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Potencias de Exponente Natural

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Page 1: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

Potencias

de

Exponente Natural

Page 2: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

Potencias de exponente natural

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales.

a·a·a·a·a = a5 BASE

EXPONENTE

Ejemplo: La potencia de base 3 y exponente 5 es:

35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243EXPONENTE

BASE

Page 3: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

Cálculo de potencias con la calculadora

Por ejemplo, para calcular (1,4)3 tecleamos:

y obtenemos como resultado en pantalla 2,744.

Para calcular potencias con la calculadora utilizamos la tecla xy o x^y

1 , 4 x^y 3 =

Page 4: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

Propiedades de las potencias de exponente natural

Producto de potencias de la misma baseSi multiplicamos dos potencias de la

misma base, el resultado es otra potencia de la misma base cuyo exponente es la

suma de los exponentes.

an · am = an + m

Page 5: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

Multiplicación de potencias de igual base

32 44

44444

54

Se conserva la base y se suman los exponentes.

Page 6: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

Producto de potencias de la misma baseLos factores del producto

42 · 45 · 43

Puede hacerse de dos modos:

son potencias que tienen la misma base.

Modo 1º Directamente, multiplicando:= 16 · 1024 · 64 = 1048576

Modo 2º Escribiendo cada potencia como producto y agrupar después:

42 · 45 · 43

= (4 ·4) · (4 · 4 · 4 · 4 · 4) · (4 ·4 ·4) =42 · 45 · 43 42+5+3 = 410

Luego, 42 · 45 · 43 = 42+5+3

Es un producto de potencias de la misma base

2, 5 y 3 factores

Page 7: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base, y de exponente la suma de los exponentes de los factores.

–2 = (–2)1 o 61 = 6

Ejemplos:

1. (–2)4 · (–2) · (–2)2 = (–2)4+1+2 = (–2)7 = –128,

utilizando la propiedad vista.

También es igual a: 16 · (–2) · 4 = –128, haciendo los productos de las potencias.

2. En forma de potencia, la expresión: (a) 9 · (–3)3 · (–3)

= (–3)2 · (–3)3 · (–3) = (–3)6

Igualmente: (b) 16 · (–2)3 = (–2)4 · (–2)3 = (–2)7

Page 8: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

Cociente de potencias de la misma base

El dividendo y el divisor de 65 : 63

Puede hacerse de dos modos:

son potencias de la misma base

Modo 1º Calculando las potencias y dividiendo:

Modo 2º Desarrollando las potencias y simplificando:

65 : 63

Es un cociente de potencias

de la misma base

36216

7776

6

63

5

2523

5

666·66·6·6

6·6·6·6·6

6

6 65 : 63 = 65–3

Page 9: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

Cociente de potencias de igual base

37 44

444

4444444

44

Se conserva la base y se restan los exponentes.

Page 10: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

Cociente de potencias de la misma base

Si dividimos dos potencias de la misma base, el resultado es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual

a la diferencia de los exponentes.

an : am = = an – m con n > mm

n

a

a

5

2

3

3 3 3 3 3 3

3 3

33

Page 11: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

Ejercicio:

El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia con la misma base, y con exponente igual a la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor.

(a) 27 : 24 = 27–4 = 23

El cociente 54 : 54 = 1

Pero si aplicamos la propiedad 54 : 54 = 54–4 = 50

Se admite que:50 = 1; (–7)0 = 1

Escribe en forma de potencia: (a) 27 : 24

(b) (–5)6 : (–5)3

(b) (–5)6 : (–5)3 = (–5)6-3 = (–5)3

Page 12: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

Multiplicación de potencias de igual exponente

38

342

424242

4442223432

Se conserva el exponente y se multiplican las bases.

Page 13: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

División de potencias de igual exponente

3

3

33

4

28

282828

22288828

Se conserva el exponente y se dividen las bases.

Page 14: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

Potencia de una potencia

La expresión (52)4 es una potencia cuya base es otra potencia.

Puede hacerse de dos modos:

Modo 1º Directamente, haciendo la potencia de la potencia:

Modo 2º Escribiendo como producto de potencias y agrupar después:

(52)4 = 52 ·52 · 52 · 52 = 52+2+2+2 = 52 · 4 = 58 (52)4 = 52 · 4

Se llama potencia de una potencia

(52)4 = (25)4 = 390625

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Ejercicios

La potencia de una potencia es igual a otra potencia con la misma base, y de exponente el producto de exponentes.

1. Calcula: [(–2)4]2 [(–2)4]2 = (–2)4·2 = (–2)8 = 64

2. Calcula: [(35)4]2[(35)4]2 = 35·4·2 = 340

340 es un número enorme: tiene

20 cifras.

3. Calcula: {[(–1)3]9}7 {[(–1)3]9}7 = (–1)3·9·7 = (–1)189 = –1

Page 16: Potencias de Exponente Natural Potencias de exponente natural Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de varios factores iguales

Potencia de una Potencia

342

444 222

12444 22

4*32Se conserva el exponente y se

multiplican las bases.