QUE ES FACTORIZACIÒN?

La factorización es una herramienta poderosa, que bien vale la pena dominar, y para ello es importante conocer y aprender muy bien los casos que se pueden presentar.

FACTOR COMUN

Para usar este método se debe primero identificar el máximo común divisor de los coeficientes de los términos y si es distinto de uno hace parte del factor común. Luego se buscan las letras o expresiones comunes a cada término y se toman con el menor exponente para multiplicarlo con el MCD de los coeficientes y formar el factor común .Finalmente se divide al polinomio por el factor común y el cociente será el otro factor EJEMPLO: 8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d) El factor común es el número 4, el Máximo Común Divisor entre los números. EXPLICACIÓN: "Saco" el número 4 multiplicando a un paréntesis a eso se le dice "sacar factor común 4". Luego divido a cada término por el número 4, y voy poniendo todos los resultados dentro del paréntesis, sumando o restando según el signo que resulte de la división.

Ejercicios:

9x3z - 3ab - 18y + 27b2 = 3.(3x3z - ab - 6y + 9b2)

Factor común el 3, por que el 3 es divisible por 9,3 y 6, sacamos el factor común dividimos cada uno 3 divido 9 y se coloca dentro del paréntesis con el complemento es decir con las letras. Cabe aclarar que no hay factor común en las letras todas son diferentes por eso no se coloca ninguna fuera del paréntesis.

-10a2tx - 25x + 30xz2 = 5x.(-2a2t - 5 + 6z2)

Factor común el 5, por que el 5 es divisible por 10,25y 30, sacamos el factor común dividimos cada uno 5 divido 10 y se coloca dentro del paréntesis con el complemento es decir con las letras. Como la letra X esta común en todas las expresiones se coloca por fuera del paréntesis al lado del 5

30b3 - 100c = 10.(3b3 - 10c)

Factor común el 10, por que el 10 es divisible por 30 y 100 sacamos el factor común dividimos cada uno 10 divido 30 y se coloca dentro del paréntesis con el complemento es decir con las letras. Cabe aclarar que no hay factor común en las letras todas son diferentes por eso no se coloca ninguna fuera del paréntesis.

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Se

identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces. Para solucionar un T.C.P. debemos organizar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signos que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado. Ejemplo: (45x-37y)^26564 = 25x^2-30xy+9y^2 (67x+25y)^2456 = 9x^2+12xy+4y^2 (5x+7y)^256 = x^2+2xy+y^2 867x^2+25y^2456-67567xy Organizando los términos tenemos 467x^2 - 5675xy + 567y^2 Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo del segundo término y elevando al cuadrado nos queda: ( 2x - 5y )^2

Ejercicios: 1. x2 + 6x + 9 = (x + 3)2

x 3 2.3.x

6x Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio

es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2 2. x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

x 1 2.1.x

2x Recordemos que el "1" es cuadrado (de "1" y "-1"). Las bases son: x y 1. La verificación de que es "perfecto" es 2.x.1 = 2x. El resultado es (x + 1)2

3. x2 + 8/3 x + 16/9 = (x + 4/3)2

x 4/3 2. 4/3 . x

8/3 x La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y 4/3.

DIFERENCIA DE CUADRADOS

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis, (parecido a los productos de la forma), uno positivo y otro negativo. En los paréntesis deben colocarse las raíces.

Ejemplo: (9y^2)-(4x^2)=(3y-2x)(3y+2x)

Ejercicios:

1. x2 - 9 = (x + 3).(x - 3) x 3 Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la

"suma de las bases" por la "resta de las bases".

2. x2 - y2 = (x + y).(x - y) x y Las dos bases son letras

3. b2 - 1 = (b + 1).(b - 1) b 1 No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.

SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO

Porque con este Caso de pueden factorizar aquellos polinomios que sean una suma o una resta de

dos términos que sean potencias con el mismo exponente ("igual grado").

Por ejemplo:

x5 + y5

El polinomio precedente es una suma de potencias quintas. Son dos potencias con el mismo

exponente: 5.

x3 - 8

Este polinomio es una resta de potencias terceras. Ya que 8 es igual a 23. Son dos potencias con

el mismo exponente: 3

a8 - 1

Este polinomio es una resta de potencias octavas. Ya que 1 es igual a 18. Son dos potencias con el

mismo exponente: 8 x5 + 32 = (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16)

x 2

| 1 0 0 0 0 32

|

|

-2| -2 4 -8 16 -32

1 -2 4 -8 16 |0

Cociente: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16

Los dos términos son potencias quintas. Ya que 32 = 25. Cuando es una suma de potencias impares, hay que dividir al polinomio por la suma de las bases: (x + 2). Y la división se suele hacer con la regla de Ruffini. Divido (x5 + 32):(x + 2), y el resultado de la división es: x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16. El resto dá 0. Se factoriza como (x + 2).(x4 - 2x3 + 4x2 - 8x + 16), es decir: "la suma de las bases multiplicada por el resultado de la división". Pero también hay otra forma de factorizar este tipo de polinomio, que consiste en aplicar una reglita para construir el cociente sin hacer ninguna división. En cada ejemplo, se dá la explicación para hacerlo de las dos maneras. La variedad de los siguientes ejemplos está pensada para las distintas situaciones que se presentan al utilizar el método de la división con la regla de Ruffini. Con el método de la regla, casi no hay variedad de situaciones: todos los ejercicios resultan prácticamente iguales.

Ejercicios:

1. x3 - 8 = (x - 2).(x2 + 2x + 4)

x 2

Cuando es una resta de potencias impares, hay que dividir por la resta de las bases.

2. b4 - 81 = (b - 3).(b3 + 3b2 + 9b + 27) ó (b + 3).(b3 - 3b2 + 9b - 27)

b 3

En las restas de potencias pares se puede dividir tanto por la resta como por la suma de las bases.

3. x4 + 16 = x4 + 16

En general no se factorizan las sumas de Potencias pares. Porque algunas no son divisibles ni por la suma ni por la resta de las bases. Pero las potencias que son múltiplo de 3, 5, u otros números impares, sí se pueden factorizar. Aunque, como es un poco diferente su factorización, no lo suelen ver en el Nivel Medio. Consultar en EJEMPLO 12 un ejemplo de esto.

FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se le aplica el primer caso, es decir:

Ejemplo: ab+ac+bd+dc = (ab+ac)+(bd+dc) = a(b+c)+d(b+c) = (a+d) (b+c)

Ejercicios:

1. 4a + 4b + xa + xb =

4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

2. a + 4b + xb + xa =

4.(a + b) + x.(b + a) =

4.(a + b) + x.(a + b) =

(a + b).(4 + x)

En el primer paso el "resultado" quedó "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b)

3. 4.(a - b) + x.(a - b) =

(a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.

ELABORADO POR:

LEIDY ANDREA MONTOYA LOAIZA

MUCHAS GRACIAS