Exponentes y potenciasLos exponentes tambin se llaman potencias o ndices El exponente de un nmero nos dice cuntas veces se usa el nmero en una multiplicacin. En este ejemplo: 8 = 8 8 = 64 En palabras: 8 se puede leer "8 a la segunda potencia", "8 a la potencia 2" o simplemente "8 al cuadrado"2 2

Ms ejemplos: Ejemplo: 5 = 5 5 5 = 125 En palabras: 5 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o simplemente "5 al cubo"4 3 3

Ejemplo: 2 = 2 2 2 2 = 16 En palabras: 2 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" o simplemente "2 a la cuarta"4

PROPIEDADES DE LOS EXPONENTESPropiedad Que dice Toda base elevada a la cero es 1, excepto el cero.0

Ejemplos 4 = 1, 10 =10

Propiedad

Que dice Un exponente negativo es el recproco de la potencia positiva.

Ejemplos

Propiedad b b =bm n n+m

Que dice En el producto con bases iguales se suman los exponentes. Que dice 2 2 =22 2 3 2+3

Ejemplos = 2 = 323 6 5

( 5) ( 5)( 5) =( 5) = 16625 Ejemplos

-

Propiedad

(b ) = b

m n

nm

Una base con doble exponente; se multiplican los exponentes. Que dice

(3 ) = 3- 3 2

3 2

3x2

= 3 = 729 = ( 3) = 729 Ejemplos6

6

( 3 ) = ( 3)

-

3x2

Propiedad (ab) = a bn n n

Un producto elevado a un exponente; cada factor se eleva a ese exponente. Que dice En el cociente con bases iguales se restan los exponentes.

(7x) = 7 x = 49x ( 4y ) = ( 4 y2 3 - 3 2x3

2

2

2

2

) = 64y

-

6

Propiedad

Ejemplos

Propiedad

Que dice Un cociente elevado a un exponente; cada trmino se eleva a ese exponente.

Ejemplos

Propiedad

Que dice Un cociente con exponente negativo es el recproco del cociente positivo.

Ejemplos

Propiedad

Que dice Un cociente donde cada trmino tiene exponente negativo es el recproco positivo de cada trmino.

Ejemplos

EL PLANO CARTESIANOEl plano cartesiano est formado por dos rectas numricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posicin de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes, respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como: P (x, y) Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente procedimiento: 1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde donde se localiza el valor de x, se cuentan las unidades correspondientes (en el eje de las ordenadas) hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas y de esta forma se localiza cualquier punto dadas ambas coordenadas.

Representacin grfica de las ecuacionesLos sistemas de 2 o 3 incgnitas reales admiten representaciones grficas cuando las funciones en (1) son continuas a tramos. En cada ecuacin se representa como una curva o una superficie curva. La existencia de soluciones en ese caso puede deducirse a partir de la existencia de intersecciones comunes a dichas curvas o superficies curvas.

RaznEn matemticas, una razn es una relacin entre dos magnitudes (es decir, objetos, personas, estudiantes, cucharadas, unidades del SI, etc.), generalmente se expresa como "a es a b" o a:b. Unidades Cuando las magnitudes comparten la misma unidad se puede expresar como un cociente adimensional de los dos. En el caso que no compartan dimensiones se dejan explicitas las unidades. Por ejemplo, 50 g/ml, unidad comn en recetas de cocina.

Razn geomtricaLa razn geomtrica es la comparacin de dos cantidades por su cociente, donde se ve cuntas veces contiene una a la otra. Slo si las magnitudes a comparar tienen la misma unidad de medida la razn es adimensional. Una razn X:Y se puede leer como X sobre Y, o bien X es a Y. El numerador de la razn (es decir, el X) se llama antecedente y al denominador (el Y) se le conoce como consecuente. Ejemplo 18:6 representa la razn de 18 entre 6, que es igual a 3 (18 tiene tres veces 6). Su razn geomtrica es 3, su antecedente 18, y su consecuente 6.

Razn aritmticaLa razn aritmtica de dos cantidades es la diferencia (o resta) de dichas cantidades. La razn aritmtica se puede escribir colocando entre las dos cantidades el signo . o bien con el signo -. As, la razn aritmtica de 6 a 4 se escribe: 6.4 6-4.

El primer trmino de una razn aritmtica recibe el nombre de antecedente y el segundo el de consecuente. As en la razn 6-4, el antecedente es 6 y el consecuente 4. Toda razn se puede expresar como una fraccin y eventualmente como un decimal. Propiedades de las razones aritmticas Como la razn aritmtica de dos cantidades no es ms que la resta indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritmticas sern las propiedades de toda suma o resta. Primera propiedad Si al antecedente se le suma o resta una cantidad la razn aritmtica queda aumentada o disminuida dicha cantidad. Primer caso (con la suma) Sea la razn aritmtica 7 a 5 es igual a 2:

Si le sumamos al antecedente el nmero 4 (aclaramos que puede ser cualquier nmero) entonces tendramos (7+4)-5= 6. Como se observa la respuesta de la razn aritmtica original (7-5=2), despus de sumarle 4 al antecedente ((7+4)-5= 6) la respuesta queda aumentada en dicha cantidad. Segundo caso (con la resta) Sea la razn aritmtica 18 a 3 es igual a 15:

Si le restamos al antecedente el nmero 2 (aclaramos que puede ser cualquier nmero) entonces tendramos (18-2)-3= 13. Como se observa la respuesta de la razn aritmtica original (18-3=15), despus de restarle 2 al antecedente ((18-2)-3= 13) la respuesta queda disminuida en dicha cantidad. Segunda propiedad Si al consecuente de una razn aritmtica se suma o se resta una cantidad cualquiera, la razn queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en la cantidad de veces que indica dicho nmero. Primer caso (sumando una cantidad cualquiera al consecuente) Sea la razn aritmtica 45 a 13 es igual a 32: Si le sumamos al consecuente el nmero 7 (aclaramos que puede ser cualquier nmero) entonces tendramos 45-(13+7)=25. Como se observa la respuesta de la razn aritmtica original (45-13=32), despus de sumarle 7 al consecuente 45(13+7)=25) la respuesta queda disminuida en dicha cantidad es decir de 32 paso a ser 25. Segundo caso (restando una cantidad cualquiera al consecuente) Sea la razn aritmtica 36 a 12 es igual a 24: Si le restamos al consecuente el nmero 3 (aclaramos que puede ser cualquier nmero) entonces tendramos 36-(12-3)= 27. Como se observa la respuesta de la razn aritmtica original (36-12=24), despus de restarle 3 al consecuente (36-(12-3)= 27) la respuesta queda aumentada en dicha cantidad es decir de 24 paso a ser 27.

ProporcinEs la igualdad de dos razones de una misma clase y que tienen el mismo valor PROPORCION ARITMETICA Ab=c-d

a: es primer termino b: segundo termino c: Tercer termino d: cuarto termino Ejemplo se tiene 4 chompas cuyos precios son S/.15, S/.13, S/.9 y S/. 7 los cuales se comparan mediante la sustraccin del siguiente modo :

S/.15 - S/.13 = S/. 2

S/. 9 - S/.7 = S/. 2 S/. 15 - S/.13 = S/.9 - S/.7.. Es una proporcin aritmtica (Sustraccin) Interpretando: El precio de S/.15 excede al precio de S/.13 tanto como el de S/. 9 excede al de siete

PROPORCION GEOMETRICAa/b=c/d a: Primer termino b: Segundo termino c: Tercer termino . d: cuarto termino. En donde: a y d: trminos extremos b y c: trminos medios Ejemplo: Se tiene 4 recipientes cuyas capacidades son: 21Ltrs, 7Ltrs, 15Ltrs, 9Ltrs las cuales se comparan mediante la divisin del siguiente modo : 21Ltrs / 7Ltrs = 3 15Ltrs / 5ltrs = 3 Entonces: 21Ltrs / 7Ltrs = 15Ltrs / 5Ltrs Interpretacin: La capacidad de 21 Ltrs es a la capacidad de 7 Ltrs como ta de 15L es a la de 5L.

Regla de tres simpleEn la regla de tres simple, se establece la relacin de proporcionalidad entre dos valores conocidos A y B, y conociendo un tercer valor X, calculamos un cuarto valor Y,

La relacin de proporcionalidad puede ser directa o inversa, ser directa cuando a un mayor valor de A habr un mayor valor de B, y ser inversa, cuando se d que, a un mayor valor de A corresponda un menor valor de B, veamos cada uno de esos casos.

Regla de tres simple directa

La regla de tres simple directa se fundamenta en una relacin de proporcionalidad, la regla de tres establece una relacin de proporcionalidad, por lo que rpidamente se observa que:

Donde k es la constante de proporcionalidad, para que esta proporcionalidad se cumpla tenemos que a un aumento de A le corresponde un aumento de B en la misma proporcin. Que podemos representar:

y diremos que: A es a B directamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de B por X dividido entre A. Imaginemos que se nos plantea lo siguiente:

Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, cuntos litros necesito para pintar 5 habitaciones?

Este problema se interpreta de la siguiente manera: la relacin es directa, dado que, a mayor nmero de habitaciones har falta ms pintura, y lo representamos as:

Regla de tres simple inversa En la regla de tres simple inversa en la relacin entre los valores se cumple que:

donde e es un producto constante, para que esta constante se conserve, tendremos que un aumento de A, necesitara una disminucin de B, para que su producto permanezca constante, si representamos la regla de tres simple inversa, tendremos:

y diremos que: A es a B inversamente, como X es a Y, siendo Y igual al producto de A por B dividido por X. Si por ejemplo tenemos el problema:

Si 8 trabajadores construyen un muro en 10 horas, cunto tardarn 5 obreros en levantar el mismo muro?

Si se observa con atencin el sentido del enunciado, resulta evidente que cuantos ms obreros trabajen, menos horas necesitarn para levantar el mismo muro (suponiendo que todos trabajen al mismo ritmo).

El total de horas de trabajo necesarias para levantar el muro son 80 horas, que pueden ser aportadas por un solo trabajador que emplee 80 horas, 2 trabajadores en 40 horas, etc. En todos los casos el numero total de horas permanece constante. Tenemos por tanto una relacin de proporcionalidad inversa, y deberemos aplicar una regla de tres simple inversa, tenemos:

Regla de tres compuestaEn ocasiones el problema planteado involucra ms de tres cantidades conocidas, adems de la desconocida. Observemos el siguiente ejemplo:

Si 12 trabajadores construyen un muro de 100 metros en 15 horas, cuntos trabajadores se necesitarn para levantar un muro de 75 metros en 26 horas?

En el problema planteado aparecen dos relaciones de proporcionalidad al mismo tiempo. Adems, para completar el ejemplo, se ha incluido una relacin inversa y otra directa. En efecto, si un muro de 100 metros lo construyen 12 trabajadores, es evidente que para construir un muro de 75 metros se necesitarn menos trabajadores. Cuanto ms pequeo es el muro, menos nmero de obreros precisamos: se trata de una relacin de proporcionalidad directa. Por otro lado, si disponemos de 15 horas para que trabajen 12 obreros, es evidente que disponiendo de 26 horas necesitaremos menos obreros. Al aumentar una cantidad, disminuye la otra: se trata de una relacin de proporcionalidad inversa. El problema se enunciara as:

100 metros son a 15 horas y 12 trabajadores como 75 metros son a 26 horas e Y trabajadores.

La solucin al problema es multiplicar 12 por 75 y por 15, y el resultado dividirlo entre el producto de 100 por 26. Por tanto, 13500 entre 2600 resulta 5,19 (lo que por redondeo resultan ser 6 trabajadores ya que 5 trabajadores no seran suficientes).

Formalmente el problema se plantea as:

La resolucin implica plantear cada regla de tres simple por separado. Por un lado, la primera, que, recordemos, es directa, y se resuelve as:

INTERS SIMPLE Y COMPUESTOInters Simple: Cuando se retira tan pronto como se produce, permaneciendo el capital constante, durante el tiempo que dure su imposicin, al inters simple se le determina aritmticamente. Inters Compuesto: Cuando el inters no se retira, sino que pasa a formar parte del capital, se dice que los intereses se capitalizan, los problemas de inters compuesto son de clculo logartmico, por lo que su solucin es algebraica. Ejemplos 1) halle la tasa de inters simple equivalente al 9% compuesto con capitalizacin trimestral en 5 aos? Para que las tasas sean equivalentes, a un mismo capital inicial debe corresponder un mismo capital final. Si igualamos las frmulas de ambas capitalizaciones tendremos que

En nuestro problema es

,

,

Por tanto la tasa de inters simple pedida es de 9.1% 2) que tasa de inters compuesto anual es equivalente al 12.5 con capitalizacin semestral? En este caso es tenemos que comparar dos capitalizaciones compuestas pero con distintos perodos de capitalizacin.

Donde

La tasa de inters compuesto anual es de 6.1%

3) Halle la tasa de inters compuesto anual equivalente al 14% de inters simple a 8 aos?

En el inters compuesto anual en 8 aos

En el inters simple anual al 14% en 8 aos

Igualando y simplificando:

Por tanto la tasa de inters compuesto anual pedida es de 9.8% 4) que tasa de inters compuesto con capitalizacin cuatrimestral es equivalente al 18% de inters simple en 7 aos?

En el inters compuesto cuatrimestral en 7 aos

En el inters simple cuatrimestral al 18% en 7 aos

Igualando y simplificando: Por tanto la tasa de inters compuesto pedida es de 16.2%

TANTO POR CIENTOLos problemas del tanto por ciento, se resuelven ya sea aplicando regla de tres o por medio de fracciones. La frmula del tanto por ciento: Tanto por ciento anual Tanto por ciento mensual Tanto por ciento diario

R = Representa el tanto por ciento anual en las frmulas de inters mensual y diario El mes comercial se considera 30 das El ao comercial se considera 360 das

1. A que tanto por ciento (%) anual se imponen S/. 600 que en 4 aos produce S/. 60?. Datos Solucin Respuesta

R=x C = 600 El tanto por ciento es 2.5 % T = 4 aos I = 60

2. A que tanto por ciento (%) se impone S/. 3000 que en 5 meses produce S/. 150?. Datos Solucin Respuesta

R=x C = 3000 El tanto por ciento es 12 % T = 5 meses I = 150

3. A que tanto por ciento (%) se impone S/. 8200 que en 60 das produce S/. 410?. Datos Solucin Respuesta

R=x C = 8200 El ta T = 60 das I = 410

ECUACIONESUna ecuacin es una igualdad que slo se verifica para unos valores concretos de una variable, generalmente llamada x. Resolver una ecuacin consiste en hallar los valores de la variable que hacen cierta la igualdad. Recuerda: Si un elemento est sumando en un miembro pasa al otro restando. Si est restando pasa sumado. Si un nmero multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro dividiendo y si los divise pasa multipllicando. EJEMPLO Pongamos el siguiente problema: el nmero de canicas que tengo, ms tres, es igual al doble de las canicas que tengo, menos dos. Cuntas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciado como una ecuacin:

Donde x es la incgnita: cuntas canicas tengo? La ecuacin se podra leer as: El nmero de canicas que tengo, ms tres que me dan, es igual al doble de mis canicas, quitndome dos. El enunciado est expresado, pero no podemos ver claramente cul es el valor de x; para ello se sigue este procedimiento: Primero se pasan todos los trminos que dependen de x al primer miembro y los trminos independientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier trmino que se cambia de miembro cambia tambin de signo. As obtenemos:

Que, simplificado, resulta:

Esta expresin nos lleva a una regla muy importante del lgebra, que dice que si modificamos igualmente ambos miembros de una ecuacin, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar y radicar los dos miembros de la ecuacin por el mismo nmero, sin que sta sufra cambios. En este caso, si multiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

El problema est resuelto.

Mtodos de solucin de ecuacionesEn casos simples, es relativamente fcil resolver una ecuacin siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones. Sin embargo, en casos ms complicados, es difcil o engorroso obtener expresiones simblicas para las soluciones, y por ello a veces se utilizan soluciones numricas aproximadas. Funciones inversas Para el caso simple de una funcin de una variable, por ejemplo, h(x), se puede resolver una ecuacin del tipo h(x) = c, c constante si se tiene en cuenta lo que se denomina la funcin inversa de h. Dada una funcin h : A B, la funcin inversa, identificada como h , se define como h : B A es una funcin tal que h (h(x)) = h(h (x)) = x. Ahora, si se aplica la funcin inversa de ambos lados de la igualdad h(x)=c, c constante se obtiene h (h(x))=h (c) x = h (c) y se ha encontrado la solucin de la ecuacin. Sin embargo, dependiendo de la funcin, puede ser difcil definir la inversa, o puede que no sea una funcin en todo el conjunto B (solo por ejemplo en un subconjunto), y tener muchos valores para un dado punto. Ejemplos Si x aparece como sumando en la ecuacin, se suma el trmino opuesto (con el signo cambiado) a ambos lados de la ecuacin para obtener x. Si x aparece multiplicando, entonces se multiplican ambos lados de la ecuacin por su nmero recproco. Si x es un exponente en una ecuacin exponencial, se aplica el logaritmo en una base adecuada a ambos lados de la ecuacin. Si x es la base de una ecuacin de potencia, se aplica la raz correspondiente a ambos lados de la ecuacin. Si x es el ngulo en una ecuacin trigonomtrica, se aplica la funcin trigonomtrica inversa a ambos lados de la ecuacin.-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

desigualdadesEn matemticas una desigualdad es una relacin de falta de igualdad entre dos cantidades o 1 expresiones.

En la desigualdad, los trminos estn relacionados por un smbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (0; porque 5 - 0 = 5 2 Todo nmero negativo es menor que cero Ejemplo: -9 < 0 ; porque -9 -0 = -9 3 Si dos nmeros son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto; Ejemplo: -10 > -30; porque -10 - (-30) = -10 +30 = 20

ECUACIONES CUADRATICASUna ecuacin de segundo grado o ecuacin cuadrtica, es una ecuacin polinmica donde el mayor exponente es igual a dos. Normalmente, la expresin se refiere al caso en que slo aparece una incgnita y que se expresa en la forma cannica:

donde a es el coeficiente cuadrtico o de segundo grado y es siempre distinto del numero 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el trmino independiente. Expresada del modo ms general, una ecuacin cuadrtica en es de la forma:

con n un nmero natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuacin donde n = 2 se conoce como ecuacin bicuadrtica. La ecuacin cuadrtica es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las ecuaciones lineales, permiten modelar un gran nmero de relaciones y leyes. ejemplos 3x - 8x - 1 = 0 2 -2x 2 + 3x + 8 = 0 2 x - 12x = 0 2 8x = 0 2 x + 3/8x = 92

GEOMETRIA La Geometra (del latn geometra, que proviene del idioma griego , geo tierra y metria medida), es una rama de la matemtica que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geomtricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polgonos, poliedros, etc). Es la justificacin terica de la geometra descriptiva o del dibujo tcnico. Tambin da fundamento a instrumentos como el comps, el teodolito, el pantgrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinacin con el anlisis matemtico y sobre todo con las ecuaciones diferenciales). PROBLEMAS DE GEOMETRA LA CAJA Aqu tienes el desarrollo de una caja cbica sin tapa

Sabiendo que y = 12 cm, calcula el volumen de dicha caja. GEOMETRA Sabemos que el cuadrado y el tringulo issceles que ves en la figura tienen la misma rea.

Expresa el valor de b en funcin del lado a. UN ROMBO En una circunferencia hemos inscrito un rectngulo y en l un rombo, tomando los puntos medios de los lados del rectngulo. Si el dimetro del crculo es de 10 cm, cunto mide el permetro del rombo?

PUNTO LINEA Y RECTA Qu es un punto? El punto es el elemento base de la geometra, porque con l determinamos las rectas y los planos. Podemos definirlo tambin como la intercesin de dos lineas,sirve para indicar una posicin y no tiene dimensin. LINEA En geometra, una lnea es una sucesin contina de infinitos puntos. En una figura geomtrica slo tiene una dimensin: longitud. Cada lnea tiene dos sentidos y una direccin. Qu es una recta? Una recta es una sucesin ininterrumpida de puntos, dos puntos determinan una recta, tienen una dimensin, la longitud. Tipos de rectas: Recta: La recta propiamente dicha se caracteriza por que los puntos que la forman estn en la misma direccin. Tiene una sola direccin y dos sentidos. No se puede medir. Semirrecta: Es linea recta que tiene origen pero no tiene fin, tiene slo un sentido,y no se puede medir. Segmento: Un segmento es una linea recta que tiene principio y fin, un segmento se puede medir. Poligonal: Se llama recta poligonal aquella que est formada por varias porciones de rectas que estn unas a continuacin de otras, pero no estn alineadas, la linea poligonal puede ser abierta (cuando ningn extremo se une) o cerrada (cuando el primer extremo se une con el ultimo). La linea poligonal cerrada forma una figura plana que se llama polgono. Curva: Una curva est formada por puntos que estn en distinta direccin. Puede ser curva abierta (los externos no se unen) curva cerrada (cuyos extremos se unen) y curva mixta (formada por lineas rectas y curvas unidas)

ANGULOS Y SU CLASIFICACION Un ngulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto 1 de origen. Suelen medirse en unidades tales como el radin, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometra plana) o curvas (trigonometra esfrica). Se denomina ngulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen comn es una recta. Un ngulo slido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamao aparente. Clasificacin de ngulos Los ngulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones: Tipo Descripcin Es el ngulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0. Es el ngulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de rad.

ngulo nulo

ngulo agudo

Es decir, mayor de 0 y menor de 90 (grados sexagesimales), o g menor de 100 (grados centesimales). ngulo recto Un ngulo recto es de amplitud igual a radg

Es equivalente a 90 sexagesimales (o 100 centesimales). Los dos lados de un ngulo recto son perpendiculares entre s. La proyeccin ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vrtice. ngulo obtuso Un ngulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a menor a rad rad y

Mayor a 90 y menor a 180 sexagesimales (o ms de 100 y g menos de 200 centesimales). ngulo llano, extendido o colineal El ngulo llano tiene una amplitud de radg

g

Equivalente a 180 sexagesimales (o 200 centesimales).

ngulo completo o perigonal Un ngulo completo o perigonal, tiene una amplitud de Equivalente a 360 sexagesimales (o 400 centesimales).g

rad

ngulos convexo y cncavo En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen comn determinan siempre dos ngulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cncavo (el de mayor 1 amplitud): Tipo ngulo convexo o saliente Descripcin

Es el que mide menos de

rad.g

Equivale a ms de 0 y menos de 180 sexagesimales (o ms de 0 y menos g de 200 centesimales).

ngulo cncavo, reflejo o entrante

Es el que mide ms de

rad y menos de

rad.g

Esto es, ms de 180 y menos de 360 sexagesimales (o ms de 200 y g menos de 400 centesimales).

POLIGONOS Los polgonos cuyos lados no estn en el mismo plano, se denominan polgonos alabeados. Existe la posibilidad de configurar polgonos en ms de dos dimensiones. Un polgono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polcoro, y en n dimensiones se denomina politopo. La palabra polgono procede del griego antiguo (polgonon), de 1 (pol)"muchos" y (gon) "ngulo". Elementos de un polgono En un polgono podemos distinguir: Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polgono. Vrtice, V: el punto de unin de dos lados consecutivos. Diagonal, D: segmento que une dos vrtices no contiguos. Permetro, P: es la suma de todos sus lados. Semipermetro, SP: es la mitad de la suma de todos sus lados (mitad del permetro). ngulo interior, AI: es el formado por los lados consecutivos; este se determina restando de 180 grados sexagesimales el ngulo central. Este se determina dividiendo 360 por el nmero de lados del polgono. ngulo central y ngulo exterior, AC y AE: es el formado por los segmentos de rectas que parten del centro a los extremos de un lado; este se calcula dividiendo 360 por el nmero de lados del polgono, y el ngulo externo es el formado por un lado y la prolongacin de un lado consecutivo o podemos aplicar 180 - ngulo interno.

En un polgono regular podemos distinguir, adems: Centro, C: el punto equidistante de todos los vrtices y lados.

Apotema, a: segmento que une el centro del polgono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.

Diagonales totales,

, donde

es el nmero de lados del polgono.

Clasificacin de polgonos segn el nmero de lados Nombre n lados trgono, tringulo 3 tetrgono, cuadrngulo, cuadriltero 4 pentgono 5 hexgono 6 heptgono 7 octgono u octgono 8 enegono o nongono 9 decgono 10

PERIMETRO Y AREA DE FIGURAS GEOMETRICAS PLANAS Tringulo

h: Altura

b: Base

El tringulo es un polgono formado por tres lados y tres ngulos, cumpliendo la propiedad de que la suma de todos sus ngulos siempre es 180 grados. rea: (Base x Altura) / 2 Permetro: lado + lado + lado Cuadrado El cuadrado es un polgono formado por cuatro lados de igual longitud que forman entre si ngulos de 90 grados rea: (Lado x lado) Permetro: lado + lado + lado + lado = 4 x lado Rectngulo El rectngulo es un polgono compuesto por dos pares de lados iguales que forman entre si ngulos de 90 grados

rea: Base x Altura) Permetro: lado x 2 + lado x 2 Trapecio

El trapecio es un polgono de cuatro lados, pero sus cuatro ngulos son distintos de 90. rea del trapecio = [(base mayor + base menor).altura] / 2 Permetro: Suma de todos sus lados Circunferencia

Es el lugar geomtrico de todos los puntos que conforman esta figura y que equidistan de un punto llamado centro de la circunferencia.

Permetro: 2 x p x radio

rombo

El rombo es un polgono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ngulos son distintos de 90. rea del rombo = (diagonal mayor x diagonal menor) / 2 Permetro: 4 x lado

TRIGONOMETRIALa trigonometra es una rama de la matemtica, cuyo significado etimolgico es "la medicin de los tringulos". Deriva de los trminos griegos trigno tringulo y metron 1 medida. En trminos generales, la trigonometra es el estudio de las razones trigonomtricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en las dems ramas de la matemtica y se aplica en todos aquellos mbitos donde se requieren medidas de precisin. La trigonometra se aplica a otras ramas de la geometra, como es el caso del estudio de las esferas en la geometra del espacio. Posee numerosas aplicaciones: las tcnicas de triangulacin, por ejemplo, son usadas en astronoma para medir distancias a estrellas prximas, en la medicin de distancias entre puntos geogrficos, y en sistemas de navegacin por satlites.

Las funciones trigonomtricasLa trigonometra es una rama importante de las matemticas dedicada al estudio de la relacin entre los lados y ngulos de un tringulo rectngulo, con una aplicacin inmediata en geometra. Con este propsito se definieron una serie de funciones, las que han sobrepasado su fin original para converstirse en elementos matemticos estudiados en s mismos y con aplicaciones en los campos ms diversos.

Razones trigonomtricas

El tringulo ABC es un tringulo rectngulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ngulo , correspondiente al vrtice A, situado en el centro de la circunferencia. El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "snus" en latn) es la razn entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa,

El coseno (abreviado como cos) es la razn entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,

La tangente (abreviado como tan o tg) es la razn entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente,

Razones trigonomtricas inversas

La Cosecante: (abreviado como csc o cosec) es la razn inversa de seno, o tambin su inverso multiplicativo:

En el esquema su representacin geomtrica es:

La Secante: (abreviado como sec) es la razn inversa de coseno, o tambin su inverso multiplicativo:

En el esquema su representacin geomtrica es:

La Cotangente: (abreviado como cot o cta) es la razn inversa de la tangente, o tambin su inverso multiplicativo:

En el esquema su representacin geomtrica es:

Normalmente se emplean las relaciones trigonomtricas seno, coseno y tangente, y salvo que haya un inters especfico en hablar de ellos o las expresiones matemticas se simplifiquen mucho, los trminos cosecante, secante y cotangente no suelen utilizarse.

El teorema de PitgorasEn primer lugar deberamos recordar un par de ideas: o o Un tringulo rectngulo es un tringulo que tiene un ngulo recto, es decir de 90. En un tringulo rectngulo, el lado ms grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.

Teorema de Pitgoras.- En un tringulo rectngulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostracin: Si tenemos un tringulo rectngulo como el del dibujo del enunciado del teorema podemos construir un cuadrado que tenga de lado justo lo que mide el cateto b, ms lo que mide el cateto c, es decir b+c, como en la figura de la derecha. El rea de este cuadrado 2 ser (b+c) . Si ahora trazamos las hipotenusas de los tringulos rectngulos que salen tendremos la figura de la izquierda. El rea del cuadrado, que es la misma de antes, se puede poner ahora como la suma de las reas de los cuatro tringulos rectngulos azules (base por altura partido por 2):

ms el rea del cuadrado amarillo . Es decir, el rea del cuadrado grande tambin es el rea del cuadrado pequeo ms 4 veces el rea del tringulo:

Podemos igualar las dos formas de calcular el rea del cuadrado grande y tenemos:

si ahora desarrollamos el binomio , nos queda:

que despus de simplificar resulta lo que estbamos buscando:

Fraccin algebraicaUna fraccin algebraica es una expresin fraccionaria en la que numerador y denominador son polinomios. Ejemplos: Las fracciones algebraicas tienen un comportamiento similar a las fracciones niumricas.

Operaciones con fracciones algebraicas Simplificar fracciones algebraicas Ejemplos: Simplificar fracciones algebraicas

Simplifica: Suma y resta de fracciones algebraicas Para sumar y restar procederemos de forma similar que con fracciones de nmeros enteros, reduciendo primero a comn denominador. Ejemplos: Suma y resta de fracciones algebraicas

Opera: Producto de fracciones algebraicas Para multiplicar fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, multiplicando los numeradores y los denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. Ejemplos: Producto de fracciones algebraicas

Opera: Cociente de fracciones algebraicas Para dividir fracciones algebraicas procederemos igual que con fracciones, haciendo el producto cruzado de numeradores y denominadores, aunque antes de multiplicar debemos simplificar, si se puede. Ejemplos: Cociente de fracciones algebraicas

Opera: