Capitulo n 1 Teora de Errores

UNIVERSIDAD TCNICA DE MANABCapitulo n 1 Teora de ErroresClase n 1 Tipos de errores.

1.1 tipos de errores y su medicin.1.2 Error de redondeo en la matemtica numrica.

UNIVERSIDAD TCNICA DE MANAB Tipos de errores y su medicinLa modelacin matemtica es un proceso de aproximacin a la realidad. Al trabajar con modelos matemticos utilizando mtodos numricos aparecen dos tipos de errores.Errores de redondeo y errores de truncamiento. la diferencia entre ellos.

TRUNCAMIENTO. Se tiende a sustituir un proceso de clculo infinito o infinitesimal por uno finito.

REDONDEO. Se representan y operan nmeros con menos cifras que las que posee realmente. Estos tipo de errores ocurren al trabajar con una calculadora o una computadora por la capacidad finita de su memoria y en mayor medida al efectuar clculos manuales aproximados.

UNIVERSIDAD TCNICA DE MANAB Error AbsolutoSea X el valor verdadero de una magnitud.Sea XA El valor aproximado de X obtenido por una medicin.Sea EA el error absoluto que se comete al tomar el valor de XA por el valor de X.EA = X- XA. Si X- XA < 0 . La aproximacin es por exceso. Si X- XA > 0 la aproximacin es por defecto.En la siguiente tabla, se dan varias mediciones con una aproximacin, diga si es por exceso o por defecto.

NXXA E = X XA EA =X- XATipo de aproximacin13.141592..3.1416-0.000007.0.000007..Por 23.141592..3.140.001592..0.001592..Por30.333333.0.30.0333330.033333..Por41/8=0.1250.13-0.0050.005Por5455445005454Por

UNIVERSIDAD TCNICA DE MANAB Error Relativo

UNIVERSIDAD TCNICA DE MANABMejores aproximaciones

UNIVERSIDAD TCNICA DE MANAB EjemplosSe calcula el valor de pi, obtenindose piA = 3.14186, con un error absoluto mximo de 0.00100. calcule el error relativo mximo. Obtenga en que intervalo se encuentra el valor verdadero de pi. ERM =EAM /XA ; ERM =0.00100 /3.14186 = 3,1828887898656820930676682156725e-4.ERM = 0.00032 ERM = 0.032% 3.14186 - 0.001 pi 3.14186 + 0.001 intervalo dentro del cual se encuentra el valor real de pi.Una resistencia elctrica tiene un valor nominal de 47 k. Se sabe que este valor tiene un error relativo mximo de un 5%. Entre que valores esta el valor real de la resistencia?.RA = 47 k ; ERM = 0.05; EAM = ERM * RA ; EAM =0.05*47; EAM = 2.35. 47 2.35 R 47 + 2.35. 44.65 k R 49.65 k

UNIVERSIDAD TCNICA DE MANAB Dgitos o cifras significativasSe llaman dgitos o cifras significativas de un nmero a todos los dgitos que aparecen en la representacin en notacin cientfica de dicho nmero. Ejemplo.

XAXA En notacin cientficaCifras Significativas0.00737.3*10-37 y 30.007307.30*10-37,3 y 00.07037.03*10-27,0 y 373007.3*1037 y 373007.30*1037,3 y 073007.300* 1037,3,0 y 0La cantidad de cifras significativas es independiente de cuan grande o pequeo sea el nmero.Sea el numero aproximado 4.361*105 tiene 4 cifras significativas, sea k +1 = 4; k = 3, luego el nmero puede representarse como, 4*105 +3*104 + 6*103 + 1*102, de esa manera puede representarse el numero. con d5 =4 d4 =3 d3 = 6 d2 = 1

UNIVERSIDAD TCNICA DE MANAB Cifra significativa exactaDefinicin: Sea XA = (dp *10p +dp-1 *10p-1 + +dp-k *10p-k ) un numero con k+1 cifras significativas. Aproximado a un numero X . Se dice que el digito di de XA es exacto o correcto, si el error absoluto de XA no excede media unidad del valor correspondiente al lugar decimal ocupado por dicho digito, se cumple que. EA = X- XA 0.5 * 10i con p-k i p.Si un digito es correcto, todos los dgitos que le preceden, sern dgitos correctos, tomados de izquierda a derecha.Ejemplo. Dado el numero, XA = 4.361*105, aproximado al numero X = 4,3613*105. Determinar si el ultimo digito de XA es exacto. XA =4*105 + 3*104 + 6* 103 +1*102 . Media unidad del lugar que ocupa el digito 0.5*102 .el error absoluto ser EA =4,3613*105 - 4.361*105 =0.0003*105 =0.3*102 . Observe como este valor es menor que 0.5 *102 , luego la cifra analizada es exacta.Ejemplo. Dado el numero XA = 4,361*10-5; Aproximado al numero X=4,3618*10-5 Determinar si los dos ltimos dgitos del numero aproximado son exactos. XA =4*10 -5 + 3*10 -6 + 6* 10 -7 +1*10 -8 ; la mitad de la unidad ser 0.5*10-8 ; Hallemos el error absoluto. EA =X- XA;EA = 4,3618*10-5 - 4,361*10-5 = 0.0008*10-5 ; 0.8*10-8 > 0.5* 10-8, luego la cifra no es exacta. 0.8*10-8 < 0.5*10-7 Luego la penltima cifra es exacta.

UNIVERSIDAD TCNICA DE MANAB Dgitos exactos de un nmeroSea XA un numero aproximado a X, se dice que tiene n dgitos exactos si el n-simo dgito de XA es correcto y los siguientes a su derecha si existen ya no son correctos.Se puede decir que el numero, XA = 4.361*105 aproximado a X= 4.3613*105, tiene cuatro dgitos significativos exactos, mientras que el numero XA = 4.361*10-5 , aproximado a X= 4.3618*10-5 solo tiene tres dgitos exactos.Teorema. Si un nmero aproximado XA =m*10p tiene sus n primeras cifras exactas, entonces el error relativo de la aproximacin es menor o igual a 1/(2*dp) (1/10*n-1 ) donde dp es el primer digito significativo de XA y n es la cantidad de cifras exactas buscadas.Utilizando el teorema se resuelve un problema prctico importante. Cuantos dgitos correctos se deben calcular, para obtener un error relativo mximo prefijado, conociendo tan solo el primer digito significativo del numero aproximado XA.

Reglas de redondeo

UNIVERSIDAD TCNICA DE MANAB Ejemplos

UNIVERSIDAD TCNICA DE MANAB Ejemplos tarea para entregar.1- Calcule los errores absoluto y relativo que se cometen al aproximar las constantes por los valores indicados a la derecha.

Hoja1NUMERO XCIFRAS CORRECTASREDONDEO CORRECTO3.1415933.1415958.1250634.65024.35029.99723643520.03799312.3214412345.7820.000023452100045.25788

Hoja1Columna2Columna1Error absolutoError relativoerror relativo en %2.71822.703.00E+083.00E+0809.8100