UES – FMODepto. de CCNN y MatemáticasSección de Física

Carrera: Profesorado en CCNN.Asignatura: Bases para el Estudio de las CCNN.Ciclo / Año: I / 2011Docente: Lic. Juan Ernesto Gómez

EXPONENTES Y RADICALES.

En el conjunto de los números enteros, un exponente es un operador, en lo que hemos visto hasta ahora es la quinta operación, que nos indica las veces que tomamos como factor un mismo número al realizar una multiplicación. Este operador se localiza en la parte superior derecha de un número real.

El resultado de esta operación recibe el nombre de potencia y el número que funciona como factor recibe el nombre de base. Así que la potencia de un número es el resultado de tomarlo como factor, el número de veces que indique el exponente.

En general, para todo número entero n positivo y un número real a, se tiene que es una potencia o cantidad exponencial, siendo a la base y n el exponente. Se lee “a a la n–ésima potencia” o “a a la n”. Lo anterior equivale a:

Ejemplos: ; ; ; ; ;

; ; .

Se llama notación exponencial a la potencia entera positiva de alguna base, que representa a un número. Por ejemplo, es la notación exponencial de 8. Algunas consideraciones importantes respecto a la definición anterior son las siguientes:

a) Toda potencia de una cantidad positiva, es positiva. Esto es: si , entonces .

b) Toda potencia par de una cantidad negativa, es positiva. Esto es: si , entonces si n es par.

Ejemplos: ; ; .

c) Toda potencia impar de una cantidad negativa, es negativa. Esto es: si , entonces si n es impar.

Ejemplos: ; .

Las leyes básicas para los exponentes se establecen a continuación, siendo a y b cualesquiera números reales, m y n enteros positivos:

1)

2)

3)

4) Para ,

5) Para todo , si , entonces

Si , entonces

Si , entonces

Al aplicar estas leyes, observamos que:

a) Para elevar una expresión algebraica de un solo término a una potencia, se eleva su coeficiente a esa potencia, como también su parte literal. Por ejemplo:

;

b) Para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la misma base y se suman los exponentes. Por ejemplo

; ; .

c) Para dividir potencias de la misma base, se escribe la misma base y al exponente del numerador se le resta el exponente del denominador. Por ejemplo:

; ; .

d) Para elevar una cantidad exponencial a un exponente, se escribe la misma base y se multiplican los exponentes. Por ejemplo:

; ; .

Ejemplos:

1) Encontrar el producto .

Solución:

2) Encontrar el producto

Solución:

3) Encontrar el producto

2

Solución:

Exponentes enteros negativos y exponente cero.

Los resultados anteriores se pueden extender para incluir como exponente al número cero o a un entero negativo. Esta extensión deberá conducir a las mismas leyes de los exponentes que se han dado para los exponentes enteros positivos. A partir de ley 5, se tiene que para todo , si

, entonces:

.

Siempre, a partir de la ley 5, se sabe que si , entonces:

Ya que , se puede establecer lo siguiente:

Luego, podemos establecer que para cualquier número real a, y cualquier número entero positivo n, se tiene que:

, o también

Así que: ; ; .

Ejemplos:

1) Expresar sin exponentes negativos, y simplificar.

Solución:

2) Expresar sin exponentes negativos, y simplificar.

Solución:

Radicales.

Si es n número real y n es un número entero positivo, entonces existe un número real único tal que , éste número b es la raíz n–ésima principal de a y se denota . También

3

se puede demostrar que y n es entero impar positivo, entonces existe un número único tal que ; en este caso se escribe nuevamente y, también b se llama raíz n–ésima principal de a. Por ejemplo, ya que , ya que , ya que

. En el símbolo , que se llama radical, el número a es el radicando, n es el índice del radical.

En el caso , se escribe en lugar de y se llama raíz cuadrada principal de a. el número es la raíz cúbica principal de a.

Note que cuando n es par, se define sólo cuando a es no negativo; la razón para esto es que para todos los números reales b, cuando n es par, es no negativa. Si se desea obtener la raíz par de un número real negativo se debe recurrir a los números complejos.

Cuando existe, éste número real es único. Sin embargo, si n es un número entero positivo, además de b es posible que exista otro número c tal que , y aún así, c no sea la raíz n–ésima principal de a. Por ejemplo, y son raíces cuadradas de 4, ya que y , pero

no es la raíz cuadrada principal de 4. Esto se sintetiza al decir que la raíz cuadrada principal de un número real no negativo es el número real no negativo cuyo cuadrado es el número real dado.

Leyes de los radicales. Si n es un número entero positivo y a y b son números reales tales que y existen, entonces:

1)

2)

3) Para , se tiene que

4) Para y n un número entero positivo cualquiera, . Si y n es un entero positivo impar,

5) Para cualquier número real a,

Simplificación de radicales. Para simplificar expresiones que incluyen radicales, se usan las leyes de los radicales. Los ejemplos siguientes ilustran algunas de las técnicas empleadas al simplificar expresiones radicales.

Ejemplos:

1) Escribir el radical cambiando todos los factores posibles del signo radical.

Solución:

4

2) Escribir el radical como una expresión sin radicales en el denominador.

Solución:

A la técnica empleada en el ejemplo anterior recibe el nombre de racionalización del denominador. Cuando se usa esta técnica, no debe aparecer ningún radical en el denominador de la expresión simplificada. Se dice que un radical de índice n está en forma simplificada si no aparece ninguna potencia n–ésima perfecta o ningún exponente entero negativo, en el radicando y, además, ningún radical aparece en el denominador.

3) Simplificar

Solución:

En el ejemplo anterior la técnica de racionalización incluyó el uso de términos conjugados. Estos son y .

4) Simplificar

Solución:

Luego:

Exponentes racionales.

Recuérdese que un número racional es aquel que se puede expresar en la forma , en donde m y n son números enteros y . Lo que deseamos es que las leyes de los exponentes que han sido establecidas para exponentes enteros también sean válidas para exponentes racionales.

Si a es un número real y m y n son números enteros positivos, entonces

1) , siempre que exista.

2) , siempre que exista.

Ejemplos:

1) Simplificar .

Solución:

2) Simplificar .

Solución:

5

3) Simplificar .

Solución:

Luego:

DISCUSIÓN DE PROBLEMAS.

I. Desarrolle las operaciones indicadas.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

34)

35)

36)

6

II. Desarrolle las operaciones indicadas y escríbalas sin exponentes negativos o cero.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28) 29) 30)

III. Simplifique las siguientes expresiones y racionalice el denominador cuando sea apropiado.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

28)

29)

30)

31)

32)

33)

7

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

34)

35)

36)

37)

38)

39)

40)

IV. Simplifique las siguientes expresiones.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

28)

29)

30)

8

V. Resuelva los siguientes ejercicios de aplicación.

1) Cuenta de ahorros. Uno de los bancos más antiguos en Estados Unidos es el Bank of America. Fundado en 1812. Si se hubieran depositado $200 en aquel tiempo en una cuenta que pagaba 4% de interés anual, luego de 180 años la cantidad habría crecido a dólares. Calcula esta cantidad al centavo más cercano.

2) Distancia de visibilidad. En un día despejado, la distancia d (en millas) que se puede ver desde un edificio de altura h (en pies) se puede calcular mediante . Calcula la distancia que se puede ver desde lo alto de la Torre Sears de Chicago, que mide 1454 pies de alto.

3) Largo de un lenguado. La relación largo – peso del lenguado del Pacífico se puede calcular mediante la fórmula , donde W (peso) está en kilogramos y L (largo) en metros. El lenguado más grande (comprobado) pesaba 230 kilogramos. Calcula su longitud.

4) Peso de una ballena. La relación largo – peso para la ballena sei se puede calcular con , donde W está en toneladas y L en pies. Calcula el peso de una ballena que

mide 25 pies de largo.

5) Handicaps para levantadores de pesas. La fórmula de O´Carroll se usa para medir el handicap necesario para los levantadores de pesas. Si un atleta que pesa b kilogramos levanta

w kilogramos de peso, entonces el peso W con handicap está dado por . Suponga

que dos atletas que pesan 75 kg y 120 kg levantan pesos de 180 y 250 kilogramos, respectivamente. Utilizando la fórmula de O´Correll para determinar quién es el mejor levantador de pesas.

6) Superficie corporal. La superficie corporal S de una persona (en pies cuadrados) se puede calcular con la fórmula , en donde la estatura h está dada en pulgadas y el peso w está en libras. a) Calcular S para una persona que mide 6 pies de estatura y pesa 175 libras. b) Si una persona mide 5 pies y 6 pulgadas de alto, ¿qué efecto tiene sobre S un aumento de 10% en el peso?

7) Peso de hombres. El promedio de peso W (en libras) para hombres de estatura h entre 64 y 79 pulgadas se puede calcular con la fórmula . Haz una tabla para W con

. Redondea todos los pesos a la libra más cercana.

9

Estatura Peso Estatura Peso

64 72

65 73

66 74

67 75

68 76

69 77

70 78

71 79

8) Peso de mujeres. La media del peso W (en libras) para mujeres de estatura h entre 60 y 75 pulgadas se puede calcular usando la fórmula . Elabora una tabla para W con

. Redondea todos los pesos a la libra más cercana.

Estatura Peso Estatura Peso

60 68

61 69

62 70

63 71

64 72

65 73

66 74

67 75

10