de x sean tales que el valor numrico de la diferencia x- a llega a ser

menor que cualquier nmero positivo predeterminado tan pequeo se quiera. La

relacin se abrevia x a Lim (1/2)n = 0

n

2.2. Clculo de lmites

Lmite de una funcin: Frecuentemente es necesario conocer hacia que valor se acerca una

funcin cuando la variable independiente se aproxima a un valor especfico, este valor cuando

existe, se llama lmite de la funcin.

Lim f(x) = L

x a Teoremas sobre lmites

Las siguientes proposiciones son consideradas como teoremas sobre lmites, stas se aceptan

sin una demostracin rigurosa.

1. Lim v

c 3. Lim

c

v

v 0 v

2. Lim cv = 4. Lim 0v

c


35

v v Existen diversas formas para determinar el lmite de una funcin, una de estas formas consiste

en: Sustituir a la variable independiente por diferentes valores prximos a la constante a, ya

sea por la izquierda o por la derecha y analizar el comportamiento de f(x) cuando x a. ejemplo:

Valores crecientes valores decrecientes

Lim x + 1 xi yi x y

x 3 2 3 4 2.5 3.5 3.5

2.9 3.9 3.1

2.99 3.99 3.01

2.999 3.999 3.001

3 4 3

y = x2 + 4x

Lim x2 +4x x y x y

x 2 1 5 3 1.5 2.5

1.9 2.1

1.99 2.01

1.999 2.001

2 2

Otro procedimiento utilizado y ms simple que el anterior consiste en hallar f(a) cuando

x a, este procedimiento es vlido para ciertas funciones, para otras es necesario realizar algunas operaciones algebraicas, a continuacin se describen y desarrollan algunos ejemplos.

Estos ejemplos te ayudarn a comprender los siguientes teoremas relacionados con los lmites

de las funciones.

1. Lim x = a 2. lim c = c

x a x a 3. Si dos funciones son iguales para todo valor de x, diferente de a y una tiene lmite

cuando x a, la otra tiene el mismo lmite cuando x a

4. El lmite de la suma de un nmero finito de funciones cuando x a, es igual a la suma de de los lmites de estas funciones cuando x a Lim u + v w = lim u + lim v + lim w

x a x a x a x a

5. El lmite del producto de un nmero finito de funciones cuando x a es igual al producto de los lmites de estas funciones cuando x a Lim U V W =( Lim U ) ( Lim V) (Lim W )

X a x a x a x a


36

6. El lmite del cociente de dos o ms funciones cuando x a es igual al cociente de los lmites de las funciones cuando x a siempre que el lmite del denominador no sea cero. Lim u

Lim u/v = x a x a Lim v x a Conclusin: Para obtener el valor del lmite de un polinomio cuando x a se calcula el valor de f(a)

Ejemplo: Lim 3x2-5x + 8 =F(-1)= 3(-1)2-5(-1)+8 =3+5+8 = 16 x -1

Actividad: Una vez analizados los teoremas, aplica tus conocimientos y resuelve

correctamente los ejercicios siguientes:

3 x a x ax

753

12x lim 18) 47lim7x 17) xlim )16

2

1 x 1 x 0

584x lim 15) 645x lim 14) 2

65x lim 13)

2 x 3 x 1

12

24x lim 12)

4

3x lim 11)

1x

72x lim 10)

2x -4 x -3x

5x lim 9) 9 xlim 8) 4- xlim 7)

1 x 3 x 4x

pi lim 6) 4- xlim 5) 8 lim )4

3

1 x -1 x 1

x lim 3) 13x lim 2) 1 xlim )1

2

3422

22

2

4

22

22

xx

xxaxax

x

xxx

x

x

x


37

Ampla tus conocimientos sobre lmites leyendo con atencin el tema siguiente:

Otros lmites

En pginas anteriores ya se dijo que existen ciertas funciones que requieren de algn

procedimiento algebraico para poder determinar su lmite; ya que al obtener f(a) presenta

alguna indeterminacin 0/0

Lim (x2 4) / (x2-5x+6) hallando f(2) = 0

0

6)2(52

422

2

como observas se ha obtenido

x 2 una indeterminacin.

Si se considera el principio 3 y con un procedimiento algebraico se transforma la funcin en

otra ms simple, analcese si dicho lmite existe.

Lim 41

4

32

22

3

2

)3)(2(

)2)(2(

x

x

xx

xx Observa que el numerador y el denominador

x 2 se factorizaron y fueron eliminados los factores comunes. Obtenindose del resultado f(2) y

con ello el lmite de la funcin (x+2) / (x-3) cuando x 2 . El lmite as obtenido es 4, valor que corresponde al lmite de la funcin inicial ya que estas funciones tienen los mismos

lmites para otros valores de x diferentes de 2 y segn el principio para dos la segunda tiene

como lmite 4 que ser el lmite de la funcin inicial.

Sin limitaciones, para que reafirmes tu aprendizaje actvate y aplicando este criterio

obtener los siguientes lmites:

Actividades:

1) Lim (x2-16) / (x-4) 2) Lim (x3+27) / (2x+6) 3) Lim (3x2-x-10) / (x2-4)

x 4 x -3 x 2

4) Lim (3h3+2h2+3h) / (3h2+2h) 5) Lim (x4-a4) / (x2-a2) 6) Lim (6x2-24x+24) / (3x-6)

h 0 x a x 2

7) Lim (x3+8) / (x+2) 8) Lim (x4-x3-2x+1) / (x2-5x+7) 9) Lim [(x+hx)2-x2] / (hx)

x -2 x 3 h x 0

10) Lim (x3-27) / (2x-6) 11) Lim (x3-8) / (x-2) 12 Lim ( 4x2+5x) / (3x2+5x)

x 3 x 2 x 0

13) Lim(x2+7x+6)/(x2-4x-5) 14) Lim(4t3+3t2+2)/(t3+2t-8) 15) Lim[(2z+3k2)3-4k2z]/2z(2z-k)2

x -1 t 0 k 0

16) Lim (x2+x+-6) / (x2-4) 17) Lim (s4-a4 ) / (s2-a2) 18) Lim (x-2) / (x2-4)


38

x 2 s a x 2

20) Lim (x2+3x+2) / (x2+4x+3) 21) Lim (x2-4) / x2-5x+6) 22) Lim (3x-2)2 / (x+1)3

x -1 x 2 x 1

23) Lim (3x-3x) / (3-3x) 24 Lim (27-x3) / (3-x)

x 0 x 3


39

Para el conocimiento no hay limites por lo cual en el siguiente ejemplo se

analiza otro procedimiento algebraico para determinar el lmite de una funcin cuando

sta presenta una indeterminacin.

Lim ax

ax

al calcular f(a) se tiene una indeterminacin 0 / 0, para eliminar esta

x a indeterminacin es necesario racionalizar el numerador. Para ello multiplicar el numerador y denominador de la fraccin por una cantidad tal

que haga racional el numerador (raz exacta). En este caso se ha multiplicado por la

conjugada del numerador para obtener como producto una diferencia de cuadrados, ello hace

racional al numerador y se elimina la indeterminacin:

(ax

ax

)

aaxax

ax

ax

ax

2

1

))((

)(

Lim ax

ax

=

a2

2

x a

Contina extralimitndote y realiza la siguiente actividad:

Determina los siguientes lmites, analiza en primer trmino que expresin racionaliza el

denominador o el denominador, segn el caso.

1) Lim 3) Lim

x 1 x 7

2) Lim h

xhx = 4) Lim

4

2

x

x 5) Lim

3

9 2

x

x

h 0 x 4 x 3

6) Lim 3

9

x

x 7) Lim

9

3

2

x

x 8) Lim

x

x 22

x 9 x 3 x 0

) 1 /( ) 1 ( x x ) 49 /( ) 3 2 ( 2 x x


40

9) Lim 2

22

x

x 10 Lim

x

x

5

22 11) Lim

741

42

x

x

x 2 x 0 x 2

12) Lim x

xx

3

44 13) Lim

x

x

7

345

x 0 x 7

Y como alguien dira, an hay ms

Limite de funciones cuando x tiende a infinito: En este caso se divide la expresin entre

la variable de mayor grado (exponente) y se aplica el teorema Lim c/v = 0

v

Lim 5

2

50

20

53

25

53

25

53

25 2

2

2

2

2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

Contina extralimitndote y obtener los siguientes lmites aplicando los criterios

analizados.

1) Lim 32

254

x

x 2) Lim

32

23

75

432

xxx

xx

3) Lim

17

523

2

xx

xx

x x x

4) Lim 742

3563

2

xx

xx 5) Lim

gfxexdx

cbxax

35

24

6) Lim 1

)1(2

2

y

y

x x y

7) Lim 1

10002 x

x 8) Lim

73

452

x

xx 9) Lim

58

323

2

xx

xx

x x x

10) Lim 5

)22()32(5

53

x

xx 11) Lim

1

12

3

x

x 12) Lim 4x2-3x+1

x x x


41

Otros ejemplos de clculo de lmites:

xx

xxxx

2

22 11lim

x 0 En este ejemplo se observa que para x = 0 se presenta una indeterminacin, como el

lmite del numerado y del denominador existe para x = 0 , como funciones independientes,

para eliminar la indeterminacin multiplicamos la fraccin por la conjugada del numerador

xx

xxxx

2

22 11lim =

xx

xxxx

2

22 11lim .

22

22

11

11

xxxx

xxxx

x 0 x 0

Efectuando la resta, factorizando el denominador, simplificando y obteniendo f(0) se obtiene:

1)2(

2

)11)(1(

2

)11)((

)1()1(

22222

22

xxxxxx

x

xxxxxx

xxxx

Por lo que el lmite de la funcin es: -1

Ejemplo: Lim 113 x

x Como se observa en esta funcin al obtener F(0) presenta una

x 0 indeterminacin, para eliminar la indeterminacin es necesario pensar el cmo esta expresin tenga raz cbica exacta, si se relaciona con una

diferencia de cubos ser necesario multiplicar el numerador y el denominador por

)11)1( 323 xx ello origina una diferencia de cubos

Lim113 x

x=

[113 x

x)( 11)x1

11

11)x1 (

)11)x1 (

)11)x1 ( 323323

323

323

x

x

xx

x

x =3

al hallar f(0)

Este ejemplo tambin se puede realizar haciendo (1+x) = y3 --------(1)

Si x 0, y3 1 por lo tanto y 1, despejando a x de la expresin (1) se obtiene x = y3-1

Realizando el cambio de variable en la funcin inicial

Lim 113 x

x = Lim

3 3

3

1

1

y

y = 3111)1(

)1(

)1)(1(

1

1 223

yy

y

yyy

y

y

x 0 y 1


42

Aplicar el procedimiento al siguiente ejemplo: Lim x

x 1)1(5 3

x 0 Si se hace y5 = 1+x--------------(1)

Si x 0 , y3 1 y despejando a x en (1) x = y3 -1 y se hace la sustitucin de la variable se tiene

Lim x

x 1)1(5 3 =

Lim

x 0 y 1

la factorizacin se ha realizado aplicando el criterio de divisin sinttica y se ha determinado

f(1) a

la funcin resultante. Por lo que el lmite de la funcin inicial es: 3/5

Otro ejemplo: Lim 32

32

x

x

esta funcin da una indeterminacin de la forma

, si se

divide x por la variable de mayor exponente se tiene

101

01

2

31

2

31

2

32

2

32

x

x

x

x

x

x

aplicando la propiedad Lim C/V = 0 si v tiende a infinito.

Ejemplo: Lim dcxxbaxx 22 esta funcin presenta una indeterminacin de la

forma

x -

Si se expresa como una fraccin donde el denominador sea 1 y se multiplica el numerador

y el denominador por la conjugada del numerador, se racionaliza el numerador y dividiendo

por la variable de mayor exponente se obtiene:

dcxxbaxx

dcxbax

22 dividiendo por la variable de mayor exponente (x) el numerador

y el denominador; ya que la funcin tiende a infinito se obtiene como lmite 2

ca

comprueba estos resultados.

5

3

1 1 1 1 1

1 1 1

) 1 )( 1 (

) 1 )( 1 (

1

1

1

1 ) ( 2 3 4

2

5

3

5

5 3 5

y y y y y

y y y

y

y

y

y


43

Ejemplo:

Lim

x

x

11 =

x

Si se le asignan valores a x cada vez ms grandes el valor de la funcin se acerca a un

nmero cuyo valor est entre 2.7 y 2.8 .Comprubalo

n 10 100 1000 100000 1000000 x

Lim

x

x

11

e

Este valor es el nmero e = 2.718281828459045.nmero creado por Euler y sirve de

base al sistema de logaritmos naturales o cientficos, nmero que corresponde al conjunto de

nmeros irracionales y que tiene aplicaciones en los intereses que se paga una cuenta

bancaria. Supngase que un banco paga el 100% anual en una cuenta de inversin, de este

modo un peso al ao gana un peso, si el inters se revisa cada semestre el banco paga

(1+1/2)+(1+1/2)(1/2) =(1+1/2)2, si la revisin se hace cada mes se el banco paga por cada

peso (1+1/12)12, si la revisin se hace a diario, un peso ganara (1+1/365)365 ello conduce al

resultado ya enunciado en la tabla si esta revisin se hace cada minuto segundo etc.

Relacionados con este lmite se pueden obtener lmites de expresiones semejantes a

Lim

x

x

11 = e

x

Ejemplo: Lim

x

x

2

5

21

=

x

Para resolver este caso es necesario tratar de convertir la expresin a una expresin semejante

a la que arroja como lmite el nmero e , utilizando para ello artificios matemticos que

permiten convertir la expresin un una expresin equivalente.

Comparando la expresin con la expresin que tiene como lmite e, se observa que estas

expresiones tienen el primer trmino igual, por lo que nos concentraremos en cambiar el

segundo trmino del binomio y el exponente. De este modo la fraccin se puede simplificar

sacando mitad.


44

Lim

x

x

2

5

21

= Lim

x

x

2

2

52

2

1

= Lim

x

x

2

2

5

11

ahora es necesario que el exponente y el

x x x

denominador de la fraccin sean iguales, si el exponente se multiplica por el denominador y

su recproco (1) se tiene:

Lim

xx

x

x

2.5

2

2

5

2

5

11

= Lim

.5

4

2

5

2

5

11

x

x

= Lim

.2

5

2

5

11

x

x

4/5 = 54

e

x

Ejemplo: Lim

2

3

1

x

x

x= efectuando la divisin se tiene Lim

2

3

41

x

xcambiando

dos

x signos de la fraccin se tiene

2

3

41

x

xy la fraccin es

equivalente, dividiendo por (-4) se tiene

2

4

3

11

x

xrepitiendo el procedimiento como en

el caso

anterior para el exponente y el denominador

)2)(3

4)(

4

3(

3

41

xx

x

x

La expresin semejante a e es

)3

84)(

4

3(

3

41

x

x

xen donde se tiene 3

84

x

x

e aplicando

lmites a al

exponente Lim 41

4

3

84

3

84

xx

xxx

x

x

x regresando a la expresin se tiene que el

lmite de x


45

384

x

x

e = e-4 = 4

1

e por lo tanto el Lim

2

3

1

x

x

x=

4

1

e

x

Obtener: Lim

1

2

22

1

x

x

x= efecta la divisin y contina el proceso., hasta llegar a

lim = e

x

Actividad: Y ya sin lmite alguno, comprueba los siguientes lmites, anexando al presente

los procedimientos utilizados, hacer el trabajo en orden de acuerdo a la numeracin que se

especifica en la propuesta que se hace.

1. Lim 23

42

2

xx

x= (4) 2. Lim 0

1x

1x2

3

3. Lim

25

1052

2

x

xx no tiene lmite

x 2 x 1 x 5

4. Lim 22x3x

1x2

2

5. Lim notiene

xx

xx

34

22

2

6. Lim 2

1........

44

234

3

xx

xx

x 1 x 2 x 1

7. Lim 233

3

3

1..

)1(

a

a

ax

aaxx

8. Lim 2

33

3...)(

xh

xhx

9. Lim 1)

1

3

1

1(

3

xx

x a h 0 x 1

10. Lim2

3....

11

113

x

x 11. Lim

1

1

x

x=

2

1 12) Lim 3....

4

83

x

x

x 0 x 1 x 64

13. Lim 1.......1

)1(2

2

x

x 14. Lim 0....

1

10002

x

x 15. Lim

3

4...

1

14

3

x

x

x x x 1

16. Lim 9

1...

)1(

122

33 2

x

xx 17. Lim

aax

ax

2

1...

18.

56

1...

49

322

x

xLim

x 1 x a x 7

19. Lim 12.....2

83

x

x 20. Lim

2

3...

1

13

x

x 21. Lim

3

1...

51

53

x

x

x 8 x 1 x 4


46

22. Lim 1.....11

x

xx 23. Lim

3 2

33

3

1...

xh

xhx

24. Lim 0).......( xax

x 0 h 0 x

25. Lim (2

)........)(a

xaxx 26. Lim notienex

xx.....

73

152

27. Lim1

4324

2

x

xx...2

x x x

28. Lim notienexx

x.....

10

2

29. Lim 1...

xxx

x

30. Lim

x

x

x

1

1=.......e-2

x x

31. Lim kx

ex

k.....1

32. Lim 1.

3

2

x

x

x 33. Lim

4

1.

1

11

2

x

x

x

x x 0 x 1

34. Lim

n

n

11 = e-1 35. Lim 2..

21 e

x

x

36. Lim

4

21

3

1

ex

xx

n x x

37. Lim 2

1.

422

1032

2

xx

xx 38. Lim

422

1032

2

xx

xx = 7/3 39. Lim

4

1

3

21

x

x

x x 2 x 3

40. Lim 5x2-3x +8 = 38 41. Lim 11

)1(2

2

v

y 42. Lim

1

10002 x

x=0

x 3 y x

43. Lim 73

152

x

xx= 44. Lim

5

3.

5

322

x

xx 45. Lim 7

1

652

x

xx

x x 0 x 1

46. Lim a

a

ax

ax

2.

47. Lim

2

92

x

x = -

4

5 48. Lim

7

2

75

43232

23

xxx

xx

x a x 2 x

49. Lim 0.32

3423

2

yy

y 50. Lim 6.

23

102

23

xx

xxx

y x 2


47

Usamos ordinariamente el trmino continuidad para describir un proceso sin cambios, o por lo

menos sin cambios bruscos. Al hablar de funciones, estas pueden ser continuas en un punto o en

un intervalo. Para que comprendas este concepto te invito a que realices la lectura del tema y

desarrolles las actividades indicadas.

2.3. Continuidad de una funcin Se dice que una funcin es continua para el valor x = a, si existe f(a) y el lmite de f(x) cuando

x a y estos valores son iguales.

Ejemplo: f(x) = x2

f(3) = 32 = 9 como f(3) = Limx2 la funcin es continua en x = 3

Lim x2 = 9 x 3 x 3

f(x) = 1

3

x ser continua para x = 6?

f(6) = 5

3

16

3

Lim

5

3

1

3

x como f(6) = Lim f(x) la funcin es continua para x = 6

x 6 x 6

Para que valor esta funcin es discontinua?_________ comprueba tu respuesta

Es continua la funcin y 16

42

x

x= para x = 4?_________ comprueba tu respuesta

Es continua la funcin y = 4

122 x para todo nmero real?_______grafica la funcin para

comprobar tu respuesta, Existe alguna discontinuidad para algn valor de x?__________

Incrementa tus conocimientos.

UNIDAD III. LA FUNCIN DERIVADA

3.1. Rapidez de variacin instantnea

El verdadero viaje hacia el descubrimiento no consiste en buscar nuevos horizontes

sino en tener nuevos ojos (Marcel Proust)


48

Muchos de los fenmenos de la vida diaria como los de la ciencia y la tcnica estn relacionados

con el cambio de una cosa con respecto a otra.

Ejemplos: la velocidad de un automvil representa una cambio de posicin del automvil

respecto al tiempo (tambin cambia)

La razn de cambio de la poblacin respecto al tiempo.

La demanda de un producto por la poblacin

La inflacin con relacin al tiempo.

Son ejemplos que nos indican razones de cambio.

Cmo se podr medir esta variacin? Existen algunas formas de medir la variacin o el

cambio, tales como:

a) Variacin absoluta o incremento: Esta variaciones una diferencia entre un valor final y un

valor inicial. Supongamos que Ral abre una cuenta de ahorros en BANAMEX con $ 1000.00, al

pasar tres meses va al banco y le informan que cuenta con $1025.00

Cul es la variacin absoluta o incremento?

Respuesta: cf = $1025.00, ci= $1000.00, el incremento del capital es if ccc = 1025.00 -

1000.00 = 25.00.

b) Cambio relativo: El cambio relativo es un cociente entre el cambio absoluto y el valor inicial

025.01000

25

ic

c

c) Variacin promedio o razn promedio: Si se considera que la variacin absoluta fue de c

=25.00 en un tiempo de tres meses, la variacin promedio est determinada por: 33.83

25

t

c

por mes, el capital de Ral creci 8.33 pesos por mes.

d) Variacin de una funcin en un punto: f(x) = 1

12

x

x , Qu sucede con los valores de f(x) si

x se acerca cada vez ms a 1?



x .5 .9 .99 .999 1.001 1.01 1.1 1.5

F(x)

Se aproxima a ____ por la

izquierda

Se aproxima a____ por la

derecha

Es fcil observar que cuando x se acerca a 1 los valores de la funcin se acercan a 2, si se grfica

esta funcin se nota que hay un hueco en P(1,2) al acercarse x a 1 y ir naturalmente a 2


49

e) Razn de cambio: La velocidad es una razn de cambio: v = t

d

ya que =

if

if

tt

dd

=

velocidad

promedio, Se podr obtener con este criterio la velocidad instantnea?,

que se requiere para este concepto?

Sin duda alguna este problema lo podrs comprender fcilmente al analizar la cada libre de los

cuerpos, recuerda que Galileo descubri que dos cuerpos de diferente peso difieren menos en su

cada en el aire que en el agua, ello lo condujo a determinar que los cuerpos de diferente peso

caen a la misma velocidad en el vaco. Y tambin descubri el movimiento en cada libre

matemticamente.

d = 4.9 t2 si el cuerpo se deja caer.

t 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

d(t)

Cmo calcular la velocidad a los 5 segundos?

Retomando el concepto de variacin absoluta o incremento:

Un incremento lo obtenemos dando a la variable independiente (x) un valor inicial (a) y

despus un valor final (b) se llama incremento de la variable independiente a la diferencia x

b - a

Notacin: incremento de x = x = b a por lo tanto b = x +a

y

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 1

1.5

2

2.5


50

El incremento puede ser positivo, nulo o negativo. Obtener el valor faltante

Variable valor inicial valor final x

X 2 3 1

X 4 1 __

X ___ 6 0

X ___ -1/6

Incremento de una funcin: Sea la funcin y = f(x) , si x vara de a a b

f(a) = valor inicial de la funcin

f(b)= valor final de la funcin

Incremento de la funcin = )()()( afbfxf = f(a + x ) f(a).

El incremento de la funcin como el de la variable independiente puede ser positivo, nulo o

negativo.

Calcular el incremento de la funcin y = 5x -3

xi xf x y1 yf y

2 2.5

1 -3

-4 2

Obtener los incrementos de las siguientes funciones:

xi x2 f(x) = 5x-1 4 7

f(x) = 2x2 -1 - 4

f(x) = x 25 16

f(x) = log x 10 1000

Incremento de una funcin al tender a cero el incremento de la variable independiente.

y = 2x +1

xi xf x y1 yf y

6 6.1

6 6.01

6 6.001

6 6.0001

x 0

Completa el siguiente enunciado segn lo que observaste:


51

El incremento de una funcin tiende a ____al tender cero el incremento de la variable

independiente

Nueva definicin de funcin continua: Una funcin es continua para cierto valor de x si el

incremento de la funcin tiende acero, al tender a cero el incremento de la variable

independiente

Incrementa tu aprendizaje realizando la siguiente actividad: Determina el incremento de

las siguientes funciones:

y = x2 -4x + 3 x1 = 5 xf = 5.8

y = x

x

52

13

xi = 0.5 x = 0 . 3

y = 1 x3 xi = -2 xf = -6

y = x1 xi = 0.8 xf = 0.4

y = x1

4 xi = -3 xf = 3

3.2. Concepto de derivada

A partir del anlisis del comportamiento de los incrementos de la funcin y de la variable

independiente cuando esta tiende a cero es posible que conozcas el concepto de derivada para un

valor en x, en este sentido te invito a que leas con atencin y realices las actividades que se te

piden con el propsito de que construyas tu propio concepto.

Concepto de derivada para x = a

Hallar el limite de la razn del incremento de la funcin al incremento de la variable

independiente para x = 3 y = x2

Lim x

y

x 0


52

xi xf x y1 yf y

x

y

3 3.1

3 3.01

3 3.001

3 3.0001

3 3.00001

La funcin derivada de una funcin para un valor de x = a es el lmite de la razn del

incremento de la funcin al incremento de la variable independiente, cuando el incremento

de la variable independiente tiende a cero, tomando x como valor inicial (a)

Hallar el valor de la funcin derivada de la funcin: y = 2x + 3 para x = 3

xi xf x y1 yf y

x

y

3 3.1

3 3.01

3 3.001

3 3.0001

3 3.00001

Mtodo directo para obtener la funcin derivada partiendo del concepto o definicin de funcin

derivada.

Definicin: Funcin derivada de una funcin f(x) es el lmite de la razn del

incremento de la funcin al incremento de la variable independiente, cuando el

incremento de la variable independiente tiende a cero

Notacin: f(x) = Lim

0

)(

x

x

xf= Lim

0

x

x

y

= Df(x) = Dx y = f(x) = y = dx

xdf

dx

dy )(

Todas esta son formas de notacin de funcin derivada

De las operaciones realizadas en los ejercicios precedentes, puedes inferir que para

obtener la derivada de una funcin y = f (x), se pueden seguir cuatro operaciones que de forma

resumida se le llama:


53

3.3. Forma general de derivacin

Si se observa la expresin Lim '

0

)()(y

x

x

xfxxf

, fcilmente se puede comprender que es

Necesario realizar cuatro pasos para obtener la funcin derivada de una funcin.

1. Incrementar la funcin dada, esto consiste en hallar: f(x+ x )

2. Restar la funcin inicial, al tener un valor final menos un valor inicial se est obteniendo un

incremento de la funcin: de la frmula se tiene: f(x+ x ) f(x)

3. Realizar la divisin. Incremento de la funcin entre el incremento de la variable

independiente:

x

y

x

xfxxf

)()(

4. Calcular el lmite del cociente resultante cuando el incremento de x tiende a cero.

Lim

x

y

0x

Aplicacin: Observa la aplicacin de esta formula en el siguiente ejemplo:

Y = x2 - 2x -3

1 y + y = (x + )2 2(x + x) 3

y+ y = x2 + 2x x + x2 2x - 2 x -3

2 y+ y = x2 + 2x x + x2 2x - 2 x -3 restar la funcin inicial

-y - x2 +2x +3

= y = 2x x + x2 - 2 x Dividir este resultado por: x

3 22x

x2 - x+x 2x 2

xx

x

y aplicar el lmite al cociente obtenido

4 Lim 0

22

x

xx = 2x -2. a este lmite as obtenido se le llama funcin derivada de la funcin

inicial.

Por lo tanto: y = 2x 2 funcin derivada

Expresin que nos dar las tangentes a cualquier punto de la curva y = x2-2x-3


54

Actividades: Reafirma tus conocimientos realizando la siguiente actividad: Aplicando el

procedimiento desarrollado obtn la funcin derivada de cada una de las siguientes funciones:

1) y = m x + b 2) s = 2 t t2 3) y = x4

4) y = 3 x2 + 5 5) u = 4 v2 2 v3 6) y = 2 x3- 6 x + 4

7) 1

2

xy 8)

xy

1

1 9)

)( 2

2

bxa

xy

10) x

y21

1

11) y = x 12)

35

34

x

xy

13) y = 2

32 x

14) y = 2x3 + 3x2 + 2x 15) y = 22

1

ax

16) y = x2 17) y = xx 22 18) y = 32 3 x

19) y = 1

12

2

x

x 20) y = xx 22 21) y =

x

1


55

Para comprender mejor el concepto de la funcin derivada, analiza con atencin el

siguiente tema.

3.4. Interpretacin geomtrica de la funcin derivada

Para este tema es importante que recuerdes los siguientes conceptos:

Secante: recta que corta a una curva

Tangente: recta que toca en un punto a una curva

Si se hace que el punto Q se mueva sobre la curva AB acercndose indefinidamente a P, la secante girar sobre P y su posicin lmite es por definicin la tangente a la curva en P.

B S

Q(x+ x ,y+ )y

A

y

T

P(x,y) R

M x N

Si se considera la funcin f(x), representada por la curva AB, primero derivar la funcin segn la

regla general e interpretar cada paso geomtricamente.

Sea el punto P(x,y) de la curva AB, Q(x + x ,y + )y un segundo punto de la curva cercano a P.

Y = f(x) . La curva AB

1. Y + y = f(x + x) NQ

2. y -f(x) MP =NR

y = f(x+ x) f(x) = NQ NR = RQ

3

x

y

tan

)()(

PR

RQ

MN

RQ

x

xfxxf pendiente de la secante


56

Con este paso se observa que la razn de los incrementos y / x es igual a la pendiente de la

secante determinada por los punto P y Q

4 Considerando el valor de (x) como fijo, luego P es un punto fijo de la curva, as mismo x

vara tendiendo a cero, evidentemente el punto Q se mueve a lo largo de la curva aproximndose

a P como posicin lmite. Por lo tanto la secante girar alrededor de P y tendr como lmite la

tangente PT.

= la pendiente de la secante PQ

= la pendiente de la tangente PT

Lim = =

0

)('

x

TanLimTanxfdx

dy

= pendiente de la tangente en P

De este modo se establece el siguiente teorema:

Ejemplo: Obtener la pendiente y el ngulo de inclinacin de la curva y = x2-2 en el punto cuya

abscisa es 1 y en el punto cuya abscisa es -2. y la ecuacin de la tangente

Primero: Derivar la funcin por frmula general.

El resultado obtenido es y = 2x por lo tanto: tan = 2x

En x = 1 tan = 2(1) = 2 = arc tan 2 = 63 26 inclinacin

En x = - 1 Tan = 2(-2) = -4 por lo tanto la inclinacin de la curva es : =arc tan -4 = =180 - 7557 = 104 3

observar que en este caso la tangente es negativa por lo que la inclinacin del ngulo es mayor

de 90

Como la pendiente de las tangentes son Tan1 = 2 y el P1(1, -1 ) f(1) = (1)2-2= -1

tan2 = -4 y el P2 (-2, 2 ) f (-2) = (-2)2 -2 = 2

Con estos puntos y aplicando la forma punto pendiente de la recta obtener las ecuaciones

y y1=m(x x1) observa la grfica

Teorema: El valor de la derivada de una funcin en

cualquier punto de una curva es igual a la pendiente

de la tangente a la curva en ese punto


57

Actividades: Ahora bien, para que construyas tu propia interpretacin, realiza lo

siguiente:

1) Obtener la pendiente y el ngulo de inclinacin de la curva 2)1(

4

xy en x = 1

2) Obtener la pendiente y el ngulo de inclinacin de la curva y = 3+ 3 x - x3 en x = -1

3) Obtener la pendiente y el ngulo de inclinacin de la curva y = x3 3 x2 en x = 1

4) Obtener la pendiente y el ngulo de inclinacin de la curva y = 2x -1/2 x 2 en x= 3

5) Hallar el punto de la curva y = 5x x2 en que la inclinacin de la tangente es de 45

6) En la curva y = x3 + x , hallar los puntos en que la tangente es paralela a la recta y = 4x

7) En la curva y = x3+x es paralela a la recta y= 2x -6

La perpetua carrera de Aquiles y la Tortuga

Aquiles, smbolo de rapidez, tiene que alcanzar la tortuga, smbolo de morosidad. Aquiles corre

diez veces ms ligero que la tortuga y le da diez metros de ventaja. Aquiles corre esos diez

metros, la tortuga corre 1; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decmetro, Aquiles corre

ese decmetro, la tortuga corre un centmetro, Aquiles corre ese centmetro, la tortuga corre un

milmetro; Aquiles corre ese milmetro, la tortuga la dcima parte de e

cÁlculo - cbta185.comcbta185.com/antologias/4 semestre/cuarto semestre calculo.pdf · en este...

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