5 exponentes

5. EXPONENTES FRACCIONARIOS Y RADICALES.

5.1. Propiedades de los exponentes fraccionarios.

5.2. Operaciones con exponentes fraccionarios.

5.3. Definición de raíz

5.4. Propiedades de los radicales.

5.5. Simplificación de un radical.

5.6. Suma de radicales.

5.7. Multiplicación y división de radicales.

5.8. Racionalización.

Antecedentes

Vestigios arqueológicos encontrados en Mesopotamia han permitido comprobar que los babilonios

utilizaban la potenciación para efectuar multiplicaciones basándose en la propiedad de que el producto de

dos números es igual al cuadrado de la semisuma menos el cuadrado de su semidiferencia. El matemático

griego Diofanto utilizó la yuxtaposición para representar las potencias. De este modo x, xx, xxx…

representaban la primera, segunda y tercera potencias de x respectivamente. La notación actual con

exponentes fue introducida por René Descartes (1596-1650).

A principios del Siglo X y hasta el siglo XIV, los matemáticos chinos se interesaron en el álgebra

aritmética. Un matemático chino descubrió la relación entre el cálculo de raíces y el arreglo de

coeficientes binomiales del triángulo de Pascal. Este descubrimiento y la multiplicación repetitiva (con

iteraciones) se emplearon para extender la extracción de raíces y para resolver ecuaciones de grado mayor

al cúbico.

El signo de la raíz cuadrada puede rastrearse en el tiempo hasta Christoff Rudolf (1500-1545), quien

lo escribió como con dos trazos. Rudolf pensó que recordaba el aspecto de la r minúscula, la inicial

de la palabra radix, que significa raíz. Así la notación es x y se lee “la raíz cuadrada de x”

5.1 Propiedades de los exponentes fraccionarios Los exponentes fraccionarios provienen de extraer una raíz a una potencia cuando el exponente del

término radicando se divide por el índice de la raíz; si el cociente no es una cantidad entera, la división

queda indicada, dando lugar al exponente fraccionario, es decir:

nn aa 1

n m

m

nnm

bbb

1

Exponentes fraccionarios y radicales

Capitulo 5

E X P O N E N T E S F R A C C I O N A R I O S Y R A D I C A L E S

5 - 2

5.2 Operaciones con exponentes fraccionarios La ley de los exponentes en la multiplicación, que nos dice que para multiplicar potencias de la misma

base se suman los exponentes es general y se aplica igualmente cuando las cantidades que se multiplican

tienen exponentes negativos o fraccionarios.

a-4 a = a

-3 a

-1 a

-2 = a

-3 4

5

4

3

2

1

4

3

2

1

aaaa

a3 a

-5 = a

-2 a

3 a

-3 = a

0 = 1 4

1

2

1

4

3

2

1

4

3

aaaa

Recordando las propiedades de los exponentes:

mnnm aaa mnnm aa mmmbaab

nmaa

a nm

n

m

, nmaa

a mn

n

m

, m

m

aa

1

así mismo m

ma

a

1

Ejemplo:

Multiplicar 12

1

2

1

1 32

yyxx por 12

1

2

1

1

yyxx

Los polinomios están ordenados en orden ascendente con relación a x porque el exponente de x en el

segundo termino -½ es mayor que el exponente de x en el primer termino -1 y el tercer termino y-1

equivale a x0y

-1 y 0 es mayor que el -½.

Tendremos

12

1

2

1

1 32

yyxx

12

1

2

1

1

yyxx

112

1

2

3

2 32

yxyxx

2

3

2

1

112

1

2

3

32

yxyxyx

22

3

2

111 32

yyxyx

22

3

2

1

2

1

2

3

2 2 2

yyxyxx

Ejemplo:

Multiplicar 3

1

3

2

1 baaab por 13

1

233

1

babba

13

1

233

1

3

1

3

2

1

babba

baaba


5 - 3

23

2

343

4

baabba

13

1

23

2

3 babaab

113

1

23

2

baba

1 3 23

2

43

4

baba

El 1 último se obtiene porque el producto 111003

1

3

1

bababa

La ley de los exponentes en la división que nos dice que para dividir potencias de la misma base se resta

el exponente del dividendo, se aplica igualmente cuando los exponentes de las cantidades que se dividen

son negativos o fraccionarios.

32121 aaaa

25353 aaaa

31212 aaaa

3

4

3

11

3

11

3

1

aaaaa

4

1

4

3

2

1

4

3

2

1

aaaa 4

3

2

1

4

1

2

1

4

1

aaa

Ejemplo:

Dividir 73531 2 baabba entre

443322 2 bababa Dividendo y divisor están ordenados en orden ascendente a la a. Tendremos:

312213 2 bababa 443322 2 bababa

73531 2 baabba

5431 2 abbba

54 32 abb

6254 242 baabb

73625 2 babaab

73625 2 babaab

Al dividir 2b-4 entre a2b-2 como en el dividendo no hay a y en el divisor hay a2 debe de tenerse presente que 2b-

4 equivale a 2a0b-4 y dividiendo esta cantidad entre a2b-2 tenemos

2a0b-4 a2b-2 = 2a0-2b-4+2 = 2a2b-2 que es el resultado del cociente.


5 - 4

Ejemplo:

Dividir:

2

1

2

1

32

xx

2

1

2

1

14

xx 12

1

2

1

31174

xxxx

1 4 2

1

xx

2

1

2

1

108

xx

2

1

2

1

22 8-

xx

12

1

3312

xx

12

1

3312

xx

Al efectuar la división entre de 12 entre 2

1

4x podemos considerar que 12 tiene x0 y tendremos

2

1

2

10

2

1

02

1

33412412

xxxxx

O sea que si en el divisor hay una letra que no la hay en el dividendo, esa letra aparece en el cociente con

el signo cambiado.

5.3 Definición de raíz

La se llama signo radical. El número o expresión dentro del radical se llama radicando. Toda la

expresión, incluyendo el signo radical y el radicando recibe el nombre de expresión radical. Otra parte de

una expresión radical es su índice. El índice indica la “raíz” de la expresión. Las raíces cuadradas tienen

un índice de 2. El índice de las raíces cuadradas por lo general no se escribe.

x Significa 2 x .Otros tipos de expresiones radicales tienen índices diferentes. Por ejemplo 3 x es la

raíz tercera o cúbica de x. El índice de las raíces cúbicas es 3.

8 se lee “la raíz cuadrada de 8” y su radicando es 8

x5 se lee “la raíz cuadrada de 5x” y su radicando es 5x

y

x

2 se lee “la raíz cuadrada de x entre 2y” y el radicando es

y

x

2

Todo número positivo tiene dos raíces cuadradas, una raíz cuadrada positiva y una raíz cuadrada negativa.

La raíz cuadrada positiva o principal de un número real positivo x, que se describe como x , es el

número positivo cuyo cuadrado es igual a x.


5 - 5

Algo que debes de comprender bien es que las raíces cuadradas de los números negativos no son número

reales. Consideremos 4 ¿A que es igual 4 ? Para evaluar esto, 4 , debemos encontrar un

número cuyo cuadrado sea igual a –4. Pero sabemos que el cuadrado de cualquier número distinto de cero

debe de ser un número positivo. Por lo tanto ningún número elevado al cuadrado da –4 y 4 no tiene

valor real. Los números como 4 o la raíz cuadrada de cualquier número negativo, se llaman números

imaginarios.

Para ayudarnos en el análisis de los números racionales e irracionales, definiremos los números cuadrados

perfectos. Los números 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,... se llaman números cuadrados perfectos porque cada uno

de ellos es el cuadrado de un número natural. Cuando un número cuadrado perfecto es un factor de un

radicando, nos referimos a él como un factor cuadrado perfecto.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... número naturales

12, 2

2, 3

2, 4

2, 5

2, 6

2, 7

2, ... cuadrados de los número naturales

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ... números cuadrados perfectos

Un número racional es aquel que se puede escribir de la forma b

a, donde a y b son enteros diferentes de

cero (b0). Todos los enteros son números racionales, por que se pueden expresar con un denominador

igual a 1. Las raíces cuadradas de los números cuadrados perfectos también son números racionales

porque cada uno es un entero. Cuando un número racional se escribe como decimal, será un decimal

finito o periódico.

Decimal finito Decimal periódico

5.02

1 ...333.0

3

1

25.04

1 ...666.0

3

2

0.24 ...1666.0

6

1

Los números reales que no son racionales se llaman números irracionales. Al escribir los números

irracionales como decimales, no son decimales infinitos ni periódicos. La raíz cuadrada de cualquier

entero positivo que no sea un cuadrado perfecto es un número irracional.

Por ejemplo, 2 y 3 son números irracionales.


5 - 6

Número cuadrado

perfecto

Raíz cuadrada del número

cuadrado perfecto Valor

1 1 1

4 4 2

9 9 3

16 16 4

25 25 5

36 36 6

49 49 7

64 64 8

81 81 9

100 100 10

121 121 11

144 144 12

169 169 13

196 196 14

225 225 15

256 256 16

289 289 17

324 324 18

361 361 19

400 400 20

Clasificar los números que aparecen en la tabla siguiente; los que sean racionales expresarlos como el

cociente de dos enteros.

N U M E R O

-3 0 100 20% 0.333... 09.0 .333 12

25 7

43

2

3 25

2

32

Entero

positivo

Entero

negativo

Racional

Cociente

de dos

enteros 1

3

1

0

1

10

5

1

3

1

10

3

1000

333

12

5

5

2

1

4

Irracional

Hay ocasiones en que es más conveniente trabajar con radicales que con exponentes racionales y

viceversa. Con frecuencia es preferible intercambiar las dos formas. Las siguientes relaciones son útiles al

respecto:

Considera que para b no negativo, cuando n es par


5 - 7

nn aa 1

n m

m

nnm

bbb

1

Los siguientes ejemplos deben aclarar el proceso de cambiar una forma por la otra. Todas las variables

representan números reales positivos.

55 21

771

xx 3 23

2

mm o bien 23 m

355 33253

32 32333 vuvuvu 21

1313 233 23

23

2 111

yyyy

32

323 2

11

xxx

4

3

4 3 ww 41

444 44 yxyx

54

225422 33 yxyx

E J E R C I C I O S 5 .1 :

Cambia a la forma radical. No simplifiques

2

1

11 4

1

6 7

3

4y

3

2

5m 2

1

ba 2

1

7

5

3

U 52

34ab 3

1

5

4

3

x 7

3

4y 3

227 yx

Cambia a la forma exponente racional. No simplifiques. 21 y 6 4 w

7 m 5 3y 4 2a

4 3xy 5

4337 nm 22 yx

Para ayudarnos a cambiar y simplificar las expresiones con radicales, veremos varias propiedades de los

radicales. Para comenzar, consideremos los siguientes ejemplos:

Ejemplo:


5 - 8

22222 15

5

5

155 5

63694 o bien 63294

394

36 o bien 3

2

6

4

36

3 23

123

2

6

4

6

146 4 222222

5.4 Propiedades de los radicales Estos ejemplos sugieren las siguientes propiedades generales de los radicales. n, m y k son números

naturales 2, x y y son números reales positivos.

1.- xxn n 3.- n

n

n

y

x

y

x

2.- nnn yxxy 4.-n mkn km xx

Estas propiedades se comprueban de la siguiente manera:

1.- xxxx n

n

nnn n

1

3.-

n

n

n

nn

n

y

x

y

x

y

x

y

x

1

11

2.- nnnnnn yxyxxyxy

111

4.- n mn

m

kn

km

knkmkn km xxxxx 1

El siguiente ejemplo ilustra como se aplican estas propiedades. Todas las variables representan números

reales positivos.

Propiedad 1: yxyx 2552 33

Propiedad 2: 2522522550510

Propiedad 3: 32727

3

3

3

3xxx

o bien: 3

3

1x

Propiedad 4: 3 232 226 4 xxx

Las leyes de los radicales nos brindan los elementos para cambiar las expresiones algebraicas con

radicales por una variedad de formas equivalentes.

Una forma muy útil es la forma radical más simple. Se dice que una expresión algebraica con radicales

está en la forma radical más simple, cuando satisface las cuatro condiciones siguientes:

Forma radical más simple


5 - 9

1.- El radicando (expresión dentro del signo radical) no contiene ningún factor polinomial de una potencia

mayor o igual al índice del radical.

3x Viola esta condición

2.- La potencia del radicando y el índice del radical no tienen ningún factor común, que no sea 1.

6 4x Viola esta condición

3.- No aparece un radical en el denominador.

5

3Viola esta condición

4.- No aparece ninguna fracción dentro del radical.

3

2Viola esta condición

Es necesario comprender que ocasionalmente, pueden ser más útiles otras formas que no sean con la

forma radical más simple. La elección depende de la situación.

Ejemplo:

Cambia a la forma radical más simple

26262672 22

xxxxxxx 2224248 223

3 29 6 xx

33

33

3

3

3

3

3

3x

xxx

2

2

4

2

4

2

22

2

2

xxxxx

o bien x2

2

1

Al proceso de suprimir los radicales de un denominador se le llama racionalización del denominador.

5.5 Simplificación de un radical Una expresión que contiene radicales está en su forma más sencilla sí:

No se puede sacar ningún factor del radicando.

No puede reducirse ningún índice.

No hay fracciones dentro del radical.

No hay radicales en el denominador.

Ejemplo:

Reducir:

23232318 22


5 - 10

xxx 5525 4 24 2

2

2

4

22

4

28

4

16

4

4

4

1

4

1 3333

3 3

3

3 2

3 2

33

5

52

5

2

5

4

5

4

2

1

x

x Para eliminar el radical 2 del denominador recordemos la formula del producto de binomios

conjugados (a-b)(a+b)=a2-b

2; así multiplicando el numerador y el denominador de la

expresión por (x+2), obtenemos:

2

212

2

2

2

12

2

x

xx

x

x

x

x

5.6 Suma y resta de radicales Con frecuencia es posible simplificar las expresiones algebraicas con radicales sumando o restando

términos que contengan exactamente las mismas expresiones.

Ejemplo:

Combinando todos los términos posibles

393453435

3 23 23 23 2 57272 xyxyxyxy

33333 9772437423 xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy

Así vemos que, si dos términos contienen exactamente el mismo radical con el mismo índice y también el

mismo radicando, se pueden combinar en uno solo.

Ejemplo:

Expresemos ahora, los términos en su forma radical más simple y combinarlos hasta donde sea posible.

18284 292244

2628

22

3

1122

33

31342

3

334


5 - 11

3

3

14

3

3

11 o bien

3

311

33

9181 3

2

3 3

3

3

3

133

33 3

3

133

3 3

3

13

3 33

8

5.7 Multiplicación y división con radicales Ahora estudiaremos varios tipos de productos y cocientes especiales con radicales. En nuestro

planteamiento de estos problemas la propiedad distributiva de los números reales desempeña un papel

importante.

Ejemplo:

Multiplicamos y simplificamos

3102 32102

2320

2354

5232 15252322

15222

1322

53 xx 1553 xxxx

152 xx

3 233 23 nmnm 3 333 223 3 nmnnmm

nnmm 3 22

Recuerda que para expresar 2/3 en su forma radical más simple multiplicamos por 3 el numerador y el

denominador, con el propósito de suprimir del denominador el radical.

3

6

33

32

3

2

El denominador se convierte así en un número racional.


5 - 12

5.8 Racionalización El proceso de convertir los denominadores irracionales en formas racionales se llama racionalización del

denominador.

Veamos ahora como se racionaliza el denominador binomial de23

1

De nada sirve multiplicar el numerador y denominador por 3 o por 2. Pero al recordar el producto

notable: (a-b)(a+b)=a2-b

2. Observamos que conviene multiplicar el numerador y el denominador pero con

el signo central opuesto. Así:

23

23

23

2323

231

23

1

23

2

232

2

2232

46

2212

2626

262

26

2

yx

yxyx

yxyx

yxyx

yx

yx

2


5 - 13

E J E R C I C I O S 5 .2 :

Extrae raíz cuadrada a los siguientes números.

1.- Multiplica un número de dos cifras y extráele la raíz cuadrada.

2.- Multiplica un número de 3 cifras por si mismo. y extráele raíz cuadrada.

3.- Comprueba que el número 1.7320 es la raíz cuadrada del número 3.

4.- Encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números. Los números que no tienen raíz cuadrada

perfecta, encuéntrala con dos decimales.

a) 5 b) 61 c) 121 d) 1000

e) 6 f) 81 g) 225 h) 12345

i) 49 j) 100 k) 235 l) 123456

5.- Expresa las siguientes potencias en forma de radical.

a) 52

3 = b) e) m8

3 = c) i) ( 27 x 2 )

13 =

d) 491

2 = e) f) xy1

2 = f) j) a

m

n =

g) x2

5 = h) g) 49 21

2x = i) k) 3

1

x =

j) a7

2 = k) h) (8 x3 )

13 = l) ( x3

yz9)

13 =

6.- Expresa los siguientes radicales como potencia de exponente fraccionario

a) 3x b) 6 3mn c) 8 86 yx

d) xy e) 7 325 yx f) 3 453 zyx

g) 5 223 yx h) 5 47ab i) 3yx

j) 23 yx k) 3 2cb

E J E R C I C I O S 5 .3 :


5 - 14

Saca del radical los factores que tengan raíz perfecta.

(a) 32 (b) 4 32

(c) 54 (d) yx38

(e) 80 (f) 3 5427 zy

(g) 75 (h) 8620 yx

(i) 72 (j) 3 9654 yx

(k) 98 (l) 3718 yx

(m) 28 (n) 3 357 yba

(o) 128 (p) 4 34916 zyx

(q) 3 54 (r) 5 1297 zyax

(s) 3 162 (t) 7 89 zx

(u) 45 (v) 4 3681 ba

(w) 63

E J E R C I C I O S 5 .4 :


5 - 15

Suma los siguientes radicales:

1.- 3 5 + 2 5 -5=

2.- 5 2 +7 2 -2=

3.- 33a + 5

3a - 6

3a =

4.- b + 2 b =

5.- 5 + 20 + 2 5=

6.- 52 + 50 =

7.- 18 - 32=

8.- 72 + 98 -200 =

9.- 316 - 3

354 =

10.- 7 + 28 + 63 =

11.- 3x x3y +5x

2xy =

12.- 2a3 a

4 b

4 -3a

2bab =

13.- 332 +

3108 + 3

3256=

14.- 3 24 + 53 =

15.- 45 + 20 +80 =

16.- 24 +54 +96=

17.- 5ax5y

3 + ax

2yxy =

18.- 3xx7 + 5x

9 + x

11 =

19.- 5aa2 x

3 y

5 + 2a

2yxy

3 =

E J E R C I C I O S 5 .5 :

Multiplicación de radicales


5 - 16

1.- 102525 * Pueden multiplicarse si tienen el mismo índice.

2.- 27249277147

3.- 424284533 6329292 yxyxyxyxxy multiplicados los coeficientes

4.- 2322

5.- 155

6.- 33 933

7.- 142

8.- xx 76

9.- 33 516

10.- 33 525

11.- yxxy 33 53

12.- xxy 23

13.- 63

14.- 66

15.- 1010

16.- 3 23 xx

17.- 852

18.- 8325

19.- xx 55

20.- xx 2727

21.- 2

2 x

22.- 2

532

23.- 2

3x

E J E R C I C I O S 5 .6 :


5 - 17

a) ( x ) 2 =

b) ( x2 y

2 )

1

2 ( x3 y

3 )

1

3 =

c) x

1

5 x

1

6 = d) ( a b )

1

2 ( a

1

3 b

1

4 )

1

4 =

e) 3

2

3 3

5

2 = f) ( x

1

2 y

1

2 )

1

3 ( x5 y

5 )

1

6 =

g) (81)

5

4 = h) x

2

3 ( 2x

1

2 -3 x

1

3 ) =

i) ( y3 )

3

2 = j) ( 3x

1

2 - 1)(3x

1

2 + 1) =

k) (x

3

2 )

5

4 = l) (x + 2 ) (x - 2 ) =

m) (3x )

1

3 = n) x(x -2) =

o) ( a b )

1

3 = p) ( + 1) (x - x+ 1)=

q) ( a2 b

2 )

5

3 = r) (

3 x

3 + 2 ) (

3x

3 - 2 =

s) ( 5x)

7

4 = t) 33 3

5

3 =

u) 3x(2x2y)

1

2 = v) 16

1

2 =

w) ( 2 x

1

3 y

1

2 )( 3 x

1

3 y

1

2 ) = x) 42

3 =

y) ( 18 )

1

2 = z) ( 5x

1

2 +6 )( 5 x

1

2 - 6 )=

aa) ( x

1

5 y

1

2 )5 = bb) ( 2

3 x

1

2 ) 2 ( 2 x

5

2 )3 =

cc) (a

1

2 b

3

2 )2 = dd) 3

1

2 3

1

4 =

ee) (3 2 )

1

5 = ff) 5

2

3 5

10

3 =

gg) ( 1 6 )

1

4 =

E J E R C I C I O S 5 .7 :

División de potencia de la misma base y exponente negativos.


5 - 18

1) x

x

x x x x

1

2

1

4

12

14

4 2

8

2

8

1

4

2) 5

5

2

3

2

4

3) (2-2

)2 = 4)

2

2

8

5

2

5

5) 21

2

12

6) x

x

6

5

2

3

7) (xy2)

-2 = 8)

a

a

7

4

1

4

9) x

x

5

10) b

b

3

4

15

4

11) (x-3)

3 = 12)

a

a

1

2

2

3

4

2

13) (5x-2

y)-1

= 14)

9

27

3

2

1

2

15) x y

x y

2 3

4 5 16)

x y

x y

2

3

1

2

1

3

1

2

17) (22)

0 + 1 = 18)

a b

a a

3

5

6

7

2

5

1

7

19) 210

x 20)

x y

x y

1

2

1

3

3

1

2

1

28


5 - 19

21) 2(xy)0 + 2 = 22)

2

4

1

3

1

5

1

2

1

2

1

2

x y

x y

23) (3 + 40)

2 = 24)

3

27

1

2

1

2

2

3

4

13

a b

x y

25) 3 7-1

= 26) 27

81

2

3

1

4

27) 2 1 21

2x y

28)

a b

a b

1

35

2

3

2

5

3

2

5

29) 3 31 2 13 3 2

3 x y y 30)

a

a

5

2

3

4

12

31) 3x2 y z 2x

-1 y

-2 z

-3= 32)

x y

x y

7

2

2

5

12

1

2

3

2

32

33) (x-1+2)

2= 34)

z

z

3

4

5

4

4

35) (x0+3)

2= 36)

a

a

2

3

5

4

12

37) x y1

21

22

2 38)

a b

a b

2

5

6

5

2

3

2

5

6

6


5 - 20

39) a

1

31

22

5 3 40) 64

16

1

3

1

2

41) (2x-1

+ 4)(2x-1

- 4)= 42) x-2x

6 = x

-2+4 = x

4

43) x y

3 21

3 44) x xx

2 1 2

2

1

45) 2 3

4 2

1 1

2 3

46) x-2

x-3

=

47) 7 5

2 6

2 1

3 1

48) 2-3

25 =

49) 3 6

4 3

2 1

1 3


5 - 21

E J E R C I C I O S 5 .8 :

Divide los siguientes radicales.

1.- 15

45 10.- 7 5 2

2.- 6

3 11.- a b a b8 9 3 5

3.- 20

5 12.- x y x

4.- 9

183 13.- 26 279 11 7 3x y x y

5.- 32

4

3

3 14.- 2 2 + 3 =

6.- 3

2 15.- 3 5 - 7 =

7.- x y

xy

3 3

16.- 11 13

17

8.- 18

2

3

3 4

ab

a b 17.- 7 14 3 2x x y

9.- 27

3

6 5

3

a b

a b

5 exponentes

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