MAPA DE NAVEGACINExponentes y RadicalesndiceObjetivoGeneralEjemplosObjetivosespecficos

Objetivo GeneralObjetivos Especficos EjemplosEjercicios ResueltosProblemas Propuestos y soluciones a los problemas propuestos

EJEMPLOSOBJETIVO 1OBJETIVO 2OBJETIVO 3OBJETIVO 4OBJETIVO 5OBJETIVO 6

OBJETIVO 7OBJETIVO 8OBJETIVO 9OBJETIVO 10OBJETIVO 11

Objetivo general.

Al terminar esta Unidad resolvers ejercicios y problemas en los que apliques las leyes de los exponentes y de los radicales.

Objetivos especficos:Recordars la notacin exponencial, el concepto de base y el de exponente.Recordars la ley para multiplicar factores con la misma base y exponentes enteros.Recordars el significado de los exponentes negativos y del exponente nulo.Recordars la ley para dividir factores con la misma base y exponentes enteros.Recordars la ley para elevar una potencia a otra potencia.

6. Recordars las leyes para elevar un producto o un cociente a una potencia.Recordars la notacin de radicales.Recordars el significado de los exponentes fraccionarios.Recordars las leyes para multiplicar y dividir factores con exponentes fraccionarios o con radicales.Racionalizars expresiones algebraicas con radicales en el denominador.Simplificars expresiones algebraicas aplicando las leyes de los exponentes y los radicales.Objetivos especficos:

En la notacin exponencial un nmero cualquiera se descompone en dos factores:Un nmero decimal cuyo valor generalmente est entre 1 y 10, yUna potencia de 10, es decir 10 elevado a la n (o sea, 10n).El nmero final es el producto de ambos factores.Objetivo 1.

En general, el nmero b a la n-sima potencia, lo que se escribe como bn, y se lee b elevado a la n, donde n es un nmero natural, significa:En esta expresin, al nmero b se le conoce como la base y al nmero n como el exponente.

As, en la expresin 32, el 3 es la base y el 2 es el exponente. La expresin 32 se lee tres elevado a la dos, o tres al cuadrado, y significa:

Un signo negativo que precede directamente a una expresin que est elevada a una potencia tiene el efecto de hacer negativa a toda la expresin. Entonces, significa y no .Conviene observar que, de acuerdo con las Reglas de los Signos que se expusieron en la Unidad 1, cuando siempre ser una cantidad positiva mientras que siempre ser una cantidad negativa.

OBJETIVO 1ejemplos

1.) Para escribir en notacin exponencial el nmero 1,322, se observa que , de modo que

2.) Para escribir en notacin exponencial el nmero 7,500,000,000, se observa que , por lo que 3.) Para escribir en notacin exponencial el nmero 64,100, se observa que , as que

(3 factores)

(5 factores)

(20 factores)(2 factores)

1.) Para evaluar si , se calcula:y luego se tiene 2.) Para evaluar si , se calcula:y luego se tiene

Ley I.- Cuando se multiplican dos potencias de la misma base, su resultado es la misma base elevada a una potencia igual a la suma de las potencias de los factores.

En otra palabras, para multiplicar expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base comn y se suman los exponentes.Objetivo 2.

OBJETIVO 2ejemplos

1.) 2.)3.)

Para cualquier nmero real, a, distinto de cero, y cualquier nmero natural m:

Si a es cualquier nmero distinto de cero, entonces:Objetivo 3.

OBJETIVO 3ejemplos

Para entender mejor est ltima expresin, es conveniente recordar que para dividir dos nmeros basta con multiplicar al dividendo por el inverso del divisor, de modo que

Como en el ejemplo anterior, esta expresin se puede simplificar para dejar

Ley II.- Cuando se dividen dos potencias de la misma base, su cociente es la misma base elevada a una potencia igual a la diferencia entre la potencia del dividendo y la del divisor.

Es decir, para dividir expresiones exponenciales de la misma base, se conserva la base comn y se resta al exponente del dividendo el exponente del divisor.Objetivo 4.

OBJETIVO 4ejemplos

Ley III.- Cuando una potencia de una base se eleva a otra potencia, el resultado es un trmino de la misma base con un exponente igual al producto de las dos potencias.

Lo anterior indica que para elevar una potencia de una base a otra potencia, se conserva la base y se multiplican los dos exponentes.Objetivo 5.

OBJETIVO 5ejemplos

Ley IV.- Cuando un producto de dos o ms factores se eleva, todo a la vez, a una potencia, el resultado es el mismo producto pero con cada factor elevado a la potencia dada.

Ley V.- Cuando un cociente se eleva, todo a la vez, a una potencia, el resultado es el mismo cociente pero con el dividendo y el divisor elevados a la potencia dada.Objetivo 6.

OBJETIVO 6ejemplos

1.) Para elevar el producto a la cuarta potencia, es decir para obtener se eleva a la cuarta potencia cada uno de los factores y se tiene2.) Para elevar el cociente al cuadrado, es decir para obtener se elevan al cuadrado el dividendo y el divisor y queda

3.) Para elevar el cociente al cubo, es decir para obtener , se elevan al cubo el dividendo y el divisor para obtener

y, como tanto en el numerador como en el denominador se tienen productos, se aplica la ley para elevar un producto a una potencia y queda

La raz cuadrada principal o positiva de un nmero positivo n, que se escribe , es el nmero positivo que al multiplicarse por s mismo da como resultado n.

Si en lugar de buscar un nmero que al multiplicarse por s mismo d como resultado n, se busca un nmero que elevado a la tercera, cuarta o quinta potencia d como resultado n, se dice que dicho nmero es la raz tercera (o cbica), cuarta o quinta de n, y as sucesivamente. Objetivo 7.

En la notacin de radicales lo anterior se escribe como , etctera.

En otras palabras, significa que significa que y, en general, significa que

Objetivo 7.

Al smbolo que sirve para indicar una raz, se le llama signo radical.El nmero o expresin dentro del signo radical es el radicando y al nmero que sirve para indicar la raz se le llama ndice.

Objetivo 7.Signo radical radicando ndice

OBJETIVO 7ejemplos

1.) En la expresin el radicando es 8 y el ndice es 3. significa que .2.) En la expresin el radicando es 81 y el ndice es 4. significa que 3.) En la expresin el radicando es 49 y el ndice, que en este caso no se escribe, es 2. significa que

Objetivo 8.Si , se define: De este modo, una base elevada a un exponente fraccionario en el que el numerador es 1, es equivalente a una expresin en notacin radical, en la que la base es el radicando y el denominador del exponente es el ndice.

Las leyes enunciadas anteriormente para exponentes enteros, son tambin vlidas para exponentes fraccionarios. Por tanto, de acuerdo con la ley para elevar una potencia a otra potencia, se tiene:,

puesto que Objetivo 8.

OBJETIVO 8ejemplos

1.)2.)3.)

1.)2.)3.)4.)

Como ya se indic, las leyes expuestas para exponentes enteros son ciertas cualesquiera que sean la base y los exponentes m y n, tanto si son positivos como negativos o nulos, enteros o fraccionarios.Para el caso de los exponentes fraccionarios, las leyes quedan as:,

Objetivo 9.

Ley I.- puesto que, al

tomar comn denominador,

Ley II.-

Ley III.- puesto que,

Objetivo 9.

Ley IV.- ,

Objetivo 9.Ley V.-

,

Objetivo 9.Para el caso de los radicales es necesario tener en cuenta que el ndice del radical es el denominador de un exponente fraccionario. Por ello, las leyes de exponentes cuando se enuncian y escriben para la notacin radical son:Ley I.- Cuando se multiplican dos races del mismo radicando, su resultado es una raz con el ndice igual al producto de los ndices de los factores, y el mismo radicando elevado a la suma de los ndices originales.

Ley II.- Cuando se dividen dos races del mismo radicando, su cociente es una raz con el ndice igual al producto de los ndices de los factores, y el mismo radicando elevado a la diferencia del ndice del divisor menos el del dividendo. Objetivo 9.

Objetivo 9.Ley III.- Cuando a una raz de un radicando se le toma otra raz, su resultado es una raz del mismo radicando y un ndice igual al producto de los dos ndices de los radicales aplicados.

Ley IV.- Cuando se toma una raz de un producto de uno o ms factores, su resultado es el producto de las races de cada factor.

Objetivo 9.Ley V.- Cuando se toma una raz de un cociente, su resultado es el cociente de la raz del dividendo entre la raz del divisor.

OBJETIVO 9ejemplos

1.)2.)3.)4.)

1.)2.)3.)4.)

En la expresin , se dice que el radicando contiene una raz n-sima perfecta si se puede encontrar en l algn factor que contenga una potencia igual o mltiplo del ndice n del radical.,

Objetivo 10.

,

Objetivo 10.Es claro que cuando el radicando contiene una raz n-sima perfecta, la expresin radical puede simplificarse extrayendo del mismo la raz exacta correspondiente, puesto que de acuerdo con las leyes de exponentes y radicales

,

Objetivo 10.Una expresin que incluya algn radical se encuentra en forma simple si:

a.)El radicando no tiene factores con una raz n-sima perfecta.

b.)El radicando no incluye fracciones.

c)No existen radicales en el denominador de una fraccin.

Racionalizar una fraccin es eliminar los radicales que existan en su denominador. Para racionalizar una fraccin se multiplican el numerador y el denominador por un radical que al multiplicarse con el del denominador lo convierta en una raz perfecta, y simplificar sta por tener raz exacta. Objetivo 10.

OBJETIVO 10ejemplos

1.)2.)3.)4.)

1.)La expresin contiene una raz sptima perfecta puesto que se puede escribir

2.)La expresin contiene una raz tercera (o cbica) perfecta puesto que se puede escribir

3.)La expresin contiene una raz cuarta perfecta puesto que se puede escribir

1.)Como , se extrae la raz exacta y queda

2.) , se extrae la raz exacta y queda

3.) , se extrae la raz exacta y queda

1.)La expresin: no est en forma simple, porque el radicando incluye una raz cbica perfecta:

2.)La expresin: est en forma simple.

3.)La expresin: est en forma simple.

4.)La expresin: no est en forma simple, porque el radicando contiene una fraccin y, adems, contiene una raz cuarta perfecta:

5.)La expresin: no est en forma simple, porque aparece un radical en el denominador.

1.)Para racionalizar la expresin se multiplican el numerador y el denominador por para obtener

2.)Para racionalizar la expresin conviene observar que de modo que ya incluye una raz cuadrada perfecta (la correspondiente a ), por lo que basta con multiplicar el numerador y el denominador por para obtener:

3.)Para racionalizar la expresin

es importante notar que en el radicando existen factores elevados a diferentes potencias, por lo que es necesario buscar para cada uno la potencia que hace falta multiplicar para obtener la raz cuarta perfecta que se necesita.

Como est elevado a la primera potencia, debe multiplicarse por ; se multiplicar por s misma; y por Por tanto, para racionalizar la expresin dada se multiplican el numerador y el denominador por para obtener:

Objetivo 11.Muchas expresiones algebraicas se pueden simplificar aplicando las leyes de los exponentes y los radicales.

En general, la simplificacin consiste en efectuar las operaciones que estn indicadas y escribir los resultados con potencias que no incluyan exponentes negativos ni fraccionarios y con los radicales en la forma simple que se defini anteriormente.

Para ello, los factores que tengan exponentes negativos se trasladan del numerador al denominador de la expresin y los exponentes fraccionarios se convierten en expresiones escritas en forma de radicales.

En caso de necesidad, se racionalizan las expresiones resultantes como se ha indicado antes.

OBJETIVO 11ejemplos

1.) Para simplificar la expresin basta con tomar en cuenta que y trasladar el factor al denominador para dejar

2.) Para simplificar la expresin primero se elimina el exponente negativo despus, se toma en cuenta la ley

para elevar un cociente a una potencia para que quede

3.) Para simplificar la expresin

se eleva cada factor a la potencia correspondiente y luego se efectan las operaciones indicadas para obtener

4.)Para simplificar la expresin en primer lugar se identifica que todas las races que aparecen son cbicas, de modo que se puede incorporar toda la expresin en un solo radical

luego se efectan las operaciones indicadas en el radicando y queda

como el radicando es una raz cbica perfecta se obtiene

5.)Para simplificar la expresin

primero se efectan las operaciones con los exponentes

luego, se convierte el exponente fraccionario a la forma de radicales

y se racionaliza