[1]

Unidad Educativa Particular Sultana del Oriente”

MACAS-MORONA SANTIAGO- ECUADOR

MODULO DE MATEMATICA 1RO BACHILLERATO

[2]

Contenido 1.-CONJUNTO DE NUMEROS REALES ....................................................................................................... 5

1.1 ¿Qué son los números reales? ............................................................................................................. 5

1.2 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES ................................................................................... 7

1.3 PROPIEDADES DE ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES ............................................................... 7

1.4 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES CON EXPONENTE ENTERO .......................................... 8

1.5 NOTACIÓN CIENTÍFICA ...................................................................................................................... 9

1.6 RADICACION ....................................................................................................................................... 9

1.7 INTERVALOS DE LOS NUMEROS REALES .................................................................................... 11

2.- OPERACIONES CON POLINOMIOS ..................................................................................................... 13

2.1 TÉRMINO ALGEBRAICO ................................................................................................................... 13

2.2 GRADO DE UN TÉRMINO ................................................................................................................. 13

2.3 CANTIDAD DE TÉRMINOS ............................................................................................................... 13

2.4 CLASIFICACION DE TERMINOS ALGEBRAICOS ............................................................................ 14

2.4 DEFINICIÓN DE POLINOMIO ............................................................................................................ 14

2.5 ORDEN DE UN POLINOMIO ............................................................................................................. 14

2.5 VALOR NUMERICO ........................................................................................................................... 15

2.6 TERMINOS SEMEJANTES ................................................................................................................ 15

2.7 REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES............................................................................................... 16

2.8 SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISION DE POLINOMIOS .................................................. 16

RESTA O SUSTRACCION ....................................................................................................................... 16

MULTIPLICACION ................................................................................................................................... 17

DIVISION .................................................................................................................................................. 17

2.9 PRODUCTOS NOTABLES ................................................................................................................. 18

2.10 COCIENTES NOTABLES ................................................................................................................. 20

2.10.1. Cociente de la diferencia de potencias iguales entre la diferencia de sus bases. ........................ 20

2.10.2. Suma de potencias iguales impares entre la suma de sus bases ................................................ 21

2.10.3. Diferencia de potencias iguales pares entre la suma de sus bases ............................................. 22

2.11 RELACION ENTRE PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION ............................................. 23

3.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA ............................................................... 23

3.2 Procedimiento para resolver problemas de ecuaciones: .................................................................... 25

[3]

4.-INECUACIÓN DE PRIMER GRADO SIMPLE ......................................................................................... 26

5.-ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO ....................................................................................................... 27

5.1Número de soluciones. ........................................................................................................................ 27

6.- INECUACIONES CUADRATICAS .......................................................................................................... 29

7.- FUNCIONES ........................................................................................................................................... 30

7.1. REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN.......................................................................................... 31

7.2 TIPOS DE FUNCIONES ..................................................................................................................... 32

7.2.1 FUNCION LINEAL Y CONSTANTE................................................................................................. 32

7.2.2 FUNCIONES CUADRATICAS ......................................................................................................... 33

7.2.3 FUNCIÓN POLINOMICA ................................................................................................................. 35

7.2.4 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO ....................................................................................................... 36

7.2.5. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA ......................................................................................................... 37

7.2.6 FUNCIÓN EXPONENCIAL .............................................................................................................. 38

7.2.7 FUNCIÓN LOGARÍTMICA .............................................................................................................. 39

7.2.8 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ............................................................................................... 41

8.- VECTORES EN EL PLANO ................................................................................................................ 42

8.1 VECTORES EQUIPOLENTES ........................................................................................................... 42

8.2. OPERACIONES SON VECTORES ................................................................................................... 42

8.2.1 SUMA .............................................................................................................................................. 43

FORMA ANALITICA ............................................................................................................................. 43

FORMA GRAFICA ................................................................................................................................ 44

8.2.2 RESTA............................................................................................................................................. 44

FORMA ANALITICA ............................................................................................................................. 44

FORMA GRAFICA ................................................................................................................................ 45

8.2.3 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR........................................................................ 45

8.2.4 PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES ........................................ 45

9.-ECUACION DE LA RECTA...................................................................................................................... 46

9.1 La pendiente de una recta .................................................................................................................. 47

10.- ESTADISTICA ...................................................................................................................................... 49

10.1 VARIABLES ...................................................................................................................................... 49

10.2FRECUENCIAS ................................................................................................................................. 49

10.3 GRAFICOS ESTADISTICOS ............................................................................................................ 50

10.3.1 Gráfico de Barras ....................................................................................................................... 50

[4]

10.3.2 Gráfico de sectores Circulares ...................................................................................................... 50

10.3.3 Histograma de frecuencias ............................................................................................................ 51

10.3.4 Polígono de frecuencias ................................................................................................................ 51

10.3.5 Histograma de frecuencias acumuladas ........................................................................................ 52

[5]

1.-CONJUNTO DE NUMEROS REALES

1.1 ¿Qué son los números reales? Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal,

incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los

números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las

fracciones; y todos los números irracionales aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca

se repiten.

Ejemplos de números irracionales son

142135623730951 . . .

π = 3.141592653589793 . . . e =

2.718281828459045. . .

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales

recibe el nombre de conjunto de los números reales, y se denota con el símbolo: ℛ

El conjunto de los números reales está formado por una serie de subconjuntos de números que

definiremos a continuación:

[6]

EJEMPLOS

ACTIVIDAD

Marca con una X la casilla que corresponda, según los

números sean racionales o irracionales

Escribe ∈ 𝑜 ∉ para establecer la

relación de cada número con el

conjunto numérico dado.

[7]

1.2 PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

1.3 PROPIEDADES DE ORDEN DE LOS NÚMEROS REALES Hemos visto que los números reales pueden representarse sobre la recta. Esta representación

permite establecer un orden en el conjunto ℝ.

Una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos (en caso de ser

iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un

conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

La notación a < b significa a es menor que b;

La notación a > b significa a es mayor que b

Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a

b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que". Una

desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad.

Los signos y significados de desigualdad son:

[8]

ACTIVIDADES

1.-

2.-

3.-

1.4 POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES CON EXPONENTE ENTERO Sabemos que el producto de varios números racionales iguales puede expresarse como una

potencia de base racional.

Para simplificar expresiones donde estén presentes potencias con exponentes enteros se

utilizan las propiedades definidas en la siguiente tabla. Las bases a y b son números reales

diferentes de cero, en los casos que sean denominadores, y los exponentes m y n son números

enteros.

[9]

ACTIVIDADES

Calcula las siguientes potencias Simpliica cada una de las siguientes

expresiones

1.5 NOTACIÓN CIENTÍFICA Un número positivo x está escrito en notación científica si esta expresado como: x = a. 10n

donde 1 ≤a <10 y n ∈ Z

ACTIVIDADES

1.6 RADICACION La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos

números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz

[10]

Para simplificar expresiones con radicales donde intervengan productos, cocientes o potencias

se aplican las propiedades siguientes.

El número de raíces tiene un número real depende

del signo del radicando y de si el índice es par o

impar

[11]

ACTIVIDADES.- simplificar cada expresión.

1.7 INTERVALOS DE LOS NUMEROS REALES Un intervalo es un subconjunto de números reales que se corresponden con los puntos de un

segmento o una semirrecta en la recta real. La clasificación de los intervalos se presenta en la

siguiente tabla donde los valores de a y b son reales.

[12]

Ejemplos

ACTIVIDADES

[13]

2.- OPERACIONES CON POLINOMIOS

2.1 TÉRMINO ALGEBRAICO: Un término algebraico es el producto de una o más variables y una

constante literal o numérica. Ejemplos: 3xy ; 45 ; m

En todo término algebraico podemos distinguir: Signo, coeficiente numérico y factor literal.

2.2 GRADO DE UN TÉRMINO: Se denomina grado de un término algebraico a la suma de los

exponentes de su factor literal.

2.3 CANTIDAD DE TÉRMINOS: Según el número de términos que posea una expresión algebraica

se denomina:

Monomio: Un término algebraico: bc3 ; –35z

Binomio: Dos términos algebraicos: x + y2 ; 3 – 5b

Trinomio: Tres términos algebraicos: a + 5b -19

Polinomio: Más de dos términos algebraicos: 2x – 4y + 6z – 8x2

[14]

2.4 CLASIFICACION DE TERMINOS ALGEBRAICOS

2.4 DEFINICIÓN DE POLINOMIO

El grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus términos.

ACTIVIDADES

Determina el grado y clasifica según el número de términos, las siguientes expresiones

algebraicas:

2.5 ORDEN DE UN POLINOMIO Para ordenar un polinomio existen dos formas: a) Descendente: Un polinomio está organizado

de forma ascendente con relación a una letra, cuando se inicia con el término que tiene mayor

grado con relación a dicha letra y siguiéndole los demás términos en forma descendente con

relación al grado.

[15]

2.5 VALOR NUMERICO El valor numérico del polinomio P(x) para x = a es el número que se obtiene al sustituir la

indeterminada x por el número a y efectuar las operaciones indicadas. Se representa por P (a)

Ejemplo. Calcular P(a)= 5a2 -3a+ 7 si a=4

P (4)= 5(4)2 -3(4)+ 7= 5x16-12+7=80-12+7=75

ACTIVIDADES

Calcula el valor numérico de las expresiones algebraicas siguientes, considerando:

2.6 TERMINOS SEMEJANTES Se denominan términos semejantes de una expresión algebraica todos aquellos términos que

tienen igual factor literal y mismo exponente.

[16]

2.7 REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES Consiste en sumar los coeficientes numéricos, conservando el factor literal que les es común.

ACTIVIDADES

Reduce y ordena de forma ascendente y descendente los siguientes polinomios

2.8 SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISION DE POLINOMIOS SUMA O ADICION

Para sumar dos polinomios, sumamos los monomios semejantes de cada uno de ellos:

• Escribimos los dos polinomios uno debajo del otro de modo que los monomios semejantes

estén en la misma columna.

• Sumamos los monomios semejantes.

El resultado es un polinomio de grado menor o igual que el mayor de los grados de los

polinomios iniciales.

EJEMPLO. Sumar los polinomios

RESTA O SUSTRACCION Para restar dos polinomios, restamos los monomios semejantes de cada uno de ellos:

• Escribimos los dos polinomios uno debajo del otro de modo que los monomios semejantes

estén en la misma columna.

• Cambiamos el signo de todos los monomios del sustraendo y a continuación sumamos los

semejantes.

El resultado es un polinomio de grado menor o igual que el mayor de los grados de los

polinomios iniciales.

[17]

EJEMPLO.- Hallar la diferencia entre los polinomios

MULTIPLICACION Para multiplicar dos polinomios, multiplicamos el primer polinomio por cada uno de los

monomios del segundo y después sumamos los polinomios resultantes:

• Escribimos los dos polinomios uno debajo del otro.

• Debajo, y en filas diferentes, escribimos los polinomios resultantes de multiplicar el primer

polinomio por cada uno de los monomios de que consta el segundo polinomio.

• Sumamos los polinomios obtenidos.

El resultado es un polinomio de grado igual a la suma de los polinomios iniciales.

EJEMPLO.- Hallar el producto de los polinomios.

DIVISION • Escribimos los dos polinomios ordenados según las potencias decrecientes de x. Si el

polinomio dividendo es incompleto, ponemos ceros en blanco correspondientes a los

términos que faltan.

• Dividimos el primer monomio del dividendo (en este caso 3x5) entre el primer monomio del

divisor.

• Multiplicamos el cociente obtenido por el divisor y escribimos el opuesto del resultado.

[18]

• Restamos el producto obtenido del dividendo. Ello equivale a sumar el opuesto.

• Bajamos el siguiente término del dividendo, en nuestro caso no hay, y repetimos el mismo

proceso.

• El proceso continua hasta que obtenemos un resto de grado menor que el grado del divisor.

EJEMPLO. Hallar el coeficiente entre los polinomios.

Como en toda división numérica, en la división de polinomios también se verifica la igualdad:

Dividendo = divisor. Cociente + resto P(x)

= Q(x) ・ C(x) + R(x)

ACTIVIDADES

Sean los polinomios.

2.9 PRODUCTOS NOTABLES Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas

que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple

inspección, sin verificar la multiplicación.

[19]

ACTIVIDADES.-

• Hallar los productos notables de cuadrado de un binomio.

• Hallar los productos notables de producto de la forma (x+a)(x+b)

• Hallar los productos notables de producto de la suma por la diferencia de dos cantidades.

[20]

• Hallar los productos notables de producto de cubo de un binomio

2.10 COCIENTES NOTABLES

2.10.1. Cociente de la diferencia de potencias iguales entre la diferencia de sus bases. La diferencia de dos potencias de exponentes iguales, ya sea pares o impares, siempre es

divisible entre la diferencia de sus bases.

Como se demuestra en la división mostrada no importa que exponente sea usado el resultado

siempre será exacto.

Para escribir el resultado se siguen los siguientes pasos:

1. Existirá un número de términos igual al exponente de los términos del dividendo y todos serán

positivos.

2. En cada término se multiplicara el término de la izquierda por el término de la derecha de la

expresión dada.

[21]

3. En el primer término el factor de la izquierda tendrá un exponente igual al del dividendo

disminuido en uno, y el factor de la izquierda tendrá un exponente de cero.

4. Para los exponentes de los siguientes términos, en el caso del término de la izquierda irán

disminuyendo en una unidad, y los del término de la derecha irán aumentando también en una

unidad (si se suman los exponentes de los dos términos siempre será igual a n-1)

5. Cuando el exponente del término de la derecha sea igual a n-1 damos por terminada la

respuesta.

Ejemplos:

De la misma manera que se demuestra y trabaja este cociente se demuestran otros que

simplemente resumiremos a continuación:

2.10.2. Suma de potencias iguales impares entre la suma de sus bases La suma de potencias de exponentes iguales impares siempre es divisible exactamente entre

la suma de sus bases. Se estructura igual que el anterior con la siguiente diferencia en el paso

uno

1. El primer factor del resultado será positivo el segundo negativo y de esta manera seguirán

alternándose hasta terminar el polinomio.

Ejemplos:

[22]

2.10.3. Diferencia de potencias iguales pares entre la suma de sus bases La diferencia de potencias de exponentes iguales pares siempre es divisible exactamente entre

la suma de sus bases. Se estructura exactamente igual que el anterior sin diferencias.

Ejemplos:

Es necesario hacer mención que, si tenemos una suma de potencias iguales pares nunca será

divisible exactamente entre la suma de sus bases, tampoco lo será la diferencia de potencias

iguales impares si se divide si se divide entre la suma de sus bases.

[23]

2.11 RELACION ENTRE PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACION

ACTIVIDADES.- Unir con líneas según corresponda

Caso de factoreo Productos Nombre del caso de factoreo

3.- ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCOGNITA

Una ecuación es una igualdad algebraica en la que aparecen letras (incógnitas) con valor

desconocido.

[24]

• El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. En este tema

trabajamos con ecuaciones lineales (de grado 1) con una incógnita.

• Solucionar una ecuación es encontrar el valor o valores de las incógnitas que transforman

la ecuación en una identidad.

• Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

• Para conseguir ecuaciones equivalentes, sólo se puede aplicar alguna de las siguientes

propiedades:

Propiedad 1: Sumar o restar a las dos partes de la igualdad una misma expresión. Propiedad

2: Multiplicar o dividir las dos partes de la igualdad por un número diferente de cero.

3.1 Procedimiento para resolver una ecuación de 1r grado:

• Eliminar denominadores: multiplicando ambas partes de la ecuación por el mínimo común

múltiplo de los denominadores. (Propiedad 2)

• Eliminar paréntesis. (Propiedad distributiva)

• Transposición de términos. Conseguir una ecuación de la forma a x = b (Propiedad 1).

• Despejar la incógnita. (Propiedad 2).

• Comprobar la solución.

EJEMPLOS

ACTIVIDADES.- Resolver las ecuaciones siguientes.

[25]

3.2 Procedimiento para resolver problemas de ecuaciones: • Definición de la incógnita

• Traducir al lenguaje algebraico el enunciado.

• Planteamiento de la ecuación.

• Resolución de la ecuación.

• Ver si el resultado de la ecuación es coherente con el enunciado

EJEMPLOS

[26]

4.-INECUACIÓN DE PRIMER GRADO SIMPLE

Una inecuación es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por

una desigualdad. La desigualdad puede ser <, ≤, >, ≥.

Resolver una inecuación consiste en encontrar el valor o valores que la verifican, al contrario

de las ecuaciones de primer grado, las inecuaciones tienen infinitas soluciones agrupadas

en un conjunto. El método de resolución de inecuaciones de primer grado se similar a la

resolución de ecuaciones salvo por el hecho de que si multiplicamos los dos miembros de

una inecuación por un número negativo cambia el sentido de la inecuación. EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

ACTIVIDADES.- Resuelva las siguientes inecuaciones. Expresar el resultado en forma de

notación de intervalo, conjunto y gráfica.

[27]

5.-ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado es aquella que puede reducirse a la forma

donde no se anula a. Si observamos los coeficientes b y c, las podemos clasificar en

incompletas si se anula b o c, o completas si no se anula ninguno de los coeficientes.

5.1Número de soluciones. Solucionar una ecuación de segundo grado consiste en averiguar qué valor o valores al ser

sustituidos por la indeterminada convierten la ecuación en una identidad.

[28]

Llamamos discriminante , en función del signo del discriminante conoceremos

el número de soluciones de la ecuación, así:

5.2. Como resolver ecuaciones de segundo grado.

Si te preguntas como resolver ecuaciones de segundo grado, hay tres formas para

resolverlas y encontrar el valor de las variables:

1.- Factorización simple

2.- Formula cuadrática x= −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐 2𝑎

EJEMPLOS.-

• Por factorización

• Por la fórmula general

[29]

ACTIVIDADES

Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado.

6.- INECUACIONES CUADRATICAS

Son todas aquellas inecuaciones que se pueden reducir a la forma

Sus soluciones las podemos representar de manera gráfica, estudiando el signo en los

intervalos del conjunto solución.

[30]

EJEMPLO.- Resuelve la inecuación x2-5x+6≤ 0

Se factoriza el polinomio

(x2).(x-3)≤ 0

Se hallan las raíces x1 =2 y x2

=3

Se halla el signo de cada factor.

ACTIVIDADES.- Resuelva las siguientes inecuaciones cuadráticas

7.- FUNCIONES

En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y

otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio

le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también

llamado rango o ámbito).

Las funciones se simbolizan por letras tales como f, g, h, i, j, entre otras. Así, para notar la

función f definida de X (conjunto de salida) en Y (conjunto de llegada), se escribe: f: X → Y y se

lee “efe” de X en Y.

[31]

7.1. REPRESENTACIÓN DE UNA FUNCIÓN Una relación funcional o función se puede expresar de varias formas: mediante una expresión

verbal, una expresión algebraica, una tabla de valores o una gráfica.

[32]

7.2 TIPOS DE FUNCIONES

7.2.1 FUNCION LINEAL Y CONSTANTE Una función afín es aquella cuya expresión algebraica es de la forma y = mx + b (m ≠ 0), siendo

m la pendiente y b la ordenada.

La grafica que se origina es una línea recta, si m es positiva la recta se inclina hacia la derecha

y si m es negativa la recta se inclina hacia la izquierda.

Dom f(x) = R o también puede expresarse Dom f(x) = (– ∞, + ∞)

Rango = (– ∞, + ∞)

[33]

ACTIVIDADES.- Determine la pendiente y la ordenada al origen de cada una de las funciones

lineales siguientes y luego grafique.

7.2.2 FUNCIONES CUADRATICAS Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax 2 + bx + c donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es

distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de

c sí puede ser cero.

La grafica de la función cuadrática es una curva llamada parábola; si a es positiva, la grafica

abre hacia arriba y si a es negativa la gráfica abre hacia abajo.

[34]

Dominio y rango

Dom f(x) = R

Rango = Para hallar el Rango, debemos determinar a partir de qué punto la función empieza a

tomar valores en el eje y. Esto ocurre en el vértice de la función.

Toda gráfica de una unción cuadrática tiene punto de corte en el eje Y, en el eje X, vértice y eje

de simetría.

EJEMPLO

[35]

• Corte en Y=-4

• Raices -(-x2 +5x-4)=0

x2 -5x+4=0 (x-4)(x-1)=0, raices

x=1 , x=4

• Vertice (2.5, 2.25)

• Eje de simetria x=2.5

ACTIVIDADES.- determinar el corte en el eje Y, las raíces o puntos de corte en el eje X, vértice

y eje de simetría de las siguientes unciones cuadráticas.

7.2.3 FUNCIÓN POLINOMICA En esta función, la variable es, el mayor de los exponentes a los que está eleva esta variable

indica el grado del polinomio, los coeficientes son números reales.

F(x)=

Las características generales de las funciones polinómicas son las siguientes:

1) El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).

2) Son siempre continuas.

3) No tienen asíntotas.

4) Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio.

5) Cortan el eje Y en el punto (0, a0).

6) El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos

uno.

[36]

7) El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos dos.

7.2.4 FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La función valor absoluto se define como: Es de la forma f(x) = IxI, cuyo dominio son los reales

y el rango son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene es una curva en

forma de v.

EJEMPLO.- Graficar (x)=I x I

[37]

7.2.5. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA Representación gráfica. Propiedades

La función raíz cuadrada o función radical está dada por la ecuación f , y solo tiene

sentido para los valores de x que cumplan con la condición, ya que en el conjunto de los

números reales las raíces de índice par con radicando negativo no están definidas.

El conjunto de pares ordenados de la función tienen la forma (x; ). Y al representar los pares

de puntos, obtenemos la gráfica de la función:

EJEMPLOS

A partir de estas representaciones graficas analicemos sus propiedades.

• Dominio: El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor

o igual que 0.Si el valor de x fuese negativo no sería una función raíz Cuadrada.

• Dom: x ∈ ℝ+; x ≥ 0 o (0,+∞)

• Recorrido o imagen: {y ∈ ℝ; y ≥ 0 }

• Monotonía: Creciente en todo su dominio

• Valor mínimo: 0

• Punto de corte con el eje x: x = 0

[38]

• Paridad: No tiene

7.2.6 FUNCIÓN EXPONENCIAL Funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente x en el

exponente, es decir, son de la forma:

Dentro de estas esta la función real f(x)= ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente

2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene

la particularidad de que su derivada es la misma función.

Las características generales de las funciones exponenciales son:

1) El dominio de una función exponencial es R.

2) Su recorrido es (0, +∞) .

3) Son funciones continuas.

4) Como a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto (0, 1). La función corta el eje Y en el

punto (0, 1) y no corta el eje X.

5) Como a1 = a , la función siempre pasa por el punto (1, a).

6) Si a > 1 la función es creciente. Si 0 < a < 1 la función es decreciente.

7) Son siempre concavas.

8) El eje X es una asíntota horizontal.

Si a > 1 :

Al elevar un número mayor que 1 a cantidades negativas cada vez más grandes, el valor de la

potencia se acerca a cero, por tanto : Cuando x → - ∞ , entonces a x → 0

Si 0 < a < 1 : Ocurre lo contrario que en el caso anterior :

Cuando x → + ∞ , entonces a x → 0

Dominio: El dominio son todos los números reales.

Recorrido: El recorrido son todos los números reales positivos.

Graficas de funciones exponenciales

[39]

EJEMPLO.- graficar las función f(x)= 2x

ACTIVIDADES.- graficar las funciones exponenciales 1. f(x)= 3x 2. f(x)= 0.5x 3. f(x)= (2/3)x 4. f(x)= ex

7.2.7 FUNCIÓN LOGARÍTMICA Es la inversa de la función exponencial dado que: loga x = b Û ab = x.

Una función logarítmica está formada por un logaritmo de base a, y es de la forma:

Siendo a un real positivo, a > 0, y diferente de 1, a ≠ 1.

Las características de esta unción son

[40]

Dominio: El dominio son todos los números reales positivos.

Recorrido: El recorrido son todos los números reales.

Las funciones logarítmicas son continuas.

Si a es mayor que 1 (a > 1), la función es estrictamente creciente. En cambio, si a es menor

que 1 (a < 1), la función es estrictamente decreciente.

La imagen de 1 siempre es 0 y la imagen de a es 1.

EJEMPLO.- graficar una unción exponencial y logarítmica y realizar un análisis de sus

comportamientos.

ACTIVIDADES.- graficar e indicar sus características.

f (x) = log3x f

(x) = log4x f

(x) = log1/2 x

[41]

f (x)= log1/3x

7.2.8 FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

ACTIVIDADES.- graficar las funciones trigonométricas en una hoja de papel milimetrado.

[42]

8.- VECTORES EN EL PLANO Un vector fijo del plano euclídeo es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres

características: módulo: la longitud del segmento. Dirección: la orientación de la recta y

Sentido: indica cual es el origen y cuál es el extremo final de la recta.

8.1 VECTORES EQUIPOLENTES Dos o más vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el

mismo sentido.

Dos vectores paralelos tienen la misma dirección.

Dos vectores pueden tener la misma dirección, pero distinto sentido ⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠ ⃗𝐵⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗⃗ Si el origen y el extremo de un vector coinciden, el vector es nulo.

8.2. OPERACIONES SON VECTORES A continuación se presenta un cuadro con las operaciones que se pueden realizar con vectores.

[43]

8.2.1 SUMA

FORMA ANALITICA

[44]

FORMA GRAFICA

8.2.2 RESTA

FORMA ANALITICA

[45]

FORMA GRAFICA

8.2.3 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Ejemplos de producto de un vector por un escalar.

8.2.4 PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO DE DOS VECTORES

El producto escalar de dos vectores 𝑢̅ y 𝑣̅ es un número real y se obtiene como el

producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman.

Si los vectores están definidos en forma estándar.

𝑢̅ = (𝑎, 𝑏) y 𝑣̅ =(c, d) el producto escalar 𝑢̅ . 𝑣̅ = a. c +b. d

EJEMPLO.- Dado los vectores y ángulo entre los dos vectores. Calcular el producto

vectorial.

[46]

9.-ECUACION DE LA RECTA

EJEMPLOS DE ECUACIONES

[47]

2.- Hallemos la ecuación general de la recta cuyo vector director es 𝑢̅⃗ = (3, - 5) y pasa por el

punto P = (1, - 2).

ACTIVIDADES

9.1 La pendiente de una recta Una recta es una función de la forma y = mx + b Siendo m y b números reales, m es la

pendiente de la recta y b es la ordenada en el origen.

La ordenada en el origen nos indica el punto de corte con el eje Y: (0, b) Según el signo de

m:

Si m > 0 la recta es creciente y el Angulo que se forma entre la recta y el eje X es agudo.

Si m < 0 la recta es decreciente y el Angulo que se forma entre la recta y el eje X es obtuso.

Si m = 0, la recta es constante y la gráfica es paralela al eje X.

Si b=0 la recta es de la forma y = mx, y la llamamos función lineal. Esta función pasa por el

origen de coordenadas.

Si b≠0 la recta es de la forma y = mx + b y la llamamos función afín.

Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente y distinta ordenada b en el origen.

Dos rectas son secantes si tienen distinta pendiente.

La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección

positiva del eje de abscisas. Sean P1 (x1; y1) y (x2; y2), P2 dos puntos de una recta, no

paralela al eje Y; la pendiente: Es la tangente del ángulo que forma la recta con el semieje

X positivo.

[48]

EJEMPLO

Graficar la recta que pasa por cada par de puntos, y calcular su pendiente. A(-1,4) y B(3,2)

ACTIVIDADES

Graficar la recta que pasa por cada par de puntos, y calcular su pendiente. a)

A (-4,5) y B (-3,-2)

b) A (2,5) y B (-2,-1)

c) A (4,3) y B (-2,3)

d) A (4,-1) y B (4,4)

[49]

10.- ESTADISTICA

La Estadística es la parte de las Matemáticas que se encarga del estudio de una determinada

característica en una población, recogiendo los datos, organizándolos en tablas, representándolos

gráficamente y analizándolos para sacar conclusiones de dicha población.

Población: conjunto de todos los individuos (personas, objetos, animales, etc.) que porten información sobre

el fenómeno que se estudia.

Muestra: subconjunto seleccionado de una población.

10.1 VARIABLES Son los caracteres o cualidades de la población que es objeto de estudio o análisis. Pueden ser:

10.2FRECUENCIAS - Frecuencia Absoluta (fi)

Es el número de veces que se repite el valor de cada variable. La suma de frecuencias absolutas

es siempre al total de datos observados.

- Frecuencia Relativa ( hi)

Indica la proporción con que se repite un valor. Es el cociente entre la frecuencia absoluta y el

número total de datos. La suma de las frecuencias relativas es siempre 1

- Frecuencia Acumulada (Fi )

Indica el número de valores que son menores o iguales que el valor dado. Es la suma de la

frecuencia absoluta primera con la segunda, este valor con la tercera, y así sucesivamente.

- Frecuencia Porcentual (100. hi )

Llamada también frecuencia relativa porcentual. Se obtiene multiplicando la frecuencia relativa

por 100. La suma de las frecuencias porcentuales es siempre 100%.

- Frecuencia Relativa Acumulada (Hi )

Es la suma de la frecuencia relativa primera con la segunda, este valor con la tercera, y así

sucesivamente.

- Frecuencia Relativa Acumulada Porcentual (100. Hi )

Indica el número de valores que son menores o iguales que el valor dado. Se obtiene

multiplicando la frecuencia relativa acumulada por 100.

[50]

EJEMPLO

Con los siguientes datos: 0,0, 3,3,4,4,0,1,1,2,2,2,3,3,3,1,1,2,2,2,2,2, ,3,3,3, ,4,4,5,5,5.calcular

las frecuencias.

10.3 GRAFICOS ESTADISTICOS Cuando se elaboran gráficas estadísticas en el plano cartesiano es recomendable que en el eje de las

ordenadas se representen las frecuencias y el eje de abscisas las variables independientes.

10.3.1 Gráfico de Barras El gráfico de barras, como su nombre lo indica, está constituido por barras rectangulares de igual ancho, conservando la misma distancia de separación entre sí. Se utiliza básicamente para mostrar y comparar frecuencias de variables cuantitativas o comportamientos en el tiempo, cuando el número de ítems es reducido.

10.3.2 Gráfico de sectores Circulares Usualmente llamado gráfico de torta, debido a su forma característica de una circunferencia dividida en sectores, por medio de radios que dan la sensación de un pastel cortado en porciones. Se usa para representar variables cualitativas en porcentajes o cifras absolutas cuando el número de ítems no es superior a 5 y se quiere resaltar uno de ellos.

[51]

10.3.3 Histograma de frecuencias

El histograma es un diagrama en forma de columna, muy parecido a los gráficos de barras. Se define como un conjunto de rectángulos paralelos, en el que la base representa la clase de la distribución y su altura la magnitud que alcanza la frecuencia de la clase correspondiente. Son barras rectangulares levantadas sobre el eje de las abscisas del plano cartesiano utilizando escalas adecuadas para los valores que asume la variable en la distribución de frecuencia.

10.3.4 Polígono de frecuencias Se utiliza básicamente para mostrar la distribución de frecuencias de variables cuantitativas. Para

construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de

cada rectángulo de un histograma.

[52]

10.3.5 Histograma de frecuencias acumuladas Se utiliza básicamente para mostrar la distribución de frecuencias acumulada de variables cuantitativas. Es una gráfica que se elabora con los valores de las frecuencias acumuladas (menor que y mayor que) y los límites de las clases de una distribución de frecuencia. El polígono de frecuencia acumulada se le conoce comúnmente como ojiva.

[53]

BIBLIOGRAFIA

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inferencial/conceptos-basicos-estadistica-descriptiva-e-inferencial.shtml.

• https://www.portaleducativo.net/primero-medio/50/graficos-estadisticos

[54]