expresiones algebraicas - gobierno de canarias · grado de un monomio el grado de un monomio es el...
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Expresiones algebraicas
Lenguaje numérico y lenguaje algebraico.
El lenguaje en el que intervienen números y signos de operaciones se denomina lenguaje
numérico.
EJEMPLOS
Lenguaje usual Lenguaje numérico
Catorce dividido entre siete 14 : 7
Dos elevado al cuadrado 22
La tercera parte de dieciocho
3
18
El lenguaje que utiliza letras con números y signos de operaciones aritméticas se llama lenguaje
algebraico.
EJEMPLOS
Lenguaje usual Lenguaje algebraico
La suma de dos números a + b
Un número menos tres unidades y – 3
El cuadrado de un número b2
La mitad de un número
2
x
1. Expresa con lenguaje numérico o lenguaje usual, según proceda.
Lenguaje usual Lenguaje numérico
La suma de once más nueve es veinte
Cien dividido entre veinte
La cuarta parte de veinte es cinco
Dos elevado al cubo es ocho
32 : 8
3 · 4
2. Une cada enunciado con su equivalente en lenguaje algebraico.
a) La mitad de un número (m + 2)2
b) El triple de un número menos cinco unidades n – 1
c) El anterior a un número entero 2·(a + b + c)
d) El posterior a un número entero x + 1
e) El cuadrado de la suma de dos números 2
m
f) El doble de la suma de tres números 3 · b – 5
Expresión algebraica
Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos con los signos de las operaciones
matemáticas.
EJEMPLOS
Expresión escrita Expresión algebraica
La suma de dos números menos dos x + y – 2
El triple de un número más cinco 3 · x + 5
El cuadrado de un número más la unidad x2 + 1
2
1. Escribe estos enunciados como expresión algebraica.
a) El doble de un número b.
b) El doble de la suma de dos números (m y n).
c) El cuadrado de un número x más 4 unidades.
d) El producto de tres números a, b. c.
e) El doble de un número p más tres unidades.
2. Relaciona cada enunciado con su expresión algebraica.
a) El doble de un número más dos unidades x – 5
b) Un número disminuido en cinco unidades 3
x
c) La tercera parte de un número 2x + 2
d) El cubo de un número x + 10
e) El doble de un número 2x
f) Un número aumentado en diez unidades x3
g) La diferencia de dos números x + 1
h) El número siguiente a un número entero x – y
i) El producto de dos números
2
ba
j) Los dos quintos de la suma de dos números ba
k) La raíz cuadrada de la suma de dos números ba 5
2
l) La mitad de la suma de dos números m · n
3. Si x es la edad de Juan, expresa en lenguaje algebraico.
Expresión Lenguaje algebraico
Los años que tenía el año pasado
Los años que tendrá dentro de dos años
La edad que tenía hace 5 años
La edad que tendrá dentro de 7 años
Los años que faltan para que cumpla 70 años
La mitad de los años que tiene
El cubo de la edad que tendrá dentro de 3 años
4. Inventa un enunciado para estas expresiones algebraicas.
a) n + 1 →
b) a + b →
c) 2
b
d) 2 · (m – n) →
e) x3 – 1 →
f) 2 · x + 1 →
5. Contesta con expresiones algebraicas.
a) Luís tiene hoy t años. ¿Cuántos años tendrá dentro de 5 años?
b) María pesa m kilos y su hermana Silvia 6 kilos menos. ¿Cuántos kilos pesa Silvia?
c) Marcos tiene x euros en su hucha y saca 12 euros. Unos días después, su abuela le da de propina
el doble del dinero que le quedaba en la hucha. ¿Qué le ha dado su abuela?
d) Hace doce años la edad de Miguel era x años. ¿Cuántos años tiene ahora?
e) La base de un rectángulo mide x cm. Y su altura 3 cm. más que el doble de la base. ¿Cuánto mide
la altura?
3
Monomios
Un monomio es una expresión algebraica formada por productos de números y letras. A los números se les
denomina coeficientes, y a las letras con sus exponentes, parte literal.
EJEMPLOS Monomio 3x – 5ab –7x3 x5
3
Coeficiente 3 – 5 – 7 5
3
Parte literal x ab x3 x
1. Completa las tablas.
Monomio Coeficiente Parte literal Monomio Coeficiente Parte literal
x 1 x ba 2
3
2
– 3xy – 3 – 2xyz
– x3 – 3b2c
– 5xy2 6x2y
yx2
3
1 2
7
5xyz
Grado de un monomio
El grado de un monomio es el número que resulta de sumar todos los exponentes de su parte literal.
EJEMPLOS Monomio Grado Explicación
– 3x 1 El exponente de x es 1 (x1)
4a2y 3 La suma de los exponentes de a2y1 es 2 + 1 = 3
– 5x2y3 5 La suma de los exponentes de x2y3 es 2 + 3 = 5
1. Completa la siguiente tabla.
Monomio Coeficiente Parte literal Grado
– 3x – 3 x 1
– 2a3b
– 2ab
xyz
7ab2c3
6y2z
Monomios semejantes
Dos o más monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.
EJEMPLOS
5x y 2x son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (x)
3xy2 y – xy2 son monomios semejantes porque tienen la misma parte literal (xy2)
x2y3 y xy2 no son monomios semejantes
1. Escribe dos monomios semejantes a cada monomio dado.
Monomio Monomios semejantes
– 5x
– ab
– 2yx3
– 3y2z3
ba 2
3
2
5xy
4
Suma y resta de monomios
La suma y resta de monomios sólo se puede realizar cuando los monomios son semejantes.
Para sumar o restar monomios semejantes se suman o restan los coeficientes y se deja la misma parte literal.
EJEMPLOS 2x + x = (2 + 1) x = 3x
2x + y → La suma se deja indicada porque no son monomios semejantes
1. Realiza las siguientes operaciones.
a) b + b + b + b = d) 5x – 3x – x =
b) 2x2 + x2 + x2 = e) –5x3 – 3x3 =
c) 5mn – mn – 4mn = f) p – 2p + 5p =
2. Completa los huecos con monomios semejantes y calcula.
a) 2x + ______ + _______ = d) 2x3 + _______ =
b) _______ – x2 = e) _______ + 2xy + ________ =
c) _______ + 5p + ______ = f) 5pq – _______ =
3. Reduce a un solo monomio las siguientes expresiones.
a) 7x – 5x – x = d) 8a8 + a8 – 10a8=
b) 0,3x – 0,2x + 0,5x = e) y2 + 7y2 -10y2 + 5y2 =
c) mmm2
1
2
13 f) 222 5
4
3ttt
4. Reduce las siguientes expresiones, realizando las sumas y restas posibles.
a) 3m + n – 4m + 2n = f) 5x3 + 3x – 5 + 8 – 2x =
b) 4x2 – 3x2 + 7y + 3x2 = g) 5y2- 5y + 3y2 – y =
c) – a + 2a – 8b + a + 9b = h) ab – ab + 7ab + 4ab – 2ab =
d) 2p2 – p2 + 3p – 2p = i) 3ab3 – 2ab + 5ab3 – ab + 4ab =
e) 5b3 – 7b3 + 3b – 4b + 2b3 = j) –10xy – 5xy + 2xy + 4x – 8y + 2y + 2x =
Multiplicación de monomios
El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y
cuya parte literal es el producto de las partes literales.
EJEMPLOS 3x · 2x = (3 · 2) ·x ·x = 6 x2 4x · (–2x2) = [4 · (–2)]· x · x2 = –8x3
1. Realiza estas multiplicaciones.
a) 4a · 3a = d) 3x2 · (–3x2) =
b) 3x2 · 3x2 = e) m · m2 =
c) –2x · (–5x) = f) 2
5
3·
3
2xx
2. Opera y reduce.
a) 2m · 7m = f) (–x2) · (–2x) =
b) 3y2 · y3 = g) (x2y3z) · (xyz2) =
c) 5a2 · 5ax3 = h)
22
5
1·
3
5acab
d) xx4
1·5 i)
32 6·4
1·2 xxx
e) pp3
2·6 j)
xaax 2
3
2·
4
3·
3
2
5
3. Calcula y reduce.
a) 4x (2x – 5) = 4x · 2x – 4x · 5 = 4 · 2 · x · x – 4 · 5 · x = 8x2 – 20x
b) 3(2x + 3x2) =
c) 2a(4a3 – 3a2) =
d) (3 – ab + ab2)2a =
e) –3x(x3 – 2x + 4) – 12x =
f) –x3(–5x + 4 – 3x2 – 10x) =
g) 24 23·3
1xxxxx
División de monomios
El cociente de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el cociente de los coeficientes y cuya
parte literal es el cociente de las partes literales.
EJEMPLOS
31·3·2
6
2
62:6
x
x
x
xxx 2
33 2·
5
105:10 x
x
xxx
1. Resuelve estas divisiones entre monomios.
a) 8x3 : 2x = d) a4 : a2 =
b) –12x5 : –12x4 = e) –14y4 : –2y2 =
c) 20m4 : 15m3 = f) –20z5 : 4z4 =
2. Efectúa las siguientes operaciones.
a) (7x5 : 2x) + x =
b) (6x7 : x3) – (5x : x) =
c) (8a2b : 4ab) + b2 =
d) 3x(x + 1) – (4x2 :x) =
e) (12a3b2 : 3a2b) – b =
f) 3(4xy2 : 2xy) – 2y =
g) 2x[(–2y2x3) : (–x2y)] + x(x – 1) =
Polinomios
La suma (o resta) indicada de dos monomios recibe el nombre de binomio.
La suma (o resta) indicada de tres monomios recibe el nombre de trinomio.
En general, la suma (o resta) indicada de varios monomios recibe el nombre de polinomio.
El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los sumandos que lo forman.
EJEMPLO:
5x2 – 6x – 4 es un trinomio de 2º grado.
1. Anota el grado de cada uno de los siguientes polinomios:
a) x – x3 + 3 → grado ________ c) 6x5 – 5x3 + 6x → grado _______
b) 8x + 2 → grado ________ d) x2 – 7x + 3x2 – 5 → grado ________
2. Ordena según el grado de los sumandos y reduce los siguientes polinomios:
a) x + 5x2 + 3x – 3x2 – 7 + 2x
b) x3 – 6x2 + 5 + 2x2 + x3 – 1
EJERCICIO RESUELTO:
Calcular el valor numérico del polinomio A = x4 – 2x3 – 7x2 + 2x + 6 para x = – 3
Sustituyendo x por – 3
(– 3)4 – 2 · (– 3)3 – 7 · (– 3)2 + 2 · (– 3) + 6 = 81 – 2 · (–27) – 7 · 9 + 2 · (–3) + 6 = 81 + 54 – 63 – 6 + 6 = 72
Solución: El Valor numérico del polinomio A para x = – 3 es 72.
6
3. Calcula :
a) El valor numérico del polinomio M = x3 – 3x2 – 5x – 3 para x = 0.
b) El valor numérico del polinomio N = 3x3 + 5x2 + 6x + 8 para x = – 1
Suma y Resta de polinomios
Para sumar dos o más polinomios se colocan uno debajo de otro, haciendo coincidir, en la
misma columna, los monomios semejantes.
Sumar los polinomios A = x3 + 5x2 – 7 y B = x2 – 3x – 2
A → x3 + 5x2 – 7
B → x2 – 3x – 2
A +B → x3 + 6x2 – 3x – 9
El opuesto de un polinomio es otro polinomio, que sumado con él, lo anula.
El opuesto de P = 4x2 – 5x – 2 es – P = – 4x2 + 5x + 2, ya que, sumándolos, se obtiene el
polinomio nulo.
Para restar dos polinomios se suma el primero con el opuesto del segundo. Es decir, se le
cambia el signo al segundo y se suman.
Vamos a restar los polinomios A y B de arriba:
A → x3 + 5x2 – 7
–B → – x2 + 3x + 2
A – B → x3 + 4x2+ 3x - 5
1. Dados los polinomios M = 6x3 – 7x2 + 5x – 9,, N = 2x3 – 4x – 6 y K = 5 – 5x + 3x2 – 2x3, calcula:
a) M + N
b) M + K
c) M + N +K
2. Considera los polinomios E = 5x4 – 7x3 + 5x – 1,, F = 4x3– 3x2 + 3x + 6 y G = 2x4 – 5x3 – 6x2 + 2x + 3,
calcula:
a) E – F
b) E – G
c) F – E
d) F + G – E
Producto de polinomios
Producto de un polinomio por un número.
x3 – 5x2 – 2x + 1
3
3x3 – 15x 2– 6x + 3
→ (x3- 5x – 2x + 1) · 3 = 3x3 – 15x2 – 6x + 3
Producto de un polinomio por un monomio.
x3 – 5x2 – 2x + 1
– 4x
– 4x4 + 20x3 + 8x2 – 4x
→ (x3 – 5x2 – 2x + 1) · (– 4x) = – 4x4 + 20x3 + 8x2 – 4x
Producto de dos polinomios.
x3 – 5x2 – 2x + 1
x2 – 4x + 3
3x3 – 15x2 – 6x + 3
–4x4 + 20x3 + 8x2 – 4x
x5 – 5x4 – 2x3 + x2 .
x5 – 9x4 + 21x3 – 6x2 – 10x + 3
→ (x3 – 5x2 – 2x + 1) · (x2 – 4x + 3 ) =
= x5– 9x4 + 21x3 – 6x2 – 10x + 3
7
1. Calcula:
a) 3 · (x + 4) = d) 5x2 · (x – 1) =
b) 5 · (3x2 – 5x – 7) = e) 2x2 · (x4 – 2x3 – 5x2 + 6x + 1) =
c) 3x · (x + 2) =
2. Efectúa:
a) (x + 1) · (2x – 3) = d) (x + 3) · (x2 – x + 1) =
b) (3x – 1) · (2x + 2) = e) (x2 + 5x + 3) · (x4 – 2x2 + 6x – 1) =
c) 3 · (x + 2) · (x – 1) =
Extracción de factor común
Observa la siguiente expresión: a · b + a · c – a · d Se trata de una suma cuyos sumandos son productos.
Todos estos productos contienen un factor común a.
Entonces podemos transformar la suma, sacando factor común y colocando un paréntesis:
a · b + a · c – a · d = a·(b + c – d)
EJEMPLOS:
3x + 3y =3 (x + y)
x2 + xy = x · x + x · y = x (x + y)
x2 + x3 = x2 · 1 + x2 · x = x2(1 + x) xyxx
yx
xyx
yx 3
)(
)(3332
1. Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones:
a) 5a + 5b e) 2x + 4x2
b) 5a + 10 f) 4x2 + 2x3
c) 4a2 + 12a g) 3xy + 6xz + 3x
d) 2ab + a2b h) xy + x2y + xy2
2. Simplifica, extrayendo factor común donde se pueda, las siguientes fracciones:
a) 105
55
a
ba c) 32
2
xx
xx
b) 32
3
24
6
xx
x
d)
xyx
xyx
24
422
2
Productos notables
Cuadrado de una suma
El cuadrado de una suma de dos sumandos es igual al cuadrado del primero más el doble del primero
por el segundo más el cuadrado del segundo.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
EJEMPLOS:
(x + 3) 2 = x2 + 2 · x · 3 + 32 = x2 + 6x + 9 (4 + 5x)2 = 42 + 2 · 4 · 5x + (5x)2 = 16 + 40x + 25x2
Cuadrado de una diferencia
El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el
segundo más el cuadrado del segundo.
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
EJEMPLOS:
(x – 5)2 = x2 – 2 · x · 5 + 52 = x2 – 10x + 25 (1 – 3x)2 = 12 – 2 · 1 · 3x + (3x)2 = 1 – 6x + 9x2
Suma por diferencia
Suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados.
(a + b) · (a – b) = a2 – b2
EJEMPLOS:
(x + 2) · (x – 2) = x2 – 22 = x2 - 4 (2x + 5) · (2x – 5) = (2x)2 – 52 = 4x2 – 25
1. Calcula:
a) (x + 1)2 d) (x – 3)2 g) (2a – 1)2
b) (x – 1)2 e) (2x + 3)2 h) (a + 2b)2
c) (x + y)2 f) (3x – 5)2 i) (–b + 2a)2
2. Expresa en forma de cuadrado de una suma o de una diferencia:
a) x2 – 4x + 4 c) x2 + 12x + 36
b) x2 + 8x + 16 d) 9 – 12x + 4x2
8
3. Quita paréntesis:
a) (a + 1) · (a – 1) c) (2x+ 1) · (2x – 1)
b) (5 + x) · (5 – x) d) (2a + 3b) · (2a – 3b)
4. Descompón en factores:
a) x2 + 2x + 1 c) 25 – 10x + x2
b) x2 – 1 d) 25 – x2
5. Fijándote en los resultados del ejercicio anterior, simplifica las siguientes fracciones:
a) 1
12
x
x c)
12
12
2
xx
x
b) 21025
5
xx
x
d) 2
2
25
1025
x
xx
Cociente de polinomios
El cociente de un polinomio entre un número, se obtiene dividiendo cada término del polinomio
entre dicho número.
EJEMPLO:
(15x2y – 10x4 + 20x2) : 5 = 3x2y – 2x4 + 4x2
15x2y : 5 = 3x2y
– 10x4 : 5 = – 2x4
20x2 : 5 = 4x2
15x2y – 10x4 + 20x2 / 5____________
– 15x2y 3x2y – 2x4 + 4x2
0 – 10x4
10x4
0 + 20x2
– 20x2
0
El cociente de un polinomio entre un monomio, se obtiene dividiendo cada término del polinomio
entre dicho monomio.
EJEMPLO:
(12x4 – 24x3 + 6x2 – x) : 3x2 = 4x2 – 8x + 2 R = – x
12x4: 3x2 = 4x2
– 24x3 : 3x2 = – 8x
6x2 : 3x2 = 2
– x : 3x2 = No se puede dividir
12x4 – 24x3 + 6x2 – x / 3x2_______
- 12x4 4x2 – 8x + 2
0 – 24x3
24x3
0 + 6x2
– 6x2
0 – x
1. Efectúa los siguientes cocientes de polinomios.
a) (2x3 – 4x2 + 8x – 6) : 2 = d) (8x4 – 4x3 + 2x2 + 12x + 6) : 2x =
b) (5x4 – 10x3 – 5x + 15) : 5 = e) (10x5 + 5x4 – x3 + 15x – 10) : 5x2 =
c) ( 3x4 + 9x3 – 6x – 12) : 3 = f) (6x5 – 5x4 + 7x3 – 9x2 + 8x – 6) : x2 =
9
Ecuaciones de 1er grado
Identidades y ecuaciones
Una igualdad algebraica está formada por dos expresiones algebraicas separadas por el signo
igual (=).
Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor de las letras.
EJEMPLO
x + x = 2x es una identidad
Se cumple la igualdad para cualquier valor numérico que tome x:
Para x = 1 → 1 + 1 = 2 · 1 → 2 = 2
Para x = –2 → (–2) + (–2) = 2 · (–2) → – 4 = – 4
Una ecuación es una igualdad algebraica que no se cumple para todos los valores de las letras.
Resolver una ecuación es encontrar el valor, o los valores, de las letras para que se cumpla la
igualdad.
EJEMPLO
x + 4 = 10 es una ecuación. Sólo se cumple cuando x = 6 → 6 + 4 = 10
1. Indica que igualdades son identidades y cuáles ecuaciones.
a) x + 8 = 2x – 15 d) x2 · x3 = x5
b) 2(x + 2y) = 2x + 4y e) 2x + 1 = 11
c) x + x + x = 3x f) 122
x
2. Indica el valor de x para que se cumpla la igualdad.
a) x – 1 = 2 d) –x + 10 = 5
b) x + 7 = 15 e) x + 4 = 12
c) x – 3 = 6 f) –x – 6 = –10
Elementos de una ecuación
Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones algebraicas que
figuran a cada lado del signo igual. Una ecuación tiene primer y segundo miembro.
Los términos de una ecuación son cada uno de los sumandos que forman los
miembros.
Los términos numéricos se denominan términos independientes.
Las incógnitas de una ecuación son los valores que desconocemos y representamos
con letras.
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los términos que forman la
ecuación.
Solución de una ecuación es cualquier valor de la incógnita que verifica la igualdad.
EJEMPLO
Ecuación Primer miembro Segundo miembro Términos Grado Solución
2x – 3 = x + 1 2x - 3 x + 1 2x, –3,x,1 1 x = 4
10
1. Completa la tabla.
Ecuación 4x – x = x + 8 123
2x
46
3
1 xx
Primer miembro
Segundo miembro
Términos
2. Completa la tabla.
Ecuación Términos del 1er miembro Términos del 2º miembro Incógnita Grado
3 + x = 12
19 – y = 15
10 = 5x
2a – 4 = 1 + a
11 = 9 + b
Ecuaciones equivalentes
Dos o más ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
x + 4 = 10 y 2x = 12 son ecuaciones equivalentes, ya que ambas tienen como solución x = 6.
6 + 4 = 10 2 · 6 = 12
Las transformaciones que permiten pasar de una ecuación a otra equivalente son:
Sumar o restar la misma cantidad a los dos miembros de la ecuación.
Multiplicar o dividir por una misma cantidad, distinto de 0, los dos miembros de la ecuación.
1. La ecuación 3x + 4 = 10 tiene como solución x = 2. Averigua cuáles de las siguientes ecuaciones son
equivalentes a la ecuación 3x + 4 = 10.
a) 3x + 10 = 20 e) xxx 6527
2
b) 582
3x f) 9
2
182 xxx
c) 4x + 12 – x = 21 g) 12x – 3x + 10 = 5x + 18
d) 188129
4 xx h) xx 3
2
14
2
3x
2. Encuentra, tanteando, la solución de las siguientes ecuaciones. Rodea de rojo, aquellas que sean
equivalentes.
a) x – 2 = 2 e) x – 4 = 1 i) 2x – 1 = 3
b) 4 + x = –2 f) –1 + x = –3 j) 3x = –15
c) x – 1 = –5 g) –2 – x = – 4 k) –2x – 4 = 10
d) 42
x h) 618
x l) 2
5
2
x
Resolución de ecuaciones de 1er grado
Resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, es encontrar el valor de la letra
(incógnita). Es hallar su solución.
Para resolver una ecuación despejamos la incógnita, es decir, la dejamos sola en uno de los
miembros.
Para despejar la incógnita necesitamos transponer (cambiar de lado) los términos.
Al sumar, restar, multiplicar o dividir por el mismo número en los dos miembros de la ecuación,
obtenemos otra ecuación equivalente (con la misma solución).
11
PRIMER CASO
x + 7 = 9 → x + 7 – 7 = 9 – 7 Lo que está sumando pasa al otro
x = 9 – 7 miembro restando.
SEGUNDO CASO
x – 5 = 8 → x – 5 + 5 = 8 + 5 Lo que está restando pasa al otra
x = 8 + 5 miembro restando.
TERCER CASO
3
9
3
·39·3
xx Lo que está multiplicando pasa al otro
3
9x miembro dividiendo.
CUARTO CASO
64
x4·64·
4
x Lo que está dividiendo pasa al otro
x = 6 · 4 miembro multiplicando.
1. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) x + 5 = 7 j) 2x + 4 = 16 r) 3
12 x
b) x + 10 = 3 k) 2
31x s)
10
1
5
x
c) x – 4 = 2 l) 2 – x = 4 t) 2 – 3x = –1
d) 7x = 28 m) 2
33 x u) 5x + 18 = 3
e) –2x = 5 n) 3
1
4
x v) –3x – 7 = 8
f) 16
x
ñ) 3x – 5 = 1 w) 4
3
2
1x
g) 3x = 15 o) 6x + 4 = 13 x) 3 + x = 0
h) x + 6 = 14 p) 2
5
2
1 x y) 4x + 12 = 8
i) –10 = –x + 3 q) 5
31 x z) –2x – 6 = 3
2. Resuelve.
a) –x + 3 = 2x + 12 h) 4x – 8 = x + 16 ñ) 1 – 2x = 6 – 4x
b) 5x + 2 = 3x – 2 i) 3x + 2x – 1 = 2x – 1 + 3 o) 6 + 5x + 2 = 4x – 2 + x
c) –2x – x = 10 + 5 j) –2x + 1 = 3x + 2 - x p) 12x + 3 – 7x = x – 3 – 2x
d) x + 3x – 5 = 3 k) 3 + x = 5x – 1 + 6 q) x + 6 – 9x = 4x – 2 – 2x + 8
e) 2x – 4 = 5 – 2x l) x + 3 = 5x + 11 r) 13 – 3x – 9 = 8x + 4 – 11x
f) 3x – x = 3x + 21 m) 5 + 6x = x + 7 s) 6x – 4 – 4x = 1 + 2x - 5
g) –3x + 5 = 2x – 10 n) 8 – 5x = 8 + 2x t) –10 – x + 3x = 2x + 4x + 2
Método general de resolución de ecuaciones
Resuelve la ecuación 2(x – 4) – (6 + x) = 3x – 4
Para resolver una ecuación es conveniente seguir estos pasos:
1.º Eliminar paréntesis. 2x – 8 – 6 – x = 3x – 4
2.º Reducir términos semejantes. x – 14 = 3x – 4
3.º Transponer términos.
Restamos x en ambos miembros (segundo caso) x – x – 14 = 3x – x - 4
– 14 = 2x – 4
Sumamos 4 en ambos miembros (primer caso) – 14 + 4 = 2x – 4 + 4
– 10 = 2x
4.º Despejar la incógnita.
Dividimos ambos miembros entre 2 (tercer caso) xx
52
2
2
10
12
1. Resuelve estas ecuaciones.
a) 3x + 8 – 5(x + 1) = 2(x + 6) – 7x j) 5(x – 3) + 8x = 6x – 5 + x
b) 5(x – 1) – 6x = 3x – 9 k) 2 – (3x – 5) = 4 – 2x + 3 - x
c) 3(3x + 1) – (x – 1) = 6 (x + 10) l) 3(x + 4) – 6x = 8 – 3(x – 5)
d) 2(x – 5) = 3(x + 1) – 3 m) 3 + 2(2x – 3) = 4x – (x + 3)
e) 4(x – 2) + 1 = 5(x + 1) – 3x n) 5(3x – 1) – 2(4x – 3) = 15
f) 3(x – 3) = 5(x – 1) – 6x ñ) 15 – 6(2x – 4) = 8 + 2(5x-1)
g) 3(x + 2) + 4(2x + 1) = 11x – 2(x + 6) o) 5x – (1 – x) = 3(x – 1) + 2
h) 5(x – 4) + 30 = 4(x + 6) p) 2(1 – x) – 3 = 3(2x + 1) + 2
i) 5(2 – x) + 3(x + 6) = 10 – 4(6 + 2x) q) 6 – 8(x + 1) – 5x = 2(3 + 2x) – 5(3 + x)
Resolución de ecuaciones con denominadores
Resuelve la ecuación 4
73
2
3
3
12
xxx
Para resolver una ecuación con denominadores es conveniente seguir estos pasos:
1.º Eliminar los denominadores. m.c.m. (3,2,4) = 3 · 22 = 12
4·3
)73·(3
2·6
)3·(6
3·4
)12·(4
xxx
4(2x – 1) = 6(x – 3) + 3(3x – 7)
2.º Eliminar paréntesis. 8x – 4 = 6x – 18 + 9x – 21
3.º Reducir términos semejantes. 8x – 4 = 15 x – 39
4º Transponer términos.
Restamos 8x en ambos miembros 8x – 4 – 8x = 15x – 39 – 8x
– 4 = 7x – 39
Sumamos 39 en ambos miembros – 4 + 39 = 7x – 39 + 39
35 = 7x
5.º Despejamos la incógnita.
Dividimos ambos miembros entre 7. xx
57
7
7
35
1. Resuelve estas ecuaciones.
a) 5
2
5
212
4
1
xxx j) 4
10
)3(7
4
)5(3
xx
b) 8
1
6
32
12
73
xxx k) 11
2
3
5
23
xxx
c) 15
132
5
4
3
4
xxx l) 1
84
3
xx
d) 2
34
4
25
xx m)
6
1
3
2
6 x
x
e) 306432
xxxx n)
3
2
5
124
5
3
32
xx
xxx
f) 104
4
3
3
2
2
xxx ñ)
6
43
2
1
3
2
2
5 xxx
g) 2
71
3
6
6
3
5
4
xxxx o)
12
13
18
5
12
13
xxx
h) 44
25
32
xx p) 204
1
1015
xxx
i) 12
)3(52
6
3
xx q)
14
5
4
32
14
92
4
7 xxx
xx
Problemas para resolver con ecuaciones
1. Calcula tres números consecutivos cuya suma sea 51.
13
2. Calcula el número que sumado con su anterior y con su siguiente dé 114.
3. Calcula el número que se triplica al sumarle 26.
4. Si a un número le quitas 36 se convierte en su cuarta parte. ¿Qué número es?
5. La tercera parte de un número es 45 unidades menor que su doble. ¿Cuál es el número?
6. Calcula dos múltiplos consecutivos de 7 cuya suma sea 119.
7. La suma de dos números pares consecutivos es 98. ¿cuáles son esos números?
8. ¿Qué edad tiene Rosa sabiendo que dentro de 56 años tendrá el quíntuplo de su edad actual?
9. Un kilo de manzanas cuesta el doble que uno de naranjas. Por tres kilos de naranjas y uno de manzanas
he pagado 6 €. ¿A cuánto están las naranjas y las manzanas?
10. Las edades de Juan, Carmela y Rosa suman 39 años. Carmela tiene cinco años menos que Juan y dos
más que Rosa. ¿Cuál es la edad de cada uno?
11. Si a la edad de Rodrigo se le suma su mitad, se obtiene la edad de Andrea. ¿Cuál es la edad de Rodrigo
si Andrea tiene 24 años?
12. Si al triple de mi edad le restas el quíntuplo de la que tenía hace 12 años, obtendrás mi edad actual.
¿Cuántos años tengo?
13. Natalia tiene 4 euros más que Andrés, pero la mitad que Rosa. ¿Cuántos tiene cada uno si entre los tres
juntan 40 euros?
14. Un padre tiene 47 años y su hijo, 11. ¿Cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea
triple que la del hijo?
15. Marisa es tres años más joven que su hermana Rosa y un año mayor que su hermano Roberto. Entre los
tres suman 38 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?
16. Pedro, Pablo y Paloma reciben 1.200 € como pago por su trabajo de socorristas en una piscina. Si Pablo
ha trabajado el triple de días que Pedro, y Paloma el doble que Pablo, ¿cómo harán el reparto?
17. En un cine hay 511 personas. ¿Cuál es el número de hombres y cuál el de mujeres, sabiendo que el de
ellas sobrepasa en 17 al de ellos?
18. Al sumarle a un número 60 unidades, se obtiene el mismo resultado que al multiplicarlo por 5. ¿Cuál es el
número?
19. En una granja de vacas, entre cuernos y patas suman 90. ¿Cuál es el número de vacas?
20. Cuantas gallinas hay en un gallinero sabiendo que entre picos, patas y crestas hay 144?
21. En un garaje, entre coches y motos, hay 20 vehículos y 52 ruedas. ¿Cuántos coches y cuántas motos hay
en el garaje?
22. Un yogur de frutas cuesta 10 céntimos más que uno natural. ¿Cuál es el precio de cada uno si he pagado
2,6 € por cuatro naturales y seis de fruta?
23. Dos ciclistas avanzan el uno hacia el otro por una misma carretera. Sus velocidades son de 20 km/h y 24
km/h. Si les separa 78 km, ¿cuánto tardarán en encontrarse?
24. Un tren sale de A hacia B a 80 km/h. A la misma hora sale de B hacia A, por una vía paralela, otro tren a
60 km/h. Sabiendo que la distancia entre A y B es de 315 km, calcular el tiempo que tardan en cruzarse.
25. Dos ciclistas parten del mismo punto y a la misma hora en direcciones opuestas con velocidades de 16
km/h y 24 km/h, respectivamente.¿Cuánto tardarán en distanciarse 135 km?
26. Calcula las dimensiones de un rectángulo sabiendo que el perímetro mide 54 cm y que la base es doble
de la altura.
27. En un rectángulo la base mide 18 cm más que la altura y el perímetro mide 76 cm. ¿Cuáles son las
dimensiones del rectángulo?
28. En un triángulo isósceles, la base mide la mitad que uno de los lados iguales, y el perímetro es 55 cm.
¿Cuánto miden los lados del triángulo?
29. Un grifo, actuando solo, llena un depósito en cinco horas. Abierto simultáneamente con un segundo grifo,
llenan el depósito en tres horas. ¿Cuánto tardaría en llenarse el depósito si se abriera solamente el
segundo grifo?
30. Dos motobombas vacían una piscina en media hora. Una de ellas, actuando en solitario, vacía la piscina
en hora y media. ¿Cuánto tardaría la otra actuando también sola?
14
Ecuaciones de 2º grado
Ecuación de 2º grado
Una ecuación de segundo grado es una igualdad algebraica del tipo ax2 + bx + c = 0, donde:
a, b y c son los coeficientes de la ecuación, siendo a ≠ 0.
ax2 → término cuadrático bx → término lineal c → término independiente
x es la incógnita.
1. Escribe la expresión general de estas ecuaciones de segundo grado.
a) (x – 1) (x + 4) = 1 → x2 + 4x – x – 4 = 1 → x2 + 3x – 4 = 1 → x2 + 3x – 4 – 1 = 0 → x2 + 3x – 5 = 0
b) x2 – 4x + 1 = – x2 + 3
c) 2x (3x + 5) = – 1 + 4x
d) x – 5x2 + 8 = – 3x2 – x – 3
2. Identifica los coeficientes de las anteriores ecuaciones de segundo grado.
a) x2 + 3x – 5 = 0 → a = 1,, b = 3,, c = – 5
b)
c)
d)
Fórmula general para la resolución de ecuaciones de segundo grado
Una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución.
Para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado se aplica la siguiente fórmula:
a
acbbxcbxax
2
40
22
a
acbbx
2
42
1
a
acbbx
2
42
2
EJEMPLO:
Resuelve la ecuación de segundo grado x2 + 5x + 6 = 0.
a = 1,, b = 5,, c = 6
2
15
2
24255
1·2
6·1·455 2
x
22
4
2
151
x 3
2
6
2
152
x
Sustituyendo los valores – 2 y – 3 en la ecuación x2 + 5x + 6 = 0, se comprueba que la cumple.
(– 2)2 + 5 · (– 2) + 6 = 0 → 4 – 10 + 6 = 0 → 10 – 10 = 0 → 0 = 0
(– 3)2 + 5 · (– 3) + 6 = 0 → 9 – 15 + 6 = 0 → 15 – 15 = 0 → 0 = 0
1. Resuelve estas ecuaciones de segundo grado.
a) x2 + 4x + 3 = 0 d) 7x2 + 21x = 28
b) x2 – 6x + 8 = 0 e) 3x2 + 6 = – 9x
c) 2x2 – 5x – 7 = 0 f) (2x – 4) · (x – 1) = 2
2. Resuelve las ecuaciones y comprueba que las soluciones verifican la ecuación.
a) x2 + 2x – 8 = 0
b) 3x2 – 6x – 9 = 0
c) 2x2 – 7x + 3 = 0
3. Resuelve.
a) 3x · (x – 2) + 4 = x · (2x – 1)
b) (x – 4) · (x – 3) = 0
c) (2x – 3)2 – 1 = 0
d) 11 – x = 2x – (x – 3)2
15
Ecuaciones del tipo ax2 + c = 0
Las ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 son ecuaciones de segundo grado. Responde al tipo ax2 + bx + c = 0,
donde b = 0.
Para resolverlas se puede seguir este proceso:
a
cx
a
cxcaxcax
222 0
* Si el radicando es positivo, hay dos soluciones opuestas: a
cx
1
y a
cx
2
* Si el radicando es negativo, no hay solución.
EJEMPLOS:
4,,416162
323220322 21
2222 xxxxxxx
solucióntieneNoxxxxx
25253
757530753 2222
1. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 7x2 – 28 = 0 d) 5x2 = 45
b) 5x2 – 180 = 0 e) 18x2 – 72 = 0
c) 2x2 = 50 f) 4x2 = 1
2. Indica por qué no tienen solución las siguientes ecuaciones.
a) x2 + 4 = 0 d) 3(x2 + x) = 3x - 12
b) 2x2 = – 18 e) 04
3
2
1 2 x
c) 9x2 – 5x + 18 = – 18 – 5x f) 23
72
x
3. Resuelve:
a) 3x2 = 18 + x2 c) 5x2 + 8 = 35 + 2x2
b) 5x2 + 9 = 10 – 4x2 d)
441
22 x
x
Ecuaciones del tipo ax2 + bx = 0
Las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 son ecuaciones de segundo grado. Responde al tipo ax2 + bx + c = 0,
donde c = 0.
Para resolverlas se puede seguir este proceso.
ax2 + bx = 0 Factor común x · (ax + b) = 0 → x1 = 0
a
bxbax
20
Estas ecuaciones tienen siempre dos soluciones, siendo cero una de ellas.
EJEMPLOS:
x2 – 12x = 0 → x · (x – 12) = 0 → x1 = 0
x – 12 = 0 → x2 = 12
2x2 + 5x = 0 → x · (2x + 5) = 0 → x1 = 0
2
552052 2 xxx
1. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a) 5x2 + 5x = 0 f) 7x2 – x = x + 2x2
b) 2x2 – 8x = 0 g) 4x – 4x2 = 5x2 – 5x
c) 6x2 = 30x h) x · (5x – 4) = 3x · (x – 1)
d) – 5x2 + 20 x = 0 i) x · (x – 3) + 8 = 4 · (x + 2)
e) 2x2 + 3x = x2 j) 3
32
2
2)1( 2
xxx
16
Sistemas de ecuaciones lineales
Dos ecuaciones lineales forman un sistema.
''' cybxa
cbyax
La solución del sistema es la solución común a ambas ecuaciones.
EJEMPLO:
Hallar gráficamente la solución del siguiente sistema:
93
7
yx
yx
Gráficamente, la solución del sistema es el punto de corte de las rectas que representan a las ecuaciones.
x + y = 7 → y = 7 – x → x 2 3 4 5 6 7
y 5 4 3 2 1 0
3x – y = 9 → y = 3x – 9 → x 1 2 3 4 5 6
y – 6 – 3 0 3 6 9
Solución del sistema:
Es el punto común
3
4
y
x
f(x)=7 - x
f(x)=3x - 9
-2 -1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
5
(4, 3)
y = 3x - 9
y = 7-x
1. Resuelve gráficamente:
a)
3
5
yx
yx c)
02
3
yx
xy
b)
12
1
xy
yx d)
73
1232
yx
yx
Método de sustitución
Resuelve el sistema:
23
2
yx
yx
1º Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones. (en este caso x en la primera ecuación):
x + y = 2 → x = 2 – y
2º Se sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación:
3x – y = 2 → 3(2 – y) – y = 2
3º Se resuelve la ecuación resultante.
3(2 – y) – y = 2
6 – 3y – y = 2
6 – 4y = 2
6 – 2 = 4y
14
444 yyy
4º Se calcula la otra incógnita en la ecuación despejada.
x = 2 – y → x = 2 – 1 → x = 1
1. Resuelve por el método de sustitución:
a)
3
5
yx
yx d)
73
1232
yx
yx
b)
12
1
xy
yx e)
925
13
yx
xy
17
c)
02
3
yx
xy f)
12
4
yx
yx
Método de igualación
Resuelve el sistema:
932
623
yx
yx
1º Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones (por ejemplo, x):
3
62623623
yxyxyx
2
93932932
yxyxyx
2º Se igualan las expresiones obtenidas:
2
93
3
62
yy
3º Se resuelve la ecuación de una incógnita resultante:
279124)93(3)62(22
93
3
62yyyy
yy
313
393913122794
yyyyy
4º Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones despejadas en el paso 1º:
03
0
3
66
3
6)3(2
3
62
x
yx
1. Resuelve por el método de igualación:
a)
254
82
yx
yx d)
865
532
yx
yx
b)
10
2
yx
yx e)
2125
1123
yx
yx
c)
372
14
yx
yx f)
63
254
yx
yx
Método de reducción
Resuelve el sistema:
1123
52
yx
yx
1º Se igualan los coeficientes de una incógnita, excepto el signo, para lo cual se elige un múltiplo común de de
ambos coeficientes.
Multiplicamos por 2 los dos miembros de la primera ecuación.
1123
1024
1123
52
yx
yx
yx
ys
2º Se suman o se restan las dos ecuaciones del sistema resultante.
Hemos reducido el sistema a una ecuación sencilla.
1123
1024
yx
yx
7x = 21
3º Se resuelve la ecuación de una incógnita resultante:
37
21217 xxx
4º Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo en una de las ecuaciones del sistema:
2x + y = 5 → 2 · 3 + y = 5 → 6 + y = 5 →
→ y = 5 – 6 → y = –1
18
1. Resuelve por el método de reducción:
a)
834
105
yx
yx d)
254
82
yx
yx
b)
1253
026
yx
yx e)
143
425
yx
yx
c)
532
1057
yx
yx f)
523
254
yx
yx
2. Resuelve por el método que consideres más adecuado.
a)
1125
73
yx
yx b)
1334
73
yx
yx
2. Resuelve los siguientes sistemas.
a)
0
)1(3)(2
yx
yyx c)
2)5(413
2
51)3(2
yx
yx
b)
04)43(3
05)72(4
xy
yx d)
7)2(3
2
87
3
12
yx
yx