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UNIDAD 2GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOSTener claro el concepto de nmeros aleatorios, identificar su funcin e identificar como se generan y para que; adems de identificar los tipos de nmeros aleatorios que existen y que mtodos se pueden utilizar para generarlos.

La simulacin est basada en la aleatoriedad de procesos reales. Estudiaremos por tanto la forma de generar algunas de las distribuciones ms usuales.

La simulacin de cualquier sistema en el que se tengan en cuenta efectos no determinsticos necesita disponer de una gran cantidad de nmeros aleatorios, y en general, de sucesiones de realizaciones de variables aleatorias. Los seres humanos vivimos en un medio aleatorio y nuestro comportamiento lo es tambin. Si deseamos predecir el comportamiento de un material, de un fenmeno climatolgico o de un grupo humano podemos inferir a partir de datos estadsticos

Un paso clave en simulacin es tener rutinas que generen variables aleatorias con distribuciones especificas: exponencial, normal, etc. Esto es hecho en dos fases.

La primera consiste en generar una secuencia de nmeros aleatorios distribuidos uniformemente entre 0 y 1.

Luego esta secuencia es transformada para obtener los valores aleatorios de las distribuciones deseadas.

La primera fase es la que nos concierne ahora.

En la vida cotidiana se utilizan nmeros aleatorios en situaciones tan dispares como pueden ser los juegos de azar, en el diseo de la cada de los copos de nieve, en una animacin por ordenador, en tests para localizacin de errores en chips, en la transmisin de datos desde un satlite o en las finanzas.La palabra aleatorio se usa para expresar una aparente carencia de propsito, causa u orden. El ejemplo clsico mas utilizado es el lanzamiento repetitivo de una moneda o un dado.

Unnmero aleatorioes un resultado de unavariableal azar especificada por unafuncin de distribucinUn nmero aleatorioes aquel obtenido al azar, es decir, que todo nmero tenga la misma probabilidad de ser elegido y que la eleccin de uno no dependa de la eleccin del otro. El ejemplo clsico ms utilizado para generarlos es el lanzamiento repetitivo de una moneda o dado ideal no trucado

PARA QU SIRVEN?

Los nmeros aleatorios permiten a los modelos matemticos representar la realidad.En general cuando se requiere una impredecibilidad en unos determinados datos, se utilizan nmeros aleatorios

Para lograr una mejor aproximacin a la realidad nuestra herramienta predictiva debe funcionar de manera similar: aleatoriamente.De esa necesidad surgieron los modelos de simulacin.Tienen la propiedad de ser obtenidos al azar, es decir, son resultado de un proceso en el cual su resultado predecible ya que todo numero tiene la misma probabilidad de ser elegido y la eleccin de uno no depende de la eleccin del otro.

TiposNmeros uniformemente distribuidosNmeros distribuidos no uniformesPara los uniformes, sus generadores tienen caractersticas propias que los identifican como tal y son:No deben caer en ciclosTienen que ser reproduciblesRapidez al adquirirlosTener almacenamiento mnimoMisma probabilidad de salidaIndependientes del anterior

Cmo se generanDispositivos fsicos aleatorios (ruletas, contadores de rayos csmicos, ...) autnticamente aleatoriosno repetible, difcil conexin con programas

Algoritmo recursivo (determinista)repetible (total control sobre la secuencia generada), informticamente naturalpseudoaleatorio, limitaciones intrnsecas a aleatoriedad: ciclos, autocorrelacin, ...

Por qu hay que recurrir a los nmeros pseudoaleatorios? Fundamentalmente porque las sucesiones de nmeros pseudoaleatorios son ms rpidas de generar que las de nmeros aleatorios.

Generacin de SemillasEs una tarea difcil de llevar a cabo, por lo que se opta por generar nmeros pseudoaleatorios, es decir, nmeros que estn cerca de ser aleatorios

Mtodos utilizados para su generacinComputacin anlogaSerie obtenida por medios fsicosRpidos y verdaderamente aleatoriaLos obtenidos no se pueden repetir.2. TablasSe tienen hasta 100 000 nmerosSeries reproducidas nuevamenteDemorados y requieren mucho espacio3. Computacin digitalTienen funcin y valor inicialRpido, con repeticin, ocupa poco espacioLas obtenidos dependen de los anteriores.4. ManualDe forma clsica: tmbola, dados, etc.Series verdaderamente aleatoriaLento, mucho espacio, no se pueden repetir.

Usos mas frecuentesAplicaciones webUna forma de simular los nmeros aleatorios puede ser utilizando javascript con el mtodo randomEn javascriptMostra un banner aleatorioUna cabecera distintaUna fraseGenerar un cdigo de seguridad, etc.Por qu hay que recurrir a los nmeros pseudoaleatorios

Los nmeros aleatorios son calculados a partir de una semilla (seed) y una frmula.

El problema es que si el mtodo es conocido, entonces la secuencia de nmeros aleatorios puede ser replicada. En la prctica ninguna funcin produce datos aleatorios verdaderos -- las funciones producen nmeros pseudo-aleatorios.

Unnmero pseudo-aleatorioes unnmerogenerado en un proceso que parece producir nmeros alazar, pero no lo hace realmente. Las secuencias de nmeros pseudo-aleatorios no muestran ningn patrn o regularidad aparente desde un punto de vistaestadstico, a pesar de haber sido generadas por unalgoritmocompletamente determinista, en el que las mismas condiciones iniciales producen siempre el mismo resultado.NUMEROS PSEUDOALEATORIOS

Generadores de nmeros pseudoaleatoriosGeneradores de congruencia linealGeneradores de desplazamientos de bitsGeneradores FinobacciPruebas de aleatoriedadCuadrados mediosDistribucin exponencialDistribucin normalAceptacin y rechazoRegistros desfasadosEl objetivo de cualquier esquema de generacin es producir una secuencia de nmeros entre 0 y 1 que simule las propiedades ideales de distribucin uniforme y de independencia.

La mayora de los mtodos (generadores) comienzan con un nmero inicial (semilla), a este nmero se le aplica un determinado procedimiento y as se encuentra el primer nmero random.

Usando este nmero como entrada, el procedimiento es repetido para lograr un prximo nmero random.

Y as siguiendo.

Mtodo Del Cuadrado Medio

Comienza con un nmero inicial (semilla). Este nmero es elevado al cuadrado. Se escogen los dgitos del medio de este nuevo nmero (segn los dgitos que se deseen) y se colocan despus del punto decimal. Este nmero conforma el primer nmero random.ALGORITMO GENERADOR DE BITSEntrada:Dos primos p,q , elegir e, tal que mcd (e, )=1, donde =(p-1)(q-1) .Una semilla x0 [1,n-1]Algoritmo:a) Para j=1 hasta k: a1) xj=(xj-1)e mod n a2) zj=el menor bit significativo de xjSalida:La sucesin z1, z2, , zk.

Generadores congruenciales lineales (GCL)Mtodo De Congruencia Lineal: produce una secuencia de enteros X1, X2,... entre 0 y m-1 de acuerdo a la siguiente relacin recursiva: Xi+1= (a * Xi + c) mod m, i=0,1,2,...X0 es llamado semilla.a es llamado el multiplicador constante.c es el incremento.m es el mdulo.El nmero aleatorio se encuentra de la siguiente manera: R = X / m

GENERADOR LAGGED - FIBONNACIXn=(Xn-j Xn-k ) mod M donde j < k, M = 2m es cualquier operador binarioPeriodo maximo (2k 1) 2m-1 Mtodo de InversinEste mtodo sugiere que para muestrear una variable aleatoria X de la que se conoce , se pueden generar nmeros U uniformes en (0,1) y hacer luego . Tenemos entonces el siguiente algoritmo:Generar UU(0,1).Hacer Salir X.

Mtodo de RechazoSupongamos que deseamos muestrear una variable aleatoria X con funcin de densidad f, No lo sabemos hacer directamente, pero disponemos de un procedimiento para muestrear de una funcin de densidad g tal que: f(x)ag(x), para todo x, siendo a