Razones y Proporciones

UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU BECA 18 UPeU

FACTOR ALGEBRAICOUn polinomio F no constante ser factor algebraico de P si y slo si P es divisible por F.

Ejemplos: P(x) = (x + 2)3 (x + 1)2

Son factores algebraicos de P(x):

FACTOR PRIMOUn polinomio F ser primo de otro polinomio P si F es factor algebraico de P y primo a la vez.

Ejemplos: P(x) = (x + 2)3 (x + 1)2 (x + 5)6Son factores primos de P(x):

P(x) = (x) (x + 2)6 (x 1)2Son factores primos de P(x):

FACTORIZACINEs el proceso de transformacin de un polinomio en una multiplicacin indicada de sus factores primos o sus potencias.Multiplicacin

P(x) = x2 + 3x + 2 (x + 1) (x + 2)

Factorizacin

CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS

Factor ComnConsiste en buscar factores comunes a todos los trminos de un polinomio para luego extraerlos a su menor exponente.Ejemplos:1. Factorizar:P(x,y) = 2x2y + 3xy2 + xy

2. Factorizar:A(x,y) = (x + 2) y + (x + 2) x + (x + 2)

AGRUPACINConsiste en agrupar trminos convenientemente tratando que aparezca algn factor comn.

Ejemplos:1. Factorizar:x2 + x + xy + y xz z

2. Factorizar:x2 + ax + x + xy + ay + y

ASPA SIMPLEForma general de polinomio a factorizar:

P(x,y) = Ax2n + Bxn ym + Cy2mm, n N

P(x) = Ax2n + Bxn + C

Ejemplos:1. Factorizar:2x2 + 7xy + 6y2

2. Factorizar:(x + y)2 2 (x + y) + 1

TEOREMASean f(x) y g(x) polinomios primos y primos entre s, tal que:

P(x) =

i) Nmeros factores primos = 2ii) Nmeros factores algebraicos = (n + 1) (p + 1) 1

Ejemplo:Sea P(x) = (x + 2)3 (x + 4)

i) Nmeros factores primos = ii) Nmeros factores algebraicos =

Material de clase

1. Factorizar:A) a2 + abB) x3 + x5 x7 C) 2a2x + 6ax2

2. Factorizar: A) x(a + b) + m(a + b)B) m(x + 2) + x + 2C) a(x + 1) x 1

3. Factorizar:A) 2x(x + y + z) x y zB) ax + bx + ay +byC) 2x2 3xy 4x + 6y

4. Factorizar y dar como respuesta uno de los factores: 3m 2n 2nx4 + 3mx4A) 1 x4C) 1 + x4E) 2n + 3mB) 2n x4D) m + n

5. Dar uno de los factores de: bx ab + x2 axA) a + xC) x aE) a bB) b x D) 2x + b

6. Factorizar:A) a2 1B) 16x2 25y4 C) 49x2y6z10 a12D) (2a + b)2 (a + 2b)2

7. Factorizar:A) m2 + 2m + 1B) a2 2ab + b2C) 1 16ax2 + 64a2x4

8. Factorizar:A) x2 + 5x + 6B) x2 7x + 12C) x2 + 2x 15D) x6 7x3 44E) 6x2 7x 3F) 20x2 + 7x 6

9. Factorizar:A) x3 27B) 64 a6C) x6 + 8y12

10. Factorizar:

11. Factorizar:(x 1)(x + 1)(x 2)(x 4) 112

12. Indicar un factor primo al factorizar:E = m3 m2 + m2n2 + mn n + n3A) m 1C) m2 + 1E) m + n2B) m + 1D) m2 + n

13. Indicar un factor primo obtenido al factorizar:

P(x) = A) xa + 1C) xa + xcE) xb + 1B) xb + xc + 1D) xa + xc +1

14. Indicar un trmino de un factor primo obtenido al factorizar:

E = A) c2B) bC) b2D) c2 E) bc

15. Indicar un factor primo al factorizar:E(x,y) = (2x+3y)4 (2x 3y)4 A) 4xC) 2x2E) Ms de unaB) 3yD) 2x4

16. Indicar la suma de los factores primos obtenidos al factorizar:M = (a + b)2[(a + b)2 c2 d2 ] + (cd)2 A) 4aC) 2(a + b + c + d)E) 4(a + d)B) 4(a + b)D) 2(a + d)

1. Factorizar:x2y + x2zA) x(y + z)C) x2(y2 + z)E) x2(y z)B) x2(y + z)D) z(y2 z3)

2. Factorizar:2a2x + 6ax2 A) 2ax(a + 3x)D) 2x(a 3x)B) 2ax(a 3x)E) 2x(a + 3x)C) 2a(x + 3a)

3. Factorizar:m2 + 13m 30 A) (m + 15)(m 2)D) (m 15)(m + 2)B) (m 3)(m + 10)E) (m + 15)(m + 2)C) (m + 3)(m + 10)

4. Factorizar:x2 17x 60 ; e indicar uno de los factores primosA) x + 12C) x 5 E) x + 5B) x 12 D) x 205. Factorizar:16x2 25y4A) (4x + 5y2)(4x 5y2)D) (x + 5y2)(x 5y2)B) (4x + 5)(4x 5)E) N.A.C) (4 + 5y2)(4 5y2)

6. Factorizar:4x2 81y4A) (2x + 9y)(2x 9y)D) (2x y)(2x + y)B) (2x + 9y2)(2x 9y2)E) N.A.C) (2x 81y)(2x + 81y)

7. Factorizar: 100 x2y6 ; e indicar uno de los factores primosA) 10 xyC) 10 + xy3E) N.A.B) 10 + xyD) 10 x2y3

8. Hallar la suma de los factores que se obtienen de factorizar:2p2 + 3rp + 4p + 3rpA) 3p + 3r + 2D) 4r + 3p + 2B) 3p 3r + 2E) 3r + 4p 2C) 3p 3r 2

9. Factorizar y dar como respuesta la suma de coeficientes de uno de sus factores.3ab + 1 + 3b + aA) 3B) 4C) 5D) 6E) 7

10. Factorizar:4x2 (x + y)2 A) (3x + y)(x y)D) (3x + y)(x + y)B) (3x + y)(x + y)2E) (3x + y)(2x y)C) (3x y)(x y)

11. Factorizar:a(x 1) (a + 2)(x 1)A) 2(x 1)C) 2(x + 1)E) N.A.B) a + 2xD) 2(1 x)

12. Factorizar:18a2 13a 5A) (a + 1) (18a 5)D) (a + 2) (a 9)B) (a 1) (18a + 5)E) N.A.C) (a + 1) (18a + 3)

13. Indicar el nmero de factores primos de:4x2 20xy + 25y2 A) 2B) 3C) 4D) 1E) 5

14. Factorizar:4m(a2 + x 1) + 3n(x 1 +a2); e indicar la suma de coeficientes de uno de los factores primosA) 2B) 3C) 4D) 6E) 7

15. Factorizar: m n + x(m + n)A) (m + n)(x + 1)D) (m + n)(2 x)B) (m + n)(x 1)E) (m + n)(x 2)C) (m + n)(x + 2)

16. Indica un factor de:6x8 13x4 + 6A) 2x4 3C) 3x2 2E) N.A.B) 3x4 + 3D) 2x4 + 3

17. Desarrollo: 8m3 27n12 e indicar un factorA) 2m + 3n4D) 4m2 + 6mn4 + 9n8B) 4m2 6mn4 + 9n8E) Ms de unaC) 2m 3n

18. Factorizar: x(a 1) + y(a 1) a + 1A) (a 1)(x + y + 1)D) (a 1)(x y + 1)B) (a 1)(x + y 1)E) (a + 1)(x + y 1)C) (1 a)(x + y 1)

19. Cuntos binomios se obtienen de la factorizacin de:

A) 2B) 3C) 4D) 5E) 6

20. Factorizar:(m n)2 + 6(m n) + 9A) (m n + 3)C) (m n + 3)2E) N.A.B) (m n)(m + 3)D) 3(2m 3n)

21. Factorizar:3m2 6mn + 4m 8n; e indicar la suma de los factores primos.A) 4m + 4 + 2nD) 4 4m 2nB) 4m 4 2nE) N.A.C) 4m + 4 2n

22. Factorizar:2x2 3xy 4x + 6y e indicar uno de los factores primosA) x 2B) x 3C) x + yD) x 6E) y 5

23. Factorizar:

p8 x2mp4 +

A) (p4 )2 C) (p4 )2 E) N.A.

B) (p4 + )2 D) (p2 )

24. Factorizar:x + z2 2ax 2az2 ; e indicar uno de sus factores primos.A) 1 + 2aC) z2 xE) z2 x3B) x z2D) 1 2a

25. Determinar los valores naturales de A que hacen factorizable el polinomio: x2 + Ax + 18 y dar como respuesta la suma de ellos:A) 24B) 42 C) 18 D) 45 E) 39

26. Factorizar:a2 + 2ab + b2 x2 , y dar como respuesta la suma de sus factores primos:A) 2(a + b)C) 2xE) 2(a + x) B) 2(b + x) D) N.A.

27. La suma de los factores de primer grado que se obtiene al factorizar: x5 25x3 + x2 25A) 3x + 7C) 3x + 11E) N.A.B) 3x 9D) 3x + 1

28. Factorizar:(1 + ab)2 (a + b)2 A) (1 + b)(1 + a)(1 a)(1 b)B) (1 + b)(1 a2 + 2b)C) (1 + b)(1 + b2 2b)D) (1 + a)(1 b)E) (1 + b)(1 + a)(1 a)

29. Factorizar:(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 15 e indicar la cantidad de factores primos:A) 2 B) 3C) 4D) 5E) 6

30. Luego de factorizar: (x + 1)4 5(x + 1)2 + 4, indicar la suma de sus factores primos.A) 4(x + 1)C) 2(x + 1)E) N.A.B) 3(x + 1)D) 4x

31. Indicar un factor primo de:E = ap2x apx2 + ap bx + bp ax + bp2x bpx2A) p + xC) px + 1E) Ms de unaB) a + bD) px 1

32. Factorizar:ab(x + y)2 + xy(a + b)2 4abxyA) (ax + by) (ax by)D) (x + y)(a + b)B) (ax + by)(bx + ay)E) N.A.C) (a + b)(x y)

33. Factorizar:3ax 2by 2bx 6a + 3ay + 4bA) (x y + 2)(3a b)D) (x y)(3a 2b)B) (x + y 2)(3a 2b)E) (x + y)(3a + 2b)C) (x + y)(3a + 2b)

34. Factorizar y dar como respuesta uno de los factores:a2b3 n4 + a2b3x2 n4x2 3a2b3x + 3n4xA) 1 + 3x x2C) 1 3x x2E) 1 3x + x2B) 1 + 3x + x2D) 3 + x x2

35. Indicar un factor primo obtenido al factorizar:(m2x2 + n2y2)2 + (m2y2 n2x2)2A) m2 + x2C) m2 + n2E) m4 + n4B) m4 + x4D) n4 + y4

36. Indicar la suma de coeficientes de un factor primo obtenido al factorizar:P(x;y) = (x y)(x 3y)(x + 4y)(x + 6y) + 40y4A) 1B) 2C) 3D) 4E) 5

37. Cuntos factores primos que son binomios se obtienen al factorizar:E(x;y) = x4+x2 y4 y2A) 0B) 1C) 2D) 3E) 4

38. Factorizar:E = x2 + y2 + x(y + z) + y(x + z)A) x + yC) y + zE) Ms de unaB) x + z D) x + y + z

39. Luego de factorizar indicar uno de sus factores primos.x3 2x2 + 1A) x + 1C) x2 x + 1E) Ms de unaB) x 1D) x2 x 1

40. Seale un factor primo de:x2y + x2z + xy2 + xz2 + y2z + yz2 + 2xyzA) x + yC) y + zE) Ms de unaB) x + z D) x z

Universidad Peruana Unin JuliacaMg. Carlos M. Coaquira TucoPrograma Nacional de Beca 18Lic. Joel Chavarr BecerraLic. Derly Huanca Quispe

Factorizacin 1- 4 -