3° Grado

Factorizar un polinomio es denotarlo como un producto de dos o más factores, de tal forma que al efectuar la multiplicación se obtenga dicho polinomio.

FACTOR COMUN: el factor común de los términos de un polinomio es el máximo común divisor de los coeficientes multiplicado por las variables comunes elevadas al menor exponente con que aparezca en el polinomio. Para factorizar una expresión por otro factor común se divide la expresión entre el factor común de esta, encontramos el otro factor.

Ley Ejemplox1 = x 61 = 6x0 = 1 70 = 1

x-1 = 1/x 4-1 = 1/4

xmxn = xm+n x2x3 = x2+3 = x5

xm/xn = xm-n x4/x2 = x4-2 = x2

(xm)n = xmn (x2)3 = x2×3 = x6

(xy)n = xnyn (xy)3 = x3y3

(x/y)n = xn/yn (x/y)2 = x2 / y2

x-n = 1/xn x-3 = 1/x3

En una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolos literales) e iguales exponentes.

Por ejemplo:

6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a2b3)

1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz)

0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés.

a) Números de igual signo: Cuando dos números tienen igual signo se debe sumar y conservar el signo.

Ej. : – 3 + – 8 = – 11 (sumo y conservo el signo) 12 + 25 = 37 (sumo y conservo el signo) Ej. : – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lo

tanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 - 7 = 5

b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto

signo se debe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valor absoluto.

Ej. : 5 + – 51 = – 46 (es negativo porque el 51 tiene mayor

valor absoluto) – 14 + 34 = 20

 

(x – y) = (x)^2 + 2 (x)(-y) + (-y)^2 = x^2 – 2 xy + y^2

“Regla Del Binomio Al Cuadrado”

El primer término se eleva al cuadrado mas el doble producto del primer término por el segundo termino mas el segundo termino elevado al cuadrado.

Ejemplo:

(m^2 – 2)^2 = (m^2)^2 + 2(m^2)(2) + (-2)^2

= m^4 – 4m^2 + 4

(3a^2 – 5) = (3a^2)^2 + 2 (3a^2)(-5) + (-5)^ = 9a^4 – 30a^2 + 25

(a + b)^3 = (a)^3 + 3 (a)^2(b) + 3 (a)(b)^2 + (b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3a b^2 + b^3

“Regla Del Binomio Al Cubo”

El cubo del primer término más el tercer producto por el primer término elevado al cuadrado por el segundo término mas el tercer producto por el primer término por el segundo termino elevado al

cuadrado más el cubo del segundo término.

Ejemplo:(3 + y)^3 = (3)^3 + 3(3)^2(y) + 3(3)(Y)^2 + (y)^3

= 27 + 27y + 9 y^2 + y^3(5 –x)^3 = (5)^3 + 3(5)^2(x) + 3(5)(x)^2 + (x)^3

= 125 + 75x + 15x^2 + x^3

15m^2 + 20 m^3 = 5m^2 (3 + 4m)

Ejemplo:A^2b + a^2c =

a^2 (b + c)12xy – 8x^2 =

2x (6y – 4x)

Wxy + wxy^2 = wxy (1 + y)

“Regla para determinar si un trinomio es cuadrado perfecto”

De acuerdo con esta regla, a^2 – 4ab + 4b^2 es cuadrado perfecto porque: a) Raíz cuadrada de a^2 = a

b) Raíz cuadrada de 4b^2 = 2b

Doble producto de estas raíces: (2) (a) (2b) = 4ª

Para factor izar un trinomio cuadrado perfecto se extrae la raíz cuadrada del primer y del tercer términos del trinomio, y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por sí mismo (esto es, se eleva al cuadrado).

1.- Se extrae la raíz cuadrada a los dos términos de la expresión.2.- Se abren dos paréntesis.3.- Se colocan en ambos paréntesis las raíces de cada término, en el primer paréntesis las raíces se suman y en el segundo paréntesis se restan, cuidando de poner el signo contrario a la raíz del término simétrico. (Es el que tiene el signo negativo en la diferencia de cuadrados.).

Ejemplo:•26a^10 – 81b^2= (6a^5 + 9b) (6a^5 – 9b)

•A^2 – b^2 = (a+b)(a-b)

1.- Se abren dos paréntesis

2.- Se extrae la raíz cuadrada del primer término y dicha raíz se coloca en ambos paréntesis.

3.- Se buscan dos números que sumados algebraicamente nos den el termino en bx (el termino que contiene a la variable con menor exponente) y multiplicados nos den el termino c (termino independiente). Ambos números se colocan en los dos paréntesis escribiendo en el primero el número mayor.

4.- Los signos de los paréntesis se colocan en este orden:

a) En el primer paréntesis el signo del término en bx, y en el segundo paréntesis el signo que resulte de la multiplicación de signos.