Caso I 

Este es el primer caso y se emplea para Factorizar una expresión en la cual todos

los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la

combinación de los dos). 

Sacar el factor común es extraer la literal común de un polinomio, binomio o

trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes. Ejemplo: 

x^8 + x^2 y^2 - 2xy = xy(x + xy - 2) 

a) Factor común monomio 

Ejemplos descritos de factorizacion: 

1. Descomponer en factores a^2 + 2a. 

a^2 / a = a y 2a / a= 2, y tendremos a^2 + 2a = a(a+2) 

2. Descomponer en factores 10b – 30 a b^2 . 

Los coeficientes 10 y 30 tienen factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos 10 porque

siempre se saca el mayor factor común. De las letras, el único factor común es b

porque esta en los 2 términos de la expresión dada y la tomamos con su menor

exponente b. 

El factor común es 10b. Lo escribimos como coeficiente de un paréntesis y dentro

ponemos los cocientes de dividir 10b / 10b = 1 y -30ab^2 /10b = -3ab 

y tendremos: 

10b – 30a b^2 = 10b(1 – 3ab). 

Ejercicios: 

Factorar o descomponer en dos factores: 

1) 3a^3 – a^2 = a^2 (3a-1) 

2) 15c^3 d^2 + 60 c^2 d^3 = 15c^2 d^2 (c + 4d) 

3) 34ax^2 + 51a^2 y – 68 a y^2 = 17a(2x^2 + 3ay - 4y^2 ). 

En este ejemplo vemos que el factor común del coeficiente numérico es el 17,

como sabemos que es el 17 dividiendo: 

34 / 17 = 2 ; 51 / 17= 3 ; 68 / 17= 4, es decir tenemos que buscar un numero que

sea divisible para todos los coeficientes numéricos. 

Y en cuanto al coeficiente Literal el factor comun es a debido a que es el menor

exponente de dicho coeficiente Literal. 

4) x – x^2 + x^3 – x^4 = x(1 – x + x^2 – x^3 ) 

5) 3a^2 b + 6ab – 5a^3 b^2 + 8a^2 bx +4ab^2 m = a( ab + 6b – 5a^2 b^2 + 8abx +

4b^2m) 

El factor comun polinomio lo tenemos en un archivo pdf para obtenerlo hacer clic

aqui 

Caso II 

Factor comun por agrupación de terminos 

Para trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta

que son dos características las que se repiten. Se identifica porque es un número

par de términos. Para resolverlo, se agrupan cada una de las características, y se

le aplica el primer caso, es decir: 

ab + ac + bd + dc = (ab + ac) (bd + dc) 

= a(b + c) + d(b + c) 

= (a + d) (b + c) 

Pasos para realizar el caso II (Factor comun por agrupación de terminos)

Los pasos para realizar este caso que es el factor comun por agrupacion de

terminos es: 

1) Observar detenidamente el ejercicio en este caso vamos a poner como ejemplo

el ejercicio anterior es decir: ab + ac + bd + dc. 

2) Agrupar los terminos de una manera que al realizar el ejercicio nos de cómo

resultado un factor comun le voy a demostrar con ejemplos: 

ab + ac + bd + dc 

agrupando los términos: (ab + ac) + (bd + dc) 

aplicando lo del caso I a(b + c) + d(b + c) observemos en la parte sombreada con

azul que se repite el mismo factor comun (b + c) 

es decir el ejercicio si se lo puede realizar es el caso II, si al agrupar los términos

no se repiten los factores comunes no es el caso II y por ende no se puede

realizar el ejercicio. 

3) Una vez identificado que se trata de un factor comun por agrupación de

términos procedemos a colocar primero el coeficiente literal es decir las letras que

están fuera de los factores comunes. 

son las que están sombreada con rojo. a (b + c) + d (b+c) 

por ultimo colocamos los factores comunes 

dándonos como resultado (a+d) (b+c) 

Agrupación de términos: Aquí se intenta agrupar los diferentes términos de una

expresión para factorizar utilizando los diferentes métodos vistos. Para utilizar este

método se debe tener en cuenta que la expresión debe tener un número de

términos que al agruparlos deben quedar todos con la misma cantidad de

términos. Ejemplo: 

Resolviendo nos queda: 

2ab + 2a - b - 2ac + c - 1 

(2ab - 2ac + 2a) - (b - c + 1) 

2a(b - c + 1) - (b - c + 1) 

(b - c + 1) (2a - 1) 

Ejemplos Descritos de factorizacion: 

Descomponer : ax + bx + ay + by: 

Los dos primeros términos tienen el factor comun x y los dos últimos el factor

comun y. Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos

en otro precedido del signo + porque el tercer término tiene el signo + y

tendremos: 

ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by) 

= x(a + b) + y(a + b) 

La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los

dos términos que se agrupan tengan algún factor comun, y siempre que las

cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor comun

en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la

expresión dada no se puede descomponer por este método. 

Así en el ejemplo anterior podemos agrupar el 1er y 3er. términos que tienen el

factor comun a y el 2do y 4to que tienen el factor comun b y tendremos: 

ax + bx + ay + by = (ax + ay) + (bx + by) 

= a(x + y) + b (x + y) 

= (a + b) (x + y) 

Ejercicios: 

1) a^2 x^2 – 3bx^2 + a^2 y^2 – 3by^2 

(a^2 x^2 – 3bx^2 ) + (a^2 y^2 – 3by^2 ) 

x^2 (a^2 – 3b) + y^2 (x^2 + y^2 ) 

(a^2 – 3b) (x^2 + y^2 ) 

2) x^2 – a^2 + x – a^2 x 

(x^2 + x) – (a^2 + a^2 x) 

x(x + 1) – a^2 (1 + x) 

(x + 1) (x – a^2 ) 

3) 4a^3 x – 4a^2 b + 3bm – 3amx 

(4a^3 x – 3amx) – (4a^2 b – 3bm) 

ax(4a^2 – 3m) – b (4a^2 – 3m) 

(4a^2 – 3m ) (ax – b) 

4) 2am – 2an + 2a – m + n – 1 

(2am – 2an + 2a) – (m – n + 1) 

2a(m – n + 1) – (m – n + 1) 

(m – n + 1) (2a – 1) 

5) 3x^3 + 2axy + 2ay^2 – 3xy^2 – 2ax^2 – 3x^2 y 

(3x^3 – 3x^2 y – 3xy^2 ) – (2ax^2 – 2axy – 2ay^2 ) 

3x(x^2 – xy – y^2 ) – 2a(x^2 – xy – y ^2) 

(x^2 – xy – y^2 ) (3x – 2a) 

En este ejercicio vemos la forma en que podamos agrupar los términos, ya que

una vez al agrupar los dos términos deben dar el 

mismo factor comun es decir en este ejercicio el factor comun es (x^2 – xy – y^2 ). 

En este caso como vemos, agrupamos los términos correspondiente y nos da

como respuesta 

(x^2 – xy – y^2 ) (3x – 2a). 

La clave para resolver este caso es observar el ejercicio darse cuenta la manera

en que podamos agrupar los términos para que nos pueda dar el mismo factor

comun y así se pueda realizar el ejercicio. 

Caso III 

Trinomio cuadrado perfecto 

Regla para factorar un trinomio cuadrado perfecto. 

Se extrae la raíz cuadrada al primero y tercer termino del trinomio y se separan

estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, que es la

raíz cuadrada del trinomio, se multiplica por si mismo o se eleva al cuadrado 

Ejemplos descritos: 

Factoraizar: m^2 + 2m + 1 

m^2 + 2m + 1 = (m + 1) (m + 1) = (m + 1)^2 

Factorar: 4x^2 + 25y^2 – 20xy 

Ordenando el trinomio, tenemos: 

4x^2 – 20xy – 25y^2 = (2x – 5y) (2x – 5y) = (2x – 5y)^2 

Importante: 

Cualquiera de las dos raíces puede ponerse de minuendo. Así en el ejemplo

anterior se tendrá también: 

4x^2 – 20xy – 25y^2 = (5y – 2x) (5y – 2x) = (5y – 2x)^2 

Porque desarrollando este binomio se tiene: 

(5y – 2x)^2 = 25y^2 – 20xy + 4x^2 

Expresión idéntica a 4x^2 – 20xy + 25y^2 ya que tiene las mismas cantidades con

los mismos signos. 

El caso especial del trinomio cuadrado perfecto lo tenemos en un archivo pdf para

obtenerlo hacer clic aqui 

Caso IV 

Diferencia de cuadrados perfectos 

Regla para factorar una diferencia de cuadrados. 

Se extrae la raíz cuadrada al minuendo y al sustraendo y se multiplica la suma de

estas raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del

sustraendo. 

Los pasos para saber si es un cuadrado perfectos es seguir los siguientes pasos . 

1) observar que los dos términos tengan raíz o se le pueda sacar raíz cuadrada y

que el segundo término este precedido del signo - ejemplo: 

m^2 – 4 = es una diferencia de cuadrados porque tiene raíz cuadrada tanto el

primer 

termino; raiz cuadrada de m^2 es m y en el segundo termino; raiz cuadrada de 4

es 2 y por ultimo el segundo termino va precedido del signo – en este caso – 4. 

Ejemplos descriptivos de factorizacion: 

Factorizar: 1 – a^2 

La raíz cuadrada de 1 es 1; la raíz cuadrada de a^2 es a. multiplica la suma de

estas raíces (1 + a) por la diferencia (1 – a) y tendremos: 

1 – a^2 = (1 + a) (1 – a) 

Factorizar: 49 x^2 y^6 z^10 – a^12 

49 x^2 y^6 z^10 – a^12 = (7x y^3 z^5 + a^6 ) (7 x y^3 z^5 – a^6 ) 

Factorizar o descomponer en dos factores. 

1) a^2 – 25 = (a + 5) (a – 5) 

2) 36a^2 – 64b^2 = (6a + 8 b) (6a – 8b) 

3) 16m^2 – 100 = (4m + 10) (4m – 10) 

4) m^4 x – n^2 x= (m^2 x + nx) (m^2 x – nx) 

Caso Especial de la diferencia de cuadrados perfectos. 

Factorizar: (a + b) ^2 – c^2 

La regla empleada en los ejemplos anteriores es aplicable a las diferencias de

cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas. 

Así, en este caso tenemos: 

La raíz cuadrada de (a + b) ^2 es (a + b). 

La raíz cuadrada de c^2 es c. 

Multiplico la suma de estas raíces (a + b) + c por la diferencia (a + b) – c y tengo: 

(a + b) ^2 – c^2 = [(a + b) + c] [(a + b) – c] 

= (a + b + c) (a + b – c) 

Factorizar: (p + q)^2 – (q + 2)^2 

La raíz cuadrada de (p + q)^2 es (p + q). 

La raíz cuadrada de (q + 2)^2 es (q + 2). 

Se multiplica la suma de estas raíces (p + q) + (q + 2) por la diferencia (p + q) – (q

+ 2) y tengo: 

(p + q) ^2 – (q + 2) ^2 = [(p + q) + (q + 2)] [(p + q) – (q + 2)] 

= (p + q + q + 2) (p + q – q – 2) se reduce a términos semejantes y 

queda. 

= (p + 2q + 2) (p – 2). 

Ejercicios del caso especial. 

a^2 – (b + c) ^2 = [a + (b + c)] [a – (b + c)] 

= (a + b + c) (a – b + c) 

(x – y) ^2 – (c + d) ^2 = [(x – y) + (c + d)] [(x – y) – (c + d)] 

= (x – y + c + d) (x – y – c – d) 

4(a + b) ^2 – 9(c + d) ^2 = [2(a + b) + 3(c + d)] [2(a + b) – 3(c + d)] 

= (2a + 2b + 3c + 3d) (2a + 2b – 3c – 3d) 

Casos Especiales 

Combinación de los casos III y IV. 

Regla para resolver una combinación de los casos III y IV. 

1) Observar detenidamente el ejercicio y fijarse si en ella hay un trinomio cuadrado

perfecto, ejemplo: 

a^2 + m^2 – 4b^2 – 2am 

ordenando para observar de mejor manera el trinomio cuadrado perfecto nos

queda 

a^2 – 2am + m^2 – 4b^2 

Como vemos en la parte sombreada de azul identificamos un trinomio cuadrado

perfecto que ya lo estudiamos anteriormente. 

2) Luego resolvemos encerrando en paréntesis todo el trinomio cuadrado

perfecto: 

Quedándonos de esta manera (a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 . 

3) Una vez que lo agrupamos comenzamos resolviendo el trinomio cuadrado

perfecto 

(a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 = (a – m) ^2 – 4b^2 

Luego observamos detenidamente que se trata de una diferencia de cuadrados

perfectos del caso especial que ya lo estudiamos. 

4) Resolvemos la diferencia de cuadrados perfecto y nos queda: 

(a^2 – 2am + m^2 ) – 4b^2 = (a – m) – 4b 

= (a – m + 2b) (a – m – 2b) 

Siendo la respuesta (a – m + 2b) (a – m – 2b) 

Factorizar: 1 – 9x^2 + 24 xy – 16y^2 

Resolviendo: 1 – (9x^2 + 24xy – 16y^2 ) 

En este ejemplo vemos que al agrupar no nos da un trinomio. 

(9x^2 + 24xy – 16y^2 ) 

No es un trinomio cuadrado perfecto porque al multiplicarlo (9x + 4y) ^2 es decir 

(9x + 4y) (9x + 4y) no nos va a dar el trinomio inicial. 

Entonces hacemos lo siguiente: 

1 – (9x^2 + 24xy – 16y^2 ) = 1 – (9x^2 - 24xy + 16y^2 ) 

donde esta el signo – que esta de azul cambiamos los signo de los términos que

están adentro del paréntesis es decir 9x ^2 cambia a –9x^2 ; de 24xy cambia a –

24xy; de -16y^2 cambia a 16y ^2. 

sombrear este grupo 

Pero agrupándolo nos queda 1 – (9x^2 - 24xy + 16y^2) para no afectar el trinomio

el 

cuadrado perfecto, el - 9x^2 el signo – se queda afuera como estamos observando

en el ejemplo anterior para no afectar el trinomio. 

De ahí si podemos resolver el ejercicio: 

[1 – (9x^2 – 24xy + 16y^2 )] 

[1 – (3x – 4y) ^2 ] 

[(1 + (3x – 4y)] [(1 – (3x – 4y)] ojo en la segunda agrupación vemos el – en el 

siguiente paso se cambia el signo. 

(1 + 3x – 4y) (1 – 3x + 4y). 

quedándonos como resultado (1 + 3x – 4y) (1 – 3x + 4y). 

Ejercicios de la combinación de los casos III y IV 

1) c^2 – a^2 + 2a - 1 = c – (a – 2a + 1) 

= c^2 – (a – 1) ^2 

= (c + a – 1) [c – (a – 1)] 

= (c + a – 1) (c – a + 1) 

2) m^2 – x^2 + 9n^2 + 6mn – 4ax – 4a^2 = (m^2 + 6mn + 9n^2 ) – (4a^2 – 4ax

x^2) 

= (m^2 + 6mn + 9n^2 ) – (4a^2 + 4ax + x^2 ) 

= (m^2 + 3n) – (2a^2 + x) 

= (m + 3n + 2a + x) (m + 3n – 2a – x) 

3) x^2 – a^2 + 2xy + y^2 + 2ab – b^2 = (x^2 + 2xy + y^2 ) – (a^2 + 2ab – b^2)

= (x^2 + 2xy + y^2) – (a^2 – 2ab + b^2) 

= (x^2 + y) – (a^2 – b) 

= (x + y + a – b) (x + y – a + b) 

El caso del Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción lo tenemos en

archivo pdf para obtenerlo hacar clic aqui 

Nota: En este blog los exponentes se expresan de la siguiente manera: 

a^2 = se lee a elevada a la segunda potencia 

ab^2 = se lee b es elevado a la segunda potencia l el símbolo ^ no influye en la

letra a 

(a + b)^2 = se lee que el polinomio (a + b) es elevado a la segunda potencia 

Caso VI 

Trinomio de la forma x^2 + bx + c. 

Trinomios de la forma x^2 + bx + c son trinomios como: 

X^2 + 5x + 6 

m^2 + 5m – 14 

a^2 – 2a – 15 

Para que estos términos a la que hemos puesto como ejemplos sean trinomios de

la forma x^2 + bx + c deben cumplir con las siguientes condiciones: 

1) El coeficiente del primer término es 1. 

2) El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. 

3) El segundo término tiene la misma letra que el primero termino 1 y su

coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. 

4) El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1er y 2do

términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. 

Regla para factorar un trinomio de la forma x^2 + bx + c 

1) Lo primero que debemos hacer es sacar la raíz cuadrada del primer término del

trinomio es decir raíz cuadrada de x^2 es x. 

2) Luego de eso debemos de separar en dos grupos de binomios, cada grupo va

constar de la raíz cuadrada que le sacamos al comienzo x^2 es decir x. Ejemplo 

x^2 + 5x + 6 = (x ) (x ) 

3) Una vez realizado el paso 2 debemos identificar los signos por el cual va ir

precedido el segundo término en ambos grupos para una mejor explicación le

muestro el siguiente ejemplo: 

x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x ) 

En este caso los signos de ambos grupos de binomio es + esto lo identificamos

observando el trinomio original, observamos el segundo término que va precedido

del signo + al ver que tiene el signo mas colocamos el signo en el primer grupo de

binomio es decir: 

x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x ) 

nos damos cuenta como colocamos el signo y para saber el signo del segundo

grupo lo que hacemos es una simple ley de signos, es decir el signo que va

precedido del segundo término por el signo que va precedido del tercer término del

trinomio original ejemplo: 

x^2 + 5x + 6 

En este caso nos fijamos en los signos resaltados de rojo, al hacer la ley de los

signos + * + = + nos va a dar el resultado de + que va ser el signo del segundo

grupo ejemplo. 

x^2 + 5x + 6 = (x + ) (x + ) 

4) Una vez descubierto los signos de ambos grupo pasamos a descubrir los

números que van a ir tanto de un grupo como del otro grupo. 

Esto lo hacemos sacando máximo comun divisor del último término del trinomio

original. Ejemplo. 

x^2 + 5x + 6 

Es decir al 6 le sacamos el máximo comun divisor 

6 = 2 y 3 vendría a ser el máximo comun de 6, porque 6 dividido para 2 nos da 3 y

para ser al tres 1 lo dividimos para 3. 

x^2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2) 

Estos son los números que van a ir tanto en un grupo como en el otro también lo

podemos averiguar porque 3 al multiplicarlo por 2 nos va a dar 6 del trinomio

original, y 3 sumando 2 nos va a dar 5 del segundo termino del trinomio original

estas son las dos formas para comprobar si los números que colocamos son los

correctos. 

Ejemplos descriptivo de los casos de factorizacion VI. 

Factorizar a^2 – 13a + 40 

Observamos que sacamos la raíz cuadrada de a^2 que va ser a. y eso lo

colocamos en ambos grupos. 

a^2 – 13a + 40 = (a ) (a ) 

En el primer binomio después de a se pone signo – porque el segundo termino del

trinomio 

– 13a tiene signo - . En el segundo binomio, después de a, se escribe el signo que

resulta de multiplicar el signo de – 13 a por el signo de + 40 y se tiene que – por +

da – es decir: 

a^2 – 13a + 40 = (a – 8 ) (a – 5 ) 

Sacamos el máximo comun de 40 que nos da 2, 2, 2 y 5 debemos buscar dos

números cuya suma sea – 13 y cuyo producto sea +40. 

En este caso va ser – 8 y – 5. 

Factorizar: x^2 + 6x – 216 

En el primer binomio se pone + porque +6x tiene signo + . 

En el segundo binomio se pone – porque multiplicando el signo + 6x por el 

signo de – 216 se tiene que + por – da – . 

Necesitamos dos números cuya diferencia sea 6 y cuyo producto sea 216. 

Estos números no se ven fácilmente. Para hallarlos, descomponemos en sus

factores primos el tercer término. 

216= 2, 2, 2, 3, 3, 3 

Ahora, formamos con estos factores primos dos productos. 

Por tanteo, variando los factores de cada producto, obtendremos los dos números

que buscamos. Asi: 

2 * 2 * 2 = 8 3 * 3 * 3 = 27 

2 * 2 * 2 * 3 = 24 3 * 3 = 9 

2 * 2 * 3 = 12 2 * 3 * 3 = 18 

27 – 8 = 19, no nos sirven 

24 – 9 = 15, no nos sirven 

18 – 12 = 6, sirven 

18 y 12 son los números que buscamos porque su diferencia es 6 y su producto

necesariamente es 216 ya que para obtener estos números hemos empleado

todos los factores que obtuvimos en la descomposición de 216. 

Por tanto: 

x^2 + 6x – 216 = (x + 18) (x – 12). 

Ejercicios de los casos de factorizacion VI. 

Trinomio de la forma x^2 + bx + c 

Factorizar o descomponer en dos factores. 

y^2 – 9y + 20 

Descomponiendo en factores tenemos: 

20 = 2, 2, 5 

(y – 5) (y – 4) 

Factorizar: x^2 + x – 132 

Descomponer en factores el 132. 

132 = 2, 2, 3, 11 

2 * 2 * 3 = 12 

11 

El 12 y 11 serian los números indicado debido a que la diferencia 12 – 11 = 1, da

como resultado +1 y el producto nos da – 132. 

(x + 12) (x – 11) 

Factorizar: m^2 – 2m – 168 

Descomponer en factores el 168. 

168 = 2, 2, 3, 7 

2 * 2 * 3 = 12 

2 * 7 = 14 

El 12 y 14 serian los números indicados debido a que la diferencia 

– 14 + 12 = - 2, da como resultado – 2 y el producto nos da – 168 

(m – 14) (m + 12) 

Caso Especial del trinomio de la forma x^2 + bx + c 

Ejemplos descriptivos: 

Factorizar: x^4 + 5x^2 – 50 

El primer termino de cada factor binomio será la raíz cuadrada de x^4 o sea x^2. 

x^4 – 5x^2 – 5a = (x^2 - ) (x^2 + ) 

Descomponemos en factores el 50. 

50 = 2, 5, 5 

2 * 5 = 10 

5 

El 10 y 5 son los números indicados, porque la diferencia – 10 + 5 = – 5 

nos da – 5 que es del segundo término y el producto – 10 * 5= - 50, nos da 

– 50 en resumen en el caso que explicamos anteriormente son los mismos pasos

que se aplica en el caso especial. 

(x^2 – 10) (x^2 + 5) 

Factorizar: (5x)^2 – 9(5x) + 8. 

El primer término de cada binomio será la raíz cuadrada (5x)^2 o sea 5x. 

(5x)^2 – 9(5x) + 8 = (5x - ) (5x - ) 

Dos números cuya suma sea 9 y cuyo producto es 8 son 8 y 1, Tendremos: 

(5x)^2 – 9(5x) + 8 = (5x – 8) (5x – 1) 

Factorizar: (a + b)^2 – 12(a + b) + 20. 

El primer término de cada binomio será la raíz cuadrada de (a + b)^2 que es 

(a + b). 

(a + b)^2 – 12(a + b) + 20. 

[(a + b) – ] [(a + b) - ] 

Buscamos dos números cuya suma suma sea 12 y cuyo producto sea 20. Esos

números son 10 y 2. Tendremos: 

(a + b)^2 – 12(a + b) + 20 = [(a + b) – 10] [(a + b) – 2] 

= (a + b – 10) (a + b – 2) 

Factorizar: 28 + 3x – x^2. 

Ordenando en orden descendente respecto de x tenemos: 

– (x^2 – 3x – 28) 

Factorando: x^2 – 3x – 28 = (x – 7) (x + 4), pero como el trinomio esta precedido

de – su descomposición también debe ir precedido de – y tendremos: 

–(x – 7) (x + 4) 

Para que desaparezca el signo – del producto –(x – 7) (x + 4) o sea, para

convertirlo en + basta cambiarle el signo a un factor, por ejemplo (x – 7) y

quedara. 

28 + 3x – x^2 = (7 – x) (x + 4). 

Ejercicio de los caso especiales VI. 

Factorizar = x^4 + 5x^2 + 4 

x^4 + 5x^2 + 4= (x^2 + 4) (x^2 + 1). 

Factorizar= (x – y)^2 + 2(x – y) – 24. 

(x – y)^2 + 2(x – y) – 24 = [(x – y) + 6] [(x – y) – 4] 

= (x – y + 6) (x – y – 4) 

24 = 2, 2, 2, 3 

2 * 3 = 6 6 – 4 = 2 

2 * 2= 4 

El 6 y 4 van a ser los números que van a ir en los grupos de binomios. 

Factorizar = 48 + 2x^2 – x^4 

– x^4 + 2x^2 + 48 

– (x^4 – 2x^2 – 48) 

Factorizando x^4 – 2x^2 – 48 nos da (x^2 – 8) (x^2 + 6) 

48 = 2, 2, 2, 2, 3. 

2 * 2 * 2 = 8 

2 * 3 = 6 

El 8 y 6 van a ser los números que van a ir en los grupos de binomios. 

Para obtener el caso de factorizacion VII hacer clic aqui 

Caso VIII 

Cubo perfecto de binomios. 

Regla para factorizar un cubo perfecto de binomios. 

Factorizar: a^3 + 3a^2 + 3a + 1 

1) Primero identificar que el ejercicio tenga cuatro términos en este caso

observamos que nuestro ejercicio consta de cuatro términos 

2) Sacar la raíz cúbica al primer término y al último término Ejemplo. 

La raíz cúbica de a^3 es a. 

La raíz cúbica de 1 es 1. 

3) Vemos si cumples las condiciones realizando la siguiente prueba. Ejemplo: 

a^3 + 3a^2 + 3a + 1 

1) 3 (a)^2 (1) = 3a^2 

2) 3 (a) (1)^2 = 3a 

1) Como observamos que una vez que le sacamos la raíz cuadrada al primer y

ultimo término, con ellos realizamos la prueba, multiplicando primeramente al 3 por

el cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del ultimo

término, en expresión 3 (a)^2 (1) = 3a^2 dándonos el resultado del segundo

término de nuestro ejercicio inicial. Ejemplo: 

a^3 + 3a^2 + 3a + 1 

2) Luego multiplicamos al 3 por la raíz cúbica del primer término por el cuadrado

de la raíz cúbica del último término, en expresión 3 (a) (1)^2 = 3ª dándonos el

resultado del tercer término de nuestro ejercicio inicial. Ejemplo: 

a^3 + 3a^2 + 3a + 1 

4) Y por ultimo ya realizado la prueba y comprobar que se trata de un cubo

perfecto de binomios resolvemos el ejercicio: 

a^3 + 3a^2 + 3a + 1 = (a + 1)^3 

Quedándonos el binomio a + 1 elevándolo al cubo. 

Nota: Para saber que signo va dentro del binomio tenemos que tomar en cuenta lo

siguiente: 

Es signo + cuando los signos de los 4 términos es + 

Es signo – cuando los signos de los términos es alternado es decir – y + . 

No es cubo perfecto cuando: 

1) Cuando al realizar la prueba no nos da el resultado ni del segundo ni tercer

término 

2) Cuando los signos son alternados de esta forma. Ejemplo: 

a^3 + 3a^2 – 3a – 1 

a^3 – 3a^2 + 3a + 1 

a^3 + 3a^2 – 3a + 1 

a^3 – 3a^2 – 3a + 1 

solo cuando es alternado de esta forma a^3 – 3a^2 + 3a – 1 es un cubo perfecto. 

Ejercicios descriptivos de los casos de factorizacion VIII 

1) 27 – 27x + 9x^2 – x^3 = (3 – x)^3 

3 (3)^2 (x) = 27x 

3 (3) (x)^2 = 9x^2 

2) 125x^3 + 1 + 75x^2 + 15x 

Ordenando: 125x^3 + 75x^2 + 15x + 1 = (5x + 1)^3 

3 (5x)^2 (1) = 75x^2 

3 (5x) (1)^2 = 15x 

3) x^3 – 3x^2 + 3x + 1 

No es cubo perfecto porque los signos no son alternados de esta manera 

– * + * – * + 

4) a^6 + 3a^4 b^3 + 3a^2 b^6 + b^9 = (a^2 + b^3)^3 

3 (a^2)^2 (b^3) = 3a^4 b^3 

3 (a^2) (b^3)^2 = 3a^2 b^6 

Caso IX 

Suma o diferencia de cubos perfectos. 

Regla para resolver una suma o diferencia de cubos perfectos. 

Regla 1 

La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 

1) La suma de sus raíces cúbicas. 

2) El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, mas el

cuadrado de la segunda raíz. 

Regla 2 

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: 

1) La diferencia de sus raíces cúbicas. 

2) El cuadrado de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el

cuadrado de la segunda raíz. 

Ejemplos descriptivos de los casos de factorizacion IX. 

1) Factorizacion: x^3 + 1 

La raíz cúbica de x^3 es x; la raíz cúbica de 1 es 1. 

x^3 + 1 = (x + 1) [x^2 – x(1) + 1^2] = (x + 1) (x^2 – x + 1) 

Respuesta: (x + 1) (x^2 – x + 1) 

Aplicando la regla 1 vemos que trata de una suma de dos cubos perfectos. 

Entonces al sacarle la raíz a x^3 = x y 1 = 1, el primer factor va ser una suma de (x

+ 1), luego aplicamos la regla del segundo factor cuando suma; el cuadrado de la

primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda

raíz quedándonos: 

[x^2 – x(1) + 1^2] = x^2 – x + 1 

Al juntar los 2 factores nuestra respuesta será: 

(x + 1) (x^2 – x + 1) 

2) Factorizar: 8x^3 – 125 

La raíz cúbica de 8x^3 es 2x; la raíz cúbica de 125 es 5 

Aplicando la regla 2 vemos que trata de una diferencia de dos cubos perfectos. 

8x^3 – 125 = (2x – 5) [(2x)^2 + 2x(5) + (5)^2] 

(2x – 5) (4x^2 + 10x + 25) 

Al sacarle la raíz a 8x^3 = 2x y a 125 = 5, el primer factor va ser una resta 

(2x – 5), luego aplicamos la regla del segundo factor cuando es resta; el cuadrado

de la primera raíz, mas el producto de las dos raíces, mas el cuadrado de la

segunda raíz. Quedándonos: 

[(2x)^2 + 5(2x) + 5^2] = 4x^2 + 10x + 25 

Al juntar los dos factores nuestra respuesta será: 

(2x – 5) (4x^2 + 10x + 25) 

Ejercicios de los casos de factorizacion IX. 

Suma o diferencia de cubos perfectos. 

1) a^3 + 27 = (a + 3) [a^2 – 3(a) + (3)^2] 

(a + 3) (a^2 – 3a + 9) 

2) a^3 b^3 – x^6 = (ab – x^2) [(ab)^2 + abx^2 + (x^2)^2] 

(ab – x^2) (a^2 b^2 + abx^2 + x^4) 

3) 27m^3 + 64n^9 = (3m + 4n^3) [(3m)^2 – 3m(4n^3) + (4n^3)^2] 

(3m + 4n^3) (9m^2 – 12mn^3 + 16n^6) 

4) 8x^9 – 125y^3 z^6 

(2x^3 – 5yz^2) [(2x^3)^2 – (2x^3)(5yz^2) + (5yz^2)^2] 

(2x^3 – 5yz^2) (4x^6 + 2x^3 y z^2 + 25y^2 z^4)