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Universidad Técnica Nacional ( UTN )

Precálculo

1 | P á g i n a

Universidad Técnica Nacional

Periodo III-2013

Carrera: Bachillerato en Procesos Profesor: Msc. Gerardo Arroyo Brenes.

Folleto del curso Precálculo


Precálculo

2 | P á g i n a

UNIDAD I: EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES (IR) Valor absoluto Es la distancia que hay entre el punto origen y cualquier punto de la recta numérica y se define

0

0

x si xx

x si x

a) 7 f) 5 3

b) 8 g) 7 9

c) 10 h) 5 5

d) 6 9 i) 2

e) 3 1 j)3

5 – 1

Potencias. Definición y propiedades

na a a a a a a

n veces

Ejemplos : 52 4

1

3

=

1) an am = a n + m 6) 1n

na

a

2) an = a n – m 7) a0 = 1 am

3) ( a n) m = anm 8) m

n mna a

4) ( a b c )n = an bn cn 9) n na a

5)

n n

n

a a

b b

10)

n na b

b a


Precálculo

3 | P á g i n a

Ejemplos. Realice y simplifique las siguientes potencias ( No deben quedar exponentes negativos ,ni fraccionarios)

1) 4 7 6a a a 6)

22 4

3 1

8

4

a b

b a

2) 5 6 11

4 5 9

a a b

a b b 7)

23 3

92

3 68

a b

b a

3)

25 4

3 7

2

50

a b

b a

8)

12 20

44 4

81

625

x y

x y =

4) 4 6

4 2

2

8

x y

x y

9)

5 32

32

n

n

=

5)

1

22

1

34

b b

b

= 10)

23 5

1 5

32 4

4 3

a b

b a

a b

a b

Radicales. Definición y propiedades. Suma y resta: Para sumar o restar radicales deben ser semejantes, es decir, deben tener igual el índice y el subrradical. En algunas ocasiones, radicales que no parecen ser semejantes, sí lo son cuando se aplica simplificación.

a) 8 27 4 12 75 b) 2 8 5 27 3 72 4 147


Precálculo

4 | P á g i n a

c) 3 3 33 40 5 625 2 135 d)1

4 50 3 98 3 48 3002

Multiplicación y división : Para multiplicar o dividir radicales deben ser homogéneos, es decir, deben tener igual el índice . Ejemplos

1) 5 54 3 7 8 2) 3 32 580 5

7 4

3) 2 3 ( 5 4 2 ) 4) (3 5 7 2 ) ( 3 5 7 2 )

5) 3 33 34 4 3 6 28 750 7 2 6) ( ) ( )a b a b

Racionalización . Consiste el eliminar la raíz de denominador . Estudiaremos dos casos I caso . Cuando el denominador es un monomio. Se multiplica el numerador y denominador por un “uno” que sea conveniente, lo que se busca es que los exponentes del subrradical sean iguales al índice del radical y de esa manera poder extraerlos .

a) 3

2


Precálculo

5 | P á g i n a

b) 3

4

5

c) 2 7

3 5

d) 5

5

3 7

4 3

e) 34b

b

f) 4

10

100

II caso. Cuando el denominador es un binomio . Se multiplica por el conjugado del denominador.

a)2

3 5

b) 4 3

3 5 3


Precálculo

6 | P á g i n a

c) 4

4 2x

PRACTICA NÚMEROS REALES 1) Clasifique los siguientes números en natural, entero, racional o irracional:

1) Clasifique los siguientes números en natural, entero, racional o irracional:

Numero IN ZZ //Q II Numero IN ZZ //Q II

a) 5

4

i) 4,383838

b) 7 j)

2

e

c) –2 k) 4,38333...

d) 6

12

l)

4

16

e) 14 m)

2

7

f) 3 27 n)

49

35

g) –1,43875... o)

3

4

h) –0,75

2) Resuelva las siguientes operaciones:

a) )618()183( f) 0512114

b) 94117 g) 0143 2222

c) 253719 h) 12425

d) )164(3723445 2 i) )412(4)318(6

e) 1483454 j) 2)34()721(

3) Resuelva las siguientes operaciones:

a)

2

1

3

2

5

4 g) 125454208

b)

5

4

3

1

2

4

5

1 h) 3284


Precálculo

7 | P á g i n a

c)

5

3

3

4

3

1

9

4 i) 33 5

5

230

5

1

e)

3

115

7

3

14

5 j) 375321

f) 333 814243753 k) 35241510358

4) Racionalice los denominadores

a) 5

3 e)

132

534

i)

526

3

b) 324

32

f)

5 3

4 j)

1

4

x

c) 2

2

x g)

33 x

x

d)3

2

2

4

x

yx h)

3 2

34

yx

x

5) Realice y simplifique las siguientes potencias ( No deben quedar exponentes negativos ,ni fraccionarios)

a) 1273 xxx g) 22

5

)2(

2

x

x

b) 552 )3( yx h) 333

1

)4( yx

c) 115

87

2

4

ba

ba i) 221354 )3()2( yxyx

d) 53

53

yx

yx j)

3

5

4

4

3

2a

aa

e)

2

24

314

2

cba

cba k) n nn n 32 53

f) n

n

81

3 24

l)

3

2532

314

7

2

qpnm

qnm


Precálculo

8 | P á g i n a

6) Simplifique al máximo

a)

33 6 5

4 3 1

2

5

m n z

m n z

b) 3242356 )3(5 cbacba

c) 6 4 2

44 20 17

162

2

a b c

a b c

d) 3 15201444 3435 zyxyx

UNIDAD II: EXPRESIONES ALGEBRAICAS Expresión algebraica Esta formada por un conjunto finito de números reales y letras unidos mediante las operaciones suma , resta ,multiplicación ,división ,potenciación y radicación Ejemplos

5x2 – 6x + 3y ; 735

2 4 xx ; 64

54 3

y

y ; 1355 2 ymx

Definición de polinomio Es la suma de un número finito de términos ,cada uno de los cuales es el producto de un números y letras ( los exponentes de las letras solo pueden ser números enteros positivos) Ejemplos

3x2 – 5x + 4 ; 1443

1 3 xyyx ; 2mx + n3x – 2my – n3y ; 5

363 3 yxxmxb

NO son expresiones polinomiales

n-5x – 2m-1 y – n3 ; ym

xyz

3

743 ; 445 3

1

yyx


Precálculo

9 | P á g i n a

Valor numérico de una expresión algebraica Consiste en sustituir el valor de la letra por el valor asignado, y resolver la operación resultante Ejemplos

1) El valor numérico de 22x

x para x =

3

1

2) El valor numérico de 2 323 10 3 2

3a b b para a b :

Ceros de un polinomio Para cualquier polinomio P(x) si " "a es un cero del polinomio, entonces se cumple que P(a) = 0 Ejemplos : Sea P(x) = 3x2 – 7x – 6 verifique que P(3) es un cero del polinomio Clasificación de los polinomios Monomio : Polinomio que contiene solo un término . Ejemplo : 5x3yz Binomio : Polinomio que contiene dos términos separados por suma o resta . Ejemplo : 2yz – 4y3

Trinomio: Polinomio que contiene tres términos separados por suma o resta . Ejemplo : 5z – 4x3 +y Partes de un monomio – 25 x5y3z Factor literal Grado = 5 + 3 + 1 = 9

coeficiente numérico Grado del monomio: es la suma de los exponentes de las letras. Monomios semejantes : Son los que tienen el mismo factor literal

222

7

2,10,3 yxyxyx

5nmy , - mny , 24 ymn


Precálculo

10 | P á g i n a

Suma y resta de expresiones polinomiales Para sumar o restar expresiones algebraicas se suman los coeficientes numéricos y se conservan el factor literal , recordando que un menos ( – ) delante de un paréntesis cambia el signo a todos los términos del polinomio. Ejemplos

1) 2 2 2(12 5 6) (7 2 9) ( 4 7 10) a a a a a a

2) ( 2x2 – 10x + 15 ) – ( 7x2 – 4x + 5 ) =

3) ( 3ab – 5b + 2y) + ( 5y – ab + 15b) =

4) )478()135()25614( 222 xxxxxx =

5) )873( 223 yxxyyxxy – )53

12( 223 yxxyyxxy =

6) )54( 223 yxxyyxxy – )93

564( 223 yxxyyxxy

Multiplicación de expresiones polinomiales Para multiplicar expresiones algebraicas se multiplican sus coeficientes numéricos y sus factores literales ( usando leyes de potencias )

a) 5 2 3 46 5

7 4a b c ac b

b) 2 5 4 5 24 5 6 2( )x y xy x y yx

c) )72()53( 2 xxx =

d) )53(3)52()42()415(4 222 xxxxxxx =


Precálculo

11 | P á g i n a

Fórmulas notables

( A + B)2 = ( A + B) ( A + B) = A2 + 2AB + B2 ( A – B)2 = ( A – B) ( A – B) = A2 – 2AB + B2 (A + B) ( A – B) = A2 – B2

( A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

( A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3

Efectúe

a) 23 )52( nmn b) 22 )7( yx c) )8

33()

8

33( baba

d) ( 4xy – 1 )2 e) ( 3 + 4x3)2 f) ( b2n – 10y5m) ( b2n + 10y5m) g) ( 3n – 5y )3 h) (4x + 5y2)3

Operaciones combinadas:

1) 2 23 3 2 3 2 3 2( ) ( )( ) ( )m m m m

2) 3x( 2x – 5 ) – 2x ( x – 7 )

3) ( 5x – 6 ) ( 2x2 – 5 x + 2) – 2x ( 2x – 5)2

4) 2

5 3x y


Precálculo

12 | P á g i n a

División de expresiones polinomiales Para dividir expresiones algebraicas se dividen sus coeficientes numéricos y sus factores literales ( usando leyes de potencias ) Ejemplos:

a) 6 5 3 5 3 436 9a b c a b c

2 7 3 2 4 2 3 236 48 60 12) ( )b a b z a b z a bz a bz

Efectúe:

a) 535176

5

4

7

2

cbacba =

b) 222245437 15)156045150( xyxyyxxyyx =

c) 23

4755423

3

30212797

yx

yxzyxyxyx =

División sintética Se usa para dividir polinomios de una sola variable cuyo el divisor es un binomio de primer grado de la forma ( bx ± a ) Ejemplos ( 2x3 – 4x2 + 5x – 3 ) ( x – 1 ) ( x4 – 3x2 – 5x + 7 ) ( x + 2 ) 2 – 4 5 – 3 1 1 0 – 3 – 5 7 – 2 Cociente = Cociente = Realice 1) ( x3 – 2x2 + 7x – 2 ) ( x – 3 ) 2) ( 2x4 – x2 +10x – 8 ) ( x + 2 )


Precálculo

13 | P á g i n a

3) ( m3 – 13m2 – 4 ) ( m – 1

2 ) 4) ( 3x4 – 7x3 + x2 – 8x + 7 ) ( x + 1 )

5) Encuentre el valor de k para que el polinomio x3 – 3x2 + 6x – k sea divisible por ( x – 1)

Factorización de polinomios

En aritmética es hemos podido comprobar que algunos de los números se pueden factorizar, esto expresarlos como el producto de sus factores primos. Así por ejemplo el numero 21 tiene como factores a 7 y 3, por lo que 21 se puede expresar como el producto de 3 7 ; es decir 21 3 7 . De la misma forma puede ocurrir con los polinomios, ya que algunos se pueden expresar como el producto de expresiones algebraicas por cada una de las cuales son divisibles. Si tenemos dos expresiones algebraicas A y B, las multiplicamos y su producto es C, cada una de esas expresiones A y B se dice que son factores o divisores de C. Ejemplo:

2a a 2b a 2ab se dice que a y a 2b son factores o divisores de 2a 2ab .

El proceso consiste en hallar esos factores (cuando existen), lo cual llamamos descomponer en factores de la expresión C o simplemente Factorizar.

Métodos de Factorización Factor Común.

Al factorizar cualquier polinomio lo primero que se debe verificar es si la expresión algebraica tiene factor común. El máximo factor común es la mayor expresión algebraica que divide a todos los


Precálculo

14 | P á g i n a

términos que componen el polinomio (recuerde: se llaman términos de un polinomio a cada uno de las expresiones separadas por sumas o restas).

El máximo factor común puede estar formado por un número, una o varias letras, un polinomio entre paréntesis, o por la combinación de estos. Para obtener el máximo factor común, se debe:

A) Obtener el Máximo Común Divisor ( M. C .D.) entre los coeficientes numéricos de cada término.

B) Entre las letras, sacar a factor común todas aquellas letras que estén presentes en todos los términos que componen el polinomio; estas se extraen con el menor exponente.

C) En ocasiones el factor común es un polinomio; cuando aparece en todos los términos de la expresión, por lo general dentro de paréntesis. Si dichos paréntesis están elevados se extrae el de menor exponente.

Para completar la factorización se divide cada término del polinomio entre el máximo factor común y se escribe el resultado de esta división dentro de paréntesis. Este paréntesis junto con el máximo factor común, conforman la factorización de la expresión.

Ejemplo 1

Factorice la expresión 2 3 414 21a b c ab

Ejemplo 2

Factorice la expresión 3 2 2 230 42 60x y xy x y

Ejemplo 5

Factorice la expresión

2 2 3 2 6 2x x x x x

Ejemplo 6


23 3x x

Ejemplo 3 Factorice la expresión

3 4 5 2 2 4 7 3 312 18 35m p x m p x m k x


2 5 2y x x


Precálculo

15 | P á g i n a

Factorice

a) 5646234 0129060 bzazbazba d) ababab 16812 22

b) yayyx 532 2 e) 4 2 7 3 4 5 4( )( ) ( ) ( )x x x x x

c) 3 2 5 5 2 5 7 5 2( ) ( ) ( )x a v a a f) 243553

25

16

15

8

5

4yxyxyx

g) 2 7 3 2 4 2 336 48 60a b z a b z a bz h) 2ax ay az

i) 2 44 2 10x x x 3 5 5 5 2 5) ( ) ( ) ( )j x a y a a

1. Realice la factorización de los siguientes polinomios.

a) 2 3 24 4x y x

b) 2 3 2 221 14 17a b ac a c

c) 2 3 3 6 3x x x x x

d) 2 3 2 4 560 36 30 6x y x y x y x

e) 2 21 3 1 2 1x x x x x x

f) 5 15 10a a b b b a a b

g) 3 5 2 4 4 328 56 42x y x y x y

h) 3 2

3 6n m n nm m n

i) 47 5r r s r r s

j) 2 232 8p p q p p q p p q

Agrupación En ocasiones no es posible encontrar un factor común para todos los términos de un polinomio, entonces debemos descomponer el polinomio en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo.

Para utilizar el método de grupos y factor común se debe:


Precálculo

16 | P á g i n a

A) Agrupar de tal manera que para alguno, o todos los grupos formados, se pueda aplicar factor común. Para esto aplicamos la propiedad asociativa para factorizar algunos polinomios de cuatro términos.

B) De ser posible, extraer de cada uno de los nuevos términos un factor común. De no ser así la agrupación realizada no es conveniente y debe intentarse una nueva agrupación.

C) Nota: no todas las expresiones de cuatro términos se pueden factorizar mediante este método.

Es necesario recalcar que para algunos polinomios puede existir más de una forma conveniente de agrupar el polinomio. Para los ejemplos anteriores intente otras agrupaciones de los polinomios que le permitan factorizarlos. Realice la factorización de los siguientes polinomios por el método de grupos y factor común.

a) 2 3 2 32 3 6m n m n = b) 2 34 5 4 5y z y z y

c) 24 2 2x x yx y d) 23 3w w kw k

e) 3 2 23 2 6 4m n m mn n f) 24 3 3 4m nm n m Factorización de un polinomio de grado dos. Anteriormente estuvimos resolviendo ecuaciones de segundo grado con una incógnita, ahora nos enfrentamos no a una ecuación sino a un polinomio de grado dos. Para factorizarlo vamos a echar mano del estudio del discriminante, el cual aquí nos va a determinar si el polinomio es factorizable y si lo es, entonces i se trata de fórmula notable o dos factores diferentes.

Ejemplo 1

Factorice la expresión 2 2 3 2a b b a b

Ejemplo 2

Factorice la expresión 2 35 10 25 2x x x

0, se puede factorizar en IR como el producto

de dos factores diferentes

0, se puede factorizar como el producto de dos factores iguales.

El trinomio se llama "Trinomio cuadrado Perfecto"

( se puede factorizar con la 1º o 2º formula notable)

0, no se puede factorizar en IR


Precálculo

17 | P á g i n a

Para nuestro estudio veremos el caso donde el discriminante es mayor que cero puesto que si es menor que cero no se puede factorizar en IR y si es igual a cero se verá más adelante como formula

notable, aunque es posible factorizarlo por los métodos aquí descritos. 0, se puede factorizar en IR

Para factorizar el polinomio de segundo grado podemos utilizar los siguientes métodos:

Primera o segunda fórmula notable ( 0 ).

Inspección.

Fórmula general b

x2a

.

Ejemplo: Factorizar.

1) 2x 5x 6

a) Fórmula general.

2x 5x 6

2

2

b 4ac

5 4 1 6

1

2

1

2

b b 4acx

2a

5 1 5 1x 2

2 2(5) 1

x2 1

5 1 5 1x 3

2 2

b) Inspección.

Para factorizar 2x 5x 6 , ya sabemos que la factorización debe de darnos dos binomios, debemos dos números que sumados nos den el término central (5x) y multiplicados nos den el término independiente (6).

2 6x

5x x 3 x 2

x 3 2x

x 2 3x

5x

1. Realice la factorización de los siguientes polinomios utilizando formula general o inspección según se le indique. (recuerde para todos los casos calcular el discriminante)

a) 2x x 6 (F.G)

1

2

Si x 2 x 2x 2 x 3

Si x 3 x 3


Precálculo

18 | P á g i n a

b) 2a 9a 8 (F.G)

c) 24x 8x 3 (Insp)

d) 26a 19a 8 (Insp)

e) 6 3a 22a 121 (Insp)

f) 2 3 62x 5xy 2y (Insp)

g) 218x x 5 (F.G)

h) 2m 13m 90 (F.G) Fórmula notable

Factorización por la primera y la segunda fórmula notable.(Trinomio Cuadrado Perfecto) Se debe verificar si el polinomio tiene la forma desarrollada de alguna fórmula notable, ya sea el

desarrollo de 2 2 22a b a ab b o bien

2 2 22a b a ab b la verificación se realiza de la

siguiente forma: A. Se verifica que el trinomio esté ordenado en forma descendente o ascendente. B. Para saber si este método es aplicable en determinado trinomio se calculan las raíces cuadradas de los términos que se encuentran en los extremos del trinomio, las cuales deben ser exactas para poder continuar con el método.( estas raíces exactas son los posibles valores de a y b en la fórmula

notable 2 2

a b o a b )

C. Se debe verificar que el término central del trinomio ( sin importar su signo) sea igual al doble producto de las raíces de los extremos. El signo del término central del trinomio no importa ya que éste solo determina cuál de las dos fórmulas notables es la factorización correcta del trinomio. D. Una vez hechas las verificaciones anteriores se procede a factorizar el polinomio. Se considera que las raíces de los extremos del trinomio son los valores de “a” y ”b” en la fórmula notable y se escribe

el polinomio factorizado ya sea 2

a b o 2

a b . Alternativamente se puede escribir 2

a b

como a b a b y 2

a b como a b a b

Ejemplos Factorice los siguientes polinomios

I ) 2 4 4x x

II) 2 6 9x x

III) 29

15 254

x x

IV)2 6 34 12 9a b ab


Precálculo

19 | P á g i n a


8 1x

2. Factorice los siguientes polinomios por la primera o segunda fórmula notable.

a) 2 14 49x x b) 225 30 9x x c) 2 121 22x x d) 24 16 1

15 25 36x x

e) 2 4 3 6 4 8 29 30 25a b a b c a b c f) 2

2 1 4 2 1 4x x

g) 2

10 3 1 3 1 25x x h) 4 10 2 518 81a b a b

Factorización por la tercera fórmula notable (resta de cuadrados).

Al desarrollar la fórmula a b a b se obtiene la diferencia de cuadrados 2 2a b ; por lo tanto al

factorizar una expresión de la forma 2 2a b el resultado es a b a b .

Para utilizar este método se debe: A) Verificar que cada uno de los términos que componen el binomio tienen raíz cuadrada exacta. B) Extraer la raíz de cada término, estos resultados corresponden a " "a y " "b en la fórmula

notable. C) Escribir la factorización como el producto de: la suma entre " "a y " "b por la resta entre " "a y

" "b así a b a b .


a) 2 29m n m b) 281 36t c) 41 16x d)

2 22a b a

e) 16 1x f) 2 69 16a c c) 2

4 1 9x d) 2 2

16 1 9 3x x


2 24 25p k


2

7 49x


2 2

2 2 1y y


Precálculo

20 | P á g i n a

Factorización por la sexta y sétima fórmula notable (suma o resta de cubos).

Por la 6ª y 7ª fórmula se tiene 2 2a b a ab b = 3 3a b y 2 2a b a ab b = 3 3a b ; por lo

tanto al factorizar una expresión de la forma 3 3a b el resultado es 2 2a b a ab b .

Análogamente al factorizar una expresión de la forma 3 3a b el resultado es 2 2a b a ab b .

Para utilizar este método se debe: A) Verificar que cada uno de los términos que componen el binomio tienen raíz cúbica exacta. B) Extraer la raíz cúbica de cada término, estos resultados corresponden a " "a y " "b en la

fórmula notable. C) Escribir la factorización de acuerdo con la fórmula correspondiente.


a) 3 8x b) 6 3 27x y c) 3 664 125y x d) 61000 y

Combinación de métodos Hasta ahora se han dado varios métodos para simplificar expresiones algebraicas. En los

cuales, en general se usa un método según sea la forma de la expresión. Cuando se quiere descomponer en factores una expresión algebraica se sobreentiende que la

forma final de los factores debe ser irreducible, es decir, que no pueden a su vez, descomponerse en otros factores. Por lo tanto con frecuencia es necesario combinar todos los métodos estudiados.

En cualquier caso, siempre se debe empezar sacando factor común (si existe) y después continuamos buscando cualquiera de los métodos estudiados. Ejemplo:

Ejemplo 1

Factorice la expresión 3 1x

Ejemplo 2

Factorice la expresión 38 27x

Ejemplo 3

Factorice la expresión 3 6125 27a b

Ejemplo 4


9 18x y


Precálculo

21 | P á g i n a

a)

4 6 4 2

2 24

4

49x 9x x 49 9x Factor Comun

x 7 3x 3º Formula Notable

x 7 3x 7 3x

b)

6 4 5 5 4 6 4 4 2 2

24 4

25a x 20a x 4a x a x 25a 20ax 4x Factor Comun

a x 5a 2x 2º Formula Notable oInspeccion

1. Factorice los siguientes polinomios.

a) 121 16x

b) 225 16x

c) 5 3 3 3 332a b 96a b 72ab

d) 2 29x 24x 16 25a

e) 2 2 249k 16k p 24kp 9

f) 6 6d w g) 30ax 34bx 15a 17b h) 4x3 – 4x = i) 25x2 + 10x + 1 – y2 = j) x2 – a2 + ax – a2 = k) a4 – 125a = l) 2ny2 + 28ny + 98n = m) x6 + 7x3 – 8 = e) x4 – 256 =

Práctica: Factorice completamente los siguientes polinomios

a) 5x3 – 20x =

b) 2xn3 + 250x =

c) x2 – 25y2 + 2x – 10y =

d) 3m2 – 12m4=

e) 8x2 – 40xm + 50m2=

f) x6 + 26x3 – 27=

g) x8 – 81=

h) x6 – 1 = i) ( x2 – 4) + 2x + 4 =


Precálculo

22 | P á g i n a

Teorema del factor.

Para cualquier polinomio P(x) si " "a es un cero del polinomio, entonces x a es un factor

del polinomio y viceversa; si x a es un factor del polinomio entonces " "a es un cero del

polinomio.

Si el cero del polinomio es de la forma a

b entonces bx a es un factor del polinomio y viceversa.

1) Factorización haciendo uso del teorema del factor Se usa para factorizar polinomios de grado mayor o igual a 3 , siempre y cuando no se pueda usar ningún de los métodos anteriores , y la idea es buscar un cero ( divisor) del polinomio usando la división sintética . Los posibles ceros de un polinomio son los divisores del término constante Ejemplos.

1. Factorice a) a3 – 7a + 6 ( Para encontrar los posibles ceros del polinomio se buscan los divisores de 6 ( 1 , 2 ,3, 6) )

b) 4 215 10 24a a a c) 3x3 – 8x2 + 3x + 2

d) x3 + 4x2 – 7x – 10 d) y4 – 2y3 – 19y2 + 8y + 60

2. Si los ceros de un polinomio de grado dos son – 2 y 3 ¿ Cuál puede ser el polinomio ?

3. Si los ceros de un polinomio de grado dos son 3

5

y 0 ¿ Cuál puede ser el polinomio ?


Precálculo

23 | P á g i n a

4. Si los ceros de un polinomio de grado dos son 3

4 y

2

5 ¿ Cuál puede ser el polinomio ?

5. Si los ceros de un polinomio de grado dos son – 6 y – 9 ¿ Cuál puede ser el polinomio ? 6. Utilice el teorema del factor para contestar cada uno de los siguientes cuestionamientos :

Si – 2 es un cero del polinomio P(x) ¿ Cuál sería uno de sus factores?

Si – 3 y 1

4 son los dos ceros de un polinomio.¿ Cuáles son sus factores?

Considere un polinomio de segundo grado P(x) cuyos ceros son 3 5

4 6y

. Escriba el

polinomio P(x) en forma factorizada y en forma desarrollada.

Si el único cero del polinomio P(x) de segundo grado es 7

9. Escriba el polinomio P(x) en

forma factorizada y en forma desarrollada.

Si 0 y – 2 son los ceros del polinomio de segundo grado P(x). Escriba P(x) en forma factorizada y en forma desarrollada.

7. Escriba en cada caso el polinomio factorizado y desarrollado P(x) de segundo grado cuyos

ceros son :

a) – 3 y 2 b) 0 y – 4 c) 7

6 y

9

2

d) 8 y

1

5

8. Encuentre los ceros de los siguientes trinomios y factorícelos de ser posible.

a) 26 3 1x x b) 25 7 2x x c) 2121 132 36x x d) 26 15x x e) 249 28 4x x


Precálculo

24 | P á g i n a

Al utilizar el teorema del factor se debe tener cuidado si:

El polinomio tiene factor común

22 4 2x x Incorrecto Correcto

En el polinomio de grado 2 el valor que acompaña a “x2 ” es negativo

25 2 3x x Simplificación de expresiones Para simplificar expresiones algebraicas primero debemos factorizar los polinomios y luego cancelar los términos iguales Ejemplos

a) 2

2

2 15

25

x x

x

b) 3

2

8

4 4

x

x x

c)

)9)(2(

)3(4)3(22

2

bax

babax

Primero se debe extraer el máximo factor común, antes de utilizar el teorema del factor.

Debe escribirse un “menos”

adelante de la factorización

( la factorización se realiza de

la forma habitual)


Precálculo

25 | P á g i n a

d) 2

3 2

4x 9

12x 27x 36x

Suma y resta de fracciones algebraicas Al igual que en las fracciones aritméticas, en la suma de fracciones algebraicas racionales, se presentan dos casos, ya sea que las fracciones tengan el mismo denominador o distinto denominador. La suma de las fracciones algebraicas que tienen el mismo denominador, es otra fracción cuyo numerador es la suma algebraica de los numeradores y cuyo denominador es el denominador común. Cuando las fracciones algebraicas tienen distinto denominador, para sumarlas deben transformarse en fracciones que tengan el mismo denominador (Mínimo Común Denominador). Recordemos que este es la mínima expresión exactamente divisible por cada uno de los denominadores. Para sumar las expresiones algebraicas fraccionarias se requiere:

1) Factorizar cada una de la expresiones del numerador y del denominador de las fracciones a sumar o restar según sea el caso.

2) Determinar el m.c.d. (que se coloca en el denominador de la fracción)de las expresiones de los denominadores de la siguiente forma: Colocando uno de cada factor que se repita en los denominadores. Si hay factores que son los mismos pero con diferente exponente se coloca el mayor.

3) Al igual que en las sumas y restas de fracciones aritméticas, dividimos el m.c.d entre los denominadores de las fracciones a sumar o restar y lo multiplicamos por el numerador.

4) Sumamos la expresión resultante en el numerador y se simplifica si se puede. Ejemplos:

a)

5

1

5

3

xx b)

1

4

2

3

x

x

x

x


Precálculo

26 | P á g i n a

c) 3

2

3

2

xhx = d)

2

2 x 4

x 3 x 9

e) 2

2 9

3x 1 9x 6x 1

Multiplicación de fracciones algebraicas La multiplicación de fracciones algebraicas es similar a la que contiene sólo números aritméticos. Por lo tanto vamos a valernos de esta similitud para resolver estas operaciones, utilizando lo que llamamos la “ley de cancelación de facciones”. De la siguiente forma:

1) Factorizar cada una de la expresiones del numerador y del denominador de las fracciones a multiplicar.

2) Simplificar expresiones algebraicas. (recordando que va una del numerador con una del denominador)

3) Multiplicar lo que nos queda.

1) 2 2

2 2

4x 8 x 1

x 2x 1 x 1

2)

2

2

a 1a 1

a 12a 4a 2

3) 2

3 2

9m 6 4m 9

8m 27 6m 5m 6

4)

2 2

2 2

x 2x 1 x x 6

x 9 x 1


Precálculo

27 | P á g i n a

División de fracciones algebraicas La división de fracciones algebraicas es similar a la que contiene sólo números aritméticos. Por lo tanto, al igual que en la multiplicación vamos a valernos de esta similitud para resolver estas operaciones, utilizando lo que llamamos la “ley de cancelación de facciones”. De la siguiente forma:

1) Factorizar cada una de la expresiones del numerador y del denominador de las fracciones a dividir.

2) Como nos encontramos frente a una división de fracciones, entonces vamos a multiplicar en cruz.(o sea numerador de la primera por denominador de la segunda, el resultado se coloca en el numerador; y denominador de la primera por numerador de la segunda, el resultado se coloca en el denominador). Solo indicar la multiplicación. (o darle vuelta a la segunda fracción)

3) Simplificar expresiones algebraicas. (recordando que va una del numerador con una del denominador)

4) Multiplicar lo que nos queda. Ejemplos : Efectuar las siguientes divisiones de fracciones algebraicas:

1) 3 3 2

2 2

h 1 h h h

h h h 2h 1

2)

2 4 2

24

4m 16m 9m 4m 3

m 1 2m 2m 1

Fracciones algebraicas complejas Una fracción algebraica se dice compleja cuando el numerador o el denominador, o ambos, son expresiones algebraicas fraccionarias. Ejemplo:

x1

x 1x

11 x

Numerador

Denominador


Precálculo

28 | P á g i n a

Ahora tenemos: PRACTICA UNIDAD II: EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1) Efectúe las operaciones indicadas para los siguientes polinomios

a) )44()1136()563( 222 xxxxxx

b) )873( 223 yxxyyxxy – )53

12( 223 yxxyyxxy + )985( 2223 xyxyyxxy

c) )1168()745(3)274()12( 22222 aaaaaaaa

d) ) )44(5)1038()567(3 222222 yxxxyxyxyxyx

e) )37()442()5625( 223222 yxyxyyxxyxyx

d) 6346

7

3

5

4baccba

e) )74(4 2543 yxyxxyxy

f) )831()13()25(3 222 xxxxxxxx

g) )3

5

4

37()158(5)764(2 22 xyyxyxyyxx

h) )74()53( xx

i) )3()253( 22 aaaa

j) )46(3)1()72()153( 222 xxxxxxx

k) )84(2

1)54()3(2 xxxxx

l) )72()53( 2 xxx – )34()13( xx

m) 23 )72( nmn n) 22 )35( yx o) )5

36()

5

36( baba

n) 22 )25()23)(23()52( mmmm

p) )5)(5()53()4( 22 xyxyxyyx

q) 3(2 5 )n a r) 2 2 3( x 3y ) s) 22 )()( baba

2) Realice las siguientes divisiones .


Precálculo

29 | P á g i n a

a) 435356

5

4

7

2

cbacba

b) 52224543 5)5302515( xyxyyxxyxy

c) 15)305

39060( 3252652573 nmnmnmnmnm

d) 23

4754323

3

3211867

yx

yxzyxyxyx

e) 53

72343 28

am

nmaamma

3) Efectúe , aplicando la división sintética, las operaciones indicadas.

a) )3()1032( 23 xxxx d) )3

1()1

9

432( 42 xxxx

b) )1()3073( 234 xxxxx e) )1()75( 24 xxx

c) )2()322( 24 xxx f) )2

1()35

2

3

2

1( 34 mmmmm

4) Factorice al máximo los usando factor común y agrupación

a) 3222 63 baba i) bqbpaqap

b) strs 4 j) 2233 2 xxx

c) axxaax10

6

25

9

5

3 22 k) dmcbcdbcmdmb 2222 48644256

d) 1296 ba l) 2222 3223 abyxyabx

e) 3647253 604836 bzazbazba m) bxbyayax 48126

f) )1(5)1(4 babbax n) cbaacaba 5552

g) )1(5)1()3( aaa o) 632 23 xxx

h) )()( 2 axax p) 4105 22 xxx

5) Factorice al máximo .

a) 22 964 zx h) 3125x 1

b) 41 a i) 915 27cb

c) 1442 m j) 125)( 3 ba

d) 49)32( 2 x k) aa 162 4

e) 246 481 cba l) 99 64yx

f) 3641 b m) 343 )1(16)1(2 xaxa


Precálculo

30 | P á g i n a

g) 338 mr n) 2 32x(1 3x ) 50x

6) Factorice al máximo los siguientes polinomios.

a) 49142 xx j) 300202 mm

b) 81364 2 xx k) 33142 aa

c) 122 aa l) 612 2 xx

d) 2254106 9124 ncndcdc m) 1582 aa

e) 6482

3

64

9

6416 mpppm n) 384 2 aa

f) 11449 2 aa o) 9204 2 ax

g) 6324 444121 mmxx p) 7189 2 yy

h) 1072 xx q) yaaxyyx 22 27183

i) 302 yy r) bababa 222 22

7) Factorice al máximo los siguientes polinomios usando el teorema del factor

a) 241015 24 aaa d) 1074 23 xxx

b) 1243 23 yyy e) mmmm 234 33

c) 608192 234 aaaa f) 6823 aaa

8) Factorice al máximo los siguientes polinomios combinando métodos.

a) xx 753 3 f) 32502 m

b) 22 25204 ymm g) mm 493

c) 93 542 xmxn h) )3(20)3(5 3 mxmx

d) 62)9( 2 xx i) )2(100 22 yaya

e) 1682510 22 yyxx j) )16(20 22 xxx

9) Simplifique al maximo

1) axa

xx

62

652

11)

nnn

n

248

1823

3

2) 158

1072

2

xx

xx 12)

22

22

2

22

yxyx

yx

3) 27

963

2

x

xx 13)

babax

ba

2)2(

2

4) 3

3 2

25

2 8 10

a a

a a a

14)

322

223

33 abba

baba


Precálculo

31 | P á g i n a

5) 273

2322

2

xx

xx 15)

3 2

2

3 4 12

4

x x x

x

6) bxaxab

babxax

22

6633 16) )

23

432

23

xx

xx

7) ) 372

3522

2

xx

xx 17)

3

2

5 12

3 4

x x

x x

8) 6

232

2

xx

xx 18)

42

82 2

m

m

9) 22

22

)(

)(

zyx

zyx

19)

34

812

4

xx

x

10) 8

163

4

a

a 20 )

502

202

2

x

xx

10) Realice las siguientes operaciones

1)

1

2

1

1

xx 2)

nm

mn11

11

=

3)

xx

xx

54

34

= 4)

13

511

75

xx

xx

=

5) aax

ax

x

axa

aa

xx

10225

3

3

52

2

2

2

= 6)

2

22

22

22

22

33

3

9

39

32

43

27

bab

ba

baba

baba

baba

ba

=

7) 3

12

1

45 22

x

xx

x

xx = 8)

3

100

93

10020

307

27 2

23

2

2

4

x

x

xxx

xx

xx

xx

9)4 4

2 2 2

x a x a

x 2ax a x ax

10)

2 2

2 2

r s

s rr s

s r


Precálculo

32 | P á g i n a

11)

2

x x y

x y x y

12)

2

2

x 1 2x 1

x x x

13)

2

2

x 5x 3

x 2 x 4

14)

3y 2x 3y

2x 3y 3y:

15)

2

2

2

2

4x x

8x

16x 1

2x 8x

16)

2

2 21

aba

a b

a

a b

17)

a x b x

a x b x2 2

a x b x

18) x1 x

11 x

UNIDAD III: ECUACIONES ALGEBRAICAS Definición de ecuación. Solución de una ecuación. Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas . Ejemplos

3x – 9 = 7x + 5 , 3y2 – 5y – 1 = 0 , 3 4

72 5 1x x

Resolver una ecuación es hallar el valor o los valores de la incógnita para que la igualdad sea cierta ECUACIONES LINEALES Es una ecuación donde el grado mayor de la incógnita es 1 Ejemplos 1) 4x – 10 = 2x + 8 2) 3x + 18 = 3( 6 – 5x) + 15


Precálculo

33 | P á g i n a

3) 4 ( 2x – 7) – ( 11 – 5x ) = 4 ( 3x – 7) 4) 5 3 4

3 13 5

x xx

5) 2 5 3(5 3 )

35 2

y yy

6) ( 2x – 5 )( x + 3) = 2x ( x – 5 )

Para las siguientes formulas despeje lo que se le pide

a) 2mv1 = 2

14

2 F

Km Despeje K

b) fV 2

i V + a t

w Despeje t

c) ) Kt = Mt – rF Despeje t 2K


Precálculo

34 | P á g i n a

Ecuación cuadrática

Las ecuaciones cuadráticas en una incógnita, son aquellas de la forma: 02 cbxax

donde a, b, c son números reales, a 0 y x es la incógnita. Para resolver este tipo de ecuaciones se utiliza la siguiente fórmula

a

bx

2

, donde acb 42

El discriminante indica el número de soluciones de la ecuación cuadrática:

Si > 0 entonces la ecuación tiene dos soluciones diferentes:

a

bx

a

bx

2

2

2

1

Si = 0 entonces la ecuación tiene una única solución: a

bx

2

Si < 0 entonces la ecuación tiene no tiene solución en IR. EJEMPLOS: Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas. Indique el conjunto solución de las mismas.

a) 0312 2 x

b) 22 3 0x x

c) 342313 xxxxx

d) 2 4

4 0x

x


Precálculo

35 | P á g i n a

Ecuación de grado mayor que dos

Para resolverlas se iguala cada paréntesis a cero y se despeja la incógnita ,en caso de no estar factorizado se factoriza y se resuelve cada paréntesis EJEMPLOS: Resuelva las siguientes ecuaciones

a) ( 2x – 3 ) ( x + 4) ( x – 1 ) = 0 b) 4x3 – x2 – 100x + 25= 0

c) 5x( x – 5 ) ( 3x – 2) = 0 d) ( x2 + 4 ) ( x3 +8) ( 4x – 5) = 0

Ecuaciones que involucran radicales. Para resolverlas se utiliza el método de elevar a ambos lados de la ecuación Ejemplos Resolver

1) 2 6 4x 2) 23 2 3x


Precálculo

36 | P á g i n a

3) 3 3 1y y 4)

1) Sistema de ecuaciones. Se llama sistema de ecuaciones a todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.

Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

El resultado que se obtiene al resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables pueden ser una solución, número infinito de soluciones o no existe solución Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución.

Métodos de resolución

1) Suma y resta:

Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas empleando el método de eliminación por suma o resta:

a) Multiplíquense los dos miembros de una de las ecuaciones, o de ambas, por número tales que resulten iguales los coeficientes de una misma incógnita.


Precálculo

37 | P á g i n a

b) Súmense las dos ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y réstense si son de mismo signo. c) Resuélvase la ecuación que así resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita que contiene. d) Sustitúyase este valor en una de las ecuaciones dadas y resuélvase; se obtiene así la otra incógnita.

Ejemplo: Resolver el sistema

3 9

2 10

x y

x y

2) Igualación:

a) Despéjese, en cada ecuación, la incógnita que se requiere eliminar. b) Iguálense las expresiones que representan el valor de la incógnita eliminada. c) Resuélvase la ecuación que resulta, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada. d) Sustitúyase el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase.

Ejemplo: E2 22

4 7

x y

x y

3) Sustitución.

a) Despéjese una incógnita en una de las dos ecuaciones. b) Sustitúyase la expresión que representa su valor en la otra ecuación. c) Resuélvase la nueva ecuación, con lo cual se obtiene el valor de la incógnita no eliminada. d) Sustitúyase el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la otra incógnita, y resuélvase la ecuación resultante.


Precálculo

38 | P á g i n a

Ejemplo: Resolver el sistema:

3 22

4 3 1

x y

x y

PRACTICA UNIDAD III: ECUACIONES ALGEBRAICAS 1) Resuelva las siguientes ecuaciones

1) 7 4x

6 2x 83

2) 4 x 5 4x 10

3) 2 3( 7) 3 6 4y y y y 4) 4 (15 18) 6 11 12x x x

5)

4 3(2x 5) 4x 1

2 3 6)

2x 3 2x 5 2x 1

3 6 2

7) 2x − 3(x + 5) = 1 − (4x + 2) 8) x − 3(3x − 2) = 3x − 1 9) 4(2x + 3) − 4(2 − 4x) = 3x + 5(x − 2) 10) (3x + 2)(−2) + x = 12 11) 3(x − 2) − 2(1 − 2x) = 6 12) 2(x − 1) = 4x − (x − 3) 2) Determinar el conjunto solución de cada una de las siguientes ecuaciones de grado dos.

A) 2x 4x 5 0 H) 4x x 3 9

B) 2x 2x 2 0 I) 26x 3x x 10

C) 2x 2x 7 0 J) 25h 7 7 5h 1

D) 24x 32x K) 2x x 3x

E) 4x 1 2x 3 x 13 x 1 L) 2

x 2 x 2 3x 2

F) 2x 1 x 1 3x 5

6 8 8

M)

2 2x 1 3x 3x 1

G) 2x x 4

12 4

N) 26x 10x 11x

3) Resuelva las siguientes ecuaciones


Precálculo

39 | P á g i n a

1) ( x – 3 ) ( x + 1) ( x – 5 ) = 0 9) 4x( x – 7 ) ( 7x – 2) = 0 2) ( 2x – 1 )( x2 – 25 ) = 0 10) ( x2 – 4 ) ( x3 + 1) ( 6x – 5) = 0 3) 2x ( x + 4) ( 3x – 5 ) = 0 11) 3x( 2x – 1 ) ( 4x2 – 1) = 0 4) 5x( x2 – 1 ) ( x2 + 1) = 0 12) x2 ( x2 + 3) ( x – 2 ) = 0 5) ( 2x – 5 ) ( x + 1) ( x – 6 ) = 0 13) (2x3 – 16 ) ( 3x – 8) x = 0 6) 3( x2 – 3 ) ( x2 + 9) ( 4x – 1 ) = 0 14) x3 – x2 – x = – 1 7) ( x3 – 8 ) ( 3x + 1) ( 4x – 4 ) = 0 15) x4 = 13x2 – 36 8) x( x – 3 ) ( x2 – 36 ) = 0 16) x3 – 4x2 – 4x + 16 = 0

4) Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

5. Resolver los siguientes sistemas.( puede usar cualquier método)

1)

42

543

yx

yx 2)

82

232

yx

yx

3)

2473

1652

yx

yx 4)

2473

1652

yx

yx

5)

473

1354

x

yx 6)

82

232

yx

yx

7)

yx

yx

42

1323 8)

12

02

yx

yx


Precálculo

40 | P á g i n a

9)

163

14

yx

xy 10)

yx

yx

45

4

5

9

45

54

UNIDAD IV: INECUACIONES ALGEBRAICAS Intervalos Es un subconjunto de la recta numérica ( una parte de la recta numérica) Hay diferentes tipos de intervalos y notaciones que se detallan en el siguiente cuadro.

INTERVALO

CONJUNTO

REPRESENTACION EN LA RECTA NUMERICA

– 2 , 4

/ 2 4 x x

– 2 , 5

– 3, 2

5

0 , 6

– 3 ,

– , –

,

Practica Complete el siguiente cuadro

INTERVALO

CONJUNTO

REPRESENTACION EN LA RECTA NUMERICA

1, 3

–2 , 0

– 7, 5

/ 1 x IR x


Precálculo

41 | P á g i n a

4

7 ,

– , – 2

1/ >

3

x IR x

5/ 4 < 10 x IR x

Resolución de inecuaciones lineales Se resuelve igual que una ecuación lineal, con la diferencia de que la solución corresponde a un intervalo real EJEMPLOS: 1) 3 7 5x x

2) 15x – 6 ( 2 + 3x) > 2x + 5

3) 2

3(2 ) 6 53

xx x

4) 2 3 4 3 5 1

8 2 4

x x x

Resolución de inecuaciones no lineales y fraccionarias Para resolver este tipo de inecuaciones se realizan se realizan los siguientes pasos

1. Se factoriza el polinomio. 2. Encontrar los ceros del polinomio. 3. se construye un cuadro de variación para determinar los signos. 4. Indicar el conjunto solución


Precálculo

42 | P á g i n a

Ejemplos:

a) 2 6 0x x

b) 3 9 0x x

c) 2 2 15

02

x x

x

d) 2 2 3

11

x x

x

PRACTICA INECUACIONES ALGEBRAICAS 1) Resuelvas las inecuaciones

a) 54x 6 2x 8x

2 b) 3 (5 7) 6 3x x x

c) 4x – ( 8 - 9x ) 15x – ( - 3x + 7) d) 2x ( 5x 4) 7x 3

e) x 3 5

5 x 34 3

f)

x2 x 3 8 x

6

g)

3x 2 3

2 x 85 4

h) x

4 x 1 10 x5

i)

6x 2 7

2 x 45 4

j) x

5 2x 1 10 x 34

2) Resuelva las siguientes desigualdades


Precálculo

43 | P á g i n a

a) 2 12 0x x f) 3 1 4 7 0( )( )( )x x x

a) 2 3 10 0x x g) 2 2 8 0x x

b) 2 5 6 0x x h) 32 8 0x x

c) 2 49 0x i) 2 1 2 5 0( )( )x x

d) 3 25 0x x j) 2 5 50 0x x

3) Resuelva las siguientes desigualdades no lineales

1) 03

202

x

xx 6) 0

4

252

2

x

x

2) 4

23

x

x 0 7) 0

158

822

2

xx

xx

3) 0)2(2

)1( 2

xx

x 8) 3

5

32

x

x

4) 2

5

x

2

3

x 9)

2

2

69

12

xx

xx

0

5)2

11

x

x

10)

4 5

3 2x x

Solución de ejercicios 2) a) –7 b)9 c) 23 d) 77 e) –5 f) –2 g) –5 h) –2 i) –60 j) –18

3) a) 19

30

b) 49

60

c) 101

135 d) 33

644

4) a)3 5

5

b) 3 2 3 c)

2 2

2

x

x

d) 3 22 4xy x e)

19 6 3

11

f)

54 81

3 g) 3 3x

h)2 234 x y

xy i)2 15 3 2

14

j)

4 1

1

x

x

5)

a) 22x c) 2

3

2a

b e)

8

2

4c

b g)

2

x i) 10 1172x y k) 134

b) 10 25

1

243x y d) 1 f) 9 h)

964y

x j)

29 20 920

1 1

22

a aa

l) 6 15 15

12

8

343

m p q

n


Precálculo

44 | P á g i n a

5)

a) 9

21 18

125

8

n

m z b)

24 12

7

675a c

b c)

2 2

44 3 3

3a a

b c c d) 8 10 5 2 2335x y z x y

Páginas 20 y 21

2) a)25

14

ab c b)

4 3

2 3 3

3 5 6x x x

yy y y c)

3 3 34 26

4 225

m m nmn n

n d)

2 2 5 52 6 7y x y z xy

e) 4

2 4 3

8 2m m n

a a a

3) a)2:

: 10

C x x

R

b)

3 2: 4 3 10

: 20

C x x x

R

c)

3 2: 2 4 6 12

: 21

C x x x

R

d)

3 2 3: 3 1

5

2:3

C x x x

R

e) 3 2: 5 5 4 4

: 3

C x x x

R

f)

3 3 23:

2 4

47:8

C m m

R

4) a) 2 23 1 2a b b b) 5 4r t c)3 3 2

5 5 2ax x a

d) 3 2 3 4a b e)

2 4 6 3 4 212 3 4 5a bz ab b z a z

f) 41 5a b x b g) 1 2a a h) 1x a x a i) p q a b j)

3 2 1x x

k) 2 4 3 7 8bd cm bm dc l) 2 23 2ab x y m) 2 2 3 2x y a b n)

5a b c a

o) 22 3x x p) 2 2 3 1x x

5)a) ( 8x +3z) ( 8x – 3z) b) ( 1 – a ) ( 1 + a )( 1 +a2) c) ( m +12) ( m – 12) d) ( 2x +4) ( 2x – 10)

e) ( 9 a3b2+2c) (9 a3b2 – 2c) f) ( 1 + 4b ) ( 1 – 4b +16b2) g) (2r – m ) ( 4r2 + 2 rm+m2)

h) ( 5x +1 ) ( 25x2 – 5x + 1) i) ( b5 + 3c 3) ( b 10 –3 b5c 3 +9c6) j) ( a + b – 5 ) ( (a + b)2 +5( a +b) - 25)

k) 2a( a – 2)( a2 + 2a + 4) l) ( x3 – 4y3) (x6 + 4x3 y 3 +16y6) m) 2a(x + 1)3(1 + 2a)( 1 – 2a2 + 4a2)

n) 2x( 1 + 2x) ( 1 – 8x)

6) a) ( x + 7)2 b) ( 2x – 9 )2 c) ( a – 1)2 d) ( 2c3d5 + 3cn )2 e) ( 4mp4 + 28

3p )2 f) ( 7a – 1)2


Precálculo

45 | P á g i n a

g) ( 11x2 + 2m3 )2 h) ( x + 2) ( x + 5) i) ( y + 6) ( y – 5 ) j) ( m + 10) ( m – 30) k) (a – 3)(a – 11 )

l) ) ( 3x + 2) ( 4x – 3) m) (a – 5)(a – 3) n) ) (2a – 3)(2a – 1) o)( 2x – 1 )( 2x – 9) p)( 3y + 1) ( 3y – 7 )

q) y ( 3x-9a) ( x – 3a) r) ( a – b)( a-b-2)

7) a) ) (a – 1)(a – 4 ) (a + 3)(a +2) b) ( y + 2) ( y – 3)( y – 2) c) (a –2)(a – 5) (a + 3)(a +2)

d) ( x – 2) ( x + 1) ( x + 5) e) m ( m + 1)3 f) ( a – 1) ( a2 + 2a – 6)

8) a) 3x( x -5) ( x + 5) b) ( 2m + 5 – y ) ( 2m + 5 + y ) c) 2x ( n – 3m3) ( n2 + 3nm3 + 9m6) d) (x – 3) ( x

+ 1)

e) ( x – y – 9 )( x + y – 1 ) f) 2( 1 + 5m) ( 1 – 5m + 25m2) g) m( m + 7) ( m – 7 ) h) 5x(m + 3) ( m +1) (

m + 5)

i) ( 10 + a – y) ( 10 – a + y) j) ( x + 4)(2x – 9 )

Ecuaciones Página 25 y 26 1)

1) 7

2S 3) 2S 5)

59

26S 7)

14

3S 9)

7

8S 11) 2S

2) 5

4S 4)

5

4S

6)

1

4S

8) 7

11S 10)

16

5S 12) 5S

2)

A) S D) 0 8S , G) 1

02

S , J) 0 7S , M) S

B) S E) 4

47

S , H) 3

2S

K)

0 2S , N)

70

2S ,

C)

1 2 2S F) 1 2S , I)

51

3S , L)

30

5S ,

3)

1) 1 2S , 3) 8 0S ,

5)

11 83

3 15S ,

7) 3 2S , 9) 15 13

2 2S ,

2)

4 2S , 4) 8 0S , 6) 4 2S , 8) 4 8S ,

10)

84 164

25 125S ,

universidad periodo nacional iii-2013garroyo.weebly.com/uploads/2/3/5/1/23517118/matematica_i... ·...

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